Richtungsableitungen sind Ableitungen einer Funktion von mehreren Variablen entlang einer bestimmten Richtung, wobei sich die partiellen Ableitungen als Spezialfälle dieser ergeben, bei denen in Richtung einer der Koordinatenachsen abgeleitet wird.
Seien $n, m\in\mathbb{N}$ mit $n, m\geq 1$ und $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ differenzierbar. Dann ist die Ableitung eine Funktion $f':\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{m\times n}$ und es gilt
\[ \begin{align} \left(f'\right)_{i, j} = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right). \end{align} \]
Die Matrix $f'$ heißt die Jacobi-Matrix von $f$. Insbesondere ergibt sich die Definition des Gradienten einer differenzierbaren skalaren Funktion $g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ als Transponierte der Ableitung:
\[ \begin{align} \grad\left(g\right) \coloneqq \left(g'\right)^T = \left(\frac{\partial g}{\partial x_i}\right) \end{align} \]
Definiere den Nablaoperator $\nabla$ durch
\[ \begin{align} \nabla \coloneqq \sum_{i = 1}^{3}\mathbf{e}_i\frac{\partial}{\partial x_i}. \end{align} \]
Seien $n, m\in\mathbb{N}$ mit $n, m\geq 1$ und eine differenzierbare Funktion $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ gegeben und sei eine differenzierbare Kurve $r:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$ gegeben. Man definiert eine Funktion $\tau:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^m$ durch $\tau\left(t\right) \coloneqq T\left(r\left(t\right)\right)$. Für die Ableitung $\frac{d\tau}{dt} = \frac{d}{dt}T\left(r\left(t\right)\right)$ gilt
\[ \begin{align} \frac{d\tau}{dt} = T'\frac{dr}{dt}\tag{B.4}\label{eq:mehr_dim_kette}. \end{align} \]
Dies entspricht wieder dem Spruch äußere Ableitung mal innere Ableitung. Nimmt man z. B. an, dass $T = T\left(x, y, z, t\right)$ das Temperaturfeld und $\mathbf{r}\left(t\right) = \left(x(t), y(t), z(t), t\right)^T$ eine 4-Teilchentrajektorie ist, so ist $T(t) = T\left(\mathbf{r}\left(t\right)\right) = T\left(x(t), y(t), z(t), t\right)$ die Temperatur am Ort des Teilchens zur Zeit $t$. Mit der mehrdimensionalen Kettenregel gilt
\[ \begin{align} \frac{dT}{dt} = \frac{\partial T}{\partial t} + \frac{dx}{dt}\frac{\partial T}{\partial x} + \frac{dy}{dt}\frac{\partial T}{\partial y} + \frac{dz}{dt}\frac{\partial T}{\partial z}. \end{align} \]
Dies bezeichnet man als die materielle Ableitung oder totale Ableitung, weil hier die Eigenschaft eines festen Teilchens betrachtet wird. Man definiert einen Differenzialoperator
\[ \begin{align} \md{} \coloneqq \frac{\partial}{\partial t} + u\frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y} + w\frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla\tag{B.6}\label{eq:mat_derivative_op} \end{align} \]
mit den Komponenten $\left(u, v, w\right)$ des Windfeldes. Hat man allgemeiner drei generalisierte Koordinaten $x_1, x_2, x_3$ (zum Beispiel Kugelkoordinaten oder Druck-Koordinaten) gegeben, so lässt sich dies schreiben als
\[ \begin{align} \md{} = \frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i = 1}^{3}u_i\frac{\partial}{\partial x_i} \end{align} \]
mit den generalisierten Geschwindigkeiten $u_i$. Die Divergenz $\div$ eines Vektorfeldes $\mathbf{w} = \left(w_1, w_2, w_3\right)^T$ definiert man durch
\[ \begin{align} \div\left(\mathbf{w}\right) \coloneqq \nabla\cdot\mathbf{w} = \sum_{i = 1}^3\frac{\partial w_i}{\partial x_i}. \end{align} \]
Der Laplace-Operator $\Delta$ eines Skalarfeldes $\psi$ ist die Divergenz des Gradienten, also
\[ \begin{align} \Delta\psi \coloneqq \div\left(\grad\left(\psi\right)\right) = \nabla^2\psi = \sum_{i = 1}^3\frac{\partial^2\psi}{\partial x_i^2}. \end{align} \]
Der auf ein Vektorfeld angewandte Laplace-Operator wird definiert durch
\[ \begin{align} \Delta\mathbf{w} \coloneqq \sum_{i = 1}^3\mathbf{e}_i\Delta w_i. \end{align} \]
Die Rotation $\rot$ eines Vektorfeldes wird durch
\[ \begin{align} \rot\left(\mathbf{w}\right) \coloneqq \nabla\times\mathbf{w} = \sum_{i, j, k = 1}^3\epsilon_{i, j, k}\mathbf{e}_k\frac{\partial}{\partial x_i}w_j \end{align} \]
definiert. Man definiert weiterhin den Operator der horizontalen materiellen Ableitung durch
\[ \begin{align} \md{_h} \coloneqq \frac{\partial}{\partial t} + u\frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}_h\cdot\nabla\tag{B.12}\label{eq:mat_derivative_op_hor} \end{align} \]
Analog definiert man den horizontalen $\nabla-$Operator durch
\[ \begin{align} \nabla_h \coloneqq \nabla - \mathbf{k}\cdot\nabla. \end{align} \]
Der horizontale Laplace-Operator $\Delta_h$ ist definiert durch
\[ \begin{align} \Delta_h \coloneqq \frac{1}{r^2}\Delta_{\theta, \phi} = \left(\nabla_h\right)^2 \end{align} \]
mit dem Winkelanteil des Laplace-Operators, s. Glg. (B.96), und $r$ als Kugelradius. Da die $i-$Komponente der Rotation die Rotation des betrachteten Vektorfeldes in der $x_{j,k}-$Ebene ist, kann man
\[ \begin{align} \mathbf{k}\cdot\mathbf{w} \end{align} \]
als Horizontalkomponente der Rotation des Vektorfeldes $\mathbf{w}$ auffassen. Der Operator
\[ \begin{align} -\mathbf{v}\cdot\nabla \end{align} \]
ist der Advektionsoperator, der auf Skalar- und Vektorfelder anwendbar ist. Der horizontale Anteil hiervon ist
\[ \begin{align} -\mathbf{v}_h\cdot\nabla. \end{align} \]
Hat man nämlich eine differenzielle Bilanzgleichung der Größe in der Form
\[ \begin{align} \md{\psi} = \sum_iF_i \end{align} \]
gegeben mit physikalischen Forcings $F_i$, so folgt hieraus für die lokalzeitliche Änderung von $\psi$ die Gleichung
\[ \begin{align} \frac{\partial\psi}{\partial t} = -\mathbf{v}\cdot\nabla T + \sum_iF_i = -\mathbf{v}_h\cdot\nabla - w\frac{\partial L}{\partial z} + \sum_iF_i, \end{align} \]
die Advektion ist also der Anteil der lokalzeitlichen Änderung, der durch Herantransport bewirkt wird.
Man stelle sich eine Trajektorie
\[ \begin{align} \mathbf{r}:I\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2;\alpha\mapsto\left(x, y\right)^T \end{align} \]
vor, wobei $I$ ein Intervall sei. Man betrachte hier nur ein kleines Teilstück
\[ \begin{align} \mathbf{r}:I'\subseteq I\to\mathbb{R}^2;\tau\mapsto\left(x, y\right)^T, \end{align} \]
$I'$ sei ebenfalls ein Intervall, und definiere
\[ \begin{align} \tau_1 &\coloneqq \sup\left(I'\right),\\ \tau_2 &\coloneqq \sup\left(I'\right),\\ \mathbf{r}_1 = \left(x_1, y_1\right)^T &\coloneqq f\left(\tau_1\right),\\ \mathbf{r}_2 = \left(x_2, y_2\right)^T &\coloneqq f\left(\tau_2\right).\\ \end{align} \]
O. B. d. A. kann man den Ursprung des KS in $\mathbf{r}_1$ legen. Man sucht nun einen Punkt $\mathbf{r}_0 \coloneqq \left(x_0, y_0\right)^T$, von dem gefordert wird, dass er zu $\mathbf{r}_1$ und $\mathbf{r}_2$ möglicht den gleichen Abstand $\left|r\right|$ habe, also
\[ \begin{align} \sqrt{\left(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_0\right)^2} & \hastobe \sqrt{\left(\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_0\right)^2},\\ \Rightarrow r_1^2 + r_0^2 - 2\mathbf{r}_1\cdot\mathbf{r}_0 &= r_2^2 + r_0^2 - 2\mathbf{r}_2\cdot\mathbf{r}_0,\\ \Rightarrow 0 &= r_2^2 - 2\mathbf{r}_2\cdot\mathbf{r}_0.\tag{B.29}\label{eq:deriv_curv_1} \end{align} \]
Nun entwickelt man $\mathbf{r}_2$ bis zur zweiten Ordnung,
\[ \begin{align} \mathbf{r}_2 &= \mathbf{r}_1 + \frac{d\mathbf{r}}{d\tau}\Delta\tau + \frac{1}{2}\frac{d^2\mathbf{r}}{d\tau^2}\Delta\tau^2 + \mathcal{O}\left(\Delta\tau^3\right) \end{align} \]
mit
\[ \begin{align} \Delta\tau \coloneqq \tau_2 - \tau_1, \end{align} \]
wobei die Terme höherer Ordnung nun nicht mehr mitnotiert werden:
\[ \begin{align} x_2 = x'\Delta\tau + \frac{1}{2}x''\Delta\tau^2 & {} & y_2 = y'\Delta\tau + \frac{1}{2}y''\Delta\tau^2 \end{align} \]
Die Ableitungen sind an der Stelle $\tau = \tau_1$ zu berechnen. Die zweite Ordnung ist hier zu berücksichtigen, da es bei der Krümmung ja um die Änderung der Ableitung einer Trajektorie geht. Setzt man dies in Glg. (B.29) ein, folgt
\[ \begin{align} 0 &= x'^2\Delta\tau^2 + \frac{1}{4}x''^2\Delta\tau^4 + x'x''\Delta\tau^3 + y'^2\Delta\tau^2 + \frac{1}{4}y''^2\Delta\tau^4 + y'y''\Delta\tau^3\nonumber\\ & -2x'\Delta\tau x_0 - x''\Delta\tau^2x_0-2y'\Delta\tau y_0 - y''\Delta\tau^2y_0. \end{align} \]
Die erste Ordnung von $\Delta\tau$ impliziert:
\[ \begin{align} 2x'x_0 + 2y'y_0 = 0\tag{B.34}\label{eq:deriv_curv_2} \end{align} \]
Die zweite Ordnung von $\Delta\tau$ impliziert:
\[ \begin{align} x''x_0 + y''y_0 = x'^2 + y'^2\tag{B.35}\label{eq:deriv_curv_3} \end{align} \]
Aus Glg. (B.34) folgt
\[ \begin{align} x_0 = -\frac{y'y_0}{x'}.\tag{B.36}\label{eq:deriv_curv_4} \end{align} \]
In Glg. (B.35) eingestzt ergibt dies
\[ \begin{align} -x''y'\frac{y_0}{x'} + y''y_0 = x'^2 + y'^2 \Rightarrow y_0 = \frac{x'^2 + y'^2}{y''-x''\frac{y'}{x'}}. \end{align} \]
Mit Glg. (B.36) folgt
\[ \begin{align} x_0 = -\frac{y'}{x'}\frac{x'^2 + y'^2}{y''-x''\frac{y'}{x'}}. \end{align} \]
Somit folgt für den Betrag des Krümmungsradius
\[ \begin{align} \left|r\right| &= \sqrt{1 + \frac{y'^2}{x'^2}}\frac{x'^2+y'^2}{\left|y''-x''\frac{y'}{x'}\right|}. \end{align} \]
O. B. d. A. kann man $\tau = x$ setzen, daraus folgen
\[ \begin{align} x' = 1, & {} & x'' = 0. \end{align} \]
Somit gilt
\[ \begin{align} \left|r\right| = \sqrt{1+y'^2}\frac{1+y'^2}{\left|y''\right|} & {} & \Rightarrow\left|r\right| = \frac{\left(1+y'^2\right)^{3/2}}{\left|y''\right|}. \end{align} \]
Bezüglich des Vorzeichens von $r$ legt man fest, dass dieses positiv seins soll, falls sich die Trajektorie nach links krümmt, also
\[ \begin{align} r &= \frac{\left(1+y'^2\right)^{3/2}}{y''}\tag{B.42}\label{eq:curv}. \end{align} \]
Benötigt man einen linearen Ausdruck für $1/r$, verwendet man meist
\[ \begin{align} \frac{1}{r} \approx y''\tag{B.43}\label{eq:curv_approx}. \end{align} \]
Seien $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ mit $\mathbf{u} = \left(u_1, u_2, u_3\right)^T, \mathbf{v} = \left(v_1, v_2, v_3\right)^T$ und $\mathbf{w} = \left(w_1, w_2, w_3\right)^T$ drei Vektorfelder, $\psi, \chi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ zwei Skalarfelder und $\lambda\in\mathbb{C}$ ein Skalar. Es wird definiert
\[ \begin{align} \Delta\mathbf{v} \coloneqq \sum_{i = 1}^{3}\Delta v_i\mathbf{e}_i. \end{align} \]
Es gelten
\[ \begin{align} \nabla\left(\psi + \chi\right) = \nabla\psi + \nabla\chi, & {} & \nabla\times\left(\mathbf{v} + \mathbf{w}\right) = \nabla\times\mathbf{v} + \nabla\times\mathbf{w}, \end{align} \] \[ \begin{align} \nabla\left(\lambda\psi\right) = \lambda\nabla\psi, & {} & \nabla\times\left(\lambda\mathbf{v}\right) = \lambda\nabla\times\mathbf{v} \end{align} \]
nach den Feststellungen in Abschn. A.8. Weiterhin gelten
\[ \begin{align} \nabla\times\nabla\psi &= \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial\psi}{\partial x_j}\mathbf{e}_k = \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}\frac{\partial^2\psi}{\partial x_i\partial x_j}\mathbf{e}_k = \mathbf{0}, \tag{B.47}\label{eq:diff_op_rule_1}\\ \nabla\cdot\nabla\times\mathbf{v} &= \left(\sum_{l = 1}^{3}\mathbf{e}_l\frac{\partial}{\partial x_l}\right)\cdot\left(\sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}\frac{\partial}{\partial x_i}v_j\mathbf{e}_k\right) = \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}\frac{\partial^2v_j}{\partial x_k\partial x_i} = 0, \tag{B.48}\label{eq:diff_op_rule_2}\\ \nabla\cdot\left(\psi\mathbf{v}\right) &= \sum_{i = 1}^{3}\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\psi v_i\right) = \sum_{i = 1}^{3}v_i\frac{\partial\psi}{\partial x_i} + \psi\frac{\partial v_i}{\partial x_i} = \mathbf{v}\cdot\nabla\psi + \psi\nabla\cdot\mathbf{v}, \tag{B.49}\label{eq:diff_op_rule_3}\\ \frac{\partial}{\partial x_i}\nabla\times\mathbf{v} &= \frac{\partial}{\partial x_i}\sum_{j, k.l = 1}^{3}\epsilon_{j, k, l}\frac{\partial}{\partial x_j}v_k\mathbf{e}_l = \sum_{j, k, l = 1}^{3}\epsilon_{j, k, l}\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial v_k}{\partial x_i}\mathbf{e}_l = \nabla\times\frac{\partial}{\partial x_i}\mathbf{v}, \tag{B.50}\label{eq:diff_op_rule_4}\\ \nabla\times\psi\mathbf{v} &= \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\psi v_j\right)\mathbf{e}_k = \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}\left(v_j\frac{\partial\psi}{\partial x_i} + \psi\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right)\mathbf{e}_k\nonumber\\ &= \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k} \frac{\partial\psi}{\partial x_i}v_j\mathbf{e}_k + \sum_{i, j, k = 1}^{3}\psi\frac{\partial}{\partial x_i}v_j\mathbf{e}_k = \left(\nabla\psi\right)\times\mathbf{v} + \psi\nabla\times\mathbf{v}\nonumber\\ &= -\mathbf{v}\times\nabla\psi + \psi\nabla\times\mathbf{v},\tag{B.51}\label{eq:diff_op_rule_5} \end{align} \] \[ \begin{align} \nabla\left(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\right) &= \nabla\sum_{i = 1}^{3}v_iw_i = \sum_{i = 1}^{3}\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\sum_{j = 1}^{3}v_jw_j\right)\mathbf{e}_i = \sum_{i = 1}^{3}\sum_{j = 1}^{3}\left(\frac{\partial v_j}{\partial x_i}w_j + v_j\frac{\partial w_j}{\partial x_i}\right)\mathbf{e}_i\nonumber\\ &= \sum_{i = 1}^{3}\sum_{j = 1}^{3}\left(\frac{\partial v_j}{\partial x_i}w_j + w_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j} - w_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + v_j\frac{\partial w_j}{\partial x_i} + v_j\frac{\partial w_i}{\partial x_j} - v_j\frac{\partial w_i}{\partial x_j}\right)\mathbf{e}_i\nonumber\\ &= \sum_{i = 1}^{3}\sum_{j = 1}^{3}\left(w_j\left(\frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \frac{\partial v_i}{\partial x_j}\right) + v_j\left(\frac{\partial w_j}{\partial x_i} - \frac{\partial w_i}{\partial x_j}\right) + w_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + v_j\frac{\partial w_i}{\partial x_j}\right)\mathbf{e}_i\nonumber\\ &= \sum_{i, j = 1}^{3}w_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\mathbf{e}_i + \sum_{i, j = 1}^{3}v_j\frac{\partial w_i}{\partial x_j}\mathbf{e}_i + \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}^2\left(w_j\left(\frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \frac{\partial v_i}{\partial x_j}\right) + v_j\left(\frac{\partial w_j}{\partial x_i} - \frac{\partial w_i}{\partial x_j}\right)\right)\mathbf{e}_i\nonumber\\ &= \sum_{j = 1}^{3}w_j\frac{\partial}{\partial x_j}\sum_{i = 1}^{3}v_i\mathbf{e}_i + \sum_{j = 1}^{3}v_j\frac{\partial}{\partial x_j}\sum_{i = 1}^{3}w_i\mathbf{e}_i + \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}^2\left(w_j\left(\frac{\partial v_j}{\partial x_k} - \frac{\partial v_k}{\partial x_j}\right) + v_j\left(\frac{\partial w_j}{\partial x_k} - \frac{\partial w_k}{\partial x_j}\right)\right)\mathbf{e}_k\nonumber\\ &= \left(\mathbf{w}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} + \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{w} + \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}^2v_j\left(\frac{\partial w_j}{\partial x_k} - \frac{\partial w_k}{\partial x_j}\right)\mathbf{e}_k + \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}^2w_j\left(\frac{\partial v_j}{\partial x_k} - \frac{\partial v_k}{\partial x_j}\right)\mathbf{e}_k\nonumber\\ &= \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{w} + \left(\mathbf{w}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} + \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k} v_j\epsilon_{i, j, k}\left(\frac{\partial w_j}{\partial x_k} - \frac{\partial w_k}{\partial x_j}\right)\mathbf{e}_k + \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k} w_j\epsilon_{i, j, k}\left(\frac{\partial v_j}{\partial x_k} - \frac{\partial v_k}{\partial x_j}\right)\mathbf{e}_k\nonumber\\ &= \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{w} + \left(\mathbf{w}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} + \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}v_i\epsilon_{i, j, k}\left(\frac{\partial w_i}{\partial x_k} - \frac{\partial w_k}{\partial x_i}\right)\mathbf{e}_k + \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}w_i\epsilon_{i, j, k}\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_k} - \frac{\partial v_k}{\partial x_i}\right)\mathbf{e}_k\nonumber\\ &= \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{w} + \left(\mathbf{w}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} + \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}v_i\left(\nabla\times\mathbf{w}\right)_j\mathbf{e}_k + \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}w_i\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)_j\mathbf{e}_k\nonumber\\ &= \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{w} + \left(\mathbf{w}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} + \mathbf{v}\times\left(\nabla\times\mathbf{w}\right) + \mathbf{w}\times\left(\nabla \times\mathbf{v}\right), \tag{B.52}\label{eq:diff_op_rule_6} \end{align} \] \[ \begin{align} \nabla\times\left(\mathbf{v}\times\mathbf{w}\right) &= \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\mathbf{v}\times\mathbf{w}\right)_j\mathbf{e}_k = \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\epsilon_{ikj}v_iw_k + \epsilon_{kij}v_kw_i\right)\mathbf{e}_k\nonumber\\ &= \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}^2\frac{\partial}{\partial x_i}\left(v_kw_i - v_iw_k\right)\mathbf{e}_k = \sum_{i, k = 1}^{3}\frac{\partial}{\partial x_i}\left(v_kw_i - v_iw_k\right)\mathbf{e}_k\nonumber\\ &= \sum_{i, k = 1}^{3}\left(\frac{\partial v_k}{\partial x_i}w_i + v_k\frac{\partial w_i}{\partial x_i} - v_i\frac{\partial w_k}{\partial x_i} - w_k\frac{\partial v_i}{\partial x_i}\right)\mathbf{e}_k = \sum_{i = 1}^{3}w_i\frac{\partial}{\partial x_i}\sum_{k = 1}^{3} v_k\mathbf{e}_k - \sum_{i = 1}^{3}v_i\frac{\partial}{\partial x_i}\sum_{k = 1}^{3}w_k\mathbf{e}_k\nonumber\\ & + \sum_{i = 1}^{3}\frac{\partial w_i}{\partial x_i}\sum_{k = 1}^{3}v_k\mathbf{e}_k - \sum_{i = 1}^{3}\frac{\partial v_i}{\partial x_i}\sum_{k = 1}^{3}w_k\mathbf{e}_k \nonumber\\ &= \left(\mathbf{w}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} - \mathbf{w}\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right) + \mathbf{v}\left(\nabla\cdot\mathbf{w}\right) - \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{w}, \tag{B.53}\label{eq:diff_op_rule_7} \end{align} \] \[ \begin{align} \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right) &= \nabla\sum_{i = 1}^{3}\frac{\partial v_i}{\partial x_i} = \sum_{i = 1}^{3}\sum_{j = 1}^{3}\frac{\partial^2 v_j}{\partial x_i\partial x_j}\mathbf{e}_i = \sum_{i = 1}^{3}\left(\sum_{j = 1}^{3}\left(\frac{\partial^2v_j}{\partial x_i\partial x_j}\right) + \Delta v_i - \Delta v_i\right)\mathbf{e}_i\nonumber\\ &= \Delta\mathbf{v} + \sum_{i = 1}^{3}\sum_{j = 1}^{3}\left(\frac{\partial^2 v_j}{\partial x_i\partial x_j} - \frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j^2}\right)\mathbf{e}_i = \Delta\mathbf{v} + \sum_{i = 1}^{3}\sum_{j = 1}^{3}\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \frac{\partial v_i}{\partial x_j}\right)\mathbf{e}_i\nonumber\\ &= \Delta\mathbf{v} + \sum_{i = 1}^{3}\sum_{\substack{j = 1,\\j\not = i}}^{3}\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \frac{\partial v_i}{\partial x_j}\right)\mathbf{e}_i = \Delta\mathbf{v} + \sum_{i = 1}^{3}\sum_{\substack{j = 1,\\j\not = i}}^3\frac{\partial}{\partial x_j}\left[\sum_{k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}^2\left(\frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \frac{\partial v_i}{\partial x_j}\right)\right]\mathbf{e}_i\nonumber\\ &= \Delta\mathbf{v} + \sum_{i = 1}^{3}\sum_{\substack{j = 1,\\j\not = i}}^3\frac{\partial}{\partial x_j}\left[\sum_{k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)_k\right]\mathbf{e}_i = \Delta\mathbf{v} + \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)_k\mathbf{e}_i\nonumber\\ &= \Delta\mathbf{v} + \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)_j\mathbf{e}_k\nonumber\\ &= \Delta\mathbf{v} + \sum_{i, j, k = 1}^{3}\left(\nabla\times\epsilon_{i, j, k}\frac{\partial}{\partial x_i}\mathbf{v}\right)_j\mathbf{e}_k = \Delta\mathbf{v} + \nabla\times \left(\sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}\frac{\partial}{\partial x_i}\mathbf{v}\right)_j\mathbf{e}_k\nonumber\\ &= \Delta\mathbf{v} + \nabla\times\sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}\frac{\partial}{\partial x_i}v_j\mathbf{e}_k = \Delta\mathbf{v} + \nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\tag{B.54}\label{eq:diff_op_rule_8}, \end{align} \] \[ \begin{align} \nabla\cdot\left(\mathbf{v}\times\mathbf{w}\right) &= \sum_{i = 1}^3\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\mathbf{v}\times\mathbf{w}\right)_i = \sum_{i = 1}^{3}\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\epsilon_{k, j, i}v_kw_j + \epsilon_{j, k, i}v_jw_k\right)\nonumber\\ &= \sum_{i = 1}^{3}\left(\epsilon_{k, j, i}\frac{\partial v_k}{\partial x_i}w_j + \epsilon_{k, j, i}v_k\frac{\partial w_j}{\partial x_i} + \epsilon_{j, k, i}\frac{\partial v_j}{\partial x_i}w_k + \epsilon_{j, k, i}v_j\frac{\partial w_k}{\partial x_i}\right)\nonumber\\ &= \sum_{i = 1}^{3}w_i\left(\epsilon_{k, j, i}\frac{\partial v_j}{\partial x_k} + \epsilon_{j, k, i}\frac{\partial v_k}{\partial x_j}\right) - v_i\left(\epsilon_{k, j, i}\frac{\partial w_j}{\partial x_k} + \epsilon_{j, k, i}\frac{\partial w_k}{\partial x_j}\right)\nonumber\\ &= \sum_{i = 1}^{3}w_i\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)_i - v_i\left(\nabla\times\mathbf{w}\right)_i = \mathbf{w}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{v}\right) - \mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{w}\right), \tag{B.55}\label{eq:diff_op_rule_9}\\ \mathbf{u}\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right] &= \sum_{i=1}^3u_i\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right]_i = \sum_{i=1}^3u_i\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\frac{\partial\psi}{\partial x_i}\right] = \sum_{i=1}^3u_i\sum_{j=1}^3v_j\frac{\partial^2\psi}{\partial x_j\partial x_i}\nonumber\\ &= \sum_{i, j=1}^3u_iv_j\frac{\partial^2\psi}{\partial x_j\partial x_i} = \sum_{i, j=1}^3v_iu_j\frac{\partial^2\psi}{\partial x_j\partial x_i} = \sum_{i=1}^3v_i\sum_{j=1}^3u_j\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\nabla\psi\right)_i\nonumber\\ &= \sum_{i=1}^3v_i\left[\left(\mathbf{u}\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right]_i = \mathbf{v}\cdot\left[\left(\mathbf{u}\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right].\tag{B.56}\label{eq:diff_op_rule_12} \end{align} \]
Außerdem gilt
\[ \begin{align} \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} & \stackrel{\text{Glg. }\href{#eq:diff_op_rule_6}{(B.52)}}{=} & \frac{1}{2}\nabla\left(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\right) - \mathbf{v}\times\left(\nabla\times\mathbf{v}\right).\tag{B.57}\label{eq:diff_op_rule_10} \end{align} \]
Dies bezeichnet man als Lamb-Transformation. Weiterhin gilt für die Advektion eines Skalarproduktes
\[ \begin{align} \left(\mathbf{u}\cdot\nabla\right)\left(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}\right) &= \left(\sum_{i = 1}^{3}u_i\frac{\partial}{\partial x_i}\right)\left(\sum_{j = 1}^{3}v_jw_j\right) = \sum_{i, j = 1}^{3}u_i\left[\frac{\partial v_j}{\partial x_i}w_j + \frac{\partial w_j}{\partial x_i}v_j\right]\nonumber\\ &= \sum_{j = 1}^{3}w_j\sum_{i = 1}^{3}u_i\frac{\partial v_j}{\partial x_i} + \sum_{j = 1}^{3}v_j\sum_{i = 1}^{3}u_i\frac{\partial w_j}{\partial x_i} = \mathbf{w}\cdot\left[\left(\mathbf{u}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\right] + \mathbf{v}\cdot\left[\left(\mathbf{u}\cdot\nabla\right)\mathbf{w}\right].\tag{B.58}\label{eq:diff_op_rule_11} \end{align} \]
Seien $\mathbf{k} = \left(k_1, k_2, k_3\right)^T\in\mathbb{C}^3$, $\varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{C};\varphi\left(\mathbf{r}\right) = \exp\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)$ und $\mathbf{A}\in\mathbb{R}^3$. Dann gelten
\[ \begin{align} \nabla\varphi\left(\mathbf{r}\right) &= \sum_{i = 1}^{3}\frac{\partial}{\partial x_i}\varphi\left(\mathbf{r}\right)\mathbf{e}_i = \sum_{i = 1}^{3}\frac{\partial}{\partial x_i}\exp\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{e}_i = \sum_{i = 1}^{3}\frac{\partial}{\partial x_i}\exp\left(\sum_{j = 1}^{3}k_jx_j\right)\mathbf{e}_i\nonumber\\ &= \sum_{i = 1}^{3}k_i\exp\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{e}_i = \varphi\left(\mathbf{r}\right)\mathbf{k},\\ \nabla\times\left[\mathbf{A}\varphi\left(\mathbf{r}\right)\right] &= \sum_{i, j, k = 1}^3\epsilon_{i, j, k}\frac{\partial\left[A_j\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)\right]}{\partial x_i}\mathbf{e}_k = i\sum_{i, j, k = 1}^3\epsilon_{i, j, k}A_jk_i\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{e}_k\nonumber\\ &= i\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)\sum_{i, j, k = 1}^3\epsilon_{i, j, k}A_jk_i\mathbf{e}_k = i\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{A}\times\mathbf{k} = i\left[\mathbf{A}\varphi\left(\mathbf{r}\right)\right]\times\mathbf{k},\tag{B.60}\label{eq:diff_op_harmonic_rule_1}\\ \Delta\varphi\left(\mathbf{r}\right) &= \nabla\cdot\nabla\varphi\left(\mathbf{r}\right) = \nabla\cdot\left(\varphi\left(\mathbf{r}\right)\mathbf{k}\right) = \mathbf{k}\cdot\nabla\varphi = \mathbf{k}^2\varphi\left(\mathbf{r}\right). \end{align} \]
Allgemein bezeichnet man Punkte im $\mathbb{R}^3$ durch drei reelle Zahlen $x = \left(x_1, x_2, x_3\right)$, die in Linearkombination mit der Standardbasis $\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2, \mathbf{c}_3$ einen Vektor $\mathbf{r}$ ergeben:
\[ \begin{align} \mathbf{r} = x_1\mathbf{c}_1 + x_2\mathbf{c}_2 + x_3\mathbf{c}_3 \end{align} \]
Einen Vektor kann man sich in diesem Zusammenhang als einen Pfeil vorstellen. Um Dinge mit einer bestimmten Geometrie eleganter lösen zu können, führt man generalisierte Koordinaten $q_i$ ein (s. auch Abschn. 2.2). Skalarfelder $f$ kann man dann schreiben als $f = f\left(q\right)$. $q$ steht hier für das Tupel $q = \left(q_1, q_2, q_3\right)$. Als Anmerkung sei gesagt, dass die Funktionen $f = f\left(x\right)$ und $f = f\left(q\right)$ nicht gleich sind, wenn man gleiche Argumente einsetzt bekommt man im Allgemeinen unterschiedliche Werte. Meistens unterscheidet man dies in der Notation jedoch nicht, da beide Funktionen das gleiche ausdrücken.
Möchte man ein Vektorfeld $\mathbf{v}$ in generalisierten Koordinaten notieren, so wäre die einfachste Idee, auch die Werte von $\mathbf{v}$ in generalisierten Koordinaten zu notieren. Ist $\mathbf{v}$ ein Geschwindigkeitsfeld, so könnte man die Werte von $\mathbf{v}$ in den Formen $\newdot{q}$ oder $\mathbf{v} \equiv \mathbf{r}\left(q\right)$ notieren. Da dies häufig unanschaulich ist, führt man in allgemeinen Koordinatensystemen (man sagt auch in krummlinigen Koordinaten) eine ortsabhängige Basis ein, deren Elemente definiert sind durch
\[ \begin{align} \mathbf{e}_i \coloneqq \frac{1}{|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_i}|}\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_i}. \end{align} \]
Diese Elemente sind normiert. Lässt sich
\[ \begin{align} \mathbf{e}_1\times\mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3\tag{B.64}\label{eq:gen_coords_orth_criterion} \end{align} \]
durch Vertauschen der $\mathbf{e}_i$ erreichen, bezeichnet man die $q$ als orthogonal; Koordinaten, die dies verletzen werden in diesem Buch nicht behandelt. Man schreibt dann für Vektorfelder
\[ \begin{align} \mathbf{v} = \sum_{i = 1}^{3}v_i\mathbf{e}_i, \end{align} \]
wobei sowohl die $v_i$ als auch die $\mathbf{e}_i$ vom Ort abhängen. Man definiert partielle Ableitungen bezüglich der lokalen Basis durch Richtungsableitungen entlang der lokalen Koordinatenachsen:
\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial x_i} \coloneqq \mathbf{e}_i\cdot\nabla = \frac{1}{|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_i}|}\left(\frac{\partial x}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial q_i}\frac{\partial }{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial q_i}\frac{\partial }{\partial z}\right) = \frac{1}{|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_i}|}\frac{\partial}{\partial q_i}.\tag{B.66}\label{eq:part_derivative_gen} \end{align} \]
Seien $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$ zwei Vektorfelder, dann gilt für das Skalarprodukt
\[ \begin{align} \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = v^{(m)}w^{(n)}g_{m,n}.\tag{B.67}\label{eq:inner_gen} \end{align} \]
Für das Vektorprodukt gilt
\[ \begin{align} \mathbf{v}\times\mathbf{w} = \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{q}_2\times\mathbf{q}_3 & \mathbf{q}_3\times\mathbf{q}_1 & \mathbf{q}_1\times\mathbf{q}_2\\ v^{(1)} & v^{(2)} & v^{3}\\ w^{(1)} & w^{(2)} & w^{3} \end{array}\right|\tag{B.68}\label{eq:vector_product_gen} \end{align} \]
Sei $f$ ein Skalarfeld, dann gilt für den Gradienten von $f$ in generalisierten Koordinaten
\[ \begin{align} \nabla f = \mathbf{q}^{(n)}\frac{\partial}{\partial q^{(n)}} = \mathbf{q}^{(n)}\nabla_nf.\tag{B.69}\label{eq:grad_gen} \end{align} \]
Somit gilt in generalisierten Koordinaten
\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial q^{(n)}}\left(\mathbf{q}^{(n)}\cdot\mathbf{v}\sqrt{g}\right)\tag{B.70}\label{eq:div_gen}. \end{align} \]
Es gilt also
\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{v} = \frac{1}{\sqrt{g}}\left|\begin{array}{ccc} \mathbf{q}_1 & \mathbf{q}_2 & \mathbf{q}_3 \\ \frac{\partial}{\partial q^{(1)}} & \frac{\partial}{\partial q^{(2)}} & \frac{\partial}{\partial q^{3}} \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{array}\right|\tag{B.71}\label{eq:rot_gen} \end{align} \]
In diesem Abschnitt sind $\mathbf{v}$ ein Vektorfeld und $f$ ein Skalarfeld, beide sollen alle notwendigen Eigenschaften haben. In Kugelkoordinaten gilt
\[ \begin{align} \mathbf{r} = r\left(\begin{array}{c} \sin\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right)\\ \sin\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right)\\ \cos\left(\theta\right) \end{array}\right). \end{align} \]
Sei $\mathbf{r} = \mathbf{r}\left(r, \theta, \phi\right)$ die Transformation von Kugel- in kartesische Koordinaten, dann gilt für deren Ableitung $J$ die Gleichung
\[ \begin{align} J &= \left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial\theta}&\frac{\partial x}{\partial\phi}\\ \frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial\theta}&\frac{\partial y}{\partial\phi}\\ \frac{\partial z}{\partial r}&\frac{\partial z}{\partial\theta}&\frac{\partial z}{\partial\phi} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} \sin\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right)&r\cos\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right)& -r\sin\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right)\\ \sin\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right)&r\cos\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right)&r\sin\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right)\\ \cos\left(\theta\right)& -r\sin\left(\theta\right)&0 \end{array}\right). \end{align} \]
Die normierten Spalten hiervon sind
\[ \begin{align} \mathbf{e}_r = \mathbf{e}^{(r)} &= \left(\begin{array}{c} \sin\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right)\\ \sin\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right)\\ \cos\left(\theta\right) \end{array}\right),\tag{B.74}\label{eq:kugel_zu_global_1}\\ \mathbf{e}_\theta = \mathbf{e}^{(\theta)} &= \left(\begin{array}{c} \cos\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right)\\ \cos\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right)\\ - \sin\left(\theta\right) \end{array}\right),\tag{B.75}\label{eq:kugel_zu_global_2}\\ \mathbf{e}_\phi = \mathbf{e}^{(\phi)} &= \left(\begin{array}{c} - \sin\left(\phi\right)\\ \cos\left(\phi\right)\\ 0 \end{array}\right).\tag{B.76}\label{eq:kugel_zu_global_3} \end{align} \]
Die Spalten von $J$ sind die kovarianten Basisvektoren
\[ \begin{align} \mathbf{q}_r &= \left(\begin{array}{c} \sin\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right)\\ \sin\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right)\\ \cos\left(\theta\right) \end{array}\right),\\ \mathbf{q}_\theta &= r\left(\begin{array}{c} \cos\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right)\\ \cos\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right)\\ -\sin\left(\theta\right) \end{array}\right),\\ \mathbf{q}_\phi &= r\sin\left(\theta\right)\left(\begin{array}{c} -\sin\left(\phi\right)\\ \cos\left(\phi\right)\\ 0 \end{array}\right). \end{align} \]
Hieraus ergibt sich für die Determinante $g$ des metrischen Tensors
\[ \begin{align} g = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\sin^2\left(\theta\right) \end{array}\right| = r^4\sin^2\left(\theta\right). \end{align} \]
Da diese Matrix diagonal ist, sind Kugelkoordinaten orthogonal. Somit gilt für die kontravarianten Basisvektoren
\[ \begin{align} \mathbf{q}^{(r)} &= \left(\begin{array}{c} \sin\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right)\\ \sin\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right)\\ \cos\left(\theta\right) \end{array}\right),\\ \mathbf{q}^{(\theta)} &= \frac{1}{r}\left(\begin{array}{c} \cos\left(\theta\right)\cos\left(\phi\right)\\ \cos\left(\theta\right)\sin\left(\phi\right)\\ -\sin\left(\theta\right) \end{array}\right),\\ \mathbf{q}^{(\phi)} &= \frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\left(\begin{array}{c} -\sin\left(\phi\right)\\ \cos\left(\phi\right)\\ 0 \end{array}\right). \end{align} \]
Man schreibt nun für ein Vektorfeld
\[ \begin{align} \mathbf{v} &= v^{(r)}\mathbf{q}_r + v^{(\theta)}\mathbf{q}_\theta + v^{(\phi)}\mathbf{q}_\phi = v_r\mathbf{q}^{(r)} + v_\theta\mathbf{q}^{(\theta)} + v_\phi\mathbf{q}^{(\phi)}\nonumber\\ &= \newtilde{v}^{(r)}\mathbf{e}_r + \newtilde{v}^{(\theta)}\mathbf{e}_\theta + \newtilde{v}^{(\phi)}\mathbf{e}_\phi = \newtilde{v}_r\mathbf{e}^{(r)} + \newtilde{v}_\theta\mathbf{e}^{(\theta)} + \newtilde{v}_\phi\mathbf{e}^{(\phi)}. \end{align} \]
Man mache sich an dieser Stelle klar, dass die Dimensionen der hier in der ersten Zeile auftretenden Komponenten von $\mathbf{v}$ nicht uniform sind, da es sich für die Bassielemente ebenso verhält. Aufgrund der Orthogonalität der Kugelkoordinaten gilt
\[ \begin{align} \newtilde{v}^{(r)} = \newtilde{v}_r, & {} & \newtilde{v}^{(\theta)} = \newtilde{v}_\theta, & {} & \newtilde{v}^{(\phi)} = \newtilde{v}_\phi. \end{align} \]
Die Umrechung der Komponenten lautet
\[ \begin{align} v_r = \newtilde{v}_r, & {} & v_\theta = r\newtilde{v}_\theta, & {} & v_\phi = r\sin\left(\theta\right)\newtilde{v}_\phi,\\ v^{(r)} = \newtilde{v}_r, & {} & v^{(\theta)} = \frac{1}{r}\newtilde{v}_\theta, & {} & v^{(\phi)} = \frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\newtilde{v}_\phi. \end{align} \]
Zunächst wird der Gradient betrachtet, mit Glg. (B.69) erhält man
\[ \begin{align} \nabla f &= \mathbf{q}^{(r)}\frac{\partial f}{\partial r} + \mathbf{q}^{(\theta)}\frac{\partial f}{\partial\theta} + \mathbf{q}^{(\phi)}\frac{\partial f}{\partial\phi} = \mathbf{e}^{(r)}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r}\mathbf{e}^{(\theta)}\frac{\partial f}{\partial\theta} + \frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\mathbf{e}^{(\phi)}\frac{\partial f}{\partial\phi}.\tag{B.88}\label{eq:grad_sphere} \end{align} \]
Nun wird die Divergenz betrachtet. Vm Glg. (B.70) anwenden zu können, rechnet man zunächst
\[ \begin{align} \mathbf{q}^{(r)}\cdot\mathbf{v} = v^{(r)}, & {} & \mathbf{q}^{(\theta)}\cdot\mathbf{v} = v^{(\theta)}, & {} & \mathbf{q}^{(\phi)}\cdot\mathbf{v} = v^{(\phi)}. \end{align} \]
Somit gilt
\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{v} &= \frac{1}{r^2\sin\left(\theta\right)}\left(\frac{\partial\left(v^{(r)}r^2\sin\left(\theta\right)\right)}{\partial r} + \frac{\partial\left(v^{(\theta)}r^2\sin\left(\theta\right)\right)}{\partial\theta} + \frac{\partial\left(v^{(\phi)}r^2\sin\left(\theta\right)\right)}{\partial\phi}\right)\nonumber\\ &= \frac{\partial v^{(r)}}{\partial r} + \frac{\partial v^{(\theta)}}{\partial\theta} + \frac{\partial v^{(\phi)}}{\partial\phi} + \frac{2v^{(r)}}{r} + \cot\left(\theta\right)v^{(\theta)}\nonumber\\ &= \frac{\partial\newtilde{v}^{(r)}}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial\newtilde{v}^{(\theta)}}{\partial\theta} + \frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial\newtilde{v}^{(\phi)}}{\partial\phi} + \frac{2\newtilde{v}^{(r)}}{r} + \frac{\cot\left(\theta\right)}{r}\newtilde{v}^{(\theta)}.\tag{B.90}\label{eq:div_sphere} \end{align} \]
Durch eine Kombination der Glg.en (B.88) und (B.90) folgt für den Laplace-Operator
\[ \begin{align} \Delta f &= \frac{\partial^2f}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2} + \frac{1}{r^2\sin^2\left(\theta\right)}\frac{\partial^2f}{\partial\phi^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{\cot\left(\theta\right)}{r^2}\frac{\partial f}{\partial\theta}\nonumber\\ &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\left(\theta\right)\frac{\partial f}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\left(\theta\right)}\frac{\partial^2f}{\partial\phi^2}.\tag{B.91}\label{eq:laplace_klugel} \end{align} \]
Dies kann man noch etwas umformen. Man verwendet hierfür den Diffeomorphismus
\[ \begin{align} \theta\leftrightarrow\mu \coloneqq \cos\left(\theta\right), \end{align} \]
dann gilt
\[ \begin{align} \frac{d}{d\theta} = \frac{d\mu}{d\theta}\frac{d}{d\mu} = -\sin\left(\theta\right)\frac{d}{d\mu}. \end{align} \]
Damit wird der Laplace-Operator zu
\[ \begin{align} \Delta &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\left(\theta\right)}\left(-\sin\left(\theta\right)\frac{\partial}{\partial\mu}\right)\left(\sin\left(\theta\right)\left(-\sin\left(\theta\right)\frac{d}{d\mu}\right)\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\left(\theta\right)}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\nonumber\\ &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial\mu}\left(1 - \mu^2\right)\frac{\partial}{\partial\mu} + \frac{1}{r^2\left(1 - \mu^2\right)}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\nonumber\\ &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\Delta_{\mu, \phi}\tag{B.94}\label{eq:laplace_kugel_split} \end{align} \]
mit
\[ \begin{align} \Delta_{\mu, \phi} = \frac{\partial}{\partial\mu}\left(1 - \mu^2\right)\frac{\partial}{\partial \mu} + \frac{1}{1 - \mu^2}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} \end{align} \]
als Winkelanteil des Laplace-Operators. Dieser Winkelanteil wird in Kugelkoordinaten durch Vergleich mit Glg. (B.91) zu
\[ \begin{align} \Delta_{\theta, \phi} = \frac{1}{\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\left(\theta\right)\frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\left(\theta\right)}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}.\tag{B.96}\label{eq:laplace_winkelanteil} \end{align} \]
Nun wird die Rotation berechnet, es gilt mit Glg. (B.71)
\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{v} &= \frac{1}{r^2\sin\left(\theta\right)}\left[\mathbf{q}_r\left(\frac{\partial v_\phi}{\partial\theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial\phi}\right) + \mathbf{q}_\theta\left(\frac{\partial v_r}{\partial\phi} - \frac{\partial v_\phi}{\partial r}\right) + \mathbf{q}_\phi\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial r} - \frac{\partial v_r}{\partial\theta}\right)\right]. \end{align} \]
Mit der Umskalierung auf normierte Basiselemente erhält man
\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{v} &= \frac{1}{r^2\sin\left(\theta\right)}\Bigg[\mathbf{e}_r\left(\frac{\partial\left(r\sin\left(\theta\right)\newtilde{v}_\phi\right)}{\partial\theta} - \frac{\partial\left(r\newtilde{v}_\theta\right)}{\partial\phi}\right) + r\mathbf{e}_\theta\left(\frac{\partial\newtilde{v}_r}{\partial\phi} - \frac{\partial\left(r\sin\left(\theta\right)\newtilde{v}_\phi\right)}{\partial r}\right)\nonumber\\ & + r\sin\left(\theta\right)\mathbf{e}_\phi\left(\frac{\partial\left(r\newtilde{v}_\theta\right)}{\partial r} - \frac{\partial\newtilde{v}_r}{\partial\theta}\right)\Bigg]\nonumber\\ &= \frac{\newtilde{v}_\theta}{r}\mathbf{e}_\phi + \frac{\newtilde{v}_\phi}{r\tan\left(\theta\right)}\mathbf{e}_r - \frac{\newtilde{v}_\phi}{r}\mathbf{e}_\theta + \mathbf{e}_r\left(\frac{1}{r}\frac{\partial\newtilde{v}_\phi}{\partial\theta} - \frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial\newtilde{v}_\theta}{\partial\phi}\right)\nonumber\\ & + \mathbf{e}_\theta\left(\frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial\newtilde{v}_r}{\partial\phi} - \frac{\partial\newtilde{v}_\phi}{\partial r}\right) + \mathbf{e}_\phi\left(\frac{\partial \newtilde{v}_\theta}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial\newtilde{v}_r}{\partial\theta}\right)\tag{B.98}\label{eq:rot_sphere} \end{align} \]
Für die Geschwindigkeitsadvektion verwendet man die Lamb-Transformation Glg. (B.57)
\[ \begin{align} \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}&= \frac{1}{2}\nabla\left(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\right) + \left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\times\mathbf{v}. \end{align} \]
Vorbereitend stellt man mit Glg. (B.67) fest:
\[ \begin{align} \mathbf{v}^2 = \left(v^{(r)}\right)^2 + r^2\left(v^{(\theta)}\right)^2 + r^2\sin^2\left(\theta\right)\left(v^{(\phi)}\right)^2 \end{align} \]
Hieraus folgt
\[ \begin{align} \frac{1}{2}\nabla\left(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\right) &= \frac{1}{2}\mathbf{q}^{(r)}\frac{\partial}{\partial r}\left(\left(v^{(r)}\right)^2 + r^2\left(v^{(\theta)}\right)^2 + r^2\sin^2\left(\theta\right)\left(v^{(\phi)}\right)^2\right)\nonumber\\ & + \frac{1}{2}\mathbf{q}^{(\theta)}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(v^{(r)}\right)^2 + r^2\left(v^{(\theta)}\right)^2 + r^2\sin^2\left(\theta\right)\left(v^{(\phi)}\right)^2\right)\nonumber\\ & + \frac{1}{2}\mathbf{q}^{(\phi)}\frac{\partial}{\partial\phi}\left(\left(v^{(r)}\right)^2 + r^2\left(v^{(\theta)}\right)^2 + r^2\sin^2\left(\theta\right)\left(v^{(\phi)}\right)^2\right)\nonumber\\ &= \mathbf{q}^{(r)}\left(v^{(r)}\frac{\partial v^{(r)}}{\partial r} + r^2v^{(\theta)}\frac{\partial v^{(\theta)}}{\partial r} + r\left(v^{(\theta)}\right)^2 + r\sin^2\left(\theta\right)\left(v^{(\phi)}\right)^2 + r^2\sin^2\left(\theta\right)v^{(\phi)}\frac{\partial v^{(\phi)}}{\partial r}\right)\nonumber\\ & + \mathbf{q}^{(\theta)}\left(v^{(r)}\frac{\partial v^{(r)}}{\partial\theta} + r^2v^{(\theta)}\frac{\partial v^{(\theta)}}{\partial\theta} + r^2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)\left(v^{(\phi)}\right)^2 + r^2\sin^2\left(\theta\right)v^{(\phi)}\frac{\partial v^{(\phi)}}{\partial\theta}\right)\nonumber\\ & + \mathbf{q}^{(\phi)}\left(v^{(r)}\frac{\partial v^{(r)}}{\partial\phi} + r^2v^{(\theta)}\frac{\partial v^{(\theta)}}{\partial\phi} + r^2\sin^2\left(\theta\right)v^{(\phi)}\frac{\partial v^{(\phi)}}{\partial\phi}\right). \end{align} \]
Vm Glg. (B.68) auswerten zu können, berechnet man zunächst
\[ \begin{align} \mathbf{q}_r\times\mathbf{q}_\theta &= \frac{1}{\sin\left(\theta\right)}\mathbf{q}_\phi = r^2\sin\left(\theta\right)\mathbf{q}^{(\phi)},\\ \mathbf{q}_\theta\times\mathbf{q}_\phi &= r^2\sin\left(\theta\right)\mathbf{q}_r = r^2\sin\left(\theta\right)\mathbf{q}^{(r)},\\ \mathbf{q}_\phi\times\mathbf{q}_r &= \sin\left(\theta\right)\mathbf{q}_\theta = r^2\sin\left(\theta\right)\mathbf{q}^{(\theta)}. \end{align} \]
Es folgt mit Glg. (B.68)
\[ \begin{align} & \left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\times\mathbf{v}\nonumber\\ &= \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{q}^{(r)} & \mathbf{q}^{(\theta)} & \mathbf{q}^{(\phi)}\\ \frac{\partial v_\phi}{\partial\theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial\phi} & \frac{\partial v_r}{\partial\phi} - \frac{\partial v_\phi}{\partial r} & \frac{\partial v_\theta}{\partial r} - \frac{\partial v_r}{\partial\theta}\\ v^{(r)} & v^{(\theta)} & v^{(\phi)} \end{array}\right|\nonumber\\ &= \mathbf{q}^{(r)}\left[v^{(\phi)}\left(\frac{\partial v_r}{\partial\phi} - \frac{\partial v_\phi}{\partial r}\right) - v^{(\theta)}\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial r} - \frac{\partial v_r}{\partial\theta}\right)\right]\nonumber\\ & + \mathbf{q}^{(\theta)}\left[v^{(r)}\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial r} - \frac{\partial v_r}{\partial\theta}\right) - v^{(\phi)}\left(\frac{\partial v_\phi}{\partial\theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial\phi}\right)\right]\nonumber\\ & + \mathbf{q}^{(\phi)}\left[v^{(\theta)}\left(\frac{\partial v_\phi}{\partial\theta} - \frac{\partial v_\theta}{\partial\phi}\right) - v^{(r)}\left(\frac{\partial v_r}{\partial\phi} - \frac{\partial v_\phi}{\partial r}\right)\right]\nonumber\\ &= \mathbf{q}^{(r)}\left[v^{(\phi)}\left(\frac{\partial v^{(r)}}{\partial\phi} - \frac{\partial\left(r^2\sin^2\left(\theta\right)v^{(\phi)}\right)}{\partial r}\right) - v^{(\theta)}\left(\frac{\partial\left(r^2v^{(\theta)}\right)}{\partial r} - \frac{\partial v^{(r)}}{\partial\theta}\right)\right]\nonumber\\ & + \mathbf{q}^{(\theta)}\left[v^{(r)}\left(\frac{\partial \left(r^2v^{(\theta)}\right)}{\partial r} - \frac{\partial v^{(r)}}{\partial\theta}\right) - v^{(\phi)}\left(\frac{\partial\left(r^2\sin^2\left(\theta\right)v^{(\phi)}\right)}{\partial\theta} - \frac{\partial\left(r^2v^{(\theta)}\right)}{\partial\phi}\right)\right]\nonumber\\ & + \mathbf{q}^{(\phi)}\left[v^{(\theta)}\left(\frac{\partial\left(r^2\sin^2\left(\theta\right)v^{(\phi)}\right)}{\partial\theta} - \frac{\partial\left(r^2v^{(\theta)}\right)}{\partial\phi}\right) - v^{(r)}\left(\frac{\partial v^{(r)}}{\partial\phi} - \frac{\partial\left(r^2\sin^2\left(\theta\right)v^{(\phi)}\right)}{\partial r}\right)\right]\nonumber\\ &= \mathbf{q}^{(r)}\left[v^{(\phi)}\left(\frac{\partial v^{(r)}}{\partial\phi} - r^2\sin^2\left(\theta\right)\frac{\partial v^{(\phi)}}{\partial r} - 2r\sin^2\left(\theta\right)v^{(\phi)}\right) - v^{(\theta)}\left(2rv^{(\theta)} + r^2\frac{\partial v^{(\theta)}}{\partial r} - \frac{\partial v^{(r)}}{\partial\theta}\right)\right]\nonumber\\ & + \mathbf{q}^{(\theta)}\left[v^{(r)}\left(2rv^{(\theta)} + r^2\frac{\partial v^{(\theta)}}{\partial r} - \frac{\partial v^{(r)}}{\partial\theta}\right) - v^{(\phi)}\left(r^2\sin^2\left(\theta\right)\frac{\partial v^{(\phi)}}{\partial\theta} + 2r^2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)v^{(\phi)} - r^2\frac{\partial v^{(\theta)}}{\partial\phi}\right)\right]\nonumber\\ & + \mathbf{q}^{(\phi)}\bigg[v^{(\theta)}\left(r^2\sin^2\left(\theta\right)\frac{\partial v^{(\phi)}}{\partial\theta} + 2r^2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)v^{(\phi)} - r^2\frac{\partial v^{(\theta)}}{\partial\phi}\right)\nonumber\\ & - v^{(r)}\left(\frac{\partial v^{(r)}}{\partial\phi} - 2r\sin^2\left(\theta\right)v^{(\phi)} - r^2\sin^2\left(\theta\right)\frac{\partial v^{(\phi)}}{\partial r}\right)\bigg]. \end{align} \]
Somit folgt
\[ \begin{align} & \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\nonumber\\ &= \mathbf{q}^{(r)}\left[v^{(r)}\frac{\partial v^{(r)}}{\partial r} + v^{(\theta)}\frac{\partial v^{(r)}}{\partial\theta} + v^{(\phi)}\frac{\partial v^{(r)}}{\partial\phi} - r\left(v^{(\theta)}\right)^2 - r\sin^2\left(\theta\right)\left(v^{(\phi)}\right)^2\right]\nonumber\\ & + \mathbf{q}^{(\theta)}\left[r^2\left(v^{(r)}\frac{\partial v^{(\theta)}}{\partial r} + v^{(\theta)}\frac{\partial v^{(\theta)}}{\partial\theta} + v^{(\phi)}\frac{\partial v^{(\theta)}}{\partial\phi}\right) - r^2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)\left(v^{(\phi)}\right)^2 + 2rv^{(\theta)}v^{(r)}\right]\nonumber\\ & + \mathbf{q}^{(\phi)}\bigg[r^2\sin^2\left(\theta\right)\left(v^{(r)}\frac{\partial v^{(\phi)}}{\partial r} + v^{(\theta)}\frac{\partial v^{(\phi)}}{\partial\theta} + v^{(\phi)}\frac{\partial v^{(\phi)}}{\partial\phi}\right)\nonumber\\ & + 2r\sin\left(\theta\right)v^{(\phi)}\left(\sin\left(\theta\right)v^{(r)} + r\cos\left(\theta\right)v^{(\theta)}\right)\bigg]\nonumber\\ &= \mathbf{e}_r\left[\newtilde{v}_r\frac{\partial\newtilde{v}_r}{\partial r} + \newtilde{v}_\theta\frac{1}{r}\frac{\partial\newtilde{v}_r}{\partial\theta} + \newtilde{v}_\phi\frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial\newtilde{v}_r}{\partial\phi} - \frac{1}{r}\left(\newtilde{v}_\theta\right)^2 - \frac{1}{r}\left(\newtilde{v}_\phi\right)^2\right]\nonumber\\ & + \frac{1}{r}\mathbf{e}_\theta\left[r^2\left(\newtilde{v}_r\frac{1}{r}\frac{\partial\newtilde{v}_\theta}{\partial r} - \frac{\newtilde{v}_r\newtilde{v}_\theta}{r^2} + \newtilde{v}_\theta\frac{1}{r^2}\frac{\partial\newtilde{v}_\theta}{\partial\theta} + \newtilde{v}_\phi\frac{1}{r^2\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial\newtilde{v}_\theta}{\partial\phi}\right) - \frac{1}{\tan\left(\theta\right)}\left(\newtilde{v}_\phi\right)^2 + 2\newtilde{v}_\theta\newtilde{v}_r\right]\nonumber\\ & + \frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\mathbf{e}_\phi\bigg[r\sin\left(\theta\right)\left(\newtilde{v}_r\frac{\partial\newtilde{v}_\phi}{\partial r} + \frac{1}{r}\newtilde{v}_\theta\frac{\partial\newtilde{v}_\phi}{\partial\theta} + \newtilde{v}_\phi\frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial\newtilde{v}_\phi}{\partial\phi}\right) - \sin\left(\theta\right)\newtilde{v}_r\newtilde{v}_\phi - \cos\left(\theta\right)\newtilde{v}_\theta\newtilde{v}_\phi\nonumber\\ & + 2\newtilde{v}_\phi\left(\sin\left(\theta\right)\newtilde{v}_r + r\cos\left(\theta\right)\frac{1}{r}\newtilde{v}_\theta\right)\bigg]. \end{align} \]
Für die materielle Ableitung gilt also
\[ \begin{align} \md{\mathbf{v}} &= \mathbf{e}_r\left(\md{\newtilde{v}_r} - \frac{\newtilde{v}_\phi^2 + \newtilde{v}_\theta^2}{r}\right) + \mathbf{e}_\theta\left(\md{\newtilde{v}_\theta} + \frac{\newtilde{v}_r\newtilde{v}_\theta}{r} - \frac{\newtilde{v}_\phi^2}{r\tan\left(\theta\right)}\right)\nonumber\\ & + \mathbf{e}_\phi\left(\md{\newtilde{v}_\phi} + \frac{\newtilde{v}_r\newtilde{v}_\phi}{r} + \frac{\newtilde{v}_\theta\newtilde{v}_\phi}{r\tan\left(\theta\right)}\right)\tag{B.107}\label{eq:mat_derivative_kugel} \end{align} \]
Um auf geographische Koordinaten zu transformieren, beachtet man die Definition dieses KS in Abschn. D.1.3 sowie Glg. (B.66):
\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial x} &= \frac{1}{r\cos\left(\varphi\right)}\frac{\partial}{\partial\lambda} = \frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial}{\partial\phi}\\ \frac{\partial}{\partial y} &= \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\varphi} = -\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\\ \frac{\partial}{\partial z} &= \frac{\partial}{\partial r} \end{align} \]
Die letzte Identität transformiert in die gewöhnlichen Kugelkoordinaten. Analog gilt dies für zweite Ableitungen. Für die Darstellung des Laplace-Operators Glg. (B.91) folgt
\[ \begin{align} \Delta &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\cos^2\left(\varphi\right)}\frac{\partial ^2}{\partial\lambda^2} + \frac{1}{r^2\cos\left(\varphi\right)}\frac{\partial}{\partial\varphi}\left(\cos\left(\varphi\right)\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)\nonumber\\ &= \frac{\partial^2}{\partial z^2} + \frac{\partial ^2}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2}{\partial y^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial z} - \frac{\tan\left(\varphi\right)}{r}\frac{\partial}{\partial y}.\tag{B.111}\label{eq:laplace_geographische} \end{align} \]
Glg. (B.90) wird zu
\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{v} &= \frac{\partial v_z}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial v_y}{\partial\varphi} + \frac{1}{r\cos\left(\varphi\right)}\frac{\partial v_x}{\partial\lambda} + \frac{2v_z}{r} - \frac{v_y\tan\left(\varphi\right)}{r} = \nabla\cdot\mathbf{v}\nonumber\\ &= \frac{\partial v_z}{\partial r} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{2v_z}{r} - \frac{v_y\tan\left(\varphi\right)}{r}.\tag{B.112}\label{eq:div_geo} \end{align} \]
Ist $\mathbf{v} = \left(u, v, w\right)^T$ der Windvektor, folgt
\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{v} &= \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} - \frac{v\tan\left(\varphi\right)}{r} + \frac{2w}{r}. \end{align} \]
Glg. (B.98) wird zu
\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{v} &= -\frac{v_y}{r}\mathbf{i} + \frac{v_x\tan\left(\varphi\right)}{r}\mathbf{k} + \frac{v_x}{r}\mathbf{j} + \mathbf{k}\left(-\frac{1}{r}\frac{\partial v_x}{\partial\varphi} + \frac{1}{r\cos\left(\varphi\right)}\frac{\partial v_y}{\partial\lambda}\right)\nonumber\\ & -\mathbf{j}\left(\frac{1}{r\cos\left(\varphi\right)}\frac{\partial v_z}{\partial\lambda} - \frac{\partial v_x}{\partial r}\right) + \mathbf{i}\left(-\frac{\partial v_y}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial v_z}{\partial\varphi}\right)\nonumber\\ &= -\frac{v_y}{r}\mathbf{i} + \frac{v_x\tan\left(\varphi\right)}{r}\mathbf{k} + \frac{v_x}{r}\mathbf{j} + \mathbf{k}\left(-\frac{\partial v_x}{\partial y} + \frac{\partial v_y}{\partial x}\right)\nonumber\\ & -\mathbf{j}\left(\frac{\partial v_z}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial r}\right) + \mathbf{i}\left(-\frac{\partial v_y}{\partial r} + \frac{\partial v_z}{\partial y}\right).\tag{B.114}\label{eq:rot_geo} \end{align} \]
Ist $\mathbf{v}$ wieder der Windvektor, folgt
\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{v} &= \left(\frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right)\mathbf{k} + \frac{u\tan\left(\varphi\right)}{r}\mathbf{k} + \frac{u}{r}\mathbf{j} - \frac{v}{r}\mathbf{i}.\tag{B.115}\label{eq:rot_local} \end{align} \]
Weiterhin gilt
\[ \begin{align} \zeta \coloneqq\mathbf{k}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{v}\right) = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{u\tan\left(\varphi\right)}{r}. \end{align} \]
Zu beachten ist, dass gilt
\[ \begin{align} \nabla_h \times \mathbf{v}_h &= \left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right)\mathbf{k} + \frac{u\tan\left(\varphi\right)}{r}\mathbf{k} + \frac{u}{r}\mathbf{j} - \frac{v}{r}\mathbf{i} \not= \zeta\mathbf{k}. \end{align} \]
Für die materielle Ableitung folgt mit Glg. (B.107)
\[ \begin{align} \md{\mathbf{v}} &= \mathbf{i}\left(\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{uv\tan\left(\varphi\right)}{a + z} + \frac{uw}{a + z}\right)\nonumber\\ & + \mathbf{j}\left(\frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + w\frac{\partial v}{\partial z} + \frac{u^2\tan\left(\varphi\right)}{a + z} + \frac{vw}{a + z}\right)\nonumber\\ & + \mathbf{k}\left(\frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + v\frac{\partial w}{\partial y} + w\frac{\partial w}{\partial z} - \frac{u^2 + v^2}{a + z}\right)\tag{B.118}\label{eq:mat_deriv_momentum_local}\\ &= \mathbf{i}\left(\md{u} - \frac{uv\tan\left(\varphi\right)}{a + z} + \frac{uw}{a + z}\right)\nonumber\\ & + \mathbf{j}\left(\md{v} + \frac{u^2\tan\left(\varphi\right)}{a + z} + \frac{vw}{a + z}\right)\nonumber\\ & + \mathbf{k}\left(\md{w} - \frac{u^2 + v^2}{a + z}\right)\nonumber\\ &=: \md{\mathbf{v}}\vline_\text{comp} + \md{\mathbf{v}}\vline_\text{met}. \end{align} \]
Die materielle Ableitung der Geschwindigkeit setzt sich also zusammen aus den materiellen Ableitungen der Komponenten
\[ \begin{align} \md{\mathbf{v}}\vline_\text{comp} \coloneqq \mathbf{i}\md{u} + \mathbf{j}\md{v} + \mathbf{k}\md{w}. \end{align} \]
und den metrischen Termen
\[ \begin{align} \md{\mathbf{v}}\vline_\text{met} \coloneqq \mathbf{i}\left(-\frac{uv\tan\left(\varphi\right)}{a + z} + \frac{uw}{a + z}\right) + \mathbf{j}\left(\frac{u^2\tan\left(\varphi\right)}{a + z} + \frac{vw}{a + z}\right) \textcolor{red}{- \mathbf{k}\frac{u^2 + v^2}{a + z}}. \end{align} \]
Der rote Term ist die Zentrifugalbeschleunigung.
Eine weitere Form des advektiven Anteils von Glg. (B.118) ist
\[ \begin{align} \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} &= \left[\left(\mathbf{v}_h + w\mathbf{k}\right)\cdot\nabla\right]\left(\mathbf{v}_h + w\mathbf{k}\right) = \left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla\right)\mathbf{v}_h + w\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial z} + \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left(w\mathbf{k}\right)\nonumber\\ & \stackrel{\href{#eq:diff_op_rule_10}{\text{Glg. (B.57)}}}{=} \left(\nabla\times\mathbf{v}_h\right)\times\mathbf{v}_h + \nabla\frac{\mathbf{v}_h^2}{2} + w\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial z} + \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left(w\mathbf{k}\right)\nonumber \end{align} \]
\[ \begin{align} \Leftrightarrow \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} &= \left(\nabla_h\times\mathbf{v}_h\right)\times\mathbf{v}_h + \nabla_h\frac{\mathbf{v}_h^2}{2} + w\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial z} + \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left(w\mathbf{k}\right).\tag{B.122}\label{eq:2dvector_invariant_u_advection} \end{align} \]
Im letzten Schritt wurde
\[ \begin{align} \left(\mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}\times\mathbf{v}_h\right)\times\mathbf{v}_h &= \left( \begin{array}{c} -\frac{\partial v}{\partial z}\\ \frac{\partial u}{\partial z}\\ 0 \end{array}\right)\times \left( \begin{array}{c} u\\ v\\0 \end{array}\right) = -\left(u\frac{\partial u}{\partial z} + v\frac{\partial v}{\partial z}\right)\mathbf{k} = -\mathbf{k}\frac{\partial\mathbf{v}_h^2}{\partial z} \end{align} \]
verwendet. Glg. (B.122) bezeichnet man als 2D-vektorinvariante Form der Geschwindigkeitsadvektion. Eine weitere nützliche Form hiervon ist
\[ \begin{align} \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} &= \left(\nabla\times\mathbf{v}_h\right)\times\mathbf{v}_h + \nabla\frac{\mathbf{v}_h^2}{2} + w\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial z} + \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left(w\mathbf{k}\right)\nonumber\\ &= \left(\nabla\times\mathbf{v}_h\right)\times\mathbf{v}_h + \nabla\frac{\mathbf{v}_h^2}{2} + w\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial z} + \left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla\right)\left(w\mathbf{k}\right). \end{align} \]
Wegen
\[ \begin{align} \left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\times\mathbf{v}_h &= \left[\nabla\times\left(\mathbf{v}_h + w\mathbf{k}\right)\right]\times\mathbf{v}_h = \left(\nabla\times\mathbf{v}_h\right)\times\mathbf{v}_h + \left(\nabla\times w\mathbf{k}\right)\times\mathbf{v}_h\nonumber\\ & \stackrel{\text{Glg. }\href{#eq:rot_local}{(B.115)}}{=} \left(\nabla\times\mathbf{v}_h\right)\times\mathbf{v}_h + \left(\frac{\partial w}{\partial y}\mathbf{i} - \frac{\partial w}{\partial x}\mathbf{j}\right)\times\mathbf{v}_h = \left(\nabla\times\mathbf{v}_h\right)\times\mathbf{v}_h + \mathbf{k}\left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla w\right)\nonumber\\ \Rightarrow\left(\nabla\times\mathbf{v}_h\right)\times\mathbf{v}_h &= \left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\times\mathbf{v}_h - \mathbf{k}\left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla w\right) \end{align} \]
und
\[ \begin{align} \left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla\right)\left(w\mathbf{k}\right) &= \mathbf{k}\left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla w\right) + w\left(u\frac{\partial\mathbf{k}}{\partial x} + v\frac{\partial\mathbf{k}}{\partial y}\right) = \mathbf{k}\left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla w\right) + w\left(\frac{u}{r\cos\left(\phi\right)}\frac{\partial\mathbf{k}}{\partial\lambda} + \frac{v}{r}\frac{\partial\mathbf{k}}{\partial\phi}\right)\nonumber\\ &= \mathbf{k}\left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla w\right) + w\left(\frac{u}{r}\mathbf{i} + \frac{v}{r}\mathbf{j}\right) = \mathbf{k}\left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla w\right) + \frac{w}{r}\mathbf{v}_h \end{align} \]
gilt
\[ \begin{align} \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} &= \left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\times\mathbf{v}_h + \nabla\frac{\mathbf{v}_h^2}{2} + w\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial z} + \frac{w}{r}\mathbf{v}_h. \end{align} \]
Durch Vergleich mit Abschn. 13.3 stellt man fest, dass der Term $\frac{w}{r}\mathbf{v}_h$ unter der shallow-atmosphere-Approximation nicht auftritt.
Die metrischen Terme in Glg. (B.118) lauten
\[ \begin{align} \md{\mathbf{v}}\vline_\text{met} &= \left(\begin{array}{c} -\frac{uv\tan\left(\varphi\right)}{a + z} + \frac{uw}{a + z}\\ \frac{u^2\tan\left(\varphi\right)}{a + z} + \frac{vw}{a + z}\\ -\frac{u^2 + v^2}{a + z} \end{array}\right).\tag{B.128}\label{eq:mat_deriv_momentum_met} \end{align} \]
Die metrischen Terme in Glg. (B.115) lauten
\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{v}\vline_\text{met} &= \left(\begin{array}{c} -\frac{v}{r}\\ \frac{u}{r}\\ \frac{u\tan\left(\varphi\right)}{r} \end{array}\right). \end{align} \]
Multpliziert man dies vektoriell mit $\mathbf{v}$, erhält man Glg. (B.128):
\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{v}\vline_\text{met}\times\mathbf{v} &= \left(\begin{array}{c} -\frac{v}{r}\\ \frac{u}{r}\\ \frac{u\tan\left(\varphi\right)}{r} \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} u\\ v\\ w \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -\frac{uv\tan\left(\varphi\right)}{a + z} + \frac{uw}{a + z}\\ \frac{u^2\tan\left(\varphi\right)}{a + z} + \frac{vw}{a + z}\\ -\frac{u^2 + v^2}{a + z} \end{array}\right) = \md{\mathbf{v}}\vline_\text{met}.\tag{B.130}\label{eq:mat_deriv_momentum_met_prop_0} \end{align} \]
Die metrischen Terme in der Impulsadvektion sind also Folgerungen der metrischen Terme in der Rotation.
Seien $M, N\subseteq\mathbb{R}^3$, $f:M\to\mathbb{R}$ stetig, $T:N\to M$ ein Diffeomorphismus, dann gilt
\[ \begin{align} \int_{M}^{}fd^3r = \int_{N}^{}f\circ T\left|\det\left(T'\right)\right|d^3r, \tag{B.131}\label{eq:trans_formel} \end{align} \]
dies entspricht der mehrdimensionalen Substitutionsformel. Die Determinante $\det\left(T'\right)$ heißt Funktionaldeterminante. Als Beispiel nehme $M = \mathbb{R}$, $N = \left[0, \infty\right)\times\left[0, \pi\right]\times\left[0, 2\pi\right)$ und
\[ \begin{align} T = r\left(\begin{array}{c} \sin\left(\vartheta\right)\cos\left(\varphi\right)\\ \sin\left(\vartheta\right)\sin\left(\varphi\right)\\ \cos\left(\vartheta\right) \end{array}\right), \end{align} \]
dann gilt
\[ \begin{align} T' = \left(\begin{array}{ccc} \sin\left(\vartheta\right)\cos\left(\varphi\right)&r\cos\left(\vartheta\right)\cos\left(\varphi\right)& -r\sin\left(\vartheta\right)\sin\left(\varphi\right)\\ \sin\left(\vartheta\right)\sin\left(\varphi\right)&r\cos\left(\vartheta\right)\sin\left(\varphi\right)&r\sin\left(\vartheta\right)\cos\left(\varphi\right)\\ \cos\left(\vartheta\right)& -r\sin\left(\vartheta\right)&0 \end{array}\right). \end{align} \]
Für die Determinante gilt
\[ \begin{align} \det\left(T'\right) &= -r\sin\left(\vartheta\right)\cos\left(\varphi\right)\left(-r\sin\left(\vartheta\right)^2\cos\left(\varphi\right) - r\cos\left(\vartheta\right)^2\cos\left(\varphi\right)\right)\nonumber\\ & - r\sin\left(\vartheta\right)\sin\left(\varphi\right)\left(-r\sin\left(\vartheta\right)^2\sin\left(\varphi\right) - r\cos\left(\vartheta\right)^2\sin\left(\varphi\right)\right)\nonumber\\ &= r^2\sin\left(\vartheta\right)\cos\left(\varphi\right)^2 + r^2\sin\left(\vartheta\right)\sin\left(\vartheta\right)^2 = r^2\sin\left(\vartheta\right), \end{align} \]
im Falle geographischer Koordinaten ist die Funktionaldeterminante $r^2\cos\left(\varphi\right)$.
Der Satz von Stokes Glg. (15.26) wurde bereits eingeführt. Seien $A\subseteq\mathbb{R}^3$ zusammenhängend und $\mathbf{v}:A\to\mathbb{R}^3$ stetig-differenzierbar. Dann gilt
\[ \begin{align} \int_{A}\nabla\cdot\mathbf{v}d^3r = \int_{\partial A}\mathbf{v}\cdot d\mathbf{n}.\tag{B.135}\label{eq:gaussscher_satz} \end{align} \]
Dies ist der Gauß'sche Satz.
Eine Kugel $K_N\left(R\right)$ im $\mathbb{R}^N$ mit Radius $R\geq0$ kann man definieren durch
\[ \begin{align} K_N\left(R\right) \coloneqq \left\{\mathbf{x} = \left(x_1, \dotsc, x_N\right)^T\in\mathbb{R}^N\newvline\sum_{i = 1}^{N}x_i^2\leq R^2\right\}. \end{align} \]
Ihr Volumen ist
\[ \begin{align} V_N\left(R\right) = \int_{K_N}dx_1\dotsc dx_N. \end{align} \]
Es gilt
\[ \begin{align} \int_{\mathbb{R}^N}\exp\left(-\sum_{i = 1}^{N}x_i^2\right)dx_1\dotsc dx_N &= \int_{0}^{\infty}e^{-R^2}\frac{dV_N}{dR}dR, \tag{B.138}\label{eq:n_dim_kugel_hilfe_1} \end{align} \]
dies entspricht einer Transformation auf Kugelkoordinaten. Man kann auch das Integral $V_N\left(R\right)$ auf Kugelkoordinaten transformieren, indem man schreibt
\[ \begin{align} V_N\left(R\right) = \int_{K_N}dV_N = \int_{0}^{R}f_N\left(R\right)dR, \tag{B.139}\label{eq:n_dim_kugel_hilfe_2} \end{align} \]
hierbei ist $f_N\left(R\right)$ die über die Oberfläche integrierte Funktionaldeterminante. Die $N-$dimensionalen Kugelkoordinaten bestehen aus $N - 1$ Winkeln und einem Abstand. Daher ist $f_N\left(R\right)$ die Determinante einer reellen $N\times N-$Matrix, in der in $N - 1$ Spalten der Faktor $R$ auftritt. $f_N\left(R\right)$ ist somit vom Grad $N - 1$, man kann schreiben
\[ \begin{align} f_N\left(R\right) = NC_NR^{N - 1}. \end{align} \]
Durch Differenzieren von Glg. (B.139) nach $R$ und mit Glg. (B.138) folgt
\[ \begin{align} \frac{dV_N}{dR} &= NC_NR^{N - 1} \Rightarrow NC_N\int_{0}^{\infty}e^{-R^2}R^{N - 1}dR = \left(\int_{ - \infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\right)^N = \pi^{N/2}. \end{align} \]
Der letzte Schritt folgt mit Glg. (A.105). Es gilt mit der Substitutionsregel
\[ \begin{align} \int_{0}^{\infty}e^{-R^2}R^{N - 1}dR &= \int_{0}^{\infty}e^{-R}R^{\frac{N - 1}{2}}\frac{1}{2}R^{-\frac{1}{2}}dR = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}e^{-R}R^{N/2 - 1}dR = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{N}{2}\right). \end{align} \]
Es folgt mit Glg. (A.111)
\[ \begin{align} V_N = C_NR^{N} = \frac{\pi^{N/2}}{\frac{N}{2}\Gamma\left(\frac{N}{2}\right)}R^N = \frac{\pi^{N/2}}{\Gamma\left(\frac{N}{2} + 1\right)}R^N.\tag{B.143}\label{eq:volumen_n_dim_kugel} \end{align} \]
Sei zeitabhängige zusammenhängende Menge $\Omega = \Omega\left(t\right) \subseteq \mathbb{R}^3$ gegeben, welche sich mit dem stetig differenzierbaren Vektorfeld $\mathbf{v} = \mathbf{v}\left(\mathbf{r}, t\right)$ fortbewegt.
Das sogenannte Transporttheorem ist die dreidimensionale Verallgemeinerung der Leibniz-Regel Glg. (A.95).
\[ \begin{align} \frac{dF\left(t\right)}{dt} = \int_{\Omega\left(t\right)}\frac{\partial f\left(x, y, z, t\right)}{\partial t}dx + \int_{\partial\Omega}f\left(x, y, z, t\right)\left(\mathbf{v}\cdot d\mathbf{n}\right).\tag{B.144}\label{eq:transport_theorem} \end{align} \]
Dies ist das Transporttheorem oder auch Reynolds'sches Transporttheorem. $f$ kann auch die Komponente eines Vektorfeldes sein. Somit kann man die Herleitung vektoriell verallgemeinern:
\[ \begin{align} \frac{d\mathbf{F}\left(t\right)}{dt} = \int_{\Omega\left(t\right)}\frac{\partial\mathbf{f}\left(x, y, z, t\right)}{\partial t}dx + \int_{\partial\Omega}\mathbf{f}\left(x, y, z, t\right)\left(\mathbf{v}\cdot d\mathbf{n}\right) \end{align} \]