15 Vorticity und Divergenz

Sei ein beliebiges Vektorfeld $\mathbf{v}$ gegeben. Der Ansatz

\[ \begin{align} \mathbf{v} = \Delta\mathbf{w} \end{align} \]

mit den Randbedingungen

\[ \begin{align} \lim\limits_{\left|\mathbf{r}\right|\to\infty}\mathbf{w} = \mathbf{0} \end{align} \]

mit einem Vektorfeld $\mathbf{v}$ ist für stetige $\mathbf{v}$ eindeutig lösbar, es handelt sich nämlich um drei unabhängige Poisson-Gleichungen

\[ \begin{align} v_i = \Delta w_i. \end{align} \]

Nach Glg. (B.54) gilt

\[ \begin{align} \Delta\mathbf{w} = \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{w}\right) - \nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{w}\right). \end{align} \]

Man definiert

\[ \begin{align} \chi \coloneqq\nabla\cdot\mathbf{w} \end{align} \]

als Geschwindigkeitspotential, weiterhin definiert man

\[ \begin{align} \mathbf{A} \coloneqq -\nabla\times\mathbf{w} \end{align} \]

als Vektorpotential, dann gilt

\[ \begin{align} \mathbf{v} = \nabla\chi + \nabla\times\mathbf{A}. \end{align} \]

Man hat also eine eindeutige Zerlegung

\[ \begin{align} \mathbf{v} = \mathbf{v}_\text{nonrot} + \mathbf{v}_\text{nondiv}, & {} & \nabla\times\mathbf{v}_\text{nonrot} = \mathbf{0}, & {} & \nabla\cdot\mathbf{v}_\text{nondiv} = 0 \end{align} \]

vorgenommen. Dass dies immer möglich ist, ist der Hauptsatz der Vektoranalysis. $\chi$ und $\mathbf{A}$ haben insgesamt vier Komponenten, das Windfeld jedoch nur drei. Daher kann man eine weitere lineare Bedingung stellen, hier wird

\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{A} = 0 \end{align} \]

gewählt, daraus folgt

\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{v} = \Delta\mathbf{A}. \end{align} \]

Betrachtet man nur das horizontale Windfeld

\[ \begin{align} \mathbf{v}_h \coloneqq\mathbf{v} - w\mathbf{k}, \end{align} \]

so gilt dies natürlich auch. An das Vektorpotential stellt man nun statt der Bedingung $\nabla\cdot\mathbf{A}\hastobe0$ die algebraische Bedingung

\[ \begin{align} \mathbf{A}\hastobe\left(\mathbf{k}\cdot {\mathbf{A}}\right)\mathbf{k} \end{align} \]

und definiert eine Stromfunktion $\psi = \psi\left(\varphi, \lambda\right) \coloneqq - \mathbf{k}\cdot\mathbf{A}$. Dann gilt

\[ \begin{align} \mathbf{v}_{h,{\text{nondiv}}} &= \nabla\times\left[-\mathbf{k}\psi\right]\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_5}{\text{ Glg. (B.51)}}}{=} \mathbf{k}\times\nabla\psi.\tag{15.13}\label{eq:v_h_streamf} \end{align} \]

Zur Überprüfung rechnet man

\[ \begin{align} \nabla\cdot\left(\mathbf{k}\times\nabla\psi\right)&\stackrel{\text{Glg. }\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_9}{(B.55)}}{=} \nabla\psi\cdot\left(\nabla\times\mathbf{k}\right) - \mathbf{k}\cdot\left(\nabla\times\nabla\psi\right) = \mathbf{0}. \end{align} \]

Man definiert

\[ \begin{align} \zetabi \coloneqq \nabla\times\mathbf{v}. \end{align} \]

Es gilt

\[ \begin{align} \zeta &\coloneqq \mathbf{k}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{v}_h\right) = \mathbf{k}\cdot\left[\nabla\times\left(\mathbf{k}\times\nabla\psi\right)\right]\stackrel{\text{Glg. }\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_7}{(B.53)}}{=}\Delta\psi. \end{align} \]

Für die Divergenz gilt weiterhin

\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{v}_h = \Delta\chi. \end{align} \]

Man beachte, dass $\zeta$ nicht der Betrag von $\zetabi$ ist, sondern die z-Komponente davon.

15.1 Vorticity

Die rotierende Basis der globalen Koordinaten sei mit $\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z$ bezeichnet, das Geschwindigkeitsfeld schreibt sich damit als

\[ \begin{align} \mathbf{v} = u_x\mathbf{e}_x + u_y\mathbf{e}_y + u_z\mathbf{e}_z. \end{align} \]

Schreibt man

\[ \begin{align} \mathbf{U'} = \omegabi\times\mathbf{r} + \mathbf{v}, \end{align} \]

so ist $\mathbf{U'}$ das Feld der Teilchengeschwindigkeiten in ruhenden Koordinaten. Es setzt sich zusammen aus dem Anteil der Erdrotation $\omegabi\times\mathbf{r}$ und dem relativ zur rotierenden Erde gemessenen Windfeld $\mathbf{v}$. Damit folgt

\[ \begin{align} \etabi \coloneqq\nabla\times\mathbf{v}' = \nabla\times\mathbf{v} + \nabla\times\left(\omegabi\times\mathbf{r}\right) = \zetabi + \mathbf{f}, \end{align} \]

es wurde

\[ \begin{align} \nabla\times\left(\omegabi\times\mathbf{r}\right)\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_7}{\text{Glg. (B.53)}}}{=}\omegabi\left(\nabla\cdot\mathbf{r}\right) - \left(\omegabi\cdot\nabla\right)\mathbf{r} = 3\omegabi - \left(\omega\frac{\partial}{\partial z}\right)\mathbf{r} = 3\omegabi - \omegabi = 2\omegabi = \mathbf{f} \end{align} \]

eingesetzt. Man definiert die absolute Vorticity $\eta$ durch die Vertikalkomponente der Rotation von $\mathbf{v}'$. Diese erhält man als Skalarprodukt von $\nabla\times\mathbf{v}'$ mit dem vertikalen Einheitsvektor $\mathbf{k}$:

\[ \begin{align} \eta \coloneqq\mathbf{k}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{v}\right) + \mathbf{k}\cdot\mathbf{f} = \zeta + f \end{align} \]

Man erinnere sich daran, dass der Coriolis-Parameter die Vertikalkomponente des Coriolis-Vektors ist und nicht etwa dessen Betrag. Den Anteil der absoluten Vorticity, der durch die Erdrotation herrührt, bezeichnet man auch als planetare Vorticity, während der Anteil, der durch das in rotierenden Koordinaten gemessene Windfeld zustande kommt, als relative Vorticity bezeichnet wird.

Die Vorticity hat auch eine anschauliche Bedeutung, die zunächst nicht so einleuchtend ist wie die der Divergenz. Hierzu werden zwei Beispiele betrachtet.

• Nehme das Feld $\mathbf{v} = \left(y, 0, 0\right)^T$. Die Stromlinien dieses Feldes sind nicht gekrümmt. Trotzdem gilt $\nabla\times\mathbf{v} = \left(0, 0, - 1\right)^T\not = \mathbf{0}$.
• Nehme das Feld $\mathbf{v} = \frac{1}{x^2 + y^2}\left(-y, x, 0\right)^T$. Das Feld sieht sehr stark nach einem rotationsbehafteten Feld aus (s. Abb. 15.1). Trotzdem gilt

  \[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{v} &= \left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{x^2 + y^2} + \frac{\partial}{\partial y}\frac{y}{x^2 + y^2} \right)\mathbf{e}_z\nonumber\\ &= \left(\frac{1}{x^2 + y^2} - x2x\frac{1}{\left(x^2 + y^2\right)^2} + \frac{1}{x^2 + y^2} - y2y\frac{1}{\left(x^2 + y^2\right)^2}\right)\mathbf{e}_z = \mathbf{0}. \end{align} \]

Um die wahre Bedeutung der Vorticity zu verstehen, stellt man sich am besten ein 2D-Vektorfeld $\mathbf{v}_h = \left(u, v\right)^T$ vor (in kartesischen Koordinaten). Nehme ein Rechteck $\left[-a, a\right]\times\left[-b, b\right]$. $\mathbf{s}$ sei eine Kurve, die im positiven mathematischen Drehsinn diese Menge umschließt. Dann gilt näherungsweise mit $\left(u, v\right)$ als Vektor am Ursprung

\[ \begin{align} \int_{\mathbf{s}}^{}\mathbf{v}_h\cdot d\mathbf{s} &\approx 2a\left(u - b\frac{\partial u}{\partial y}\right) + 2b\left(v + a\frac{\partial v}{\partial x}\right) - 2a\left(u + b\frac{\partial u}{\partial y}\right) - 2b\left(v - a\frac{\partial v}{\partial x}\right)\nonumber\\ &= -2ba\frac{\partial u}{\partial y} + 2ba\frac{\partial v}{\partial x} - 2ab\frac{\partial u}{\partial y} + 2ba\frac{\partial v}{\partial x} = -4ba\frac{\partial u}{\partial y} + 4ab\frac{\partial v}{\partial x} = 4ab\left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right). \end{align} \]

Der Flächeninhalt der Fläche ist $4ab$. Betrachtet man die Zirkulation des Vektorfelds um ein Teilchen, bildet also

\[ \begin{align} \lim\limits_{a, b\to 0}\frac{\int_{\mathbf{s}}^{}{\mathbf{v}_h\cdot d\mathbf{s}}}{4ab} = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}, \end{align} \]

so ergibt sich die Definition der z-Komponente der Wirbelstärke. Die Komponenten der Rotation geben deshalb an, wie eine kleine Fläche in einer Ebene senkrecht zur jeweiligen Komponente umströmt wird. Es gibt also einen Zusammenhang von Zirkulation und Vorticity. In integraler Form ist dies die Aussage des Satzes von Stokes:

\[ \begin{align} \int_{A}^{}\nabla\times\mathbf{v}\cdot d\mathbf{f} = \int_{\partial A}^{}\mathbf{v}\cdot d\mathbf{s}.\tag{15.26}\label{eq:satz_von_stokes} \end{align} \]

Der Satz von Stokes verknüpft also genau wie die obige Betrachtung das vektorielle Kurvenintegral entlang des Randes einer Fläche mit der Wirbelstärke innerhalb der Fläche. Eine weitere Veranschaulichung der Vorticity wird im kommenden Abschnitt gezeigt.

15.1.1 Scherungs- und Krümmungsvorticity

Definiere o. B. d. A. in ebener Geometrie eine rechtshändige Orthonormalbasis $\mathbf{s}, \mathbf{n}, \mathbf{k}$, bei der $\mathbf{s}$ am Ursprung parallel zum Horizontalwind ist. Damit gilt

\[ \begin{align} \mathbf{v} = \left(\begin{array}{c} V\cos\left(\beta\right)\\ V\sin\left(\beta\right)\\ w \end{array}\right)\tag{15.27}\label{eq:wind_natuerlich} \end{align} \]

mit der horizontalen Windgeschwindigkeit $V$ und dem Vertikalwind $w$. $\beta$ ist hier die horizontale Windrichtung relativ zu $\mathbf{s}$. Damit folgt für die Vorticity

\[ \begin{align} \zeta &= \frac{\partial}{\partial s}V\sin\left(\beta\right) - \frac{\partial}{\partial n}V\cos\left(\beta\right) = \sin\left(\beta\right)\frac{\partial V}{\partial s} + V\frac{\partial\beta}{\partial s}\cos\left(\beta\right) - \cos\left(\beta\right)\frac{\partial V}{\partial n} + V\sin\left(\beta\right)\frac{\partial \beta}{\partial n}. \end{align} \]

Im Koordinatenursprung gilt $\beta = 0$, deshalb hat man dort

\[ \begin{align} \zeta = V\frac{\partial\beta}{\partial s} - \frac{\partial V}{\partial n}. \end{align} \]

Den ersten Term $V\frac{\partial\beta}{\partial s}$ nennt man Krümmungsvorticity. Er ist größer Null, wenn die Stromlinie nach links gekrümmt ist, gleich Null, wenn die Stromlinie gerade ist, und bei einer nach rechts gekrümmten Stromlinie kleiner als Null. Den Term $-\frac{\partial V}{\partial n}$ nennt man Scherungsvorticity. Er ist größer Null, wenn die Windgeschwindigkeit rechts von der Windrichtung zunimmt. Insbesondere sieht man, dass ein Strömungsfeld mit gekrümmten Stromlinien rotationsfrei sein kann und eines mit geraden Stromlinien rotationsbehaftet.

15.1.2 Zirkulationssatz

Sei $A$ eine beliebig geformte Fläche im Raum, dann definiert man die Zirkulation $S$ des Windfeldes $\mathbf{v}$ um $A$ zur Zeit $t$ durch

\[ \begin{align} S\left(t\right) \coloneqq \int_{\partial A}\mathbf{v}\cdot d\mathbf{s} = \int_0^1\mathbf{v}\left(\mathbf{r}\left(\tau\right), t\right)\cdot\frac{d\mathbf{r}}{d\tau}d\tau, \end{align} \]

wobei $\mathbf{r}\left(\tau\right)$ eine auf dem Intervall $\left[0, 1\right]$ definierte Funktion ist, die den Rand von $A$ durchläuft. Bewegt sich die Fläche $A$ mit dem Windfeld mit, so ändert sich auch die Zirkulation $S$ um $A$, also

\[ \begin{align} \md{S} = \md{}\int_0^1\mathbf{v}\left(\mathbf{r}\left(\tau\right), t\right)\cdot\frac{d\mathbf{r}}{d\tau}d\tau = \int_0^1\md{\mathbf{v}}\cdot\frac{d\mathbf{r}}{d\tau}d\tau + \int_0^1\mathbf{v}\cdot\md{}\left(\frac{d\mathbf{r}}{d\tau}\right)d\tau. \end{align} \]

Um das zweite Integral näher zu bestimmen, stellt man vorbereitend

\[ \begin{align} \frac{d\mathbf{r}}{d\tau} &= \lim_{\Delta \to 0}\frac{\mathbf{r}\left(\tau + \Delta\right) - \mathbf{r}\left(\tau\right)}{\Delta}\nonumber\\ \Rightarrow \md{}\frac{d\mathbf{r}}{d\tau} &= \lim_{\Delta \to 0}\frac{\md{\mathbf{r}}\left(\tau + \Delta\right) - \md{\mathbf{r}}\left(\tau\right)}{\Delta} = \lim_{\Delta \to 0}\frac{\mathbf{v}\left(\mathbf{r}\left(\tau + \Delta\right)\right) - \mathbf{v}\left(\mathbf{r}\left(\tau\right)\right)}{\Delta}\nonumber\\ &= \left(\frac{d\mathbf{r}}{d\tau}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} \end{align} \]

fest. Definiere $\mathbf{v}\left(\tau\right) \coloneqq \mathbf{v}\left(\mathbf{r}\left(\tau\right), t\right)$, dann gilt

\[ \begin{align} \left(\frac{d\mathbf{r}}{d\tau}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{v}}{d\tau}, \end{align} \]

womit man

\[ \begin{align} \int_0^1\mathbf{v}\cdot\md{}\left(\frac{d\mathbf{r}}{d\tau}\right)d\tau = \int_0^1\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{v}}{d\tau}d\tau = \frac{1}{2}\left[\mathbf{v}^2\right]_0^1 = 0 \end{align} \]

erhält, da aufgrund der Geschlossenheit der Kurve $\mathbf{v}\left(0\right) = \mathbf{v}\left(1\right)$ gilt. Mit dem Stokes'schen Satz folgt

\[ \begin{align} \md{S} = \int_A\nabla\times\mathbf{F}\cdot d\mathbf{n}, \end{align} \]

wobei $\mathbf{F}$ die Summe aller wirkenden Kräfte ist. Konservative Kräfte ändern die Zirkulation also nicht. Mit

\[ \begin{align} \nabla\times\left(-\frac{1}{\rho}\nabla p\right) & \stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_5}{\text{Glg. (B.51)}}}{=} \frac{1}{\rho^2}\nabla\rho\times\nabla p,\\ \nabla\times\mathbf{v}\times\mathbf{f} & \stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_7}{\text{Glg. (B.53)}}}{=} \left(\mathbf{f}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} - \mathbf{f}\nabla\cdot\mathbf{v} \end{align} \]

folgt

In IS gilt also in barotropen idealen Medien

\[ \begin{align} \md{S} = 0 \Leftrightarrow S = \text{const.}\tag{15.39}\label{eq:circ_theorem_mod_1} \end{align} \]

15.1.3 Vorticitygleichung

Die Impulsgleichung Glg. (8.101) lautet

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} &= -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{v}\times\etabi - \nabla k + \mathbf{g} + \mathbf{f}_R. \end{align} \]

Nun wendet man auf die einzelnen Terme den Operator $\nabla\times $ an:

\[ \begin{align} \nabla\times\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} &\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_4}{\text{Glg. (B.50)}}}{=} \frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\\ \nabla\times\left(-\frac{1}{\rho}\nabla p\right) &= -\nabla\times\left(\frac{1}{\rho}\nabla p\right) \stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_5}{\text{Glg. (B.51)}}}{=} -\frac{1}{\rho^2}\nabla p\times\nabla\rho\\ \nabla\times\left(\mathbf{v}\times\etabi\right) &\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_7}{\text{Glg. (B.53)}}}{=} -\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\etabi - \etabi\nabla\cdot\mathbf{v} + \left(\etabi\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\\ \nabla\times\nabla k &\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_1}{\text{Glg. (B.47)}}}{=} \mathbf{0}\\ \nabla\times\mathbf{g} &= \nabla\times\left(-\nabla\Phi\right) \stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_1}{\text{Glg. (B.47)}}}{=} \mathbf{0} \end{align} \]

Somit gilt

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\times\mathbf{v}\right) &= \frac{1}{\rho^2}\nabla\rho\times\nabla p - \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\etabi - \etabi\nabla\cdot\mathbf{v} + \left(\etabi\cdot\nabla\right)\mathbf{v} + \nabla\times\mathbf{f}_R.\tag{15.46}\label{eq:vorticity_eq_3d} \end{align} \]

15.1.3.1 Formulierung in geographischen Koordinaten

Durch Projektion auf die lokale Senkrechte erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta}{\partial t} &= \mathbf{k}\cdot\left[\frac{1}{\rho^2}\nabla\rho\times\nabla p - \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\etabi - \etabi\nabla\cdot\mathbf{v} + \left(\etabi\cdot\nabla\right)\mathbf{v} + \nabla\times\mathbf{f}_R\right]\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{\partial\zeta}{\partial t} &= \mathbf{k}\cdot\left[\frac{1}{\rho^2}\nabla\rho\times\nabla p - \etabi\nabla\cdot\mathbf{v} - \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\etabi + \left(\etabi\cdot\nabla\right)\mathbf{v} + \nabla\times\mathbf{f}_R\right]\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{\partial\zeta}{\partial t} &= \mathbf{k}\cdot\left[\frac{1}{\rho^2}\nabla\rho\times\nabla p - \etabi\nabla\cdot\mathbf{v} + \left(\etabi\cdot\nabla\right)\mathbf{v} - \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\etabi + \nabla\times\mathbf{f}_R\right]\nonumber\\ \Rightarrow\frac{\partial\zeta}{\partial t} &= \frac{1}{\rho^2}\mathbf{k}\cdot\left(\nabla\rho\times\nabla p\right) - \eta\nabla\cdot\mathbf{v} + \mathbf{k}\cdot\left[\left(\etabi\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\right] - \mathbf{k}\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\etabi\right] + \mathbf{k}\cdot\nabla\times\mathbf{f}_R. \end{align} \]

Man rechnet zunächst mit Glg. (B.58)

\[ \begin{align} \left(\etabi\cdot\nabla\right)w = \left(\etabi\cdot\nabla\right)\left(\mathbf{v}\cdot\mathbf{k}\right) &= \mathbf{k}\cdot\left[\left(\etabi\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\right] + \mathbf{v}\cdot\left[\left(\etabi\cdot\nabla\right)\mathbf{k}\right]\nonumber\\ \Rightarrow\mathbf{k}\cdot\left[\left(\etabi\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\right] &= \left(\etabi\cdot\nabla\right)w - \mathbf{v}\cdot\left[\left(\etabi\cdot\nabla\right)\mathbf{k}\right],\\ \mathbf{v}\cdot\nabla\eta = \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left(\etabi\cdot\mathbf{k}\right) &= \etabi\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{k}\right] + \mathbf{k}\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\etabi\right]\nonumber\\ \Rightarrow\mathbf{k}\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\etabi\right] &= \mathbf{v}\cdot\nabla\eta - \etabi\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{k}\right]. \end{align} \]

Somit gilt

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta}{\partial t} &= \frac{1}{\rho ^2}\mathbf{k}\cdot\left(\nabla\rho\times\nabla p\right) - \eta\nabla\cdot\mathbf{v} + \left(\etabi\cdot\nabla\right)w - \mathbf{v}\cdot\left[\left(\etabi\cdot\nabla\right)\mathbf{k}\right] - \mathbf{v}\cdot\nabla\eta + \etabi\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{k}\right] + \mathbf{k}\cdot\nabla\times\mathbf{f}_R. \end{align} \]

Es gelten mit den Feststellungen in Abschn. B.2.1

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{k}}{\partial x} = \frac{\mathbf{i}}{r}, & {} & \frac{\partial\mathbf{k}}{\partial y} = \frac{\mathbf{j}}{r}, & {} & \frac{\partial\mathbf{k}}{\partial z} = \mathbf{0}. \end{align} \]

Somit folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta}{\partial t} &= \frac{1}{\rho ^2}\mathbf{k}\cdot\left(\nabla\rho\times\nabla p\right) - \eta\nabla\cdot\mathbf{v} + \etabi\cdot\nabla w - \mathbf{v}\cdot\left(\eta_x\frac{\partial\mathbf{k}}{\partial x} + \eta_y\frac{\partial\mathbf{k}}{\partial y}\right) - \mathbf{v}\cdot\nabla\eta + \etabi\cdot\left(u\frac{\partial\mathbf{k}}{\partial x} + v\frac{\partial\mathbf{k}}{\partial y}\right) + \mathbf{k}\cdot\nabla\times\mathbf{f}_R\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{\partial\zeta}{\partial t} &= \frac{1}{\rho ^2}\mathbf{k}\cdot\left(\nabla\rho\times\nabla p\right) - \eta\nabla\cdot\mathbf{v} + \etabi\cdot\nabla w \textcolor{blue}{- \frac{u\eta_x}{r}} \textcolor{red}{- \frac{v\eta_y}{r}} - \mathbf{v}\cdot\nabla\eta \textcolor{blue}{+ \frac{\eta_xu}{r}} \textcolor{red}{+ \frac{\eta_yv}{r}} + \mathbf{k}\cdot\nabla\times\mathbf{f}_R. \end{align} \]

Die farblich markierten Terme heben sich jeweils gegenseitig weg. Somit gilt

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta}{\partial t} &= \frac{1}{\rho ^2}\mathbf{k}\cdot\left(\nabla\rho\times\nabla p\right) - \eta\nabla\cdot\mathbf{v} + \etabi\cdot\nabla w - \mathbf{v}\cdot\nabla\eta + \mathbf{k}\cdot\nabla\times\mathbf{f}_R. \end{align} \]

Die Vorticitygleichung lautet schlussendlich

15.1.3.2 Interpretation der Terme

Vernachlässigt man die Reibung, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta}{\partial t} = -\mathbf{v}\cdot\nabla\eta - \eta\nabla\cdot\mathbf{v} + \etabi\cdot\nabla w + \frac{1}{\rho ^2}\mathbf{k}\cdot\left(\nabla\rho\times\nabla p\right). \end{align} \]

Geht man von einem Flachgeofluid aus und führt einen horizontalen Windvektor $\mathbf{v}_h$ ein, folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta}{\partial t} &= -\mathbf{v}\cdot\nabla\eta - \eta\nabla\cdot\mathbf{v}_h - \eta\frac{\partial w}{\partial z} + \etabi_h\cdot\nabla_hw + \eta\frac{\partial w}{\partial z} + \frac{1}{\rho ^2}\mathbf{k}\cdot\left(\nabla\rho\times\nabla p\right)\nonumber\\ &= \underbrace{-\mathbf{v}\cdot\nabla\eta - \eta\nabla\cdot\mathbf{v}_h + \etabi_h\cdot\nabla_hw}_\text{Advektion} + \underbrace{\frac{1}{\rho^2}\mathbf{k}\cdot\left(\nabla\rho\times\nabla p\right)}_\text{Solenoidterm}. \end{align} \]

Der sogenannte Solenoidterm entsteht aus der Rotation der Druckgradientbeschleunigung. Die Rotation von $\nabla p$ ist Null. Ein geschlossenes Linienintegral über $-\nabla p\cdot d\mathbf{n}$ verschwindet also. Durch die Ortsabhängigkeit der Dichte kann jedoch $\int_{\partial\Omega\subseteq\mathbb{R}^2}-\frac{1}{\rho}\nabla p\cdot d\mathbf{n} \not= 0$ gelten. Ein Teilchen, welches sich auf einer geschlossenen Bahn, beispielsweise einer Kreisbahn bewegt, kann also durch den Druckgradienten beschleunigt oder abgebremst werden, was die Vorticity ändert.

Abgesehen vom Solenoidterm wird Vorticity also nur durch die Impulsadvektion generiert. Diese lässt sich noch wie folgt aufteilen:

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta}{\partial t}_\text{adv} &= \underbrace{-\mathbf{v}\cdot\nabla\eta}_\text{Vorticityadvektion} \underbrace{- \eta\nabla\cdot\mathbf{v}_h}_\text{Divergenzterm} \underbrace{+ \etabi_h\cdot\nabla_hw}_\text{Drehterm} \end{align} \]

Der Drehterm beschreibt die Generierung vertikaler Vorticity durch horizontale Vorticity und einen horizontalen Gradienten der Vertikalgeschwindigkeit. Es gilt

\[ \begin{align} \etabi_h\cdot\nabla_hw = \zeta_x\frac{\partial w}{\partial x} + \zeta_y\frac{\partial w}{\partial y}. \end{align} \]

O. B. d. A. wird die y-Achse des KS an $\zetabi_h$ ausgerichtet, was zu

\[ \begin{align} \etabi_h\cdot\nabla_hw = \zeta_y\frac{\partial w}{\partial y} \end{align} \]

führt. Nun gehe man von einem konvektiven Schlauch der Amplitude $W$ und Varianz $\sigma^2$ aus, also

\[ \begin{align} w = w\left(x, y\right) = W\exp\left(-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}\right). \end{align} \]

Das KS wurde wiederum in das Zentrum des Schlauches gelegt. Hieraus folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial w}{\partial y} = -\frac{Wy}{\sigma^2}\exp\left(-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}\right). \end{align} \]

Für die y-Komponente der relativen Vorticity gilt

\[ \begin{align} \zeta_y = \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x}. \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} \etabi_h\cdot\nabla_hw &= \left(\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x}\right)\frac{\partial w}{\partial y} = -\frac{Wy}{\sigma^2}\left[\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{Wx}{\sigma^2}\exp\left(-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}\right)\right]\exp\left(-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}\right). \end{align} \]

Setzt man hier $x = 0$, $y = \pm\sigma$ ein und nähert alle Exponentialterme durch 1/2, folgt

\[ \begin{align} \etabi_h\cdot\nabla_hw &= \mp\frac{W}{2\sigma}\frac{\partial u}{\partial z}. \end{align} \]

Meistens gilt $\frac{\partial u}{\partial z} > 0$. Somit produziert der Drehterm südlich des konvektiven Schlauches zyklonale Vorticity und nördlich des Schlauches antizyklonale Vorticity. Als Skalenanalyse erhält man für den Fall sehr starker Konvektion mit $\sigma \sim 50$ m, $W \sim 10 $m/s und $\frac{\partial u}{\partial z} \sim \frac{20\text{ m/s}}{2\text{ km}} = 1\cdot 10^{-2}$ 1/s

\[ \begin{align} \etabi_h\cdot\nabla_hw \sim \frac{10}{100}10^{-2}\text{ 1/s}^2 = 10^{-3}\text{ 1/s}^2. \end{align} \]

Dies ist sieben Größenordnungen stärker als die synoptischskalige Vorticitytendenz. Dieser Mechanismus ist wichtig für die Entstehung von Tornados. Der Drehterm ist um so wirksamer,

• um so stärker die vertikale Scherung des Horizontalwindes ist, und
• um so stärker die Konvektion ist.

15.1.3.3 Barotrope Vorticitygleichung

Im barotropen Fall fällt der Solenoidterm weg, vernachlässigt man außerdem die vertikale Scherung des Horizontalwindes (s. Abschn. 13.8), folgt

Dies ist die sogenannte barotrope Vorticitygleichung. Im Fall von Inkompressibilität, insbesondere im Fall der SWEs, ist $\nabla\cdot\mathbf{v} = 0$, woraus folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta}{\partial t} = -\mathbf{v}_h\cdot\nabla\eta + \etabi\cdot\nabla w\Rightarrow\frac{d\eta}{dt} = \etabi\cdot\nabla w. \end{align} \]

Vernachlässigt man die horizontalen Gradienten von $w$, folgt

\[ \begin{align} \md{\eta} = \eta\frac{\partial w}{\partial z}.\tag{15.68}\label{eq:vorticit_z_baro_swes_pre} \end{align} \]

Setzt man

\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{v} &= \nabla\cdot\mathbf{v}_h + \frac{\partial w}{\partial z} = 0 \end{align} \]

ein, wobei ein breitenunabhängiger Krümmungsterm $\propto\frac{w}{r}$ vernachlässigt wurde, folgt

Im inkompressiblen, horizontaldivergenzfreien, barotropen Fall (außerdem wurde die vertikale Scherung des Horizontalwindes unterschlagen) ist die absolute Vorticity also eine Erhaltungsgröße.

15.1.3.4 Vorticitygleichung im p-System

Nun soll dasselbe im p-System durchgeführt werden. Die Impulsgleichungen Glg.en (13.132) - (13.133) im p-System lauten vektoriell

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial t} &= -\nabla\phi - \frac{1}{2}\nabla\left(\mathbf{v}_h\cdot\mathbf{v}_h\right) + \mathbf{v}_h\times\etabi' - \omega\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial p} + \nabla\times\mathbf{f}_R^{(H)}. \end{align} \]

Dabei wurde die modifizierte absolute Vorticity $\etabi'$ durch

\[ \begin{align} \etabi' \coloneqq f\mathbf{k} + \nabla\times\mathbf{v}_h \end{align} \]

definiert. Nun wendet man auf die einzelnen Terme den Operator $\nabla\times $ an:

\[ \begin{align} \nabla\times\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial t}&\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_4}{\text{Glg. (B.50)}}}{=} \frac{\partial}{\partial t}\nabla\times\mathbf{v}_h\\ \nabla\times\nabla\phi&\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_1}{\text{Glg. (B.47)}}}{=} \mathbf{0}\\ \nabla\times\mathbf{g}&\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_1}{\text{Glg. (B.47)}}}{=} \mathbf{0}\\ \nabla\times\nabla\left(\mathbf{v}_h\cdot\mathbf{v}_h\right)&\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_1}{\text{Glg. (B.47)}}}{=} \mathbf{0}\\ \nabla\times\left(\mathbf{v}_h\times\etabi'\right)&\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_7}{\text{Glg. (B.53)}}}{=} -\left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla\right)\etabi' - \etabi'\nabla\cdot\mathbf{v}_h + \left(\etabi'\cdot\nabla\right)\mathbf{v}_h\\ \nabla\times\left(\omega\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial p}\right)&\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_5}{\text{Glg. (B.51)}}}{=} \omega\nabla\times\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial p} - \frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial p}\times\nabla\omega \end{align} \]

Somit gilt

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\nabla\times\mathbf{v}_h &= -\left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla\right)\etabi' - \etabi'\nabla\cdot\mathbf{v}_h + \left(\etabi'\cdot\nabla\right)\mathbf{v}_h + \omega\nabla\times\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial p} - \frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial p}\times\nabla\omega + \nabla\times\mathbf{f}_R^{(H)}. \end{align} \]

15.1.3.5 Formulierung in geographischen Koordinaten

Durch Projektion auf die lokale Senkrechte $\mathbf{k}$ erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta}{\partial t} &= -\mathbf{k}\cdot\left[\left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla\right)\etabi'\right] - \left(f + \zeta\right)\nabla\cdot\mathbf{v}_h + \mathbf{k}\cdot\left[\left(\etabi'\cdot\nabla\right)\mathbf{v}_h\right]\nonumber\\ & - \omega\frac{\partial\zeta}{\partial p} + \mathbf{k}\cdot\left[\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial p}\times\nabla\omega\right] + \mathbf{k}\cdot\nabla\times\mathbf{f}_R^{(H)}. \end{align} \]

Man rechnet zunächst mit Glg. (B.58)

\[ \begin{align} 0 = \left(\etabi'\cdot\nabla\right)\left(\mathbf{v}_h\cdot\mathbf{k}\right) &= \mathbf{k}\cdot\left[\left(\etabi'\cdot\nabla\right)\mathbf{v}_h\right] + \mathbf{v}_h\cdot\left[\left(\etabi'\cdot\nabla\right)\mathbf{k}\right]\nonumber\\ \Rightarrow\mathbf{k}\cdot\left[\left(\etabi'\cdot\nabla\right)\mathbf{v}_h\right] &= -\mathbf{v}_h\cdot\left[\left(\etabi'\cdot\nabla\right)\mathbf{k}\right],\\ \mathbf{v}_h\cdot\nabla\eta = \left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla\right)\left(\etabi'\cdot\mathbf{k}\right) &= \etabi'\cdot\left[\left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla\right)\mathbf{k}\right] + \mathbf{k}\cdot\left[\left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla\right)\etabi'\right]\nonumber\\ \Rightarrow\mathbf{k}\cdot\left[\left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla\right)\etabi'\right] &= \mathbf{v}_h\cdot\nabla\eta - \etabi'\cdot\left[\left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla\right)\mathbf{k}\right]. \end{align} \]

Es gelten mit den Feststellungen in Abschn. B.2.1

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{k}}{\partial x} = \frac{\mathbf{i}}{r}, & {} & \frac{\partial\mathbf{k}}{\partial y} = \frac{\mathbf{j}}{r}, & {} & \frac{\partial\mathbf{k}}{\partial z} = \mathbf{0}. \end{align} \]

Somit folgt

\[ \begin{align} \mathbf{v}_h\cdot\left[\left(\etabi'\cdot\nabla\right)\mathbf{k}\right] &= \etabi'\cdot\left[\left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla\right)\mathbf{k}\right]. \end{align} \]

Die Vorticitygleichung im p-System lautet somit

Berechnet man die Vorticity des geostrophischen Windfeldes erhält man

\[ \begin{align} \zeta_g = \frac{1}{f}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{1}{f}\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} - \frac{\beta}{f^2}\frac{\partial\phi}{\partial y} + \frac{\tan\left(\varphi\right)u}{r} = \frac{1}{f}\Delta_h\phi + \frac{\beta}{f}u + \frac{\tan\left(\varphi\right)u}{r}.\tag{15.86}\label{eq:geostro_vort_skal} \end{align} \]

Für den ersten Term gilt

\[ \begin{align} \mathcal{O}\left(\frac{1}{f}\Delta\phi\right) = \mathcal{O}\left(\frac{1}{f}\frac{\Delta p}{\rho L^2}\right) = 10^{-5}\:\frac{1}{\text{s}}. \end{align} \]

Der Term des $\beta-$Effekts hat in mittleren Breiten eine Größenordnung von $10^{-6}$ 1/s. Daher ist eine häufig anzutreffende Näherung, in den Extratropen die Vorticity durch die geostrophische Vorticity zu nähern und den Term des $\beta-$Effektes zu vernachlässigen.

15.1.3.6 Barotrope Vorticitygleichung im p-System

Streicht man in Glg. (15.85) die Reibung weg sowie alle Terme, die vertikale Gradienten beinhalten, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta}{\partial t} &= -v\beta - \left(f + \zeta\right)\nabla\cdot\mathbf{v}_h - \mathbf{v}_h\cdot\nabla\zeta. \end{align} \]

Im barotropen Medium ist nun $\partial w/\partial z \sim \partial\omega/\partial p$ höhenkonstant. Unter kinematischen Randbedingungen

\[ \begin{align} \omega\left(p = 0\right) = \omega\left(p_\text{surface}\right) = 0 \end{align} \]

folgt somit

\[ \begin{align} \frac{\partial\omega}{\partial p} = \frac{\omega\left(p_\text{surface}\right) - \omega\left(p = 0\right)}{p_\text{surface}} = 0. \end{align} \]

Aufgrund von Glg. (13.129) gilt nun auch

\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{v}_h = -\frac{\partial\omega}{\partial p} = 0.\tag{15.91}\label{eq:div_free_baro_vort} \end{align} \]

Hieraus erhält man die barotrope Vorticitygleichung im p-System

Weitere Formen dieser Gleichung sind

\[ \begin{align} \frac{\partial\eta}{\partial t} &= -v\beta - \mathbf{v}_h\cdot\nabla\zeta,\\ \frac{D_h\zeta}{Dt} &= -v\beta,\\ \frac{D_h\eta}{Dt} &= 0. \end{align} \]

Aufgrund von Glg. (15.91) kann man $\mathbf{v}_h$ durch eine Stromfunktion $\psi = \psi\left(\phi, \lambda\right)$ darstellen, also

\[ \begin{align} \mathbf{v}_h &\stackrel{\href{#eq:v_h_streamf}{\text{Glg. (15.13)}}}{=} \mathbf{k}\times\nabla\psi = -\frac{\partial\psi}{\partial y}\mathbf{i} + \frac{\partial\psi}{\partial x}\mathbf{j} = -\frac{\partial\psi}{a\partial\phi}\mathbf{i} + \frac{\partial\psi}{a\cos\left(\phi\right)\partial\lambda}\mathbf{j}\nonumber\\ \Rightarrow u &= -\frac{\partial\psi}{a\partial\phi},\\ v &= \frac{\partial\psi}{a\cos\left(\phi\right)\partial\lambda}. \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} \zeta = \Delta\psi. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (15.92) ein, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta}{\partial t} &= -v\beta - u\frac{\partial\zeta}{a\cos\left(\phi\right)\partial\lambda} - v\frac{\partial\zeta}{a\partial\phi}\nonumber\\ \Leftrightarrow\Delta\frac{\partial\psi}{\partial t} &= -\frac{\partial\psi}{a\cos\left(\phi\right)\partial\lambda}\beta + \frac{\partial\psi}{a\partial\phi}\frac{\partial\zeta}{a\cos\left(\phi\right)\partial\lambda} - \frac{\partial\psi}{a\cos\left(\phi\right)\partial\lambda}\frac{\partial\zeta}{a\partial\phi}\nonumber\\ \Leftrightarrow\Delta\frac{\partial\psi}{\partial t} &= -\frac{\partial\psi}{a\cos\left(\phi\right)\partial\lambda}\beta + \frac{1}{a^2\cos\left(\phi\right)}\left(\frac{\partial\psi}{\partial\phi}\frac{\partial\zeta}{\partial\lambda} - \frac{\partial\psi}{\partial\lambda}\frac{\partial\zeta}{\partial\phi}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\Delta\frac{\partial\psi}{\partial t} &= -\frac{\partial\psi}{a\cos\left(\phi\right)\partial\lambda}\beta + \frac{1}{a^2\cos\left(\phi\right)}\left(\frac{\partial\psi}{\partial\phi}\Delta\frac{\partial\psi}{\partial\lambda} - \frac{\partial\psi}{\partial\lambda}\Delta\frac{\partial\psi}{\partial\phi}\right). \end{align} \]

Den Operator

\[ \begin{align} J\left(\zeta, \psi\right) \coloneqq \frac{\partial\zeta}{\partial\lambda}\frac{\partial\psi}{\partial\phi} - \frac{\partial\zeta}{\partial\phi}\frac{\partial\psi}{\partial\lambda} \end{align} \]

bezeichnet man als Jacobi-Operator. Damit kann man die barotrope Vorticitygleichung in der Form

\[ \begin{align} \Delta\frac{\partial\psi}{\partial t} &= -\frac{\partial\psi}{a\cos\left(\phi\right)\partial\lambda}\beta + \frac{1}{a^2\cos\left(\phi\right)}J\left(\Delta\psi, \psi\right)\tag{15.101}\label{eq:baro_vort_p_mod} \end{align} \]

notieren. Dies kann man noch vereinfachen, indem man es als Gleichung für die absolute Vorticity

\[ \begin{align} \eta = \zeta + f = \Delta\psi + f \end{align} \]

formuliert. Dann erhält man

15.1.4 Helizität

Man definiert die Helizität $Z$ durch

\[ \begin{align} Z \coloneqq \mathbf{v}\cdot\zetabi.\tag{15.104}\label{eq:def_helicity} \end{align} \]

Die Impulsgleichung Glg. (8.101) lautet

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} &= -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{v}\times\mathbf{f} + \mathbf{v}\times\zetabi - \nabla k + \mathbf{g} + \mathbf{f}_R. \end{align} \]

Projiziert man dies auf $\zetabi$, erhält man

\[ \begin{align} \zetabi\cdot\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} &= -\frac{\zetabi}{\rho}\cdot\nabla p + \zetabi\cdot\left(\mathbf{v}\times\mathbf{f}\right) - \zetabi\cdot\nabla k + \zetabi\cdot\mathbf{g} + \zetabi\cdot\mathbf{f}_R. \end{align} \]

Die dreidimensionale Vorticitygleichung Glg. (15.46) lautet

\[ \begin{align} \frac{\partial\zetabi}{\partial t} &= \frac{1}{\rho^2}\nabla\rho\times\nabla p - \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\zetabi - \mathbf{f}\nabla\cdot\mathbf{v} - \zetabi\nabla\cdot\mathbf{v} + \left(\mathbf{f}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} + \left(\zetabi\cdot\nabla\right)\mathbf{v} + \nabla\times\mathbf{f}_R. \end{align} \]

Projiziert man dies auf $\mathbf{v}$, erhält man

\[ \begin{align} \mathbf{v}\cdot\frac{\partial\zetabi}{\partial t} &= \frac{\mathbf{v}}{\rho^2}\cdot\left(\nabla\rho\times\nabla p\right) - \mathbf{v}\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\zetabi\right] - \mathbf{v}\cdot\mathbf{f}\nabla\cdot\mathbf{v} - \mathbf{v}\cdot\zetabi\nabla\cdot\mathbf{v} + \mathbf{f}\cdot\nabla k + \zetabi\cdot\nabla k + \mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{f}_R\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\mathbf{v}\cdot\frac{\partial\zetabi}{\partial t} &= \frac{\mathbf{v}}{\rho^2}\cdot\left(\nabla\rho\times\nabla p\right) - \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left(\mathbf{v}\cdot\zetabi\right) + \zetabi\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\right] - \mathbf{v}\cdot\mathbf{f}\nabla\cdot\mathbf{v} - \mathbf{v}\cdot\zetabi\nabla\cdot\mathbf{v} + \mathbf{f}\cdot\nabla k + \zetabi\cdot\nabla k + \mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{f}_R\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\mathbf{v}\cdot\frac{\partial\zetabi}{\partial t} &= \frac{\mathbf{v}}{\rho^2}\cdot\left(\nabla\rho\times\nabla p\right) - \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left(\mathbf{v}\cdot\zetabi\right) + \zetabi\cdot\nabla k - \mathbf{v}\cdot\mathbf{f}\nabla\cdot\mathbf{v} - \mathbf{v}\cdot\zetabi\nabla\cdot\mathbf{v} + \mathbf{f}\cdot\nabla k + \zetabi\cdot\nabla k + \mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{f}_R\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\mathbf{v}\cdot\frac{\partial\zetabi}{\partial t} &= \frac{\mathbf{v}}{\rho^2}\cdot\left(\nabla\rho\times\nabla p\right) - \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)Z + 2\zetabi\cdot\nabla k - \mathbf{v}\cdot\mathbf{f}\nabla\cdot\mathbf{v} - \mathbf{v}\cdot\zetabi\nabla\cdot\mathbf{v} + \mathbf{f}\cdot\nabla k + \mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{f}_R\right). \end{align} \]

Somit erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial Z}{\partial t} &= \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}\cdot\zetabi + \mathbf{v}\cdot\frac{\partial\zetabi}{\partial t}\nonumber\\ &= -\frac{\zetabi}{\rho}\cdot\nabla p + \zetabi\cdot\left(\mathbf{v}\times\mathbf{f}\right) - \zetabi\cdot\nabla k + \zetabi\cdot\mathbf{g} + \zetabi\cdot\mathbf{f}_R\nonumber\\ &+ \frac{\mathbf{v}}{\rho^2}\cdot\left(\nabla\rho\times\nabla p\right) - \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)Z + 2\zetabi\cdot\nabla k - \mathbf{v}\cdot\mathbf{f}\nabla\cdot\mathbf{v} - \mathbf{v}\cdot\zetabi\nabla\cdot\mathbf{v} + \mathbf{f}\cdot\nabla k + \mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{f}_R\right). \end{align} \]

Die Helizitätsgleichung lautet somit

15.1.5 Enstrophie

Das Quadrat $\zetabi^2$ der relativen Vorticity $\zetabi$ bezeichnet man als lokale Enstrophie. Es gilt

\[ \begin{align} \frac{\partial\zetabi^2}{\partial t} = 2\zetabi\cdot\frac{\partial\zetabi}{\partial t} \end{align} \]

An dieser Stelle beschränkt man sich auf zweidimensionale, inkompressible Strömungen. In diesem Fall gilt

\[ \begin{align} \frac{\partial\eta}{\partial t} + \mathbf{v}_h\cdot\nabla\eta \stackrel{\href{#eq:vorticit_z_baro_swes}{\text{Glg. (15.70)}}}{=} 0 \Rightarrow \frac{\partial\eta}{\partial t} + \mathbf{v}_h\cdot\nabla\eta + \eta\nabla\cdot\mathbf{v}_h = \frac{\partial\eta}{\partial t} + \nabla\cdot\left(\eta\mathbf{v}_h\right) = 0.\tag{15.112}\label{eq:enstropy_deriv_1} \end{align} \]

Unter kinematischen oder periodischen Randbedingungen gilt dann

\[ \begin{align} \newoverline{\eta} = \newoverline{\zeta} + \newoverline{f} = \text{const.} \Rightarrow \newoverline{\zeta} = \text{const.}\tag{15.113}\label{eq:enstropy_deriv_0} \end{align} \]

Multipliziert man Glg. (15.112) mit $2\eta$, erhält man

\[ \begin{align} &\frac{\partial\eta^2}{\partial t} + \mathbf{v}_h\cdot\nabla\eta^2 + 2\eta^2\nabla\cdot\mathbf{v}_h = \frac{\partial\eta^2}{\partial t} + \mathbf{v}_h\cdot\nabla\eta^2 + \eta^2\nabla\cdot\mathbf{v}_h = 0\nonumber\\ &\Leftrightarrow\frac{\partial\eta^2}{\partial t} = -\nabla\cdot\left(\eta^2\mathbf{v}_h\right). \end{align} \]

Integriert man dies unter kinematischen oder periodischen Randbedingungen, erhält man auf der f-Ebene

\[ \begin{align} \newoverline{\eta^2} = \newoverline{\zeta^2} + \newoverline{f_0^2} + 2\newoverline{f_0\zeta} = \newoverline{\zeta^2} + f_0^2 + 2f_0\newoverline{\zeta} = \text{const.} \end{align} \]

Mit Glg. (15.113) impliziert dies weiterhin

Die Größe $\newoverline{\zeta^2}$ bezeichnet man als Enstrophie.

15.2 Divergenz

Die Divergenz des Horizontalwindes bezeichnet man mit

\[ \begin{align} \delta \coloneqq \nabla\cdot\mathbf{v}_h.\tag{15.117}\label{eq:divergenz_horiz_def} \end{align} \]

Nach Glg. (B.112) gilt

\[ \begin{align} \delta = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} - v\frac{\tan\left(\varphi\right)}{a + z}. \end{align} \]

Die Divergenz des Gesamtwindfeldes wird mit

\[ \begin{align} D \coloneqq \nabla\cdot\mathbf{v} \end{align} \]

bezeichnet. Mit Glg. (B.112) kann man

\[ \begin{align} D = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} - v\frac{\tan\left(\varphi\right)}{a + z} + \frac{2w}{a + z} \end{align} \]

notieren. Im Falle wirbelfreier nichtviskoser inkompressibler Strömungen gilt mit Glg. (8.101) für eine Stromfunktion $\chi$ in IS

\[ \begin{align} \nabla\left(\frac{\partial\chi}{\partial t} + k + \phi + \frac{p}{\rho}\right) &= \mathbf{0},\\ \Leftrightarrow \frac{\partial\chi}{\partial t} + \frac{1}{2}\mathbf{v}^2 + gz + \frac{p}{\rho} &= \text{homogen}\tag{15.122}\label{eq:bernoulli_t_dependant}, \end{align} \]

was man als zeitabhängige Bernoulli-Gleichung bezeichnet.

15.2.1 Geschwindigkeits- und Richtungsdivergenz

Analog zur Vorticity kann man auch die Horizontaldivergenz aufteilen in zwei anschauliche Anteile. Man verwendet wieder das KS aus Abschn. 15.1.1. Diesmal leitet man die erste Komponente der Glg. (15.27) nach $s$ und die zweite nach $n$ ab:

\[ \begin{align} \delta &= \frac{\partial}{\partial s}\left(V\cos\left(\beta\right)\right) + \frac{\partial}{\partial n}\left(V\sin\left(\beta\right)\right)\nonumber\\ &= \cos\left(\beta\right)\frac{\partial V}{\partial s} - V\sin\left(\beta\right)\frac{\partial\beta}{\partial s} + \sin\left(\beta\right)\frac{\partial V}{\partial n} + V\cos\left(\beta\right)\frac{\partial\beta}{\partial n} \end{align} \]

Betrachtet man den Koordinatenursprung, so folgt mit $\beta = 0$

\[ \begin{align} \delta = \frac{\partial V}{\partial s} + V\frac{\partial\beta}{\partial n}. \end{align} \]

Der erste Term beschreibt eine Divergenz aufgrund von Geschwindigkeitsunterschieden in Strömungsrichtung, dies nennt man Geschwindigkeitsdivergenz. Der zweite Term bezeichnet eine Richtungsauffächerung senkrecht zur Strömungsrichtung, dies ist Richtungsdivergenz.

15.2.2 Divergenzgleichung

Es gibt auch eine prognostische Gleichung für die Divergenz, die sogenannte Divergenzgleichung. Die Impulsgleichung Glg. (8.101) lautet

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} &= -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{v}\times\mathbf{f} - \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} + \mathbf{g} + \mathbf{f}_R. \end{align} \]

Nun wendet man auf die einzelnen Terme den Operator $\nabla\cdot $ an:

\[ \begin{align} \nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} & \stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_4}{\text{Glg. (B.50)}}}{=} \frac{\partial D}{\partial t}\\ \nabla\cdot\left(-\frac{1}{\rho}\nabla p\right) & \stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_3}{\text{Glg. (B.49)}}}{=} \frac{1}{\rho^2}\nabla\rho\cdot\nabla p -\frac{1}{\rho}\Delta p\\ \nabla\cdot\left(\mathbf{v}\times\mathbf{f}\right) & \stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_9}{\text{Glg. (B.55)}}}{=} \mathbf{f}\cdot\zetabi \end{align} \]

Die Divergenz von $\mathbf{g}$ besteht aufgrund der Poisson-Gleichung nur aus dem Zentrifugalanteil. Da man in der Meteorologie jedoch für analytische Herleitungen meist von einem radialsymmetrischen Schwerefeld ausgeht, wird auch dieser Anteil vernachlässigt. Es gilt also

Dies ist die Divergenzgleichung. Mit der Lamb-Transformation erhält man

\[ \begin{align} \nabla\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\right] &= \Delta k - \nabla\cdot\left[\mathbf{v}\times\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\right] \stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_9}{\text{Glg. (B.55)}}}{=} \Delta k - \zetabi^2 + \mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\zetabi\right)\nonumber\\ &\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_8}{\text{Glg. (B.54)}}}{=} \Delta k - \zetabi^2 - \mathbf{v}\cdot\left(\Delta\mathbf{v}\right) + \mathbf{v}\cdot\nabla D. \end{align} \]

Dies führt auf eine weitere Form der Divergenzgleichung:

15.2.2.1 Divergenzgleichung im p-System

Die Impulsgleichungen Glg.en (13.132) - (13.133) im p-System lauten vektoriell

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial t} &= -\nabla\Phi - f\mathbf{k}\times\mathbf{v}_h - \left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla\right)\mathbf{v}_h - \omega\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial p} + \nabla\cdot\mathbf{f}_R^{(H)}. \end{align} \]

Es ist für die Hereitung sinnvoll, hier ein $\mathbf{g}$ zu addieren und $-\nabla\Phi$ als dreidimensionalen Vektor zu interpretieren mit $-g$ in der z-Komponente. Somit ergibt eine Anwendung von $\nabla\cdot $ auf $-\nabla\Phi + \mathbf{g} = -\Delta_h\Phi$, wofür aber in der weiteren Herleitung einfach $\Delta\Phi$ notiert wird. Durch Applizieren des Operators $\nabla\cdot $ auf die einzelnen Terme erhält man somit

\[ \begin{align} \nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial t}&\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_4}{\text{Glg. (B.50)}}}{=} \frac{\partial\delta}{\partial t}, \nonumber\\ - \nabla\cdot\nabla\Phi &= -\Delta\Phi, \nonumber\\ - \nabla\cdot\left(f\mathbf{k}\times\mathbf{v}_h\right)&\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_9}{\text{Glg. (B.55)}}}{=} -\mathbf{v}_h\cdot\left[\nabla\times\left(f\mathbf{k}\right)\right] + f\mathbf{k}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{v}_h\right)\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_5}{\text{Glg. (B.51)}}}{=} - \mathbf{v}_h\cdot\left[-\mathbf{k}\times\nabla f + f\nabla\times\mathbf{k}\right] + f\zeta\nonumber\\ &= \mathbf{v}_h\cdot\left(\mathbf{k}\times\beta\mathbf{j}\right) + f\zeta = -u\beta + f\zeta, \nonumber\\ \nabla\cdot\left(-\omega\frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial p}\right)&\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_3}{\text{Glg. (B.49)}}}{=} -\omega\frac{\partial\delta}{\partial p} - \frac{\partial\mathbf{v}_h}{\partial p}\cdot\nabla\omega. \end{align} \]

Somit folgt

Dies ist die Divergenzgleichung im p-System. Mit der Lamb-Transformation erhält man

\[ \begin{align} \nabla\cdot\left[\left(\mathbf{v}_h\cdot\nabla\right)\mathbf{v}_h\right] &= \Delta k - \nabla\cdot\left[\mathbf{v}_h\times\left(\nabla\times\mathbf{v}_h\right)\right] \stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_9}{\text{Glg. (B.55)}}}{=} \Delta k - \left(\nabla\times\mathbf{v}_h\right)^2 + \mathbf{v}_h\cdot\left(\nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{v}_h\right)\right)\nonumber\\ &\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_8}{\text{Glg. (B.54)}}}{=} \Delta k - \left(\nabla\times\mathbf{v}_h\right)^2 - \mathbf{v}_h\cdot\left(\Delta\mathbf{v}_h\right) + \mathbf{v}_h\cdot\nabla\delta. \end{align} \]

Dies führt auf eine weitere Form der Divergenzgleichung:

15.2.2.2 Balancegleichung

Setzt man hier $\delta = \omega = 0$ ein, folgt die Balancegleichung

Vernachlässigt man die nichtlinearen Terme, erhält man die lineare Balancegleichung

\[ \begin{align} \Delta\Phi = -u\beta + f\zeta.\tag{15.138}\label{eq:balance_equation_linear} \end{align} \]

Verwendet man eine Stromfunktion $\psi$, folgt

\[ \begin{align} \Delta\Phi = \beta\frac{\partial\psi}{\partial y} + f\Delta\psi.\tag{15.139}\label{eq:balance_equation_linear_stream} \end{align} \]

15.3 Potentielle Vorticity

15.3.1 Ertel'scher Wirbelsatz

Man definiert eine Vorform der potentiellen Vorticity $P_\psi$ durch

\[ \begin{align} P_\psi \coloneqq \alpha\etabi\cdot\nabla\psi, \tag{15.140}\label{eq:def_pot_vorticity_gen} \end{align} \]

wobei $\alpha$ das spezifische Volumen sei und $\psi$ eine beliebige Funktion von Ort und Zeit. Differenziert man dies partiell nach der Zeit, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial P_\psi}{\partial t} = \frac{\partial\alpha}{\partial t}\etabi\cdot\nabla\psi + \alpha\frac{\partial\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)}{\partial t}\cdot\nabla\psi + \alpha\etabi\cdot\nabla\frac{\partial\psi}{\partial t}. \end{align} \]

Zunächst wird Glg. (15.46) in Termen von $\alpha$ notiert

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\text{rot}\left(\mathbf{v}\right) &= \nabla p\times\nabla \alpha - \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\etabi - \etabi\nabla\cdot\mathbf{v} + \left(\etabi\cdot\nabla\right)\mathbf{v} + \nabla\times\mathbf{f}_R \end{align} \]

In Abschn. 15.1.3 hat man durch Projektion dieser Gleichung auf die lokale Senkrechte $\mathbf{k}$ eine Gleichung für $\frac{\partial\zeta}{\partial t}$ hergeleitet, analog wird hier mit einer Projektion auf $\nabla\psi$ verfahren. Man rechnet zunächst mit Glg. (B.58)

\[ \begin{align} \left(\etabi\cdot\nabla\right)\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\psi\right) &= \nabla\psi\cdot\left[\left(\etabi\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\right] + \mathbf{v}\cdot\left[\left(\etabi\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right]\nonumber\\ \Rightarrow\nabla\psi\cdot\left[\left(\etabi\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\right] &= \left(\etabi\cdot\nabla\right)\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\psi\right) - \mathbf{v}\cdot\left[\left(\etabi\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right],\\ \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left(\etabi\cdot\nabla\psi\right) &= \etabi\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right] + \nabla\psi\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\etabi\right]\nonumber\\ \Rightarrow\nabla\psi\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\etabi\right] &= \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left(\etabi\cdot\nabla\psi\right) - \etabi\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right]. \end{align} \]

Man erhält somit

\[ \begin{align} \alpha\frac{\partial\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)}{\partial t}\cdot\nabla\psi &= \alpha\left(\nabla p\times\nabla\alpha\right)\cdot\nabla\psi - \alpha\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left(\etabi\cdot\nabla\psi\right) + \alpha\etabi\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right]\nonumber\\ & -\alpha\left(\nabla\psi\cdot\etabi\right)\nabla\cdot\mathbf{v} + \alpha\left(\etabi\cdot\nabla\right)\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\psi\right) - \alpha\mathbf{v}\cdot\left[\left(\etabi\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right] + \alpha\mathbf{f}_R\cdot\nabla\psi. \end{align} \]

Es folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial P_\psi}{\partial t} &= \alpha\etabi\cdot\nabla\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right) + \alpha\left(\nabla p\times\nabla\alpha\right)\cdot\nabla\psi - \alpha\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left(\etabi\cdot\nabla\psi\right) + \alpha\etabi\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right]\nonumber\\ & -\alpha\left(\nabla\psi\cdot\etabi\right)\nabla\cdot\mathbf{v} + \alpha\left(\etabi\cdot\nabla\right)\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\psi\right) - \alpha\mathbf{v}\cdot\left[\left(\etabi\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right]\nonumber\\ & +\frac{\partial\alpha}{\partial t}\etabi\cdot\nabla\psi + \alpha\mathbf{f}_R\cdot\nabla\psi\nonumber\\ &= \alpha\etabi\cdot\nabla\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right) + \alpha\left(\nabla p\times\nabla\alpha\right)\cdot\nabla\psi - \alpha\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left(\etabi\cdot\nabla\psi\right) + \alpha\etabi\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right]\nonumber\\ & +\alpha\left(\etabi\cdot\nabla\right)\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\psi\right) - \alpha\mathbf{v}\cdot\left[\left(\etabi\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right] - \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\alpha\right)\left(\etabi\cdot\nabla\psi\right) + \alpha\mathbf{f}_R\cdot\nabla\psi. \end{align} \]

Mit Glg. (B.56) folgt

\[ \begin{align} \etabi\cdot\left[\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right] - \mathbf{v}\cdot\left[\left(\etabi\cdot\nabla\right)\nabla\psi\right] = 0. \end{align} \]

Der Ertel'sche Wirbelsatz lautet somit

Mit der materiellen Ableitung kann man dies zu

umformulieren.

15.3.2 Definition und Eigenschaften der PV

Die potentielle Vorticity $P$ ist definiert durch

\[ \begin{align} P \coloneqq\alpha\etabi\cdot\nabla\theta, \end{align} \]

sie entsteht also, indem man in Glg. (15.140) für $\psi$ die potentielle Temperatur $\theta$ einsetzt. Diese ist eine Funktion von Druck and spezifischem Volumen, also verschindet in Glg. (15.148) der Term mit dem Vektorprodukt. Bei adiabatischen Prozessen gilt also

\[ \begin{align} \frac{\partial P}{\partial t} &= -\alpha\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\left(\etabi\cdot\nabla\psi\right) - \left(\etabi\cdot\nabla\psi\right)\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\alpha\right) + \alpha\mathbf{f}_R\cdot\nabla\theta \end{align} \]

in diesem Fall ist die potentielle Vorticity also bis auf die Reibung eine Erhaltungsgröße:

Für die potentielle Vorticity gilt mit Glg. (B.115)

\[ \begin{align} P &= \alpha\etabi\cdot\nabla\theta = \alpha\mathbf{f}\cdot\nabla\theta\nonumber\\ &+ \alpha\left[\left(\frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} - \frac{v}{r}\right)\frac{\partial\theta}{\partial x} + \left(\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{u}{r}\right)\frac{\partial\theta}{\partial y} + \left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} - \frac{u\tan\left(\varphi\right)}{r}\right)\frac{\partial\theta}{\partial z}\right]. \end{align} \]

Hier macht man nun folgende Näherungen:

• shallow atmosphere (s. Abschn. 13.3)
• Vernachlässigung der Vertikalgeschwindigkeit bei der Berechnung der Rotation des Windfeldes

Die so erhaltene Größe bezeichnet man mit $P_i$. Dann erhält man

In einer hydrostatischen Atmosphäre kann man in Glg. (15.155) die vertikalen Ableitungen ins p-System transformieren:

\[ \begin{align} P_i &= -gf\frac{\partial\theta}{\partial p} - g\left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} - \frac{u\tan\left(\varphi\right)}{a}\right)\frac{\partial\theta}{\partial p} + g\left[\frac{\partial v}{\partial p}\frac{\partial\theta}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial p}\frac{\partial\theta}{\partial y}\right]\tag{15.156}\label{eq:pot_vort_approx_hydrostat} \end{align} \]

Transformiert man hier die horizontalen Ableitungen mit Glg. (12.7) auf eine generalisierte Vertikalkoordinte $\mu$, folgt

\[ \begin{align} \frac{P_i}{g} &= \dotsc\newvline_\mu - \left(\frac{\partial\mu}{\partial x}\right)_z\frac{\partial v}{\partial \mu}\frac{\partial\theta}{\partial p} + \left(\frac{\partial\mu}{\partial y}\right)_z\frac{\partial u}{\partial \mu}\frac{\partial\theta}{\partial p} + \frac{\partial v}{\partial p}\frac{\partial\theta}{\partial\mu}\left(\frac{\partial\mu}{\partial x}\right)_z - \frac{\partial u}{\partial p}\frac{\partial\theta}{\partial \mu}\left(\frac{\partial\mu}{\partial y}\right)_z, \end{align} \]

wobei die formal zu Glg. (15.156) gleichen Terme abgekürzt wurden. Die formal neuen Terme verschwinden in den beiden Fällen $\mu = p, \theta$. Somit kann man für die potentielle Vorticity notieren

wobei der Index $p$ bedeutet, dass partielle Ableitungen im p-System zu bilden sind. In isentropen Koordinaten bleibt nur der erste Term bestehen,

wobei die hydrostatische Stabilität im $\theta-$System, definiert durch

eingeführt wurde. Aufgrund der einfachen Form der Glg. (15.159) bezeichet man $P_i$ auch als isentrope potentielle Vorticity. Im barotropen Fall verschwinden in Glg. (15.158) die Terme zwischen den eckigen Klammern, man erhält

für die sogenannte barotrope potentielle Vorticity $P_{i, b}$.

15.3.3 Inkompressible potentielle Vorticity

In der Dynamik der SWEs ist die inkompressible potentielle Vorticity (inkompressible PV) $q$ definiert durch

\[ \begin{align} q \coloneqq\frac{\eta}{h} = \frac{\zeta + f}{h} = \frac{\mathbf{k}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{v}\right) + f}{h}, \end{align} \]

hierbei ist $h$ die Tiefe. Nach Glg. (B.57) gilt

\[ \begin{align} \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} &= \nabla k - \mathbf{v}\times\left(\nabla\times\mathbf{v}\right) \end{align} \]

mit der spezifischen kinetischen Energie $k = \frac{1}{2}\mathbf{v}^2$. Für den zweiten Term gilt mit Glg. (13.17)

\[ \begin{align} \mathbf{v}\times\left(\nabla\times\mathbf{v}\right) &= \mathbf{v}\times\left[\frac{u\tan\left(\varphi\right)}{r}\mathbf{k} + \mathbf{k}\left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right) + \mathbf{j}\frac{\partial u}{\partial z} - \mathbf{i}\frac{\partial v}{\partial z}\right]. \end{align} \]

Aufgrund des Verschwindens vertikaler Scherung im barotropen Fall gilt

\[ \begin{align} \mathbf{v}\times\left(\nabla\times\mathbf{v}\right) &= \mathbf{v}\times\left[\frac{u\tan\left(\varphi\right)}{r}\mathbf{k} + \mathbf{k}\left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right)\right] = \mathbf{v}\times\mathbf{k}\left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{u\tan\left(\varphi\right)}{r}\right) = \mathbf{v}\times\mathbf{k}\zeta = -\mathbf{k}\times\zeta\mathbf{v}. \end{align} \]

Die Vertikalkomponente interessiert hier nicht weiter. Nun kann man für die Impulsgleichung der Flachwassergleichungen Glg. (13.171) unter Vernachlässigung der Reibung schreiben

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{k}\times\zeta\mathbf{v} &= -g\nabla\left(h + b\right) - \nabla k - f\mathbf{k}\times\mathbf{v}\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + qh\mathbf{k}\times\mathbf{v} &= -g\nabla\left(h + b\right) - \nabla k.\tag{15.166}\label{eq:momentum_eq_shallow_nonl} \end{align} \]

Es gilt

Die inkompressible PV ist also eine Erhaltungsgröße. In den mittleren Breiten ist die planetare Vorticity eine Größenordnung größer als die relative, somit folgt aus der Tatsache, dass die inkompressible potentielle Vorticity erhalten ist

\[ \begin{align} h\text{ nimmt ab} \Rightarrow \left(\zeta + f\right)\text{ nimmt ab} \Rightarrow \zeta\text{ nimmt ab}, \end{align} \]

wobei von einem positiven Vorzeichen von $f$ und somit auch von $\eta$ ausgegangen wurde. Bei negativem $f$ gilt analog, dass $\zeta$ wachsen muss. Trifft eine Westströmung also auf ein orographisches Hindernis, so entsteht antizyklonale relative Vorticity. Dies bezeichnet man als orographischen $\beta-$Effekt. Ein wichtiges Beispiel ist das Entstehen planetarer Wellen an den Rocky Mountains.

Glg. (15.167) kann man in der Form

\[ \begin{align} \frac{\partial q}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla q = 0 \end{align} \]

notieren. Kombiniert man dies mit Glg. (13.172), erhält man

\[ \begin{align} h\frac{\partial q}{\partial t} + h\mathbf{v}\cdot\nabla q + q\frac{\partial h}{\partial t} + qh\nabla\cdot\mathbf{v} + q\mathbf{v}\cdot\nabla h = 0\nonumber \end{align} \]