13 Wichtige Approximationen

In der Meteorologie und Ozeanographie gibt es viele diffizile Approximationen mit detaillierten und komplexen Annahmen. In diesem Kapitel werden die gebräuchlisten von ihnen erläutert, dabei wird bei den weniger rigorosen begonnen.

13.1 Allgemeines

13.1.1 Filterung

Es werden häufig Näherungsannahmen an die herrschenden Gleichungen gemacht, die physikalisch widersprüchlich sind oder den Definitionen widersprechen. So spielt die Feuchte durchaus eine Rolle für die Dynamik, jedoch kann man Zyklogenese (also das Entstehen von Tiefdruckgebieten) auch in einer trockenen Atmosphäre beobachten. Man spricht von Filterung: Feuchte ist nicht notwendig für das Entstehen der Tiefdruckgebiete, weil in einer trockenen Atmosphäre immernoch Tiefdruckgebiete entstehen, also nicht gefiltert werden. Will man ein Phänomen untersuchen, so wählt man hierfür zunächst immer das einfachst mögliche Gleichungssystem.

13.1.2 Dimensionslose Kennzahlen

Um verschiedene Terme in den herrschenden Gleichungen vergleichen zu können, führt man dimensionslose Kennzahlen ein.

Besonders problematisch bei der theoretischen Behandlung der Hydrodynamik ist die Nichtlinearität. Diese steckt zu einem großen Anteil in der Impulsadvektion $\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}$. Diese Terme tragen entscheidend zur Interaktion der Skalen (Spektralkomponenten) und zur Entstehung von Instabilitäten bei. Hingegen ist die Reibung ein stabilisiernder Einfluss. Man definiert daher die sogenannte Reynolds-Zahl $N_\text{Re}$ als das Verhältnis dieser beiden Terme:

\[ \begin{align} N_\text{Re} \coloneqq \frac{U^2}{L}\frac{L^2}{\nu U} = \frac{UL}{\nu} \end{align} \]

Desto größer die Reynolds-Zahl ist, desto instabiler und turbulenter ist die Strömung. Auf der synoptischen Skala gilt

\[ \begin{align} N_\text{Re} \sim \frac{10^110^6}{10^{-5}} = 10^{12}. \end{align} \]

Synoptische Strömungen sind also sehr instabil.

Die Rossby-Zahl $N_\text{Ro}$ definiert man als Verhältnis von advektiven Termen zu Coriolis-Kraft, also

\[ \begin{align} N_\text{Ro} \coloneqq \frac{U^2}{LfU} = \frac{U}{Lf}.\tag{13.3}\label{eq:def_rossby_number} \end{align} \]

13.2 Spherical geopotential approximation

Horizontale Druckgradienten sind vier Größenordnungen kleiner als vertikale (s. Abschn. 13.7), deshalb ist es praktisch, eine Achse des Koordinatensystems an der Schwere auszurichten, sodass diese die horizontalen Bewegungsgleichungen nicht beeinfusst. Zunächst kann man hierfür einfach Kugelkoordinaten verwenden, die Orographie kann man dabei als Höhe der Erdoberfläche über der Kugel interpretieren. Die Erde ist jedoch eher ein Ellipsoid als eine Kugel. Ein erster Ansatz hierfür könnte sein, die eher ellipsoidische Form der Erde in die Orographie zu absorbieren und weiterhin Kugelkoordinaten zu verwenden. Für den Winkel $\varphi$, den das Ellipsoid mit einer Kugeloberfläche einschließt, gilt

\[ \begin{align} \tan\left(\varphi\right) \approx \frac{\newtilde{f}}{\pi/2}\approx 0,2\:\%. \end{align} \]

Nimmt man an, dass die Schwere senkrecht auf dem Ellipsoid steht, hat sie in Kugelkoordinaten eine Horizontalkomponente von der Größenordnung $10^{-2}$ m/s$^2$, dies ist eine Größenordnung größer als der horizontale Druckgradient. Die horizontale Dynamik mit einer derart großen Kraft zu überlagerm ist unvorteilhaft. Will man also die Exzentrizität des Schwerefeldes berücksichtigen, sollte man nicht-kugelförmige Koordinaten wählen.

Rechnet man diese Effekte jedoch betragsmäßig approximativ in $g_z$ hinein und verwendet eine sphärische Approximation des Schwerefeldes, spricht man von der spherical geopotential approximation (SGA). Dies bedeutet

\[ \begin{align} g_x &= 0,\\ g_y &= 0. \end{align} \]

Weiterhin definiert man

\[ \begin{align} g \coloneqq -g_z. \end{align} \]

Somit wird das Gleichungssystem Glg.en (8.104) - (8.105) unter der SGA zu

$\mathbf{g}$ muss als Gradientenfeld rotationsfrei sein,

\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{g} = \mathbf{0}. \end{align} \]

Nach Glg. (B.114) gilt

\[ \begin{align} \mathbf{0} &= \nabla\times\mathbf{g} = -\frac{g_y}{r}\mathbf{i} + \frac{g_x\tan\left(\varphi\right)}{r}\mathbf{k} + \frac{g_x}{r}\mathbf{j} + \mathbf{k}\left(-\frac{\partial g_x}{\partial y} + \frac{\partial g_y}{\partial x}\right) - \mathbf{j}\left(\frac{\partial g_z}{\partial x} - \frac{\partial g_x}{\partial r}\right) + \mathbf{i}\left(-\frac{\partial g_y}{\partial r} + \frac{\partial g_z}{\partial y}\right)\nonumber\\ & \stackrel{g_x = g_y = 0}{=} -\mathbf{j}\frac{\partial g_z}{\partial x} + \mathbf{i}\frac{\partial g_z}{\partial y}. \end{align} \]

Somit gilt in der SGA

\[ \begin{align} \frac{\partial g_z}{\partial x} = \frac{\partial g_z}{\partial y} = 0. \end{align} \]

$g$ kann also nur noch eine Funktion der Höhe sein,

Die SGA ist eine relativ schwache Approximation, welche das Gleichungssystem jedoch stark vereinfacht. Sie ist daher bei analytischen Betrachtungen fast immer angebracht. Für Modelle kann man sie aufgeben, s. Abschn. D.3.4.

13.3 Shallow atmosphere

Die sogenannte shallow-atmosphere-Approximation lautet [32, 17]

für die Funktionaldeterminante der geographischen Koordinaten, hierbei ist $a$ ein konstanter Wert für den Radius. Setzt man dies in Glg. (B.98) ein, erhält man

\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{v} &= \frac{1}{a^2\sin\left(\theta\right)}\Bigg[\mathbf{e}_r\left(\frac{\partial\left(a\sin\left(\theta\right)\newtilde{v}_\phi\right)}{\partial\theta} - \frac{\partial\left(a\newtilde{v}_\theta\right)}{\partial\phi}\right) + a\mathbf{e}_\theta\left(\frac{\partial\newtilde{v}_r}{\partial\phi} - \frac{\partial\left(a\sin\left(\theta\right)\newtilde{v}_\phi\right)}{\partial r}\right)\nonumber\\ & + a\sin\left(\theta\right)\mathbf{e}_\phi\left(\frac{\partial\left(a\newtilde{v}_\theta\right)}{\partial r} - \frac{\partial\newtilde{v}_r}{\partial\theta}\right)\Bigg]\nonumber\\ &= \frac{\newtilde{v}_\phi}{a\tan\left(\theta\right)}\mathbf{e}_r + \mathbf{e}_r\left(\frac{1}{a}\frac{\partial\newtilde{v}_\phi}{\partial\theta} - \frac{1}{a\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial\newtilde{v}_\theta}{\partial\phi}\right)\nonumber\\ & + \mathbf{e}_\theta\left(\frac{1}{a\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial\newtilde{v}_r}{\partial\phi} - \frac{\partial\newtilde{v}_\phi}{\partial r}\right) + \mathbf{e}_\phi\left(\frac{\partial \newtilde{v}_\theta}{\partial r} - \frac{1}{a}\frac{\partial\newtilde{v}_r}{\partial\theta}\right). \end{align} \]

Dies bedeutet, dass Glg. (B.115) in der shallow atmosphere die Form

\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{v} &= \left(\frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right)\mathbf{k} + \frac{u\tan\left(\varphi\right)}{a}\mathbf{k}.\tag{13.17}\label{eq:rot_shallow} \end{align} \]

annimmt. In der shallow atmosphere gilt für die aus der Erdrotation folgende Geschwindigkeit

\[ \begin{align} \mathbf{v}_i &= \boldsymbol{\Omega}\times\mathbf{r} = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \Omega \end{array}\right)\times a\left(\begin{array}{c} \cos\left(\varphi\right)\cos\left(\lambda\right)\\ \cos\left(\varphi\right)\sin\left(\lambda\right)\\ \sin\left(\varphi\right) \end{array}\right) = \Omega a\left(\begin{array}{c} -\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\lambda\right)\\ \cos\left(\varphi\right)\cos\left(\lambda\right)\\ 0 \end{array}\right) = \Omega a\cos\left(\varphi\right)\left(\begin{array}{c} -\sin\left(\lambda\right)\\ \cos\left(\lambda\right)\\ 0 \end{array}\right)\nonumber\\ &= \Omega a\cos\left(\phi\right)\mathbf{i}. \end{align} \]

Mit Glg. (13.17) erhält man

\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{v}_i &= \left(-\frac{\partial\left(\Omega a\cos\left(\phi\right)\right)}{\partial y} + \Omega a\cos\left(\phi\right)\frac{\tan\left(\phi\right)}{a}\right)\mathbf{k}\nonumber\\ &= \left(-\frac{\partial\left(\Omega \cos\left(\phi\right)\right)}{\partial\phi} + \Omega\sin\left(\phi\right)\right)\mathbf{k} = 2\Omega\sin\left(\phi\right)\mathbf{k} \end{align} \]

Daher impliziert die shallow-atmosphere-Approximation die sogenannte traditionelle Approximation

Glg. (13.17) impliziert mit Glg. (B.130), dass in der Impulsadvektion die Terme $\propto uw/r, vw/r, u^2/r, v^2/r$ vernachlässigt werden müssen.

Setzt man Glg. (13.15) in Glg. (B.90) ein, erhält man

\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{v} &= \frac{1}{a^2\sin\left(\theta\right)}\left(\frac{\partial\left(v^{(r)}a^2\sin\left(\theta\right)\right)}{\partial r} + \frac{\partial\left(v^{(\theta)}a^2\sin\left(\theta\right)\right)}{\partial\theta} + \frac{\partial\left(v^{(\phi)}a^2\sin\left(\theta\right)\right)}{\partial\phi}\right)\nonumber\\ &= \frac{\partial v^{(r)}}{\partial r} + \frac{\partial v^{(\theta)}}{\partial\theta} + \frac{\partial v^{(\phi)}}{\partial\phi} + \cot\left(\theta\right)v^{(\theta)}\nonumber\\ &= \frac{\partial\newtilde{v}^{(r)}}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial\newtilde{v}^{(\theta)}}{\partial\theta} + \frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial\newtilde{v}^{(\phi)}}{\partial\phi} + \frac{\cot\left(\theta\right)}{a}\newtilde{v}^{(\theta)}. \end{align} \]

Dies bedeutet, dass Glg. (B.112) in der shallow atmosphere die Form

\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{v} &= \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} - \frac{v\tan\left(\varphi\right)}{a} \end{align} \]

annimmt. Da bei der Berechnung von $\mathbf{g}$ die Dichte der Atmosphäre vernachlässigt wird, gilt mit der SGA

\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{g} = -\frac{dg}{dz} = 0, \end{align} \]

was impliziert, dass $g$ in der shallow atmosphere höhenunabhängig sein muss,

Die Implikationen von Glg. (13.15) lauten also zusammengefasst

1. in Differenzialoperatoren muss $\frac{1}{r}$ durch $\frac{1}{a}$ ersetzt werden,
2. die traditionelle Approximation $f' = 0$ muss gemacht werden,
3. alle metrischen Terme, die nicht $\tan\left(\varphi\right)$ enthalten, müssen vernachlässigt werden (in der Divergenz, Vorticity und Impulsadvektion),
4. die Schwere muss höhenunabhängig sein, $g \to g_0 =$ homogen.

Die Impulsgleichung der shallow atmosphere lautet somit

13.3.1 Modifizierter Coriolis-Parameter

Alle bisher gemachten Näherungen sind global anwendbar. Bei der in diesem Abschnitt gemachten Approximation ist dies nicht mehr der Fall. Man definiert den modifizierten Coriolis-Parameter $f^\star$ durch

\[ \begin{align} f^\star \coloneqq f\left(1 + \frac{u}{2a\omega\cos\left(\varphi\right)}\right)\tag{13.28}\label{eq:f_mod}. \end{align} \]

$f^\star$ ist dabei, anders als $f$, auch vom Geschwindigkeitsfeld abhängig und beschreibt nicht mehr nur die Coriolis-Kraft. Damit lassen sich die Glg.en (13.25) - (13.26) kürzer notieren als

\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + f^\star v + F_{R,x} \tag{13.29}\label{eq:x_momentum_simplified_shallow_mod},\\ \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + w\frac{\partial v}{\partial z} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} - f^\star u + F_{R,y} \tag{13.30}\label{eq:y_momentum_simplified_shallow_mod}. \end{align} \]

Für die meisten dynamischen Überlegungen kann man, zumindest bis in Breiten von 80 Grad, von $f^\star = f$ ausgehen. Dies wird in Abb. 13.1 veranschaulicht. Damit erhält man folgende vereinfachte horizontale Bewegungsgleichungen:

13.4 Pseudo-inkompressible Approximation

Die sogenannte pseudo-inkompressible Approximation wurde in [1] vorgestellt. Um sie zu begründen, betrachtet man zunächst die Gleichungen der shallow atmosphere in der in Abschn. 10.1.2 Form

\[ \begin{align} \md{u} &= -c^{(p)}\theta\frac{\partial\Pi}{\partial x} + fv,\\ \md{v} &= -c^{(p)}\theta\frac{\partial\Pi}{\partial y} - fu,\\ \md{w} &= -c^{(p)}\theta\frac{\partial\Pi}{\partial z} - g,\\ \md{\rho} &= -\rho\nabla\cdot\mathbf{v},\\ \md{\Pi} & \stackrel{\href{ch-08-erster-hauptsatz-in-der-atmosphäre.html#eq:exner-pressure_material_derivative}{\text{Glg. (9.79)}}}{=} -\frac{R_d\Pi}{c^{(V)}}\nabla\cdot\mathbf{v}.\tag{13.37}\label{eq:pseudo-inc_deriv_0} \end{align} \]

Modifiziert wird nun lediglich Glg. (13.37). Hierzu führt man einen Hintergrundzustand $\left(\newoverline{\Pi}\left(z\right), \newoverline{\theta}\left(z\right)\right)$ ein, Abweichungen hiervon werden wie üblich mit gestrichenen Größen bezeichnet. Damit lässt sich Glg. (13.37) unter der Annahme $\Pi' \ll \newoverline{\Pi}$ in der Form

\[ \begin{align} \md{\Pi'} + w\frac{d\newoverline{\Pi}}{dz} + \frac{R_d\newoverline{\Pi}}{c^{(V)}}\nabla\cdot\mathbf{v} &= 0\\ \Leftrightarrow \frac{c^{(V)}}{R_d\Pi}\md{\Pi'} + \frac{c^{(V)}}{R_d\newoverline{\Pi}}w\frac{d\newoverline{\Pi}}{dz} + \nabla\cdot\mathbf{v} &= 0\tag{13.39}\label{eq:pseudo-inc_deriv_1} \end{align} \]

notieren. Die pseudo-inkompressible Approximation beruht nun darauf, in Glg. (13.39) den Term $\frac{c^{(V)}}{R_d\Pi}\md{\Pi}$ zu vernachlässigen, also von

\[ \begin{align} \frac{c^{(V)}}{R_d\newoverline{\Pi}}w\frac{d\newoverline{\Pi}}{dz} + \nabla\cdot\mathbf{v} = 0\tag{13.40}\label{eq:pseudo-inc_deriv_2} \end{align} \]

auszugehen. Der Hintergrundzustand erfüllt die Zustandsgleichung in der Form Glg. (9.71):

\[ \begin{align} \newoverline{\Pi} &= \left(\frac{R_d\newoverline{\rho}\newoverline{\theta}}{p_0}\right)^{R_d/c^{(V)}} \end{align} \]

Hieraus folgt mittels der Kettenregel

\[ \begin{align} \frac{d\newoverline{\Pi}}{dz} = \newoverline{\Pi}\frac{R_d}{c^{(V)}\newoverline{\rho}\newoverline{\theta}}\frac{d\left(\newoverline{\rho}\newoverline{\theta}\right)}{dz}. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (13.40) ein, erhält man

\[ \begin{align} w\frac{d\left(\newoverline{\rho}\newoverline{\Pi}\right)}{dz} + \newoverline{\rho}\newoverline{\theta}\nabla\cdot\mathbf{v} = 0 \end{align} \]

Dies führt auf die kompakte Formulierung

der pseudo-inkompressiblen Approximation.

13.5 Anelastische Approximation

In der sogenannten anelastischen Approximation schreibt man die thermodynamischen Größen in der Form

\[ \begin{align} \rho\left(\varphi, \lambda, z, t\right) &= \rho_0\left(z\right) + \rho'\left(\varphi, \lambda, z, t\right),\tag{13.45}\label{eq:anelastic_deriv_0}\\ p\left(\varphi, \lambda, z, t\right) &= p_0\left(z\right) + p'\left(\varphi, \lambda, z, t\right),\tag{13.46}\label{eq:anelastic_deriv_1}\\ \theta\left(\varphi, \lambda, z, t\right) &= \theta_0 + \theta'\left(\varphi, \lambda, z, t\right).\tag{13.47}\label{eq:anelastic_deriv_2} \end{align} \]

Der Hintergrundzustand $\left(\rho_0, p_0, \theta_0\right)$ sei isentrop und hydrostatisch balanciert,

\[ \begin{align} \frac{dp_0}{dz} = -g\rho_0.\tag{13.48}\label{eq:anelastic_deriv_4} \end{align} \]

Die unapproximierten reversiblen Gleichungen lauten

\[ \begin{align} \rho\md{\mathbf{v}} &= -\nabla p - \rho\mathbf{f}\times\mathbf{v} + \rho\mathbf{g},\\ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) &= 0,\\ \md{\theta} &= 0.\tag{13.51}\label{eq:anelastic_deriv_5} \end{align} \]

Setzt man hier die Gleichungen (13.45) - (13.47) ein. erhält man

\[ \begin{align} \left(\rho_0 + \rho'\right)\md{\mathbf{v}} &= -\nabla\left(p_0 + p'\right) - \left(\rho_0 + \rho'\right)\mathbf{f}\times\mathbf{v} + \left(\rho_0 + \rho'\right)\mathbf{g},\\ \frac{\partial\rho'}{\partial t} + \nabla\cdot\left[\left(\rho_0 + \rho'\right)\mathbf{v}\right] &= 0,\\ \md{\theta'} &= 0. \end{align} \]

Das anelastische Gleichungssystem wird genau wie das inkompressible häufig verwendet, um atmosphärische tiefe Konvektion zu untersuchen.

13.5.1 Horizontale Impulsgleichung

Ersetzt man im Vorfaktor der Beschleunigung (inklusive der Coriolis-Beschleunigung) die Dichte durch ihren Mittelwert, erhält man

\[ \begin{align} \rho_0\md{\mathbf{v}} &= -\nabla\left(p_0 + p'\right) - \rho_0\mathbf{f}\times\mathbf{v} + \left(\rho_0 + \rho'\right)\mathbf{g}\nonumber\\ \Leftrightarrow \md{\mathbf{v}} &= -\frac{1}{\rho_0}\nabla\left(p_0 + p'\right) - \mathbf{f}\times\mathbf{v} + \frac{\rho_0 + \rho'}{\rho_0}\mathbf{g}\nonumber\\ \Leftrightarrow \md{\mathbf{v}} &= -\nabla\Phi - \mathbf{f}\times\mathbf{v} + \frac{\rho_0 + \rho'}{\rho_0}\mathbf{g}\tag{13.55}\label{eq:anelastic_deriv_3} \end{align} \]

mit

\[ \begin{align} \Phi \coloneqq \frac{p'}{\rho_0} \end{align} \]

Mit der shallow-atmosphere-Approximation erhält man die Komponenten der horizontalen Impulsgleichung in der Form

13.5.2 Vertikale Impulsgleichung

Projiziert man Glg. (13.55) auf $\mathbf{k}$, erhält man

\[ \begin{align} \md{w} &= -\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial\left(p_0 + p'\right)}{\partial z} - \frac{\rho_0 + \rho'}{\rho_0}g\nonumber\\ \Leftrightarrow \md{w} &= -\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p_0}{\partial z} - g - \frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial z} - \frac{\rho'}{\rho_0}g\nonumber\\ \Leftrightarrow \md{w} & \stackrel{\href{#eq:anelastic_deriv_4}{\text{Glg. (13.48)}}}{=} -\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial z} - \frac{\rho'}{\rho_0}g\nonumber\\ \Leftrightarrow \md{w} &= -\frac{\partial\Phi}{\partial z} - \frac{\Phi}{\rho_0}\frac{d\rho_0}{dz} - \frac{\rho'}{\rho_0}g\nonumber\\ \Leftrightarrow \md{w} &= -\frac{\partial\Phi}{\partial z} - \frac{p'}{\rho_0^2}\frac{d\rho_0}{dz} - \frac{\rho'}{\rho_0}g.\tag{13.59}\label{eq:anelastic_deriv_6} \end{align} \]

Für die Hintergrundtemepratur $T_0 = T_0\left(z\right)$ als Funktion der Höhe gilt

\[ \begin{align} T_0\left(z\right) = \theta_0\left(\frac{p_0}{p_\text{ref}}\right)^{R_d/c^{(p)}}. \end{align} \]

Für die Hintergrunddichte $\rho_0 = \rho_0\left(z\right)$ gilt mit der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase

\[ \begin{align} \rho_0\left(z\right) = \frac{p_0}{R_dT_0} = \frac{p_0}{R_d\theta_0}\left(\frac{p_\text{ref}}{p_0}\right)^{R_d/c^{(p)}}.\tag{13.61}\label{eq:anelastic_deriv_7} \end{align} \]

Hieraus folgt \[ \begin{align} \frac{d\rho_0}{dz} = \rho_0\frac{1 - \frac{R_d}{c^{(p)}}}{p_0}\frac{dp_0}{dz} = -\rho_0\frac{1 - \frac{R_d}{c^{(p)}}}{p_0}g\rho_0 = -\frac{c^{(p)} - c^{(p)} + c^{(V)}}{c^{(p)}p_0}g\rho_0^2 = -\frac{c^{(V)}}{c^{(p)}p_0}g\rho_0^2 = -\frac{g\rho_0^2}{\kappa p_0}. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (13.59) ein, erhält man

\[ \begin{align} \md{w} &= -\frac{\partial\Phi}{\partial z} + \frac{gp'}{\kappa p_0} - \frac{\rho'}{\rho_0}g = -\frac{\partial\Phi}{\partial z} + g\left(\frac{p'}{\kappa p_0} - \frac{\rho'}{\rho_0}\right). \end{align} \]

Aus Glg. (13.61) folgt

\[ \begin{align} \theta\left(\rho, p\right) = \frac{p}{R_d\rho}\left(\frac{p_\text{ref}}{p}\right)^{R_d/c^{(p)}}. \end{align} \]

Entwickelt man dies in erster Ordnung um $\left(\rho_0, p_0\right)$, erhält man

\[ \begin{align} \theta \approx \theta_0\left(1 - \frac{\rho'}{\rho_0} + \frac{p'}{\kappa p_0}\right) \Rightarrow \theta' \approx \theta_0\left(-\frac{\rho'}{\rho_0} + \frac{p'}{\kappa p_0}\right). \end{align} \]

Somit gilt unter Vernachlässigung des Ungefähr-Zeichens

\[ \begin{align} g\left(\frac{p'}{\kappa p_0} - \frac{\rho'}{\rho_0}\right) = g\frac{\theta'}{\theta_0}. \end{align} \]

Definiert man die Buoyancy $b$ durch

\[ \begin{align} b \coloneqq g\frac{\theta'}{\theta_0}, \end{align} \]

so lautet die vertikale Impulsgleichung der anelastischen Approximation

13.5.3 Temperaturgleichung

Die Buoyancy $b$ ist nur eine Funktion der potentiellen Temperatur $\theta$, somit folgt aus Glg. (13.51)

13.5.4 Kontinuitätsgleichung

Setzt man Glg. (13.45) in die Kontinuitätsgleichung ein, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial \rho'}{\partial t} + \nabla\cdot\left[\left(\rho_0 + \rho'\right)\mathbf{v}\right] = 0. \end{align} \]

Vernachlässigt man hier die Schwankung $\rho'$, erhält man

13.5.5 Zusammenstellung

Das anelastische Gleichungssystem lautet zusammenfassend

13.6 Boussinesq-Approximation

In [2] wurde die sogenannte Boussinesq-Approximation für ein ideales Gas hergeleitet. Sie wird jedoch heutzutage vorwiegend auf den Ozean angemeldet, daher wird die Herleitung in [2] hier für ein allgemeines Fluid verallgemeinert.

Sei $\psi$ eine der thermodynamischen Zustandsgrößen. Notiere für diese

\[ \begin{align} \psi = \psi\left(\varphi, \lambda, z\right) = \psi_m + \psi_0\left(z\right) + \psi'\left(\varphi, \lambda, z\right),\tag{13.77}\label{eq:boussinesq_deriv_5} \end{align} \]

hierbei ist $\psi_m$ der Mittelwert von $\psi$, $\psi_0$ die hydrostatische Schichtung unter Abwesenheit von Bewegung und Beschleunigungen und $\psi'$ die Variation, die durch Bewegung entsteht. Definiere die zu $\psi$ gehörende Skalenhöhe $D_\psi$ durch

\[ \begin{align} D_\psi \coloneqq \left|\frac{1}{\psi_m}\frac{d\psi_0}{dz}\right|^{-1}. \end{align} \]

Das Fluid habe die Dicke $h$. Der erste Teil der sogenannten Boussinesq-Approximation

wobei $\left(D_\psi\right)_\text{min}$ die minimale Skalenhöhe aller thermodynamischen Zustandsgrößen bezeichnet. Dies impliziert

\[ \begin{align} \left|\frac{\psi_0}{\psi_m}\right| \ll 1\tag{13.80}\label{eq:boussinesq_deriv_0} \end{align} \]

für alle thermodynamischen Variablen. Der zweite Teil der Boussinesq-Approximation lautet

Die Boussinesq-Approximation ist im Ozean gerechtfertigt, in der Atmosphäre jedoch nur für flache Systeme.

Man geht an dieser Stelle von einem homogenen System aus. In diesem Fall kann man die thermische Zustandsgleichung in der Form

\[ \begin{align} \rho = \rho\left(p, T\right) \end{align} \]

notieren. Dies kann man in eine Taylor-Reihe um den Entwicklungspunkt $\left(p, T\right)^T = \left(p_m, T_m\right)^T$ entwickeln:Definiert man $\rho_m, p_m, T_m$ als Mittel der jeweiligen Größen, gilt aufgrund der Nichtlinearität der Zustandsgleichung im Allgemeinen $\rho_m \not= \rho\left(p_m, T_m\right)$. Daher ist es sinnvoll, $\rho_m \coloneqq \rho\left(p_m, T_m\right)$ zu definieren.

\[ \begin{align} \rho\left(p, T\right) &= \rho_m\big[1 - a_m\left(T - T_m\right) + K_m\left(p - p_m\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\rho}{\partial T^2}\right)_m\left(T - T_m\right)^2\nonumber\\ & + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\rho}{\partial p^2}\right)_m\left(p - p_m\right)^2 + \left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\rho}{\partial T\partial p}\right)_m\left(T - T_m\right)\left(p - p_m\right)\nonumber\\ & + O\left[\left(T - T_m\right)^3, \left(p - p_m\right)^3\right]\big]\tag{13.83}\label{eq:taylor_eos_boussinesq} \end{align} \]

Dabei wurden die Definitionen

\[ \begin{align} a_m &\coloneqq -\left[\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial\rho}{\partial T}\right)_p\right]_m\text{(thermischer Expansionskoeffizient)},\\ K_m &\coloneqq \left[\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial\rho}{\partial p}\right)_T\right]_m\text{(Kompressibilität)} \end{align} \]

eingesetzt. Für ideale Gase gilt mit $\rho = \frac{p}{R_sT}$

\[ \begin{align} a_m &= -\left[\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial\rho}{\partial T}\right)_p\right]_m = \frac{p_m}{R_s\rho T_m^2} = \frac{\rho_mR_sT_m}{R_s\rho_mT_m^2} = \frac{1}{T_m},\tag{13.86}\label{eq:therm_exp_id}\\ K_m &= \left[\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial\rho}{\partial p}\right)_T\right]_m = \frac{1}{\rho_m}\frac{1}{R_sT_m} = \frac{1}{p_m}.\tag{13.87}\label{eq:compress_id} \end{align} \]

Für Fluide kann man

\[ \begin{align} a_m \ll -\frac{1}{\rho_m}\frac{-\rho_m}{T_m} = \frac{1}{T_m}, & {} & K_m \ll \frac{1}{\rho_m}\frac{\rho_m}{p_m} = \frac{1}{p_m}\tag{13.88}\label{eq:boussinesq_deriv_3} \end{align} \]

abschätzen. Setzt man dies in Glg. (13.83) auch für die zweiten Ableitungen ein, erhält man unter Vernachlässigung der Terme dritter und höherer Ordnung

\[ \begin{align} \frac{\rho - \rho_m}{\rho_m} \ll -\frac{T - T_m}{T_m} + \frac{p - p_m}{p_m} \pm \frac{\left(T - T_m\right)^2}{T_m^2} \pm \frac{\left(p - p_m\right)^2}{p_m^2}. \end{align} \]

Aufgrund von Glg.en (13.80) und (13.81) kann man die rechte Seite durch

\[ \begin{align} -\frac{T - T_m}{T_m} + \frac{p - p_m}{p_m} \pm \frac{\left(T - T_m\right)^2}{T_m^2} \pm \frac{\left(p - p_m\right)^2}{p_m^2} \approx -\frac{T - T_m}{T_m} + \frac{p - p_m}{p_m} \end{align} \]

nähern. Es gilt also unter Vernachlässigung des Ungefähr-Zeichens (in erster Ordnung in den Störungen $\psi - \psi_m$ der thermodynamischen Variablen $\psi$)

\[ \begin{align} \frac{\rho - \rho_m}{\rho_m} = -a_m\left(T - T_m\right) + K_m\left(p - p_m\right).\tag{13.91}\label{eq:boussinesq_deriv_6} \end{align} \]

Dies impliziert

\[ \begin{align} \rho_0 &= \rho_m\left(-a_mT_0 + K_mp_0\right),\\ \rho' &= \rho_m\left(-a_mT' + K_mp'\right).\tag{13.93}\label{eq:boussinesq_deriv_2} \end{align} \]

13.6.1 Impulsgleichung

Die hydrostatische Grundgleichung (13.122) lautet

\[ \begin{align} \frac{dp_0}{dz} = -g\rho_m - g\rho_0.\tag{13.94}\label{eq:boussinesq_hydrostat} \end{align} \]

Setzt man dies in die Impulsgleichung ein, erhält man

\[ \begin{align} \rho\left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} &= -\nabla p' - \frac{dp_0}{dz}\mathbf{k} - g\rho\mathbf{k} - \rho\mathbf{f}\times\mathbf{v} + \rho\mathbf{f}_R\nonumber\\ &= -\nabla p' - \frac{dp_0}{dz}\mathbf{k} - g\rho_m\mathbf{k} - g\rho_0\mathbf{k} - g\rho'\mathbf{k} - \rho\mathbf{f}\times\mathbf{v} + \rho\mathbf{f}_R\nonumber\\ &= -\nabla p' - g\rho'\mathbf{k} - \rho\mathbf{f}\times\mathbf{v} + \rho\mathbf{f}_R. \end{align} \]

Dividiert man dies durch $\rho_m$, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\rho}{\rho_m}\left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} &= -\frac{1}{\rho_m}\nabla p' - g\frac{\rho'}{\rho_m}\mathbf{k} - \frac{\rho}{\rho_m}\mathbf{f}\times\mathbf{v} + \frac{\rho}{\rho_m}\mathbf{f}_R. \end{align} \]

Aufgrund von Glg. (13.80) kann man

\[ \begin{align} \frac{\rho}{\rho_m} \approx 1\tag{13.97}\label{eq:boussinesq_deriv_1} \end{align} \]

nähern. Dies führt auf

Die Kontinuitätsgleichung lautet

\[ \begin{align} \left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\right)\rho = -\rho\nabla\cdot\mathbf{v}. \end{align} \]

Dividiert man dies durch $\rho_m$, erhält man

\[ \begin{align} \left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\right)\frac{\rho - \rho_m}{\rho_m} = -\frac{\rho}{\rho_m}\nabla\cdot\mathbf{v}. \end{align} \]

Setzt man hier Glg. (13.80) ein, erhält man

Unter der Boussinesq-Approximation vereinfacht sich die Kontinuitätsgleichung also auf ihre inkompressible Form.

Man kann die Impulsgleichung Glg. (13.98) noch etwas vereinfachen. Die vertikale Komponente dieser Gleichung lautet

\[ \begin{align} \left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\right)w &= -\frac{1}{\rho_m}\frac{\partial p'}{\partial z} - g\frac{\rho'}{\rho_m} - \left(\mathbf{f}\times\mathbf{v}\right)\cdot\mathbf{k} + \mathbf{f}_R\cdot\mathbf{k}. \end{align} \]

Für Druckgradient und Schwere erhält man mit Glg. (13.93)

\[ \begin{align} -\frac{1}{\rho_m}\frac{\partial p'}{\partial z} - g\frac{\rho'}{\rho_m} &= -\frac{1}{\rho_m}\frac{\partial p'}{\partial z} - g\left(-a_mT' + K_mp'\right) = -\frac{1}{\rho_m}\frac{\partial p' }{\partial z} - gK_mp' + ga_mT'\nonumber\\ &= -\frac{1}{\rho_m}\left(\frac{\partial p' }{\partial z} + g\rho_mK_mp'\right) + ga_mT' = -\frac{1}{\rho_m}\left(\frac{\partial p' }{\partial z} + \frac{p'}{H}\right) + ga_mT'\tag{13.103}\label{eq:boussinesq_deriv_4} \end{align} \]

mit

\[ \begin{align} H \coloneqq \frac{1}{g\rho_mK_m}. \end{align} \]

Mit Glg. (13.88) kann man

\[ \begin{align} H = \frac{1}{g\rho_m}\frac{1}{K_m} \gg \frac{1}{g\rho_m}p_m =: H' \end{align} \]

abschätzen. $H'$ ist die Dicke eines Fluides der homogenen Dichte $\rho_m$, welches hydrostatisch im Schwerefeld $g$ ruht und in dem der Druck linear von oben nach unten von Null auf $p_m$ zunimmt. Man kann

\[ \begin{align} H' \sim \frac{h}{2} \end{align} \]

abschätzen, also gilt auch

\[ \begin{align} H \gg h. \end{align} \]

Dies bedeutet, dass man in Glg. (13.103)

\[ \begin{align} \frac{\partial p' }{\partial z} + \frac{p'}{H} \approx \frac{\partial p'}{\partial z} \end{align} \]

nähern kann. Dies führt auf eine vereinfachte Form von Glg. (13.98):

Im idealen Gas mit Glg. (13.86)

\[ \begin{align} \left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} &= -\frac{1}{\rho_m}\nabla p' + g\frac{T'}{T_m}\mathbf{k} - \mathbf{f}\times\mathbf{v} + \mathbf{f}_R. \end{align} \]

13.6.2 Temperaturgleichung

Multipliziert man Glg. (9.10) mit der Dichte $\rho$, erhält man

\[ \begin{align} \rho c^{(V)}\md{T} - \frac{p}{\rho}\md{\rho} = q^{(V)},\tag{13.111}\label{eq:boussineq_t_deriv_0} \end{align} \]

wobei $q^{(V)}$ die Wärmeleistungsdichte ist. Aufgrund von Glg. (13.77) gilt

\[ \begin{align} \md{T} = \frac{\partial T}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla T = \frac{\partial T'}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla T. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (13.111) ein, erhält man

\[ \begin{align} \rho_mc^{(V)}\left(\frac{\partial T'}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla T\right) - \frac{p}{\rho}\md{\rho} = q^{(V)},\tag{13.113}\label{eq:boussinesq_deriv_7} \end{align} \]

wobei im Vorfaktor der Temperaturtendenz die Dichte $\rho$ durch die mittlere Dichte $\rho_m$ ersetzt wurde. Den Kompressionsterm kann man in erster Ordnung in den Abweichungen von den gemittelten Größen zu

\[ \begin{align} -\frac{p}{\rho}\md{\rho} \approx -\frac{p_m}{\rho_m}\md{\rho} = -\frac{p_m}{\rho_m}\left(\frac{\partial\rho}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\rho\right) \end{align} \]

vereinfachen. Mit Glg. (13.91) folgt unter Vernachlässigung des Ungefähr-Zeichens

\[ \begin{align} -\frac{p}{\rho}\md{\rho} \approx -\frac{p_m}{\rho_m}\left(\frac{\partial\rho}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\rho\right) = -p_m\left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left[-a_m\left(T - T_m\right) + K_m\left(p - p_m\right)\right]. \end{align} \]

Um hier die Zeitabhängigkeit des Drucks zu eliminieren, nähert man weiter

\[ \begin{align} -\frac{p}{\rho}\md{\rho} & \approx -p_m\left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left[-a_m\left(T - T_m\right) + K_m\left(p - p_m\right)\right]\nonumber\\ &= -p_m\left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left[-a_m\left(T_0 + T'\right) + K_mp_0\right]\nonumber\\ &= p_m\left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\right)a_mT' + p_mwa_m\frac{dT_0}{dz} - p_mK_mw\frac{dp_0}{dz}. \end{align} \]

Laut Glg. (13.94) gilt in erster Ordnung in der Abweichung von der mittleren Dichte

\[ \begin{align} \frac{dp_0}{dz} \approx -g\rho_m. \end{align} \]

Somit gilt unter Vernachlässigung des Ungefähr-Zeichens

\[ \begin{align} -\frac{p}{\rho}\md{\rho} &= p_m\left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\right)a_mT' + p_mwa_m\frac{dT_0}{dz} - p_mK_mw\frac{dp_0}{dz}\nonumber\\ &= p_m\left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\right)a_mT' + p_mwa_m\frac{dT_0}{dz} + p_mK_mwg\rho_m. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (13.113) ein, erhält man

\[ \begin{align} & \rho_mc^{(V)}\left(\frac{\partial T'}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla T\right) - \frac{p}{\rho}\md{\rho} = q^{(V)}\nonumber\\ & \rho_mc^{(V)}\left(\frac{\partial T'}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla T\right) + p_m\left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\right)a_mT' + p_mwa_m\frac{dT_0}{dz} + p_mK_mwg\rho_m = q^{(V)}\nonumber\\ & \left(\rho_mc^{(V)} + p_ma_m\right)\left(\frac{\partial T'}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla T'\right) + w\left(p_ma_m + \rho_mc^{(V)}\right)\frac{dT_0}{dz} + p_mK_mwg\rho_m = q^{(V)} \end{align} \]

Dies ist die Temperaturgleichung der Boussinesq-Approximation:

Fürs ideale Gas gilt mit den Glg.en (13.86) - (13.87)

\[ \begin{align} \left(c^{(V)} + R_s\right)\left(\frac{\partial T'}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla T'\right) + w\left[\left(R_s + c^{(V)}\right)\frac{dT_0}{dz} + g\right] &= \frac{q^{(V)}}{\rho_m}\nonumber\\ \Leftrightarrow c^{(p)}\left(\frac{\partial T'}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla T'\right) + wc^{(p)}\left(\frac{dT_0}{dz} + g\right) &= \frac{q^{(V)}}{\rho_m}\nonumber\\ \Leftrightarrow\left(\frac{\partial T'}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla T'\right) + w\left(\frac{dT_0}{dz} + \frac{g}{c^{(p)}}\right) &= \frac{q^{(V)}}{c^{(p)}\rho_m}. \end{align} \]

Die pseudo-inkompressible, anelastische und Boussinesq-Approximationen werden unter dem Begriff soundproof zusammengefasst, da sie Schallwellen filtern.

13.7 Hydrostatik

Druckgradient und Schwere sind von der Größenordnung $10$ m/s$^2$, während die Vertikalbeschleunigung in der Größenordnung $10^{-7}$ m/$s^2$ liegt. Die Gleichung

gilt also auf der synoptischen Skala in ausgezeichneter Näherung, dies ist die hydrostatische Grundgleichung.

Eine andere Formulierung dieser Gleichung ist $\md{w} = 0$. Die Teilchen haben also eine konstante Vertikalgeschwindigkeit. Diese muss Null sein, da es sonst zum Regelfall wird, dass ein Teilchen im Erdboden oder Weltall verschwindet. Es gilt also die Implikation

\[ \begin{align} \frac{\mathbf{g}}{g}\cdot\nabla p = \rho\mathbf{g} \Rightarrow w = 0. \end{align} \]

Trotzdem ist es sinnvoll, auch in hydrostatischen Gleichungssystemen eine Vertikalgeschwindigkeit zuzulassen. Dies ist zwar physikalisch widersprüchlich, jedoch nicht mathematisch, da das Gleichungssystem nichts von obiger Folgerung wissen kann. Die Vertikalbewegungen eines solchen Systems entstehen aus der Kontinuitätsgleichung.

Die hydrostatische Grundgleichung ermöglicht, den Druck p nicht als abhängige, sondern als unabhängige Koordinate (Vertikalkoordinate) zu verwenden. Transformiert man also von $p\left(\Phi\right)$ auf $\Phi\left(p\right)$, so lautet die hydrostatische Grundgleichung

mit $\alpha \coloneqq \frac{1}{\rho}$ als dem spezifischen Volumen. Mit der Zustandsgleichung folgt $\alpha = \frac{R_dT}{p}$ in einer trockenen Atmosphäre. Deshalb bezeichnet man $\frac{\partial\Phi}{\partial p}$ häufig auch einfach als „ Temperatur“. Man sieht, dass die Schichtdicke proportional zur Temperatur der Schicht ist. Das dreidimensionale Geopotentialfeld ist also Ausdruck des Bodendrucks und der Temperatur der Luftmassen.

13.7.1 Kontinuitätsgleichung

Die Kontinuitätsgleichung lautet allgemein

\[ \begin{align} \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) = 0. \end{align} \]

Setzt man die hydrostatische Grundgleichung $\rho = -\frac{1}{g}\frac{\partial p}{\partial z}$ ein, so folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial^2p}{\partial z\partial t} + \nabla\cdot\left(\frac{\partial p}{\partial z}\mathbf{v}\right) &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{\partial^2p}{\partial z\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\left(\frac{\partial p}{\partial z}\right) + \frac{\partial p}{\partial z}\nabla\cdot\mathbf{v} &= \frac{\partial^2p}{\partial z\partial t} + \frac{\partial}{\partial z}\left(\mathbf{v}\cdot\nabla p\right) - \nabla p\cdot\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial z} + \frac{\partial p}{\partial z}\nabla\cdot\mathbf{v}\nonumber\\ = \frac{\partial\omega}{\partial z} - \nabla_hp\cdot\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial z} + \frac{\partial p}{\partial z}\nabla\cdot\mathbf{v}_h &= 0. \end{align} \]

Hierbei wurde ein kleiner Transformationsterm vernachlässigt, s. Glg. (B.112). Nach der Kettenregel ist $\frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial p}{\partial z}\frac{\partial }{\partial p}$. Damit folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial\omega}{\partial p} + \nabla\cdot\mathbf{v}_h - \nabla_hp\cdot\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial p} = 0. \end{align} \]

Verwendet man Glg. (12.7), erhält man

\[ \begin{align} \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_z &= \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_p + \frac{\partial u}{\partial p}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_z\Leftrightarrow\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_z - \frac{\partial u}{\partial p}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_z = \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_p \end{align} \]

und analog für $v$. Nicht näher bezeichnete partielle Ableitungen sind bisher Ableitungen im z-System. Nun werden Ableitungen im p-System verwendet:

Im p-System reduziert sich die Kontinuitätsgleichung also auf eine rein diagnostische Gleichung, die formal der Kontinuitätsgleichung für ein inkompressibles Fluid im z-System entspricht. Skaliert man diese Gleichung mit den Werten aus Tab. 1.2, folgt in SI-Einheiten

• $\nabla\cdot\mathbf{v}_h\sim10^{-5}$
• $\frac{\partial\omega}{\partial p}\sim10^{-6}$.

Die Divergenz des Horizontalwindes ist also in Wirklichkeit eine Größenordnung kleiner als die synoptisch-skalige Vorticity.

13.7.2 Horizontale Impulsgleichung

Will man die Bewegungsgleichungen für Flachgeofluide Glg.en (13.31) - (13.32) transformieren, so müssen auf der linken Seite nur die totalen Ableitungen im p-System notiert werden. Der Druckgradient macht etwas mehr Arbeit. Mit Glg. (12.7) sowie der hydrostatischen Approximation folgt

\[ \begin{align} \left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_p = 0 = \left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_z + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_p\frac{\partial p}{\partial z} = \left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_z - g\rho\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_p. \end{align} \]

Es gilt also

\[ \begin{align} \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_z = g\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_p = \left(\frac{\partial\Phi}{\partial x}\right)_p \end{align} \]

und analog in y-Richtung. Damit werden die horizontalen Impulsgleichungen im p-System zu

13.7.3 Temperaturgleichung

Leitet man die Zustandsgleichung $p\alpha = R_dT$ zeitlich ab, folgt

\[ \begin{align} \md{\left(p\alpha\right)} &= \md{\left(R_dT\right)}\nonumber\\ \Rightarrow\omega\alpha + p\md{\alpha} &= R_d\md{T}. \end{align} \]

Aus Glg. (9.11) folgt unter Vernachlässigung der Massenquelldichte

\[ \begin{align} p\md{\alpha} = -c^{(V)}\md{T} + \alpha q_T^{(V)}. \end{align} \]

Somit erhält man

\[ \begin{align} \omega\alpha - c^{(V)}\md{T} + \alpha q_T^{(V)} = R_d\md{T}\Leftrightarrow - \omega\alpha + \left(R_d + c^{(V)}\right)\md{T} &= c^{(p)}\md{T} - \alpha\omega = \alpha q_T^{(V)}\nonumber\\ \md{_hT} - \omega\left(\frac{\alpha}{c^{(p)}} - \frac{\partial T}{\partial p}\right) &= \frac{\alpha}{c^{(p)}}q_T^{(V)}. \end{align} \]

Mit der Zustandsgleichung folgt

dies definiert den Stabilitätsparameter $S_p$. Man erhält

Dies soll nun als Gleichung für die Evolution von $\Phi = \Phi\left(\phi, \lambda, p, t\right)$ umgeschrieben werden. Aus Glg. (13.124) folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial\Phi}{\partial p} = -\frac{R_dT}{p}\Rightarrow T = -\frac{p}{R_d}\frac{\partial\Phi}{\partial p}. \end{align} \]

Dies setzt man nun in Glg. (13.138) ein, daraus folgt

\[ \begin{align} \md{_h}\left(-\frac{p}{R_d}\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right) - S_p\omega &= \frac{\alpha}{c^{(p)}}q_T^{(V)}\nonumber\\ \Rightarrow\md{_h}\left(\frac{p}{R_d}\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right) + S_p\omega &= -\frac{\alpha}{c^{(p)}}q_T^{(V)}\nonumber\\ \Rightarrow\md{_h}\left(\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right) + \frac{R_dS_p}{p}\omega &= -\frac{R_d\alpha}{pc^{(p)}}q_T^{(V)}\nonumber\\ \Rightarrow\left(\frac{\partial}{\partial t} + u\frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y}\right)\left(\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right) + \frac{R_dS_p}{p}\omega &= -\frac{R_d\alpha}{pc^{(p)}}q_T^{(V)}. \end{align} \]

Der Stabilitätsparameter $S_p$ hängt mit dem vertikalen Gradienten der potentiellen Temperatur zusammen:

\[ \begin{align} S_p = \frac{R_dT}{c^{(p)}p} - \frac{\partial T}{\partial p} = -\frac{T}{\theta}\left(\frac{\partial T}{\partial p} - T\frac{1}{p}\frac{R_d}{c^{(p)}}\right)\left(\frac{p_0}{p}\right)^{\frac{R_d}{c^{(p)}}} = -\frac{T}{\theta}\frac{\partial}{\partial p}\left[T\left(\frac{p_0}{p}\right)^{\frac{R_d}{c^{(p)}}}\right] = -\frac{T}{\theta}\frac{\partial\theta}{\partial p}\tag{13.141}\label{eq:stabilitaetspara_vereinfacht} \end{align} \]

Man definiert nun den statischen Stabilitätsparameter $\sigma$ durch

\[ \begin{align} \sigma \coloneqq\frac{R_dS_p}{p}\stackrel{\text{Glg. }\href{#eq:stabilitaetspara_vereinfacht}{(13.141)}}{=} - \frac{R_d}{p}\frac{T}{\theta}\frac{\partial\theta}{\partial p} = -\frac{\alpha}{\theta}\frac{\partial\theta}{\partial p}. \end{align} \]

Dies hängt nach Glg. (13.122) über

\[ \begin{align} \sigma = -\frac{\alpha}{\theta}\frac{\partial z}{\partial p}\frac{\partial\theta}{\partial z} = \frac{\alpha^2}{g\theta}\frac{\partial\theta}{\partial z} = \frac{\alpha^2}{g^2}\frac{g}{\theta}\frac{\partial\theta}{\partial z} = \left(\frac{\alpha}{g}N\right)^2 \end{align} \]

mit der Brunt-Väisälä-Frequenz $N$ zusammen. Man erhält

13.7.4 Zusammenfassung

Der Zustand einer trockenen hydrostatischen Atmosphäre wird durch die Felder $\left(u, v, \Phi\right)^T$ festgelegt, dabei sind alle Felder von $\left(\phi, \lambda, p, t\right)^T$ abhängig. Die herrschenden Gleichungen lauten zusammenfassend

Wie man sieht, ist $\omega$ eine diagnostische Größe. $\alpha$ kann aus $\Phi$ mittels Glg. (13.124) bestimmt werden, anschließend kann auch die Temperatur über $T = \frac{p\alpha}{R_d}$ diagnostisch berechnet werden.

13.7.5 Hydrostatischer Hintergrundzustand

Auch wenn man die hydrostatische Annahme nicht macht, kann man einen Grundzustand $\{\newoverline{\alpha}, \newoverline{p}\}$ einführen mit $\alpha \coloneqq \frac{1}{\rho}$ als spezifischem Volumen, der Glg. (13.122) erfüllt, und die tatsächlichen Größen $\{\alpha, p\}$ als Übelagerung des Grundzustandes mit Abweichungen $\{\alpha', p'\}$ zu notieren, also

\[ \begin{align} \alpha &= \newoverline{\alpha} + \alpha',\\ p &= \newoverline{p} + p'. \end{align} \]

Dann gilt

\[ \begin{align} -\alpha\nabla p + \mathbf{g} = -\alpha'\nabla\newoverline{p} - \newoverline{\alpha}\nabla p' - \alpha'\nabla p' = -\alpha'\nabla p - \newoverline{\alpha}\nabla p' = -\alpha\nabla p' - \alpha'\nabla\newoverline{p}.\tag{13.151}\label{eq:background_state_prop_0} \end{align} \]

Das Schwerefeld der Erde hat eine komplizierte Form, der man sich in verschiedenen Stufen annähert. Zunächst geht man davon aus, dass das Schwerefeld radialsymmetrisch ist mit homogenem Betrag des Schwerevektors. Verwendet man anstatt der geometrischen Höhe $z$ die geopotentielle Höhe $\Phi = gz$ (dies ist die Energie pro Masse, die nötig ist, um ein Teilchen vom Meeresspiegel auf die Höhe $z$ zu bringen), lautet die hydrostatische Grundgleichung mit der Kettenregel

\[ \begin{align} \frac{\partial p}{\partial\Phi} = \frac{\partial p}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial\Phi} = -\rho. \end{align} \]

Die SI-Einheit des Geopotentials ist m$^2$/s$^2$. Ein Geopotentialmeter gpm ist definiert durch

\[ \begin{align} 1\:\text{gpm} \coloneqq 9,8\:\text{m}^2/\text{s}^2, \end{align} \]

sodass

\[ \begin{align} \frac{z}{\text{m}} = \frac{\phi/g}{\text{m}} \approx \frac{\phi}{\text{gpm}} \end{align} \]

gilt. Möchte man die Höhenabhängigkeit der Schwerebeschleunigung berücksichtigen, so verwendet man hierfür als Formel für das Gravitationspotential zunächst

\[ \begin{align} \Phi_g\left(r\right) = -\frac{\Phi_0a}{r} + \Phi_0 \end{align} \]

mit $\Phi_0 \coloneqq GM/a$ mit $G$ als Newton'scher Gravitationskonstante und $M$ als Erdmasse. Dies ist die Formel für das Schwerefeld eines Planeten mit radialsymmatrischer Massenverteilung, sie ergibt sich aus der Formel für eine Punktmasse mit dem Gauß'schen Satz. Bei $r = a$ ist das Potential zu Null normiert. Hieraus folgt

\[ \begin{align} g = \frac{\Phi_0a}{r^2} = g_0\frac{a^2}{r^2} \end{align} \]

mit $g_0 \coloneqq \frac{\Phi_0}{a}$. In dieser Approximation fordert man für die generalisierte Vertikalkoordinate geopotentielle Höhe $z_g$, dass gilt

\[ \begin{align} g_0z_g\hastobe\Phi_g\left(a + z\right) = -\frac{\Phi_0a}{a + z} + \Phi_0 \Rightarrow z_g = -\frac{a^2}{a + z} + a = \frac{-a^2 + a^2 + za}{a + z} = \frac{z}{1 + \frac{z}{a}}. \end{align} \]

Hieraus folgt weiterhin

\[ \begin{align} \frac{\partial p}{\partial z} &= \frac{z_g}{z}\frac{\partial p}{\partial z_g} = \left(\frac{1}{1 + \frac{z}{a}} - \frac{z}{a}\frac{1}{\left(1 + \frac{z}{a}\right)^2}\right)\frac{\partial p}{\partial z_g} = \frac{1}{\left(1 + \frac{z}{a}\right)^2}\frac{\partial p}{\partial z_g} = \frac{a^2}{r^2}\frac{\partial p}{\partial z_g} = -g\rho = -g_0\frac{a^2}{r^2}\rho\nonumber\\ \Rightarrow \frac{\partial p}{\partial z_g} &= -g_0\rho. \end{align} \]

13.8 Barotropie

Von Barotropie spricht man, wenn die Konturflächen des Druckfeldes und des Dichtefeldes gleich sind. In einer trockenen Atmosphäre ist dies gleichbedeutend mit der Tatsache, dass die Temperaturflächen und die Druckflächen gleich sind. In der Realität ist der Baroklinitätswinkel, der den Winkel zwischen $\nabla\rho$ und $\nabla p$ beschreibt, klein. Jedoch ist die vorhandene Baroklinität sehr wichtig für die atmosphärische Dynamik und Barotropie hat weitreichende einschränkende Implikationen.

Leitet man die x-Komponente von Glg. (13.132) unter Annahme von Barotropie nach $p$ ab, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial p}\md{u} = -\frac{\partial }{\partial p}\frac{\partial\Phi}{\partial x} + f\frac{\partial v}{\partial p} = -\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial\Phi}{\partial p} + f\frac{\partial v}{\partial p} = f\frac{\partial v}{\partial p}. \end{align} \]

Es gilt außerdem

\[ \begin{align} \frac{\partial }{\partial p}\md{u} = \frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + \omega\frac{\partial u}{\partial p}\right), \end{align} \]

hieraus folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial u}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial u}{\partial t} = f\frac{\partial v}{\partial p} - \frac{\partial}{\partial p}\left(u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + \omega\frac{\partial u}{\partial p}\right). \end{align} \]

An dieser Gleichung sieht man, dass, falls die vertikale Scherung global für einen Zeitpunkt verschwindet, dies für alle Zeitpunkte so ist. Verschwindet die vertikale Scherung, sind auch die Horizontaldivergenz und damit nach Glg. (13.129) $\frac{\partial\omega}{\partial p}$ höhenkonstant. Das Feld der Vertikalgeschwindigkeit im p-System $\omega = \omega\left( p\right)$ ist also in diesem Fall eine Gerade und eine diagnostische Größe.

13.8.1 Flachwassergleichungen

Das einfachste Gleichungssystem der Geofluiddynamik mit Zeitableitungen ist das der Flachwassergleichungen (SWEs, engl. shallow water equations). Um dieses herzuleiten, geht man von den Glg.en (13.31) - (13.32) aus und nimmt eine homogene Dichte an, außerdem ignoriert man die Reibung. Damit wird die Kontinuitätsgleichung zu

\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{v} = 0. \end{align} \]

Das Fluid habe weiterhin eine Oberfläche, an dieser gelte $p = 0$. Die Tiefe des Mediums sei $h = h\left(x, y, t\right)$ und der Grund habe die z-Koordinate $b = b\left(x, y\right)$. Damit erhält man durch Integration der hydrostatischen Grundgleichung

\[ \begin{align} p\left(z\right) = -\left(0 - p\left(z\right)\right) = -\left(p\left(b + h\right) - p\left(z\right)\right) = -\int_{z}^{b + h}\frac{\partial p}{\partial z}dz = g\rho\int_{z}^{b + h}dz = \left(b + h - z\right)g\rho. \end{align} \]

Somit folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial p}{\partial x} = g\rho \frac{\partial}{\partial x}\left(b + h\right) \end{align} \]

und analog in y-Richtung. Verschwindet die vertikale Scherung der Horizontalbewegung $\left(\frac{\partial u}{\partial z}, \frac{\partial v}{\partial z}\right)^T$ global zu einem beliebigen Zeitpunkt, so verschwindet auch die lokalzeitliche Tendenz der vertikalen Scherung. Somit ist das Geschwindigkeitsfeld dann zu allen Zeitpunkten höhenunabhängig. Hiervon wird nun ausgegangen. Damit verschwinden die Terme der vertikalen Geschwindigkeitsadvektion. Nun kann man die Kontinuitätsgleichung trivial integrieren:

\[ \begin{align} h\nabla\cdot\mathbf{v} = \int_{b}^{b + h}\nabla\cdot\mathbf{v}dz = -\int_{b}^{b + h}\frac{\partial w}{\partial z}dz = -w\left(b + h\right) + w\left(b\right)\tag{13.165}\label{eq:swe_deriv_1} \end{align} \]

Die Annahme, dass die Horizontalgeschwindigkeit nicht geschert ist und die die Integration Glg. (13.165) ermöglicht hat, gibt den Flachwassergleichungen ihren Namen. Bei großen Tiefen kann hiervon nämlich anschaulicherweise nicht mehr ausgegangen werden. In Abschn. 16.5.2 wird über diese Annahme hinausgegangen. Behandelt man Wellen, so kann man die Flachwassergleichungen verwenden, falls

\[ \begin{align} \text{Wellenlänge} &\gg \text{Tiefe},\\ \text{Wellenhöhe} &\ll \text{Tiefe} \end{align} \]

gelten, was für die Tide (außer in Randmeeren) sowie die Dünung auf offener See der Fall sein kann.

In der Tiefe $b$ gilt die kinematische Randbedingung:

\[ \begin{align} w\left(b\right) &= \frac{dz}{dt}\left(b\right) = \frac{db}{dt} = \mathbf{v}\cdot\nabla_hb \end{align} \]

An der Oberfläche gilt

\[ \begin{align} w\left(b + h\right) = \md{}\left(b + h\right) = \frac{\partial h}{\partial t} + \mathbf{v}_h\cdot\nabla_h\left(b + h\right). \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (13.165) ein, erhält man

\[ \begin{align} h\nabla_h\cdot\mathbf{v} &= -\frac{\partial h}{\partial t} - \mathbf{v}\cdot\nabla_h h. \end{align} \]

Somit erhält man folgendes Gleichungssystem:

13.8.1.1 Linearisierung

Nimmt man einen homogenen Untergrund $b$ an, sowie eine mittlere Tiefe $D$, der eine Störung $d$ überlagert ist, und vernachlässigt alle nichtlinearen Terme, folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} &= -g\nabla d - f\mathbf{k}\times\mathbf{v},\tag{13.173}\label{eq:flach_lin_1}\\ \frac{\partial d}{\partial t} + D\nabla\cdot\mathbf{v} &= 0.\tag{13.174}\label{eq:flach_lin_2} \end{align} \]

13.9 Entwicklungen des Coriolis-Parameters in ebener Geometrie

Für den Coriolis-Parameter $f$ als Funktion der Breite $\varphi$ gilt

\[ \begin{align} f\left(\phi\right) = 2\omega\sin\left(\phi\right). \end{align} \]

Taylor-entwickelt man dies an einer Breite $\phi_0$, erhält man

\[ \begin{align} f\left(\phi\right) &= f\left(\phi_0\right) + f'\left(\phi_0\right)\left(\phi - \phi_0\right) + \frac{1}{2}f''\left(\phi_0\right)\left(\phi - \phi_0\right)^2 + \frac{1}{6}f'''\left(\phi_0\right)\left(\phi - \phi_0\right)^2 + \mathcal{O}\left[\left(\phi - \phi_0\right)^4\right]\nonumber\\ &= f\left(\phi_0\right)\left[1 + \cot\left(\phi_0\right)\left(\phi - \phi_0\right) - \frac{1}{2}\left(\phi - \phi_0\right)^2 - \frac{1}{6}\cot\left(\phi_0\right)\left(\phi - \phi_0\right)^3\right], \end{align} \]

wobei die Terme vierter und höherer Ordnung nicht mehr mitnotiert wurden. Mit

\[ \begin{align} y \coloneqq r\left(\phi - \phi_0\right) \end{align} \]

mit $r$ als Abstand vom Erdmittelpunkt kann man dies als

\[ \begin{align} f\left(\phi\right) &= f\left(\phi_0\right)\left[1 + \cot\left(\phi_0\right)\frac{y}{r} - \frac{y^2}{2r^2} - \frac{y^3}{6r^3}\cot\left(\phi_0\right)\right]\tag{13.178}\label{eq:f_dev} \end{align} \]

notieren. Der Rossby-Parameter wird definiert durch

\[ \begin{align} \beta\left(\phi_0\right) \coloneqq \cot\left(\phi_0\right)\frac{f\left(\phi_0\right)}{r} = \frac{2\omega\cos\left(\phi_0\right)}{r} = \frac{d\phi}{dy}\frac{df}{d\phi} = \frac{df}{dy}. \end{align} \]

In den nun herzuleitenden Approximationen wird von einem zonalen Kanal der meridionalen Ausdehnung $2B$ ausgegangen, der an der Breite $\varphi_0$ zentriert ist. Die Krümmungsterme werden vernachlässigt, daher spricht man von Ebenen.

13.9.1 f-Ebene

Hier macht man die Approximation

\[ \begin{align} f\left(\phi\right) \approx f\left(\phi_0\right). \end{align} \]

Nach Glg. (13.178) ist dies gerechtfertigt, falls

\[ \begin{align} B \ll r\tan\left(\phi_0\right), & {} & B \ll \sqrt{2}r \end{align} \]

gelten. Bei der sogenannten f-Kugel nimmt man einen global homogenen Coriolisparameter an, was für operationelle Vorhersagen nicht geeignet ist.

13.9.2 $\beta-$Ebene

Hier setzt man die Approximation

\[ \begin{align} f\left(\phi\right) \approx f\left(\phi_0\right) + \beta y \end{align} \]

an. Nach Glg. (13.178) ist dies gerechtfertigt, falls

\[ \begin{align} B \ll 2r\cot\left(\phi_0\right), & {} & B \ll \sqrt{6}r \end{align} \]

gelten.

13.10 Gleichgewichtswinde

13.10.1 Geostrophie

Skalierung der horizontalen Impulsgleichung auf der synoptischen Skala.

Term	Größenordnung im SI
$\frac{\partial u}{\partial t}$	$10^{-4}$
$u\frac{\partial u}{\partial x}$	$10^{-4}$
$fv$	$10^{-3}$
$\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}$	$10^{-3}$

Für die Rossby-Zahl $N_\text{Ro}$ gilt

\[ \begin{align} N_\text{Ro} = \frac{U}{Lf} \sim10^{-1} \end{align} \]

auf der synoptischen Skala. In erster Ordnung liegt also ein Kräftegleichgewicht aus Coriolis-Kraft und Druckgradientkraft vor. Dies ist die geostrophische Approximation. Das entsprechende Windfeld $\mathbf{v}_h = \left(u_g, v_g\right)^T$ erhält man, indem man in den horizontalen Bewegungsgleichungen Glg.en (13.132) - (13.133) die Beschleunigung gleich Null setzt.

\[ \begin{align} 0 = -\frac{\partial\Phi}{\partial x} + fv_g, & {} & 0 = -\frac{\partial\Phi}{\partial y} - fu_g \end{align} \]

Stellt man dies nach der Windgeschwindigkeit um, ergeben sich

\[ \begin{align} v_g = \frac{1}{f}\frac{\partial\Phi}{\partial x}, & {} & u_g = -\frac{1}{f}\frac{\partial\Phi}{\partial y}. \end{align} \]

Der geostrophische Wind ist also

Die geostrophische Windgeschwindigkeit nimmt also mit wachsendem Betrag der Breite ab, am Äquator geht sie gegen unendlich. Daher ist zu hinterfragen, bis in welche Breiten die Geostrophie eine gute Näherung ist. Diese Frage wird in Abschn. 13.9.2 näher untersucht.

Bildet man das Skalarprodukt mit dem Gradienten des Geopotentials, so folgt

\[ \begin{align} \nabla\Phi\cdot\mathbf{v}_{h, g} = 0, \end{align} \]

der geostrophische Wind ist senkrecht zum Geopotentialgradienten. Daher ist der geostrophische Wind isohypsenparallel. Die lokalzeitliche Tendenz des Horizontalwindes entsteht bei Geostrophie rein aus der Advektion. Weitere wichtige Implikationen der geostrophischen Annahme werden in Abschn. 13.9 behandelt.

Bildet man die Divergenz von Glg. (13.187), erhält man

\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{v}_{h, g} = -\frac{1}{f}\frac{\partial^2\Phi}{\partial x\partial y} + \frac{1}{f}\frac{\partial^2\Phi}{\partial y\partial x} - \frac{\beta}{f^2}\frac{\partial\Phi}{\partial x} - \frac{v\tan\left(\phi\right)}{r} = -\frac{\beta}{f^2}\frac{\partial\Phi}{\partial x} = -\frac{\beta}{f}v - \frac{v\tan\left(\phi\right)}{r}. \end{align} \]

Unter Verwendung der Skalen aus Tab. 1.3 folgt

\[ \begin{align} \mathcal{O}\left(\nabla\cdot\mathbf{v}_{h, g}\right) = \frac{10^{-11}}{10^{-4}}10^{1}\:\frac{1}{\text{s}} = 10^{-6}\:\frac{1}{\text{s}} \end{align} \]

für mittlere und hohe Breiten. Dies ist etwa eine Größenordnung kleiner als die synoptisch-skalige Divergenz, der geostrophische Wind ist also außerhalb der Tropen als fast divergenzfrei anzusehen, in niederen Breiten gilt dies jedoch nicht mehr. Global ist die geostrophische Approximation also, insbesondere für Modelle, nicht anwendbar.

Der thermische Wind bezeichnet die Änderung des geostrophischen Windes mit der Höhe aufgrund von Baroklinität. Aus Glg. (13.187) folgt

Die vertikale Scherung des geostrophischen Windes ergibt sich also aus der Baroklinität der Atmosphäre. Man spricht auch von vertikaler Scherung des geostrophischen Windes aufgrund horizontaler Temperaturgradienten, wobei sich horizontal hier auf die Druckfläche bezieht. Glg. (13.191) ist die thermische Windgleichung.

Seien $p_1 < p_2$ zwei Druckniveaus, dann folgt über Integration von Glg. (13.191)

\[ \begin{align} \mathbf{v}_{h, g}\left(p_2\right) - \mathbf{v}_{h, g}\left(p_1\right) &= \int_{p_1}^{p_2}-\frac{R_d}{pf}\mathbf{k}\times\nabla Tdp\nonumber\\ \Rightarrow\mathbf{v}_{h, g}\left(p_1\right) &= \mathbf{v}_{h, g}\left(p_2\right) + \int_{p_1}^{p_2}\frac{R_d}{pf}\mathbf{k}\times\nabla Tdp = \mathbf{v}_{h, g}\left(p_2\right) + \frac{R_d}{f}\int_{p_1}^{p_2}\frac{1}{p}\mathbf{k}\times\nabla Tdp\nonumber\\ &= \mathbf{v}_{h, g}\left(p_2\right) + \frac{R_d}{f}\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)\mathbf{k}\times\nabla\newoverline{T}\left(p_1, p_2\right) \end{align} \]

mit einer gewichteten Schichtmitteltemperatur

\[ \begin{align} \newoverline{T}\left(p_1, p_2\right) &= \frac{\int_{p_1}^{p_2}\frac{1}{p}Tdp}{\int_{p_1}^{p_2}\frac{1}{p}dp}. \end{align} \]

13.10.2 Gradientenwind

Beim Gradientenwind geht man davon aus, dass Coriolis-Kraft und Druckgradient zusammen die Zentripetalkraft aufbringen, die nötig ist, um ein Fluidteilchen auf einer Trajekorie mit Radius $R > 0$ zu bewegen, also

\[ \begin{align} \frac{V^2}{R} = \left|\left|f\right|V - \frac{1}{\rho}\left|\nabla_hp\right|\right|. \end{align} \]

Im zyklonalen Fall ist der Ausdruck zwischen den äußeren Betragszeichen negativ, also

\[ \begin{align} \frac{V^2}{R} &= \frac{1}{\rho}\left|\nabla_hp\right| - \left|f\right|V\nonumber\\ \Leftrightarrow V^2 + \left|f\right|VR - R\frac{1}{\rho}\left|\nabla_hp\right| &= 0 \nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{V^2}{R} &= -\frac{1}{\rho}\left|\nabla_hp\right| + \left|f\right|V\nonumber\\ \Leftrightarrow V &= -\frac{\left|f\right|R}{2} \pm \sqrt{\frac{f^2R^2}{4} + R\frac{1}{\rho}\left|\nabla_hp\right|}. \end{align} \]

Wegen $V = \left|\mathbf{v}_h\right| > 0$ kommt nur das positive Vorzeichen in Frage. In diesem Fall ist die Windgeschwindigkeit geringer als die geostrophische Windgeschwindigkeit, man spricht von subgeostrophischem Wind. Im antizyklonalen Fall gilt analog

\[ \begin{align} \frac{V^2}{R} &= -\frac{1}{\rho}\left|\nabla_hp\right| + \left|f\right|V\nonumber\\ \Leftrightarrow V^2 - \left|f\right|VR + R\frac{1}{\rho}\left|\nabla_hp\right| &= 0 \nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{V^2}{R} &= -\frac{1}{\rho}\left|\nabla_hp\right| + \left|f\right|V\nonumber\\ \Leftrightarrow V &= \frac{\left|f\right|R}{2} \pm \sqrt{\frac{f^2R^2}{4} - R\frac{1}{\rho}\left|\nabla_hp\right|}. \end{align} \]

In diesem Fall ist der Wind supergeostrophisch. Hier kommt nur das negative Vorzeichen in Fall, da im Grenzfall $\left|\nabla_hp\right| = 0$ kein Wind $V = R\left|f\right|$ wehen sollte. Der Ausdruck unter der Wurzel ist positiv, also

\[ \begin{align} \left|\nabla_hp\right| \leq \frac{\rho f^2R}{4}. \end{align} \]

Antizyklonen werden sind also in Kernnähe gradientenschwächer, solch eine Beschränkung gibt es für Zyklonen nicht. Dies ist wegen

\[ \begin{align} \frac{\rho f^2R}{4} \sim 10\text{ }\frac{\text{hPa}}{\text{1000 km}} \end{align} \]

auf der synoptischen Skala tatsächlich bedeutsam.

13.10.3 Reibungswind

Nimmt man eine Druckgradientbeschleunigung

\[ \begin{align} P \coloneqq \frac{1}{\rho}\left|\nabla p\right| \end{align} \]

an, die in y-Richtung zeigt und zusätzlich eine Reibungskraft $-\mu\mathbf{v}_h$ und setzt die Beschleunigung gleich Null, erhält man

\[ \begin{align} 0 &= fV\sin\left(\psi\right) - \mu V\cos\left(\psi\right) \stackrel{\psi\in\left[0, \pi/2\right]}{\Rightarrow} \psi=\arctan\left(\frac{\mu}{f}\right),\\ 0 &= P - fV\cos\left(\psi\right) - \mu V\sin\left(\psi\right) \Rightarrow V = \frac{P}{f\cos\left(\psi\right) + \mu\sin\left(\psi\right)}, \end{align} \]

wobei $\psi$ der Winkel ist, unter dem der Wind die Isobare schneidet. Dies bezeichnet man als Reibungswind. Der Reibungswind führt also zu überisobarischem Transport und wirkt so der Entstehung von Extrema im Bodendruckfeld entgegen beziehungsweise begünstigt deren Dissipation. Die Vernichtungswirkung auf ein Tief schätzt man mit $R \sim 500$ km und $\psi \sim$ 30$^\circ$ ab durch

\[ \begin{align} \frac{\partial p}{\partial t} \sim \frac{g}{\pi r^2}\frac{dm}{dt} \sim \frac{g}{\pi r^2}2\pi r H\rho V\frac{1}{2} = \frac{gV H \rho}{r} \sim 4\text{ hPa/hr} \end{align} \]

wobei die Grenzschichthöhe mit $H = 500$ m abgeschätzt wurde. Der Reibungswind dissipiert eine Zyklone also innerhalb von Stunden, es handelt sich also um einen relevanten Effekt auf der synoptischen Skala. Divergenzen oberhalb der Reibungsschicht wurden hierbei nicht berücksichtigt, außerdem wurde $\psi$ als höhenunabhängig innerhalb der Grenzschicht angenommen. In der Realität ist dies natürlich nicht der Fall, sondern $\psi$ nimmt mit der Höhe ab, was zur Ausbildung eines spiralartigen Windfeldes führt, der sogenannten Ekman-Spirale.

13.10.4 Euler-Wind

Als Euler-Wind bezeichnet man die Zunahme des Windes unter Wirkung eines Druckgradienten und Abwesenheit der Coriolis-Beschleunigung, also

\[ \begin{align} \mathbf{v}_h = -t\frac{1}{\rho}\nabla p. \end{align} \]

13.10.5 Zyklostrophischer Wind

Der zyklostrophische Wind ist gegeben, wenn ein Druckgradient eine Zentripetalkraft aufbringt:

\[ \begin{align} \left|\frac{\partial p}{\partial r}\right| = \frac{\rho V^2}{\left|R\right|} \end{align} \]

Er gilt in Tornados und Staubteufeln.

13.11 Quasigeostrophie

Hier geht man aus vom hydrostatischen adiabatischen Gleichungssystem, welches in Abschn. 13.7.4 zusammengefasst wurde:

\[ \begin{align} \md{_h\mathbf{v}_h} + \omega\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial p} &= -f\mathbf{k}\times\mathbf{v}_h - \nabla\Phi,\tag{13.205}\label{eq:hydrostat_1}\\ \frac{\partial\Phi}{\partial p} &= -\alpha,\tag{13.206}\label{eq:hydrostat_2}\\ \frac{\partial^2\Phi}{\partial p\partial t} + \left(u\frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y}\right)\frac{\partial\Phi}{\partial p} + \sigma\omega &= 0,\tag{13.207}\label{eq:hydrostat_3}\\ \nabla\cdot\mathbf{v}_h + \frac{\partial\omega}{\partial p} &= 0,\tag{13.208}\label{eq:hydrostat_4}\\ p\alpha &= R_dT.\tag{13.209}\label{eq:hydrostat_5} \end{align} \]

Nun müssen zunächst einige Vereinfachungen vorgenommen werden. Ziel ist das quasigeostrophische Gleichungssystem. Dieses Konzept wendet man ausschließlich auf Kanäle in den Extratropen an, die schmal genug für die $\beta-$Ebene sind. Man nähert außerdem den Coriolis-Parameter $f$ zu

\[ \begin{align} f = f_0 + \beta\left(y - y_0\right)\stackrel{y_0 \equiv 0}{=}f_0 + \beta y, \end{align} \]

vgl. Abschn. 13.9. Dann gilt für den geostrophischen Wind Glg. (13.187)

\[ \begin{align} \mathbf{v}_{h, g} = \mathbf{k}\times\frac{1}{f}\nabla\Phi = \mathbf{k}\times\frac{1}{f_0}\nabla\Phi - \mathbf{k}\times\frac{\beta y}{f_0^2}\nabla\Phi + \mathcal{O}\left(f''\right)\stackrel{\text{in 0. Ordnung}}{\to}\mathbf{v}_{h, g} = \mathbf{k}\times\frac{1}{f_0}\nabla\Phi.\tag{13.211}\label{eq:geostr_wind_vereinfacht} \end{align} \]

Hieraus kann man für den thermischen Wind ableiten

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}_{h, g}}{\partial p} = -\frac{1}{f_0}\mathbf{k}\times\nabla\alpha. \end{align} \]

Die relative Vorticity $\zeta$ ersetzt man nun näherungsweise durch die relative Vorticity des geostrophischen Windes $\zeta_g$, welche nach Glg. (15.86) näherungsweise durch

\[ \begin{align} \zeta_g = \frac{1}{f_0}\Delta\phi. \end{align} \]

gegeben ist. Für die absolute Vorticity nähert man hieraus folgernd

\[ \begin{align} \eta_g \coloneqq f + \zeta_g = f_0 + \beta y + \zeta_g. \end{align} \]

Mit Glg. (13.211) vereinfacht man nun die materielle Ableitung zu

\[ \begin{align} \md{} &= \md{_h} + \omega\frac{\partial}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}_h\cdot\nabla_h + \omega\frac{\partial}{\partial p}\nonumber\\ &\to \md{^{(g)}} \coloneqq\md{_h^{(g)}} + \omega\frac{\partial}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla_h + \omega\frac{\partial}{\partial p}. \end{align} \]

Hiermit folgt für den Ersten Hauptsatz

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right) = -\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla_h\left(\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right) - \sigma\omega.\tag{13.216}\label{eq:first_theorem_qg} \end{align} \]

Die Vorticitygleichung Glg. (15.85) wird hier noch einmal wiederholt:

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta}{\partial t} &= -v\beta - \left(f + \zeta\right)\nabla\cdot\mathbf{v}_h - \mathbf{v}_h\cdot\nabla\zeta - \omega\frac{\partial\zeta}{\partial p} + \mathbf{k}\cdot\left[\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial p}\times\nabla\omega\right] \end{align} \]

Der geostrophische Wind ist nach Abschn. 13.10.1 eine Größenordnung größer als die ageostrophische Komponente, daher kann man die horizontale Advektion mit $\mathbf{v}_{h, g}$ berechnen und $\zeta$ durch $\zeta_g$ ersetzen:

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta_g}{\partial t} &= -v_g\beta - \left(f + \zeta_g\right)\nabla\cdot\mathbf{v}_h - \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\zeta_g - \omega\frac{\partial\zeta_g}{\partial p} + \mathbf{k}\cdot\left[\frac{\partial\mathbf{v}_{h}}{\partial p}\times\nabla\omega\right] \end{align} \]

Die Werte in Tab. 1.3 ergeben außerdem in SI-Einheiten

• $\frac{\partial\zeta_g}{\partial t}\sim10^{-10}$,
• $\omega\frac{\partial\zeta_g}{\partial p}\sim10^{-11}$,
• $\mathbf{k}\cdot\left[\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial p}\times\nabla\omega\right]\sim10^{-11}$.

Folglich können auch der Drehterm und die vertikale Advektion vernachlässigt werden und außerdem die relative gegenüber der absoluten Vorticity im Drehterm, dies führt mit $f\approx f_0$ auf die sogenannte quasigeostrophische Vorticitygleichung

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta_g}{\partial t} &= -\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\zeta_g + f\right) - f_0\nabla\cdot\mathbf{v}_h = -\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\zeta_g + f\right) + f_0\frac{\partial\omega}{\partial p}.\tag{13.219}\label{eq:vorticity_p_qg} \end{align} \]

An dieser Stelle führt man zur Vereinfachung eine Stromfunktion

\[ \begin{align} \psi \coloneqq\frac{\Phi}{f_0} \end{align} \]

ein, damit folgen

\[ \begin{align} \mathbf{v}_{h, g} &= \mathbf{k}\times\nabla\psi, \tag{13.221}\label{eq:geostr_wind_stream}\\ \zeta_g &= \Delta_h\psi. \end{align} \]

Hieraus folgt für die Vorticitygleichung Glg. (13.219) und den Ersten Hauptsatz Glg. (3.12)

\[ \begin{align} \Delta\frac{\partial\psi}{\partial t} &= -\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\Delta\psi + f\right) + f_0\frac{\partial\omega}{\partial p}, \tag{13.223}\label{eq:vorticity_p_qg_mod}\\ \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial\psi}{\partial p}\right) &= -\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\frac{\partial\psi}{\partial p}\right) - \frac{\sigma}{f_0}\omega\nonumber\\ \Rightarrow\frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2}{\partial p^2}\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right) &= -\frac{f_0^2}{\sigma}\mathbf{v}_h\cdot\nabla\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial p^2}\right) - f_0\frac{\partial\omega}{\partial p} \end{align} \]

Bei der letzten Implikation wurde die $p-$Abhängigkeit von $\sigma$ vernachlässigt und dies wird auch weiterhin getan werden. Da $\sigma$ mit der Schichtung zusammenhängt, ist dies eine schlechte Annahme, da die Schichtung natürlich in der Realität innerhalb der Troposphäre stark ortsabhängig ist. Nichtsdestotrotz kann man diese Annahme hier machen, da die relevanten Phänomene durch diese Annahme nicht gefiltert werden. Außerdem wurde

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}_{h, g}}{\partial p}\cdot\nabla\left(\frac{\partial\psi}{\partial p}\right) \stackrel{\href{#eq:geostr_wind_stream}{\text{Glg. (13.221)}}}{=}\left(\mathbf{k}\times\nabla\frac{\partial\psi}{\partial p}\right)\cdot\nabla\left(\frac{\partial\psi}{\partial p}\right) = 0 \end{align} \]

eingesetzt. Nun werden die beiden Gleichungen addiert

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\left(f + \Delta\psi + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2\psi}{\partial p^2}\right) + \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(f + \Delta\psi + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2\psi}{\partial p^2}\right) = 0.\tag{13.226}\label{eq:tendency_eq_pre} \end{align} \]

Die Größe

\[ \begin{align} q_g \coloneqq f + \Delta\psi + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2\psi}{\partial p^2} \end{align} \]

bezeichnet man als quasigeostrophische potentielle Vorticity oder auch pseudopotentielle Vorticity, damit lässt sich Glg. (13.226) als

notieren. Dies ist die sogenannte Tendenzgleichung. $\omega$ kann hieraus diagnostiziert werden, hierzu wendet man zunächst den horizontalen Laplace-Operator $\Delta_h$ auf Glg. (13.216) an:

\[ \begin{align} \Delta\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\Delta_h\left[\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\frac{\partial\psi}{\partial p}\right)\right] - \frac{\sigma}{f_0}\Delta\omega.\tag{13.229}\label{eq:omega_eq_deriv_1} \end{align} \]

Nun wird Glg. (13.219) nach $p$ differenziert:

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial p}\Delta\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial p}\left[\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\Delta\psi + f\right)\right] + f_0\frac{\partial^2\omega}{\partial p^2}\tag{13.230}\label{eq:omega_eq_deriv_2} \end{align} \]

Nun subtrahiert man Glg. (13.229) von (13.230) und erhält

\[ \begin{align} 0 &= \Delta\left[\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\frac{\partial\psi}{\partial p}\right)\right] + \frac{\sigma}{f_0}\Delta\omega - \frac{\partial}{\partial p}\left[\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\Delta\psi + f\right)\right] + f_0\frac{\partial^2\omega}{\partial p^2}\nonumber \end{align} \]

Dies ist die $\omega-$Gleichung. Dieser Formalismus ist aufgrund der darin enthaltenen linearen Entwicklung von $f$ nicht global anwendbar, die Leistungsfähigkeit besteht darin, dass hiermit innerhalb zonaler Kanäle beschränkter Ausdehnung in den Extratropen barokline Rossby-Wellen und barokline Instabilitäten verstanden werden können, was die theoretische Grundlage der Zyklogenese ist.

13.12 Semigeostrophie

Die semigeostrophische Annahme ist eine Relaxation der quasigeostrophischen Annahme. Sie führt im Gegensatz zu dieser auf ein global anwendbares Gleichungssystem. Als Teil des Lösungsspektrums erhält man Flächen im Raum besonderer Baroklinität, sogenannte Fronten.

Ausgangspunkt ist das in Abschn. 13.7 hergeleitete hydrostatische Gleichungssystem, welches hier noch einmal notiert wird:

\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} - \mathbf{v}_h\cdot\nabla u - \omega\frac{\partial u}{\partial p} - fv + \frac{\partial\Phi}{\partial x} &= 0\\ \frac{\partial v}{\partial t} - \mathbf{v}_h\cdot\nabla v - \omega\frac{\partial v}{\partial p} + fu + \frac{\partial\Phi}{\partial y} &= 0\\ \frac{\partial^2\Phi}{\partial t\partial p} + \mathbf{v}_h\cdot\nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p} + \frac{1}{\rho^2g^2}N^2\omega &= 0\\ \frac{\partial\omega}{\partial p} + \nabla\cdot\mathbf{v}_h&= 0,\\ \frac{\partial\Phi}{\partial p} + \frac{1}{\rho} = 0. \end{align} \]

Dabei wurden diabatische Terme weggelassen.

Bei der semigeostrophischen Approximation wird lediglich die horizontale Impulsgleichung modifiziert. Grundvoraussetzung ist

\[ \begin{align} N_\text{Ro} = \frac{U}{Lf} \ll 1, \end{align} \]

also, dass die materielle Beschleunigung klein im Vergleich zur Coriolisbeschleunigung ist [10]. $N_\text{Ro}$ ist hierbei die in Glg. (13.3) definierte Rossby-Zahl.

Das semigeostrophische Gleichungssystem lautet somit zusammenfassend

Dies ist ein Gleichungssystem für die prognostischen Variablen $u$, $v$, $\omega$, $\Phi$, $\theta$. Man beachte, dass $u_g$ und $v_g$ diagnostische Variablen sind, obwohl für sie Zeitableitungen festgelegt sind.