Eine generalisierte Vertikalkoordinate $\mu$ wird definiert durch eine Transformation $\mu\leftrightarrow z$. Diese Abbildung ist i. A. von den horizontalen Koordinaten abhängig: $z = z\left(\varphi, \lambda, \mu\right)$. Schreibt man für ein Skalarfeld $\psi$ in geographischen Koordinaten mit geodätischer bzw. generalisierter Vertikalkoordinate
\[ \begin{align} \psi\left(\varphi, \lambda, z\left(\varphi, \lambda, \mu\right)\right) = \newtilde{\psi}\left(\varphi, \lambda, \mu\right), \end{align} \]
so folgt für die Gradienten in diesen Koordinaten
\[ \begin{align} \nabla\psi &= \left(\begin{array}{c} \frac{\partial\psi}{\partial\varphi}\\ \frac{\partial\psi}{\partial\lambda}\\ \frac{\partial\psi}{\partial z} \end{array}\right),\\ \nabla\newtilde{\psi} &= \left(\begin{array}{c} \frac{\partial\newtilde{\psi}}{\partial\varphi}\\ \frac{\partial\newtilde{\psi}}{\partial\lambda}\\ \frac{\partial\newtilde{\psi}}{\partial\mu} \end{array}\right). \end{align} \]
Es gilt
\[ \begin{align} \frac{\partial\newtilde{\psi}}{\partial\lambda} &= \frac{d}{d\lambda}\psi\left(\varphi, \lambda, z\left(\varphi, \lambda, \mu\right)\right) = \nabla\psi\cdot\left( \begin{array}{c} \frac{d\varphi}{d\lambda}\\ \frac{d\lambda}{d\lambda}\\ \frac{dz}{d\lambda} \end{array}\right) = \nabla\psi\cdot\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ \frac{\partial\psi}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial\lambda} \end{array}\right) = \frac{\partial\psi}{\partial\lambda} + \frac{\partial z}{\partial\lambda}\frac{\partial\psi}{\partial z}. \end{align} \]
Die Ableitungen nach $\lambda$ sind proportional zu den Ableitungen nach $x$. Damit folgt
\[ \begin{align} \frac{\partial\newtilde{\psi}}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial z}. \end{align} \]
Unterschlägt man in der Notation den Unterschied von $\psi$ und $\newtilde{\psi}$ und kennzeichnet anstattdessen konstantgehaltene Größen durch Indizes, so erhält man
\[ \begin{align} \left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right) _\mu &= \left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_z + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_\mu\frac{\partial\psi}{\partial z}.\tag{12.6}\label{eq:z_to_gen} \end{align} \]
$z$ und $\mu$ sind in der Herleitung vertauschbar, daher gilt genauso
\[ \begin{align} \left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right) _z &= \left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_\mu + \left(\frac{\partial \mu}{\partial x}\right)_z\frac{\partial\psi}{\partial \mu}.\tag{12.7}\label{eq:trans_gen_2} \end{align} \]
In den herrschenden Gleichungen treten partielle Ableitungen $\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial z}$ auf, hierbei wurde bisher $z$ als Vertikalkoordinate verwendet. Will man auf eine generalisierte Koordinate $\mu$ transformieren, nutzt man die Kettenregel und stellt Glg. (12.6) um:
\[ \begin{align} \frac{\partial\psi}{\partial z} &= \frac{\partial\mu}{\partial z}\frac{\partial\psi}{\partial\mu}\tag{12.8}\label{eq:trans_gen_4}\\ \left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_z &= \left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_\mu - \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_\mu\frac{\partial\mu}{\partial z}\frac{\partial\psi}{\partial\mu}\tag{12.9}\label{eq:trans_gen_5} \end{align} \]
Analog auch in y-Richtung. Die materielle Ableitung $\md{}$ ist unabhängig von der Vertikalkoordinate. Die horizontale materielle Ableitung $\md{_h}$ (s. Glg. (B.12)) jedoch ist abhängig vom Koordinatensystem. $z$ ist in obiger Herleitung nicht ausgezeichnet, daher kann $z$ durch eine beliebige Vertikalkoordinate $\nu$ ersetzt werden.
Im p-System verwendet man den Druck $p$ als Vertikalkoordinate, was bei Hydrostatik ($\frac{\partial p}{\partial z} = -g\rho\not = 0$, s. Abschn. 13.7) möglich ist. Für die totale Ableitung im p-System gilt dann
\[ \begin{align} \md{\psi} = \frac{\partial\psi}{\partial t} + u\frac{\partial\psi}{\partial x} + v\frac{\partial\psi}{\partial y} + \omega\frac{\partial\psi}{\partial p}. \end{align} \]
Hierbei ist $\omega \coloneqq\md{p}$ die Vertikalgeschwindigkeit im p-System. In Abschn. 13.7 werden die herrschenden Gleichungen ins p-System transformiert.
In einer thermisch stabil geschichteten Atmosphäre kann $\theta$ als generalisierte Vertikalkoordinate verwendet werden. Außerdem wird hier von Hydrostatik ausgegangen. Dies bezeichnet man als $\theta-$System oder auch als isentrope Koordinaten. Notiert man die Glg.en (12.8) - (12.9) mit $\mu = \theta$, folgt
\[ \begin{align} \frac{\partial\psi}{\partial z} &= \frac{\partial\theta}{\partial z}\frac{\partial\psi}{\partial\theta},\\ \left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_z &= \left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_\theta - \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_\theta\frac{\partial\theta}{\partial z}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} = \left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_\theta + \rho\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)_\theta\frac{\partial\theta}{\partial p}\frac{\partial\psi}{\partial\theta},\\ \left(\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)_z &= \left(\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)_\theta - \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_\theta\frac{\partial\theta}{\partial z}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} = \left(\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)_\theta + \rho\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)_\theta\frac{\partial\theta}{\partial p}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}. \end{align} \]
Im Fall $\psi = p$ folgt
\[ \begin{align} \left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_z &= \left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_\theta - \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_\theta\frac{\partial\theta}{\partial z}\frac{\partial p}{\partial\theta} = \left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_\theta + \rho\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)_\theta. \end{align} \]
Es gilt
\[ \begin{align} p &= \rho R_d\theta\left(\frac{p}{p_0}\right)^{\frac{R_d}{c^{(p)}}}\nonumber\\ \Rightarrow \left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_\theta &= R_d\theta\left(\frac{p}{p_0}\right)^{\frac{R_d}{c^{(p)}}}\left(\frac{\partial\rho}{\partial x}\right)_\theta + \rho R_d\theta\frac{1}{p_0^{\frac{R_d}{c^{(p)}}}}\frac{R_d}{c^{(p)}}p^{\frac{R_d}{c^{(p)}} - 1}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_\theta\nonumber\\ &= R_dT\left(\frac{\partial\rho}{\partial x}\right)_\theta + \rho R_d\theta\left(\frac{p}{p_0}\right)^{\frac{R_d}{c^{(p)}}}\frac{R_d}{c_pp}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_\theta\nonumber\\ &= R_dT\left(\frac{\partial\rho}{\partial x}\right)_\theta + \rho R_dT\frac{R_d}{c^{(p)}\rho R_dT}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_\theta\nonumber\\ &= R_dT\left(\frac{\partial\rho}{\partial x}\right)_\theta + \frac{R_d}{c^{(p)}}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_\theta\nonumber\\ \Rightarrow \left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_\theta &= \frac{c^{(p)}R_dT}{c^{(V)}}\left(\frac{\partial\rho}{\partial x}\right)_\theta = \frac{c^{(p)}}{c^{(V)}}T\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{p}{T}\right)\right)_\theta\nonumber\\ &= \frac{c^{(p)}}{c^{(V)}}T\left(\frac{1}{T}\frac{\partial p}{\partial x} - \frac{p}{T^2}\frac{\partial T}{\partial x}\right) = \frac{c^{(p)}}{c^{(V)}}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_\theta - \frac{c^{(p)}}{c^{(V)}}\frac{p}{T}\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_\theta\nonumber\\ &= \frac{c^{(p)}}{c^{(V)}}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_\theta - \frac{c^{(p)}}{c^{(V)}}\rho R_d\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_\theta\nonumber\\ \Rightarrow \frac{R_d}{c^{(V)}}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_\theta &= \frac{c^{(p)}}{c^{(V)}}\rho R_d\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_\theta \Rightarrow \left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_\theta = c^{(p)}\rho\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_\theta. \end{align} \]
Somit erhält man
\[ \begin{align} \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_z = \frac{\partial}{\partial x}\left(c^{(p)}T + \phi\right), \end{align} \]
wobei auf der rechten Seite die partielle Ableitung im $\theta-$System durchgeführt wird. Man defininert
\[ \begin{align} M \coloneqq c^{(p)}T + \phi \end{align} \]
als das Montgomery-Potential.
Mit $h$ als Orographie und $H$ als Oberrand der Atmosphäre definiert man die orographische Koordinate $\sigma_z$ durch
\[ \begin{align} \sigma_z \coloneqq\frac{z - h}{H - h} \Leftrightarrow z = h + \sigma_z\left(H - h\right), \end{align} \]
daraus folgen
\[ \begin{align} \frac{\partial\sigma_z}{\partial z} &= \frac{1}{H - h},\\ \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{\sigma_z} &= \left(1 - \sigma_z\right)\frac{\partial h}{\partial x},\\ \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{\sigma_z}\frac{\partial\sigma_z}{\partial z} &= \frac{1 - \sigma_z}{H - h}\frac{\partial h}{\partial x}. \end{align} \]
Mit $p_S$ als Bodendruck und $p_T$ als Druck am Oberrand der Atmosphäre definiert man eine weitere orographische Koordinate $\sigma_p$ durch
\[ \begin{align} \sigma_p \coloneqq\frac{p - p_T}{p_S - p_T} \Leftrightarrow p = p_T + \sigma_p\left(p_S - p_T\right), \end{align} \]
daraus folgen
\[ \begin{align} \frac{\partial\sigma_p}{\partial p} &= \frac{1}{p_S - p_T},\\ \left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_{\sigma_p} &= \sigma_p\frac{\partial p_S}{\partial x},\\ \left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)_{\sigma_p}\frac{\partial\sigma_p}{\partial z} &= \frac{\sigma_p}{p_S - p_T}\frac{\partial p_S}{\partial x}. \end{align} \]