Für die Kraft $\mathbf{F}$ auf ein Teilchen mit der Ladung $q$, welches sich mit der Geschwindigkeit $\mathbf{v}$ durch das elektromagnetische Feld $\left(\mathbf{E}, \mathbf{B}\right)$ bewegt, gilt
\[ \begin{align} \mathbf{F} = q\left(\mathbf{E} + \frac{\mathbf{v}}{c}\times\mathbf{B}\right).\tag{3.1}\label{eq:f_lorentz} \end{align} \]
Diese Kraft bezeichnet man als Lorentz-Kraft.
Die Maxwell-Gleichungen (MWGen) für das elektromagnetische Feld (EMF) $\left(\mathbf{E}, \mathbf{B}\right)$ ($\rho$ ist die Ladungsdichte und $\mathbf{j}$ die Stromdichte) lauten
\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{E} &= 4\pi\rho\tag{3.2}\label{eq:mwg_1},\\ \nabla\cdot\mathbf{B} &= 0\tag{3.3}\label{eq:mwg_2},\\ \nabla\times\mathbf{E} + \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} &= \mathbf{0}\tag{3.4}\label{eq:mwg_3},\\ \nabla\times\mathbf{B} - \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} &= \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}\tag{3.5}\label{eq:mwg_4}. \end{align} \]
Ladungen und Ströme sind also Quellen des elektromagnetischen Feldes. Die Glg.en (3.1) - (3.5) sind die Grundlage der ED, aus ihnen folgt die Theorie. Die MWGen haben eine einprägsame Struktur: Sie bestehen aus je einer Differenzialgleichung für den divergenten bzw. rotationsbehafteten Anteil der Felder $\mathbf{E}, \mathbf{B}$. Für jedes der Felder $\mathbf{E}$ und $\mathbf{B}$ gibt es eine homogene und eine inhomogene Gleichung. Mit dem Gauß'schen und dem Stokes'schen Satz ergeben sich die integralen Formen der Maxwell-Gleichungen:
\[ \begin{align} \int_{\partial V}^{}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{n} &= 4\pi Q\\ \int_{\partial V}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{n} &= 0\\ \int_{\partial A}^{}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{s} + \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\int_{A}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{n} &= 0\\ \int_{\partial A}^{}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s} - \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\int_{A}^{}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{n} &= \frac{4\pi}{c}I \end{align} \]
Hierbei sind $Q$ die Ladung in $V$ und $I$ der durch $A$ tretende Strom. Die entsprechenden experimentellen Befunde, die zur Formulierung der Gleichungen führten, sind die folgenden:
Schreibt man die MWGen komponentenweise auf, erhält man acht Gleichungen für die sechs Komponenten des elektromagnetischen Feldes. Daher stellt sich die Frage, ob die MWGen überbestimmt sind und keine nichttrivialen Lösungen haben. In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass dies nicht der Fall ist.
Wegen Glg. (3.3) existiert ein Vektorfeld $\mathbf{A}$ mit
\[ \begin{align} \mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}, \tag{3.10}\label{eq:b_vom_pot} \end{align} \]
das Feld $\mathbf{A}$ nennt man das Vektorpotential. Damit ist Glg. (3.3) nach Glg. (B.48) erfüllt. Wegen der dritten Maxwell-Gleichung Glg. (3.4) gilt
\[ \begin{align} \nabla\times\left(\mathbf{E} + \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\right) = \mathbf{0}. \end{align} \]
Es existiert also ein Potential $\phi$ mit
\[ \begin{align} \mathbf{E} = -\nabla\phi - \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t},\tag{3.12}\label{eq:e_vom_pot} \end{align} \]
$\phi$ nennt man das skalare Potential. Damit ist Glg. (3.4) erfüllt. Die Definitionen der Potentiale erhält man also aus den homogenen Maxwell-Gleichungen. Setzt man die bisherigen Festlegungen in Glg. (3.5) ein, erhält man mit Glg. (B.54)
\[ \begin{align} -\Delta\mathbf{A} + \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right) + \frac{1}{c}\nabla\frac{\partial\phi}{\partial t} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{A}}{\partial t^2} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}. \end{align} \]
Addiert man ein konservatives Feld $\nabla\phi'$ zu $\mathbf{A}$ hinzu, so ändert sich $\mathbf{B}$ nicht. Mit der Ersetzung \[ \begin{align} \phi\to\phi - \frac{1}{c}\frac{\partial\phi'}{\partial t} \end{align} \] ändert sich auch $\mathbf{E}$ nicht.
Dies nennt man die Eichinvarianz der MWGen. Die Eichung kann durch einen beliebigen linearen Zusammenhang der Potentiale festgelegt werden, mit der Lorenz-Eichung
\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{A} + \frac{1}{c}\frac{\partial\phi}{\partial t} = 0\tag{3.15}\label{eq:lorenz-eichung} \end{align} \]
wird die vierte MWG zu
\[ \begin{align} \Delta \mathbf{A} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{A}}{\partial t^2} = -\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}.\tag{3.16}\label{eq:ed_pot_1} \end{align} \]
Die erste MWG wird zu
\[ \begin{align} -\Delta\phi - \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf{A} = 4\pi\rho\Leftrightarrow\Delta\phi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} = -4\pi\rho.\tag{3.17}\label{eq:ed_pot_2} \end{align} \]
Damit sind vier lineare, unabhängige Differenzialgleichungen für $\phi$, $\mathbf{A}$ gegeben, die die Maxwell-Gleichungen ersetzen. Über die Glg.en (3.12) und (3.10) kann hieraus das EMF $\left(\mathbf{E}, \mathbf{B}\right)$ bestimmt werden.
Bildet man die partielle Zeitableitung von Glg. (3.2), multipliziert die Divergenz von Glg. (3.5) mit $c$ und addiert die beiden resultierenden Gleichungen, erhält man
\[ \begin{align} \nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} - \nabla\cdot\frac{\partial\mathbf E}{\partial t} &= 4\pi\frac{\partial\rho}{\partial t} + 4\pi\nabla\cdot\mathbf{j}\nonumber \end{align} \]
\[ \begin{align} \Leftrightarrow \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j} &= 0. \end{align} \]
Dies ist die Kontinuitätsgleichung der Ladung.
Nun sollen noch die Lagrange- und die Hamilton-Funktion eines Teilchens der Massen $m$ und Ladung $q$ im elektromagnetischen Feld $\left(\mathbf{E}, \mathbf{B}\right)$ hergeleitet werden. Setzt man für das Potential $U = U\left(\mathbf{r}, \newdot{\mathbf{r}}, t\right)$ an
\[ \begin{align} U\left(\mathbf{r}, \newdot{\mathbf{r}}, t\right) = q\phi\left(\mathbf{r}, t\right) - \frac{q}{c}\mathbf{A}\left(\mathbf{r}, t\right)\cdot\newdot{\mathbf{r}}, \tag{3.19}\label{eq:ed_ansatz_kraft} \end{align} \]
so folgt mit Glg. (2.61)
\[ \begin{align} \mathbf{F}\left(\mathbf{r}, \newdot{\mathbf{r}}, t\right)&\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_6}{\text{Glg. (B.52)}}}{=} -q\nabla\phi + \frac{q}{c}\left(\newdot{\mathbf{r}}\cdot\nabla\right)\mathbf{A} + \frac{q}{c}\newdot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B} - \frac{q}{c}\md{}\mathbf{A} = q\left(-\nabla\phi - \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t} + \frac{1}{c}\newdot{\mathbf{r}}\times\mathbf{B}\right)\nonumber\\ &= q\left(\mathbf{E} + \frac{\newdot{\mathbf{r}}}{c}\times\mathbf{B}\right). \end{align} \]
Es ergibt sich also die Lorentz-Kraft nach Glg. (3.1), dies zeigt die Richtigkeit des Ansatzes Glg. (3.19). Also lautet die Lagrange-Funktion eines Teilchens im EMF
\[ \begin{align} L\left(\mathbf{r}, \newdot{\mathbf{r}}, t\right) &= \frac{m}{2}\newdot{\mathbf{r}}^2 - q\phi\left(\mathbf{r}, t\right) + \frac{q}{c}\newdot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}\left(\mathbf{r}, t\right) \end{align} \]
Daraus folgt für die kanonischen Impulse
\[ \begin{align} p_i = \frac{\partial L}{\partial\newdot{x}_i} = m\newdot{x}_i + \frac{q}{c}A_i\Rightarrow \newdot{x}_i = \frac{1}{m}\left(p_i - \frac{q}{c}A_i\right). \end{align} \]
Für die Hamilton-Funktion $H = H\left(\mathbf{r}, \mathbf{p}, t\right)$ gilt somit
\[ \begin{align} H\left(\mathbf{r}, \mathbf{p}, t\right) &= \frac{1}{m}\left(\mathbf{p} - \frac{q}{c}\mathbf{A}\right)\cdot\mathbf{p} - \frac{m}{2}\frac{1}{m^2}\left(\mathbf{p} - \frac{q}{c}\mathbf{A}\right)^2 + q\phi\left(\mathbf{r}, t\right) - \frac{q}{ cm}\left(\mathbf{p} - \frac{q}{c}\mathbf{A}\right)\cdot\mathbf{A}\left(\mathbf{r}, t\right)\nonumber\\ &= \frac{1}{m}\left(\mathbf{p} - \frac{q}{c}\mathbf{A}\right)\left(\mathbf{p} - \frac{1}{2}\left(\mathbf{p} - \frac{q}{c}\mathbf{A}\right) - \frac{q}{c}\mathbf{A}\right) + q\phi\left(\mathbf{r}, t\right) = \frac{1}{2m}\left(\mathbf{p} - \frac{q}{c}\mathbf{A}\right)^2 + q\phi\left(\mathbf{r}, t\right).\tag{3.23}\label{eq:hamilton_funktion_teilchen_emf} \end{align} \]
Im Vakuum lauten die MWGen
\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{E} &= 0, \tag{3.24}\label{eq:mwg_1_vak}\\ \nabla\cdot\mathbf{B} &= 0, \tag{3.25}\label{eq:mwg_2_vak}\\ \nabla\times\mathbf{E} + \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} &= \mathbf{0}, \tag{3.26}\label{eq:mwg_3_vak}\\ \nabla\times\mathbf{B} - \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} &= \mathbf{0}.\tag{3.27}\label{eq:mwg_4_vak} \end{align} \]
Wendet man $\nabla\times $ auf die Glg.en (3.26) und (3.27) an, erhält man
\[ \begin{align} - \Delta\mathbf{E} + \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\nabla\times\mathbf{B} &= \mathbf{0}\Leftrightarrow\Delta\mathbf{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{E} = \mathbf{0},\\ - \Delta\mathbf{B} - \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\nabla\times\mathbf{E} &= \mathbf{0}\Leftrightarrow\Delta\mathbf{B} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{B} = \mathbf{0}, \end{align} \]
also Wellengleichungen für das EMF $\left(\mathbf{E}, \mathbf{B}\right)$. Man macht nun Ansätze
\[ \begin{align} \mathbf{E} = \mathbf{E}_0e^{i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t\right)}, & {} & \mathbf{B} = \mathbf{B}_0e^{i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t + \varphi\right)}. \end{align} \]
Allgemeinere Wellen kann mit der FT aus der Überlagerung solcher ebener Wellen bekommen. Man sieht sofort, dass elektromagnetische Wellen im Vakuum dispersionsfrei sind und die Phasengeschwindigkeit $c$ haben. Man ist interessiert an dem Verhältnis der Amplituden $\mathbf{E}_0$, $\mathbf{B}_0$, sowie an der Phasenverschiebung $\varphi$. Aus den Glg.en (3.24) und (3.25) folgt $\mathbf{E}_0, \mathbf{B}_0\perp\mathbf{k}$. Elektromagnetische Wellen sind also Transversalwellen. Man stellt weiterhin mit Glg. (B.51) fest
\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{E} &= -i\mathbf{E}\times\mathbf{k}. \end{align} \]
Außerdem gelten
\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{B} = -i\mathbf{B}\times\mathbf{k}, & {} & \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} = -i\omega\mathbf{E}, & {} & \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = -i\omega\mathbf{B}. \end{align} \]
Setzt man dies in die Glg.en (3.26) - (3.27) ein, erhält man
\[ \begin{align} - i\mathbf{E}\times\mathbf{k} - \frac{1}{c}i\omega\mathbf{B} &= \mathbf{0}\tag{3.33}\label{eq:ed_deriv_1},\\ - i\mathbf{B}\times\mathbf{k} + \frac{1}{c}i\omega\mathbf{E} &= \mathbf{0}\tag{3.34}\label{eq:ed_deriv_2}. \end{align} \]
Mit $c = \frac{\omega}{k}$ folgt
\[ \begin{align} \mathbf{E}\times\mathbf{k} &= -k\mathbf{B}. \end{align} \]
Hieraus folgen
\[ \begin{align} \mathbf{E}\cdot\mathbf{B} = 0, \varphi = 0. \end{align} \]
Da $\mathbf{E}\perp\mathbf{k}$ gilt, ist
\[ \begin{align} E = B \end{align} \]
und somit
\[ \begin{align} E_0 &= B_0. \end{align} \]
Um die Energie des elektromagnetischen Feldes zu bestimmen, betrachtet man ein System aus $N$ Ladungen $q_i$ an den Orten $\mathbf{r}_i$. Die Arbeit, die das elektromagnetische Feld an diesem System leistet, ist nach Glg. (3.1) gegeben durch
\[ \begin{align} W &= \sum_{i = 1}^{N}\int\mathbf{F}\left(\mathbf{r}_i\right)\cdot\frac{d\mathbf{r}_i}{dt}dt = \sum_{i = 1}^{N}\int q_i\left(\mathbf{E}\left(\mathbf{r}_i\right) + \frac{1}{c}\frac{d\mathbf{r}_i}{dt}\times\mathbf{B}\right)\cdot\frac{d\mathbf{r}_i}{dt}dt\nonumber\\ &= \sum_{i = 1}^{N}\int q_i\mathbf{E}\left(\mathbf{r}_i\right)\cdot\frac{d\mathbf{r}_i}{dt}dt. \end{align} \]
Daraus folgt
\[ \begin{align} \frac{dW}{dt} = \sum_{i = 1}^{N}q_i\mathbf{E}\left(\mathbf{r}_i\right)\cdot\frac{d\mathbf{r}_i}{dt}. \end{align} \]
Hier kann man die Stromdichte
\[ \begin{align} \mathbf{j}\left(\mathbf{r}, t\right) = \sum_{i = 1}^{N}q_i\mathbf{v}_i\delta\left(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i\right) \end{align} \]
einsetzen:
\[ \begin{align} \frac{dW}{dt} = \int_{\mathbb{R}^3}\mathbf{j}\cdot\mathbf{E}d^3r \end{align} \]
Dies kann man mittels der Maxwell-Gleichungen umformen,
\[ \begin{align} \mathbf{j}\cdot\mathbf{E} &= \frac{c}{4\pi}\mathbf{E}\cdot\nabla\times\mathbf{B} - \frac{1}{4\pi}\mathbf{E}\cdot\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}. \end{align} \]
Mit Glg. (B.55) erhält man
\[ \begin{align} \mathbf{j}\cdot\mathbf{E} &= -\frac{c}{4\pi}\nabla\cdot\left(\mathbf{E}\times\mathbf{B}\right) + \frac{c}{4\pi}\mathbf{B}\cdot\nabla\times\mathbf{E} - \frac{1}{8\pi}\frac{\partial\mathbf{E}^2}{\partial t} = -\frac{c}{4\pi}\nabla\cdot\left(\mathbf{E}\times\mathbf{B}\right) - \frac{1}{8\pi}\frac{\partial}{\partial t}\left(\mathbf{E}^2 + \mathbf{B}^2\right). \end{align} \]
Nun definiert man die Energiedichte $w$ des elektromagnetischen Feldes durch
\[ \begin{align} w\left(\mathbf{r}, t\right) \coloneqq \frac{1}{8\pi}\left(\mathbf{E}^2 + \mathbf{B}^2\right)\tag{3.45}\label{eq:energiedichte} \end{align} \]
sowie die Strahlungsflussdichte als
\[ \begin{align} \mathbf{S}\left(\mathbf{r}, t\right) \coloneqq \frac{c}{4\pi}\left(\mathbf{E}\times\mathbf{B}\right). \end{align} \]
Damit folgt
\[ \begin{align} \frac{\partial w}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{S} &= -\mathbf{j}\cdot\mathbf{E}\tag{3.47}\label{eq:poynting_theorem}. \end{align} \]
Glg. (3.47) ist das Poynting-Theorem. Dies kann man sich noch veranschaulichen. Man integriert dazu Glg. (3.47) über ein zeitunabhängiges Volumen $V$:
\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\int_{V}w\left(\mathbf{r}, t\right)d^3r + \int_{\partial V}\mathbf{S}\cdot d\mathbf{n} = -\frac{dW}{dt}. \end{align} \]
Ist Glg. (3.45) die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes, so ist
\[ \begin{align} U = \int_{V}w\left(\mathbf{r}, t\right)d^3r \end{align} \]
die Energie desselben. Somit folgt
\[ \begin{align} \frac{dU}{dt} + \frac{dW}{dt} = -\int_{\partial V}\mathbf{S}\cdot d\mathbf{n}. \end{align} \]
Strahlung bedeutet Energietransport durch elektromagnetische Wellen. Die physikalischen Größen, die Strahlung beschreiben, werden Strahlungsgrößen genannt.
| Strahlungsgröße | SI-Einheit | Definition |
|---|---|---|
| Strahlungsenergie | J | die Energie, die an ein System in einem bestimmten Zeitintervall übertragen wird |
| spektrale Strahlungsenergie | J/m | Strahlungsenergie pro Wellenlänge |
| Strahlungsfluss | W | die zeitliche Rate, mit der durch Strahlung Energie übertragen wird |
| spektraler Strahlungsfluss | W/m | Strahlungsfluss pro Wellenlänge |
| Strahlungsflussdichte | W/m$^2$ | i. A. vektorielle Größe, Strahlungsenergie, die pro Zeit durch eine bestimmte Fläche tritt |
| spektrale Strahlungsflussdichte | W/m$^3$ | Strahlungsflussdichte pro Wellenlänge |
| Strahldichte | W/m$^2$ | Strahlungsflussdichte pro Raumwinkel |
| spektrale Strahldichte | W/m$^3$ | Strahldichte pro Wellenlänge |
| Energiedichte | J/m$^3$ | Energie, die pro Volumen in Form elektromagnetischer Wellen vorhanden ist |
| spektrale Energiedichte | J/m$^4$ | Energiedichte pro Wellenlänge |
Die spektralen Größen sind dabei folgendermaßen zu verstehen: Man stellt sich ein Gerät vor, was die zugrundeliegende Größe nach Wellenlängen gefiltert messen kann. Man misst beispielsweise einen Strahlungsfluss $\phi$, der auf ein System wirkt, aber die Messung bricht bei einer Wellenlänge $\lambda > 0$ ab. So definiert man die Funktion $\varphi\left(\lambda\right)$. Die Ableitung dieser Funktion $\phi _\lambda \coloneqq \frac{d\varphi}{d\lambda}$ nach $\lambda$ nennt man spektralen Strahlungsfluss, da diese Größe eine Aussage über die spektrale Verteilung der Energie erlaubt. Es gilt
\[ \begin{align} \phi = \int_{0}^{\infty}\phi_\lambda d\lambda. \end{align} \]
Man kann spektrale Strahlungsgrößen auch durch Ableitung nach der Frequenz definieren. Das Wort spektral wird manchmal unterschlagen werden.
Die MWGen ergeben für elektromagnetische Wellen im Vakuum in jedem IS die Phasengeschwindigkeit $c$. Dies ist ein Widerspruch zur Galileitransformation. Diese ist daher falsch und durch die Lorentz-Transformation zu ersetzen, welche für Geschwindigkeiten $v\ll c$ die Galileitransformation als Grenzfall enthalten muss. Dies ist die Aussage der Speziellen Relativitätstheorie.
Ein Element $\left(x^{\left(\alpha\right)}\right)$ der Raumzeit definiert man durch einen 4-Vektor
\[ \begin{align} \left(x^{\left(\alpha\right)}\right) \coloneqq\left(\begin{array}{c} ct\\ x\\ y\\ z \end{array}\right), \end{align} \]
die Raumzeit ist die Menge aller 4-Vektoren. $x, y, z$ sind kartesische Koordinaten in einem IS, $t$ ist die durch einen willkürlichen Zeitnullpunkt $t_0$ festgelegte Zeitkoordinate. Griechische Indizes sollen immer von Null bis Drei laufen. Man definiert weiter ein Ereignis als einen messbaren physikalischen Vorgang ohne zeitliche und räumliche Ausdehnung. Seien zwei Ereignisse mit den Indizes 1 und 2 bezeichnet, dann kann man sie durch ihre entsprechenden Raumzeit-Koordinaten festlegen:
\[ \begin{align} \left(x_1^{\left(\alpha\right)}\right) &= \left(\begin{array}{c} ct_1\\ x_1\\ y_1\\ z_1 \end{array}\right), \nonumber\\ \left(x_2^{\left(\alpha\right)}\right) &= \left(\begin{array}{c} ct_2\\ x_2\\ y_2\\ z_2 \end{array}\right). \end{align} \]
Man definiert den Abstand $s_{1, 2}^2$ der beiden Ereignisse in der Raumzeit durch
\[ \begin{align} s_{1, 2}^2 \coloneqq c^2\left(t_2 - t_1\right)^2 - \left(x_2 - x_1\right)^2 - \left(y_2 - y_1\right)^2 - \left(z_2 - z_1\right)^2. \end{align} \]
Definiere nun ein IS', dessen Achsen parallel zu denen von IS sind und welches sich mit einer konstanten Geschwindigkeit $\mathbf{v} = v\mathbf{e}_x$ relativ zu IS bewegt. Zur Zeit $t = t' = 0$ seien die Ursprünge der beiden KS am selben Ort. Experimentell findet man
\[ \begin{align} s_{1, 2}^2 &= s_{1, 2}'^2. \end{align} \]
Für ein Photon (oder eine elektromagnetische Wellenfront), welches sich in jedem IS mit $c$ bewegt, gilt
\[ \begin{align} s_{1, 2}^2 &= s_{1, 2}'^2 = 0, \end{align} \]
die Aussage ist also klar. Für ein geradlinig-gleichförmig bewegtes Teilchen ist
\[ \begin{align} s_{1, 2}^2 &= \left(c^2 - v^2\right)\left(t_2 - t_1\right) = \left(c^2 - v'^2\right)\left(t_2' - t_1'\right) = s_{1, 2}'^2 \end{align} \]
experimentell zu verifizieren. Nun definiert man weiter die Matrix $\eta$ durch
\[ \begin{align} \eta \coloneqq\left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0& -1&0&0\\ 0&0& -1&0\\ 0&0&0& -1 \end{array}\right). \end{align} \]
Damit kann man den Abstand zweier Ereignisse $ds$ linear entwickeln:
\[ \begin{align} ds^2 &= c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = \sum_{\alpha = 0}^{3}\sum_{\beta = 0}^{3}\eta_{\alpha, \beta}dx^{\left(\alpha\right)} dx^{\left(\beta\right)} = :\eta_{\alpha, \beta}dx^{\left(\alpha\right)} dx^{\left(\beta\right)} \end{align} \]
Hierbei wurde die Einstein'sche Summenkonvention eingeführt: Über zwei gleiche Indizes, von denen der eine unten und der andere oben steht, wird summiert. Für die Lorentz-Transformation setzt man nun an
\[ \begin{align} x'^{\left(\alpha\right)} = \Lambda_\beta^{\left(\alpha\right)} x^{\left(\beta\right)} + b^{\left(\alpha\right)}. \end{align} \]
Hieraus folgt
\[ \begin{align} dx'^{\left(\alpha\right)} = \Lambda_\beta^{\left(\alpha\right)} dx^{\left(\beta\right)}. \end{align} \]
Nun fordert man $ds^2 = ds'^2$ und erhält
\[ \begin{align} ds'^2 &= \eta_{\alpha, \beta}dx'^{\left(\alpha\right)} dx'^{\left(\beta\right)} = \eta_{\alpha, \beta}dx'^{\left(\alpha\right)}\Lambda_\delta^{\left(\beta\right)} dx^{\left(\delta\right)} = \eta_{\alpha, \beta}\Lambda_\gamma^{\left(\alpha\right)} dx^{\left(\gamma\right)}\Lambda_\delta^{\left(\beta\right)} dx^{\left(\delta\right)}\nonumber\\ &= \eta_{\alpha, \beta}\Lambda_\gamma^{\left(\alpha\right)}\Lambda_\delta^{\left(\beta\right)} dx^{\left(\gamma\right)} dx^{\left(\delta\right)} = \eta_{\gamma.\delta}dx^{\left(\gamma\right)} dx^{\left(\delta\right)} = ds^2. \end{align} \]
Da dies für alle $dx$ und $dx'$ gelten soll, gilt
\[ \begin{align} \eta_{\gamma, \delta} &= \eta_{\alpha, \beta}\Lambda_\gamma^{\left(\alpha\right)}\Lambda_\delta^{\left(\beta\right)}. \end{align} \]
Dies bedeutet
\[ \begin{align} \eta_{\gamma, \delta} &= \sum_{\alpha, \beta = 0}^{3}\eta_{\alpha, \beta}\Lambda_\gamma^{\left(\alpha\right)}\Lambda_\delta^{\left(\beta\right)} = \sum_{\alpha = 0}^{3}\Lambda_\gamma^{\left(\alpha\right)}\sum_{\beta = 0}^{3}\eta_{\alpha, \beta}\Lambda_\delta^{\left(\beta\right)} = \sum_{\alpha = 0}^{3}\left(\Lambda_\alpha^{\left(\gamma\right)}\right)^T\sum_{\beta = 0}^{3}\eta_{\alpha, \beta}\Lambda_\delta^{\left(\beta\right)} = \left(\Lambda^T\eta\Lambda\right)_{\gamma, \delta}, \end{align} \]
also
\[ \begin{align} \Lambda^T\eta\Lambda = \eta.\tag{3.65}\label{eq:bed_srt} \end{align} \]
Für die oben beschriebene Anordnung zweier KS IS und IS' gilt $\mathbf{b} = \mathbf{0}.$ Weiterhin sind die Annahmen $y' = y$ und $z' = z$ sinnvoll. Die Transformation zwischen $\left(x, t\right)$ und $\left(x', t'\right)$ kann nicht von den y- oder z-Koordinaten abhängen, da eine Rotation beider KS um die x-Achse zu keiner Änderung führen darf. Die Transformationsmatrix $\Lambda$ hat also die Form
\[ \begin{align} \Lambda = \left(\begin{array}{cccc} \Lambda_0^{(0)}&\Lambda_1^{(0)}&0&0\\ \Lambda_0^{\left(1\right)}&\Lambda_1^{\left(1\right)}&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right). \end{align} \]
Weiterhin gilt für den Ursprung von IS'
\[ \begin{align} x^{\left(0\right)} = ct&\leftrightarrow x'^{\left(0\right)} = ct',\\ x^{\left(1\right)} = vt&\leftrightarrow x'^{\left(1\right)} = 0,\\ x^{\left(2\right)} = 0&\leftrightarrow x'^{\left(2\right)} = 0,\\ x^{\left(3\right)} = 0&\leftrightarrow x'^{\left(3\right)} = 0. \end{align} \]
Aus Glg. (3.65) folgt
\[ \begin{align} \left(\begin{array}{cc} \Lambda_0^{(0)}&\Lambda_0^{\left(1\right)}\\ \Lambda_1^{(0)}&\Lambda_1^{\left(1\right)} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0& -1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \Lambda_0^{(0)}&\Lambda_1^{(0)}\\ \Lambda_0^{\left(1\right)}&\Lambda_1^{\left(1\right)} \end{array}\right) &= \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0& -1 \end{array}\right)\nonumber\\ \Rightarrow\left(\begin{array}{cc} \Lambda_0^{(0)}& -\Lambda_0^{\left(1\right)}\\ \Lambda_1^{(0)}& -\Lambda_1^{\left(1\right)} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \Lambda_0^{(0)}&\Lambda_1^{(0)}\\ \Lambda_0^{\left(1\right)}&\Lambda_1^{\left(1\right)} \end{array}\right) &= \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0& -1 \end{array}\right)\nonumber\\ \Rightarrow\left(\begin{array}{cc} \left(\Lambda_0^{(0)}\right)^2 - \left(\Lambda_0^{\left(1\right)}\right)^2&\Lambda_0^{(0)}\Lambda_1^{(0)} - \Lambda_0^{\left(1\right)}\Lambda_1^{\left(1\right)}\\ \Lambda_0^{(0)}\Lambda_1^{(0)} - \Lambda_0^{\left(1\right)}\Lambda_1^{\left(1\right)}&\left(\Lambda_0^{\left(1\right)}\right)^2 - \left(\Lambda_1^{\left(1\right)}\right)^2 \end{array}\right) &= \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0& -1 \end{array}\right). \end{align} \]
Daraus folgen die drei Bedingungen
\[ \begin{align} \left(\Lambda_0^{(0)}\right)^2 - \left(\Lambda_0^{\left(1\right)}\right)^2 &= 1,\\ \left(\Lambda_0^{\left(1\right)}\right)^2 - \left(\Lambda_1^{\left(1\right)}\right)^2 &= -1,\\ \Lambda_0^{(0)}\Lambda_1^{(0)} - \Lambda_0^{\left(1\right)}\Lambda_1^{\left(1\right)} &= 0. \end{align} \]
Man kann für zwei reelle Zahlen $\psi, \varphi$ ansetzen
\[ \begin{align} \Lambda_0^{\left(1\right)} &= -\sinh\left(\psi\right),\\ \Lambda_1^{(0)} &= -\sinh\left(\varphi\right). \end{align} \]
Es gelten also
\[ \begin{align} \Lambda_0^{(0)} &= \pm\cosh\left(\psi\right), \Lambda_1^{\left(1\right)} &= \pm\cosh\left(\varphi\right). \end{align} \]
Für $\psi, \varphi\to0$ soll die identische Transformation herauskommen, also schließt man an dieser Stelle das Minuszeichen aus. Die dritte Bedingung lautet
\[ \begin{align} \cosh\left(\psi\right)\sinh\left(\varphi\right) = \cosh\left(\varphi\right)\sinh\left(\psi\right), \end{align} \]
hieraus folgt $\psi = \varphi$. Es gilt also
\[ \begin{align} \left(\begin{array}{cc} \Lambda_0^{(0)}&\Lambda_1^{(0)}\\ \Lambda_0^{\left(1\right)}&\Lambda_1^{\left(1\right)} \end{array}\right) &= \left(\begin{array}{cc} \cosh\left(\psi\right)& -\sinh\left(\psi\right)\\ - \sinh\left(\psi\right)&\cosh\left(\psi\right) \end{array}\right). \end{align} \]
Somit gilt
\[ \begin{align} x'^{\left(1\right)} = 0 &= -\sinh\left(\psi\right)ct + \cosh\left(\psi\right)x^{\left(1\right)} = \left[-\sinh\left(\psi\right)c + \cosh\left(\psi\right)v\right]t. \end{align} \]
Hieraus folgt
\[ \begin{align} \tanh\left(\psi\right) = \frac{v}{c}\Rightarrow\psi = \text{artanh}\left(\frac{v}{c}\right). \end{align} \]
$\psi$ nennt man Rapidität. Man definiert weiterhin
\[ \begin{align} \gamma &\coloneqq \cosh\left(\psi\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh\left(\psi\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}, \end{align} \]
dann gilt
\[ \begin{align} \sinh\left(\psi\right) = \gamma\frac{v}{c}. \end{align} \]
Die Lorentz-Transformation ist in diesem Fall also durch
\[ \begin{align} \left(\begin{array}{c} ct'\\ x'\\ y'\\ z' \end{array}\right) &= \left(\begin{array}{cccc} \gamma& -\gamma\frac{v}{c}&0&0\\ - \gamma\frac{v}{c}&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} ct\\ x\\ y\\ z \end{array}\right)\tag{3.84}\label{eq:lorentztrafo_spec} \end{align} \]
festgelegt.
Die Gleichungen der Potentiale Glg.en (3.16) und (3.17) sowie die Lorenz-Eichung (3.15) werden hier noch einmal zusammengefasst:
\[ \begin{align} \left(\Delta - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\phi &= -4\pi\rho,\\ \left(\Delta - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\mathbf{A} &= -4\pi\mathbf{j},\\ \frac{1}{c}\frac{\partial\phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{A} &= 0. \end{align} \]
Nun wird der 4-Vektor
\[ \begin{align} \left(A^{\left(\alpha\right)}\right) \coloneqq\left(\begin{array}{c} \phi\\ A_x\\ A_y\\ A_z \end{array}\right) \end{align} \]
definiert. Definiere weiter
\[ \begin{align} \left(j^{\left(\alpha\right)}\right) &\coloneqq \left(\begin{array}{c} \rho\\ j_x\\ j_y\\ j_z \end{array}\right) \end{align} \]
Man definiert als Kurzschreibweise für partielle Ableitungen
\[ \begin{align} \partial_0 &= \partial^{(0)} \coloneqq\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\\ \partial^{(i)} &\coloneqq \frac{\partial}{\partial x_i} = -\frac{\partial}{\partial x^{(i)}} = -\partial_i \end{align} \]
für $1\leq i\leq 3$. Mit dem d'Alembert-Operator
\[ \begin{align} \Box \coloneqq\partial_\beta\partial^{\left(\beta\right)} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta \end{align} \]
kann man dies als
\[ \begin{align} \Box A^{\left(\alpha\right)} = \frac{4\pi}{c}j^{\left(\alpha\right)} \end{align} \]
notieren. Die Lorenz-Eichung schreibt sich damit als
\[ \begin{align} \partial_\alpha A^{\left(\alpha\right)} = 0. \end{align} \]
Man definiert den Feldstärketensor $F^{\left(\alpha, \beta\right)}$ durch
\[ \begin{align} F^{\left(\alpha, \beta\right)} &= \partial^{\left(\alpha\right)} A^{\left(\beta\right)} - \partial^{\left(\beta\right)} A^{\left(\alpha\right)}. \end{align} \]
Diese Matrix ist antisymmetrisch:
\[ \begin{align} F^{\left(\beta, \alpha\right)} &= \partial^{\left(\beta\right)} A^{\left(\alpha\right)} - \partial^{\left(\alpha\right)} A^{\left(\beta\right)} = -\left(\partial^{\left(\alpha\right)} A^{\left(\beta\right)} - \partial^{\left(\beta\right)} A^{\left(\alpha\right)}\right) = -F^{\left(\alpha, \beta\right)} \end{align} \]
An dieser Stelle sei weiterhin an
\[ \begin{align} \mathbf{E} = -\nabla\phi - \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t},& {} & \mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A} \end{align} \]
erinnert. Es gilt
\[ \begin{align} F^{\left(\alpha, \beta\right)} &= \left(\begin{array}{cccc} 0&\frac{1}{c}\frac{\partial A_x}{\partial t} + \frac{\partial\phi}{\partial x}&\frac{1}{c}\frac{\partial A_y}{\partial t} + \frac{\partial\phi}{\partial y}&\frac{1}{c}\frac{\partial A_z}{\partial t} + \frac{\partial\phi}{\partial z}\\ - \frac{\partial\phi}{\partial x} - \frac{1}{c}\frac{\partial A_x}{\partial t}&0&\frac{\partial}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial x}\\ - \frac{\partial\phi}{\partial y} - \frac{1}{c}\frac{\partial A_y}{\partial t}&\frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial y}&0&\frac{\partial}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial y}\\ - \frac{\partial\phi}{\partial z} - \frac{1}{c}\frac{\partial A_z}{\partial t}&\frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial z}&\frac{\partial}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial z}&0 \end{array}\right)\nonumber\\ &= \left(\begin{array}{cccc} 0& -E_x& -E_y& -E_z\\ E_x&0& -B_z&B_y\\ E_y&B_z&0& -B_x\\ E_z& -B_y&B_x&0 \end{array}\right). \end{align} \]
Man betrachte wieder die beiden KS IS und IS', mit denen schon in Abschn. 3.5 gearbeitet wurde. Die elektromagnetischen Felder in den Systemen seien mit $\left(\mathbf{E}, \mathbf{B}\right)$ und $\left(\mathbf{E'}, \mathbf{B'}\right)$ bezeichnet. Die Feldstärketensoren transformieren sich mit Glg. (3.84) wie
\[ \begin{align} F' &= \Lambda F\Lambda^T = \Lambda\left(\begin{array}{cccc} 0& -E_x& -E_y& -E_z\\ E_x&0& -B_z&B_y\\ E_y&B_z&0& -B_x\\ E_z& -B_y&B_x&0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} \gamma& -\gamma\frac{v}{c}&0&0\\ - \gamma\frac{v}{c}&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right)\nonumber\\ &= \left(\begin{array}{cccc} \gamma& -\gamma\frac{v}{c}&0&0\\ - \gamma\frac{v}{c}&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} \gamma E_x\frac{v}{c}& -\gamma E_x& -E_y& -E_z\\ \gamma E_x& -\gamma E_x\frac{v}{c}& -B_z&B_y\\ \gamma E_x - \gamma B_z\frac{v}{c}& -\gamma E_y\frac{v}{c} + \gamma B_z&0& -B_x\\ \gamma E_z + \gamma B_y\frac{v}{c}& -\gamma E_z\frac{v}{c} - \gamma B_y&B_x&0 \end{array}\right)\nonumber\\ &= \left(\begin{array}{cccc} 0& -\gamma^2E_x + \gamma^2E_x\frac{v^2}{c^2}& -\gamma E_y + B_z\gamma\frac{v}{c}& -E_z\gamma - B_y\gamma\frac{v}{c}\\ - \gamma^2E_x\frac{v^2}{c^2} + \gamma^2E_x&0&E_y\gamma\frac{v}{c} - B_z\gamma&E_z\gamma\frac{v}{c} + \gamma B_y\\ \gamma E_x - \gamma B_z\frac{v}{c}& -\gamma E_y\frac{v}{c} + \gamma B_z&0& -B_x\\ \gamma E_z + \gamma B_y\frac{v}{c}& -\gamma E_z\frac{v}{c} - \gamma B_y&B_x&0 \end{array}\right)\nonumber\\ &= \left(\begin{array}{cccc} 0& -E_x& -\gamma E_y + B_z\gamma\frac{v}{c}& -E_z\gamma - B_y\gamma\frac{v}{c}\\ E_x&0&E_y\gamma\frac{v}{c} - B_z\gamma&E_z\gamma\frac{v}{c} + \gamma B_y\\ \gamma E_x - \gamma B_z\frac{v}{c}& -\gamma E_y\frac{v}{c} + \gamma B_z&0& -B_x\\ \gamma E_z + \gamma B_y\frac{v}{c}& -\gamma E_z\frac{v}{c} - \gamma B_y&B_x&0 \end{array}\right)\nonumber\\ &= \left(\begin{array}{cccc} 0& -E_x'& -E_y'& -E_z'\\ E_x'&0& -B_z'&B_y'\\ E_y'&B_z'&0& -B_x'\\ E_z'& -B_y'&B_x'&0 \end{array}\right). \end{align} \]
Hieraus folgen
\[ \begin{align} E_x' = E_x, & {} & E_y' = \gamma\left(E_y - B_z\frac{v}{c}\right), & {} & E_z' = \gamma\left(E_z + B_y\frac{v}{c}\right),\\ B_x' = B_x, & {} & B_y' = \gamma\left(B_y + E_z\frac{v}{c}\right), & {} & B_z' = \gamma\left(B_z - E_y\frac{v}{c}\right). \end{align} \]
Dies kann man vektoriell verallgemeinern zu
\[ \begin{align} \mathbf{E}_\parallel' &= \mathbf{E}_\parallel,\\ \mathbf{B}_\parallel' &= \mathbf{B}_\parallel,\\ \mathbf{E}_\perp' &= \gamma\left(\mathbf{E}_\perp + \frac{\mathbf{v}}{c}\times\mathbf{B}\right),\\ \mathbf{B}_\perp' &= \gamma\left(\mathbf{B}_\perp - \frac{\mathbf{v}}{c}\times\mathbf{E}\right), \tag{3.105}\label{eq:trafo_emf_srt_4} \end{align} \]
wobei jeweils zu $\mathbf{v}$ parallele und senkrechte Komponenten gemeint sind. Die Rücktransformation erhält man mit $\mathbf{v}\to\mathbf{v'}$ zu
\[ \begin{align} \mathbf{E}_\parallel = \mathbf{E'}_\parallel, & {} & \mathbf{B}_\parallel = \mathbf{B'}_\parallel,\\ \mathbf{E}_\perp = \gamma\left(\mathbf{E'}_\perp - \frac{\mathbf{v}}{c}\times\mathbf{B'}\right), & {} & \mathbf{B}_\perp = \gamma\left(\mathbf{B'}_\perp + \frac{\mathbf{v}}{c}\times\mathbf{E'}\right). \end{align} \]