Es ist sinnvoll, die Massendichte $\rho$ als erste prognostische Variable festzulegen und die Kontinuitätsgleichung
\[ \begin{align} \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) = 0 \end{align} \]
als erste prognostische Gleichung. Dies ist so, da die Masendichte eine sehr fundamentale Größe ist (sie beschreibt einfach, wie viel Masse sich an einem gewissen Ort befindet) und die Kontinuitätsgleichung in der Herleitung vieler anderer prognostischer Gleichungen enthalten ist. Aufgrund der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase muss man genau eine weitere thermodynamische Variable $q_1 \not= \rho$ wählen, um den thermodynamischen Zustand des idealen Gases eindeutig festzulegen. Für die Hamilton-Funktion der Atmosphäre notiert man dann
\[ \begin{align} H = H\left(\rho, q_1, \mathbf{v}\right) = \int_A\frac{1}{2}\rho\mathbf{v}^2 + \rho\phi + \newtilde{I}\left(\rho, q_1\right)d^3r. \end{align} \]
$\newtilde{I}\left(\rho, q_1\right)$ ist die innere Energiedichte als Funktion der Massendichte und der prognostischen Variable $q_1$. In diesem funktionalen Zusammenhang ist die thermische Zustandsgleichung idealer Gase implizit enthalten.
Als Skalarprodukt zweier Funktionen skalarer Funktionen $f$, $g$ definiert man
\[ \begin{align} \left\langle f \big| g\right\rangle \coloneqq \int_Af^\star\left(\mathbf{r}, t\right)g\left(\mathbf{r}, t\right)d^3r. \end{align} \]
Dies entspricht dem in der Quantenmechanik definierten unitären Produkt Glg. (4.1). Dabei lässt man für $f$ und $g$ reell- und komplexwertige Funktionen zu. Im Falle reeller Funktionen spielt die komplexe Konjugation von $f$ keine Rolle. Für vektorwertige Funktionen definiert man analog
\[ \begin{align} \left\langle\mathbf{f}\big|\mathbf{g}\right\rangle \coloneqq \int_A\mathbf{f}^\star\left(\mathbf{r}, t\right)\cdot\mathbf{g}\left(\mathbf{r}, t\right)d^3r. \end{align} \]
Sei $F$ ein beliebiges Funktional der atmosphärischen Zustandsvariablen. Die Zeitentwicklung von $F$ lässt sich laut Glg. (2.74) mittels der Poisson-Klammer als
\[ \begin{align} \frac{dF}{dt} = \left\lbrace F, H\right\rbrace + \frac{\partial F}{\partial t}. \end{align} \]
notieren. Hängt $F$ nicht explizit von der Zeit ab, was im Regelfall so ist, folgt
\[ \begin{align} \frac{dF}{dt} = \left\lbrace F, H\right\rbrace.\tag{10.6}\label{eq:poisson_bracket_non_explicit_t} \end{align} \]
Um für $\left\lbrace F, H\right\rbrace$ einen expliziten Ausdruck herzuleiten, beginnt man, indem man in Glg. (2.73) $K = H$ einsetzt:
\[ \begin{align} \left\lbrace F, H\right\rbrace \coloneqq \sum_{i = 1}^f\left(\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right) \end{align} \]
Für die generalisierten Koordinaten werden nun die atmosphärischen Zustandsgrößen $\mathbf{u} = \left(\rho, q_1, \mathbf{v}\right)^T$ eingesetzt. Da es sich bei $F$ und $H$ jedoch um Funktionale handelt und die generalisierten koordinaten Funktionen sind, muss die Poisson-Klammer uunächst für diesen Fall verallgemeinert werden. Sei $f = f\left(\mathbf{u}\right)$ eine skalar- oder vektorwertige Funktion der atmosphärischen Zustandsfunktionen. Man kann nun ein zu $f$ gehöriges Funktional
\[ \begin{align} F\left[\mathbf{u}\right] &\coloneqq \int_Af\left(\mathbf{u}\right)d^3r \end{align} \]
definieren. Leitet man dies nach der Zeit ab, erhält man
\[ \begin{align} \frac{dF\left[\mathbf{u}\right]}{dt} &= \int_A\frac{\partial f\left(\mathbf{u}\right)}{\partial t}d^3r = \int_A\frac{df\left(\mathbf{u}\right)}{d\mathbf{u}}\cdot\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}d^3r, \end{align} \]
wobei im letzten Schritt die mehrdimensionale Kettenregel genutzt wurde. Dies kann man weiter umformen zu
\[ \begin{align} \frac{dF\left[\mathbf{u}\right]}{dt} &= \left\lbrace F, H\right\rbrace = \int_A\frac{df\left(\mathbf{u}\right)}{d\rho}\cdot\frac{\partial\rho}{\partial t}d^3r + \int_A\frac{df\left(\mathbf{u}\right)}{dq_1}\cdot\frac{\partial q_1}{\partial t}d^3r + \int_A\frac{df\left(\mathbf{u}\right)}{d\mathbf{v}}\cdot\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}d^3r. \end{align} \]
Die Ableitungen von $f$ sind die sogenannten Funktionalableitungen von $F$, man definiert
\[ \begin{align} \frac{\delta F}{\delta x} \coloneqq \frac{df}{dx} \end{align} \]
für $x \in \left\{\rho, q_1, \mathbf{v}\right\}$. Somit gilt
\[ \begin{align} \frac{dF\left[\mathbf{u}\right]}{dt} &= \left\lbrace F, H\right\rbrace = \int_A\frac{\delta F}{\delta \rho}\frac{\partial\rho}{\partial t}d^3r + \int_A\frac{\delta F}{\delta q_1}\frac{\partial q_1}{\partial t}d^3r + \int_A\frac{\delta F}{\delta \mathbf{v}}\cdot\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}d^3r.\tag{10.12}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_0} \end{align} \]
Bei der Wahl von $q_1$ schränkt man sich nun Größen ein, für die
\[ \begin{align} \frac{\partial q_1}{\partial t} = -\nabla\cdot\left(q_1\mathbf{v}\right)\tag{10.13}\label{eq:deriv_q_1_entropy} \end{align} \]
gilt. Definieren $q_1' \coloneqq \frac{q_1}{\rho}$, dann folgt aus Glg. (10.13)
\[ \begin{align} \frac{\partial\left(\rho q_1'\right)}{\partial t} &= -\nabla\cdot\left(\rho q_1'\mathbf{v}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow q_1'\frac{\partial\rho}{\partial t} + \rho\frac{\partial q_1'}{\partial t} &= -q_1'\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) - \rho\mathbf{v}\cdot\nabla q_1'\nonumber\\ \stackrel{\text{Kontinuitätsglg.}}{\Leftrightarrow} \rho\frac{\partial q_1'}{\partial t} &= -\rho\mathbf{v}\cdot\nabla q_1' \Leftrightarrow \md{q_1'} = 0. \end{align} \]
$q_1'$ ist also eine thermodynamische Zustandsgröße, welche sich bei adiabatischen Vorgängen nicht ändert. Dies impliziert
\[ \begin{align} q_1' = \frac{q_1}{\rho} = f\left(s\right),\tag{10.15}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_13} \end{align} \]
wobei $s$ die spezifische Entropie ist.
Definiere $p_x$ für $x \in \left\{\rho, q_1, \mathbf{v}\right\}$ als zur Zustandsvariable $x$ gehörenden kanonischen Impuls. Aufgrund von Glg. (2.71) gilt
\[ \begin{align} \frac{\delta H}{\delta p_\rho} &= \frac{\partial\rho}{\partial t} = -\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right),\tag{10.16}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_6}\\ \frac{\delta H}{\delta p_{q_1}} &= \frac{\partial q_1}{\partial t} = -\nabla\cdot\left(q_1\mathbf{v}\right) = -\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\rho\mathbf{v}\right),\tag{10.17}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_7}\\ \frac{\delta H}{\delta p_\mathbf{v}} &= \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} = -\frac{1}{\rho}\nabla p - \frac{\etabi}{\rho}\times\rho\mathbf{v} - \nabla\phi - \nabla k,\tag{10.18}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_8} \end{align} \]
hierbei sind $\phi$ das Geopotential und $k$ die spezifische kinetische Energie. Für die global integrierte kinetische Energie $K$ der Atmosphäre gilt
\[ \begin{align} K \coloneqq \int_A\frac{1}{2}\rho\mathbf{v}^2d^3r. \end{align} \]
Die Summe aus global integrierter innerer und potentieller Energie $I'$ lautet
\[ \begin{align} I' \coloneqq \int_A\newtilde{I} + \rho\phi d^3r = \int_A\rho\phi + c_d^{(v)}\rho Td^3r \end{align} \]
Damit gilt $H = K + I'$, da $H$ die Gesamtenergie der Atmosphäre ist ($H$ ist nicht explizit zeitabhängig). Es gilt unabhängig von der Wahl von $q_1$
\[ \begin{align} \frac{\delta I'}{\delta\mathbf{v}} = 0 \Rightarrow \frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} = \frac{\delta K}{\delta\mathbf{v}} = \rho\mathbf{v}.\tag{10.21}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_9} \end{align} \]
Für $K$ gilt weiterhin
\[ \begin{align} \frac{\delta K}{\delta q_1} &= 0,\tag{10.22}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_15}\\ \frac{\delta K}{\delta\rho} &= \frac{1}{2}\mathbf{v}^2 = k. \end{align} \]
Setzt man dies in die Glg.en (10.16) - (10.18) ein, erhält man
\[ \begin{align} \frac{\delta H}{\delta p_\rho} &= \frac{\partial\rho}{\partial t} = -\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}},\tag{10.24}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_10}\\ \frac{\delta H}{\delta p_{q_1}} &= \frac{\partial q_1}{\partial t} = -\nabla\cdot\left(q_1\mathbf{v}\right) = -\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right),\tag{10.25}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_11}\\ \frac{\delta H}{\delta p_\mathbf{v}} &= \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} = -\frac{1}{\rho}\nabla p - \frac{\etabi}{\rho}\times\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} - \nabla\phi - \nabla\frac{\delta K}{\delta\rho},\tag{10.26}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_12} \end{align} \]
Nun muss der Druckgradient in Termen von $H$ ausgedrückt werden. Nach Glg. (5.91) gilt
\[ \begin{align} p &= -\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_{S, N}, \end{align} \]
wobei $E$ die Gesamtenergie des Systems ist. Als System verwendet man ein Luftteilchen, in einem solchen sind sowohl die Masse $m$ als auch die Teilchenzahl $N$ konstant. Die Gesamtenergie entspricht hier der inneren Energie $I$. Somit gilt
\[ \begin{align} p &= -\left(\frac{\partial I/m}{\partial V/m}\right)_{s} = -\left(\frac{\partial i}{\partial V/m}\right)_{s}, \end{align} \]
wobei $i = I/m$ die spezifische innere Energie ist. $\frac{V}{m} = \alpha = \frac{1}{\rho}$ ist das spezifische Volumen. Somit gilt
\[ \begin{align} p &= -\left(\frac{\partial i}{\partial\alpha}\right)_{s} = -\frac{\partial\rho}{\partial\alpha}\left(\frac{\partial i}{\partial\rho}\right)_{s} = \frac{1}{\alpha^2}\left(\frac{\partial i}{\partial\rho}\right)_{s} = \rho^2\left(\frac{\partial i}{\partial\rho}\right)_{s}. \end{align} \]
Es gilt nun
\[ \begin{align} \left(\frac{\partial i}{\partial\rho}\right)_{s} &= \left(\frac{\partial i}{\partial\rho}\right)_{\newtilde{s}} + \left(\frac{\partial i}{\partial\newtilde{s}}\right)_{\rho}\frac{\partial\newtilde{s}}{\partial\rho}. \end{align} \]
Für die innere Energiedichte $\newtilde{I}$ gilt
\[ \begin{align} \newtilde{I} = \rho i \Rightarrow i = \frac{\newtilde{I}}{\rho}, \end{align} \]
hieraus folgt
\[ \begin{align} p &= \rho^2\left(\frac{\partial\newtilde{I}/\rho}{\partial\rho}\right)_{\newtilde{s}} + \rho^2\left(\frac{\partial\newtilde{I}/\rho}{\partial\newtilde{s}}\right)_{\rho}\frac{\partial\newtilde{s}}{\partial\rho} = \rho\left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial\rho}\right)_{\newtilde{s}} - \newtilde{I} + \newtilde{s}\left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial\newtilde{s}}\right)_{\rho}. \end{align} \]
Somit erhält man für den Druckgradienten
\[ \begin{align} \nabla p &= \left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial\rho}\right)_{\newtilde{s}}\nabla\rho + \rho\nabla\left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial\rho}\right)_{\newtilde{s}} - \nabla\newtilde{I} + \left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial\newtilde{s}}\right)_{\rho}\nabla\newtilde{s} + \newtilde{s}\nabla\left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial\newtilde{s}}\right)_{\rho}\nonumber\\ &= \left(\left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial\rho}\right)_{\newtilde{s}}\nabla\rho + \left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial\newtilde{s}}\right)_{\rho}\nabla\newtilde{s} - \nabla\newtilde{I}\right) + \rho\nabla\left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial\rho}\right)_{\newtilde{s}}\newtilde{s}\nabla\left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial\newtilde{s}}\right)_{\rho}\nonumber\\ &= \rho\nabla\left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial\rho}\right)_{\newtilde{s}} + \newtilde{s}\nabla\left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial\newtilde{s}}\right)_{\rho}. \end{align} \]
Für die Druckgradientbeschleunigung gilt somit
\[ \begin{align} -\frac{1}{\rho}\nabla p &= -\nabla\left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial\rho}\right)_{\newtilde{s}} - s\nabla\left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial\newtilde{s}}\right)_{\rho}.\tag{10.34}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_14} \end{align} \]
Aufgrund von Glg. (10.15) ist $\frac{q_1}{\rho} = f\left(s\right)$, was
\[ \begin{align} \left(\frac{\partial i}{\partial x}\right)_s = \left(\frac{\partial i}{\partial x}\right)_{q_1/\rho} \end{align} \]
impliziert. Somit kann Glg. (10.34) zu
\[ \begin{align} -\frac{1}{\rho}\nabla p &= -\nabla\left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial\rho}\right)_{q_1} - \frac{q_1}{\rho}\nabla\left(\frac{\partial\newtilde{I}}{\partial q_1}\right)_{\rho}. \end{align} \]
verallgeminert werden. Dies kann man durch Funktionalableitungen der global integrierten inneren Energie $I$ ausdrücken:
\[ \begin{align} -\frac{1}{\rho}\nabla p &= -\nabla\left(\frac{\delta I}{\delta\rho}\right)_{q_1} - \frac{q_1}{\rho}\nabla\left(\frac{\delta I}{\delta q_1}\right)_{\rho}. \end{align} \]
Mit Glg. (10.22) folgt
\[ \begin{align} -\frac{1}{\rho}\nabla p &= -\nabla\left(\frac{\delta I}{\delta\rho}\right)_{q_1} - \frac{q_1}{\rho}\nabla\left(\frac{\delta H}{\delta q_1}\right)_{\rho}. \end{align} \]
Setzt man dies in Glg. (10.26) ein, erhält man
\[ \begin{align} \frac{\delta H}{\delta p_\mathbf{v}} &= \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} = -\nabla\left(\frac{\delta I}{\delta\rho}\right)_{q_1} - \frac{q_1}{\rho}\nabla\left(\frac{\delta H}{\delta q_1}\right)_{\rho} - \frac{\etabi}{\rho}\times\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} - \nabla\phi - \nabla\frac{\delta K}{\delta\rho}\nonumber\\ &= -\nabla\frac{\delta H}{\delta\rho} - \frac{q_1}{\rho}\nabla\frac{\delta H}{\delta q_1} - \frac{\etabi}{\rho}\times\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}.\tag{10.39}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_16} \end{align} \]
In der zweiten Zeile wurden dabei die Markierungen der konstantgehaltenen Größen weggelassen, da aus der Definition von $H$ eindeutig ist, wie die Ableitungen zu verstehen sind. Setzt man die Glg.en (10.24) - (10.25), (10.39) in Glg. (10.12) ein, erhält man
\[ \begin{align} \left\lbrace F, H\right\rbrace &= -\int_A\frac{\delta F}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}d^3r - \int_A\frac{\delta F}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r\nonumber\\ &-\int_A\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\left(\frac{\etabi}{\rho}\times\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} + \nabla\frac{\delta H}{\delta\rho} + \frac{q_1}{\rho}\nabla\frac{\delta H}{\delta q_1}\right)d^3r.\tag{10.40}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_1} \end{align} \]
Umsortierung ergibt
\[ \begin{align} \left\lbrace F, H\right\rbrace &= -\int_A\frac{\delta F}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} + \frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\nabla\frac{\delta H}{\delta\rho}d^3r\nonumber\\ &- \int_A\frac{\delta F}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right) + \frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\frac{q_1}{\rho}\nabla\frac{\delta H}{\delta q_1}d^3r\nonumber\\ &-\int_A\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\left(\frac{\etabi}{\rho}\times\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r.\tag{10.41}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_2} \end{align} \]
Es gelten
\[ \begin{align} \frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\nabla\frac{\delta H}{\delta\rho} &= \nabla\cdot\left(\frac{\delta H}{\delta\rho}\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\right) - \frac{\delta H}{\delta\rho}\nabla\cdot\left(\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\right),\\ \frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\frac{q_1}{\rho}\nabla\frac{\delta H}{\delta q_1} &= \nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta q_1}\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\right) - \frac{\delta H}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\right). \end{align} \]
Setzt man dies in Glg. (10.41) ein, erhält man
\[ \begin{align} \left\lbrace F, H\right\rbrace &= -\int_A\frac{\delta F}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} + \nabla\cdot\left(\frac{\delta H}{\delta\rho}\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\right) - \frac{\delta H}{\delta\rho}\nabla\cdot\left(\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r\nonumber\\ &- \int_A\frac{\delta F}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right) + \nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta q_1}\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\right) - \frac{\delta H}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r\nonumber\\ &-\int_A\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\left(\frac{\etabi}{\rho}\times\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r. \end{align} \]
Man geht nun von
\[ \begin{align} \int_A\nabla\cdot\left(\frac{\delta H}{\delta\rho}\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r = \int_A\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta q_1}\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r = 0 \end{align} \]
aus, was aufgrund des Satzes von Gauß erfüllt ist, falls $\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\mathbf{n} = 0$ auf $\partial A$ gilt. Unter diesen Voraussetzungen gilt also in einer reversiblen trockenen Atmosphäre für beliebige Funktionale $F$ die Zeitentwicklungsgleichung
\[ \begin{align} \frac{dF}{dt} = \lbrace F, H\rbrace &= -\int_A\frac{\delta F}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} - \frac{\delta H}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}d^3r\nonumber\\ &- \int_A\frac{\delta F}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right) - \frac{\delta H}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r\nonumber\\ &- \int_A\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\left(\frac{\etabi}{\rho}\times\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r.\tag{10.46}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_explicit} \end{align} \]
Hieraus ergibt sich erwartungsgemäß
\[ \begin{align} \lbrace H, H\rbrace &= 0. \end{align} \]
Man definiert nun
\[ \begin{align} \lbrace F, H\rbrace_\rho &\coloneqq -\int_A\frac{\delta F}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} - \frac{\delta H}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}d^3r = -\int_A-\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\cdot\nabla\frac{\delta F}{\delta\rho} + \frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\nabla\frac{\delta H}{\delta\rho}d^3r\nonumber\\ &= -\int_A\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\nabla\frac{\delta H}{\delta\rho} - \frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\cdot\nabla\frac{\delta F}{\delta\rho}d^3r,\\ \lbrace F, H\rbrace_{q_1} &\coloneqq -\int_A\frac{\delta F}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right) - \frac{\delta H}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r = -\int_A-\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\cdot\nabla\frac{\delta F}{\delta q_1} + \frac{q_1}{\rho}\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\nabla\frac{\delta H}{\delta q_1}d^3r\nonumber\\ &= -\int_A\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\nabla\frac{\delta H}{\delta q_1} - \frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\cdot\nabla\frac{\delta F}{\delta q_1}d^3r \end{align} \]
Es wird deutlich, dass jede Klammer in einer „ Skalarfeld x Divergenz“- und in einer „ Vektorfeld x Gradient“-Schreibweise formuliert werden kann. Jede der beiden Klammern ist antisymmetrisch:
\[ \begin{align} \lbrace F, H\rbrace_\rho &= -\lbrace H, F\rbrace_\rho\tag{10.50}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_3}\\ \lbrace F, H\rbrace_{q_1} &= -\lbrace H, F\rbrace_{q_1}\tag{10.51}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_4} \end{align} \]
Nun definiert man sogenannte Nambu-Klammern durch
\[ \begin{align} \lbrace F, g, H\rbrace &\coloneqq -\int_A\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\left(\frac{1}{\rho}\frac{\delta g}{\delta\mathbf{v}}\times\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r = -\int_A\frac{1}{\rho}\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\left(\frac{\delta g}{\delta\mathbf{v}}\times\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r, \end{align} \]
hierbei ist $g$ ein Funktional. Für Nambu-Klammern gilt
\[ \begin{align} \lbrace F, g, H\rbrace = \lbrace H, F, g\rbrace = \lbrace g, H, F\rbrace. \end{align} \]
Ferner gilt
\[ \begin{align} \lbrace F, g, H\rbrace = -\lbrace F, H, g\rbrace = -\lbrace g, F, H\rbrace = -\lbrace H, g, F\rbrace.\tag{10.54}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_deriv_5} \end{align} \]
Setzt man dies zusammen mit den Glg.en (10.50) - (10.51) in Glg. (10.66) ein, erhält man
\[ \begin{align} \lbrace H, F\rbrace &= \lbrace H, F\rbrace_\rho + \lbrace H, F\rbrace_{q_1} + \lbrace H, h_a, F\rbrace = -\lbrace F, H\rbrace_\rho - \lbrace F, H\rbrace_{q_1} - \lbrace F, h_a, H\rbrace = -\lbrace F, H\rbrace. \end{align} \]
Definiere nun eine reduzierte Helizität $Z$ (für die originale Definition der Helizität siehe Glg. (15.104)) durch
\[ \begin{align} Z \coloneqq \frac{1}{2}\mathbf{v}\cdot\nabla\times\mathbf{v} \end{align} \]
und die absolute Helizität $Z_a$ durch
\[ \begin{align} Z_a \coloneqq \frac{1}{2}\mathbf{v}_a\cdot\nabla\times\mathbf{v}_a = \frac{1}{2}\left(\Omegabi\times\mathbf{r} + \mathbf{v}\right)\cdot\nabla\times\left(\Omegabi\times\mathbf{r} + \mathbf{v}\right), \end{align} \]
dies ist die im Inertialsystem gemessene Helizität. Die entsprechenden Funktionale werden durch
\[ \begin{align} Z &\coloneqq \int_A\frac{1}{2}\mathbf{v}\cdot\nabla\times\mathbf{v}d^3r,\\ Z_a &\coloneqq \int_A\frac{1}{2}\mathbf{v}_a\cdot\nabla\times\mathbf{v}_ad^3r \end{align} \]
definiert. Seien nun $\mathbf{h}: A \to\mathbb{R}^3$ eine Testfunktion mit $\mathbf{h}\left(\partial A\right) = \mathbf{0}$ und $\epsilon > 0$. Man definiert
\[ \begin{align} Z'\left(\epsilon\right) &\coloneqq \int_A\frac{1}{2}\left(\mathbf{v} + \epsilon\mathbf{h}\right)\cdot\nabla\times\left(\mathbf{v} + \epsilon\mathbf{h}\right)d^3r = \int_A\frac{1}{2}\mathbf{v}\cdot\nabla\times\mathbf{v}d^3r + \int_A\frac{\epsilon}{2}\mathbf{h}\cdot\nabla\times\mathbf{v}d^3r + \int_A\frac{\epsilon}{2}\mathbf{v}\cdot\nabla\times\mathbf{h}d^3r + \mathcal{O}\left(\epsilon^2\right). \end{align} \]
Es gilt nun in erster Ordnung in $\epsilon$ die Gleichung
\[ \begin{align} \frac{Z'\left(\epsilon\right) - Z'\left(0\right)}{\epsilon} &= \frac{Z'\left(\epsilon\right) - Z}{\epsilon} = \int_A\frac{1}{2}\mathbf{h}\cdot\nabla\times\mathbf{v}d^3r + \int_A\frac{1}{2}\mathbf{v}\cdot\nabla\times\mathbf{h}d^3r = \frac{1}{2}\int_A\mathbf{h}\cdot\nabla\times\mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot\nabla\times\mathbf{h}d^3r\nonumber\\ &= \frac{1}{2}\int_A\mathbf{v}\cdot\nabla\times\mathbf{h} - \mathbf{h}\cdot\nabla\times\mathbf{v} + 2\mathbf{h}\cdot\nabla\times\mathbf{v}d^3r \stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_9}{\text{Glg. (B.55)}}}{=} \frac{1}{2}\int_A\nabla\cdot\left(\mathbf{h}\times\mathbf{v}\right) + 2\mathbf{h}\cdot\nabla\times\mathbf{v}d^3r\nonumber\\ &= \int_A\mathbf{h}\cdot\nabla\times\mathbf{v}d^3r. \end{align} \]
Im letzten Schritt wurden dabei der Gauß'sche Satz und die Tatsache $\mathbf{h}\left(\partial A\right) = \mathbf{0}$ eingesetzt. Somit gilt
\[ \begin{align} \frac{\delta Z}{\delta\mathbf{v}} = \nabla\times\mathbf{v} = \zetabi. \end{align} \]
Analog gilt auch
\[ \begin{align} \frac{\delta Z_a}{\delta\mathbf{v}_a} = \nabla\times\mathbf{v}_a = \etabi. \end{align} \]
Aufgrund von
\[ \begin{align} \frac{\delta Z}{\delta\mathbf{v}} = \frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}_a} \end{align} \]
gilt auch
\[ \begin{align} \frac{\delta Z_a}{\delta\mathbf{v}} = \etabi. \end{align} \]
Somit kann man Glg. (10.46) in der Form
\[ \begin{align} \frac{dF}{dt} = \lbrace F, H\rbrace &= \lbrace F, Z_a, H + \lbrace F, H\rbrace_\rho + \lbrace F, H\rbrace_{q_1}\rbrace\tag{10.66}\label{eq:poisson_bracket_atm_gen_parts} \end{align} \]
schreiben.
Der Poisson-Klammer-Formalismus führt auf eine spezielle Form der Druckgradientbeschleunigung. Darin ist neben $\rho$ und $q_1$ meist eine dritte Variable enthalten, gelegentlich sogar eine vierte oder fünfte. Eine dieser Variablen wählt man als sogenannte semi-prognostische Variable $q_2$. Diese ist aufgrund der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase keine eigenständige prognostische Variable mehr, da der thermodynamische Zustand sonst überbestimmt wäre, jedoch ist sie gegenüber anderen diagnostischen Variablen ausgezeichnet, da sie in der Evolution der Energieformen eine Rolle spielt.
Es gilt für Energieformen $F$ die Tatsache $\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}} \parallel \mathbf{v}$, somit gilt in diesem Fall
\[ \begin{align} \lbrace F, H_a, H\rbrace = 0 \Rightarrow \lbrace F, H\rbrace = \lbrace F, H\rbrace_\rho + \lbrace F, H\rbrace_{q_1}. \end{align} \]
Hieraus folgen
\[ \begin{align} \lbrace K, H\rbrace &= \int_A-\frac{\delta K}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} + \frac{\delta H}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta K}{\delta\mathbf{v}} + \frac{\delta H}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta K}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r\nonumber\\ &= \int_A-\frac{\delta K}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} + \frac{\delta H}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} + \frac{\delta H}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r\nonumber\\ &= \int_A\frac{\delta\left(H - K\right)}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} + \frac{\delta I'}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r\nonumber\\ &= \int_A\frac{\delta I'}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} + \frac{\delta I'}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r,\\ \lbrace I', H\rbrace &= \int_A-\frac{\delta I'}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} - \frac{\delta I'}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r. \end{align} \]
Addiert man beides, erhält man wie erwartet
\[ \begin{align} \lbrace K, H\rbrace + \lbrace I', H\rbrace = \lbrace H, H\rbrace = 0. \end{align} \]
Verwendet man anstatt der Temperatur die potentielle Temperatur und definiert
\[ \begin{align} q_1 \coloneqq \newtilde{\theta} = \rho\theta, \end{align} \]
folgt mit Glg. (9.65)
\[ \begin{align} H &= H\left(\mathbf{v}, \rho, q_1\right) = H\left(\mathbf{v}, \rho, \newtilde{\theta}\right) = \int_A\frac{1}{2}\rho\mathbf{v}^2 + \rho\phi + c_d^{(v)}\frac{p\left(\rho, \newtilde{\theta}\right)}{R_d}d^3r\nonumber\\ &= \int_A\frac{1}{2}\rho\mathbf{v}^2 + \rho\phi + c_d^{(v)}\frac{p_0}{R_d}\left(\frac{R_d\newtilde{\theta}}{p_0}\right)^\kappa d^3r = \int_A\frac{1}{2}\rho\mathbf{v}^2 + \rho\phi + c_d^{(v)}\frac{p_0}{R_d}\left(\frac{R_d q_1}{p_0}\right)^\kappa d^3r. \end{align} \]
Die Funktionalableitungen hiervon sind
\[ \begin{align} \frac{\delta H}{\delta\rho} &= \frac{1}{2}\mathbf{v}^2 + \phi,\\ \frac{\delta H}{\delta q_1} &= c_d^{(v)}\frac{p_0}{R_d}\frac{R_d}{p_0}\kappa\left(\frac{R_d q_1}{p_0}\right)^{\kappa - 1} = c_d^{(p)}\left(\frac{R_d q_1}{p_0}\right)^{\kappa - 1} = c_d^{(p)}\left(\frac{R_d q_1}{p_0}\right)^{\frac{R_d}{c_d^{(v)}}} \stackrel{\href{ch-08-erster-hauptsatz-in-der-atmosphäre.html#eq:exner_pressure_diag}{\text{Glg. (9.71)}}}{=} c_d^{(p)}\Pi,\\ \frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} &= \rho\mathbf{v}. \end{align} \]
Nun sollen die Zeitentwicklungen der Größen $K$ und $I'$ untersucht werden. Dazu rechnet man vorbereitend
\[ \begin{align} \frac{\delta K}{\delta\rho} = \frac{1}{2}\mathbf{v}^2, & {} & \frac{\delta K}{\delta q_1} = 0, & {} & \frac{\delta K}{\delta\mathbf{v}} = \rho\mathbf{v},\\ \frac{\delta I'}{\delta\rho} = \phi, & {} & \frac{\delta I'}{\delta q_1} = c_d^{(p)}\Pi, \frac{\delta I'}{\delta\mathbf{v}} = 0. \end{align} \]
und erhält somit
\[ \begin{align} \lbrace K, H\rbrace &= \int_A\frac{\delta H}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta K}{\delta\mathbf{v}} - \frac{\delta K}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} + \frac{\delta H}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta K}{\delta\mathbf{v}}\right) - \frac{\delta K}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r\nonumber\\ &= \int_A\left(\frac{1}{2}\mathbf{v}^2 + \phi\right)\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) - \frac{1}{2}\mathbf{v}^2\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) + c_d^{(p)}\Pi\nabla\cdot\left(q_1\mathbf{v}\right)d^3r\nonumber\\ &= \int_A\phi\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) + c_d^{(p)}\Pi\nabla\cdot\left(q_1\mathbf{v}\right)d^3r\nonumber\\ &= \int_A-\rho\mathbf{v}\cdot\nabla\phi - c_d^{(p)}q_1\mathbf{v}\cdot\nabla\Pi d^3r\tag{10.78}\label{eq:poisson_entropy_kinetic}, \end{align} \] \[ \begin{align} \lbrace I', H\rbrace &= \int_A\frac{\delta H}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta I'}{\delta\mathbf{v}} - \frac{\delta I'}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} + \frac{\delta H}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta I'}{\delta\mathbf{v}}\right) - \frac{\delta I'}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r\nonumber\\ &= \int_A-\phi\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) - c_d^{(p)}\Pi\nabla\cdot\left(q_1\mathbf{v}\right)d^3r.\tag{10.79}\label{eq:poisson_entropy_potential_internal} \end{align} \]
Verwendet man anstatt der potentiellen Temperatur die Entropie und definiert
\[ \begin{align} q_1 \coloneqq \newtilde{s} = \rho s, \end{align} \]
folgt
\[ \begin{align} H &= H\left(\mathbf{v}, \rho, q_1\right) = H\left(\mathbf{v}, \rho, \newtilde{s}\right) = \int_A\frac{1}{2}\rho\mathbf{v}^2 + \rho\phi + c_d^{(v)}\frac{p\left(\rho, \newtilde{s}\right)}{R_d}d^3r\nonumber\\ &= \int_A\frac{1}{2}\rho\mathbf{v}^2 + \rho\phi + c_d^{(v)}\frac{p\left(\rho, q_1\right)}{R_d}d^3r.\tag{10.81}\label{eq:hamilton-functional_entropy} \end{align} \]
Die Funktionalableitungen hiervon sind
\[ \begin{align} \frac{\delta H}{\delta\rho} \stackrel{\href{ch-04-statistische-physik.html#eq:chemisches_potential_prop_0}{\text{Glg. (5.91)}}}{=} \frac{1}{2}\mathbf{v}^2 + \phi + G, & {} & \frac{\delta H}{\delta q_1} \stackrel{\href{ch-04-statistische-physik.html#eq:chemisches_potential_prop_0}{\text{Glg. (5.91)}}}{=} T, & {} & \frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} = \rho\mathbf{v}. \end{align} \]
$G$ bezeichnet hierbei das spezifische Gibbs-Potential. Nun werden wieder die Zeitentwicklungen der Größen $K$ und $I'$ untersucht. Dazu rechnet man vorbereitend
\[ \begin{align} \frac{\delta K}{\delta\rho} = \frac{1}{2}\mathbf{v}^2, & {} & \frac{\delta K}{\delta q_1} = 0, & {} & \frac{\delta K}{\delta\mathbf{v}} = \rho\mathbf{v},\\ \frac{\delta I'}{\delta\rho} = \phi + G, & {} & \frac{\delta I'}{\delta q_1} = T, & {} & \frac{\delta I'}{\delta\mathbf{v}} = 0. \end{align} \]
und erhält somit
\[ \begin{align} \lbrace K, H\rbrace &= \int_A\frac{\delta H}{\delta\rho}\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) - \frac{\delta K}{\delta\rho}\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) + T\nabla\cdot\left(q_1\mathbf{v}\right)d^3r\nonumber\\ &= \int_A\left(\phi + G\right)\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) + T\nabla\cdot\left(q_1\mathbf{v}\right)d^3r\nonumber\\ &= \int_A-\rho\mathbf{v}\cdot\nabla\left(\phi + G\right) - q_1\mathbf{v}\cdot\nabla Td^3r,\\ \lbrace I', H\rbrace &= \int_A\frac{\delta H}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta I'}{\delta\mathbf{v}} - \frac{\delta I'}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} + \frac{\delta H}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta I'}{\delta\mathbf{v}}\right) - \frac{\delta I'}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r\nonumber\\ &= \int_A-\frac{\delta I'}{\delta\rho}\nabla\cdot\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}} - \frac{\delta I'}{\delta q_1}\nabla\cdot\left(\frac{q_1}{\rho}\frac{\delta H}{\delta\mathbf{v}}\right)d^3r\nonumber\\ &= \int_A-\left(\phi + G\right)\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) - T\nabla\cdot\left(q_1\mathbf{v}\right)d^3r. \end{align} \]
Hieraus erhält man als Ausdruck für die Druckgradientbeschleunigung
\[ \begin{align} -\frac{1}{\rho}\nabla p = -\nabla G - s\nabla T.\tag{10.87}\label{eq:entropy_form_of_pressure_gradient} \end{align} \]
Dies wird auch durch
\[ \begin{align} -\nabla G - s\nabla T &= -c_d^{(p)}\nabla T + T\nabla s = -c_d^{(p)}\nabla T + Tc_d^{(p)}\nabla\ln\left(\theta\right)\nonumber\\ &= -c_d^{(p)}\nabla T + \frac{T}{\theta}c_d^{(p)}\nabla\theta = -c_d^{(p)}\theta\nabla\frac{T}{\theta} = -c_d^{(p)}\theta\nabla\Pi \end{align} \]
bestätigt.
Dieser Abschnitt wird nur mit dem in Abschn. 10.1.3 begonnenen Entropieformulismus ausformuliert. In einer irreversiblen trockenen Atmosphäre definiert man zwei irreversible Klammern:
\[ \begin{align} \left(F, \mathbf{f}_R\right) & \coloneqq \left\langle\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\Big| \mathbf{f}_R\right\rangle = \int_A\frac{\delta F}{\delta\mathbf{v}}\cdot\mathbf{f}_Rd^3r\\ \left(F, Q\right) & \coloneqq \left\langle\frac{\delta F}{\delta\newtilde{s}}\Big|\frac{\rho\epsilon}{T}\right\rangle = \int_A\frac{\delta F}{\delta\newtilde{s}}\frac{\rho\epsilon}{T}d^3r \end{align} \]
Nach Glg. (8.96) gilt hierbei
\[ \begin{align} \left(H, \mathbf{f}_R\right) + \left(H, Q\right) = 0. \end{align} \]
Die Dynamik wird dann festgelegt durch
\[ \begin{align} \frac{dF}{dt} = \lbrace F, H\rbrace + \left(F, \mathbf{f}_R\right) + \left(F, Q\right). \end{align} \]
Laut den Erkenntnissen des Abschn. 9.5.1 kann man in einer feuchten Atmosphäre ohne Kondensate mit der Ersetzung
\[ \begin{align} \theta \to \theta_v \end{align} \]
den reversiblen Teil der Dynamik nach Abschn. 10.1.2 übernehmen, wenn man davon ausgeht, dass trockene Luft und Wasserdampf perfekte ideale Gase sind.
Kondensate bewegen sich mit einer Geschwindigkeit $\mathbf{v}_i \not= \mathbf{v}$, welche nicht der Windgeschwindigkeit entspricht, da sie eine überlagerte Fallgeschwindigkeit haben. Diese muss man im globalen Integral der kinetischen Energie berücksichtigen. Dies würde einige zusätzliche Terme generieren. Dies ist jedoch im Verhältnis zum Nutzen nicht praktikabel. Stattdessen wird die Existenz der Kondensate mit folgenden Eingriffen an die Dynamik angekoppelt:
Bei der Lösung der Strahlungsübertragungsgleichung geht man davon aus, dass zu jedem Zeitpunkt das Strahlungsfeld im Gleichgewicht mit dem Temperatur- und Dichtefeld steht. Die Zeitableitungen des Strahlungsfeldes vernachlässigt man also (quasistationärer Prozess). Wollte man das Strahlungsfeld in den Hamilton-Formalismus einbetten, würde das auf Gleichungen mit Zeitableitungen für das Strahlungsfeld führen, die auf so kleinen Zeitskalen gelöst werden müssten, dass dies für die Atmosphäre nicht praktikabel ist.