Für den Gesamtimpuls $\mathbf{P}$ der Atmosphäre gilt
\[ \begin{align} \mathbf{P} = \int_A\rho\mathbf{v}d^3r. \end{align} \]
Für die Zeitableitung dieser Größe sind laut dem Zweiten Newton'schen Axiom nur die externen Kräfte zu berücksichtigen:
\[ \begin{align} \frac{d\mathbf{P}}{dt} = \int_A\rho\mathbf{f}_{\text{ext}}d^3r. \end{align} \]
$\mathbf{P}$ ist also nie erhalten, da mindestens durch die Oberfläche und die Schwere immer externe Kräfte wirken.
Für den Gesamtdrehimpuls $\mathbf{L}$ der Atmosphäre gilt
\[ \begin{align} \mathbf{L} = \int_A\mathbf{r} \times \rho\mathbf{v}d^3r \Rightarrow \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \int_A\mathbf{r} \times \rho\mathbf{f}_{\text{ext}}d^3r. \end{align} \]
Der Drehimpuls ist also genau dann erhalten, wenn alle externen Kräfte auf der radialen Achse wirken, also nur in ruhenden Koordinaten über einem Planten mit radialsymmetrischer Massenverteilung im Inneren.
Für die Gesamtentropie $S$ einer Atmosphäre gilt bis auf eine Konstante
\[ \begin{align} S = \int_A\newtilde{s}d^3r \end{align} \]
mit $\newtilde{s}$ wie in Glg. (9.33) definiert. Die prognostische Gleichung dieser Größe ist Glg. (9.34):
\[ \begin{align} \frac{\partial\newtilde{s}}{\partial t} + \nabla\cdot\left(\newtilde{s}\mathbf{v}\right) &= c^{(V)}\frac{\rho}{T}q_T \end{align} \]
Globale Integration liefert
\[ \begin{align} \frac{dS}{dt} = \int_Ac^{(V)}\frac{\rho}{T}q_Td^3r.\tag{14.6}\label{eq:entropy_balance_global_pre} \end{align} \]
Dieses Integral nichtnegativ, da der Wärmefluss positiv in kälteren und negativ in wärmeren Gebieten ist. Somit gilt
\[ \begin{align} \frac{dS}{dt} & \geq 0. \end{align} \]
In einer idealen adiabatischen einphasigen Atmosphäre laufen die Prozesse also reversibel ab.
Die prognostische Gleichung der spezifischen kinetischen Energie $k = \frac{1}{2}\mathbf{v}^2$ erhält man durch Multiplikation der Impulsgleichung in der Form Glg. (8.101) von links mit $\mathbf{v}\cdot $:
\[ \begin{align} \md{k} = \frac{\partial k}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla k = -\frac{1}{\rho}\mathbf{v}\cdot\nabla p - wg + \mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_R.\tag{14.8}\label{eq:e_kin_prog} \end{align} \]
Multipliziert man diese Gleichung mit $\rho$ und addiert das Produkt der Kontinuitätsgleichung mit $k$ dazu, erhält man
\[ \begin{align} \md{K} = \frac{\partial K}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla K = -\mathbf{v}\cdot\nabla p - \rho wg - K\nabla\cdot\mathbf{v} + \rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_R\tag{14.9}\label{eq:kin_energy_density_flux_form} \end{align} \]
als prognostische Gleichung für die kinetische Energiedichte $K = \frac{1}{2}\rho\mathbf{v}^2$. Als prognostische Gleichung für die spezifische geopotentielle Energie $\phi$ erhält man
\[ \begin{align} \md{\phi} = \mathbf{v}\cdot\nabla\phi = wg. \end{align} \]
Multipliziert man diese Gleichung mit $\rho$ und addiert das Produkt der Kontinuitätsgleichung mit $\phi$ dazu, erhält man
\[ \begin{align} \md{P} = \frac{\partial P}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla P = \rho wg - P\nabla\cdot\mathbf{v}\tag{14.11}\label{eq:pot_energy_density_flux_form} \end{align} \]
als prognostische Gleichung für die geopotentielle Energiedichte $P = \rho\phi$. Als prognostische Gleichung für die spezifische innere Energie $i = c^{(V)}T$ erhält man
\[ \begin{align} \md{i} = \frac{\partial i}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla i = -p\md{\alpha} + \epsilon = -p\alpha\nabla\cdot\mathbf{v} + \epsilon. \end{align} \]
Multipliziert man diese Gleichung mit $\rho$ und addiert das Produkt der Kontinuitätsgleichung mit $i$ dazu, erhält man
\[ \begin{align} \md{\newtilde{I}} = \frac{\partial\newtilde{I}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\newtilde{I} = -\left(p + \newtilde{I}\right)\nabla\cdot\mathbf{v} + \rho\epsilon\tag{14.13}\label{eq:internal_energy_prognostic} \end{align} \]
als prognostische Gleichung für die innere Energiedichte $\newtilde{I} \coloneqq \rho i$. Die Energiedichte $e$ ist die Summe aus kinetischer, potentieller und innerer Energie pro Volumen,
\[ \begin{align} e = K + P + \newtilde{I}. \end{align} \]
Die totale Ableitung hiervon ergibt sich durch Summation der gerade hergeleiteten Glg.en (14.9) - (14.13):
\[ \begin{align} \md{K} = \frac{\partial K}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla K &= \frac{\partial K}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla K = -\mathbf{v}\cdot\nabla p \textcolor{blue}{-\rho wg} - K\nabla\cdot\mathbf{v} + \rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_R\nonumber\\ + \md{P} = \frac{\partial P}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla P &= \frac{\partial P}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla P = \textcolor{blue}{\rho wg} - P\nabla\cdot\mathbf{v}\nonumber\\ + \md{\newtilde{I}} = \frac{\partial\newtilde{I}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\newtilde{I} &= \frac{\partial\newtilde{I}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\newtilde{I} = -p\nabla\cdot\mathbf{v} - \newtilde{I}\nabla\cdot\mathbf{v} + \epsilon\nonumber\\ \cline{1-2} \frac{\partial}{\partial t}\left(K + P + \newtilde{I}\right) + \mathbf{v}\cdot\nabla\left(K + P + \newtilde{I}\right) &= -\left(K + P + \newtilde{I}\right)\nabla\cdot\mathbf{v} - \mathbf{v}\cdot\nabla p - p\nabla\cdot\mathbf{v} + \rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_R + \epsilon \end{align} \]
Die blau markierten Terme sind die Schwereterme, diese heben sich gegenseitig auf: wenn die Schwere kinetische Energie produziert, geht dies auf Kosten der potentiellen Energie. Somit erhält man
\[ \begin{align} \frac{\partial e}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla e &= -e\nabla\cdot\mathbf{v} - \nabla\cdot\left(p\mathbf{v}\right) + \rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_R + \epsilon.\tag{14.16}\label{eq:bernoulli_pre} \end{align} \]
Damit folgt
\[ \begin{align} \frac{\partial e}{\partial t} &= -\nabla\cdot\left(p\mathbf{v}\right) - \nabla\cdot\left(e\mathbf{v}\right) \Leftrightarrow\frac{\partial e}{\partial t} + \nabla\cdot\left(e\mathbf{v}\right) = -\nabla\cdot\left(p\mathbf{v}\right) + \rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_R + \epsilon.\tag{14.17}\label{eq:poynting_met} \end{align} \]
Dies bezeichnet man auch als das Poynting-Theorem der Meteorologie in Analogie zum Poynting-Theorem der ED Glg. (3.47). Als Spezialfall von Glg. (14.16) erhält man für stationäre Strömungen inkompressibler idealer Medien wegen
\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{v} &= 0,\\ \md{p} &= \mathbf{v}\cdot\nabla p \end{align} \]
die Gleichung
\[ \begin{align} \md{}\left(K + P + p\right) = 0, \end{align} \]
was man als Bernoulli-Gleichung bezeichnet. Weitere Formen dieser Aussage sind
\[ \begin{align} \frac{1}{2}\rho\mathbf{v}^2 + \rho gz + p &= \text{const. entlang Stromlinien},\\ \frac{1}{2}\mathbf{v}² + gz + \frac{p}{\rho} &= \text{const. entlang Stromlinien}. \end{align} \]
Die Gesamtenergie $E$ der Atmosphäre $A$ ist
\[ \begin{align} E = \int_{A}^{}ed^3r. \end{align} \]
Nimmt man $A$ als konstant an, gilt mit dem Gauß'schen Satz
\[ \begin{align} \frac{dE}{dt} = \int_{A}^{}\frac{\partial e}{\partial t}d^3r = \int_{A}^{} - \nabla\cdot\left[\left(e + p\right)\mathbf{v}\right] + \rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_R + \epsilon d^3r. \end{align} \]
Aufgrund von Glg. (8.96) gilt
\[ \begin{align} \int_{A}\rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_R + \epsilon d^3r = 0. \end{align} \]
Somit folgt
\[ \begin{align} \frac{dE}{dt} = -\int_{O}^{}\left(e + p\right)\mathbf{v}\cdot d\mathbf{n} - \int_{v}^{}\left(e + p\right)\mathbf{v}\cdot d\mathbf{n}, \end{align} \]
hierbei sind $O$ der Oberrand der Atmosphäre und $U$ die Erdoberfläche. Mit der kinematischen Randbedingung gilt also
\[ \begin{align} E &= \text{const}. \end{align} \]
Für die Zeitableitung der inneren Energie einer einphasigen Atmosphäre gilt mit Glg. (14.13)
\[ \begin{align} \frac{d}{dt}\int_A\newtilde{I}d^3r = \frac{d}{dt}\int_A-p\nabla\cdot\mathbf{v} - \rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_Rd^3r = \int_A\mathbf{v}\cdot\nabla p - \rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_Rd^3r. \end{align} \]
Die Bilanz der Enthalpie erhält man durch Multiplikation dieser Gleichung mit dem Adiabatenexponenten $\kappa = \frac{c^{(p)}}{c^{(V)}}$. Analog erhält man für die kinetische bzw. potentielle Energie
\[ \begin{align} \frac{d}{dt}\int_AKd^3r & \stackrel{\href{#eq:kin_energy_density_flux_form}{\text{Glg. (14.9)}}}{=} \int_A-\mathbf{v}\cdot\nabla p - \rho wg + \rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_Rd^3r,\\ \frac{d}{dt}\int_APd^3r & \stackrel{\href{#eq:pot_energy_density_flux_form}{\text{Glg. (14.11)}}}{=} \int_A\rho wgd^3r. \end{align} \]
Somit folgt
\[ \begin{align} \frac{d}{dt}\int_A\newtilde{I} + Pd^3r &= D - C,\\ \frac{d}{dt}\int_A K d^3r &= C - D \end{align} \]
mit der adiabatischen Konversion
\[ \begin{align} C &\coloneqq \int_A-\mathbf{v}\cdot\nabla p - \rho wgd^3r \end{align} \]
und der Dissipation
\[ \begin{align} D &\coloneqq \int_A - \rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_Rd^3r \stackrel{\href{ch-07-impulsgleichung.html#eq:friction_work_sign}{\text{Glg. (8.87)}}}{\geq} 0. \end{align} \]
Die adiabatische Konversion steht für die Umwandlung von potentieller und innerer Energie in kinetische Energie. Dies geschieht, indem der Druckgradient und die Schwere Arbeit leisten. In der Impulsgleichung kann man daher die Zuordnung
\[ \begin{align} \underbrace{\overbrace{\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}}^{\text{lokalzeitl. Änderung}} = \overbrace{-\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} - \mathbf{f}\times\mathbf{v}}^{\text{Advektion}} \overbrace{- \frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{g}}^{\text{adiabatische Konversion}}}_{\text{reversibel}} + \underbrace{\overbrace{\mathbf{f}_R}^{\text{Dissipation}}}_{\text{irreversibel}} \end{align} \]
bzw.
\[ \begin{align} \underbrace{\overbrace{\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}}^{\text{lokalzeitl. Änderung}} = \overbrace{\mathbf{v}\times\etabi - \nabla k}^{\text{Advektion}} \overbrace{- \frac{1}{\rho}\nabla p - \nabla\phi}^{\text{adiabatische Konversion}}}_{\text{reversibel}} + \underbrace{\overbrace{\mathbf{f}_R}^{\text{Dissipation}}}_{\text{irreversibel}} \end{align} \]
vornehmen.
Die kinetische Energie $\KE$ einer Luftsäule in einer hydrostatischen Atmosphäre ist durch
\[ \begin{align} \KE = \int_0^{\infty}\frac{1}{2}\rho\mathbf{v}_h^2dz = \int_{p\left(0\right)}^{p\left(\infty\right)}\frac{1}{2}\rho\mathbf{v}_h^2\frac{\partial z}{\partial\rho}dp \stackrel{\partial z/\partial\rho = -1/\left(g\rho\right)}{=} -\frac{1}{g}\int_{p_S}^0\frac{1}{2}\mathbf{v}_h^2dp = \frac{1}{g}\int_0^{p_S}\frac{1}{2}\mathbf{v}_h^2dp \end{align} \]
gegeben, hierbei ist $p_S$ der Druck an der Erdoberfläche. Analog gilt für die innere Energie
\[ \begin{align} \IE = \int_0^\infty\rho c^{(V)}Tdz = \frac{1}{g}\int_{0}^{p_S}c^{(V)}Tdp. \end{align} \]
Für die potentielle Energie $\PE$ erhält man mit partieller Integration
\[ \begin{align} \PE &= \int_0^\infty\rho gzdz = \int_0^{p_S}z\left(p\right)dp = \int_0^{p_S}1\cdot z\left(p\right)dp = \left[pz\left(p\right)\right]_0^{p_S} - \int_0^{p_S}p\frac{\partial z}{\partial p}dp\nonumber\\ &= p_Sz_S + \frac{1}{g}\int_0^{p_S}\frac{p}{\rho}dp = p_Sz_S + \frac{1}{g}\int_0^{p_S}R_dTdp \end{align} \]
mit $z_S$ als Orographie. Man definiert die totale potentielle Energie $\TPE$ durch
\[ \begin{align} \TPE &\coloneqq \PE + \IE. \end{align} \]
Häufig wird diese Energieform auch einfach als „ potentielle Energie“ bezeichnet. Es gilt
\[ \begin{align} \TPE &= p_Sz_S + g^{-1}\int_0^{p_S}\left(c^{(V)} + R_d\right)Tdp = p_Sz_S + g^{-1}\int_0^{p_S}hdp\nonumber\\ &= p_Sz_S + \frac{c^{(p)}}{g}\int_0^{p_S}\theta\left(\frac{p}{p_0}\right)^{R_d/c^{(p)}}dp\tag{14.41}\label{eq:tpe_id_1} \end{align} \]
mit $h = c^{(p)}T$ als Enthalpie. Man schätzt ab
\[ \begin{align} \frac{\KE}{\IE} \sim \frac{\newoverline{v}_h^2}{2c^{(V)}\newoverline{T}} \sim 0, 03\text{ \%}. \end{align} \]
Es ist also viel mehr innere als kinetische Energie in der Atmosphäre vorhanden.
Da man das Schwerepotential auch um eine beliebige Konstante verschieben könnte, führt man das Konzept der verfügbaren potentiellen Energie $\APE$ ein. Hierfür transformiert man zunächst Glg. (14.41) ins $\theta-$System:
\[ \begin{align} \TPE = p_Sz_S + \frac{c^{(p)}}{gp_0^{R_d/c^{(p)}}}\int_\infty^{\theta_S}\theta p\left(\theta\right)^{R_d/c^{(p)}}\frac{\partial p}{\partial\theta}d\theta \end{align} \]
Mittels partieller Integration erhält man
\[ \begin{align} \int_\infty^{\theta_S}\theta p\left(\theta\right)^{R_d/c^{(p)}}\frac{\partial p}{\partial\theta}d\theta &= \left[\theta p^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}\right]_\infty^{\theta_S} - \int_\infty^{\theta_S}p\left(\theta\right)\frac{d}{d\theta}\left(\theta p\left(\theta\right)^{R_d/c^{(p)}}\right)d\theta\nonumber\\ \Rightarrow\int_\infty^{\theta_S}\theta p\left(\theta\right)^{R_d/c^{(p)}}\frac{\partial p}{\partial\theta}d\theta &= \theta_Sp_S^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}} - \int_\infty^{\theta_S}p\left(\theta\right)\left(p\left(\theta\right)^{R_d/c^{(p)}} + \theta\frac{R_d}{c^{(p)}}\frac{\partial p}{\partial\theta}p\left(\theta\right)^{R_d/c^{(p)} - 1}\right)d\theta\nonumber\\ \Rightarrow\int_\infty^{\theta_S}\theta p\left(\theta\right)^{R_d/c^{(p)}}\frac{\partial p}{\partial\theta}d\theta &= \theta_Sp_S^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}} - \int_\infty^{\theta_S}p\left(\theta\right)^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}} + \frac{R_d}{c^{(p)}}\theta p\left(\theta\right)^{R_d/c^{(p)}}\frac{\partial p}{\partial\theta}d\theta\nonumber \end{align} \] \[ \begin{align} \Rightarrow\frac{c^{(p)} + R_d}{c^{(p)}}\int_\infty^{\theta_S}\theta p\left(\theta\right)^{R_d/c^{(p)}}\frac{\partial p}{\partial\theta}d\theta &= \theta_Sp_S^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}} - \int_\infty^{\theta_S}p\left(\theta\right)^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}d\theta\nonumber\\ \Rightarrow\int_\infty^{\theta_S}\theta p\left(\theta\right)^{R_d/c^{(p)}}\frac{\partial p}{\partial\theta}d\theta &= \frac{c^{(p)}}{c^{(p)} + R_d}\theta_Sp_S^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}} + \frac{c^{(p)}}{c^{(p)} + R_d}\int_{\theta_S}^\infty p\left(\theta\right)^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}d\theta\nonumber\\ \Rightarrow\TPE &= p_Sz_S + \frac{c^{(p)2}\theta_Sp_S^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}}{gp_0^{R_d/c^{(p)}}\left(c^{(p)} + R_d\right)} + \frac{c^{(p)2}}{gp_0^{R_d/c^{(p)}}\left(c^{(p)} + R_d\right)}\int_{\theta_S}^\infty p\left(\theta\right)^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}d\theta. \end{align} \]
Um die totale potentielle Energie zu erhalten, die in einer Atmosphäre über einer Fläche $A$ enthalten ist, rechnet man
\[ \begin{align} \int_A\TPE dA &= \int_Ap_Sz_SdA + \frac{c^{(p)2}}{gp_0^{R_d/c^{(p)}}\left(c^{(p)} + R_d\right)}\int_A\theta_Sp_S^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}dA + \frac{c^{(p)2}}{gp_0^{R_d/c^{(p)}}\left(c^{(p)} + R_d\right)}\int_A\int_{\theta_S}^\infty p\left(\theta\right)^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}d\theta dA\nonumber\\ &= A\newoverline{p_Sz_S} + \frac{Ac^{(p)2}}{gp_0^{R_d/c^{(p)}}\left(c^{(p)} + R_d\right)}\newoverline{\theta_Sp_S^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}} + \frac{c^{(p)2}}{gp_0^{R_d/c^{(p)}}\left(c^{(p)} + R_d\right)}\newoverline{\int_{\theta_S}^\infty p\left(\theta\right)^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}d\theta}\nonumber\\ &\approx A\newoverline{p_Sz_S} + \frac{Ac^{(p)2}}{gp_0^{R_d/c^{(p)}}\left(c^{(p)} + R_d\right)}\newoverline{\theta_Sp_S^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}} + \frac{Ac^{(p)2}}{gp_0^{R_d/c^{(p)}}\left(c^{(p)} + R_d\right)}\int_{\newoverline{\theta_S}}^\infty\newoverline{p\left(\theta\right)^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}}d\theta.\tag{14.45}\label{eq:ape_deriv_1} \end{align} \]
Nach Glg. (14.41) ist
\[ \begin{align} \int_A\TPE + \KE dA \end{align} \]
konservativ, wenn kein Massenfluss über die lateralen Ränder von $A$ erfolgt. Die $\APE$ ist der Anteil der $\TPE$, die in kinetische Energie umgewandelt werden könnte, also
\[ \begin{align} \APE \coloneqq \int_A\TPE - \TPE_{\text{min}}dA, \end{align} \]
wobei das Minimum der potentiellen Energie aller hydrostatischen Zustände gemeint ist, die aus dem Anfangszustand durch adiabatische Umsortierung erreicht werden können, ohne überadiabatische Gradienten zu produzieren. Hierbei bewegen sich die Teilchen entlang der Isentropen und nach einer solchen Umordnung sind alle Zustandsgrößen nur noch von der Vertikalkoordinate abhängig, da sonst Druckgradienten existieren würden, die genau darauf hinarbeiten würden (die Coriolis-Kraft leistet keine Arbeit, hat somit keine energetische Relevanz und muss daher für diese Betrachtung nicht berücksichtigt werden). Bezeichnet man die Felder des Zustands minimaler potentieller Energie durch gestrichene Größen, kann man notieren
\[ \begin{align} \int_A\TPE_\text{min}dA &\approx A\newoverline{p'\left(z_S\right)z_S} + \frac{Ac^{(p)2}}{gp_0^{R_d/c^{(p)}}\left(c^{(p)} + R_d\right)}\newoverline{\theta'\left(z_S\right)p'\left(z_S\right)^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}} + \frac{Ac^{(p)2}}{gp_0^{R_d/c^{(p)}}\left(c^{(p)} + R_d\right)}\int_{\newoverline{\theta_S}}^\infty\newoverline{p'\left(\theta\right)^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}}d\theta.\tag{14.48}\label{eq:ape_deriv_2} \end{align} \]
Die ersten beiden Terme auf den rechten Seiten der Glg.en (14.45) und (14.48) beziehen sich ausschließlich auf die Oberfläche, ihre Differenz wird mit $C$ abgekürzt. Damit erhält man
\[ \begin{align} \APE \approx C + \frac{Ac^{(p)2}}{gp_0^{R_d/c^{(p)}}\left(c^{(p)} + R_d\right)}\int_{\newoverline{\theta_S}}^\infty\newoverline{p\left(\theta\right)^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}} - \newoverline{p'\left(\theta\right)^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}}d\theta. \end{align} \]
Die Masse $M$ über der Isentrope $\theta$ ist konservativ, daher gilt
\[ \begin{align} \newoverline{p'\left(\theta\right)} = p'\left(\theta\right) = \newoverline{p\left(\theta\right)} \Rightarrow \newoverline{p'\left(\theta\right)^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}} = \newoverline{p\left(\theta\right)}^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}, \end{align} \]
woraus folgt
\[ \begin{align} \APE &\approx C + \frac{Ac^{(p)2}}{gp_0^{R_d/c^{(p)}}\left(c^{(p)} + R_d\right)}\int_{\newoverline{\theta_S}}^\infty\newoverline{p\left(\theta\right)^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}} - \newoverline{p\left(\theta\right)}^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}d\theta\nonumber\\ &= C + \frac{Ac^{(p)}}{gp_0^{R_d/c^{(p)}}\left(1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}\right)}\int_{\newoverline{\theta_S}}^\infty\newoverline{p\left(\theta\right)^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}} - \newoverline{p\left(\theta\right)}^{1 + \frac{R_d}{c^{(p)}}}d\theta\nonumber\\ &= C + \frac{A}{\Gamma_dp_0^{\chi}\left(1 + \chi\right)}\int_{\newoverline{\theta_S}}^\infty\newoverline{p\left(\theta\right)^{1 + \chi}} - \newoverline{p\left(\theta\right)}^{1 + \chi}d\theta \end{align} \]
mit dem trockenadiabatischen Temperaturgradienten $\Gamma_d = g/c^{(p)}$ und der Abkürzung $\chi \coloneqq \frac{R_d}{c^{(p)}}$. Man notiert $p = \newoverline{p} + p'$, damit gilt die Taylor-Entwicklung
\[ \begin{align} p^{1 + \chi} = \newoverline{p}^{1 + \chi} + \left(1 + \chi\right)\newoverline{p}^{\chi}p' + \frac{1}{2}\chi\left(1 + \chi\right)\newoverline{p}^{\chi-1}p'^2 + \dotsc \end{align} \]
Hieraus folgt
\[ \begin{align} p^{1 + \chi} - \newoverline{p}^{1 + \chi} &= \left(1 + \chi\right)\newoverline{p}^{\chi}p' + \frac{1}{2}\chi\left(1 + \chi\right)\newoverline{p}^{\chi-1}p'^2 + \dotsc\nonumber\\ \Leftrightarrow \newoverline{p^{1 + \chi}} - \newoverline{p}^{1 + \chi} &= \left(1 + \chi\right)\newoverline{p}^{\chi}\newoverline{p'} + \frac{1}{2}\chi\left(1 + \chi\right)\newoverline{p}^{\chi - 1}\newoverline{p'^2} + \dotsc\nonumber\\ \Leftrightarrow \newoverline{p^{1 + \chi}} - \newoverline{p}^{1 + \chi} &= \frac{1}{2}\chi\left(1 + \chi\right)\newoverline{p}^{\chi - 1}\newoverline{p'^2} + \dotsc \end{align} \]
Man erhält somit
\[ \begin{align} \APE & \approx C + \frac{A\chi}{2\Gamma_dp_0^{\chi}}\int_{\newoverline{\theta_S}}^\infty\newoverline{p}^{1 + \chi}\newoverline{\left(\frac{p'}{\newoverline{p}}\right)^2}d\theta. \end{align} \]
Nun wird dies wieder ins p-System rücktransformiert. Hierzu verwendet man
\[ \begin{align} p = p\left(\theta\left(p\right)\right) & \approx \newoverline{p}\left(\theta\left(p\right)\right) \Rightarrow p' \approx \theta'\frac{\partial\newoverline{p}}{\partial\theta}. \end{align} \]
Somit erhält man
\[ \begin{align} \APE & \approx C + \frac{A\chi}{2\Gamma_dp_0^{\chi}}\int_{\newoverline{\theta_S}}^\infty\newoverline{p}^{\chi - 1}\newoverline{\left(\theta'\frac{\partial\newoverline{p}}{\partial\theta}\right)^2}d\theta = C + \frac{A\chi}{2\Gamma_dp_0^{\chi}}\int_{\newoverline{\theta_S}}^\infty\newoverline{p}^{\chi - 1}\newoverline{\theta'^2}\left(\frac{\partial\newoverline{p}}{\partial\theta}\right)^2dp\nonumber\\ &= C + \frac{A\chi}{2\Gamma_dp_0^{\chi}}\int_{\newoverline{p}\left(\newoverline{\theta_S}\right)}^{\newoverline{p}\left(\newoverline{\infty}\right)}\newoverline{p}^{\chi - 1}\newoverline{\theta'^2}\left(\frac{\partial\newoverline{p}}{\partial\theta}\right)^2\frac{\partial\theta}{\partial\newoverline{p}}dp = C + \frac{A\chi}{2\Gamma_dp_0^{\chi}}\int_{\newoverline{p_S}}^0\newoverline{p}^{\chi - 1}\newoverline{\theta}^2\frac{\newoverline{\theta'^2}}{\newoverline{\theta}^2}\left(\frac{\partial\newoverline{p}}{\partial\theta}\right)^2\frac{\partial\theta}{\partial\newoverline{p}}dp\nonumber\\ &= C + \frac{A\chi}{2\Gamma_dp_0^{\chi}}\int_{\newoverline{p_S}}^0\newoverline{p}^{\chi - 1}\newoverline{\theta}^2\frac{\newoverline{\theta'^2}}{\newoverline{\theta}^2}\frac{\partial\newoverline{p}}{\partial\theta}dp \approx C + \frac{A\chi}{2\Gamma_dp_0^{\chi}}\int_{\newoverline{p_S}}^0\newoverline{p}^{\chi - 1}\newoverline{\theta}^2\newoverline{\left(\frac{\theta'}{\newoverline{\theta}}\right)^2}\left(\frac{\partial\newoverline{\theta}}{\partial p}\right)^{-1}dp\nonumber \end{align} \] \[ \begin{align} &= C + \frac{A\chi}{2\Gamma_dp_0^{\chi}}\int_{\newoverline{p_S}}^0\newoverline{p}^{\chi}\frac{1}{\newoverline{p}}\newoverline{\theta}^2\newoverline{\left(\frac{\theta'}{\newoverline{\theta}}\right)^2}\left(\frac{\partial\newoverline{\theta}}{\partial p}\right)^{-1}dp = C + \frac{A\chi}{2\Gamma_d}\int_{\newoverline{p_S}}^0\left(\frac{\newoverline{p}}{p_0}\right)^{\chi}\frac{1}{\newoverline{p}}\newoverline{\theta}^2\newoverline{\left(\frac{\theta'}{\newoverline{\theta}}\right)^2}\left(\frac{\partial\newoverline{\theta}}{\partial p}\right)^{-1}dp\nonumber\\ &\approx C + \frac{A\chi}{2\Gamma_d}\int_{\newoverline{p_S}}^0\frac{\newoverline{T}}{\newoverline{\theta}}\frac{1}{\newoverline{p}}\newoverline{\theta}^2\newoverline{\left(\frac{\theta'}{\newoverline{\theta}}\right)^2}\left(\frac{\partial\newoverline{\theta}}{\partial p}\right)^{-1}dp = C + \frac{A\chi}{2\Gamma_d}\int_{\newoverline{p_S}}^0\frac{\newoverline{T}}{\newoverline{p}}\newoverline{\theta}\newoverline{\left(\frac{\theta'}{\newoverline{\theta}}\right)^2}\left(\frac{\partial\newoverline{\theta}}{\partial p}\right)^{-1}dp. \end{align} \]
Mit
\[ \begin{align} \theta' = \frac{\partial\theta}{\partial T}T' = \frac{\theta}{T}T' \approx \frac{\newoverline{\theta}}{\newoverline{T}}T' \end{align} \]
kann man dies weiter umformen zu
\[ \begin{align} \APE &\approx C + \frac{A\chi}{2\Gamma_d}\int_{\newoverline{p_S}}^0\frac{1}{\newoverline{p}}\newoverline{\theta}\newoverline{T}\newoverline{\left(\frac{T'}{\newoverline{T}}\right)^2}\left(\frac{\partial\newoverline{\theta}}{\partial p}\right)^{-1}dp\nonumber\\ &= C + \frac{A}{2}\int_{\newoverline{p_S}}^0\frac{\chi\newoverline{\theta}}{\Gamma_d\newoverline{p}}\left(\frac{\partial\newoverline{\theta}}{\partial p}\right)^{-1}\newoverline{T}\newoverline{\left(\frac{T'}{\newoverline{T}}\right)^2}dp = C - \frac{A}{2}\int_0^{\newoverline{p_S}}\frac{\chi\newoverline{\theta}}{\Gamma_d\newoverline{p}}\left(\frac{\partial\newoverline{\theta}}{\partial p}\right)^{-1}\newoverline{T}\newoverline{\left(\frac{T'}{\newoverline{T}}\right)^2}dp. \end{align} \]
Nach Glg. (9.48) gilt
\[ \begin{align} \frac{\Gamma_d\newoverline{p}}{\chi\newoverline{\theta}}\frac{\partial\newoverline{\theta}}{\partial p} \approx \newoverline{\frac{\Gamma_dp}{\chi\theta}\frac{\partial\theta}{\partial p}} = -\left(\Gamma_d - \newoverline{\Gamma}\right), \end{align} \]
hieraus folgt
\[ \begin{align} \APE \approx C + \frac{A}{2}\int_0^{\newoverline{p_S}}\frac{\newoverline{T}}{\Gamma_d - \newoverline{\Gamma}}\newoverline{\left(\frac{T'}{\newoverline{T}}\right)^2}dp. \end{align} \]
Nimmt man einen klimatologischen Wert $\newoverline{\Gamma} \approx \frac{2}{3}\Gamma_d$ und vernachlässigt $C$, um eine Abschätzung vorzunehmen, folgt
\[ \begin{align} \APE \approx \frac{3Ac^{(p)}}{2g}\int_{\newoverline{p_S}}^0\newoverline{T}\newoverline{\left(\frac{T'}{\newoverline{T}}\right)^2}dp. \end{align} \]
Für $A$ wählt man die gesamte Erdoberfläche und setzt $T' \sim 15$ K, $\newoverline{T} \sim 270$ K an, dann folgen
\[ \begin{align} \frac{\APE/A}{\KE} &\sim \frac{3\newoverline{T'^2}c^{(p)}}{\newoverline{T}\mathbf{v}_h^2} \sim 25. \end{align} \]
Es bleibt in diesem Abschnitt eine offene Frage, warum der größte Anteil der verfügbaren potentiellen Energie nicht in kinetische Energie umgewandelt wird.