16 Wellen und Instabilitäten

Die Bewegungsgleichungen haben Wellenlösungen. Diese erhält man durch Einsetzen eines komplexen harmonischen Ansatzes $\mathbf{\psi}_0e^{-i\omega t}$ in das jeweilige Gleichungssystem und Suchen nach nichttrivialen Lösungen, hierbei ist $\mathbf{\psi}_0$ ein komplexer Amplitudenvektor. Gelegentlich wird aufgrund der klimatologischen Relevanz ein zonaler Grundstrom aufgenommen. Eine Lösung ist eine Instabilität, falls $\Im\left(\omega\right) > 0$ gilt, die Amplitude also exponentiell anwächst.

16.1 Kinematik

Als Wellen bezeichnet man räumlich und zeitlich periodische Änderungen. Der maximale betragsmäßige Ausschlag aus der Ruhelage ist die Amplitude. Die Zeit $T > 0$ bis zur Wiederholung des Bewegungsmusters an einem festgehaltenen Ort bezeichnet man als Periodendauer, ihr Inverses ist die Frequenz $f$. Die Kreisfrequenz $\omega$ ist definiert als

\[ \begin{align} \omega \coloneqq 2\pi f = \frac{2\pi}{T}. \end{align} \]

Analog ist die Wellenlänge $\lambda > 0$ die Länge, nach der sich das Bewegungsmuster wiederholt. Wellenzahl $\kappa$ und Kreiswellenzahl $k$ sind anlog zu Frequenz und Kreisfrequenz definiert durch

\[ \begin{align} \kappa \coloneqq \frac{1}{\lambda}, & {} & k \coloneqq \frac{2\pi}{\lambda}. \end{align} \]

Eine Welle der Größe $a$ wird beschrieben durch eine Gleichung der Form

\[ \begin{align} a\left(x, t\right) = Af\left(kx - \omega t + \varphi\right). \end{align} \]

Dabei ist $f$ eine reell- oder komplexwertige, $2\pi-$periodische Funktion, d. h. $f\left(\xi + 2\pi\right) = f\left(\xi\right)$ für jedes $\xi\in\mathbb{R}$. Dies kann, muss aber keine trigonometrische Funktion sein. $f$ wird häufig komplexwertig gewählt, z. B. $f(x) = \exp(ix)$, falls dies die mathematische Beschreibung abkürzt oder anschaulicher macht. Bevor man jedoch Größen berechnet, die man mit Messgrößen vergleichen möchte, muss man allerdings alles auf die reelle Achse projizieren. Das Argument $kx - \omega t + \varphi$ nennt man auch die Phase der Welle, in der komplexen Ebene ist dies der Winkel, den die Zahl mit der Realachse einschließt. $\varphi$ ist dabei die Phasenverschiebung, die ermöglicht, dass die Phase der Welle bei $x, t = 0$ nicht gleich Null ist. Man kann bei Herleitungen häufig auf $\varphi$ verzichten, indem man die Zeit- oder Ortskoordinate entsprechend verschiebt. $k$ und $\omega$ können auch imaginäre Anteile haben, so z. B. bei Wellen, die exponentiell in ein Medium hineinpropagieren (sog. evaneszente Wellen), oder bei Instabilitäten, bei denen die Amplitude über einen gewissen Zeitraum hinweg exponentiell anwächst. Genauso kann auch der Vorfaktor $A$ komplex sein und so eine Phasenverschiebung beinhalten.

Im Allgemeinen kann sich eine Welle auch in einem dreidimensionalen Raum fortpflanzen, in diesem Fall schreibt man zunächst allgemein

\[ \begin{align} a\left(\mathbf{r}, t\right) = Af\left(\phi\left(\mathbf{r}, t\right)\right) \end{align} \]

mit $\phi = \phi\left(\mathbf{r}, t\right)$ als Phasenfunktion. Die Phasenfunktion kann zum Beispiel die Gestalt

\[ \begin{align} \varphi\left(\mathbf{r}, t\right) = \mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t\tag{16.5}\label{eq:phase_velocity_deriv} \end{align} \]

haben, hierbei bezeichnet man $\mathbf{k} = \left(k_x, k_y, k_z\right)^T$ als den Wellenvektor. Sein Betrag ist gleich der Kreiswellenzahl, er zeigt in Ausbreitungsrichtung der Welle. Leitet man Glg. (16.5) nach der Zeit ab, folgt

\[ \begin{align} \frac{d\varphi\left(\mathbf{r}, t\right)}{dt} = \mathbf{k}\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt} - \omega \end{align} \]

Setzt man die linke Seite gleich Null, bewegt sich also mit einem Punkt konstanter Phase mit, und wählt eine Trajektorie parallel zu $\mathbf{k}$, so erhält man die Phasengeschwindigkeit

Die Abhängigkeit

\[ \begin{align} \omega = \omega\left(k\right) \end{align} \]

bezeichnet man als Dispersionsrelation. Nun betrachtet man die Übelagerung $f\left(x, t\right) = f_1\left(x, t\right) + f_2\left(x, t\right)$ zweier Wellen:

\[ \begin{align} f_1\left(x, t\right) &= -\cos\left(k_1x - \omega_1t\right)\\ f_1\left(x, t\right) &= \cos\left(k_2x - \omega_2t\right)\\ f\left(x, t\right) &= -\cos\left(k_1x - \omega_1t\right) + \cos\left(k_2x - \omega_2t\right) \end{align} \]

Mit Glg. (A.61) folgt

\[ \begin{align} -\cos\left(\alpha\right) + \cos\left(\beta\right) &= 1 - \cos\left(\alpha\right) - 1 + \cos\left(\beta\right) = 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)\nonumber\\ &= 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right) - 2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right) + 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)\nonumber\\ &= 2\left[\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right) - \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)\right]\nonumber\\ &= 2\left[\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right]\left[\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\beta}{2}\right) + \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)\right]\nonumber\\ &= 2\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right). \end{align} \]

Es gilt also

\[ \begin{align} f\left(x, t\right) &= 2\sin\left(\frac{\Delta k x - \Delta\omega t}{2}\right)\sin\left(\newoverline{k}x - \newoverline{\omega}t\right) \end{align} \]

mit

\[ \begin{align} \Delta k \coloneqq k_2 - k_1, & {} & \Delta\omega \coloneqq \omega_2 - \omega_1,\\ \newoverline{k} \coloneqq \frac{k_1 + k_2}{2}, & {} & \newoverline{\omega} \coloneqq \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}. \end{align} \]

Die Einhüllende $\sin\left(\frac{\Delta k x - \Delta\omega t}{2}\right)$ bewegt sich also mit der Geschwindigkeit

\[ \begin{align} v_e = \frac{\Delta\omega}{\Delta k}. \end{align} \]

Man definiert daher die Gruppengeschwindigkeit $c_{\text{gr}}$ durch

\[ \begin{align} c_{\text{gr}} \coloneqq \frac{\partial\omega}{\partial k}. \end{align} \]

Sie kann also aus der Dispersionsrelation abgeleitet werden. Es ist die Geschwindigkeit, mit der sich Wellenpakete bewegen, mit der also Energie transportiert wird. Ist

\[ \begin{align} c_{\text{gr}} = c \end{align} \]

unabhängig von $k$, so bezeichnet man die Welle als dispersionsfrei. Man kann die Gruppengeschwindigkeit vektoriell zu

verallgemeinern. Mit $\omega = ck$ kann man schreiben

\[ \begin{align} c_{\text{gr}} &= \frac{d\omega}{dk} = c + k\frac{dc}{dk} = c + k\frac{d\lambda}{dk}\frac{dc}{d\lambda} = c - \frac{2\pi}{k}\frac{dc}{dy} = c - \lambda\frac{dc}{d\lambda}. \end{align} \]

Im Fall $dc/d\lambda < 0$ spricht man von anormaler Dispersion. In diesem Fall propagiert die Energie schneller als die Phasengeschwindigkeit. Im Fall

\[ \begin{align} \frac{dc}{d\lambda}\lambda > c \Leftrightarrow \frac{dc}{d\lambda} > \frac{c}{\lambda} = f \end{align} \]

bzw.

\[ \begin{align} \frac{d\omega}{dk} < 0 \end{align} \]

propagiert die Energie in einer dem Wellenvektor entgegengesetzten Richtung.

Lässt der Charakter einer Welle dies zu, kategorisiert man sie entweder als Longitudinalwelle, bei der die Oszillatoren parallel zum Wellenvektor schwingen, oder als Transversalwelle, bei der sie senkrecht dazu schwingen. Bei mechanischen Transversalwellen führt man als weiter kinematische Größen die Wellenhöhe $H$ als doppelter Amplitude sowie die Steilheit $S$ einer Welle ein, welche durch

\[ \begin{align} S \coloneqq \frac{H}{\lambda} \end{align} \]

definiert ist und somit dimensionslos ist.

16.2 Kategorisierung von Wellen in Geofluiden

Barotrope Wellen (s. Abschn. 16.5) benötigen Grenzflächen und haben an dieser ihr Amplitudenmaximum. Daher bezeichnet man sie auch als externe Wellen oder Oberflächenwellen. Die Flachwassergleichungen sind meist ausreichend, um solche Wellen zu beschreiben.

Barokline Wellen (s. Abschn. 16.6) existieren hingegen im Inneren eines Mediums, sie werden daher auch als interne Wellen bezeichnet.

Ein Grenzfall sind hierbei Wellen an einer scharfen Grenzfläche ($N \gg 0$) im Inneren eines Mediums, wie z. B. an einer Inversion oder an einem Dichtesprung (siehe z. B. die Darstellung am Ende von Abschn. 16.5.2). Sie lassen sich häufig mathematisch mit den Formeln für Oberflächenwellen beschreiben, werden jedoch meist zu den internen Wellen gezählt. Kapillarwellen (s. Abschn. 16.4) sind Oberflächenwellen, allerdings spielt die Barotropie dabei keine Rolle und die Flachwassergleichungen sind auch nicht ausreichend, um sie zu beschreiben. Daher stellen sie eine Sonderkategorie dar.

16.3 Begründung der Linearisierung

Sind $A, B$ zwei Phänomene und ist $f\left(A + B\right)$ beispielsweise eine Vorhersage, so gilt im Allgemeinen

\[ \begin{align} f\left(A + B\right) \not = f\left(A\right) + f\left(B\right), \end{align} \]

der Gesamteffekt von $A + B$ ist also nicht die Summe der Einzeleffekte $A, B$, da $f$ keine lineare Abbildung ist.

Bei der Suche nach analytischen Lösungen eines nichtlinearen Gleichungssystems, insbesondere bei der Suche nach Wellenlösungen, ist man jedoch sehr interessiert an einer Linearisierung. Dies ist mal mehr mal weniger gerechtfertigt. Man geht hierzu davon aus, dass für eine Größe $A = A_0 + A'$ mit $A_0$ als Hintergrundzustand und $A'$ als Störung gilt

\[ \begin{align} \mathcal{O}\left(A_0\right) = \mathcal{O}\left(A'\right) + 1, \end{align} \]

daher gilt

\[ \begin{align} \mathcal{O}\left(A'^2\right) = \mathcal{O}\left(A_0\right) - 2. \end{align} \]

Man vernachlässigt daher alle Terme, in denen Produkte der Störungen auftreten. Dies führt zu einer Linearisierung des Gleichungssystems. Für die Ableitungen gilt unter Annahme einer ebenen Welle in x-Richtung mit Kreisfrequenz $\omega$ und Kreiswellenzahl $k$, die nur die Störungen betrifft

\[ \begin{align} \mathcal{O}\left(\frac{\partial A'}{\partial t}\right) &= \mathcal{O}\left(\omega A'\right),\\ \mathcal{O}\left(\frac{\partial A'}{\partial x}\right) &= \mathcal{O}\left(kA'\right)\\ \mathcal{O}\left(\frac{\frac{\partial A'}{\partial t}}{A\frac{\partial A'}{\partial x}}\right) &= \mathcal{O}\left(\frac{\omega}{Ak}\right) = \mathcal{O}\left(\frac{c}{A}\right).\tag{16.29}\label{eq:bed_lin_wellglg} \end{align} \]

Aus Glg. (16.29) folgt, dass man die advektiven Terme vernachlässigen kann, wenn die Phasengeschwindigkeit $c = \frac{\omega}{k}$ viel größer als die Fluidteilchengeschwindigkeit ist.

Ist es möglich, alle nichtlinearen Terme eines Gleichungssystems zu eliminieren, so weiß man, dass sich zwei unabhängige Lösungen dieses Gleichungssystems nicht beeinflussen. Beispiele sind Schallwellen und elektromagnetische Wellen. Die Linearität dieser Systeme macht die unabhängige Überlagerung verschiedener Geräusche oder Signale möglich.

16.3.1 Beispiel: Schallwellen

Schallwellen sind Kompressionswellen, jedoch lassen sich dabei aufgrund der Adiabatie Drücke und Dichten eindeutig aufeinander abbilden. Es wird eine sich in x-Richtung ausbreitende Welle betrachtet. Der Störungsansatz für Geschwindigkeit und Dichte lautet

\[ \begin{align} u = U + u', & {} & \rho = \rho_0 + \rho'. \end{align} \]

Das Gleichungssystem lautet mit den abkürzenden Ersetzungen

\[ \begin{align} \rho' &\to \rho,\\ u' &\to u \end{align} \]

und den im vorigen Abschnitt hergeleiteten Näherungen somit

\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} + U\frac{\partial u}{\partial x} &= -\frac{1}{\rho _0}\frac{\partial p}{\partial x}\tag{16.33}\label{eq:schall_1}\\ \frac{\partial\rho}{\partial t} + U\frac{\partial \rho}{\partial x} &= - \rho _0\frac{\partial u}{\partial x}\tag{16.34}\label{eq:schall_2}\\ \rho(p) &= \rho_\theta\left(\frac{p}{p_0}\right)^{c_v/c_p} \end{align} \]

Bei der ersten Gleichung handelt es sich um die Impulsgleichung, die zweite ist die Kontinuitätsgleichung und die dritte ist die Gleichung für die potentielle Dichte Glg. (9.44). Um in Glg. (16.34) die Dichteänderung durch den Druck auszudrücken, benutzt man die Kettenregel:

\[ \begin{align} \frac{\partial\rho}{\partial t} = \frac{\partial\rho}{\partial p}\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\rho_\theta c_v}{p_0c_p}\left(\frac{p}{p_0}\right)^{c_v/c_p - 1}\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\rho_\theta c_v}{p_0c_p}\frac{\partial p}{\partial t}, \end{align} \]

analog für $\frac{\partial}{\partial x}$. Die Ableitung der Dichte nach dem Druck wurde dabei an der Stelle $p = p_0$ ausgewertet, weil die Druckschwankungen sehr klein sind. Nun macht man einen Ansatz

\[ \begin{align} u = u_0\exp\left[i\left(kx - \omega t\right)\right], & {} & p = P\exp\left[i\left(kx - \omega t\right)\right] \end{align} \]

mit eventuell komplexen Amplituden $u_0, P$. Setzt man dies in das Gleichungssystem ein, folgt

\[ \begin{align} -i\omega u_0 + Uiku_0 &= -\frac{1}{\rho_\theta}ikP,\\ -\frac{\rho_\theta c_v}{p_0c_p}i\omega P + Uik\frac{\rho_\theta c_v}{p_0c_p}P &= -\rho_\theta iku_0\nonumber\\ \Leftrightarrow - i\omega P + UikP &= -\frac{p_0c_p}{c_v}iku_0. \end{align} \]

Als Matrixgleichung wird dies zu

\[ \begin{align} \left(\begin{array}{cc} - i\omega + Uik&\frac{1}{\rho_\theta}ik\\ ik\frac{p_0c_p}{c_v}& -i\omega + Uik \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u_0\\ P \end{array}\right) = \mathbf{0}. \end{align} \]

Nichttriviale Lösungen existieren für

\[ \begin{align} \left(\omega - Uk\right)^2 - k^2\frac{p_0c_p}{\rho_\theta c_v} = 0\Leftrightarrow \omega = Uk\pm k\sqrt{\frac{p_0c_p}{\rho_\theta c_v}}. \end{align} \]

Für die Phasengeschwindigkeit $c$ folgt also

Hierbei wurde die Zustandsgleichung eingesetzt, $T$ ist die Gleichgewichtstemperatur und $\kappa = c_p/c_v>1$ der Adiabatenexponent. Der Wert von $c$ ist jedoch auch von der Feuchte abhängig. Man könnte also über eine Messung der Schallgeschwindigkeit durch Kombination mit einer Temperaturmessung die Feuchte bestimmen. Anzumerken ist, dass Schallwellen dispersionsfrei sind, die Phasengeschwindigkeit jedoch orts- und zeitabhängig ist, da sie von der Temperatur und der Feuchte abhängt.

16.3.1.1 Entropie-Form des Druckgradienten

Verwendet man die mit Glg. (10.87) erhaltene Formulierung

\[ \begin{align} -\frac{1}{\rho}\nabla p = -c^{(p)}T + T\nabla s = -c^{(p)}T + c^{(p)}\frac{T}{\theta}\nabla\theta \end{align} \]

für die Druckgradientbeschleunigung, erhält man weitere Erkenntnisse über Schallwellen. Da Schallwellen adiabatisch sind, ist nicht zu erwarten, dass der Anteil des Druckgradienten, der mit dem Gradienten der Entropie zusammenhängt, zu Schallwellen beiträgt. Anders ist es mit dem Gradienten der Temperatur. Um ein geschlossenes Gleichungssystem zu erhalten, muss daher eine prognostische Gleichung für die Temperatur gefunden werden. Die adiabatische Form von Glg. (9.14) lautet

\[ \begin{align} \frac{\partial T}{\partial t} = -\nabla\cdot\left(T\mathbf{v}\right) - \left(\frac{R_d}{c^{(V)}} - 1\right)T\nabla\cdot\mathbf{v}. \end{align} \]

Man notiert daher als eindimensionales Gleichungssystem unter Vernachlässigung von Advektion

\[ \begin{align} \frac{\partial w}{\partial t} &= -c^{(p)}\frac{\partial T}{\partial z},\tag{16.45}\label{eq:sound_entropy_0}\\ \frac{\partial T}{\partial t} &= -\frac{R_d}{c^{(V)}}T\frac{\partial w}{\partial z}.\tag{16.46}\label{eq:sound_entropy_1} \end{align} \]

Um zu verifizieren, dass dieses tatsächlich Schallwellen beschreibt, macht man den Ansatz

\[ \begin{align} w = w_1\exp\left(ikz - i\omega t\right), & {} & T = T_0 + T_1\exp\left(ikz - i\omega t\right). \end{align} \]

Die Dichte wird als homogen angenommen. Setzt man dies in die Glg.en (16.45) - (16.46) ein, folgt

\[ \begin{align} -i\omega w_1 = -c^{(p)}ik\frac{T_1}{\rho}, & {} & -i\omega T_1 = -\frac{R_d}{c^{(V)}}T_0ikw_1. \end{align} \]

In Matrixschreibweise erhält man

\[ \begin{align} \left( \begin{array}{cc} -i\omega & c^{(p)}ik\frac{1}{\rho} \\ \frac{R_d}{c^{(V)}}\newtilde{T}_0ik & -i\omega \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} w_1 \\ \newtilde{T}_1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right). \end{align} \]

Durch Nullsetzen der Determinante erhält man

\[ \begin{align} \omega^2 = \kappa R_dTk^2. \end{align} \]

Es ergibt sich also die gleiche Dispersionsrelation wie Glg. (16.42). Hiermit ist verifiziert, dass die in den Glg.en (16.45) - (16.46) aufgeführten Terme in der Tat Schallwellen beschreiben.

16.4 Kapillarwellen

Im Fall $\eta = \hat{\eta}\exp\left(ikx - i\omega t\right)$ folgt

\[ \begin{align} -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p_k}{\partial x} &= -\frac{k^2\sigma}{\rho}\frac{\partial\eta}{\partial x}. \end{align} \]

Addiert man dies zur rechten Seite von Glg. $\href{#eq:deep_1}{(16.66)}$, erhält man

\[ \begin{align} -g\frac{\partial\eta}{\partial x} &\to -g\frac{\partial\eta}{\partial x} - \frac{\sigma k^2}{\rho}\frac{\partial\eta}{\partial x} = -g\left(1 + \frac{k^2\sigma}{\rho g}\right)\frac{\partial\eta}{\partial x}, \end{align} \]

Man muss also

\[ \begin{align} g \to g\left(1 + \frac{k^2\sigma}{\rho g}\right) \end{align} \]

ersetzen, der Rest der Herleitung überträgt sich. Man erhält also die Dispersionsrelation der Kapillarwellen

Im Fall sehr kurzer Wellen erhält man den Grenzfall

In diesem Grenzfall sind Kapillarwellen also anormal dispergiert.

Um eine Grenzwällenlänge $\lambda_K$ herzuleiten, ab der kapillare Effekte wichtig werden, rechnet man

\[ \begin{align} \frac{k_K^2\sigma}{\rho g} \stackrel{!}{\geq} \frac{1}{10} \Leftrightarrow \lambda_K \leq \sqrt{\frac{40\pi^2\sigma}{\rho g}}. \end{align} \]

Die Oberflächensapnnung von Wasser beträgt ca. $\sigma \sim 75$ mN/m, woraus folgt

\[ \begin{align} \lambda_K \sim 5,5\text{ cm}. \end{align} \]

16.5 Barotrope Wellen

16.5.1 Inertialwellen

Bei Inertialwellen geht man von einem verschwindenden horizontalen Druckgradienten aus, sodass nur die Coriolis-Kraft übrigbleibt. Die Impulsgleichungen der SWEs Glg. (13.171) werden unter Vernachlässigung der advektiven Terme zu

\[ \begin{align} \frac{du}{dt} = f_0v,& {} & \frac{dv}{dt} = -f_0u. \end{align} \]

Für den Coriolis-Parameter wird dabei ein ortsunabhängiger Wert $f_0$ verwendet, um den $\beta-$Effekt zu umgehen. Man macht einen Ansatz

\[ \begin{align} u = U\exp\left(-i\omega t\right), & {} & v = V\exp\left(-i\omega t\right) \end{align} \]

mit eventuell komplexen Amplituden $U, V$. Setzt man dies in das Gleichungssystem ein, erhält man

\[ \begin{align} -i\omega U = f_0V, & {} & -i\omega V = -f_0 U. \end{align} \]

Als Matrixgleichung wird dies zu

\[ \begin{align} \left(\begin{array}{cc} - i\omega& -f_0\\ f_0& -i\omega \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} U\\ V \end{array}\right) = \mathbf{0}. \end{align} \]

Nichttriviale Lösungen existieren für

\[ \begin{align} -\omega^2 + f_0^2 &= 0, \end{align} \]

also für

\[ \begin{align} \omega = \pm f. \end{align} \]

Die Teilchen bewegen sich also auf einer Kreisbahn mit Radius

\[ \begin{align} R_I = \frac{V}{f_0}. \end{align} \]

Setzt man eine Geschwindigkeit von $1$ $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ ein, so folgt beispielsweise $R_I = 10$ km mit $f_0 = 10^{-4}\:\text{s}^{-1}$. Für die Periode gilt

\[ \begin{align} T = \frac{2\pi}{f_0} \approx \frac{1\:\text{d}}{2\sin\left(\varphi\right)}, \end{align} \]

d = $24$ h ist die Dauer eines Tages. Typische Inertialperioden liegen also im Größenordnungsbereich von einem Tag.

Da die totalen Ableitungen $\md{}$ verwendet wurden, wurde implizit eine Trajektorie ausgerechnet. Diese Trajektorie ist eine Kreisbahn, jedoch nur unter Annahme eines ortsunabhängigen Coriolis-Parameters. Im Allgemeinen sind die Teilchentrajektorien jedoch aufgrund des $\beta-$Effektes keine geschlossenen Kreisbahnen. Ebenso wurde kein Windfeld $\mathbf{v}_h\left(\mathbf{r}, t\right)$ bestimmt.

16.5.2 Wasseroberflächenwellen

Man geht an dieser Stelle von der Abwesenheit eines zonalen Grundstroms $U = 0$ aus, o. B. d. A. richtet man außerdem die x-Richtung am Wellenvektor aus, sodass das linearisierte Gleichungssystem hier

\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} &= -g\frac{\partial\eta}{\partial x}, \tag{16.66}\label{eq:deep_1}\\ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial z} &= 0\tag{16.67}\label{eq:deep_2} \end{align} \]

lautet. Man geht von einer homogenen Tiefe $D > 0$ aus und fordert als Randbedingung

\[ \begin{align} w\left(z = -D\right) \hastobe 0.\tag{16.68}\label{eq:deep_deriv_1} \end{align} \]

Es werden nun die Ansätze

\[ \begin{align} u = U\left(z\right)\exp\left(ikx - i\omega t\right), & {} & w = W\left(z\right)\exp\left(ikx - i\omega t\right). \end{align} \]

Die Oberflächenauslenkung $\eta$ und die Vertikalgeschwindigkeit $w$ hängen über

\[ \begin{align} \frac{\partial\eta}{\partial t}\left(z = 0\right) & \hastobe w\left(z = 0\right),\\ \Rightarrow -i\omega\hat{\eta} &= W\left(0\right)\tag{16.71}\label{eq:deep_deriv_2} \end{align} \]

zusammen, wobei $\hat{\eta}$ die Amplitude der Oberflächenauslenkung ist. Glg. (16.66) ergibt somit bei $z = 0$

\[ \begin{align} -i\omega U\left(0\right) = g\frac{k}{\omega}W\left(0\right) \Rightarrow \omega^2 = igk\frac{W\left(0\right)}{U\left(0\right)}.\tag{16.72}\label{eq:deep_disp_pre} \end{align} \]

Aus Glg. (16.67) folgt

\[ \begin{align} ikU\left(z\right) + W' = 0 \Rightarrow W' = -ikU. \end{align} \]

Dies und die Glg.en (16.68) und (16.71) ist durch

\[ \begin{align} U\left(z\right) &= \frac{\hat{\eta}\omega}{\sinh\left(kD\right)}\cosh\left[k\left(D + z\right)\right],\tag{16.74}\label{eq:u_vert_mod_short_waves}\\ W\left(z\right) &= -\frac{i\hat{\eta}\omega}{\sinh\left(kD\right)}\sinh\left[k\left(D + z\right)\right]. \end{align} \]

erfüllt. Somit folgt aus Glg. (16.72) die Dispersionsrelation

Im Fall $\lambda \gg D$ folgt hieraus

als Dispersionsrelation der sogenannten Flachwasserwellen. Im umgekehrten Fall $\lambda \ll D$ folgt die Dispersionsrelation der Tiefwasserwellen

Im Falle einer Dichtediskontinuität $\rho_1 < \rho_2$ mit einem leichteren Fluid über einem schwereren Fluid lautet der Druckgradientterm unterhalb der Welle

\[ \begin{align} -\frac{1}{\rho_2}\frac{\partial p}{\partial x} &= -\frac{1}{\rho_2}\frac{\partial\left(g\rho_2\eta - g\rho_1\eta\right)}{\partial x} = -\frac{g}{\rho_2}\frac{\partial\left(\rho_2\eta - \rho_1\eta\right)}{\partial x} = -\frac{g}{\rho_2}\frac{\partial\left[\eta\left(\rho_2 - \rho_1\right)\right]}{\partial x}\nonumber\\ &= -\frac{g\left(\rho_2 - \rho_1\right)}{\rho_2}\frac{\partial\eta}{\partial x} = -g\frac{\Delta\rho}{\rho_2}\frac{\partial \eta}{\partial x} \end{align} \]

mit $\Delta\rho \coloneqq \rho_2 - \rho_1$, wobei $\eta$ als Auslenkung der Dichtediskontinuität zu verstehen ist. Der Rest der Herleitung überträgt sich, wobei die Ersetzung $g \to g' \coloneqq g\frac{\Delta\rho}{\rho_2}$ vorzunehmen ist. Für die Dispersionsrelation erhält man

\[ \begin{align} \omega^2 &= g'k\tanh\left(k\left(z_w - z_0\right)\right), \end{align} \]

wobei $z_w$ die Position der Dichtediskontinuität und $z_0$ die Tiefenkoordinate des Grunds bezeichnet.

16.5.2.1 Stokes-Drift

Definiere

\[ \begin{align} \gamma \coloneqq \frac{\hat{\eta}\omega}{\sinh\left(kD\right)}, \end{align} \]

dann lässt sich Glg. (16.74) als

\[ \begin{align} U\left(z\right) &= \gamma\cosh\left[k\left(D + z\right)\right] \end{align} \]

notieren. Integriert man dies von $z = -D$ bis $z = \eta$, folgt

\[ \begin{align} \int_{-D}^\eta\gamma\cosh\left[k\left(D + z\right)\right]dz = \frac{\gamma}{k}\sinh\left(k\left(D + \eta\right)\right) \stackrel{\href{ch-39-herleitungen-einiger-mathematischer-form.html#eq:sinh_add_1}{\text{Glg. (A.56)}}}{=} \frac{\gamma}{k}\left[\sinh\left(kD\right)\cosh\left(k\eta\right) + \cosh\left(kD\right)\sinh\left(k\eta\right)\right]. \end{align} \]

Entwickelt man dies in erster Ordnung in $k\eta$ (Steilheit $\ll$ 1), folgt

\[ \begin{align} \int_{-D}^\eta\gamma\cosh\left[k\left(D + z\right)\right]dz \approx \frac{\gamma}{k}\left[\sinh\left(kD\right) + \cosh\left(kD\right)k\eta\right]. \end{align} \]

Multipliziert man dies mit dem Realteil von $\exp\left(ikx - iwt\right)$, erhält man den Ausdruck

\[ \begin{align} \frac{d\newdot{v}_h}{dy} = \frac{\gamma}{k}\left[\sinh\left(kD\right) + \cosh\left(kD\right)k\eta\right]\cos\left(kx - \omega t\right) \end{align} \]

für die vertial integrierte Volumenflussdichte. Setzt man den Realteil der Obeflächenauslenkung $\eta = \newhat{\eta}e^{ikx - i\omega t}$ ein, erhält man

\[ \begin{align} \frac{d\newdot{v}_h}{dy} = \frac{\gamma}{k}\left[\sinh\left(kD\right) + \cosh\left(kD\right)k\newhat{\eta}\cos\left(kx - \omega t\right)\right]\cos\left(kx - \omega t\right). \end{align} \]

Integriert man dies über eine Periode folgt

\[ \begin{align} \frac{d\newdot{v}_h}{dy} = \frac{\gamma}{k}\cosh\left(kD\right)k\newhat{\eta}\frac{1}{2} = \frac{\newhat{\eta}^2\omega}{2\tanh\left(kD\right)} = \frac{\newhat{\eta}^2}{2}\sqrt{\frac{gk}{\tanh\left(kD\right)}}. \end{align} \]

Diesen Volumenstrom in Richtung des Wellenvektors bezeichnet man als Stokes-Drift. Wegen

\[ \begin{align} \newoverline{u}\left(z\right) = 0 \end{align} \]

für $z < -\newhat{\eta}$ entsteht dieser Volumenstrom ausschließlich im Bereich der Oberflächenwelle selbst durch das Wachsen der Amplitude der Horizontalgeschwindigkeit mit der Höhe.

16.5.3 Poincaré-Wellen

Poincaré-Wellen sind die Wellen der linearisierten Flachwassergleichungen auf der f-Ebene, somit bilden die Glg.en (13.173) - (13.174) das zugrundeliegende Gleichungssystem. Diese Gleichungen lauten in ebener Geometrie in Komponenten

\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} &= fv - g\frac{\partial\eta}{\partial x},\tag{16.89}\label{eq:dyn_in_grav_1}\\ \frac{\partial v}{\partial t} &= -fu - g\frac{\partial\eta}{\partial y},\tag{16.90}\label{eq:dyn_in_grav_2}\\ \frac{\partial\eta}{\partial t} &= -H\left(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}\right).\tag{16.91}\label{eq:dyn_in_grav_3} \end{align} \]

Hierbei ist $\eta$ die Oberflächenauslenkung und $H$ die mittlere Tiefe. Man macht einen Ansatz

\[ \begin{align} u = u_0\exp\left[i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t\right)\right], & {} & v = v_0\exp\left[i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t\right)\right], & {} & \eta = \newhat{\eta}\exp\left[i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t\right)\right]. \end{align} \]

mit einem horizontalen Wellenvektor $\mathbf{k} = \left(k_x, k_y\right)^T$ sowie eventuell komplexen Amplituden $u_0, v_0, \eta_0$. Setzt man dies ein, erhält man

\[ \begin{align} -i\omega u_0 &= fv_0 - gik_x\newhat{\eta},\\ -i\omega v_0 &= -fu_0 - gik_y\newhat{\eta},\\ -i\omega\newhat{\eta} &= -Hik_xu_0 - Hik_yv_0\\ \Leftrightarrow-i\omega u_0 - fv_0 + gik_x\newhat{\eta} &= 0,\tag{16.96}\label{eq:deriv_in_grav_1}\\ -i\omega v_0 + fu_0 + gik_y\newhat{\eta} &= 0,\tag{16.97}\label{eq:deriv_in_grav_2}\\ -i\omega\newhat{\eta} + Hik_xu_0 + Hik_yv_0 &= 0.\tag{16.98}\label{eq:deriv_in_grav_3} \end{align} \]

In Matrixschreibweise lautet dies

\[ \begin{align} \left(\begin{array}{ccc} - i\omega& -f&gik_x\\ f& -i\omega&gik_y\\ Hik_x&Hik_y& -i\omega \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u_0\\ v_0\\ \newhat{\eta} \end{array}\right) &= \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right). \end{align} \]

Hier existieren genau dann nichttriviale Lösungen, wenn

\[ \begin{align} &\Leftrightarrow\left(-i\omega\right)\left[\left(-i\omega\right)^2 - i^2Hgk_y^2\right] - f\left[-f\left(-i\omega\right) - i^2Hgk_xk_y\right] + Hik_x\left[-fgik_y - \left(-i\omega\right)gik_x\right] = 0\nonumber\\ &\Leftrightarrow\left(-i\omega\right)\left[\left(-i\omega\right)^2 + Hgk_y^2\right] - f\left[-f\left(-i\omega\right) + Hgk_xk_y\right] + Hik_x\left[-fgik_y - \left(-i\omega\right)gik_x\right] = 0\nonumber\\ &\Leftrightarrow i\omega\left[-\left(-i\omega\right)^2 - Hgk_y^2\right] + f\left[f\left(-i\omega\right) - Hgk_xk_y\right] + Hik_x\left(-fgik_y + i\omega gik_x\right) = 0\nonumber\\ &\Leftrightarrow i\omega\left[-\left(i\omega\right)^2 - Hgk_y^2\right] + f\left(-fi\omega - Hgk_xk_y\right) + Hik_x\left(-fgik_y - \omega gk_x\right) = 0\nonumber \end{align} \] \[ \begin{align} &\Leftrightarrow i\omega\left(\omega^2 - Hgk_y^2\right) + f\left(-fi\omega - Hgk_xk_y\right) + Hik_x\left(-fgik_y - \omega gk_x\right) = 0\nonumber\\ &\Leftrightarrow\omega\left(\omega^2 - Hgk_y^2\right) + f\left(-f\omega + iHgk_xk_y\right) + Hk_x\left(-fgik_y - \omega gk_x\right) = 0\nonumber\\ &\Leftrightarrow\omega\left(\omega^2 - Hgk_y^2\right) - f^2\omega + fiHgk_xk_y - Hk_xfgik_y - Hk_x\omega gk_x = 0\nonumber\\ &\Leftrightarrow\omega\left(\omega^2 - Hgk_y^2\right) - f^2\omega - Hk_x\omega gk_x = 0\nonumber\\ &\Leftrightarrow\omega\left(\omega^2 - Hgk_y^2 - f^2 - Hgk_x^2\right) = 0\nonumber\\ &\Leftrightarrow\omega\left[\omega^2 - f^2 - Hg\left(k_x^2 + k_y^2\right)\right] = 0 \end{align} \]

gilt. Also lautet die Dispersionsrelation der Poincaré-Wellen

Diese Gleichung hat die drei Lösungen \[ \begin{align} \omega &= 0,\tag{16.102}\label{eq:poincare_geos_mode}\\ \omega &= \sqrt{f^2 + Hgk^2},\tag{16.103}\label{eq:poincare_grav_mode_0}\\ \omega &= -\sqrt{f^2 + Hgk^2}.\tag{16.104}\label{eq:poincare_geos_mode_1} \end{align} \]

Glg. (16.102) ist die geostrophische Mode, die anderen beiden Gleichungen beschreiben Poincaré-Wellen im eigentlichn Sinne. Glg. (16.104) beschreibt eine in Richtung $-\mathbf{k}$ propagierende Welle, ist also keine physikalisch neue Wellenmode. Für diese propagierenden Lösungen gilt $\omega^2\geq f^2$, der Betrag des Coriolis-Parameters ist also eine untere Schranke der Kreisfrequenz. Für die Phasengeschwindigkeit gilt

\[ \begin{align} c^2 = \frac{\omega^2}{k^2} = gH + \frac{f^2}{k^2} = gH + f^2L^2\frac{1}{4\pi^2} \end{align} \]

mit $L$ als Wellenlänge. Die Poincaré-Wellen haben also eine höhere Phasengeschwindigkeit als die Schwerewellen ohne Erdrotation. Desto kürzer die Wellen werden, desto geringer wird der Einfluss der Coriolis-Kraft, für lange Wellen jedoch geht $\omega$ gegen $f$. Der Ausdruck für $c^2$ der Poincaré-Wellen ist gegenüber dem der Schwerewellen ohne Coriolis-Kraft um den Ausdruck $f^2L^2\frac{1}{4\pi^2}$ höher. Um eine Grenzwellenlänge $R_o$ zu bestimmen, ab der die Wirkung der Coriolis-Kraft deutlich wird, setzt man

\[ \begin{align} f_0^2R_o^2\frac{1}{4\pi^2} = \frac{gH}{4\pi^2}\approx 0, 025gH. \end{align} \]

Daraus erhält man für den barotropen Rossby-Radius

\[ \begin{align} R_o = \frac{\sqrt{gH}}{\left|f\right|}.\tag{16.107}\label{eq:def_baro_ro_r} \end{align} \]

Setzt man typische Werte ein, folgt $R_o \approx 2000$ km.

Poincaré-Wellen werden im Englischen auch als inertia-gravity waves bezeichnet. Dies rührt daher, dass die rückstellende Kräfte bei dieser Wellenmode die Schwere sowie die Coriolis-Kraft sind. Die deutsche Übersetzung „ Inertial-Schwerewelle“ ist eher unüblich. Eine weitere Bezeichnung ist Sverdrup-Welle.

16.5.4 Kelvin-Wellen

Man geht wieder aus vom Gleichungssystem der Glg.en (16.89) - (16.91), diesmal stellt man sich jedoch die Halbebene $x<0$ als Küste vor, sodass nur die verbleibende Halbebene $x\geq 0$ vom Fluid beströmt werden kann. Die Randbedingung lautet also

\[ \begin{align} u\left(x = 0\right) = 0. \end{align} \]

Gesucht wird nun nach Lösungen, die dies global erfüllen. Hierzu geht man wieder von der f-Ebene aus. Das Gleichungssystem reduziert sich auf

\[ \begin{align} 0 &= -g\frac{\partial\eta}{\partial x} + fv, \tag{16.109}\label{eq:kelvin_1}\\ \frac{\partial v}{\partial t} &= -g\frac{\partial\eta}{\partial y}, \tag{16.110}\label{eq:kelvin_2}\\ \frac{\partial\eta}{\partial t} + H \frac{\partial v}{\partial y} &= 0.\tag{16.111}\label{eq:kelvin_3} \end{align} \]

Aus Glg. (16.109) folgt, dass $v$ geostrophisch balanciert ist, sodass man $v$ aus den verbleibenden beiden Gleichungen eliminieren kann:

\[ \begin{align} \frac{\partial^2\eta}{\partial t\partial x} &= -f\frac{\partial\eta}{\partial y},\\ \frac{\partial\eta}{\partial t} + H\frac{g}{f}\frac{\partial^2\eta}{\partial x\partial y} &= 0. \end{align} \]

Hier macht man den harmonischen Wellenansatz

\[ \begin{align} \eta = \eta_0\exp\left[i\left(k_xx + k_yy - \omega t\right)\right], \end{align} \]

woraus folgt

\[ \begin{align} -iwik_x &= -fik_y\Rightarrow wk_x = -ifk_y, \tag{16.115}\label{eq:kelvin_deriv_1}\\ -i\omega + H\frac{g}{f}ik_xik_y &= 0 \Rightarrow i\omega = -H\frac{g}{f}k_xk_y.\tag{16.116}\label{eq:kelvin_deriv_2} \end{align} \]

Aus Glg. (16.115) folgt

\[ \begin{align} k_x = -\frac{i}{\omega}fk_y, \end{align} \]

was in Glg. (16.116) eingesetzt

\[ \begin{align} i\omega &= -H\frac{g}{f}k_y\left(-\frac{i}{\omega}fk_y\right) = iH\frac{g}{\omega}k_y^2 \end{align} \]

ergibt. Definiert man $\kappa$ durch

\[ \begin{align} \kappa \coloneqq \frac{\omega}{\sqrt{gH}} > 0 \end{align} \]

mit einer als positiv angenommenen Kreisfrequenz $\omega > 0$, folgt

\[ \begin{align} k_y = \pm\kappa.\tag{16.120}\label{eq:kelvin_deriv_3} \end{align} \]

Dies ergibt umgeformt

Mit Glg. (16.115) folgt

$\eta$ darf als Funktion des Abstands von der Küste nicht exponentiell ansteigen, daher gilt bei $f > 0$ das negative Vorzeichen in Glg. (16.120), bei $f < 0$ das positive. Auf der Nordhalbkugel hat die Kelvin-Welle die Küste also rechts von der Ausbreitungsrichtung, auf der Südhalbkugel links.

Die Penetrationslängen $l$ der Kelvin-Wellen ergeben sich zu

mit dem in Glg. (16.107) definierten Rossby-Radius $R_o$.

Abb. 16.2 zeigt die typischen Penetrationslängen von Kelvin-Wellen, diese liegen schnell im Bereich von $1000$ - $10000$ km, also durchaus im Bereich von zehn bis mehreren hundert Prozent eines Viertels des Erdumfangs. Diese Ausdehnung übersteigt die Gültigkeit der f-Ebene bei weitem.

16.5.4.1 Äquatoriale Kelvin-Wellen

Am Äquator kann man nicht $f = f_0$ setzen, man setzt stattdessen die $\beta-$Ebene

\[ \begin{align} f = \beta y \end{align} \]

mit

\[ \begin{align} \beta \coloneqq \frac{\partial f}{\partial y}\newvline_{\varphi = 0} \end{align} \]

an. Damit lauten die Glg.en (16.89) - (16.91)

\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} &= -g\frac{\partial\eta}{\partial x} + \beta yv,\\ \frac{\partial v}{\partial t} &= -g\frac{\partial\eta}{\partial y} - \beta yu,\\ \frac{\partial\eta}{\partial t} + H\left(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}\right) &= 0. \end{align} \]

Nun sucht man nach Lösungen mit $v = 0$. In diesem Fall gilt

\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} &= -g\frac{\partial\eta}{\partial x},\\ 0 &= -g\frac{\partial\eta}{\partial y} - \beta yu,\\ \frac{\partial\eta}{\partial t} + H\frac{\partial u}{\partial x} &= 0. \end{align} \]

Über

\[ \begin{align} u = -\frac{g}{\beta y}\frac{\partial\eta}{\partial y} \end{align} \]

lässt sich $u$ eliminieren:

\[ \begin{align} -\frac{g}{\beta y}\frac{\partial^2\eta}{\partial t\partial y} &= -g\frac{\partial\eta}{\partial x}\\ \frac{\partial\eta}{\partial t} - \frac{gH}{\beta y}\frac{\partial^2\eta}{\partial x\partial y} &= 0 \end{align} \]

Der Ansatz

\[ \begin{align} \eta = \newhat{\eta}\exp\left[i\left(k_xx + k_yy -\omega t\right)\right] \end{align} \]

führt auf

\[ \begin{align} -\frac{g}{\beta y}k_y\omega &= -gik_x \Rightarrow k_y = \frac{1}{\omega}\beta yik_x,\\ -i\omega + \frac{gH}{\beta y}k_xk_y &= 0 \Rightarrow \omega^2 = gHk_x^2. \end{align} \]

Es gilt also

\[ \begin{align} k_x = \pm\frac{\omega}{\sqrt{gH}}. \end{align} \]

Für $k_y$ folgt

\[ \begin{align} k_y = \frac{1}{\omega}\beta yik_x = \pm i\frac{\beta y}{\sqrt{gH}}. \end{align} \]

Nur das Pluszeichen kommt in Frage. Die Lösung lautet also

Um die meridionale Ausdehnung $y_0$ dieser Wellen abzuschätzen, setzt man

\[ \begin{align} 1 = \frac{2\omega y_0^2}{\sqrt{gH}} \end{align} \]

an. Hieraus folgt

\[ \begin{align} y_0 =\sqrt{R\frac{\sqrt{gH}}{2\omega}} = 2071\text{ km} \end{align} \]

mit $R$ als Äquatorradius und $H = 1$ km.

16.5.5 Rossby-Haurwitz-Moden

Rossby-Haurwitz-Moden sind die Eigenmoden der barotropen Vorticitygleichung Glg. (15.92) auf der Kugel. Daher wird in diesem Abschnitt die Notation aus Abschn. 15.1.3.6 übernommen. Kugelflächenfunktionen $Y_{l, m}\left(\phi, \lambda\right)$ mit $l \geq 0$ und $-l \leq m \leq l$ erfüllen

\[ \begin{align} \Delta Y_{l, m} \stackrel{\href{ch-41-orthogonale-funktionensysteme.html#eq:spherical_harm_prop_1}{\text{Glg. (C.166)}}}{=} -\frac{l\left(l + 1\right)}{a^2}Y_{l, m}. \end{align} \]

Macht man für die Stromfunktion $\psi = \psi\left(\phi, \lambda, t\right)$ den Ansatz

\[ \begin{align} \psi = Y_{l, m}e^{-i\omega t},\tag{16.144}\label{eq:rossby-haurwitz_ansatz} \end{align} \]

folgt daraus

\[ \begin{align} J\left(\zeta, \psi\right) = J\left(\Delta\psi, \psi\right) \propto \frac{\partial\psi}{\partial\lambda}\frac{\partial\psi}{\partial\phi} - \frac{\partial\psi}{\partial\phi}\frac{\partial\psi}{\partial\lambda} = 0. \end{align} \]

Setzt man Glg. (16.144) in die barotrope Vorticitygleichung in der Form Glg. (15.101) ein, erhält man somit

\[ \begin{align} \Delta\frac{\partial\psi}{\partial t} &= -\frac{\partial\psi}{a\cos\left(\phi\right)\partial\lambda}\beta + \frac{1}{a^2\cos\left(\phi\right)}J\left(\Delta\psi, \psi\right) = -\frac{\partial\psi}{a\cos\left(\phi\right)\partial\lambda}\beta\nonumber\\ \Delta\frac{\partial\psi}{\partial t} &= -\frac{\partial\psi}{a^2\cos\left(\phi\right)\partial\lambda}2\omega\cos\left(\phi\right) = -\frac{\partial\psi}{a^2\partial\lambda}2\Omega\nonumber\\ \Rightarrow-i\omega l\frac{l\left(l + 1\right)}{a^2} &= -\frac{2\Omega}{a^2}im\nonumber\\ \Rightarrow\omega\frac{l\left(l + 1\right)}{a^2} &= \frac{2\Omega}{a^2}m\tag{16.146}\label{eq:rossby-haurwitz_disprel_deriv} \end{align} \]

Hieraus folgt die Dispersionsrelation der Rossby-Haurwitz-Moden:

Im Fall $l = 0$ ist $m = 0$ und Glg. (16.146) ist für jedes $\omega$ erfüllt. Aus Glg. (16.147) folgt

\[ \begin{align} -\frac{1}{\left(l + 1\right)}2\Omega \leq \omega\left(l, m\right) \leq \frac{1}{\left(l + 1\right)}2\Omega. \end{align} \]

Für die Phasengeschwindigkeit (ausgedrückt als zonale Winkelgeschwindigkeit) erhält man

\[ \begin{align} \frac{\omega}{\frac{2\pi}{\Delta\lambda}} = \frac{\omega\Delta\lambda}{2\pi} = \frac{\omega 2\pi}{2\pi m} = \frac{\omega}{m} = \frac{1}{l\left(l + 1\right)}2\Omega > 0. \end{align} \]

Rossby-Haurwitz-Moden propagieren also immer nach Osten. Mittels Glg. (15.139), welche lautet

\[ \begin{align} \Delta\Phi = \beta\frac{\partial\psi}{\partial y} + f\Delta\psi, \end{align} \]

kann aus $\psi$ das Geopotential $\Phi$ bestimmt werden. Zunächst setzt man eine Rossby-Haurwitz-Mode

\[ \begin{align} \psi = \psi_0Y_{l, m}e^{-i\omega t} \end{align} \]

ein, dies impliziert

\[ \begin{align} \Delta\Phi &= \frac{2\Omega\cos\left(\phi\right)}{a^2\cos\left(\phi\right)}\frac{\partial\psi}{\partial\phi} - \frac{2\Omega\sin\left(\phi\right)}{a^2}l\left(l + 1\right)\psi_0Y_{l, m}e^{-i\omega t}\nonumber\\ \Rightarrow\Delta\Phi &= \frac{2\Omega}{a^2}\frac{\partial\psi}{\partial\phi} - \frac{2\Omega\sin\left(\phi\right)}{a^2}l\left(l + 1\right)\psi_0Y_{l, m}e^{-i\omega t}. \end{align} \]

Für das Geopotential $\Phi$ macht man nun den Ansatz

\[ \begin{align} \Phi = \sum_{l' = 0}^\infty\sum_{m' = -l'}^{l'}\Phi_{l', m'}Y_{l', m'}. \end{align} \]

Setzt man dies ein, erhält man

\[ \begin{align} \sum_{l' = 0}^\infty\sum_{m' = -l'}^{l'}-\frac{l'\left(l' + 1\right)}{a^2}\Phi_{l', m'}Y_{l', m'} &= \frac{2\Omega}{a^2}\frac{\partial\psi}{\partial\phi} - \frac{2\Omega\sin\left(\phi\right)}{a^2}l\left(l + 1\right)\psi_0Y_{l, m}e^{-i\omega t}\nonumber\\ \Rightarrow\sum_{l' = 0}^\infty\sum_{m' = -l'}^{l'}-l'\left(l' + 1\right)\Phi_{l', m'}Y_{l', m'} &= 2\Omega\frac{\partial\psi}{\partial\phi} - 2\Omega\sin\left(\phi\right)l\left(l + 1\right)\psi_0Y_{l, m}e^{-i\omega t}. \end{align} \]

Glg. (C.180) lautet

\[ \begin{align} \sin\left(\phi\right)Y_{l, m} = \sqrt{\frac{l^2 - m^2}{4l^2 - 1}}Y_{l - 1, m} + \sqrt{\frac{\left(l + 1\right)^2 - m^2}{4\left(l + 1\right)^2 - 1}}Y_{l + 1, m}. \end{align} \]

Dies impliziert

\[ \begin{align} \sum_{l' = 0}^\infty\sum_{m' = -l'}^{l'}-l'\left(l' + 1\right)\Phi_{l', m'}Y_{l', m'} &= 2\Omega\frac{\partial\psi}{\partial\phi} - 2\Omega l\left(l + 1\right)\psi_0\left[\sqrt{\frac{l^2 - m^2}{4l^2 - 1}}Y_{l - 1, m} + \sqrt{\frac{\left(l + 1\right)^2 - m^2}{4\left(l + 1\right)^2 - 1}}Y_{l + 1, m}\right]e^{-i\omega t}. \end{align} \]

16.5.6 Barotrope Rossby-Wellen

In Abschn. 16.5.3 wurde von $\beta = 0$ ausgegangen. In diesem Fall sind die dort hergeleiteten Poincaré-Wellen die allgemeinsten Wellenlösungen. Eine neue Art der Wellen entsteht, wenn man die Breitenabhängigkeit von $f$ berücksichtigt.

Man geht aus von einem homogenen zonalen Grundstrom $U$. Man nimmt $u_0 = 0$ an, außerdem geht man von $k_y = 0$ aus, die Störungen sollen nur x-abhängig sein. Man weiß schon jetzt:

• Da $U$ homogen ist und $u_0 = 0$, $v = v\left(x, t\right)$ gelten, sind die Lösungen divergenzfrei.

Daher kann man die barotrope Vorticitygleichung verwenden. Macht man den Ansatz

\[ \begin{align} v = v_0\exp\left[i\left(kx - \omega t\right)\right] \end{align} \]

dann gelten

\[ \begin{align} \zeta = ikv, & {} & \frac{\partial\zeta}{\partial t} = k\omega v, & {} & \frac{\partial\zeta}{\partial x} = -k^2v. \end{align} \]

Setzt man dies in die barotrope Vorticitygleichung ein, erhält man

\[ \begin{align} k\omega v_0 &= Uk^2v_0 - v_0\beta\Leftrightarrow\omega = Uk - \frac{\beta}{k}.\tag{16.159}\label{eq:rossby_welle_barotrop_disp} \end{align} \]

Glg. (16.159) ist die Dispersionsrelation der barotropen Rossby-Wellen. Umspannen sie einen kompletten Breitenkreis, bezeichnet man sie auch als planetare Wellen.

Für die Phasengeschwindigkeit der barotropen Rossby-Wellen gilt

Im hypothetischen Fall $U\to0$, $L = 2\pi a$ und $\varphi = 0$ gilt

\[ \begin{align} \left|c\right| = 2\omega\frac{1}{a}\frac{4\pi^2 a^2}{4\pi^2} = 2\omega a = 930\:\frac{\text{m}}{\text{s}}. \end{align} \]

Dies ist eine betragsmäßige Beschränkung von $c$. Keine Welle kann sich schneller fortpflanzen als mit der Geschwindigkeit $2\omega a$, und schneller kann das System der herrschenden Gleichungen keine Information übertragen.

16.5.6.1 Anschauliches Verständnis

Die y-Komponente der Impulsgleichung im Flachwassermodell lautet

\[ \begin{align} \md{v} = -fu - g\frac{\partial\eta}{\partial y}.\tag{16.162}\label{eq:momentum_swe_y} \end{align} \]

Mache für $f$ eine lineare Taylor-Entwicklung

\[ \begin{align} f = f_0 + \beta y. \end{align} \]

Ein homogener zonaler Grundstrom $U$ kann geostrophisch balanciert werden durch eine Oberflächenauslenkung

\[ \begin{align} 0 = -f_0U - g\frac{\partial\eta}{\partial y}. \end{align} \]

In diesem Fall wird Glg. (16.162) zu

\[ \begin{align} \md{^2y}{t^2} = -\beta U y. \end{align} \]

Dies entspricht einem harmonischen Oszillator mit der Eigenfrequenz

\[ \begin{align} \omega_{\text{ind}} = \sqrt{\beta U}. \end{align} \]

Daher muss $U>0$ westlich sein. Die Eigenfrequenz wurde mit einem Index $\text{ind}$ gekennzeichnet, da es sich um die individuelle Schwingungsfrequenz der Teilchen und nicht um die Frequenz $\omega$ der Welle handelt.

Eine weitere anschauliche Erklärung ergibt sich aus der barotropen Vorticitygleichung, diese lautet

\[ \begin{align} f + \zeta = \text{const}. \end{align} \]

Wird ein Teilchen von seiner Ruhelage auf der Nordhalbkugel bei vorhandenem westlichen Grundstrom nach Norden ausgelenkt, so nimmt $f$ zu. Daher muss $\zeta$ abnehmen und das Teilchen erhält antizyklonale relative Vorticity. Anschließend schwingt es über seine Ruhelage hinaus nach Süden, wobei $f$ abnimmt. Daher erhält das Teilchen zyklonale relative Vorticity und schwenkt wieder nach Norden. Der Mechanismus der barotropen Rossby-Wellen ist also die Erhaltung der absoluten Vorticity, s. auch Abb. 16.3.

Barotrope Rossby-Wellen sind trotz der umfassenden Vereinfachungen (Barotropie und Divergenzfreiheit) in der Atmosphäre und im Ozean relevant. In der Atmosphäre sind sie aufgrund ihrer Divergenzfreiheit am ehesten auf die mittlere Troposphäre anwendbar, sie liefern eine einfache Betrachtung des meandernden Polarjets. Hierbei wird häufig der Begriff der Wellenzahl verwendet, eine Welle der Wellenzahl $n$ hat eine zonale räumliche Periode von $\frac{2\pi}{n}$ als Winkel. Rossby-Wellen breiten sich im Ozean aufgrund des geringen östlichen (nach Osten gerichteten) Grundstroms immer nach Westen aus (es ist $\beta\geq0$ auf der gesamten Erde).

16.5.7 Ozeanische Tide

Die ozeanische Tide ist ein globales Phänomen, daher kann die Advektion ($\propto 1/\lambda$)vernachlässigt werden. Weiterhin kann von Barotropie ausgegangen werden. Daher verwendet man als Gleichugnssystem die linearen Flachwassergleichungen Glg.en (13.173) - (13.174). Diese lauten in Komponenten

\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} &= -\frac{\partial\left(gd + U\right)}{a\cos\left(\phi\right)\partial\lambda} + 2\Omega\sin\left(\phi\right)v,\\ \frac{\partial v}{\partial t} &= -\frac{\partial\left(gd + U\right)}{a\partial\phi} - 2\Omega\sin\left(\phi\right)u,\\ \frac{\partial d}{\partial t} &= -D\left(\frac{\partial u}{a\cos\left(\phi\right)\partial\lambda} + \frac{\partial v}{a\partial\phi} - v\frac{\tan\left(\phi\right)}{a}\right). \end{align} \]

Hierbei ist $U = U\left(\phi, \lambda, t\right)$ das Tidenpotential. $\Omega$ ist die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation. Diese Gleichungen bezeichnet man auch als Laplace'sche Tidengleichungen (Laplace's tidal equations (LTEs)). Man macht hier den Ansatz

\[ \begin{align} u = \sum_{l = 0}^\infty\sum_{m = -l}^l\newtilde{u}_{l, m}Y_{l, m}\left(\phi, \lambda\right)e^{-i\omega t}, & {} & v = \sum_{l = 0}^\infty\sum_{m = -l}^l\newtilde{v}_{l, m}Y_{l, m}\left(\phi, \lambda\right)e^{-i\omega t},\\ d = \sum_{l = 0}^\infty\sum_{m = -l}^l\newtilde{d}_{l, m}Y_{l, m}\left(\phi, \lambda\right)e^{-i\omega t}, & {} & U = \sum_{l = 0}^\infty\sum_{m = -l}^l\newtilde{U}_{l, m}Y_{l, m}\left(\phi, \lambda\right)e^{-i\omega t}, \end{align} \]

hierbei sind $Y_{l, m}\left(\phi, \lambda\right)$ Kugelflächenfunktionen, s. Abschn. C.5. Es gelten

\[ \begin{align} \frac{\partial Y_{l, m}}{\partial\phi} &\stackrel{\href{ch-41-orthogonale-funktionensysteme.html#eq:spherical_harmonic_deriv_theta}{\text{Glg. (C.167)}}}{=} -m\tan\left(\phi\right) Y_{l, m} - \sqrt{l^2 - m^2 + l - m}Y_{l, m + 1}\exp\left(-i\lambda\right),\\ \frac{\partial Y_{l, m}}{\partial\lambda} &\stackrel{\href{ch-41-orthogonale-funktionensysteme.html#eq:spherical_harmonic_deriv_phi}{\text{Glg. (C.168)}}}{=} imY_{l, m},\\ \sin\left(\phi\right)Y_{l, m} &\stackrel{\href{ch-41-orthogonale-funktionensysteme.html#eq:spherical_harm_prop_2}{\text{Glg. (C.171)}}}{=} \sqrt{\frac{l^2 - m^2}{4l^2 - 1}}Y_{l - 1, m} + \sqrt{\frac{\left(l + 1\right)^2 - m^2}{4\left(l + 1\right)^2 - 1}}Y_{l + 1, m}. \end{align} \]

Mit den Abkürzungen

\[ \begin{align} f_{l, m} = \sqrt{l^2 - m^2 + l - m},& {} & g_{l, m} = \sqrt{\frac{l^2 - m^2}{4l^2 - 1}},& {} & h_{l, m} = \sqrt{\frac{\left(l + 1\right)^2 - m^2}{4\left(l + 1\right)^2 - 1}} \end{align} \]

kann man dies in der Form

\[ \begin{align} \frac{\partial Y_{l, m}}{\partial\phi} &\stackrel{\href{ch-41-orthogonale-funktionensysteme.html#eq:spherical_harmonic_deriv_theta_geo}{\text{Glg. (C.178)}}}{=} -m\tan\left(\phi\right) Y_{l, m} - f_{l, m}Y_{l, m + 1}\exp\left(-i\lambda\right),\\ \frac{\partial Y_{l, m}}{\partial\lambda} &\stackrel{\href{ch-41-orthogonale-funktionensysteme.html#eq:spherical_harmonic_deriv_phi_geo}{\text{Glg. (C.179)}}}{=} imY_{l, m},\\ \sin\left(\phi\right)Y_{l, m} &\stackrel{\href{ch-41-orthogonale-funktionensysteme.html#eq:spherical_harm_prop_2_geo}{\text{Glg. (C.180)}}}{=} g_{l, m}Y_{l - 1, m} + h_{l, m}Y_{l + 1, m} \end{align} \]

notieren. Setzt man all dies in die LTEs ein, erhält man

\[ \begin{align} &-i\omega\sum_{l = 0}^\infty\sum_{m = -l}^l\newtilde{u}_{l, m}Y_{l, m}\nonumber\\ &= \sum_{l = 0}^\infty\sum_{m = -l}^l-im\frac{g\newtilde{d}_{l, m} + \newtilde{U}_{l, m}}{a\cos\left(\phi\right)}Y_{l, m} + 2\Omega\newtilde{v}_{l, m}\left(g_{l, m}Y_{l - 1, m} + h_{l, m}Y_{l + 1, m}\right),\\ &-i\omega\sum_{l = 0}^\infty\sum_{m = -l}^l\newtilde{v}_{l, m}Y_{l, m}\nonumber\\ &= \sum_{l = 0}^\infty\sum_{m = -l}^l\frac{g\newtilde{d}_{l, m} + \newtilde{U}_{l, m}}{a}\left(m\tan\left(\phi\right) Y_{l, m} + f_{l, m}Y_{l, m + 1}\exp\left(-i\lambda\right)\right) - 2\Omega\newtilde{u}_{l, m}\left(g_{l, m}Y_{l - 1, m} + h_{l, m}Y_{l + 1, m}\right),\\ &-i\omega\sum_{l = 0}^\infty\sum_{m = -l}^l\newtilde{d}_{l, m}Y_{l, m}\nonumber\\ &= -\frac{D}{a}\sum_{l = 0}^\infty\sum_{m = -l}^lim\frac{\newtilde{u}_{l, m}}{\cos\left(\phi\right)}Y_{l, m} - \newtilde{v}_{l, m}\left(m\tan\left(\phi\right) Y_{l, m} + f_{l, m}Y_{l, m + 1}\exp\left(-i\lambda\right)\right) - \newtilde{v}_{l, m}\tan\left(\phi\right)Y_{l, m}\nonumber\\ &= -\frac{D}{a}\sum_{l = 0}^\infty\sum_{m = -l}^lim\frac{\newtilde{u}_{l, m}}{\cos\left(\phi\right)}Y_{l, m} - \newtilde{v}_{l, m}\left[\left(m + 1\right)\tan\left(\phi\right) Y_{l, m} + f_{l, m}Y_{l, m + 1}\exp\left(-i\lambda\right)\right]. \end{align} \]

Küstenlinien, die Bathymetrie sowie die Bodenreibung modifizieren dies wesentlich.

16.5.7.1 Anschauliches Verständnis

Anders als in vielen anschaulichen Abbildungen ist weniger die vertikale, sondern vorwiegend die horizontale Komponente von $-\nabla U$ für die ozeanische Tide releavant. Etwas unintuitiv ist jedoch die Tatsache, dass an den meisten Orten nicht die Periode $\sim$ 25 Stunden überwiegt, sondern eher die erste harmonische der lunaren Tide mit einer Peiode von $\sim$ 12,5 Stunden. Um dies anschaulich zu verstehen, legt man ein KS in den Erdmittelpunkt und richtet die negative x-Achse auf den Mond aus. Lunare (auf den Mond bezogene) Größen werden mit dem Index $l$ bezeichnet und terrestrische Größen mit dem Index $t$. Für die x-Koordinate $x_S$ des Schwerpunktes erhält man

\[ \begin{align} x_S = \frac{m_lx_l + m_tx_t}{m_l + m_t} = \frac{m_lx_l}{m_l + m_t} = \frac{1}{1 + \frac{m_t}{m_l}}x_l = -0,73 a. \end{align} \]

Der Schwerpunkt von Mond und Erde befindet sich also innerhalb der Erde. Am Punkt $x = -a$ ist die Tidenkraft $\mathbf{f}_T$ also auf den Mond hin gerichtet. Bei $x = a$ gilt

\[ \begin{align} f_{T, x} = \omega_l^2\left(a - x_S\right) - \frac{Gm_l}{\left(a - x_l\right)^2} = 1,73\omega_l^2a - \frac{Gm_l}{\left(a - x_l\right)^2}. \end{align} \]

$\omega_l$ ist hierbei die Winkelgeschwindigkeit der Rotation des Mondes um die Erde. Es lääst sich leicht verifizieren, dass

\[ \begin{align} f_{T, x} > 0 \end{align} \]

gilt. An den beiden bisher betrachteten Punkten hat die Tidenkraft also keine horizontale Komponente. Bewegt man sich von diesen Punkten weg, ist die horizontale Tidenkraft auf diese Punkte hin gerichtet. Dies impliziert, dass es auf jedem Halbkreis zwischen $x = -a$ und $x = a$ einen weiteren Punkt geben muss, an dem $\mathbf{f}_T = -\nabla U$ keine Horizontalkomponente hat. Dies legt nahe, dass die Periode $\sim$ 12,5 Stunden dominanter ist also die lunare Grundperiode.

16.6 Barokline Wellen

16.6.1 Vertikale Moden

Hier geht man von einem ebenen Untergrund in der Tiefe $z = -D < 0$ aus und fordert die Randbedingungen

\[ \begin{align} w\left(z = 0\right) &= 0,\\ w\left(z = -D\right) &= 0. \end{align} \]

Man verwendet folgendes Gleichungssystem, wobei man o. B. d. A. von einer in x-Richtung propagierenden Welle ausgeht:

\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} &= -\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial x},\\ \frac{\partial w}{\partial t} &= -\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial z},\\ \frac{\partial\rho'}{\partial t} &= -\rho_0\frac{\partial u}{\partial x} - \rho_0\frac{\partial w}{\partial z}. \end{align} \]

Hierbei ist

\[ \begin{align} \rho = \rho_0 + \rho' \end{align} \]

mit einer homogenen Hintergrunddichte $\rho_0$ und einer Fluktuation $\rho'$. Analog zerlegt man den Druck $p$, wobei gelten soll

\[ \begin{align} \frac{\partial p_0}{\partial z} = -g\rho_0. \end{align} \]

Man macht nun die Ansätze

\[ \begin{align} u = U\left(z\right)\exp\left(ikx-i\omega t\right), & {} & v = V\left(z\right)\exp\left(ikx-i\omega t\right),\\ p' = P\left(z\right)\exp\left(ikx-i\omega t\right), & {} & \rho' = \newtilde{\rho}\left(z\right)\exp\left(ikx-i\omega t\right). \end{align} \]

Setzt man dies in des geltende Gleichungssystem ein, folgt

\[ \begin{align} -i\omega U = -\frac{ikP}{\rho_0} \Rightarrow \omega U &= \frac{kP}{\rho_0}, \tag{16.195}\label{eq:v_mode_deriv_2}\\ -i\omega W = -\frac{P'}{\rho_0} \Rightarrow \omega W &= -i\frac{P'}{\rho_0}, \tag{16.196}\label{eq:v_mode_deriv_1}\\ -i\omega\newtilde{\rho} = -\rho_0ikU - \rho_0W' \Rightarrow \omega\newtilde{\rho} &= \rho_0kU - i\rho_0W'. \end{align} \]

Die dritte Gleichung ist immer erfüllbar, $\newtilde{\rho}\left(z\right)$ kann entsprechend gewählt werden. Für $W$ macht man den Ansatz

\[ \begin{align} W\left(z\right) = \newhat{w}\sin\left(n\pi\frac{z}{D}\right) \end{align} \]

mit $n\geq 1$. Aus Glg. (16.196) folgt

\[ \begin{align} P' = \rho_0i \omega\newhat{w}\sin\left(n\pi\frac{z}{D}\right). \end{align} \]

Für $P$ setzt man daher

\[ \begin{align} P\left(z\right) = -\frac{D\rho_0i\omega\newhat{w}}{n\pi}\cos\left(n\pi\frac{z}{D}\right) \end{align} \]

an. Setzt man dies in Glg. (16.196) folgt

\[ \begin{align} U\left(z\right) = \frac{kP}{\omega\rho_0} = -\frac{ki\newhat{w}D}{n\pi}\cos\left(n\pi\frac{z}{D}\right). \end{align} \]

Es gilt also

\[ \begin{align} u\left(x, z, t\right) &= \frac{Dk\newhat{w}}{n\pi}\cos\left(n\pi\frac{z}{D}\right)\exp\left[i\left(kx - \omega t - \frac{\pi}{2}\right)\right]\nonumber\\ \Rightarrow u\left(x, z, t\right) &= -i\frac{Dk\newhat{w}}{n\pi}\cos\left(n\pi\frac{z}{D}\right)\exp\left[i\left(kx - \omega t\right)\right]\nonumber\\ \Rightarrow u\left(x, z, t\right) &= -i\frac{Dk\newhat{w}}{n\pi}\cos\left(n\pi\frac{z}{D}\right)\left[\cos\left(kx - \omega t\right) + i\sin\left(kx - \omega t\right)\right]\nonumber\\ \Rightarrow u\left(x, z, t\right) &= \frac{Dk\newhat{w}}{n\pi}\cos\left(n\pi\frac{z}{D}\right)\left[-i\cos\left(kx - \omega t\right) + \sin\left(kx - \omega t\right)\right]\nonumber\\ \Rightarrow\Re\left(u\left(x, z, t\right)\right) &= \frac{Dk\newhat{w}}{n\pi}\cos\left(n\pi\frac{z}{D}\right)\sin\left(kx - \omega t\right). \end{align} \]

Dier Horizontaldivergenz $\delta$ an der Oberfläche ergibt sich zu

\[ \begin{align} \delta\left(z = 0\right) = \frac{\partial\Re\left(u\left(x, z, t\right)\right)}{\partial x} = \frac{Dk^2\newhat{w}}{n\pi}\cos\left(n\pi\frac{z}{D}\right)\cos\left(kx - \omega t\right). \end{align} \]

Vertikale Moden führen also an der Oberfläche zu alternierenden Streifen von Divergenz und Konvergenz. Im Bereich der Konvergenz werden die Oberflächenwellen horizontal komprimiert, was das Wellenfeld destabilisiert, andersherum wird das Wellenfeld im Bereich der Divergenz stabilisiert, wozu auch beiträgt, dass in diesem Bereich das Wasser aus der Tiefe an die Oberfläche kommt und dieses Wasser noch keiner Windeinwirkung ausgesetzt war.

Die Mode $n = 0$ bezeichnet man auch als externe Mode, da diese keine interne vertikale Struktur hat.

16.6.2 Schwerewellen

Barokline Schwerewellen sind das barokline Analogon zu Poincaré-Wellen. Man macht zunächst einen Störungsansatz der Form

\[ \begin{align} u = U + u', & {} & v = v', & {} & w = w',\tag{16.204}\label{eq:gw_disp_deriv_0}\\ p = p_0\left(z\right) + p', & {} & \theta = \theta_0\left(z\right) + \theta', & {} & f = f_0.\tag{16.205}\label{eq:gw_disp_deriv_1} \end{align} \]

Wegen Glg. (16.205) ist Glg. (16.204) keine Beschränkung des Hintergrundstroms auf die x-Richtung, durch eine Rotation des Koordinatensystems um die vertikale Achse kann der Hintergrundwind jede Richtung annehmen. Insbesondere werden alle Krümmungsterme vernachlässigt und man kann kartesische Koordinaten $\left(x, y, z\right)$ verwenden. Der Hintergrundzustand soll hydrostatisch sein, also

\[ \begin{align} \frac{\partial p_0}{\partial z} = -g\rho_0\left(z\right)\tag{16.206}\label{eq:hydrostatic_gravity_wave} \end{align} \]

erfüllen. Es wird von einem trockenadiabatischen System ausgegangen, in einem solchen wird der Erste Hauptsatz der Thermodynamik zu

\[ \begin{align} \md{\theta} = 0 & {} & \Leftrightarrow & {} & \md{\theta} + \md{\theta'} = 0 & {} & \Leftrightarrow \md{\theta'} + w'\frac{d\theta_0}{dz} = 0. \end{align} \]

Man führt nun eine genäherte materielle Ableitung $\mdtilde{}$ ein, bei der Störprodukte vernachlässigt werden. Im Folgenden werden hierfür Gleichheitszeichen notiert. Damit erhält man

\[ \begin{align} \mdtilde{\theta'} + w'\frac{d\theta_0}{dz} &= 0. \end{align} \]

Multipliziert man diese Gleichung mit $\frac{g}{\theta_0}$, folgt

\[ \begin{align} \mdtilde{b'} + w'\frac{g}{\theta_0}\frac{d\theta_0}{dz} = 0, \end{align} \]

wobei die Definition der sogenannten buoyancy

\[ \begin{align} b' \coloneqq g\frac{\theta'}{\theta_0} \end{align} \]

eingesetzt wurde. Aus Glg. (16.253) entnimmt man

\[ \begin{align} \frac{g}{\theta_0}\frac{d\theta_0}{dz} = N^2, \end{align} \]

was auf

\[ \begin{align} \mdtilde{b'} + w'N^2 = 0 \end{align} \]

führt. Mit Glg. (9.69) erhält man

\[ \begin{align} \md{p} + \frac{c^{(p)}}{c^{(V)}}p\nabla\cdot\mathbf{v} &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{1}{\kappa p}\md{p} + \nabla\cdot\mathbf{v} &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{1}{\kappa\rho R_dT}\md{p} + \nabla\cdot\mathbf{v} &= 0. \end{align} \]

Mit Glg. (16.42) kann man dies in Termen der Schallgeschwindigkeit ausdrücken:

\[ \begin{align} \frac{1}{c_s^2\rho}\md{p} + \nabla\cdot\mathbf{v} &= 0 \end{align} \]

Linearisiert man diese Gleichung, erhält man

\[ \begin{align} \frac{1}{c_s^2\rho}\mdtilde{p} + \nabla\cdot\mathbf{v}' &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{1}{c_s^2\rho_0}\mdtilde{p}' + \frac{1}{c_s^2\rho_0}w'\frac{dp_0}{dz} + \nabla\cdot\mathbf{v}' &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{1}{c_s^2\rho_0}\mdtilde{p}' - \frac{g}{c_s^2}w' + \nabla\cdot\mathbf{v}' &= 0. \end{align} \]

Für die vertikale Bewegungsgleichung erhält man mit Glg. (13.151)

\[ \begin{align} \mdtilde{w'} = -g - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p'}{\partial z} - \left(\frac{1}{\rho}\right)'\frac{\partial p_0}{\partial z} \approx - \frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial z} + \frac{\rho'}{\rho_0^2}\frac{\partial p_0}{\partial z} = -\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial z} - \frac{g\rho'}{\rho_0}. \end{align} \]

Um die Störung in der Dichte durch Störungen in der potentiellen Temperatur und im Druck auszudrücken, notiert man Glg. (9.65) in der Form

\[ \begin{align} \rho = \frac{p_\text{ref}^{R_d/c^{(p)}}}{R_d}\frac{p^{1/\kappa}}{\theta}. \end{align} \]

In erster Ordnung gilt somit

\[ \begin{align} \rho' &= \frac{1}{\kappa}\frac{\rho_0}{p_0}p' - \frac{\rho_0}{\theta}\theta' \approx \frac{p'}{c_s^2} - \frac{\rho_0}{\theta_0}\theta' \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} \mdtilde{w'} = -\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial z} - \frac{gp'}{\rho_0c_s^2} + \frac{g}{\theta_0}\theta' = -\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial z} - \frac{gp'}{\rho_0c_s^2} + b'. \end{align} \]

Zusammenfassend lautet das linearisierte Gleichungssystem

Dabei wurden Terme, die mit der hydrostatischen Approximation wegfallen würden, blau markiert, und alle Terme, die unter Vernachlässigung von Schallwellen verschwinden würden, rot. Störend ist die vertikale Abhängigkeit von $\rho_0$. Daher definiert man

\[ \begin{align} u'' \coloneqq \sqrt{\frac{\rho_0}{\rho_\text{SFC}}}u', & {} & v'' \coloneqq \sqrt{\frac{\rho_0}{\rho_\text{SFC}}}v', & {} & w'' \coloneqq \sqrt{\frac{\rho_0}{\rho_\text{SFC}}}w',\tag{16.225}\label{eq:bretherton_0}\\ b'' \coloneqq \sqrt{\frac{\rho_0}{\rho_\text{SFC}}}b', & {} & p'' \coloneqq \sqrt{\frac{\rho_\text{SFC}}{\rho_0}}p'.\tag{16.226}\label{eq:bretherton_1} \end{align} \]

was man als Bretherton-Transformation bezeichnet. Dabei bezeichnet der Index SFC die Werte an der Erdoberfläche. Die Transformation erfolgt im Wesentlichen durch Multiplikation des Gleichungssystem mit $\sqrt{\frac{\rho_0}{\rho_\text{SFC}}}$. Besondere Aufmerksamkeit benötigen dabei die vertikalen Ableitungen:

\[ \begin{align} \frac{dw'}{dz} &= \sqrt{\frac{\rho_\text{SFC}}{\rho_0}}\frac{dw''}{dz} - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\rho_\text{SFC}}{\rho_0}}w''\frac{1}{\rho_0}\frac{d\rho_0}{dz} = \sqrt{\frac{\rho_\text{SFC}}{\rho_0}}\frac{dw''}{dz} + \frac{H}{2}w'\\ \frac{dp'}{dz} &= \sqrt{\frac{\rho_0}{\rho_\text{SFC}}}\frac{dp''}{dz} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\rho_0}{\rho_\text{SFC}}}p''\frac{1}{\rho_0}\frac{d\rho_0}{dz} = \sqrt{\frac{\rho_0}{\rho_\text{SFC}}}\frac{dp''}{dz} + \frac{1}{2}p'\frac{1}{\rho_0}\frac{d\rho_0}{dz} = \sqrt{\frac{\rho_0}{\rho_\text{SFC}}}\frac{dp''}{dz} - \frac{H}{2}p' \end{align} \]

Dabei wurde

\[ \begin{align} \frac{1}{\rho_0}\frac{d\rho_0}{dz} = -\frac{1}{H}\tag{16.229}\label{eq:scale_h_density} \end{align} \]

mit der Skalenhöhe $H$ eingesetzt. Hieraus folgt

\[ \begin{align} -\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial z} &= -\sqrt{\frac{1}{\rho_0\rho_\text{SFC}}}\frac{dp''}{dz} + \frac{H}{2\rho_0}p' = -\sqrt{\frac{1}{\rho_0\rho_\text{SFC}}}\frac{dp''}{dz} + \frac{H}{2\sqrt{\rho_0\rho_\text{SFC}}}p'',\\ -\frac{\partial w'}{\partial z} &= -\sqrt{\frac{\rho_\text{SFC}}{\rho_0}}\frac{dw''}{dz} - \frac{H}{2}w' = -\sqrt{\frac{\rho_\text{SFC}}{\rho_0}}\frac{dw''}{dz} - \frac{H}{2}\sqrt{\frac{\rho_\text{SFC}}{\rho_0}}w''. \end{align} \]

Dies führt zusammenfassend auf folgendes Gleichungssystem:

Für jede der fünf auftretenden Variablen macht man nun einen Ansatz

\[ \begin{align} \psi'' = A_\psi\exp\left[i\left(kx + ly + mz - \omega t\right)\right], \end{align} \]

wobei $A_\psi$ komplex sein kann. Es gilt

\[ \begin{align} \mdtilde{A_\psi} = i\left(Uk - \omega\right)A_\psi = -i\omega_IA_\psi, \end{align} \]

wobei die Definition der sogenannten intrinsischen Frequenz

\[ \begin{align} \omega_I \coloneqq \omega - kU \end{align} \]

eingesetzt wurde. Dies ist die Frequenz, die im mit der Geschwindigkeit $U$ mitbewegten Koordinatensystem gemessen werden würde. Notiert man das hergeleitete Gleichungssystem als Matrix $A$ und vernachlässigt dabei die Schallwellenterme (rote Terme), erhält man

\[ \begin{align} A\cdot\left(\begin{array}{c} A_u\\ A_v\\ A_w\\ A_b\\ A_{p/\rho_\text{SFC}} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccccc} -i\omega_I & -f & 0 & 0 & ik \\ f & -i\omega_I & 0 & 0 & il \\ 0 & 0 & \textcolor{blue}{-i\omega_I} & -1 & im - \frac{1}{2H}\\ 0 & 0 & N^2 & -i\omega_I & 0\\ ik & il & im + \frac{1}{2H} & 0 & 0\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} A_u\\ A_v\\ A_w\\ A_b\\ A_{p/\rho_\text{SFC}} \end{array}\right) = 0. \end{align} \]

Nichttriviale Lösungen existieren, falls die Determinante $A$ von $A$ verschwindet:

\[ \begin{align} A &\hastobe 0\nonumber\\ \Leftrightarrow 0 &= -i\omega_I\left\{-i\omega_I\left[i\omega_I\left(-m^2 - \frac{1}{4H^2}\right)\right] - il\left[\textcolor{blue}{-i\omega_I^2l} + N^2il\right]\right\}\nonumber\\ &+f\left\{f\left[i\omega_I\left(-m^2 - \frac{1}{4H^2}\right)\right] \textcolor{magenta}{- il\left[-\omega_I^2ik + ikN^2\right]}\right\}\nonumber\\ &+ik\left[\textcolor{magenta}{f\left(-\omega_I^2il + ilN^2\right)} - ik\left(\textcolor{blue}{i\omega_I^3} - N^2i\omega_I\right)\right]\nonumber\\ \Leftrightarrow 0 &= \left(f^2 - \omega_I^2\right)i\omega_I\left(-m^2 - \frac{1}{4H^2}\right) - \omega_Il\left[\textcolor{blue}{-i\omega_I^2l} + N^2il\right] + k^2\left(\textcolor{blue}{i\omega_I^3} - N^2i\omega_I\right)\nonumber\\ \end{align} \]

Hierbei heben sich die magenta eingefärbten Terme gegenseitig auf. Die geostrophische Mode $\omega_I = 0$ interssiert hier nicht weiter, weshalb Division durch $i\omega_I$ erfolgen kann:

\[ \begin{align} 0 &= \left(f^2 - \omega_I^2\right)\left(-m^2 - \frac{1}{4H^2}\right) + \textcolor{blue}{\omega_I^2l^2} - N^2l^2 + k^2\left(\textcolor{blue}{\omega_I^2} - N^2\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow \omega_I^2\left(\textcolor{blue}{k^2 + l^2} + m^2 + \frac{1}{4H^2}\right) &= f^2\left(m^2 + \frac{1}{4H^2}\right) + N^2\left(l^2 + k^2\right)\nonumber \end{align} \]

Dies ist die Dispersionsrelation von Schwerewellen, diese ist außerdem in Abb. 16.4 visualisiert. $\omega_I^2$ ist ein gewichtetes Mittel aus den Anteilen $f^2$ und $N^2$ mit den Gewichtungsfaktoren $m^2 + \frac{1}{4H^2}$ und $k^2 + l^2$. $\omega_I^2$ liegt also immer zwischen $f^2$ und $N^2$.

Häufig möchte man die Periodendauer der zu erwartenden Oszillation als Funktion des atmosphärischen Hintergrundzustandes $\left(U, N\right)$ wissen. Die Periode unter der Annahme, dass der Wellenvektor parallel zum Hintergrundwind ist, ist in Abb. 16.5 dargestellt.

16.6.2.1 Grenzfälle

Für $k^2 + l^2 \to 0$ (horizontal relativ zum Grundstrum nicht propagierende Wellen) erhält man aus Glg. (16.242) Inertialwellen:

Für $m^2 + \frac{1}{4H^2} \to \infty$ erhält man aus Glg. (16.242) Schwingungen mit der Frequenz $N$:

$H \to \infty$ kann als Vernachlässigung vertikaler Dichtefluktuationen interpretiert werden. $m \to 0$ bedeutet, dass der Wellenvektor rein horizontal ausgerichtet ist. Diese Wellen entstehen im kontinuierlichen, thermisch stabilen Medium bei vertikaler Auslenkung eines Teilchens. Ein Teilchen der Dichte $\rho _0 = \rho (z_0)$ habe seine Ruhelage in der Höhe $z_0$, die hier o. B. d. A. zu $z_0 = 0$ festgelegt sei. Lenkt man das Teilchen vertikal aus, lautet die Bewegungsgleichung

\[ \begin{align} \frac{d^2z}{dt^2} = -\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p}{\partial z} - g = g\frac{\rho}{\rho_0} - g = \frac{g}{\rho_0}\left(\rho - \rho_0\right), \tag{16.245}\label{eq:momentum_schichtung} \end{align} \]

$z(t)$ sei die Auslenkung. Hierbei wurde angenommen, dass das Teilchen seine Dichte während der Auslenkung nicht ändert. Nähert man die Abweichung $\rho (z) - \rho _0$ mittels einer Taylor-Entwicklung zu

\[ \begin{align} \rho\left(t\right) - \rho_0 = \frac{\partial\rho}{\partial z}(z = 0)z, \end{align} \]

so folgt für die Schwingungsgleichung

\[ \begin{align} \frac{d^2z}{dt^2}(t) = \frac{g}{\rho_0}\frac{\partial\rho}{\partial z}z(t)\tag{16.247}\label{eq:schichtungs_dg}. \end{align} \]

Setzt man $z = Z_1\exp\left(iNt\right) + Z_2\exp\left(-iNt\right)$ an, so folgt für die Kreisfrequenz

\[ \begin{align} N^2 = -\frac{g}{\rho}\frac{\partial\rho}{\partial z}, \end{align} \]

$N$ ist die Brunt-Väisälä-Frequenz, sie ist ein Maß für die Stabilität. Setzt man $N$ in (16.247) ein, erhält man

\[ \begin{align} \frac{d^2z}{dt^2} = -N^2z. \end{align} \]

Hieran sieht man, dass im Fall $N^2 > 0$ eine Sinusschwingung als Lösung folgt, während im Fall $N^2 < 0$ eine reelle Exponentialfunktion die Lösung ist, da das Teilchen von seinem Ursprungsort wegbeschleunigt wird. Im Fall $N^2> 0$ ist die Schichtung also stabil, während sie im Fall $N^2<0$ labil ist. Eine stabile Schichtung bezeichnet man auch als starke Schichtung. Im Fall $N^2 = 0$ ist die Schichtung neutral.

Die obige Herleitung ist noch nicht ganz vollständig, da Inkompressibilität angenommen wurde. Streng genommen bleibt bei der Auslenkung nicht die Dichte, sondern die potentielle Dichte bezogen auf das Referenzniveau erhalten. Bezeichnet $\newtilde{\rho}(z)$ die Dichte des Teilchens bei einer Auslenkung $z$, so wird damit Gleichung (16.245) zu

\[ \begin{align} \frac{d^2z}{dt^2} = \frac{1}{\newtilde{\rho}\left(z\right)}g\rho\left(z\right) - g = \frac{g}{\newtilde{\rho}\left(z\right)} \left(\rho\left(z\right) - \newtilde{\rho}\left(z\right)\right). \end{align} \]

Der Ausdruck $\rho\left(z\right) - \newtilde{\rho}\left(z\right)$ ist die Dichtedifferenz zwischen dem umgebenden Fluid und dem betrachteten Teilchen. Bringt man beide Systeme nun adiabatisch auf $z = 0$, so gilt nach Glg. (9.44) für ihre Dichtedifferenz

\[ \begin{align} \Delta\rho = \left(\rho\left(z\right) - \newtilde{\rho}\left(z\right)\right)\left(\frac{p_0}{p}\right)^{1/\kappa}. \end{align} \]

Hierbei sind $p \coloneqq p\left(z\right)$ und $p_0 \coloneqq p\left(0\right)$. In erster Ordnung ist $p = p_0$, $\Delta\rho$ ist dann die Differenz der potentiellen Dichten in Bezug aufs Referenzniveau $z = 0$. Deshalb kann man auch die potentiellen Dichten $\rho_\theta$ (bezogen auf $z = 0$) einsetzen. Man erhält in erster Ordnung

\[ \begin{align} \frac{d^2z}{dt^2} = \frac{g}{\newtilde{\rho}(z)}\left(\rho_\theta(z) - \rho_\theta\left(0\right)\right) = \frac{g}{\newtilde{\rho}(z)}\frac{\partial\rho_\theta}{\partial z}z. \end{align} \]

Für die Brunt-Väisälä-Frequenz folgt

Dies ist der allgemeine Ausdruck für die Brunt-Väisälä-Frequenz in einem kompressiblen Medium. $N^2$ ist ein Feld, was von allen drei Koordinaten und der Zeit abhängen kann. Die potentielle Dichte muss dabei immer auf das Niveau bezogen werden, auf dem man sich befindet. In einer trockenen Atmosphäre kann man $N^2$ auch über die potentielle Temperatur $\theta$ ausdrücken:

\[ \begin{align} \rho_\theta = \frac{p_0}{R_d\theta} \end{align} \]

Somit folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial\rho_\theta}{\partial z} = -\frac{p_0}{R_d\theta^2}\frac{\partial\theta}{\partial z}. \end{align} \]

Für die Brunt-Väisälä-Frequenz bedeutet dies

\[ \begin{align} N^2 &= \frac{g}{\theta}\frac{\partial\theta}{\partial z}.\tag{16.256}\label{eq:bv_freq_theta} \end{align} \]

Solche Wellen, die im Englischen auch als buoyancy oscillations bezeichnet werden (die deutsche Übersetzung „ Schichtungswelle“ ist eher unüblich) entstehen zum Beispielen als Leewellen hinter Orographie, in diesem Fall ergeben sich sinusförmige Trajektorien $(ut, z_0\sin\left(Nt\right))^T$. Wird dabei Sättigung erreicht, entstehen in den Wellenbergen Wolken.

16.6.2.2 Hydrostatische Schwerewellen

Vernachlässigung der blauen Terme in Glg. (16.242) liefert die Dispersionsrelation von hydrostatischen Schwerewellen:

16.6.2.3 Gruppengeschwindigkeit

Aus dieser Gleichung folgt

\[ \begin{align} \nabla_\mathbf{k}\omega_I^2 = \left(\begin{array}{c} \frac{2N^2k}{m^2 + \frac{1}{4H^2}}\\ \frac{2N^2l}{m^2 + \frac{1}{4H^2}}\\ -2m\frac{N^2\left(k^2 + l^2\right)}{\left(m^2 + \frac{1}{4H^2}\right)^2} \end{array}\right). \end{align} \]

Mit $\omega' = \sign\left(\omega\right)\sqrt{\omega^2}' = \frac{1}{2\omega}\left(\omega^2\right)'$ erhält man für die Gruppengeschwindigkeit hydrostatischer barokliner Schwerewellen

\[ \begin{align} \mathbf{c}_\text{gr} = \frac{1}{\omega_I}\left(\begin{array}{c} \frac{N^2k}{m^2 + \frac{1}{4H^2}}\\ \frac{N^2l}{m^2 + \frac{1}{4H^2}}\\ -m\frac{N^2\left(k^2 + l^2\right)}{\left(m^2 + \frac{1}{4H^2}\right)^2} \end{array}\right) = \frac{1}{\omega_I}\frac{N^2}{m^2 + \frac{1}{4H^2}}\left(\begin{array}{c} k\\ l\\ -m\frac{k^2 + l^2}{m^2 + \frac{1}{4H^2}} \end{array}\right). \end{align} \]

Horizontal zeigt die Gruppengeschwindigkeit also in die gleiche Richtung wie die Phasengeschwindigkeit. Vertikal haben die beiden Geschwindigkeiten entgegengesetzte Vorzeichen. Für die vertikale Wellenlänge $l_z$ gilt

\[ \begin{align} m^2 = \frac{4\pi^2}{l_z^2} \Rightarrow \frac{m^2}{\frac{1}{4H^2}} = \frac{16\pi^2H^2}{l_z^2} \approx 158\frac{H^2}{l_z^2}. \end{align} \]

Häufig gilt

\[ \begin{align} \frac{m^2}{\frac{1}{4H^2}} \gg 1. \end{align} \]

Unter dieser Voraussetzung gilt

\[ \begin{align} \mathbf{c}_\text{gr} &= \frac{\sign\left(\omega_I\right)}{\sqrt{f^2 + \frac{N^2}{m^2}\left(k^2 + l^2\right)}}\frac{N^2}{m^2}\left(\begin{array}{c} k\\ l\\ -\frac{k^2 + l^2}{m} \end{array}\right) = \frac{\sign\left(\omega_I\right)}{\sqrt{f^2m^2 + N^2\left(k^2 + l^2\right)}}\frac{N^2}{m}\left(\begin{array}{c} k\\ l\\ -\frac{k^2 + l^2}{m} \end{array}\right)\\ \Rightarrow\mathbf{c}_\text{gr}\cdot\mathbf{k} &\propto k^2 + l^2 - \left(k^2 + l^2\right) = 0. \end{align} \]

Phasengeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit stehen also senkrecht aufeinander.

16.6.2.4 Amplitudenverhalten

Aus der Bretherton-Transformation Glg.en (16.225) - (16.226) und Glg. (16.229) folgt

\[ \begin{align} u' \coloneqq \sqrt{\frac{\rho_\text{SFC}}{\rho_0}}u'' = \exp\left(\frac{z}{2H}\right)u'', & {} & v' \coloneqq \sqrt{\frac{\rho_\text{SFC}}{\rho_0}}v'' = \exp\left(\frac{z}{2H}\right)v'',\\ w' \coloneqq \sqrt{\frac{\rho_\text{SFC}}{\rho_0}}w'' = \exp\left(\frac{z}{2H}\right)w'', & {} & p' \coloneqq \sqrt{\frac{\rho_0}{\rho_\text{SFC}}}p'' = \exp\left(-\frac{z}{2H}\right)p''. \end{align} \]

Die Amplitude der Bewegungen nimmt also mit der Höhe exponentiell zu, die Höhe der Druckschwankungen nimmt exponentiell ab.

16.6.2.5 Leewellen

Leewellen sind stationär, d. h. es gilt $\omega = 0$. Hieraus folgt

\[ \begin{align} \omega_I = \omega - Uk = -Uk\Rightarrow \omega_I^2 = U^2k^2. \end{align} \]

Geht man von hydrostatischen Schwerewellen aus, kann man dies mit Glg. (16.257) gleichsetzen, hieraus folgt

\[ \begin{align} \omega_I^2 = U^2k^2 &= f^2 + \frac{N^2\left(k^2 + l^2\right)}{m^2 + \frac{1}{4H^2}}. \end{align} \]

Geht man von $m^2 \gg \frac{1}{4H^2}$, $f = 0$ und $l = 0$ aus, folgt

\[ \begin{align} \omega_I^2 = U^2k^2 = \frac{N^2k^2}{m^2}\Rightarrow U^2 &= \frac{N^2}{m^2} \Rightarrow m^2 = \frac{N^2}{U^2}. \end{align} \]

Hieraus folgt für die intrinsische Phasengeschwindigkeit

\[ \begin{align} \mathbf{c}_{I, \text{ph}} = \frac{\omega_I}{\sqrt{k^2 + m^2}}\frac{\mathbf{k}}{\left|\mathbf{k}\right|} = -\frac{Uk}{k^2 + m^2}\left( \begin{array}{c} k\\ 0\\ m \end{array} \right) \end{align} \]

sowie für die intrinsische Gruppengeschwindigkeit

\[ \begin{align} \mathbf{c}_{I, \text{gr}} = \nabla_\mathbf{k}\omega_I = \left( \begin{array}{c} -\frac{N}{m}\\ 0\\ \frac{Nk}{m^2} \end{array} \right). \end{align} \]

Die intrinsische Phasengeschwindigkeit ist also nach unten und entgegen der Windrichtung ausgerichtet, die intrinsische Gruppengeschwindigkeit ist ebenfalls negativ in x-Richtung, jedoch nach oben gerichtet.

Im Fall nicht-hydrostatischer Schwerewellen gilt mit Glg. (16.242), ebenfalls unter den Annahmen $f = 0$ und $l = 0$,

\[ \begin{align} U^2k^2 &= \frac{N^2k^2}{m^2 + \frac{1}{4H^2} + k^2} \Leftrightarrow U^2\left(k^2 + m^2 + \frac{1}{4H^2}\right) = N^2\nonumber\\ \Leftrightarrow m^2 &= \frac{N^2}{U^2} - k^2 - \frac{1}{4H^2}. \end{align} \]

Im Fall $m^2 < 0$ sind die Wellen vertikal evaneszent, können also vertikal nicht propagieren. Dies ist der Fall für

\[ \begin{align} \frac{N^2}{U^2} - k^2 - \frac{1}{4H^2} < 0 & {} & \Leftrightarrow k^2 > \frac{N^2}{U^2} - \frac{1}{4H^2}\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{4\pi^2}{l_x^2} > \frac{N^2}{U^2} - \frac{1}{4H^2} & {} & \Leftrightarrow \frac{l_x^2}{4\pi^2} < \frac{1}{\frac{N^2}{U^2} - \frac{1}{4H^2}}\nonumber\\ \Leftrightarrow l_x < \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{N^2}{U^2} - \frac{1}{4H^2}}}.& {} & \end{align} \]

Diejenigen Spektralanteile der Orographie, welche diese Ungleichung erfüllen, können also keine nach oben propagierenden Wellen erzeugen. Einsetzen typischer Werte von $N = 0,02$ Hz, $U = 8$ m/s und $H = 8$ km ergibt $l_x \approx 2,5$ km. Bei höherer Windgeschwindigkeit nimmt $l_x$ zu.

16.6.3 Rossby-Wellen

Um sogenannte Rossby-Wellen zu verstehen, verwendet man das in Abschn. 13.11 hergeleitete quasigeostrophische Gleichungssystem, bestehend aus Tendenzgleichung Glg. (13.226) und $\omega-$Gleichung Ggl. (13.231), hier jedoch in diskretisierter Form. Die prognostischen (den Zustand festlegenden) Variablen sind hier zwei Stromfunktionen $\psi_1$, $\psi_3$. Die sich insgesamt ergebenden fünf Schichten sind in Tab. 16.1 zusammengefasst. Es wird mit den Randbedingungen $\omega_0 = \omega_4 = 0$ gerechnet.

Übersicht über das quasigeostrophische Zweischichtmodell. Vgl. [26].

Index	Druck / hPa	definierte Funktion
$0$	$0$	$\omega_0 = 0$ (Randbedingung)
$1$	$250$	$\psi_1$
$2$	$500$	$\omega_2$
$3$	$750$	$\psi_3$
$4$	$1000$	$\omega_4 = 0$ (Randbedingung)

Diesen Ansatz bezeichnet man als quasigeostrophisches Zweischichtmodell.

Für die quasigeostrophischen potentiellen Vorticities gilt

\[ \begin{align} q_1 &= f + \Delta\psi_1 + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\frac{\partial\psi}{\partial p}\newvline_{_2} - \frac{\partial\psi}{\partial p}\newvline_{_0}}{\Delta p} = f + \Delta\psi_1 + \frac{f_0^2}{\sigma\Delta p^2}\left(\psi_3 - \psi_1\right) - \frac{f_0^2\frac{\partial\psi}{\partial p}\newvline_{_0}}{\sigma\Delta p},\\ q_3 &= f + \Delta\psi_3 + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\frac{\partial\psi}{\partial p}\newvline_{_4} - \frac{\partial\psi}{\partial p}\newvline_{_2}}{\Delta p} = f + \Delta\psi_3 - \frac{f_0^2}{\sigma\Delta p^2}\left(\psi_3 - \psi_1\right) + \frac{f_0^2\frac{\partial\psi}{\partial p}\newvline_{_4}}{\sigma\Delta p}. \end{align} \]

Es wird dabei $\Delta p \coloneqq500$ hPa definiert. Über die letzten Terme kann im Rahmen dieses Modell keine Aussage gemacht werden, daher nimmt man sie als konstant an und vernachlässigt sie somit. Man definiert weiter eine barotrope und eine barokline Komponente der Stromfunktion:

\[ \begin{align} \psi_M \coloneqq&\frac{\psi_1 + \psi_3}{2}, & {} & \psi_T \coloneqq \frac{\psi_1 - \psi_3}{2}. \end{align} \]

Außerdem definiert man eine barokline potentielle Vorticity:

\[ \begin{align} q_T \coloneqq\frac{q_1 - q_3}{2} = \frac{\zeta_1 - \zeta_3}{2} - \frac{f_0^2}{\sigma\Delta p^2}\left(\psi_1 - \psi_3\right) \end{align} \]

Ferner wird die Stabilitätswellenzahl $K$ durch

\[ \begin{align} K^2 \coloneqq\frac{2f_0^2}{\sigma\Delta p^2} \end{align} \]

definiert. Damit kann man notieren

\[ \begin{align} q_1 = f + \zeta_1 - K^2\psi_T, & {} & q_3 = f + \zeta_3 + K^2\psi_T, & {} & q_T = \zeta_T - K^2\psi_T. \end{align} \]

Nun macht man einen Störungsansatz

\[ \begin{align} \psi = \newoverline{\psi} + \psi' = -\newoverline{u}y + \psi' \end{align} \]

mit einem mittleren homogenen zonalen Strömungsvektor $\newoverline{u}$. Nun nimmt man einen Spezialfall an, man geht davon aus, dass im Niveau 1 der Hintergrundwind

\[ \begin{align} \newoverline{u}_1 = \newoverline{u}_T \end{align} \]

weht und um Niveau 3 der Hintergrundwind

\[ \begin{align} \newoverline{u}_3 = -\newoverline{u}_T. \end{align} \]

Dann gelten

\[ \begin{align} \newoverline{\psi}_1 = -\newoverline{u}_Ty, & {} & \newoverline{\psi}_3 = \newoverline{u}_Ty. \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} \newoverline{\psi}_T &= -\newoverline{u}_Ty. \end{align} \]

Für den Grundzustand $\newoverline{\mathbf{v}_h}$ kann man somit notieren

\[ \begin{align} \newoverline{\mathbf{v}_h}_1 &= \left(\begin{array}{c} \newoverline{u}_T\\ 0 \end{array}\right),\\ \newoverline{\mathbf{v}_h}_3 &= \left(\begin{array}{c} - \newoverline{u}_T\\ 0 \end{array}\right). \end{align} \]

Das Feld $\newoverline{u}_T$ sei von $y$ unabhängig, dann gilt

\[ \begin{align} \newoverline{\zeta}_1 = \newoverline{\zeta}_3 = 0. \end{align} \]

Für die potentiellen Vorticities gilt

\[ \begin{align} \newoverline{q}_1 &= f_0 + \beta y - K^2\newoverline{\psi}_T = f_0 + \left(\beta + K^2\newoverline{u}_T\right)y,\\ \newoverline{q}_3 &= f_0 + \beta y + K^2\newoverline{\psi}_T = f_0 + \left(\beta - K^2\newoverline{u}_T\right)y. \end{align} \]

Dieses Feld ist stationär:

\[ \begin{align} \left(\frac{\partial}{\partial t} + \newoverline{\mathbf{v}_h}_1\cdot\nabla\right)\newoverline{q}_1 &= 0\\ \left(\frac{\partial}{\partial t} + \newoverline{\mathbf{v}_h}_3\cdot\nabla\right)\newoverline{q}_3 &= 0 \end{align} \]

Wendet man den Störungsansatz auch auf die hier verwendete Form der materiellen Ableitung sowie auf die potentielle Vorticity an, folgt

\[ \begin{align} \md{_h^{(g)}} &= \frac{\partial}{\partial t} + \newoverline{\mathbf{v}_h}\cdot\nabla + \mathbf{v}_h'\cdot\nabla,\\ q &= \newoverline{q} + q'. \end{align} \]

Nun nimmt man wiederum an, dass die Störungen nur meridionale Komponenten haben, also

\[ \begin{align} \mathbf{v}_{h, g, 1}' &= \left(\begin{array}{c} 0\\ v_1' \end{array}\right),\\ \mathbf{v}_{h, g, 3}' &= \left(\begin{array}{c} 0\\ v_3' \end{array}\right). \end{align} \]

Für die Stromfunktionen gelten

\[ \begin{align} v_1' = \frac{\partial\psi_1'}{\partial x}, & {} & v_3' = \frac{\partial\psi_3'}{\partial x}. \end{align} \]

Für die potentiellen Vorticites folgt hieraus

\[ \begin{align} q_1' = \frac{\partial^2\psi_1'}{\partial x^2} - K^2\psi_T', & {} & q_3' = \frac{\partial^2\psi_3'}{\partial x^2} + K^2\psi_T'. \end{align} \]

Um die Tendenzgleichungen zu untersuchen, notiert man

\[ \begin{align} \frac{\partial\newoverline{q}}{\partial t} + \newoverline{\mathbf{v}_h}\cdot\nabla\newoverline{q} + \frac{\partial q'}{\partial t} + \newoverline{\mathbf{v}_h}\cdot\nabla q' + \mathbf{v}_h'\cdot\nabla\newoverline{q} + \mathbf{v}_h'\cdot\nabla q' = 0. \end{align} \]

Die ersten beiden Terme ergeben Null, wie bereits festgehalten. Das letzte Skalarprodukt verschwindet aufgrund der Orthogonalität der beteiligten Vektoren ebenfalls. Somit gelten

\[ \begin{align} \left(\frac{\partial}{\partial t} + \newoverline{u}_T\frac{\partial}{\partial x}\right)q_1' + \left(\beta + K^2\newoverline{u}_T\right)\frac{\partial\psi_1'}{\partial x} &= 0, \tag{16.298}\label{eq:dgl_baroklin_1}\\ \left(\frac{\partial}{\partial t} - \newoverline{u}_T\frac{\partial}{\partial x}\right)q_3' + \left(\beta - K^2\newoverline{u}_T\right)\frac{\partial\psi_3'}{\partial x} &= 0.\tag{16.299}\label{eq:dgl_baroklin_2} \end{align} \]

Da die Glg.en (16.298) - (16.299) linear sind, kann man die Lösungen als Überlagerungen ebener Wellen verstehen und macht daher einen Ansatz

\[ \begin{align} \psi_1' &= A_1\exp\left[i\left(kx - \omega t\right)\right] = :A_1f\left(x, t\right),\\ \psi_3' &= A_3\exp\left[i\left(kx - \omega t\right)\right] = :A_3f\left(x, t\right). \end{align} \]

Damit erhält man

\[ \begin{align} q_1' &= -k^2A_1f - K^2\frac{A_1 - A_3}{2}f,\\ q_3' &= -k^2A_3f + K^2\frac{A_1 - A_3}{2}f. \end{align} \]

Das zu lösende Gleichungssystem ist also

\[ \begin{align} \left(\omega - k\newoverline{u}_T\right)\left(k^2A_1 + K^2\frac{A_1 - A_3}{2}\right) + \left(\beta + K^2\newoverline{u}_T\right)kA_1 &= 0,\\ \left(\omega + k\newoverline{u}_T\right)\left(k^2A_3 - K^2\frac{A_1 - A_3}{2}\right) + \left(\beta - K^2\newoverline{u}_T\right)kA_3 &= 0. \end{align} \]

In Matrixschreibweise lautet dies

\[ \begin{align} \left(\begin{array}{cc} M_{1, 1}&M_{1, 2}\\ M_{2, 1}&M_{2, 2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} A_1\\ A_3 \end{array}\right) = \mathbf{0} \end{align} \]

mit den Matrixkoeffizienten

\[ \begin{align} M_{1, 1} &= \left(\omega - k\newoverline{u}_T\right)\left(k^2 + \frac{K^2}{2}\right) + \left(\beta + K^2\newoverline{u}_T\right)k,\\ M_{1, 2} &= -\frac{K^2}{2}\left(\omega - k\newoverline{u}_T\right),\\ M_{2, 1} &= -\frac{K^2}{2}\left(\omega + k\newoverline{u}_T\right),\\ M_{2, 2} &= \left(\omega + k\newoverline{u}_T\right)\left(k^2 + \frac{K^2}{2}\right) + \left(\beta - K^2\newoverline{u}_T\right)k. \end{align} \]

Nullsetzen der Determinante ergibt

\[ \begin{align} & M_{1, 1}M_{2, 2} - M_{2, 1}M_{1, 2}\hastobe0\nonumber\\ &\Rightarrow\left(\omega^2 - k^2\newoverline{u}_T^2\right)\left(k^2 + \frac{K^2}{2}\right)^2 + 2k\left(k^2 + \frac{K^2}{2}\right)\left(\omega\beta + kK^2\newoverline{u}_T^2\right) + \left(\beta^2 - K^4\newoverline{u}_T^2\right)k^2 - \frac{K^4}{4}\left(\omega^2 - k^2\newoverline{u}_T^2\right) = 0\nonumber\\ &\Rightarrow\left(\omega^2 - k^2\newoverline{u}_T^2\right)\left(k^4 + k^2K^2\right) + 2k\left(k^2 + \frac{K^2}{2}\right)\left(\omega\beta + kK^2\newoverline{u}_T^2\right) + \left(\beta^2 - K^4\newoverline{u}_T^2\right)k^2 = 0\nonumber\\ &\Rightarrow\left(\omega^2 - k^2\newoverline{u}_T^2\right)\left(k^2 + K^2\right) + \left(2k + \frac{K^2}{k}\right)\left(\omega\beta + kK^2\newoverline{u}_T^2\right) + \beta^2 - K^4\newoverline{u}_T^2 = 0\nonumber\\ &\Rightarrow\left(\omega^2 - k^2\newoverline{u}_T^2\right)\left(k^2 + K^2\right) + 2k\left(\omega\beta + kK^2\newoverline{u}_T^2\right) + \frac{K^2\omega\beta}{k} + \beta^2 = 0\nonumber\\ &\Rightarrow\omega^2k^2 + \omega^2K^2 - k^4\newoverline{u}_T^2 + k^2K^2\newoverline{u}_T^2 + 2k\omega\beta + \frac{K^2\omega\beta}{k} + \beta^2 = 0\nonumber \end{align} \] \[ \begin{align} &\Rightarrow\omega^2\left[k^2 + K^2\right] + \omega\left[2k\beta + \frac{K^2\beta}{k}\right] - k^4\newoverline{u}_T^2 + k^2K^2\newoverline{u}_T^2 + \beta^2 = 0\nonumber\\ &\Rightarrow\omega^2 + \omega\frac{\beta}{k}\frac{2k^2 + K^2}{k^2 + K^2} + \frac{k^2K^2\newoverline{u}_T^2 - k^4\newoverline{u}_T^2 + \beta^2}{k^2 + K^2} = 0\nonumber\\ &\Rightarrow\omega_{1, 2} = -\frac{\beta}{2k}\frac{2k^2 + K^2}{k^2 + K^2}\pm\sqrt{\frac{\beta^2}{4k^2}\frac{\left(2k^2 + K^2\right)^2}{\left(k^2 + K^2\right)^2} - \frac{k^2K^2\newoverline{u}_T^2 - k^4\newoverline{u}_T^2 + \beta^2}{k^2 + K^2}}\nonumber\\ &\Rightarrow\omega_{1, 2} = -\frac{\beta}{2k}\frac{2k^2 + K^2}{k^2 + K^2}\pm\frac{1}{k^2 + K^2}\sqrt{\frac{\beta^2}{4k^2}\left(4k^4 + K^4 + 4k^2K^2\right) - \left(k^2 + K^2\right)\left(k^2K^2\newoverline{u}_T^2 - k^4\newoverline{u}_T^2 + \beta^2\right)}\nonumber\\ &\Rightarrow\omega_{1, 2} = -\frac{\beta}{2k}\frac{2k^2 + K^2}{k^2 + K^2}\nonumber\\ &\pm\frac{1}{k^2 + K^2}\sqrt{\beta^2k^2 + \frac{\beta^2K^4}{4k^2} + \beta^2K^2 - k^4K^2\newoverline{u}_T^2 - k^2\beta^2 - K^4k^2\newoverline{u}_T^2 - K^2\beta^2 + k^6\newoverline{u}_T^2 + K^2k^4\newoverline{u}_T^2}\nonumber\\ &\Rightarrow\omega_{1, 2} = -\frac{\beta}{k}\frac{k^2 + K^2/2}{k^2 + K^2}\pm\frac{1}{k^2 + K^2}\sqrt{\frac{\beta^2K^4}{4k^2} + \newoverline{u}_T^2k^2\left(k^4 - K^4\right)}.\tag{16.311}\label{eq:disp_rel_baroklin} \end{align} \]

Unter der Annahme $k < K$ maximiert man den Ausdruck unter der Wurzel, indem man $\newoverline{u}_T = 0$ setzt, hieraus folgt

barokline Rossby-Wellen pflanzen sich also immer nach Westen fort. Auch barokline Rossby-Wellen werden als planetare Wellen bezeichnet, wenn sie einen kompletten Breitenkreis umspannen.

16.6.4 Eigenschwingungen einer hydrostatischen Atmosphäre

Man notiert die in Abschn. 13.7.4 zusammengefassten Gleichungen in ihrer adiabatischen Form:

\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + \omega\frac{\partial u}{\partial p} &= -\frac{\partial\Phi}{\partial x} + fv,\\ \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + \omega\frac{\partial v}{\partial p} &= -\frac{\partial\Phi}{\partial y} - fu,\\ \frac{\partial^2\Phi}{\partial p\partial t} + \left(u\frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y}\right)\frac{\partial\Phi}{\partial p} + \frac{\alpha^2}{g^2}N^2\omega &= 0,\\ \frac{\partial\omega}{\partial p} &= -\nabla\cdot\mathbf{v}_h. \end{align} \]

Vernachlässigt man Advektion, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} &= -\frac{\partial\Phi}{\partial x} + fv,\\ \frac{\partial v}{\partial t} &= -\frac{\partial\Phi}{\partial y} - fu,\\ \frac{\partial^2\Phi}{\partial p\partial t} + \sigma\omega &= 0,\\ \frac{\partial\omega}{\partial p} &= -\nabla\cdot\mathbf{v}_h. \end{align} \]

mit dem statischen Stabilitätsparameter $\sigma = \frac{\alpha^2}{g^2}N^2$. Dies ist das zugrundeliegende Gleichungssystem dieses Abschnitts. Notiert man die Ableitungen und Differenzialoperatoren in geographischen Koordinaten, erhält man.

\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} &= -\frac{1}{a\cos\left(\phi\right)}\frac{\partial\Phi}{\partial\lambda} + fv,\tag{16.321}\label{eq:hydrostatic_normal_0}\\ \frac{\partial v}{\partial t} &= -\frac{1}{a}\frac{\partial\Phi}{\partial\phi} - fu,\tag{16.322}\label{eq:hydrostatic_normal_1}\\ \frac{\partial^2\Phi}{\partial p\partial t} + \sigma\omega &= 0,\tag{16.323}\label{eq:hydrostatic_normal_2}\\ \frac{\partial\omega}{\partial p} &= -\frac{1}{a\cos\left(\phi\right)}\frac{\partial u}{\partial\lambda} - \frac{1}{a}\frac{\partial v}{\partial\phi} - \frac{v}{a}\tan\left(\phi\right).\tag{16.324}\label{eq:hydrostatic_normal_3} \end{align} \]

Nun nimmt man eine Aufteilung in einen Hintergrundzustand $\newoverline{\mathbf{\psi}}$ und Abweichungen $\mathbf{\psi}'$ vor, $\sigma$ sei hierbei eine Eigenschaft des Hintergrundzustandes. Man geht von $\newoverline{u} = \newoverline{v} = \newoverline{\omega} = 0$ aus. Als Ansätze für Felder $\psi$ verwendet man

\[ \begin{align} \psi' = \psi_0\left(\frac{p}{p_0}\right)^\chi h\left(\phi\right)\exp\left(im\lambda - i\gamma t\right) \end{align} \]

mit einer komplexen Amplitude $\psi_0$, einer zonalen Wellenzahl $m \in \mathbb{N}$ und einer stetig differenzierbaren Funktion $h\left(\phi\right)$. $p_0$ ist ein Referenzdruck und $\chi > 0$ ist ein Parameter. Setzt man dies sowie die Definition von $f$ in die Glg.en (16.321) - (16.324) ein, erhält man

\[ \begin{align} -i\gamma u_0 &= -\frac{im\Phi_0}{a\cos\left(\phi\right)} + 2\Omega\sin\left(\phi\right)v_0,\\ -i\gamma hv_0 &= -\frac{\Phi_0 h'}{a} - 2\Omega\sin\left(\phi\right)u_0h,\\ -i\gamma\frac{\chi}{p}\Phi_0 &= -\sigma\omega_0,\\ \frac{\chi}{p}h\omega_0 &= -\frac{imh}{a\cos\left(\phi\right)}u_0 - \frac{v_0h'}{a} - \frac{v_0}{a}h\tan\left(\phi\right). \end{align} \]

Die Brüche werden wegmultipliziert:

\[ \begin{align} -i\gamma a\cos\left(\phi\right)u_0 &= -im\Phi_0 + 2\Omega a\cos\left(\phi\right)\sin\left(\phi\right)v_0 = -im\Phi_0 + \Omega a\sin\left(2\phi\right)v_0,\\ -i\gamma ahv_0 &= -h'\Phi_0 - 2\Omega a\sin\left(\phi\right)hu_0,\\ -i\gamma\chi\Phi_0 &= -\sigma p\omega_0,\\ \chi ha\cos\left(\phi\right)\omega_0 &= -imhpu_0 - ph'\cos\left(\phi\right)v_0 - ph\sin\left(\phi\right)v_0 \end{align} \]

Bringt man alles auf die linke Seite, erhält man

\[ \begin{align} -i\gamma a\cos\left(\phi\right)u_0 + im\Phi_0 - \Omega a\sin\left(2\phi\right)v_0 &= 0,\\ -i\gamma ahv_0 + h'\Phi_0 + 2\Omega a\sin\left(\phi\right)hu_0 &= 0,\\ -i\gamma\chi\Phi_0 + \sigma p\omega_0 &= 0,\\ \chi ha\cos\left(\phi\right)\omega_0 + imhpu_0 + ph'\cos\left(\phi\right)v_0 + ph\sin\left(\phi\right)v_0 &= 0. \end{align} \]

Die Terme sortiert man nun in der Reihenfolge $u_0$, $v_0$, $\Phi_0$, $\omega_0$:

\[ \begin{align} \begin{array}{ccccc} -i\gamma a\cos\left(\phi\right)u_0 &- \Omega a\sin\left(2\phi\right)v_0 &+ im\Phi_0 &+ 0 &= 0,\\ 2\Omega a\sin\left(\phi\right)hu_0 &- i\gamma ahv_0 &+ h'\Phi_0 &+ 0 &= 0,\\ 0 &+ 0 &-i\gamma\chi\Phi_0 &+ \sigma p\omega_0 &= 0,\\ imhpu_0 &+ \left[ph'\cos\left(\phi\right) + ph\sin\left(\phi\right)\right]v_0 &+ 0 &+ \chi ha\cos\left(\phi\right)\omega_0 &= 0. \end{array} \end{align} \]

Dies führt direkt zur Matrixnotation

\[ \begin{align} M\cdot\mathbf{x} = \mathbf{0} \end{align} \]

mit

\[ \begin{align} M \coloneqq \left( \begin{array}{cccc} -i\gamma a\cos\left(\phi\right) & -\Omega a\sin\left(2\phi\right) & im & 0,\\ 2\Omega a\sin\left(\phi\right)h & -i\gamma ah & h' & 0,\\ 0 & 0 & -i\gamma\chi & \sigma p,\\ imhp & ph'\cos\left(\phi\right) + ph\sin\left(\phi\right) & 0 & \chi ha\cos\left(\phi\right) \end{array}\right) \end{align} \]

und

\[ \begin{align} \mathbf{v} \coloneqq \left(\begin{array}{c} u_0\\ v_0\\ \Phi_0\\ \omega_0\end{array}\right). \end{align} \]

16.6.4.1 Atmosphärische Tide

Wichtige Unterschiede zwischen der atmosphärischen und der ozeanischen Tide (s. Abschn. 16.5.7) sind folgende:

• Die ozeanische Tide kann als barotrop angesehen werden, Effekte der Baroklinität des Ozeans spielen eine untergeordnete Rolle.
• In der Atmosphäre ist die Baroklinität sehr viel relevanter, die barotrope Näherung würde wesentliche Strukturelemente der atmosphärischen Tide filtern.
• Die ozeanische Tide wird vorwiegend durch Schwankungen der Schwere erzeugt, was durch den Mond hervorgerufen wird. Dies führt zu einer Grundperiode von knapp 25 Stunden.
• Die atmosphärische Tide wird vor allem durch die Strahlung angetrieben sowie durch von der Strahlung ausgelöste Prozesse (chemische Reaktionen und Konvektion).
• Aufgrund der Barotropie ist die ozeanische Tide quasi höhenunabhängig, während die Amplitude der atmosphärischen Tide exponentiell mit der Höhe zunimmt. Dadurch spielt die Tide in der Atmosphäre vor allem in der Mesosphäre (50 - 80 km) eine Rolle, wo sie große Amplituden erreichen kann. In der Troposphäre ist ihre Amplitude klein.

16.7 Instabilitäten

Findet man beim Einbringen einer ebenen Welle als Störung in ein Gleichungssystem und anschließender Linearisierung (gerechtfertigt für kleine Amplituden) Kreisfrequenzen mit positivem Imaginärteil, liegt eine Instabilität vor. Die Amplitude der Welle wächst in dieser linearen Anfangszeit exponentiell, bevor nichtlineare Effekte dominant werden und ein Brechen der Welle mit anschließender Dissipation der kinetischen Energie bewirken.

16.7.1 Schichtungsinstabilität

Die Atmosphäre habe über einem gegebenen Punkt auf der Erdoberfläche die Schichtung $T = T\left(z\right)$. Üblicherweise ist

\[ \begin{align} \frac{\partial T}{\partial z} < 0, \end{align} \]

bei $\frac{\partial T}{\partial z}>0$ spricht man von einer Inversion. Der trockenadiabatische Temperaturgradient ist nach Glg. (9.47) durch

\[ \begin{align} \Gamma_d = \frac{g}{c^{(p)}} \end{align} \]

definiert. Im Fall

\[ \begin{align} \frac{\partial T}{\partial z} < -\Gamma_d \end{align} \]

ist die Schichtung labil, darüber hinaus sogar unbedingt labil, da sowohl ein gesättigtes wie auch ein ungesättigtes Luftteilchen, welches aus seiner Ruhelage ausgelenkt wird, nicht in diese zurückkehrt.

Ist die Luft jedoch gesättigt, findet bei der Abkühlung, die infolge der Hebung stattfindet, Kondensation oder Resublimation statt, wobei Phasenübergangswärme frei wird. Lenkt man das Teilchen bei $z$ vertikal aus, ergibt sich das lifted condensation level (LCL) $z_\text{LCL}$ als die Höhe, in der es gesättigt wäre, also erfüllt es die Gleichung

\[ \begin{align} p_v^{(S)}\left(T\left(z\right) - \Gamma_d\left(z_{\text{LCL}} - z\right)\right) \equiv p_v\left(z\right)\left(1 - \frac{\Gamma_d\left(z_{\text{LCL}} - z\right)}{T\left(z\right)}\right)^{\frac{g}{R_d\Gamma_d}}. \end{align} \]

Man geht bei der anschließenden weiteren Hebung zunächst davon aus, dass das komplette Wasser in der Wolke verbleibt, was man als reversible Feuchtadiabate bezeichnet; gelegentlich wird statt feuchtadiabatisch auch das Wort pseudoadiabatisch verwendet, da die Frage, ob dieser Prozess adiabatisch ist oder nicht, davon abhängt, welches System man betrachtet: betrachtet man die Luft inklusive der Kondensate als System, ist der Prozess adiabatisch, da es keine Wärme mit seiner Umgebung austauscht; betrachtet man hingegen nur die Gasphase, so ist der Prozess hingegen diabatisch. Bei der irreversiblen Feuchtadiabate, worauf in Abschn. 16.7.1.3 näher eingegangen wird, wird hingegen davon ausgegangen, dass das gesamte Wasser ausregnet. Dies soll nun betrachtet werden. Nehme also an, dass die Luft in einem Teilchen mit dem Volumen $V$ und der konstanten Masse $m$ aus einem Gemisch aus feuchter Luft und Kondensationsprodukten einer Phase besteht, wobei alle Komponenten die gleiche Temperatur $T$ haben sollen. Mit dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik Glg. (9.10) erhält man

\[ \begin{align} &c^{(V)}\frac{dT}{dz} + p\frac{d}{dz}\frac{1}{\rho} = \frac{1}{\rho}\frac{dq}{dz}\nonumber\\ \Rightarrow\frac{dT}{dz} &= \frac{1}{c^{(V)}}\left[\frac{1}{\rho}\frac{dq}{dz} - p\frac{d}{dz}\frac{1}{\rho}\right] = \frac{1}{\rho c^{(V)}}\left[\frac{dq}{dz} + \frac{p}{\rho}\frac{d\rho}{dz}\right] = -\frac{g}{c^{(V)}}\left[\frac{dq}{dp} + \frac{p}{\rho}\frac{d\rho}{dp}\right].\tag{16.346}\label{eq:feuchtad_deriv_1} \end{align} \]

Hierbei wurde die hydrostatische Grundgleichung eingesetzt. Für die Wärmeleistung pro Volumen infolge des Phasenübergangs $dq$ gilt

\[ \begin{align} dq = \frac{c_{c}}{v}_hdm_c \end{align} \]

mit $m_c$ als kondensierter oder resublimierter Masse und $c_{c}$ als Phasenübergangswärme. Mit der Zustandsgleichung für Wasserdampf gilt

\[ \begin{align} p_v &= \rho_vR_vT\Rightarrow m_v = \frac{V_vp_v}{R_vT} = \frac{V_hp_v}{R_vT} = \frac{m_hR_hp_v^{(S)}\left(T\right)}{pR_v}\nonumber\\ \Rightarrow dm_c &= -dm_v = \frac{m_hR_hp_v^{(S)}\left(T\right)}{pR_v}\left(\frac{dp}{p} - \frac{dp_v^{(S)}}{p_v^{(S)}} + \frac{dm_c}{m_h}\right)\nonumber\\ \Rightarrow dm_c\left(1 - \frac{R_hp_v^{(S)}\left(T\right)}{pR_v}\right) &= \frac{m_hR_hp_v^{(S)}\left(T\right)}{pR_v}\left(\frac{dp}{p} - \frac{dp_v^{(S)}}{p_v^{(S)}}\right)\nonumber\\ \Rightarrow dm_c &= m_h\frac{\frac{dp}{p} - \frac{dp_v^{(S)}}{p_v^{(S)}}}{\frac{pR_v}{R_hp_v^{(S)}} - 1}. \end{align} \]

Hierbei ist $p_v^{(S)} = p_v^{(S)}\left(T\right)$ der Sättigungsdampfdruck. Daraus folgt

\[ \begin{align} dq &= \frac{c_c}{T}\frac{dp - \frac{p}{p_v^{(S)}}dp_v^{(S)}}{\frac{pR_v}{p_v^{(S)}} - R_h}\nonumber\\ \Rightarrow\frac{dq}{dp} &= \frac{c_c}{\frac{pR_vT}{p_v^{(S)}} - R_hT}\left(1 - \frac{p}{p_v^{(S)}}\frac{dp_v^{(S)}}{dp}\right) = \frac{c_c}{\frac{pR_vT}{p_v^{(S)}} - TR_h}\left(1 + \frac{1}{g\rho}\frac{dT}{dz}\frac{p}{p_v^{(S)}}\frac{dp_v^{(S)}}{dT}\right)\nonumber\\ &= \frac{c_c}{TpR_v - Tp_v^{(S)}R_h}\left(p_v^{(S)} + \frac{p}{g\rho}\frac{dT}{dz}\frac{dp_v^{(S)}}{dT}\right)\nonumber\\ &= \frac{c_cp_v^{(S)}}{TpR_v - Tp_v^{(S)}R_h} + \frac{p}{Tg\rho}\frac{c_c}{pR_v - p_v^{(S)}R_h}\frac{dp_v^{(S)}}{dT}\frac{dT}{dz}. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (16.346) ein und wendet ein weiteres Mal die Kettenregel an, erhält man

\[ \begin{align} \frac{dT}{dz} &= -\frac{g}{c^{(V)}}\Bigg[\frac{c_cp_v^{(S)}}{TpR_v - Tp_v^{(S)}R_h}\nonumber\\ & + \frac{p}{Tg\rho}\frac{c_c}{pR_v - p_v^{(S)}R_h}\frac{dp_v^{(S)}}{dT}\frac{dT}{dz} + \frac{p}{\rho}\frac{\partial\rho}{\partial p} - \frac{p}{g\rho^2}\frac{\partial\rho}{\partial T}\frac{dT}{dz}\Bigg]. \end{align} \]

Nun braucht man eine Zustandsgleichung. Für die Dichte gilt

\[ \begin{align} \rho = \rho_h + \rho_c = \frac{p}{R_hT} + \rho_c. \end{align} \]

Man erhält damit

\[ \begin{align} \frac{dT}{dz} &= \frac{g}{c^{(V)}}\Bigg[ - \frac{c_cp_v^{(S)}}{TpR_v - Tp_v^{(S)}R_h}\nonumber\\ & - \frac{p}{Tg\rho}\frac{c_c}{pR_v - p_v^{(S)}R_h}\frac{dp_v^{(S)}}{dT}\frac{dT}{dz} - \frac{p}{\rho R_hT} - \frac{p^2}{R_hg\rho^2T^2}\frac{dT}{dz}\Bigg]\nonumber\\ &= \frac{g}{c^{(V)}}\Bigg[ - \frac{c_cp_v^{(S)}}{TpR_v - Tp_v^{(S)}R_h} - \frac{p}{Tg\rho}\frac{c_c}{pR_v - p_v^{(S)}R_h}\frac{dp_v^{(S)}}{dT}\frac{dT}{dz}\nonumber\\ & - 1 + \frac{\rho _c}{\rho} - \frac{1}{g}\left(1 - \frac{\rho_c}{\rho}\right)\frac{p}{\rho T}\frac{dT}{dz}\Bigg]. \end{align} \]

Dies stellt man nun nach $\frac{dT}{dz}$ um:

\[ \begin{align} & \frac{dT}{dz}\left(1 + \frac{p}{Tc^{(V)}\rho}\frac{c_c}{pR_v - p_v^{(S)}R_h}\frac{dp_v^{(S)}}{dT} + \frac{1}{c^{(V)}}\left(1 - \frac{\rho_c}{\rho}\right)\frac{p}{\rho T}\right)\nonumber\\ &= \frac{g}{c^{(V)}}\left(\frac{\rho_c}{\rho} - 1\right) - \frac{gc_cp_v^{(S)}\left(T\right)}{c^{(V)}T\left(R_vp - p_v^{(S)}R_h\right)}\nonumber\\ \Rightarrow\frac{dT}{dz} &= -\frac{g}{c^{(p)}}\frac{1 - \frac{\rho_c}{\rho} + \frac{c_cp_v^{(S)}}{T\left(R_vp - p_v^{(S)}R_h\right)}}{\frac{c^{(V)}}{c^{(p)}} + \frac{p}{T\rho c^{(p)}}\frac{c_c}{pR_v - p_v^{(S)}R_h}\frac{dp_v^{(S)}}{dT} + \left(1 - \frac{\rho_c}{\rho}\right)\frac{p}{c^{(p)}T\rho}}\nonumber\\ &= -\Gamma_d\beta \end{align} \]

Hierbei ist

Für die Ableitung $\frac{dp_v^{(S)}}{dT}$ kann die Clausius-Clapeyron-Gleichung eingesetzt werden. Der sogenannte feuchtadiabatische Temperaturgradient wird nun durch

\[ \begin{align} \Gamma_h\coloneqq\Gamma_d\beta \end{align} \]

definiert. Setzt man in Glg. (16.354) $\rho_c = 0$ und $p_v \ll p$ ein, behält aber Terme mit $\frac{dp_v^{(S)}}{dT}$, folgt

\[ \begin{align} \frac{dT}{dz} &= -\frac{g}{c^{(p)}}\frac{1 + \frac{c_cp_v^{(S)}}{TR_vp}}{\frac{c^{(V)}}{c^{(p)}} + \frac{p}{T\rho c^{(p)}}\frac{c_c}{pR_v}\frac{dp_v^{(S)}}{dT} + \frac{p}{c^{(p)}T\rho}}. \end{align} \]

Setzt man hier die Zustandsgleichung idealer Gase $p = \rho R_dT$ ein, erhält man den in der Literatur häufig angetroffene Ausdruck

\[ \begin{align} \frac{dT}{dz} &= -\frac{g}{c^{(p)}}\frac{1 + \frac{c_cp_v^{(S)}}{TR_vp}}{\frac{c^{(V)}}{c^{(p)}} + \frac{R_d}{c^{(p)}}\frac{c_c}{pR_v}\frac{dp_v^{(S)}}{dT} + \frac{c^{(p)} - c^{(V)}}{c^{(p)}}}\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{dT}{dz} &= -\frac{g}{c^{(p)}}\frac{1 + \frac{c_cp_v^{(S)}}{TR_vp}}{1 + \frac{R_dc_c}{R_vc^{(p)}p}\frac{dp_v^{(S)}}{dT}} \equiv -\Gamma_d\beta' \end{align} \]

mit einem vereinfachten Faktor

\[ \begin{align} \beta'&= \beta'\left(p, T\right) \coloneqq\frac{1 + \frac{c_cp_v^{(S)}}{TR_vp}}{1 + \frac{\frac{M_v}{M_d}c_c}{pc^{(p)}}\frac{dp_v^{(S)}}{dT}}\stackrel{\href{ch-04-statistische-physik.html#eq:clausius-clapeyron_vereinfacht}{\text{Glg. (5.237)}}}{\approx}\frac{1 + \frac{c_cp_v^{(S)}}{TR_vp}}{1 + \frac{\frac{M_v}{M_d}c_c^2p_v^{(S)}}{R_vc^{(p)}T^2p}}\nonumber \end{align} \]

welcher nicht mehr von der Dichte des bereits auskondensierten Wassers abhängt. Im Fall $\frac{dp_v^{(S)}}{dT} = p_v^{(S)} = 0$ folgt

\[ \begin{align} \Gamma_h = \Gamma_d. \end{align} \]

Im Fall gesättigter Luft und

\[ \begin{align} \frac{\partial T}{\partial z} < -\Gamma_h \end{align} \]

ist die Schichtung ebenfalls labil. Im Fall

\[ \begin{align} -\Gamma_d \leq \frac{\partial T}{\partial z} < -\Gamma_h \end{align} \]

ist die Schichtung bedingt labil, da nur ein gesättigtes Teilchen bei Auslenkung aus seiner Ruhelage nicht in diese zurückkehrt, die Labilität also von der Feuchte abhängt. Im Falle ungesättigter Luft und

\[ \begin{align} \frac{\partial T}{\partial z} = -\Gamma_d \end{align} \]

bzw. gesättigter Luft und

\[ \begin{align} \frac{\partial T}{\partial z} = -\Gamma_h \end{align} \]

spticht man von neutraler Schichtung.

16.7.1.1 Aquivalentpotentielle Temperatur

Um die sogenannte äquivalentpotentielle Temperatur $\theta_e$ (auch: pseudoäquivalentpotentielle Temperatur oder seltener pseudopotentielle Temperatur) eines Teilchens zu erhalten, sind zwei Schritte notwendig:

1. Hebe das Teilchen trockenadiabatisch auf sein LCL.
2. Hebe das Teilchen irreversibel-feuchtadiabatisch in eine unendliche Höhe. Die dann erhaltene potentielle Temperatur ist $\theta_e$.

Diese Größe ist also nicht nur um den Druckunterschied, sondern auch um die vorhandene Feuchte, welche in Form von Phäsenübergangsenthalpie zu einer Temperaturerhöhung führen könnte, bereinigt. Sie eignet sich daher gut, um die Temperaturen verschiedener Luftmassen zu vergleichen.

16.7.1.2 Reversibeläquivalentpotentielle Temperatur

Die reversibeläquivalentpotentielle Temperatur ist analog zur äquivalentpotentiellen Temperatur definiert, nur dass bei Schritt 2. aus Abschn. 16.7.1.1 eine reversible Feuchtadiabate verfolgt wird.

16.7.1.3 CAPE

Die in diesem Abschnitt durchgeführten Herleitungen beziehen sich auf eine vertikale Luftsäule, wobei dynamische, d. h. durch das Geschwindigkeitsfeld entstehende Effekte, nicht berücksichtigt werden. Man definiert eine Funktion $f\left(z, z'\right)$ als die spezifische Kraft, also die Beschleunigung, die auf das Teilchen bei $z$ wirkt, wenn man es adiabatisch auf das Niveau $z'$ bringt und von einer hydrostatischen Atmosphäre ausgeht, also

\[ \begin{align} f\left(z, z'\right) \coloneqq -\frac{1}{\rho'\left(z, z'\right)}\frac{\partial p\left(z'\right)}{\partial z} - g \stackrel{\href{ch-12-wichtige-approximationen.html#eq:hydrostatic}{\text{Glg. (13.122)}}}{=} \frac{g\rho\left(z'\right)}{\rho'\left(z, z'\right)} - g = g\frac{\rho\left(z'\right) - \rho'\left(z, z'\right)}{\rho'\left(z, z'\right)}, \end{align} \]

wobei $\rho'\left(z, z'\right)$ die Dichte des Teilchens bei $z$ ist, nachdem man es adiabatisch nach $z'$ verschoben hat. Man definiert außerdem eine Funktion $\newtilde{F}\left(z, z'\right)$ durch

\[ \begin{align} \newtilde{F}\left(z, z'\right) \coloneqq g\int_{z}^{z'}\frac{\rho\left(z''\right) - \rho'\left(z, z''\right)}{\rho'\left(z, z''\right)}dz'' \end{align} \]

als die Arbeit, die die Schichtung an einem Teilchen geleistet hat, welches adiabatisch von $z$ nach $z'$ ausgelenkt wurde. Üblicherweise wählt man $z = z_{\text{2m}} \coloneqq z_{\text{SFC}} + 2$ m, man definiert

\[ \begin{align} F\left(z\right) &\coloneqq \newtilde{F}\left(z_{\text{2m}}, z\right) = g\int_{z_{\text{2m}}}^{z}\frac{\rho\left(z''\right) - \rho'\left(z_{\text{2m}}, z''\right)}{\rho'\left(z_{\text{2m}}, z''\right)}dz'' = g\int_{z_{\text{2m}}}^{z}\frac{\rho\left(z'\right) - \rho'\left(z_{\text{2m}}, z'\right)}{\rho'\left(z_{\text{2m}}, z'\right)}dz'\nonumber\\ &= g\int_{z_{\text{2m}}}^{z}\frac{\rho\left(z'\right) - \rho'\left(z'\right)}{\rho'\left(z'\right)}dz' \end{align} \]

mit dem Bezeichnungsmissbrauch

\[ \begin{align} \rho'\left(z'\right) \coloneqq \rho'\left(z_{\text{2m}}, z'\right). \end{align} \]

Für den Integranden wird ebenso

\[ \begin{align} f\left(z'\right) \coloneqq g\frac{\rho\left(z'\right) - \rho'\left(z'\right)}{\rho'\left(z'\right)}\tag{16.368}\label{eq:uplift} \end{align} \]

definiert. In Termen der Funktionen $F$ und $f$ lassen sich viele der üblicherweise im Zusammenhang mit Konvektion verwendeten Größen definieren. Man definiert die sogenannte konvektiv verfügbare potentielle Energie CAPE durch

\[ \begin{align} \CAPE \coloneqq \int_{z_{\text{2m}}}^{\infty}\Theta\left(f\left(z\right)\right)dz,\tag{16.369}\label{eq:def_cape} \end{align} \]

wobei $\Theta$ die $\Theta-$Funktion bezeichnet. Realistisch integriert man natürlich nicht bis nach Unendlich, sondern nur bis zu einer Höhe $z_T$, in der sich typischerweise die Tropopause befindet, da darüber sowieso keine Instabilität mehr vorliegt. Im Falle trockener Luft kann man für $f$ notieren

\[ \begin{align} f\left(z'\right) = g\frac{\frac{p}{R_dT} - \frac{p}{R_dT'}}{\frac{p}{R_dT'}} = g\frac{\frac{1}{T} - \frac{1}{T'}}{\frac{1}{T'}} = g\frac{T' - T}{T} = g\frac{\theta'\left(\frac{p}{p_0}\right)^{R_d/c_d^{(p)}} - \theta\left(\frac{p}{p_0}\right)^{R_d/c_d^{(p)}}}{\theta\left(\frac{p}{p_0}\right)^{R_d/c_d^{(p)}}} = g\frac{\theta' - \theta}{\theta}. \end{align} \]

Im Fall feuchter Luft kann man $T \to T_v$ ersetzen, hierbei ist $T_v$ die in Glg. (5.164) definierte virtuelle Temperatur, da bei dieser Temperatur die trockene Luft die gleiche Dichte hätte wie die vorhandene feuchte Luft. Das level of free convection $z_{\text{LFC}}$ ist die Höhe, in der das adiabatisch aufsteigende Teilchen zum ersten mal leichter ist als die Umgebung

\[ \begin{align} z_{\text{LFC}} \coloneqq\inf\{z\newvline f\left(z\right) > 0\}. \end{align} \]

Wenn das Teilchen diese Höhe erreicht, wird es weiter aufsteigen, was man als freie Kovektion bezeichnet, also Konvektion, die auch ohne dynamischen Antrieb stattfinden würde. Analog bezeichnet man

\[ \begin{align} z_{\text{EL}} \coloneqq\sup\{z\newvline f\left(z\right) > 0, z < 2z_T\} \end{align} \]

als Gleichgewichtsniveau (equilibrium level). Die tiefe Stratosphäre wurde sicherheitshalber ausgeklammert. Dies ist die Höhe, in der ein frei aufsteigendes Teilchen wieder schwerer wäre als seine Umgebung. Häufig wird in Glg. (16.369) die $\Theta-$Funktion weggelassen und nur von $z_{\text{LFC}}$ bist $z_{\text{EL}}$ integriert, was genau dann richtig ist, wenn in genau einem Höhenintervall thermische Labilität vorliegt, was häufig der Fall ist. Die maximale Wolkenobergrenze ist definiert als die Höhe, in der ein solches Teilchen seine kinetische Energie wieder verloren hätte, also

\[ \begin{align} z_{\text{MCT}} \coloneqq\inf\{z\newvline \newtilde{F}\left(z_{\text{LFC}}, z\right) < 0\}. \end{align} \]

Das Phänomen $z_{\text{MCT}} > z_{\text{EL}}$ führt bei hochreichender Konvektion zur Ausprägung von Schwerewellen an der Tropopause (overshooting tops), was generell überall dort der Fall ist, wo ein stabil auf ein labil geschichtetes Höhenintervall folgt.

Hat ein Teilchen in zwei Metern Höhe die sogenannte Auslösetemperatur erreicht, kann es auch ohne dynamischen Antrieb in das LFC aufsteigen, also

\[ \begin{align} 0 \equiv g\int_{z_{\text{2m}}}^{z_{\text{LFC}}}\frac{\rho\left(z'\right) - \newtilde{\rho}'\left(z'\right)}{\newtilde{\rho}'\left(z'\right)}, \end{align} \]

wobei $\newtilde{\rho}'\left(z'\right)$ die Dichte des adiabatisch von $z_{\text{2m}}$ nach $z'$ gehobenen Teilchens ist, was in zwei Metern Höhe die Auslösetemperatur hätte. Die Energie $\CIN$, die dabei überwunden werden muss, also

\[ \begin{align} \CIN \coloneqq -\newtilde{F}\left(z_{\text{2m}}, z_{\text{LFC}}\right). \end{align} \]

bezeichnet man als konvektive Schranke oder convective inhibition. Die Höhe, in der ein auf die Auslösetemperatur aufgeheiztes Teilchen beim adiabatischen Aufstieg gesättigt wäre, bezeichnet man als convective condensation level (CCL). Dies ist mindestens so groß wie das LCL, also

\[ \begin{align} z_{\text{CCL}} \geq z_{\text{LCL}}. \end{align} \]

16.7.2 Kelvin-Helmholtz-Instabilität

Die Kelvin-Helmholtz-Instabilität ist die Instabilität einer vertikal gescherten Horizontalströmung.

16.7.2.1 In diskreter Schichtung

Die Bewegung sei y-symmetrisch, betrachtet wird also die xz-Ebene. Die xy-Ebene falle mit der Gleichgewichtslage einer Phasengrenze zusammen. Das Medium oberhalb der Grenzschicht ($z > 0$) erhält den Index 1, das Medium darutner ($z < 0$) den Index 2. Die Medien seien barotrop und inkompressibel. Zum Zeitpunkt $t = 0$ werde das Strömungsfeld durch

\[ \begin{align} U_1 > 0, & {} & U_2 > 0, & {} & V_1 = V_2 = W_1 = W_2 = 0 \end{align} \]

beschrieben. Die Coriolis-Kraft wird vernachlässigt. Es gilt

\[ \begin{align} \nabla \times \mathbf{v}_1 = \nabla \times \mathbf{v}_2 = \mathbf{0}. \end{align} \]

Aufgrund des Zirkulationssatzes in der Form Glg. (15.39) gilt dies auch für $t > 0$, solange sich die Medien nicht durchmischen. Daher beschreibt man die Geschwindigkeitsfelder durch zwei Stromfunktionen

\[ \begin{align} \psi_1 = U_1x + \psi_1', & {} & \psi_2 = U_2 x + \psi_2',\tag{16.379}\label{eq:khi_discrete_stream} \end{align} \]

wobei die gestrichenen Größen für die Störungen stehen. Aufgrund der Divergenzfreiheit gilt

\[ \begin{align} \Delta\psi_1' = \Delta\psi_2' = 0\tag{16.380}\label{eq:khi_deriv_laplace}. \end{align} \]

Die Auslenkung der Phasengrenze sei mit $\zeta$ bezeichnet. Mit $\mathbf{n}$ als Normalenvektor der Oberfläche und $\zeta$ als Oberflächenauslenkung gilt die kinematische Randbedingung

\[ \begin{align} \mathbf{n}\cdot\nabla\psi_1 = \mathbf{n}\cdot\left(\frac{\partial\zeta}{\partial t}\mathbf{e}_z\right) = \mathbf{n}\cdot\nabla\psi_2\text{ bei }z = \zeta.\tag{16.381}\label{eq:khi_discrete_kbc} \end{align} \]

Mit Vernachlässigung der Oberflächenspannung folgt die dynamische Randbedingung

\[ \begin{align} p_1 = p_2\text{ bei }z = \zeta.\tag{16.382}\label{eq:khi_discrete_dbc} \end{align} \]

Für den Normalenvektor $\mathbf{n}$ gilt

\[ \begin{align} \mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\partial\zeta}{\partial x}\right)^2}}\left(\begin{array}{c} -\frac{\partial\zeta}{\partial x}\\ 1\end{array}\right). \end{align} \]

Die kinematische Randbedidngung Glg. (16.381) wird damit zu

\[ \begin{align} -\left(U_1 + \frac{\partial\psi_1'}{\partial x}\right)\frac{\partial\zeta}{\partial x} + \frac{\partial\psi_1'}{\partial z} = \frac{\partial\zeta}{\partial t} = -\left(U_2 + \frac{\partial\psi_2'}{\partial x}\right)\frac{\partial\zeta}{\partial x} + \frac{\partial\psi_2'}{\partial z}\text{ bei }z = \zeta, \end{align} \]

wobei der Wurzelausdruck herausmultipliziert wurde. Um diesen Ausdruck zu linearisieren, wendet man ihn bei $z = 0$ an und vernachlässigt quadratische Terme:

\[ \begin{align} -U_1\frac{\partial\zeta}{\partial x} + \frac{\partial\psi_1'}{\partial z} = \frac{\partial\zeta}{\partial t} = -U_2\frac{\partial\zeta}{\partial x} + \frac{\partial\psi_2'}{\partial z}\text{ bei }z = 0\tag{16.385}\label{eq:khi_discrete_deriv_kbc} \end{align} \]

Da das Strömungsfeld rotationsfrei ist und man außerdem von einem idealen Fluid ausgeht, kann man die zeitabhängigen Bernoulli-Gleichungen (s. Glg. (15.122)) der beiden Schichten

\[ \begin{align} \frac{\partial\psi_1}{\partial t} + \frac{1}{2}\left|\nabla\psi_1\right|^2 + \frac{p_1}{\rho_1} + gz &= C,\\ \frac{\partial\psi_2}{\partial t} + \frac{1}{2}\left|\nabla\psi_2\right|^2 + \frac{p_2}{\rho_2} + gz &= C_2 \end{align} \]

mit reellen Konstanten $C, C_2$ aufstellen. Die dynamische Randbedingung Glg. (16.382) impliziert bei $z = \zeta$ die Identität

\[ \begin{align} \rho_1\left(C - \frac{\partial\psi_1}{\partial t} - \frac{1}{2}\left|\nabla\psi_1\right|^2 - gz\right) = \rho_2\left(C_2 - \frac{\partial\psi_2}{\partial t} - \frac{1}{2}\left|\nabla\psi_2\right|^2 - gz\right).\tag{16.388}\label{eq:khi_discrete_deriv_1} \end{align} \]

Ohne Störung gilt

\[ \begin{align} \rho_1\left(C - \frac{1}{2}U_1^2\right) = \rho_2\left(C_2 - \frac{1}{2}U_2^2\right).\tag{16.389}\label{eq:khi_discrete_deriv_2} \end{align} \]

Subtrahieren von Glg. (16.389) von Glg. (16.388) führt zu

\[ \begin{align} \rho_1\left(-\frac{\partial\psi_1}{\partial t} + \frac{1}{2}U_1^2 - \frac{1}{2}\left|\nabla\psi_1\right|^2 - gz\right) = \rho_2\left(-\frac{\partial\psi_2}{\partial t} + \frac{1}{2}U_2^2 - \frac{1}{2}\left|\nabla\psi_2\right|^2 - gz\right),\tag{16.390}\label{eq:khi_discrete_deriv_3} \end{align} \]

was bei $z = \zeta$ gilt. Mit den Glg.en (16.379) - (16.379) folgt

\[ \begin{align} \frac{1}{2}\left|\nabla\psi_j\right|^2 &= \frac{1}{2}\left(U_j^2 + \left(\frac{\partial\psi_j'}{\partial x}\right)^2 + 2U_j\frac{\partial\psi_j'}{\partial x} + \left(\frac{\partial\psi_j'}{\partial z}\right)^2\right) \end{align} \]

für $j = 1, 2$. Setzt man dies in Glg. (16.390) ein, erhält man

\[ \begin{align} & \rho_1\left(-\frac{\partial\psi_1}{\partial t} - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial\psi_1'}{\partial x}\right)^2 - U_1\frac{\partial\psi_1'}{\partial x} - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial\psi_1'}{\partial z}\right)^2 - gz\right)\nonumber\\ &= \rho_2\left(-\frac{\partial\psi_2}{\partial t} - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial\psi_1'}{\partial x}\right)^2 - U_2\frac{\partial\psi_1'}{\partial x} - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial\psi_1'}{\partial z}\right)^2 - gz\right),\tag{16.392}\label{eq:khi_discrete_deriv_4} \end{align} \]

bei $z = \zeta.$ Diese Gleichung linearisiert man, indem man sie bei $z = 0$ auswertet und die quadratischen Terme vernachlässigt:

\[ \begin{align} \rho_1\left(\frac{\partial\psi_1}{\partial t} + U_1\frac{\partial\psi_1'}{\partial x} + g\zeta\right) = \rho_2\left(\frac{\partial\psi_2}{\partial t} + U_2\frac{\partial\psi_1'}{\partial x} + g\zeta\right)\tag{16.393}\label{eq:khi_discrete_deriv_5} \end{align} \]

Nun macht man für $j = 1, 2$ den Ansatz

\[ \begin{align} \psi_j' = A_j\left(z\right)\exp\left(ikx - i\omega t\right). \end{align} \]

Mit den Laplace-Gleichungen Glg. (16.380) folgt

\[ \begin{align} -k^2A_j + \frac{d^2A_j}{dz^2} &= 0. \end{align} \]

Die Lösungen sind von der Form

\[ \begin{align} A_j\left(z\right) = A_\pm\exp\left(\pm kz\right). \end{align} \]

Mit den Festlegungen

\[ \begin{align} \lim_{z \to\infty} \psi_1' = 0, & {} & \lim_{z \to -\infty} \psi_2' = 0, \end{align} \]

welche bedeuten, dass die Störung in der Unendlichkeit verschwinden soll, folgen

\[ \begin{align} \psi_1' = A_-\exp\left[ikx - i\omega t - kz\right], & {} & \psi_2' = A_+\exp\left[ikx - i\omega t + kz\right]. \end{align} \]

Für die Oberflächenauslenkung nimmt man entsprechend

\[ \begin{align} \zeta = \zeta_0\exp\left(ikx - i\omega t\right) \end{align} \]

an. Setzt man dies in die Glg.en (16.385) und (16.393) ein, erhält man

\[ \begin{align} -U_1ik\zeta_0 - kA_- &= -i\omega\zeta_0 = -U_2ik\zeta_0 + kA_+,\tag{16.400}\label{eq:khi_discrete_deriv_6}\\ \rho_1\left(-i\omega A_- + ikU_1A_- + g\zeta_0\right) &= \rho_2\left(-i\omega A_+ + ikU_2A_+ + g\zeta_0\right).\tag{16.401}\label{eq:khi_discrete_deriv_7} \end{align} \]

Glg. (16.400) impliziert

\[ \begin{align} A_- = \frac{i}{k}\zeta_0\left(\omega - U_1k\right), & {} & A_+ = \frac{i}{k}\zeta_0\left(U_2k - \omega\right). \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (16.401) ein, folgt

\[ \begin{align} \rho_1\left(-i\omega\frac{i}{k}\zeta_0\left(\omega - U_1k\right) + ikU_1\frac{i}{k}\zeta_0\left(\omega - U_1k\right) + g\zeta_0\right) &= \rho_2\left(-i\omega\frac{i}{k}\zeta_0\left(U_2k - \omega\right) + ikU_2\frac{i}{k}\zeta_0\left(U_2k - \omega\right) + g\zeta_0\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\rho_1\left(\frac{\omega}{k}\left(\omega - U_1k\right) - U_1\left(\omega - U_1k\right) + g\right) &= \rho_2\left(\frac{\omega}{k}\left(U_2k - \omega\right) - U_2\left(U_2k - \omega\right) + g\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\rho_1\left(\omega\left(\omega - U_1k\right) - kU_1\left(\omega - U_1k\right) + kg\right) &= \rho_2\left(\omega\left(U_2k - \omega\right) - U_2k\left(U_2k - \omega\right) + kg\right). \end{align} \]

Dies ist eine quadratische Gleichung für $\omega$, also eine Dispersionsrelation. Weitere algebraische Umformung ergibt

\[ \begin{align} \omega^2 - 2k\omega\frac{\rho_1U_1 + \rho_2U_2}{\rho_1 + \rho_2} - kg\frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_1 + \rho_2} + k^2\frac{U_1^2\rho_1 + U_2^2\rho_2}{\rho_1 + \rho_2} = 0. \end{align} \]

Dies ergibt zwei Lösungen für die Kreisfrequenz:

\[ \begin{align} \omega_\pm &= \frac{\rho_1U_1k + \rho_2U_2k}{\rho_1 + \rho_2} \pm \left[kg\frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_1 + \rho_2} - k^2\frac{U_1^2\rho_1\rho_2 + U_2^2\rho_1\rho_2 - 2\rho_1\rho_2U_1U_2}{\left(\rho_1 + \rho_2\right)^2}\right]^{1/2}\nonumber\\ \Leftrightarrow\omega_\pm &= \frac{\rho_1U_1k + \rho_2U_2k}{\rho_1 + \rho_2} \pm \left[kg\frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_1 + \rho_2} - k^2\rho_1\rho_2\frac{\left(U_1 - U_2\right)^2}{\left(\rho_1 + \rho_2\right)^2}\right]^{1/2} \end{align} \]

Instabilität liegt vor im Fall

\[ \begin{align} kg\frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_1 + \rho_2} &- k^2\rho_1\rho_2\frac{\left(U_1 - U_2\right)^2}{\left(\rho_1 + \rho_2\right)^2} < 0\nonumber\\ \Leftrightarrow kg\frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_1 + \rho_2} & < k^2\rho_1\rho_2\frac{\left(U_1 - U_2\right)^2}{\left(\rho_1 + \rho_2\right)^2}\nonumber \end{align} \]

also wenn

• die Dichtedifferenz klein genug ist,
• die Welle kurz genug ist oder die
• Geschwindigkeitsdifferenz groß genug ist.

Ein Beispiel ist das Entstehen von Wasseroberflächenwellen unter Windeinwirkung. Man kann davon ausgehen, dass fast immer spektrale Komponenten im Windfeld vorhanden sind, die die Bedingung Glg. (16.406) erfüllen. Die weitere zeitliche Entwicklung des Systems kann unterschiedlich aussehen, z. B. ist diese abhängig davon, ob sich die Medien durchmischen können oder nicht.

16.7.2.2 In kontinuierlicher Schichtung

Man betrachtet wieder die xz-Ebene und vernachlässigt die Coriolis-Beschleunigung. Außerdem macht man die Boussinesq-Approximation (s. Abschn. 13.6). Impuls-, Kontinuitätsgleichung und Erster Hauptsatz der Thermodynamik lauten mit $\sigma$ als potentieller Dichte

\[ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + w\frac{\partial w}{\partial z} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x},\\ \frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + w\frac{\partial w}{\partial z} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} - g,\\ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial z} &= 0,\\ \frac{\partial\sigma}{\partial t} + u\frac{\partial\sigma}{\partial x} + w\frac{\partial\sigma}{\partial z} &= 0. \end{align} \]

Nun geht man von einem vertial gescherten Hintergrundwindfeld $\newoverline{u}\left(z\right) = u\left(x, z, t\right) - u'\left(x, z, t\right)$ aus, der vertikale Hintergrundwind $\newoverline{w}$ verschwinde. Die Hintergrunddichte $\newoverline{\rho}\left(z\right) = \rho\left(x, z, t\right) - \rho'\left(x, z, t\right)$ sei in hydrostatischer Balance mit dem Hintergrunddruckfeld $\newoverline{p}\left(z\right) = p\left(x, z, t\right) - p'\left(x, z, t\right)$, also

\[ \begin{align} \frac{\partial\newoverline{p}}{\partial z} &= -g\newoverline{\rho}.\tag{16.411}\label{eq:khi_deriv_1} \end{align} \]

Setzt man dies in die Gleichungen ein und linearisiert sie, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial u'}{\partial t} + \newoverline{u}\frac{\partial u'}{\partial x} + w\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p'}{\partial x} \approx -\frac{1}{\newtilde{\rho}}\frac{\partial p'}{\partial x},\\ \frac{\partial w}{\partial t} + \newoverline{u}\frac{\partial w}{\partial x} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} - g \approx -\frac{1}{\newtilde{\rho}}\frac{\partial p}{\partial z} - \frac{g\rho}{\newtilde{\rho}} = -\frac{1}{\newtilde{\rho}}\frac{\partial p'}{\partial z} - \frac{g\rho'}{\newtilde{\rho}},\\ \frac{\partial u'}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial z} &= 0,\\ \frac{\partial\sigma'}{\partial t} + \newoverline{u}\frac{\partial\sigma'}{\partial x} + w\frac{\partial\newoverline{\sigma}}{\partial z} &= 0. \end{align} \]

In der x-Komponente der Impulsgleichung wurde im Nenner des Druckgradientterms $\rho \to \newtilde{\rho}$ ersetzt, wobei $\newtilde{\rho}$ eine als homogen angenommene mittlere Dichte bezeichnet; in der z-Komponente wurde die rechte Seite mit $\frac{\rho}{\newtilde{\rho}}$ multipliziert, bevor Glg. (16.411) eingesetzt wurde. Die Störung der Strömung ist divergenzfrei, daher setzt man eine Stromfunktion $\psi = \psi\left(x, z, t\right)$ mit

\[ \begin{align} u' = \frac{\partial\psi}{\partial z}, & {} &w = -\frac{\partial\psi}{\partial x} \end{align} \]

an. Damit ist die Kontinuitätsgleichung automatisch erfüllt. Die verbleibenden drei Gleichungen lauten

\[ \begin{align} \frac{\partial^2\psi}{\partial t\partial z} + \newoverline{u}\frac{\partial^2\psi}{\partial z\partial x} - \frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z} &= -\frac{1}{\newtilde{\rho}}\frac{\partial p'}{\partial x},\\ -\frac{\partial^2\psi}{\partial t\partial x} - \newoverline{u}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} &= -\frac{1}{\newtilde{\rho}}\frac{\partial p'}{\partial z} - \frac{g\rho'}{\newtilde{\rho}},\\ \frac{\partial\sigma'}{\partial t} + \newoverline{u}\frac{\partial\sigma'}{\partial x} - \frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{\partial\newoverline{\sigma}}{\partial z} &= 0. \end{align} \]

Nun macht man weiterhin die Ansätze

\[ \begin{align} \psi\left(x, z, t\right) = \psi_0\left(z\right)\exp\left[ik\left(x - ct\right)\right], & {} & p'\left(x, z, t\right) = p_0\left(z\right)\exp\left[ik\left(x - ct\right)\right],\\ \rho'\left(x, z, t\right) = \rho_0\left(z\right)\exp\left[ik\left(x - ct\right)\right], & {} & \sigma'\left(x, z, t\right) = \sigma_0\left(z\right)\exp\left[ik\left(x - ct\right)\right]. \end{align} \]

Daraus folgt

\[ \begin{align} -ikc\frac{d\psi_0}{dz} + \newoverline{u}ik\frac{d\psi_0}{dz} - ik\psi_0\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z} &= -ik\frac{p_0}{\newtilde{\rho}},\\ -k^2c\psi_0 + \newoverline{u}k^2\psi_0 &= -\frac{1}{\newtilde{\rho}}\frac{dp_0}{dz} -g\frac{\rho_0}{\newtilde{\rho}},\\ -ikc\sigma_0 + \newoverline{u}ik\sigma_0 -ik\psi_0\frac{d\newoverline{\sigma}}{dz} &= 0. \end{align} \]

Dies ergibt vereinfacht

\[ \begin{align} -c\frac{d\psi_0}{dz} + \newoverline{u}\frac{d\psi_0}{dz} - \psi_0\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z} &= -\frac{p_0}{\newtilde{\rho}},\\ \psi_0k^2\left(\newoverline{u} - c\right) &= -\frac{1}{\newtilde{\rho}}\frac{dp_0}{dz} - g\frac{\rho_0}{\newtilde{\rho}}, \tag{16.426}\label{eq:khi_deriv_2}\\ \sigma_0\left(\newoverline{u} - c\right) - \psi_0\frac{d\newoverline{\sigma}}{dz} &= 0.\tag{16.427}\label{eq:khi_deriv_3} \end{align} \]

Differenziert man die erste Gleichung nach $z$, erhält man

\[ \begin{align} \frac{d^2\psi_0}{dz^2}\left(\newoverline{u} - c\right) - \psi_0\frac{d^2\newoverline{u}}{dz^2} &= -\frac{1}{\newtilde{\rho}}\frac{dp_0}{dz}. \end{align} \]

Setzt man hier Glg. (16.426) ein, folgt

\[ \begin{align} \left(\newoverline{u} - c\right)\left[\frac{d^2\psi_0}{dz^2} - k^2\psi_0\right] - \psi_0\frac{d^2\newoverline{u}}{dz^2} - g\frac{\rho_0}{\newtilde{\rho}} &= 0. \end{align} \]

Um $\rho_0$ zu eliminieren, stellt man zunächst Glg. (16.427) nach $\sigma_0$ um und erhält

\[ \begin{align} \sigma_0 &= \frac{\psi_0}{\newoverline{u} - c}\frac{d\newoverline{\sigma}}{dz}. \end{align} \]

O. B. d. A. kann man das Referenzniveau in das gerade betrachtete Niveau legen und $\rho_0 = \sigma_0$ verwenden. Dies ergibt eingesetzt

\[ \begin{align} \left(\newoverline{u} - c\right)\left[\frac{d^2\psi_0}{dz^2} - k^2\psi_0\right] -\psi_0\frac{d^2\newoverline{u}}{dz^2} - \frac{\psi_0}{\newoverline{u} - c}\frac{g}{\newtilde{\rho}}\frac{d\newoverline{\sigma}}{dz} &= 0. \end{align} \]

Hier setzt man die Brunt-Väisälä-Frequenz

\[ \begin{align} N^2 \coloneqq -\frac{g}{\newtilde{\rho}}\frac{d\newoverline{\sigma}}{dz} \end{align} \]

ein und erhält

\[ \begin{align} \left(\newoverline{u} - c\right)\left(\frac{d^2}{dz^2} - k^2\right)\psi + \left(\frac{N^2}{\newoverline{u} - c} - \frac{d^2\newoverline{u}}{dz^2}\right)\psi = 0.\tag{16.433}\label{eq:taylor-goldstein} \end{align} \]

Diese Gleichung bezeichnet man als Taylor-Goldstein-Gleichung. Es handelt sich um ein Eigenwertproblem $\left\{\psi, c\right\}$ an die Funktion $\psi$ mit dem Eigenwert $c$ abhängig von $\newoverline{u}\left(z\right)$. Ist $\left\{\psi, c\right\}$ eine Lösung, so ist $\left\{\psi^\star, c^\star\right\}$ ebenfalls eine Lösung. Ein postiver Imaginärteil von $c$ bedeutet, dass $\psi$ eine instabile Lösung ist. Eine Scherung $\newoverline{u} = \newoverline{u}\left(z\right)$ ist genau dann stabil, wenn alle Lösungen von Glg. (16.433) reelle Eigenwerte haben. Man geht nun weiter davon aus, dass bei $z = 0, H$ die Randbedingungen $w = 0$ gelten, daraus folgt

\[ \begin{align} \psi\left(0\right) = \psi\left(H\right) = 0. \end{align} \]

Nun definiert man $\phi$ durch

\[ \begin{align} \psi = \sqrt{\newoverline{u} - c}\phi. \end{align} \]

Differenzieren nach $z$ ergibt

\[ \begin{align} \frac{d\psi}{dz} &= \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\newoverline{u} - c}}\phi\frac{d\newoverline{u}}{dz} + \sqrt{\newoverline{u} - c}\frac{d\phi}{dz},\\ \Rightarrow\frac{d^2\psi}{dz^2} &= \frac{1}{\sqrt{\newoverline{u} - c}}\frac{d\newoverline{u}}{dz}\frac{d\phi}{dz} - \frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{\newoverline{u} - c}^3}\phi\left(\frac{d\newoverline{u}}{dz}\right)^2 + \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\newoverline{u} - c}}\frac{d^2\newoverline{u}}{dz^2}\phi + \sqrt{\newoverline{u} - c}\frac{d^2\phi}{dz^2}. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (16.433) ein und dividiert durch $\sqrt{\newoverline{u} - c}$, erhält man

\[ \begin{align} \frac{d}{dz}\left[\left(\newoverline{u} - c\right)\frac{d\phi}{dz}\right] - \left[k^2\left(\newoverline{u} - c\right) + \frac{1}{2}\frac{d^2\newoverline{u}}{dz^2} + \frac{1}{\newoverline{u} - c}\left(\frac{1}{4}\left(\frac{d\newoverline{u}}{dz}\right)^2 - N^2\right)\right]\phi = 0.\tag{16.438}\label{eq:khi_deriv_4} \end{align} \]

Die Randbedingungen bleiben unter der Annahme $c \not= \newoverline{u}$

\[ \begin{align} \phi\left(0\right) = \phi\left(H\right) = 0. \end{align} \]

Die Glg. (16.438) wird nun mit $\phi^\star$ multipliziert:

\[ \begin{align} \phi^\star\frac{d}{dz}\left[\left(\newoverline{u} - c\right)\frac{d\phi}{dz}\right] - \left[k^2\left(\newoverline{u} - c\right) + \frac{1}{2}\frac{d^2\newoverline{u}}{dz^2} + \frac{1}{\newoverline{u} - c}\left(\frac{1}{4}\left(\frac{d\newoverline{u}}{dz}\right)^2 - N^2\right)\right]\left|\phi\right|^2 = 0.\tag{16.440}\label{eq:khi_deriv_5} \end{align} \]

Inegriert man den ersten Term von $0$ bis $H$, folgt mittels partieller Integration

\[ \begin{align} \int_0^H\phi^\star\frac{d}{dz}\left[\left(\newoverline{u} - c\right)\frac{d\phi}{dz}\right]dz &= -\int_0^H\left(\newoverline{u} - c\right)\left|\frac{d\phi}{dz}\right|^2dz. \end{align} \]

Glg. (16.440) wird nun von $0$ nach $H$ integriert:

\[ \begin{align} \int_0^H\left[N^2 - \frac{1}{4}\left(\frac{d\newoverline{u}}{dz}\right)^2\right]\frac{\left|\phi\right|^2}{\newoverline{u} - c}dz &= \int_0^H\left(\newoverline{u} - c\right)\left(\left|\frac{d\phi}{dz}\right|^2 + k^2\left|\phi\right|^2\right) + \frac{1}{2}\frac{d^2\newoverline{u}}{dz^2}\left|\phi\right|^2dz.\tag{16.442}\label{eq:khi_deriv_6} \end{align} \]

Man schreibt nun für die Phasengeschwindigkeit

\[ \begin{align} c = c_r + ic_i \end{align} \]

mit $c_r, c_i\in\mathbb{R}$. Der Imaginärteil von Glg. (16.442) schreibt sich als

\[ \begin{align} c_i\int_0^H\left[N^2 - \frac{1}{4}\left(\frac{d\newoverline{u}}{dz^2}\right)^2\right]\frac{\left|\phi\right|^2}{\left|\newoverline{u} - c\right|^2}dz &= -c_i\int_0^H\left(\left|\frac{d\phi}{dz}\right|^2 + k^2\left|\phi\right|^2\right)dz\nonumber\\ \Rightarrow c_i\int_0^H\left[N^2 - \frac{1}{4}\left(\frac{d\newoverline{u}}{dz^2}\right)^2\right]\frac{\left|\phi\right|^2}{\left|\newoverline{u} - c\right|^2} + \left|\frac{d\phi}{dz}\right|^2 + k^2\left|\phi\right|^2dz &= 0. \end{align} \]

Gilt $N^2 - \frac{1}{4}\left(\frac{d\newoverline{u}}{dz^2}\right)^2 > 0$ überall im Intervall $\left(0, H\right), $ so ist $c_i = 0$. Man definiert die Richardson-Zahl $R_i$ durch

Die Frequenz

bezeichnet man als Prandtl-Frequenz. Die Bedingung

ist hinreichend für Stabiilität.

16.7.3 Barotrope Instabilität

Nehme einen westlichen Grundstrom $U>0$ an, der nur von $y$ abhängt

\[ \begin{align} U = U\left(y\right) \end{align} \]

und eine Störung

\[ \begin{align} \mathbf{v}_h' = \left(u, v\right)^T = \mathbf{k}\times\nabla\psi \end{align} \]

mit einer Stromfunktion $\psi$. Man betrachte einen zonalen Kanal der Ausdehnung $2b$ mit $b>0$, die Gerade $y = 0$ liege in der Mitte dieses Kanals. Die Randbedingungen seien $\omega = 0$ bei $p = 0$ und $p = p_0$ und $v = 0$ bei $y = \pm b$. Dann ist der Horizontalwind divergenzfrei und es kann die barotrope Vorticitygleichung angewandt werden,

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta}{\partial t} + \beta v + u\frac{\partial\zeta}{\partial x} + v\frac{\partial\zeta}{\partial y} = 0. \end{align} \]

Hierbei sei $\beta$ homogen, s. Abschn. 13.9.2. Macht man hier einen Störungsansatz nach Abschn. 16.3, so erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta'}{\partial t} + \beta v + U\frac{\partial\zeta'}{\partial x} + v\frac{\partial\newoverline{\zeta}}{\partial y} = 0. \end{align} \]

Hierbei wurde für die Vorticity geschrieben $\zeta = \newoverline{\zeta} + \zeta'$ mit $\newoverline{\zeta}$ als Vorticity von $U$ und $\zeta'$ als Vorticity von $\mathbf{v}_h'$. Setze für die Störung $\psi$

\[ \begin{align} \psi\left(x, y, t\right) = Y\left(y\right)\psi_0e^{i\left(kx - \omega t\right)} \end{align} \]

an. Mit $Y\left(\pm b\right)\hastobe0$ sind die Randbedingungen an $v$ erfüllt, man erhält außerdem

\[ \begin{align} v &= \frac{\partial\psi}{\partial x} = ik\psi,\\ \zeta' &= \Delta \psi = -k^2\psi + Y''\psi_0e^{i(kx - \omega t)},\\ \frac{\partial\zeta'}{\partial x} &= -ik^3\psi + Y''\psi_0ike^{i\left(kx - \omega t\right)}.\\ \end{align} \]

Setzt man dies in die barotrope Vorticitygleichung ein und streicht $\psi_0e^{i\left(kx - \omega t\right)}$, erhält man

\[ \begin{align} i\omega k^2Y - i\omega Y'' + \beta ikY - Uik^3Y + Y''ikU - ikY\frac{d^2U}{dy^2} &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow \omega k^2Y - \omega Y'' + \beta kY - Uk^3Y + Y''kU - kY\frac{d^2U}{dy^2} &= 0\tag{16.457}\label{eq:baro_inst_deriv_1}. \end{align} \]

Instabilität bedeutet, dass $\omega$ nicht rein reell ist,

\[ \begin{align} \omega = \omega_r + i\omega _c, \end{align} \]

mit $\omega_r, \omega_c\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Einsetzen in Glg. (16.457) liefert

\[ \begin{align} k^2Y\left(\omega_r + i\omega_c\right) - Y''\left(\omega_r + i\omega_c\right) + \beta kY - Uk^3Y + Y''kU = 0. \end{align} \]

Der Imaginärteil hiervon ist

\[ \begin{align} k^2Y\omega_c - Y''\omega_c = 0\Leftrightarrow Y'' = k^2Y. \end{align} \]

Setzt man dies in den Realteil ein, erhält man

\[ \begin{align} k^2Y\omega_r& - k^2Y\omega_r + \beta kY - Uk^3Y + Uk^3Y - kY\frac{d^2U}{dy^2} = 0\Rightarrow\frac{d^2U}{dy^2} = \beta.\tag{16.461}\label{eq:notw_baro_inst} \end{align} \]

dies ist eine notwendige Bedingung. Setzt man umgekehrt Glg. (16.461) voraus, wird Glg. (16.457) zu (man weiß hier noch nicht, ob $\omega$ reell ist)

\[ \begin{align} \omega k^2Y - \omega Y'' - Uk^3Y + Y''kU = 0.\tag{16.462}\label{eq:baro_inst_deriv_2} \end{align} \]

Geht man von einem jetförmigen Hintergrundwind

\[ \begin{align} U\left(y\right) = U_{\text{min}} + \frac{1}{2}\left(U_{\text{max}} - U_{\text{min}}\right)\left(1 + e^{i \frac{y\pi}{b}}\right) \end{align} \]

mit $U_{\text{min}}, U_{\text{max}}>0$ aus, erhält man im Imaginärteil von Glg. (16.462)

\[ \begin{align} k^3Y\frac{1}{2}\left(U_{\text{max}} - U_{\text{min}}\right)\sin\left(\frac{y\pi}{b}\right) = Y''k\frac{1}{2}\left(U_{\text{max}} - U_{\text{min}}\right)\sin\left(\frac{y\pi}{b}\right), \end{align} \]

also ist

\[ \begin{align} Y'' = k^2Y. \end{align} \]

Dass ein Zustand labil ist, heißt nicht zwangsläufig, dass er zusammenbricht. Es genügt aber eine beliebig kleine Anfangsauslenkung $v$, um eine exponentiell anwachsende Störung zu erzeugen. Man kann in der Realität von der Existenz einer solchen sehr kleinen Anfangsstörung ausgehen, sodass Instabilität in der Realität immer zum Zusammenbruch des Grundzustandes führt.

16.7.4 Barokline Instabilität

Für den Ausdruck unter der Wurzel in Glg. (16.311) wird nun eine Abkürzung

\[ \begin{align} g = g\left(\newoverline{u}_T, k\right) \coloneqq\frac{\beta^2K^4}{4k^2} + \newoverline{u}_T^2k^2\left(k^4 - K^4\right) \end{align} \]

definiert. Im Fall $g<0$ gilt

\[ \begin{align} \omega = \omega_r + i\frac{1}{k^2 + K^2}\omega_i' \end{align} \]

mit

\[ \begin{align} \omega_i' \coloneqq\pm\sqrt{\left|g\left(\newoverline{u}_T, k\right)\right|}. \end{align} \]

Dies führt dazu, dass im Fall des negativen Vorzeichens die Amplitude exponentiell anwächst, es liegt also eine Instabilität vor. Definiere

\[ \begin{align} N \coloneqq\frac{\omega_i'}{k^2 + K^2} = \frac{\sqrt{\left|g\left(\newoverline{u}_T, k\right)\right|}}{k^2 + K^2}, \end{align} \]

dies ist die Wachstumskonstante der Störung. Es gilt also im instabilen Fall

\[ \begin{align} N^2 + \frac{g}{\left(k^2 + K^2\right)} &= N^2 + \frac{\frac{\beta^2K^4}{4k^2} + \newoverline{u}_T^2k^2\left(k^4 - K^4\right)}{\left(k^2 + K^2\right)^2} = 0. \end{align} \]

An dieser Stelle definiert man eine dimensionslose Kreiswellenzahl

\[ \begin{align} \kappa \coloneqq\frac{k}{K}, \end{align} \]

damit folgt

\[ \begin{align} N^2 + \frac{\frac{\beta^2}{4k^2} + \newoverline{u}_T^2k^2\left(\kappa^2 + 1\right)\left(\kappa^2 - 1\right)}{\left(\kappa^2 + 1\right)^2} &= N^2 + \frac{\beta^2}{4k^2\left(\kappa^2 + 1\right)^2} + \newoverline{u}_T^2k^2\frac{\kappa^2 - 1}{\kappa^2 + 1} = 0\nonumber\\ \Rightarrow N^2 + \frac{\beta^2}{4k^2\left(\kappa^2 + 1\right)^2} + \frac{\beta^2}{K^2}\newoverline{u}^{\star2}_T\kappa^2\frac{\kappa^2 - 1}{\kappa^2 + 1} &= 0 \end{align} \]

mit einem dimensionslosen thermischen Wind

\[ \begin{align} \newoverline{u}_T^\star \coloneqq\frac{\newoverline{u}_TK^2}{\beta}. \end{align} \]

Hieraus folgt weiter

\[ \begin{align} \frac{N^2K^2}{\kappa^2\beta^2} + \frac{1}{4\kappa^4\left(\kappa^2 + 1\right)^2} + \newoverline{u}^{\star2}_T\frac{\kappa^2 - 1}{\kappa^2 + 1} &= 0 \end{align} \]

Mit der dimensionslosen Wachstumsrate

\[ \begin{align} n \coloneqq\frac{NK}{\kappa\beta} \end{align} \]

kann man dies als

\[ \begin{align} n^2 + \frac{1}{4\kappa^4\left(\kappa^2 + 1\right)^2} + \newoverline{u}^{\star2}_T\frac{\kappa^2 - 1}{\kappa^2 + 1} &= 0 \end{align} \]

notieren. Stellt man dies nach $\newoverline{u}^{\star2}_T$ um, folgt

\[ \begin{align} \newoverline{u}^{\star2}_T = n^2\frac{1 + \kappa^2}{1 - \kappa^2} + \frac{1}{4\kappa^4\left(1 - \kappa^4\right)}. \end{align} \]

Abb. 16.7 zeigt die für unterschiedliche Wellenzahlen und Wachstumsraten notwendigen thermischen Windscherungen. Aus den Definitionen von $\kappa$ und $\newoverline{u}^\star_T$ wird klar, dass man sich bei abnehmender thermischer Stabilität in dieser Darstellung nach links oben bewegt, also in Richtung barokliner Labilität.

Bei der baroklinen Instabilität wird potentielle Energie der Schichtung, welche durch das Strahlungsfeld immer wieder neu erzeugt wird, in kinetische Energie des Horizontalwindes umgewandelt, bevor sie dissipiert wird.