Der Impuls $\mathbf{p}$ eines Teilchens $\Delta V$ mit $N_h$ Gasmolekülen und $N_c$ Kondensatkernen ist durch
\[ \begin{align} \mathbf{p} = \sum_{i = 1}^{N_h + N_c}m_i\mathbf{v}_i\stackrel{\href{ch-05-zustand-der-atmosphäre.html#eq:def_windvector}{\text{Glg. (6.2)}}}{=}\mathbf{v}\sum_{j = 1}^{N_h}m_j + \sum_{j = N_h + 1}^{N_h + N_c}m_j\left(\mathbf{v} + \Delta\mathbf{v}_j\right), \end{align} \]
Hierbei ist $\Delta\mathbf{v}_j$ die als dichteunabhängig angenommene Sinkgeschwindigeit der entsprechenden Kondensatklasse. Man kann in Inertialsystemen das Zweite Newton'sche Axiom notieren:
\[ \begin{align} \md{\mathbf{p}} &= \rho \Delta V\md{}\mathbf{v} = \mathbf{F}_{\text{int}} + \mathbf{F}_{\text{ext}} \end{align} \]
Die Kraft ergibt sich als Summe interner Kräfte und externer Kräfte. Unter der Annahme, dass die internen Kräfte aus paarweisen Wechselwirkungen der Teilchen bestehen, die das Dritte Newton'sche Axiom erfüllen, gilt
\[ \begin{align} \mathbf{F}_{\text{int}} &= \sum_{i, j = 1}^{N}\mathbf{F}_{i, j} = \sum_{i = 1}^{N}\sum_{j = i + 1}^{N}\mathbf{F}_{i, j} + \mathbf{F}_{j, i} \stackrel{\text{Newton III}}{=}\mathbf{0}. \end{align} \]
Hierbei ist $\mathbf{F}_{i, j}$ die Kraft auf das $i-$te Teilchen aufgrund des $j-$ten Teilchens. Für $\mathbf{F}_{\text{ext}}$ kommen zwei Arten von Kräften in Frage:
Unter den ersten Punkt fällt gewöhnlich nur das Schwerefeld. Für die Gewichtskraft $\mathbf{F}_g$ gilt
\[ \begin{align} \mathbf{F}_g = \sum_{i = 1}^{N}m_i\mathbf{g} = \rho\Delta V \mathbf{g}. \end{align} \]
Für die Kraft, die aufgrund des Drucks auf die offene Kugel $\Omega \coloneqq B_r\left(\mathbf{r}_0\right)$ mit Radius $r$ mit $\Delta V = \frac{4}{3}\pi r^3$ und Mittelpunkt $\mathbf{r}_0$ wirkt, gilt
\[ \begin{align} \mathbf{F}_p &= -\int_{\partial\Delta V}pd\mathbf{A}. \end{align} \]
Man geht hier von einem kugelförmigen Teilchen aus, dann folgt
\[ \begin{align} \mathbf{F}_p &= -\int_{\partial\Delta V}pr^2\mathbf{n}d\omega\approx-\int_{\partial\Delta V}\left(p\left(\mathbf{r}_0\right) + \mathbf{r}\cdot\nabla p\right)r^2\mathbf{n}d\omega \end{align} \]
mit $d\omega$ als Raumwinkelelement. Für die Ausführtung der Integration richtet man $\nabla p$ o. B. d. A. an der z-Achse aus, sodass gilt
\[ \begin{align} \nabla p = \left|\nabla p\right|\mathbf{e}_z. \end{align} \]
Daraus folgt mit $p_0 \coloneqq p\left(\mathbf{r}_0\right)$
\[ \begin{align} \mathbf{F}_p &= -\int_{\partial\Delta V}\left(p_0 + \mathbf{r}\cdot\nabla p\right)r\mathbf{r}d\omega=-r\int_{\partial\Delta V}\left(\mathbf{r}\cdot\nabla p\right)\mathbf{r}d\omega = -r^2\left|\nabla p\right|\int_{\partial\Delta V}\cos\left\lbrace\nabla p, \mathbf{r}\right\rbrace\mathbf{r}d\omega\nonumber\\ &= -r^3\left|\nabla p\right|\int_{\vartheta = 0}^\pi\int_{\phi = 0}^{2\pi}\cos\left(\vartheta\right)\sin\left(\vartheta\right)\left(\begin{array}{c} \sin\left(\vartheta\right)\cos\left(\phi\right)\\ \sin\left(\vartheta\right)\sin\left(\phi\right)\\ \cos\left(\vartheta\right) \end{array}\right)d\phi d\vartheta\nonumber\\ &= -r^3\nabla p2\pi\int_0^\pi\cos^2\left(\vartheta\right)\sin\left(\vartheta\right)d\vartheta = r^3\nabla p2\pi\left[\frac{1}{3}\cos^3\left(\vartheta\right)\right]_0^\pi = -\frac{4}{3}\pi r^3\nabla p = -\Delta V\nabla p. \end{align} \]
Diese Kraft bezeichnet man als Druckgradientkraft. Man erhält
\[ \begin{align} \rho \Delta V\md{}\mathbf{v} = \rho\Delta V \mathbf{g} - \Delta V\nabla p, \end{align} \]
stellt man dies nach der Beschleunigung des Teilchens $\md{\mathbf{v}}$ um, erhält man
\[ \begin{align} \md{\mathbf{v}} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{g}.\tag{8.10}\label{eq:newton_II_fluid} \end{align} \]
Diese Gleichung bezeichnet man als Euler-Gleichung.
Bei einer alternativen Herleitung betrachtet man eine makroskopische offene Menge $\Omega\subseteq\mathbb{R}^3$, der Impuls $\mathbf{p}$ in dieser Menge ergibt sich zu
\[ \begin{align} \mathbf{p} = \int_\Omega\rho\mathbf{v}d^3r. \end{align} \]
An dieser Stelle führt man den Impulsflussdichtetensor $\Pi$ durch
\[ \begin{align} \Pi_{i, j} \coloneqq \rho U_iU_j \end{align} \]
für $1 \leq i, j \leq 3$ ein. Für $1 \leq i \leq 3$ ist
\[ \begin{align} \Pi\cdot\mathbf{e}_i = \sum_{j = 1}^3\rho v_jv_i\mathbf{e}_j = v_i\rho\mathbf{v} \end{align} \]
der Fluss der Impulsdichte in $\mathbf{e}_i-$Richtung. Für einen allgemeinen Einheitsvektor $\mathbf{e}$ ist $\Pi\cdot\mathbf{e}$ der Fluss der Impulsdichte in $\mathbf{e}-$Richtung. Somit gilt mit den Feststellungen des Abschn.s 6.2.2
\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{p}}{\partial t} &= \int_\Omega\frac{\partial\left(\rho\mathbf{v}\right)}{\partial t}d^3r = \int_\Omega-\nabla p + \rho\mathbf{g}d^3r - \int_{\partial\Omega}\Pi\cdot d\mathbf{n}\nonumber\\ &\Rightarrow \int_\Omega\frac{\partial\left(\rho\mathbf{v}\right)}{\partial t}d^3r = \int_\Omega-\nabla p + \rho\mathbf{g} - \nabla\cdot\Pi d^3r\nonumber\\ &\Rightarrow \int_\Omega\frac{\partial\left(\rho\mathbf{v}\right)}{\partial t} + \nabla p + \nabla\cdot\Pi - \rho\mathbf{g}d^3r = 0. \end{align} \]
Somit gilt bereits
\[ \begin{align} \frac{\partial\left(\rho\mathbf{v}\right)}{\partial t} + \nabla p + \nabla\cdot\Pi - \rho\mathbf{g} = 0.\tag{8.15}\label{eq:momentum_flux_form} \end{align} \]
Für die Divergenz von $\Pi$ folgt
\[ \begin{align} \left(\nabla\cdot\Pi\right)_i &= \sum_{j = 1}^3\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\rho v_iv_j\right) = \sum_{j = 1}^3v_iv_j\frac{\partial\rho}{\partial x_j} + \rho v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \rho v_i\frac{\partial v_j}{\partial x_j}\nonumber\\ &= v_i\mathbf{v}\cdot\nabla\rho + \rho\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)v_i +\rho v_i\nabla\cdot\mathbf{v}, \end{align} \]
also gilt
\[ \begin{align} \nabla\cdot\Pi &= \mathbf{v}\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\rho + \rho\nabla\cdot\mathbf{v}\right) + \left(\rho\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}. \end{align} \]
Somit folgt
\[ \begin{align} \rho\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v}\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla p + \mathbf{v}\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\rho + \rho\nabla\cdot\mathbf{v}\right) + \left(\rho\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} - \rho\mathbf{g} = 0. \end{align} \]
Mit der Kontinuitätsgleichung erhält man schlussendlich
\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{g}. \end{align} \]
Die Newton'schen Axiome gelten nur in Inertialsystemen. In Bezug auf die Erde betrachtet man den Erdmittelpunkt als unbeschleunigt, auch wenn er um die Sonne kreist, und betrachtet nur die Rotation der Erde. Sei durch $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3)$ die Basis der ruhenden Koordinaten bezeichnet (vgl. Abschn. D.1). Wenn man Beschleunigungen in diesem KS misst, kann man sie über das Zweite Newton'sche Axiom mit den wirkenden Kräften verknüpften. Wählt man jedoch eine mit der Winkelgeschwindigkeit der Erde rotierende Basis, entstehen weitere Beschleunigungsterme, die sich nicht durch physikalische Kräfte ergeben. Für die Basis der globalen Koordinaten gilt in ruhenden Koordinaten
\[ \begin{align} \mathbf{e}_x\left(t\right) = \left( \begin{array}{c} \cos\left(\omega t\right) \\ \sin\left(\omega t\right) \\ 0 \end{array}\right), & {} & \mathbf{e}_y\left(t\right) = \left( \begin{array}{c} - \sin\left(\omega t\right) \\ \cos\left(\omega t\right)\\ 0 \end{array}\right), & {} & \mathbf{e}_z\left(t\right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \end{align} \]
mit der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation $\omegabi = \left(0, 0, \omega\right)^T$. Sei ein Teilchen mit dem Ortsvektor $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{e}_x(t) + y(t)\mathbf{e}_y(t) + z(t)\mathbf{e}_z(t)$ gegeben. Dann gilt für die Geschwindigkeit
\[ \begin{align} \mathbf{v} = \newdot{\mathbf{r}} = \newdot{x}\mathbf{e}_x + \newdot{y}\mathbf{e}_y + \newdot{z}\mathbf{e}_z + x\newdot{\mathbf{e}}_x + y\newdot{\mathbf{e}}_y + z\newdot{\mathbf{e}}_z. \end{align} \]
Für die Zeitableitungen der Basisvektoren gilt
\[ \begin{align} \newdot{\mathbf{e}}_x &= \omega\left( \begin{array}{c} - \sin\left(\omega t\right)\\ \cos\left(\omega t\right)\\ 0 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \omega \end{array}\right)\times \left( \begin{array}{c} \cos\left(\omega t\right)\\ \sin\left(\omega t\right) \\ 0 \end{array}\right) = \omegabi\times\mathbf{e}_x,\\ \newdot{\mathbf{e}}_y &= \omega\left( \begin{array}{c} - \cos\left(\omega t\right) \\ - \sin\left(\omega t\right) \\ 0 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \omega \end{array}\right)\times\left( \begin{array}{c} - \sin\left(\omega t\right)\\\cos\left(\omega t\right) \\ 0 \end{array}\right) = \omegabi\times\mathbf{e}_y,\\ \newdot{\mathbf{e}}_z &= \mathbf{0} = \omegabi\times\mathbf{e}_z. \end{align} \]
Damit schreibt sich der Geschwindigkeitsvektor als
\[ \begin{align} \mathbf{v} = \mathbf{v}' + x\omegabi\times\mathbf{e}_x + y\omegabi\times\mathbf{e}_y + z\omegabi\times\mathbf{e}_z = \mathbf{v}' + \omegabi\times\mathbf{r}, \tag{8.25}\label{eq:geschw_rot_system} \end{align} \]
dabei wurde für die im gestrichenen System gemessene Geschwindigkeit verkürzend $\mathbf{v}' = \newdot{x}\mathbf{e}_x + \newdot{y}\mathbf{e}_y + \newdot{z}\mathbf{e}_z$ geschrieben und die Linearität des Vektorprodukts Glg.en (A.147) - (A.148) ausgenutzt. Das Zweite Newton'sche Axiom ist eine Aussage über die Beschleunigung $\md{\mathbf{v}}$, also leitet man die obige Gleichung noch einmal zeitlich ab:
\[ \begin{align} \md{\mathbf{v}} &= \left(\md{\mathbf{v}'}\right)' + \omegabi\times\mathbf{v'} + \omegabi\times\left(\mathbf{v'} + \omegabi\times\mathbf{r}\right) = \left(\md{\mathbf{v'}}\right)' + 2\omegabi\times \mathbf{v}' + \omegabi\times\left(\omegabi\times\mathbf{r}\right), \end{align} \]
dabei ist $\left(\md{\mathbf{v}'}\right)'$ die im rotierenden System gemessene Beschleunigung. Man interessiert sich für die Beschleunigung in globalen Koordinaten, also für den Vektor $\left(\md{\mathbf{v'}}\right)'$.
\[ \begin{align} \left(\md{\mathbf{v}'}\right)' = \md{\mathbf{v}} - 2\omegabi\times\mathbf{v}' - \omegabi\times\left(\omegabi\times\mathbf{r}\right)\tag{8.27}\label{eq:transformkraft} \end{align} \]
Der ortsabhängige Term $-\omegabi\times\left(\omegabi\times \mathbf{r}\right)$ ist die Zentrifugalbeschleunigung, der geschwindigkeitsabhängige Term $-2\omegabi\times\mathbf{v'}$ ist die Coriolis-Beschleunigung. Für die IS-Beschleunigung $\md{\mathbf{v}}$ sind dabei die Beschleunigungen einzusetzen, die sich nach dem Zweiten Newton'schen Axiom aus den Kräften ergeben. Insbesondere sei darauf hingewiesen, dass die Coriolis-Kraft keine Arbeit leistet, da sie senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor steht.
Als stress bezeichnet man alle Kräfte, die ein Fluid auf sich selber ausübt. O. B. d. A. stelle man sich einen Würfel vor, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenflächen eines kartesichen Koordinatensystems seien. Der Stress wird duch den Stress-Tensor
\[ \begin{align} T = \left(\begin{array}{ccc} T_{x, x} & T_{x, y} & T_{x, z} \\ T_{y, x} & T_{y, y} & T_{y, z} \\ T_{z, x} & T_{z, y} & T_{z, z} \\ \end{array}\right) \end{align} \]
beschrieben. Die Elemente dieses Tensors haben die Dimension eine Drucks (Kraft pro Fläche). Die $i-$te Zeile von $T$ beschreibt Kräfte, die auf die Flächen des Würfels (anti)parallel zur $i-$Achse wirken. Die Eintrag in $j-$ten Spalte bezeichnet die in $j-$Richtung auf diese Fläche wirkende Kraft, falls die Normale der betrachteten Fläche parallel zur $i-$Achse ist, ansonsten sind die Vorzeichen vertauscht. Dies bewirkt, dass komprimierende Kräfte immer negativ sind.
Zunächst wird der Fall eines ruhenden Fluides betrachtet. In diesem Fall muss der Stress isotrop sein. Er entspricht dem Druck $p$, für den Stress-Tensor gilt in diesem Fall also
\[ \begin{align} T_{i, j} = -p\delta_{i, j}. \end{align} \]
Das Vorzeichen ergibt sich aus der Konvention, dass komprimierende Kräfte immer negativ sind. Man notiert nun die Zerlegung
\[ \begin{align} T = -p + \tau. \end{align} \]
Man stelle sich ein Fluidteilchen $\left[-\frac{\Delta}{2}, \frac{\Delta}{2}\right]^3$ mit $\Delta > 0$ vor. Die z-Komponente $D_z$ des auf dieses Teilchen wirkenden Drehmomentes $\mathbf{D}$ ist proportional zu
\[ \begin{align} D_z &\propto T_{1, 2} + \frac{\Delta}{2}\frac{\partial T_{1, 2}}{\partial x} + T_{1, 2} - \frac{\Delta}{2}\frac{\partial T_{1, 2}}{\partial x} - \left(T_{2, 1} + \frac{\Delta}{2}\frac{\partial T_{2, 1}}{\partial y} + T_{2, 1} - \frac{\Delta}{2}\frac{\partial T_{2, 1}}{\partial y}\right)\nonumber\\ &= 2T_{1, 2} - 2T_{2, 1}, \end{align} \]
wobei die Werte von $T$ im Mittelpunkt des Koordinatensystems ausgewertet werden. Unter der Annahme eines verschwindenden Drehmomentes gilt
\[ \begin{align} T_{1, 2} = T_{2, 1}. \end{align} \]
Diese Annahme ist vergleichbar mit dem Konzept der quasistatischen Zunstandsänderung in der statistischen Physik. Durch Änderung der Ausrichtung des Koordinatensystems gilt dies auch für alle anderen nichtdiagonalen Indizes, $T$ ist also symmetrisch. Somit muss auch der Tensor $\tau$ symmetrisch sein.
Die Größe $\frac{\partial v_i}{\partial x_j}$ bezeichnet man als Geschwindigkeitsgradiententensor. Für diesen kann man notieren
\[ \begin{align} \frac{\partial v_i}{\partial x_j} = S_{i, j} + \frac{1}{2}R_{i, j} \end{align} \]
mit \[ \begin{align} S_{i, j} \coloneqq \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right), & {} & R_{i, j} \coloneqq \frac{\partial v_i}{\partial x_j} - \frac{\partial v_j}{\partial x_i}.\tag{8.34}\label{eq:def_rotation_tensor} \end{align} \]
$S_{i, j}$ bezeichnet man als Spannungstensor, dieser ist symmetrisch, und $R_{i, j}$ als Rotationstensor, dieser ist antisymmetrisch. Die Elemente des Rotationstensors entsprechen der Rotation von Fluidteilchen, aber keiner Verformung oder Beschleunigung. Nur die Elemente des Spannungstensors sind also relevant für den Stress. Daher kann man notieren
\[ \begin{align} \tau_{i, j} = \sum_{n, m}K_{i, j, m, n}S_{m, n}\tag{8.35}\label{eq:strain_to_stress} \end{align} \]
mit einem komplexen Tensor vierter Stufe $K$, dessen Elemente beschreiben wie das Fluid auf Verformungen reagiert. Die Summen laufen von eins bis drei. Durch diese Formulierung kann man paarweise alle Elemente von $\tau$ mit allen Elementen von $S$ linear verknüpfen.
Geht man von einem Medium aus, dessen Materialeigenschaften richtungsunabhängig sind, was für ideale Gase der Fall ist, muss $K$ von der Orientierung des Koordinantensystems unabhängig sein. Dies impliziert, dass $K$ isotrop ist. Ein isotroper Tensor vierter Stufe hat die Form
\[ \begin{align} K_{i, j, m, n} = \lambda\delta_{i, j}\delta_{m, n} + \mu\delta_{i, m}\delta_{j, n} + \gamma\delta_{i, n}\delta_{j, m}, \end{align} \]
wobei $\lambda, \mu, \gamma \in \mathbb{C}$ Skalare sind. Da sowohl $\tau$ als auch $S$ symmetrisch sind, ändern sie sich bei Vertauschung von $i$ und $j$ nicht. Gleiches muss also auch für $K$ gelten. Dies impliziert
\[ \begin{align} \gamma = \mu. \end{align} \]
Dies führt auf
\[ \begin{align} K_{i, j, m, n} = \lambda\delta_{i, j}\delta_{m, n} + 2\mu\delta_{i, m}\delta_{j, n}. \end{align} \]
$\mu$ bezeichnet man als dynamische Viskosität und $\lambda$ als Lamé-Konstante. Setzt man dies in Glg. (8.35) ein, erhält man
\[ \begin{align} \tau_{i, j} = \sum_{n, m}\left(\lambda\delta_{i, j}\delta_{m, n} + 2\mu\delta_{i, m}\delta_{j, n}\right)S_{m, n} = \lambda\delta_{i, j}\sum_{m}S_{m, m} + 2\mu S_{i, j}. \end{align} \]
Aus Glg. (8.34) folgt
\[ \begin{align} \sum_{m}S_{m, m} = \nabla\cdot\mathbf{v}. \end{align} \]
Somit gilt
\[ \begin{align} T_{i, j} = -p\delta_{i, j} + \lambda\delta_{i, j}\nabla\cdot\mathbf{v} + 2\mu S_{i, j}\tag{8.41}\label{eq:stress_tensor_deriv_0} \end{align} \]
Für $i = j$ erhält man hieraus
\[ \begin{align} T_{i, i} = -p + \lambda\nabla\cdot\mathbf{v} + 2\mu S_{i, i}. \end{align} \]
Summiert man dies über $i = 1, 3$, folgt
\[ \begin{align} \sum_{i}T_{i, i} &= -3p + \left(2\mu + 3\lambda\right)\nabla\cdot\mathbf{v}\nonumber\\ \Rightarrow p &= -\frac{1}{3}T_{i, i} + \sum_{i}T_{i, i} + \left(\frac{2}{3}\mu + \lambda\right)\nabla\cdot\mathbf{v}. \end{align} \]
Hieraus lässt sich in Abgrenzung zum thermodynamischen Druck ein mittlerer Druck
\[ \begin{align} \newoverline{p} \coloneqq -\frac{1}{3}T_{i, i} \end{align} \]
ableiten. Für diesen gilt
\[ \begin{align} p - \newoverline{p} = \sum_{i}T_{i, i} + \left(\frac{2}{3}\mu + \lambda\right)\nabla\cdot\mathbf{v}. \end{align} \]
Man definiert nun die Bulk-Viskosität $\mu_v$ durch
\[ \begin{align} \mu_v \coloneqq \frac{2}{3}\mu + \lambda \Rightarrow p - \newoverline{p} = \sum_{i}T_{i, i} + \mu_v\nabla\cdot\mathbf{v}. \end{align} \]
Die Stokes-Annahme
\[ \begin{align} \mu_v = 0 \end{align} \]
ist oft gerechtfertigt, wird jedoch im weiteren nicht gemacht. Für die Lamé-Konstante $\lambda$ erhält man in Termen der Bulk-Viskosität
\[ \begin{align} \lambda = \mu_v - \frac{2}{3}\mu.\tag{8.48}\label{eq:lame_viscosity_relation} \end{align} \]
Setzt man dies in Glg. (8.41) ein, erhält man
\[ \begin{align} T_{i, j} = -p\delta_{i, j} + \left(\mu_v - \frac{2}{3}\mu\right)\delta_{i, j}\nabla\cdot\mathbf{v} + 2\mu S_{i, j}. \end{align} \]
Eine weitere Schreibweise lautet
\[ \begin{align} T_{i, j} = -p\delta_{i, j} + \tau_{i, j} = -p\delta_{i, j} + 2\mu\left(S_{i, j} - \frac{1}{3}\nabla\cdot\mathbf{v}\delta_{i, j}\right) + \mu_v\nabla\cdot\mathbf{v}\delta_{i, j}.\tag{8.50}\label{eq:stress-tensor} \end{align} \]
Die Annahme, dass $T$ linear von $S$ abhängt, ist eine Approximation, die für die meisten Fluide stimmt. Solche Fluide bezeichnet man als Newton'sche Fluide. In der Meteorologie ist es nicht notwendig, hierüber hinauszugehen.
In kartesischen Koordinaten mit $\mathbf{v} = \left(u, v, w\right)^T$ wird Glg. (8.50) zu
\[ \begin{align} T = \left(\begin{array}{ccc} -p + 2\mu\frac{\partial u}{\partial x} + \left(\mu_v - \frac{2}{3}\mu\right)\nabla\cdot\mathbf{v} & \mu\left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right) & \mu\left(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}\right)\\ \mu\left(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\right) & -p + 2\mu\frac{\partial v}{\partial y} + \left(\mu_v - \frac{2}{3}\mu\right)\nabla\cdot\mathbf{v} & \mu\left(\frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y}\right)\\ \mu\left(\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z}\right) & \mu\left(\frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z}\right) & -p + 2\mu\frac{\partial w}{\partial z} + \left(\mu_v - \frac{2}{3}\mu\right)\nabla\cdot\mathbf{v} \end{array}\right).\nonumber\\ & \end{align} \]
Hieraus lässt sich die Reibungsbeschleunigung $\mathbf{f}_R$ berechnen:
\[ \begin{align} \mathbf{f}_R &= \frac{1}{\rho}\nabla\cdot\tau = \frac{1}{\rho}\left(\begin{array}{c} 2\mu\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \left(\mu_v - \frac{2}{3}\mu\right)\frac{\partial\nabla\cdot\mathbf{v}}{\partial x} + \mu\left(\frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y\partial x}\right) + \mu\left(\frac{\partial^2u}{\partial z^2} + \frac{\partial^2w}{\partial z\partial x}\right)\\ \mu\left(\frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}\right) + 2\mu\frac{\partial^2v}{\partial y^2} + \left(\mu_v - \frac{2}{3}\mu\right)\frac{\partial\nabla\cdot\mathbf{v}}{\partial y} + \mu\left(\frac{\partial^2v}{\partial z^2} + \frac{\partial^2w}{\partial z\partial y}\right)\\ \mu\left(\frac{\partial^2w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial x\partial z}\right) + \mu\left(\frac{\partial^2w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y\partial z}\right) + 2\mu\frac{\partial^2w}{\partial z^2} + \left(\mu_v - \frac{2}{3}\mu\right)\frac{\partial\nabla\cdot\mathbf{v}}{\partial z} \end{array} \right)\nonumber\\ &= \frac{\mu}{\rho}\Delta\mathbf{v} + \frac{1}{\rho}\left(\begin{array}{c} \mu\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \left(\mu_v - \frac{2}{3}\mu\right)\frac{\partial\nabla\cdot\mathbf{v}}{\partial x} + \mu\frac{\partial^2v}{\partial y\partial x} + \mu\frac{\partial^2w}{\partial z\partial x}\\ \mu\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y} + \mu\frac{\partial^2v}{\partial y^2} + \left(\mu_v - \frac{2}{3}\mu\right)\frac{\partial\nabla\cdot\mathbf{v}}{\partial y} + \mu\frac{\partial^2w}{\partial z\partial y}\\ \mu\frac{\partial^2u}{\partial x\partial z} + \mu\frac{\partial^2v}{\partial y\partial z} + \mu\frac{\partial^2w}{\partial z^2} + \left(\mu_v - \frac{2}{3}\mu\right)\frac{\partial\nabla\cdot\mathbf{v}}{\partial z} \end{array} \right)\nonumber\\ &= \nu\Delta\mathbf{v} + \frac{\mu_v}{\rho}\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right) + \frac{\mu}{\rho}\left(\begin{array}{c} \frac{\partial^2u}{\partial x^2} - \frac{2}{3}\frac{\partial\nabla\cdot\mathbf{v}}{\partial x} + \frac{\partial^2v}{\partial y\partial x} + \frac{\partial^2w}{\partial z\partial x}\\ \frac{\partial^2u}{\partial x\partial y} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2} - \frac{2}{3}\frac{\partial\nabla\cdot\mathbf{v}}{\partial y} + \frac{\partial^2w}{\partial z\partial y}\\ \frac{\partial^2u}{\partial x\partial z} + \frac{\partial^2v}{\partial y\partial z} + \frac{\partial^2w}{\partial z^2} - \frac{2}{3}\frac{\partial\nabla\cdot\mathbf{v}}{\partial z} \end{array} \right)\nonumber\\ &= \nu\Delta\mathbf{v} + \frac{\mu_v}{\rho}\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right) + \frac{\nu}{3}\left(\begin{array}{c} \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y\partial x} + \frac{\partial^2w}{\partial z\partial x}\\ \frac{\partial^2u}{\partial x\partial y} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2w}{\partial z\partial y}\\ \frac{\partial^2u}{\partial x\partial z} + \frac{\partial^2v}{\partial y\partial z} + \frac{\partial^2w}{\partial z^2} \end{array} \right) = \nu\Delta\mathbf{v} + \left(\frac{\mu_v}{\rho} + \frac{\nu}{3}\right)\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)\nonumber \end{align} \]
\[ \begin{align} \Leftrightarrow\mathbf{f}_R &= \nu\Delta\mathbf{v} + \left(\frac{\mu_v}{\rho} + \frac{\nu}{3}\right)\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)\tag{8.52}\label{eq:friction_acceleration} \end{align} \]
Dabei wurde angenommen, dass die Viskositäten homogen sind. Für die Reibung werden häufig andere als der mit Glg. (8.52) erhaltene Ausdruck verwendet. Daher wird in den Herleitungen von nun an meist ein allgemeiner Ausdruck
\[ \begin{align} \mathbf{f}_R = \left(\begin{array}{c} f_{R,x}\\ f_{R,y}\\ f_{R,z} \end{array}\right) \equiv \left(\begin{array}{c} \mathbf{f}_R^{(H)}\\ f_{R,z} \end{array}\right) \end{align} \]
für die Reibungsbeschleunigung mitgeführt. Dies ist trotz der relativen Kleinheit der Reibung in der Atmosphäre aufgrund ihrer Bedeutung für die Energiekaskade (s. Abschn. 8.2.3) sinnvoll.
Eine Skalenanalyse der Reibungsbeschleunigung für die synoptische Skala ergibt $10^{-5}10^{-11} = 10^{-16}$ m/s$^2$, die typische Beschleunigung ist $10^{-4}$ m/s$^2$, die Reibung ist also auf der synoptischen Skala zwölf Größenordnungen kleiner als die Beschleunigung und damit komplett vernachlässigbar. Sie hat nichtsdestotrotz eine wichtige thermodynamische Bedeutung, da sie für die Dissipation kinetischer Energie verantwortlich ist. Die dissipierte kinetische Energie wird in thermische Energie umgewandelt. Fluide ohne Reibung bezeichnet man als ideale Fluide.
Im Falle von Inkompressibilität gilt wegen $S_{m, m} = \nabla\cdot\mathbf{v} = 0$ die Gleichung
\[ \begin{align} T_{i, j} = -p\delta_{i, j} + 2\mu S_{i, j}. \end{align} \]
Hieraus folgt
\[ \begin{align} \frac{1}{\rho}\nabla\cdot T & \stackrel{\href{#eq:friction_acceleration}{\text{Glg. (8.52)}}}{=} \nu\Delta\mathbf{v}.\tag{8.55}\label{eq:friction_acceleration_inc} \end{align} \]
Der Reibungsterm $\mathbf{f}_R$ dissipiert spezifische kinetische Energie $k = \frac{1}{2}\mathbf{v}^2$ in innere Energie $i = c^{(V)}T$. Die Impulsgleichung in einem IS lautet
\[ \begin{align} \md{\mathbf{v}} = \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{g} + \mathbf{f}_R \end{align} \]
lauten. Für die materielle Änderung der spezifischen kinetischen Energie $k$ gilt in diesem Fall
\[ \begin{align} \md{k} = \md{}\left(\frac{1}{2}\mathbf{v}^2\right) = \mathbf{v}\cdot\md{\mathbf{v}} = -\frac{1}{\rho}\nabla p\cdot\mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot\mathbf{g} + \mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_R = -\frac{1}{\rho}\sum_{i = 1}^3v_i\frac{\partial p}{\partial x_i} + \sum_{i = 1}^3v_ig_i + \frac{1}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3v_j\frac{\partial\tau_{i, j}}{\partial x_i}. \end{align} \]
Multipliziert man dies mit $\rho$, erhält man
\[ \begin{align} \rho\md{k} = -\sum_{i = 1}^3v_i\frac{\partial p}{\partial x_i} + \sum_{i = 1}^3\rho v_ig_i + \sum_{i, j = 1}^3v_j\frac{\partial\tau_{i, j}}{\partial x_i}.\tag{8.58}\label{eq:dissipation_deriv_0} \end{align} \]
Sei $\Omega = \Omega\left(t\right) \subseteq \mathbb{R}^3$ ein zusammenhängendes Kontrollvolumen. Dann gilt für die Gesamtenergie in diesem Bereich unter Abwesenheit von Wärmeflüssen (außer Dissipation)
\[ \begin{align} \frac{d}{dt}\int_{\Omega\left(t\right)}\rho\left(k + i\right)d^3r &= \int_{\Omega\left(t\right)}\rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{g}d^3r + \int_{\partial\Omega\left(t\right)}\mathbf{f}\cdot\mathbf{v}dA.\tag{8.59}\label{eq:dissipation_deriv_1} \end{align} \]
Hierbei ist $\mathbf{v}$ die auf die Oberfläche des Kontrollvolumens wirkende Kraft. Für diese gilt mit den Definitionen zu Beginn von Abschn. 8.2
\[ \begin{align} \int_{\partial\Omega\left(t\right)}\mathbf{f}\cdot\mathbf{v}dA &= \int_{\partial\Omega\left(t\right)}\sum_{i, j = 1}^3n_iT_{i, j}v_jdA = \int_{\Omega\left(t\right)}\sum_{i, j = 1}^3\frac{\partial\left(T_{i, j}v_j\right)}{\partial x_i}d^3r. \end{align} \]
Für den Integranden erhält man
\[ \begin{align} \sum_{i, j = 1}^3\frac{\partial\left(T_{i, j}v_j\right)}{\partial x_i} &= \sum_{i, j = 1}^3v_j\frac{\partial T_{i, j}}{\partial x_i} + T_{i, j}\frac{\partial v_j}{\partial x_i} = \sum_{i, j = 1}^3v_j\frac{\partial\tau_{i, j}}{\partial x_i} + \sum_{i, j = 1}^3\tau_{i, j}\frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \sum_{i = 1}^3v_i\frac{\partial p}{\partial x_i} - \sum_{i = 1}^3p\frac{\partial v_i}{\partial x_i}. \end{align} \]
Setzt man dies in Glg. (8.59) ein, erhält man
\[ \begin{align} \frac{d}{dt}\int_{\Omega\left(t\right)}\rho\left(k + i\right)d^3r &= \int_{\Omega\left(t\right)}\rho\sum_{i = 1}^3g_iv_i + \sum_{i, j = 1}^3v_j\frac{\partial\tau_{i, j}}{\partial x_i} + \sum_{i, j = 1}^3\tau_{i, j}\frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \sum_{i = 1}^3v_i\frac{\partial p}{\partial x_i} - \sum_{i = 1}^3p\frac{\partial v_i}{\partial x_i}d^3r. \end{align} \]
Lässt man $\Omega$ auf die Größe eines Fluidteilchens zusammenschrumpfen, erhält man
\[ \begin{align} \md{\left[\rho\left(k + i\right)\right]} &= \sum_{i = 1}^3\rho v_ig_i + \sum_{i, j = 1}^3v_j\frac{\partial\tau_{i, j}}{\partial x_i} + \sum_{i, j = 1}^3\tau_{i, j}\frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \sum_{i = 1}^3v_i\frac{\partial p}{\partial x_i} - \sum_{i = 1}^3p\frac{\partial v_i}{\partial x_i}. \end{align} \]
Subtrahiert man hiervon Glg. (8.58), erhält man
\[ \begin{align} \md{\left(\rho i\right)} &= \sum_{i, j = 1}^3\tau_{i, j}\frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \sum_{i = 1}^3p\frac{\partial v_i}{\partial x_i} = -p\nabla\cdot\mathbf{v} + \sum_{i, j = 1}^3\tau_{i, j}\frac{\partial v_j}{\partial x_i} \equiv -p\nabla\cdot\mathbf{v} + \rho\epsilon. \end{align} \]
Man definiert somit die spezifische Dissipationsrate, oder kurz Dissipation $\epsilon$, durch
\[ \begin{align} \epsilon \coloneqq \frac{1}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3\tau_{i, j}\frac{\partial v_j}{\partial x_i} \stackrel{\href{#eq:def_rotation_tensor}{\text{Glg.en (8.34) - (8.34)}}}{=} \frac{1}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3\tau_{i, j}\left(S_{i, j} - \frac{1}{2}R_{i, j}\right) \stackrel{R_{i, j}\text{ antisymmetrisch}}{=} \frac{1}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3\tau_{i, j}S_{i, j}. \end{align} \]
Es wird als Resultat dieses Abschnitts
\[ \begin{align} \epsilon = \frac{1}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3\tau_{i, j}S_{i, j} = \frac{1}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3\tau_{i, j}\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\tag{8.66}\label{eq:dissipation} \end{align} \]
notiert.
Üblicherweise stellt man sich die Reibung als eine bremsende Kraft vor. Dies ist in Fluiden nicht immer der Fall. Um dies einzusehen, wird von dem eindimensionalen Strömungsfeld
\[ \begin{align} u = 2 + \sin\left(x\right) > 0 \end{align} \]
ausgegangen, wobei Einheiten für den Moment ignoriert werden. Ein solches Feld ist realistisch, es handelt sich um einen Hintergrundwind mit einer überlagerten Welle. Ist das Medium inkompressibel, lautet die Reibungsbeschleunigung $a_R$ bis auf eine Konstante
\[ \begin{align} a_R = \frac{\partial^2u}{\partial x^2} = -\sin\left(x\right). \end{align} \]
Somit kann die durch die Reibung geleistete Arbeit
\[ \begin{align} ua_R = -u\sin\left(x\right) = -\left(2 + \sin\left(x\right)\right)\sin\left(x\right) = -2\sin\left(x\right) - \sin^2\left(x\right)\tag{8.69}\label{eq:fric_td_deriv_1} \end{align} \]
beide Vorzeichen haben. Es ist in Fluiden also möglich, dass die Reibung kinetische Energie produziert. Nichtsdestotrotz ist der Mittelwert von Glg. (8.75) negativ, im Mittel dissipiert die Reibung also auch in diesem Fall kinetische Energie. Dies ist jedoch noch keine allgemeingültige Herleitung der dissipativen Wirkung der Reibung.
Integriert man die Gleichungen jedoch global, ist die negative Auswirkung der Reibung auf das Integral der kinetischen Energie auch formal einsehbar. Hierfür wird zunächst weiterhin von einem eindimensionalen inkompressiblen Medium ausgegangen, welches auf den Bereich $\left[0, L\right]$ beschränkt ist, die Randbedingungen lauten $u\left(x = 0, L\right) 0$. Somit erhält man mittels partieller Integration
\[ \begin{align} \int_0^Lua_Rdx = \int_0^Lu\frac{\partial^2u}{\partial x^2}dx = \left[u\frac{\partial u}{\partial x}\right]_0^L - \int_0^L\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2dx = -\int_0^L\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2dx \leq 0. \end{align} \]
Dementsprechend gilt
\[ \begin{align} \int_0^Lqdx = -\int_0^Lua_Rdx \geq 0, \end{align} \]
die Reibung vernichtet global integriert also kinetische Energie mittels einer Wärmeleistungsdichte $q$ zugunsten der inneren Energie. Lokal kann die Reibung jedoch kinetische Energie produzieren, was mit $q < 0$ einhergeht. Die Randbedingungen haben für die thermodynamische Rolle der Reibung also eine entscheidende Bedeutung.
Beide Gedankengänge kann man auch dreidimensional verallgemeinern. Hierzu gehe man zunächst von einem dreidimensionalen Windfeld der Form
\[ \begin{align} \mathbf{v}\left(\mathbf{r}\right) = \mathbf{u}\left(2 + \sin\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)\right)\tag{8.72}\label{eq:diss_sample_wind_field} \end{align} \]
aus. Hieraus folgt
\[ \begin{align} \mathbf{v}\cdot\Delta\mathbf{v} = -k^2u^2\sin\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)\left(2 + \sin\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)\right). \end{align} \]
Dieser Ausdruck nimmt beide Vorzeichen an, auch im dreidimensionalen Fall kann die Reibungsbeschleunigung also lokal kinetische Energie produzieren. Für die Arbeit, die die Reibungsbeschleunigung leistet kann man lokal
\[ \begin{align} \mathbf{v}\cdot\Delta\mathbf{v} = \sum_{i, j = 1}^3v_i\frac{\partial^2v_i}{\partial x_j^2} \end{align} \]
notieren. Die dieser Ausdruck isotrop ist, kann man sich bei der weiteren Betrachtung auf die Terme mit x-Ableitung beschränken:
\[ \begin{align} \sum_{i = 1}^3v_i\frac{\partial^2v_i}{\partial x^2}\tag{8.75}\label{eq:fric_td_deriv_0} \end{align} \]
Man betrachtet nun die Menge
\[ \begin{align} \Omega \coloneqq \left[0, L_x\right] \times \left[0, L_y\right] \times \left[0, L_z\right] \end{align} \]
mit den Randbedingungen
\[ \begin{align} \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = 0, & {} & \nabla\mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = \mathbf{0} \end{align} \]
auf $\partial\Omega$, hierbei ist $\mathbf{n}$ ein Normalenvektor auf $\partial\Omega$. Integriert man nun Glg. (8.75) auf $\Omega$, erhält man
\[ \begin{align} \int_\Omega\sum_{i = 1}^3v_i\frac{\partial^2v_i}{\partial x^2}d^3r &= \int_{z = 0}^{L_z}\int_{y = 0}^{L_y}\int_{x = 0}^{L_x}\sum_{i = 1}^3v_i\frac{\partial^2v_i}{\partial x^2}dxdydz. \end{align} \]
Führt man nur die Integration über x aus, erhält man
\[ \begin{align} \int_0^{L_x}\sum_{i = 1}^3v_i\frac{\partial^2v_i}{\partial x^2}dx = \int_0^{L_x}v_x\frac{\partial^2v_x}{\partial x^2} + v_y\frac{\partial^2v_y}{\partial x^2} + v_z\frac{\partial^2v_z}{\partial x^2}dx. \end{align} \]
Integriert man wieder partiell, folgt
\[ \begin{align} \int_0^{L_x}v_x\frac{\partial^2v_x}{\partial x^2} + v_y\frac{\partial^2v_y}{\partial x^2} + v_z\frac{\partial^2v_z}{\partial x^2}dx &= \left[v_x\frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y\frac{\partial v_y}{\partial x} + v_z\frac{\partial v_z}{\partial x}\right]_0^L - \int_0^{L_x}\left(\frac{\partial v_x}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial v_y}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial v_z}{\partial x}\right)^2dx\nonumber\\ &= -\int_0^{L_x}\left(\frac{\partial v_x}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial v_y}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial v_z}{\partial x}\right)^2dx \leq 0. \end{align} \]
Dies impliziert
\[ \begin{align} \int_\Omega\mathbf{v}\cdot\Delta\mathbf{v}d^3r \leq 0. \end{align} \]
Dementsprechend vernichtet auch in diesem Fall die Reibung kinetische Energie.
Auch auf den dreidimensionalen kompressiblen Fall lassen sich beide Beobachtungen verallgemeinern. Hierzu geht man wieder von einem Windfeld der Form Glg. (8.72) aus, diesmal jedoch mit der Zusatzbedingung $\mathbf{u}\cdot\mathbf{k} = 0$. Dies impliziert
\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{v} = \mathbf{k}\cdot\mathbf{u}\cos\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right) = 0. \end{align} \]
Somit fällt der Term mit $\nabla\cdot\mathbf{v}$ in Glg. (8.52) mit diesem speziellen Windfeld weg, was in Analogie zum dreidimensionalen inkompressiblen Fall dazu führt, dass die von der Reibungskraft geleistete Arbeit $\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_R$ beide Vorzeichen annehmen kann.
Multipliziert man Glg. (8.52) mit $\rho\mathbf{v}$, erhält man
\[ \begin{align} \rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_R = \mu\mathbf{v}\cdot\Delta\mathbf{v} + \left(\mu_v + \frac{\mu}{3}\right)\mathbf{v}\cdot\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right). \end{align} \]
Unter der Annahme, dass die Viskositäten homogen sind, gilt in Analogie zum inkompressiblen Fall
\[ \begin{align} \int_\Omega\mu\mathbf{v}\cdot\Delta\mathbf{v}d^3r \leq 0.\tag{8.84}\label{eq:friction_dissipation_deriv_0} \end{align} \]
Für den zweiten Term rechnet man
\[ \begin{align} \int_0^{L_x}u\frac{\partial\nabla\cdot\mathbf{v}}{\partial x}dx &= \left[u\nabla\cdot\mathbf{v}\right]_0^{L_x} - \int_0^{L_x}\frac{\partial u}{\partial x}\nabla\cdot\mathbf{v}dx. \end{align} \]
Mit der kinematischen Randbedingung $u\left(x = 0, L_x\right) = 0$ fällt der erste Term weg. Somit gilt
\[ \begin{align} \int_\Omega\mathbf{v}\cdot\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)d^3r = -\int_\Omega\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)^2d^3r \leq 0. \end{align} \]
Somit gilt auch im kompressiblen Fall
\[ \begin{align} \int_\Omega\rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_Rd^3r \leq 0.\tag{8.87}\label{eq:friction_work_sign} \end{align} \]
Es gilt nach Glg. (8.66)
\[ \begin{align} \epsilon &= \frac{1}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3\tau_{i, j}S_{i, j} \stackrel{\href{#eq:stress-tensor}{\text{Glg. (8.50)}}}{=} \frac{1}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3\left[2\mu\left(S_{i, j} - \frac{1}{3}\nabla\cdot\mathbf{v}\delta_{i, j}\right) + \mu_v\nabla\cdot\mathbf{v}\delta_{i, j}\right]S_{i, j}\nonumber\\ &= \frac{2\mu}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3S_{i, j}^2 - \frac{2}{3}\frac{\mu}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3\nabla\cdot\mathbf{v}\delta_{i, j}S_{i, j} + \frac{\mu_v}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3\nabla\cdot\mathbf{v}\delta_{i, j}S_{i, j}\nonumber\\ &\stackrel{\href{#eq:def_rotation_tensor}{\text{Glg. (8.34)}}}{=} \frac{2\mu}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3S_{i, j}^2 - \frac{2}{3}\frac{\mu}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3\nabla\cdot\mathbf{v}\delta_{i, j}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right) + \frac{\mu_v}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3\nabla\cdot\mathbf{v}\delta_{i, j}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right)\nonumber \end{align} \] \[ \begin{align} &= \frac{2\mu}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3S_{i, j}^2 - \frac{2}{3}\frac{\mu}{\rho}\nabla\cdot\mathbf{v}\sum_{i, j = 1}^3\delta_{i, j}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right) + \frac{\mu_v}{\rho}\nabla\cdot\mathbf{v}\sum_{i, j = 1}^3\delta_{i, j}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right)\nonumber\\ &= \frac{2\mu}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3S_{i, j}^2 - \frac{2}{3}\frac{\mu}{\rho}\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)^2 + \frac{\mu_v}{\rho}\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)^2 = \frac{2\mu}{\rho}\sum_{i, j = 1}^3S_{i, j}^2 + \left(\frac{\mu_v}{\rho} - \frac{2}{3}\frac{\mu}{\rho}\right)\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)^2. \end{align} \]
Nach Glg. (8.48) gilt
\[ \begin{align} \mu_v - \frac{2}{3}\mu = \lambda, \end{align} \]
hierbei ist $\lambda \geq 0$ die Lamé-Konstante. Somit gilt
\[ \begin{align} \epsilon \geq 0.\tag{8.90}\label{eq:dissipation_sign} \end{align} \]
Die Reibung vernichtet laut Glg. (8.87) im globalen Mittel kinetische Energie, kann jedoch, wie in Abschn. 8.2.3 gezeigt, lokal auch kinetische Energie produzieren. Die Dissipation hingegen ist immer positiv. Lokal gilt also
\[ \begin{align} \rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_R + \rho\epsilon \stackrel{\text{i. A.}}{\not=} 0. \end{align} \]
Man erwartet jedoch, dass im globalen Mittel die Dissipation genau so viel innere Energie produziert, wie die Reibung kinetische Energie vernichtet. Um dies zu zeigen, rechnet man
\[ \begin{align} \int_\Omega\rho\epsilon + \rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_Rd^3r &\stackrel{\href{#eq:dissipation}{\text{Glg. (8.66)}}}{=} \int_\Omega\sum_{i, j = 1}^3\tau_{i, j}\frac{\partial v_j}{\partial x_i} + \rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_Rd^3r = \int_\Omega\sum_{i, j = 1}^3\tau_{i, j}\frac{\partial v_j}{\partial x_i} + \rho\sum_{i, j = 1}^3\frac{1}{\rho}v_j\frac{\partial\tau_{i, j}}{\partial x_i}d^3r\nonumber\\ &= \int_\Omega\sum_{i, j = 1}^3\tau_{i, j}\frac{\partial v_j}{\partial x_i} + \sum_{i, j = 1}^3v_j\frac{\partial\tau_{i, j}}{\partial x_i}d^3r = \int_\Omega\sum_{i, j = 1}^3\tau_{i, j}\frac{\partial v_j}{\partial x_i} + v_j\frac{\partial\tau_{i, j}}{\partial x_i}d^3r\nonumber\\ &= \int_\Omega\sum_{i, j = 1}^3\frac{\partial\left(\tau_{i, j}v_j\right)}{\partial x_i}d^3r. \end{align} \]
Man betrachtet zunächst beispielhaft nur die Terme mit partiellen Ableitungen nach $x$ und geht von $\Omega = \left[0, L_x\right] \times \left[0, L_z\right] \times \left[0, L_y\right]$ aus:
\[ \begin{align} \int_{0}^{L_x}\sum_{j = 1}^3\frac{\partial\left(\tau_{x, j}v_j\right)}{\partial x}dx &= \left[\sum_{j = 1}^3\tau_{x, j}v_j\right]_0^{L_x} = \left[\tau_{x, x}u + \tau_{x, y}v + \tau_{x, z}w\right]_0^{L_x} \stackrel{u\left(x = 0, L_x\right) = 0}{=} \left[\tau_{x, y}v + \tau_{x, z}w\right]_0^{L_x}\nonumber\\ &= \left[v\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right) + w\mu\left(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}\right)\right]_0^{L_x} \nonumber\\ &\stackrel{u\left(x = 0, L_x\right) = 0}{=} \left[v\mu\frac{\partial v}{\partial x} + w\mu\frac{\partial w}{\partial x}\right]_0^{L_x} = \mu\left[v\frac{\partial v}{\partial x} + w\frac{\partial w}{\partial x}\right]_0^{L_x} \end{align} \]
Mit der Randbedingung
\[ \begin{align} \nabla\mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = 0 \end{align} \]
sind partielle Ableitungen tangentialer Windkomponenten orthogonal zur Oberfläche gleich Null. Somit folgt
\[ \begin{align} \int_{0}^{L_x}\sum_{j = 1}^3\frac{\partial\left(\tau_{x, j}v_j\right)}{\partial x}dx &= 0. \end{align} \]
Durch zyklische Vertauschung folgt dies auch für die anderen Raumrichtungen. Es ist also in der Tat
\[ \begin{align} \int_\Omega\rho\epsilon + \rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_Rd^3r = 0.\tag{8.96}\label{eq:friction_dissipation_balance} \end{align} \]
Setzt man Glg. (8.27) und Glg. (8.52) in Glg. (8.10) ein, so ergibt sich
\[ \begin{align} \md{\mathbf{v}} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{v}\times\mathbf{f} + \mathbf{g} + \mathbf{f}_R.\tag{8.97}\label{eq:momentum} \end{align} \]
$\mathbf{f} \coloneqq 2\omegabi$ ist der Coriolis-Vektor. Mit einer Umbenennung wurde außerdem mit $\md{\mathbf{v}}$ die Beschleunigung $\left(\md{\mathbf{v}'}\right)'$ bezeichnet, s. Glg. (8.27). $\mathbf{v}$ ist die im rotierenden System gemessene Geschwindigkeit. Der Term der Zentrifugalbeschleunigung wurde in $\mathbf{g}$ absorbiert.
Man kann die Beschleunigung $\md{\mathbf{v}}$ noch aufteilen in eine lokalzeitliche Ableitung $\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}$ und einen advektiven Anteil:
\[ \begin{align} \md{\mathbf{v}} = \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} \end{align} \]
Für den advektiven Anteil gilt mit Glg. (B.57)
\[ \begin{align} \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} = \frac{1}{2}\nabla\left(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\right) - \mathbf{v}\times\left(\nabla\times\mathbf{v}\right). \end{align} \]
Definiert man die spezifische kinetische Energie $k$ durch
\[ \begin{align} k \coloneqq\frac{1}{2}\mathbf{v}^2, \end{align} \]
folgt
\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{v}\times\left(\mathbf{f} + \nabla\times\mathbf{v}\right) - \nabla k + \mathbf{g} + \mathbf{f}_R.\tag{8.101}\label{eq:momentum_mod} \end{align} \]
Nun wird Gleichung (8.97) komponentenweise bezüglich der ortsabhängigen Orthonormalbasis der Kugelkoordinaten notiert. Für den Vektor $\mathbf{f}$ gilt
\[ \begin{align} \mathbf{f} = |\mathbf{f}|\left(\begin{array}{c} 0\\ \cos\left(\varphi\right)\\ \sin\left(\varphi\right) \end{array}\right)\eqqcolon\left(\begin{array}{c} 0\\ f'\\ f \end{array}\right). \end{align} \]
$f \coloneqq\mathbf{k}\cdot\mathbf{f}$ bezeichnet man als den Coriolis-Parameter. Damit folgt
\[ \begin{align} \mathbf{v}\times\mathbf{f} = \left(\begin{array}{c} fv - f'w\\ -fu\\ f'u \end{array}\right). \end{align} \]
Setzt man dies in die Bewegungsgleichung ein, folgt
\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{uv\tan\left(\varphi\right)}{a + z} + \frac{uw}{a + z} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + g_x - f'w + fv + f_{R,x} \tag{8.104}\label{eq:x_momentum},\\ \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + w\frac{\partial v}{\partial z} + \frac{u^2\tan\left(\varphi\right)}{a + z} + \frac{vw}{a + z} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} + g_y - fu + f_{R,y} \tag{8.105}\label{eq:y_momentum},\\ \frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + v\frac{\partial w}{\partial y} + w\frac{\partial w}{\partial z} - \frac{u^2 + v^2}{a + z} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} + g_z + f'u + f_{R,z} \tag{8.106}\label{eq:z_momentum}. \end{align} \]
Will man ein differenzialgleichungssystem auf eine Menge $\Omega$ anwenden, benötigt man Randbedingungen. $\Omega$ sei durch kondensierte Materie begrenzt. Sei $\mathbf{n}$ ein Normalenvektor auf $\partial\Omega$, dann gilt als Randbedingung für das Windfeld $\mathbf{v}$
\[ \begin{align} \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = 0, \end{align} \]
da Teilchen nicht den festen Rand $\partial\Omega$ überwinden können. Man bezeichnet dies als kinematische Randbedingung. Am Oberrand der Atmosphäre fordert man diese Randbedingung häufig ebenfalls, was keine physikalische Realität ist, sondern eine notwendige Zwangsmaßnahme. Eine andere häufig verwendete Randbedingung ist
\[ \begin{align} \mathbf{v}\left(\partial\Omega\right) = \mathbf{0}, \end{align} \]
was man als Adhäsionsbedingung bezeichnet. Dies ist als Parametrisierung der kinematischen Randbedingung für kleinskalige Effekte bei rauer Oberfläche zu verstehen. Der Begriff Bodenreibung bezeichnet den Einfluss der Gültigkeit der kinematischen Randbedingung an der Erdoberfläche auf die Dynamik eines Geofluids. Ist eine Phasengrenzfläche in Bewegung, wie beispielsweise die Meeresoberfläche, fordert man, dass in jedem Medium die Normalkomponente der Geschwindigkeit gegen einen gemeinsamen Grenzwert konvergiert, wenn man sich dieser nähert. Für die Parallelkomponenten muss dies i. A. jedoch nicht gelten.
Ist das Druckfeld stetig, so gilt an einer Phasengrenze $A$
\[ \begin{align} \lim_{\mathbf{r} \uparrow A} p = \lim_{\mathbf{r} \downarrow A} p,\tag{8.109}\label{eq:boundary_cond_dynamic} \end{align} \]
wobei die zwei Grenzwerte für die unterschiedlichen Seiten der Phasengrenzfläche stehen. Dies gilt bis auf eine eventuell vorhandene Oberflächenspannung, bei der es sich ja gerade um eine Diskontinuität im Druckfeld an einer Grenzfläche handelt. Glg. (8.109) bezeichnet man als dynamische Randbedingung.