9 Erster Hauptsatz in der Atmosphäre

9.1 Ideales einatomiges Gas

In diesem Abschnitt soll es um die Thermodynamik einer Atmosphäre gehen, die aus einem idealen, einatomigen Gas mit der individuellen Gaskonstante $R_s$ besteht.

9.1.1 Erster Hauptsatz als Temperaturgleichung

Der Ausgangspunkt ist Glg. (5.82). Durch Differenziation nach der Zeit ergibt sich

\[ \begin{align} \frac{dE}{dt} + p\frac{dV}{dt} = \frac{dQ_T}{dt} + \mu\frac{dN}{dt}. \end{align} \]

Mit den Glg.en (5.149) und (5.154) folgt

\[ \begin{align} c^{(V)}m\frac{dT}{dt} + c^{(V)}T\frac{dm}{dt} + p\frac{dV}{dt} &= \frac{dQ_T}{dt} + T\left(\frac{C^{(v)}}{N} - \frac{S}{N} + k_B\right)\frac{dN}{dt}\nonumber\\ &= \frac{dQ_T}{dt} + T\left(\frac{C^{(v)}}{N} - \frac{S}{N} + \frac{pV}{NT}\right)\frac{dN}{dt}. \end{align} \]

Division durch die Masse $m$ des betrachteten Teilchens liefert mit

\[ \begin{align} \frac{1}{m}p\frac{dV}{dt} = p\frac{d}{dt}\left(\frac{V}{m}\right) + \frac{pV}{m^2}\frac{dm}{dt} = -\frac{p}{\rho^2}\frac{d\rho}{dt} + \frac{p}{m\rho}\frac{dm}{dt} \end{align} \]

die Gleichung

\[ \begin{align} c^{(V)}\frac{dT}{dt} - \frac{p}{\rho^2}\frac{d\rho}{dt} &= \frac{dq_T}{dt} - \frac{p}{m\rho}\frac{dm}{dt} + T\left(c^{(V)} - c^{(V)} - s + \frac{p}{\rho T}\right)\frac{1}{N}\frac{dN}{dt}\nonumber\\ &= \frac{dq_T}{dt} - \frac{p}{m\rho}\frac{dm}{dt} + T\left(R_s - s\right)\frac{1}{N}\frac{dN}{dt}\nonumber\\ &= \frac{dq_T}{dt} - \frac{p}{m\rho}\frac{dm}{dt} + R_sT\frac{1}{N}\frac{dN}{dt} - Ts\frac{1}{N}\frac{dN}{dt}, \end{align} \]

wobei $s \coloneqq \frac{S}{m}$ für die spezifische Entropie steht und $q_T \coloneqq \frac{Q_T}{m}$ für die spezifische Wärme. Durch Erweiterung mit der Teilchenmasse erhält man

\[ \begin{align} c^{(V)}\frac{dT}{dt} - \frac{p}{\rho^2}\frac{d\rho}{dt} &= \frac{dq_T}{dt} - \frac{p}{m\rho}\frac{dm}{dt} + R_sT\frac{1}{m}\frac{dm}{dt} - sT\frac{1}{m}\frac{dm}{dt}, \end{align} \]

Aufgrund der Zustandsgleichung idealer Gase gilt

\[ \begin{align} -\frac{p}{\rho}\frac{1}{m}\frac{dm}{dt} + R_sT\frac{1}{m}\frac{dm}{dt} = 0. \end{align} \]

Man definiert

\[ \begin{align} \frac{dq_\rho}{dt} \coloneqq \frac{1}{m}\frac{dm}{dt}. \end{align} \]

Üblicherweise werden die Wärme- und Massenflüsse jedoch auf das Volumen bezogen, es wird

\[ \begin{align} q_\rho^{(V)} \coloneqq \rho\frac{dq_\rho}{dt}, & {} & q_T^{(V)} \coloneqq \rho\frac{dq_T}{dt} \end{align} \]

definiert. Damit folgt

\[ \begin{align} c^{(V)}\frac{dT}{dt} - \frac{p}{\rho^2}\frac{d\rho}{dt} = \frac{q_T^{(V)}}{\rho} - \frac{sT}{\rho}q_\rho^{(V)} \end{align} \]

Dabei ist zu berückstichtigen, dass es sich bei den Zeitableitungen um materielle Ableitungen handelt

Eine andere Form dieser Gleichung ist

\[ \begin{align} p\md{\alpha} = -c^{(V)}\md{T} + \frac{q_T^{(V)}}{\rho} - \frac{sT}{\rho}q_\rho^{(V)}.\tag{9.11}\label{eq:td1_ideal_gas_alpha} \end{align} \]

Mittels der Kontinuitätsgleichung in der Form

\[ \begin{align} \md{\rho} = -\rho\nabla\cdot\mathbf{v} \end{align} \]

kann man dies zu

umformen. Mit $p = \rho R_sT$ folgt

umschreiben.

9.1.2 Adiabate

Ein Prozess ist adiabatisch, wenn keine Wärme übertragen wird, $dQ = 0$. Der Erste Hauptsatz lautet dann mit den Zustandsgrößen des idealen Gases

\[ \begin{align} c^{(V)}m\md{T} = -p\md{v}. \end{align} \]

Eine Prozesskoordinate ist eine Größe, als deren Funktion man alle anderen Zustandsgrößen schreiben kann. Die Zeit ist immer eine mögliche Prozesskoordinate, hier sei jedoch das Volumen verwendet. Mit der Kettenregel ergibt sich

\[ \begin{align} c^{(V)}m\frac{dT}{dp}\frac{dp}{dV} = -p.\tag{9.16}\label{eq:ad_proz} \end{align} \]

Aus der Zustandsgleichung $pV = nRT$ folgt $T = \frac{pV}{nR}$, also lautet die totale Ableitung der Temperatur nach dem Druck für diesen Prozess

\[ \begin{align} \frac{dT}{dp} = \frac{\partial T}{\partial p} + \frac{\partial T}{\partial V}\frac{dV}{dp} = \frac{V}{nR} + \frac{p}{nR}\frac{dV}{dp}. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (9.16) ein, erhält man

\[ \begin{align} c^{(V)}m\frac{dp}{dV}\left(\frac{V}{nR} + \frac{p}{nR}\frac{dV}{dp}\right) &= -p\Leftrightarrow \frac{c^{(V)}}{R_s}V\frac{dp}{dV} + \frac{c^{(V)}}{R_s}p = -p\nonumber\\ \Leftrightarrow V\frac{dp}{dV} &= -p\left(1 + \frac{R_s}{c^{(V)}}\right). \end{align} \]

Macht man mit einem $\kappa > 0$ den Ansatz

folgt

\[ \begin{align} \frac{dp}{dV} = -\kappa p_0V_0^\kappa V^{-\kappa - 1} = -\kappa p_0\left(\frac{V_0}{V}\right)^\kappa \frac{1}{V} = -\kappa\frac{p}{V} \end{align} \]

und durch Koeffizientenvergleich erhält man

\[ \begin{align} -\kappa p &= -p\left(1 + \frac{R_s}{c^{(V)}}\right)\Leftrightarrow\kappa = 1 + \frac{R_s}{c^{(V)}} = \frac{c^{(p)}}{c^{(V)}}. \end{align} \]

Hieraus folgt

$\kappa > 1$ bezeichnet man als den Adiabaten- oder Isentropenexponenten. Glg. (9.19) bezeichnet man als Adiabate.

9.1.3 Entropie als prognostische Variable

Setzt man die Zustandsgleichungen Glg.en (5.144) und (5.146) in Glg. (5.142) ein, folgt unter Vernachlässigung des Ungefähr-Zeichens

\[ \begin{align} S\left(E, V, N\right) &= k_B\frac{3N}{2}\ln\left(c\right) + k_BN\ln\left(\frac{V}{N}\right) + k_B\frac{3N}{2}\ln\left(\frac{E}{N}\right)\nonumber\\ &= k_B\frac{3N}{2}\ln\left(c\right) + k_BN\ln\left(\frac{k_BT}{p}\right) + k_B\frac{3N}{2}\ln\left(\frac{3}{2}k_BT\right)\nonumber\\ &= k_BN\ln\left(k_BT\right) + k_B\frac{3N}{2}\ln\left(\frac{3}{2}k_BT\right) - Nk_B\ln\left(p\right) + k_B\frac{3N}{2}\ln\left(c\right)\nonumber\\ &= k_B\frac{5N}{2}\ln\left(k_BT\right) + k_B\frac{3N}{2}\ln\left(\frac{3}{2}\right) - Nk_B\ln\left(p\right) + k_B\frac{3N}{2}\ln\left(c\right)\nonumber\\ &= k_B\frac{5N}{2}\ln\left(T\right) - Nk_B\ln\left(p\right) + k_B\frac{5N}{2}\ln\left(k_B\right) + k_B\frac{3N}{2}\ln\left(\frac{3}{2}\right) + k_B\frac{3N}{2}\ln\left(c\right)\nonumber\\ &= k_B\frac{5N}{2}\ln\left(T\right) - Nk_B\ln\left(p\right) + Nk_B\ln\left(k_B^{\frac{5}{2}}\right) + Nk_B\ln\left[\left(\frac{3}{2}\right)^\frac{3}{2}\right] + Nk_B\ln\left(c^\frac{3}{2}\right)\nonumber\\ &= k_B\frac{5N}{2}\ln\left(T\right) - Nk_B\ln\left(p\right) + Nk_B\ln\left[k_B^{\frac{5}{2}}\left(\frac{3}{2}\right)^\frac{3}{2}c^\frac{3}{2}\right]\nonumber\\ &= k_B\frac{5N}{2}\ln\left(T\right) - Nk_B\ln\left(p\right) + Nk_B\ln\left[\left(\frac{3k_B}{2}c\right)^\frac{3}{2}k_B\right].\tag{9.23}\label{eq:entropy_id_gas_deriv_0} \end{align} \]

Aus Glg. (5.143) weiß man

\[ \begin{align} c = \frac{Me^{5/3}}{3\pi\hbar^2}, \end{align} \]

wobei $M$ die Masse der Teilchen bezeichnet. Hieraus folgt

\[ \begin{align} S\left(E, V, N\right) &= k_B\frac{5N}{2}\ln\left(T\right) - Nk_B\ln\left(p\right) + Nk_B\ln\left[\left(\frac{3k_B}{2}\frac{Me^{5/3}}{3\pi\hbar^2}\right)^\frac{3}{2}k_B\right]\nonumber\\ &= k_B\frac{5N}{2}\ln\left(T\right) - Nk_B\ln\left(p\right) + Nk_B\ln\left[\left(\frac{Me^{5/3}k_B}{2\pi\hbar^2}\right)^\frac{3}{2}k_B\right]. \end{align} \]

Mit

\[ \begin{align} c' \coloneqq k_B\ln\left[\left(\frac{Me^{5/3}k_B}{2\pi\hbar^2}\right)^\frac{3}{2}k_B\right] \end{align} \]

kann man abkürzend

\[ \begin{align} S\left(E, V, N\right) &= k_B\frac{5N}{2}\ln\left(T\right) - Nk_B\ln\left(p\right) + Nc' \end{align} \]

notieren. Somit erhält man

\[ \begin{align} S\left(E, V, N\right) &= C^{(p)}\ln\left(T\right) - Nk_B\ln\left(p\right) + Nc'\nonumber\\ &= C^{(p)}\ln\left[\theta\left(\frac{p}{p_0}\right)^{\frac{R_s}{c^{(p)}}}\right] - Nk_B\ln\left(p\right) + Nc'\nonumber\\ &= C^{(p)}\ln\left(\theta\right) + R_sm\ln\left(\frac{p}{p_0}\right) - Nk_B\ln\left(p\right) + Nc'\nonumber\\ &= C^{(p)}\ln\left(\theta\right) + k_BN\ln\left(p\right) - Nk_B\ln\left(p\right) - Nk_B\ln\left(p_0\right) + Nc'\nonumber\\ &= C^{(p)}\ln\left(\theta\right) - Nk_B\ln\left(p_0\right) + Nk_B\ln\left[\left(\frac{k_BMe^{5/3}}{2\pi\hbar^2}\right)^\frac{3}{2}k_B\right]\nonumber\\ &= C^{(p)}\ln\left(\theta\right) + Nk_B\ln\left[\frac{k_B}{p_0}\left(\frac{k_BMe^{5/3}}{2\pi\hbar^2}\right)^\frac{3}{2}\right] = C^{(p)}\ln\left(\theta\right) + \frac{2C^{(p)}}{5}\ln\left[\frac{k_B}{p_0}\left(\frac{k_BMe^{5/3}}{2\pi\hbar^2}\right)^\frac{3}{2}\right]\nonumber\\ &= C^{(p)}\ln\left(\theta\right) + mc''. \end{align} \]

Mit

\[ \begin{align} c'' \coloneqq \frac{2c^{(p)}}{5}\ln\left[\frac{k_B}{p_0}\left(\frac{k_BMe^{5/3}}{2\pi\hbar^2}\right)^\frac{3}{2}\right]. \end{align} \]

Für die spezifische Entropie $s$ gilt somit

\[ \begin{align} s = c^{(p)}\ln\left(\theta\right) + c''\tag{9.30}\label{eq:entropy_spec_id_gas} \end{align} \]

mit der molaren Masse $M$.

Man kann auch $s$ als Zustandsgröße verwenden. Es gilt nämlich

Addiert man das Produkt der Entropie $s$ mit der Kontinuitätsgleichung

\[ \begin{align} s\frac{\partial\rho}{\partial t} + s\mathbf{v}\cdot\nabla\rho + s\rho\nabla\cdot\mathbf{v} = sq_\rho^{(V)} \end{align} \]

hinzu, folgt mit der Definition

\[ \begin{align} \newtilde{s} \coloneqq \rho s.\tag{9.33}\label{eq:def_entropy_density} \end{align} \]

die Gleichung

Man mache sich an dieser Stelle klar, dass die Konstante $c''$ nicht irrelevant ist. Ersetze nämlich

\[ \begin{align} s \to s - \newtilde{c} \end{align} \]

mit einer beliebigen Konstante $\newtilde{c}$, dann wird aus Glg. (9.34)

\[ \begin{align} \frac{\partial\newtilde{s}}{\partial t} + \nabla\cdot\left(\newtilde{s}\mathbf{v}\right) &= \frac{q_T^{(V)}}{T} + \newtilde{c}q_\rho^{(V)}. \end{align} \]

Möchte man $c''$ also loswerden, möchte man also $c^{(p)}\ln\left(\theta\right)$ direkt als Ausdruck für die Entropie verwenden, so geht dies nur unter Vernachlässigung von Massenquelltermen. Diese tragen nicht zur Evolution der Entropiedichte bei.

Mit der Bezeichnungsänderung

\[ \begin{align} c \to \frac{c''}{M} \end{align} \]

ergibt sich als Diagnostik für die potentielle Temperatur

\[ \begin{align} \theta = \exp\left(\frac{s - c}{c^{(p)}}\right) = \exp\left(\frac{\frac{\newtilde{s}}{\rho} - c}{c^{(p)}}\right) = \exp\left(-\frac{c}{c^{(p)}}\right)\exp\left(\frac{\newtilde{s}}{c^{(p)}\rho}\right).\tag{9.38}\label{eq:pot_temp_entropy_diagnostics} \end{align} \]

Mit

\[ \begin{align} \theta = T\left(\frac{p_0}{p}\right)^{R_s/c^{(p)}} = T\left(\frac{p_0}{\rho R_sT}\right)^{R_s/c^{(p)}} = \left(\frac{p_0}{R_s}\right)^{R_s/c^{(p)}}T^{c^{(V)}/c^{(p)}}\rho^{-R_s/c^{(p)}} \end{align} \]

erhält man weiter

\[ \begin{align} T = \left(\frac{R_s}{p_0}\right)^{R_s/c^{(V)}}\exp\left(-\frac{c}{c^{(V)}}\right)\rho^{R_s/c^{(V)}}\exp\left(\frac{\newtilde{s}}{c^{(V)}\rho}\right). \end{align} \]

Mit

\[ \begin{align} \beta \coloneqq \left(\frac{R_s}{p_0}\right)^{R_s/c^{(V)}}\exp\left(-\frac{c}{c^{(V)}}\right) \end{align} \]

kann man dies kürzer als

notieren. Dies ist die Zustandsgleichung idealer Gase in Entropieformulierung.

Die in diesem Abschnitt hergeleiteten Formen des Ersten Hauptsatzes der Thermodynamik sind Evolutionsgleichungen für die Entropie und sehen daher eher aus wie eine Formulierung des Zweiten Hauptsatzes. Sie wurden jedoch rein aus dem Ersten Hauptsatz und der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase hergeleitet. Die Zustandsgleichung selber ist jedoch aus der Zustandsfunktion heraus abgeleitet worden, welche dieselbe Information enthält wie die Entropie. Dementsprechend ist es zu erwarten, dass die in diesem Abschnitt hergeleiteten Gleichungen eng mit dem Zweiten Hauptsatz zusammenhängen. Dies darf jedoch nicht darüber hinwegtäuschen, dass der Erste und Zweite Hauptsatz unabhängige Aussagen sind, und nicht die eine aus der anderen heraus beweisbar ist. In Abschn. 10.1 wird gezeigt werden, dass eine thermodynamische Größe, welche bei adiabatischen Vorgängen im idealen Gas erhalten ist, eine Bijektion der spezifischen Entropie ist.

9.1.3.1 Potentielle Temperatur als prognostische Variable

Die potentielle Temperatur $\theta$ ist die Temperatur, die ein Gaspaket hätte, brächte man es adiabatisch auf einen willkürlichen Referenzdruck $p_0$. Ersetzt man mittels der Zustandsgleichung in der Adiabaten Glg. (9.19) das Volumen durch die Temperatur, erhält man

\[ \begin{align} p_0 = p\left(\frac{V}{V_0}\right)^\kappa = p\left(\frac{Tp_0}{p\theta}\right)^\kappa\Leftrightarrow T_0^\kappa = T^\kappa\left(\frac{p_0}{p}\right)^{\kappa - 1}\Leftrightarrow \theta = T\left(\frac{p_0}{p}\right)^\frac{R_s}{c^{(p)}}\tag{9.43}\label{eq:pot_temp} \end{align} \]

Man erhält für die potentielle Dichte $\rho_\theta$ den Ausdruck

\[ \begin{align} \rho_\theta = \rho\left(\frac{p_0}{p}\right)^\frac{1}{\kappa}.\tag{9.44}\label{eq:pot_dichte} \end{align} \]

In der Meteorologie ist $p_0 \coloneqq 1000\:\text{hPa}$. Der trockenadiabatische Temperaturgradient bezeichnet die Abnahme der Temperatur mit der Höhe bei adiabatischem Aufstieg eines trockenen Luftteilchens. Mithilfe der potentiellen Temperatur kann man sich den Wert leicht herleiten. Es gilt ja

\[ \begin{align} \frac{dT}{dz} = \theta\frac{dp}{dz}\frac{R_s}{c^{(p)}}\frac{1}{p_0}\left(\frac{p}{p_0}\right)^{\frac{R_s}{c^{(p)}} - 1}, \end{align} \]

da man von einem adiabatischen Prozess ausgeht und sich die potentielle Temperatur dabei nicht ändert. $p_0$ ist dabei der Referenzdruck, dies soll hier gleichzeitig das Niveau bezeichnen, in dem abgeleitet wird. Setzt man die hydrostatische Approximation und die Zustandsgleichung idealer Gase ein, folgt

\[ \begin{align} \frac{dT}{dz} = -\theta g\rho _0\frac{R_s}{c^{(p)}}\frac{1}{p_0} = -\frac{g}{c^{(p)}} \approx - 0, 98\:\frac{\text{K}}{100\:\text{m}}, \end{align} \]

man definiert den trockenadiabatischen Gradienten $\Gamma_d$ als den Betrag der Abnahme

\[ \begin{align} \Gamma_d \coloneqq \frac{g}{c^{(p)}} \approx 0, 98\:\frac{\text{K}}{100\:\text{m}}.\tag{9.47}\label{eq:trockenad_tempgradient} \end{align} \]

Der trockenadiabatische Temperaturgradient ist kein Temperaturgradient im eigentlichen Sinne, er ist die Ableitung der Funktion $T = T(z)$, die die adiabatische Hebung eines Teilchens beschreibt. Diese Funktion nennt man auch Trockenadiabate. Er ist nicht die Vertikalkomponente des atmosphärischen Temperaturgradienten $\nabla T$. Diese muss überhaupt nicht, auch nicht näherungsweise, mit der Trockenadiabaten übereinstimmen. Es gilt nämlich

\[ \begin{align} \frac{\partial T}{\partial z} &= \theta\frac{\partial p}{\partial z}\frac{R_s}{c^{(p)}}\frac{1}{p_0}\left(\frac{p}{p_0}\right)^{\frac{R_s}{c^{(p)}} - 1} + \frac{\partial\theta}{\partial z}\left(\frac{p}{p_0}\right)^{\frac{R_s}{c^{(p)}}} = -\frac{g}{c^{(p)}} - g\frac{p}{R_sT}\frac{\partial\theta}{\partial p}\left(\frac{p}{p_0}\right)^{\frac{R_s}{c^{(p)}}}\nonumber\\ \Rightarrow g\frac{p}{R_s\theta}\frac{\partial\theta}{\partial p} &= -\left(\Gamma_d - \Gamma\right)\tag{9.48}\label{eq:vert_temp_gradient} \end{align} \]

mit

\[ \begin{align} \Gamma \coloneqq -\frac{\partial T}{\partial z}. \end{align} \]

Die materielle Ableitung von Glg. (9.43) ist

\[ \begin{align} \md{T} &= \md{\theta}\left(\frac{p}{p_0}\right)^{R_s/c^{(p)}} + \theta\frac{dp}{dt}\frac{1}{p_0}\frac{R_s}{c^{(p)}}\left(\frac{p}{p_0}\right)^{R_s/c^{(p)} - 1} = \frac{T}{\theta}\md{\theta} + \frac{T}{p}\omega\frac{R_s}{c^{(p)}} = \frac{T}{\theta}\md{\theta} + \frac{\omega}{\rho c^{(p)}}. \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} c^{(V)}\frac{T}{\theta}\md{\theta} + \frac{T}{p}\omega\frac{R_s}{c^{(p)}}c^{(V)} + p\md{}\frac{R_sT}{p} &= \frac{q_T^{(V)}}{\rho} - \frac{sT}{\rho}q_\rho^{(V)}\nonumber\\ \Leftrightarrow \md{\theta}\frac{T}{\theta} + \frac{\omega T}{p}\frac{R_s}{c^{(p)}} - \frac{R_sT}{pc^{(V)}}\omega + \frac{R_s}{c^{(V)}}\md{T} &= \frac{q_T^{(V)}}{c^{(V)}\rho} - \frac{sT}{c^{(V)}\rho}q_\rho^{(V)}\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{T}{\theta}\md{\theta} + \frac{\omega R_sT}{p}\left(\frac{1}{c^{(p)}} - \frac{1}{c^{(V)}}\right)\nonumber\\ + \frac{R_s}{c^{(V)}}\left(\frac{T}{\theta}\md{\theta} + \frac{T}{p}\omega\frac{R_s}{c^{(p)}}\right) &= \frac{q_T^{(V)}}{c^{(V)}\rho} - \frac{sT}{c^{(V)}\rho}q_\rho^{(V)}\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{T}{\theta}\md{\theta}\frac{c^{(p)}}{c^{(V)}} + \frac{\omega R_sT}{p}\frac{c^{(V)} - c^{(p)} + R_s}{c^{(V)}c^{(p)}} &= \frac{q_T^{(V)}}{c^{(V)}\rho} - \frac{sT}{c^{(V)}\rho}q_\rho^{(V)}. \end{align} \]

Damit lautet der Erste Hauptsatz der Thermodynamik für ein Gas in Termen der potentiellen Temperatur

Multipliziert man diese Gleichung mit $\rho$, erhält man

\[ \begin{align} \rho\frac{\partial\theta}{\partial t} + \rho\mathbf{v}\cdot\nabla\theta = \frac{\theta}{Tc^{(p)}}\left(q_T^{(V)} - sTq_\rho^{(V)}\right). \end{align} \]

Addiert man das Produkt der potentiellen Temperatur mit der Kontinuitätsgleichung

\[ \begin{align} \theta\frac{\partial\rho}{\partial t} + \theta\mathbf{v}\cdot\nabla\rho + \theta\rho\nabla\cdot\mathbf{v} = \theta q_\rho^{(V)} = \frac{\theta}{Tc^{(p)}}Tc^{(p)}q_\rho^{(V)} \end{align} \]

hinzu, folgt

Diese Form bezeichnet man auch als Flussform, wohingegen Glg. (9.52) Advektionsform hat. Die Flussform lässt sich als eine formale Kontinuitätsgleichung verstehen.

9.2 Die isentrope trockene Atmosphäre

In einer isentropen Atmosphäre (Atmosphäre homogener spezifischer Entropie) ist nach Glg. (9.30) auch die potentielle Temperatur homogen. Dies führt zu einer anderen Abhängigkeit des Drucks von der Höhe als im Fall der isothermen Atmosphäre. Ist $\Gamma_d > 0$ der trockenadiabatische Temperaturgradient, gilt für die Temperatur $T(z) = T_0 - \Gamma_d z$ mit $T_0 \coloneqq T(z = 0)$. Damit folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial p}{\partial z} = -g\rho = -g\frac{p}{R_dT} = -\frac{g}{R_d}\frac{p}{T_0 - \Gamma_d z} = \frac{gp}{R_d(\Gamma_d z - T_0)} \end{align} \]

als zu lösende Differenzialgleichung für $p = p(z)$. Macht man den Ansatz

\[ \begin{align} p(z) = C\exp\left[f(z)\right] \end{align} \]

mit einer stetig-differenzierbaren Funktion $f = f(z)$ und einer Konstanten $C > 0$, so folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial p}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}p, \end{align} \]

man erhält also für $f$

\[ \begin{align} \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{g}{R_d\left(\Gamma_d z - T_0\right)}, \end{align} \]

dies ist gelöst für

\[ \begin{align} f = \frac{g}{R_d\Gamma_d}\ln\left(T_0 - \Gamma_d z\right). \end{align} \]

Damit folgt für den Druck

\[ \begin{align} p(z) = C\exp\left(\frac{g}{R_d\Gamma_d}\ln\left(T_0 - \Gamma_d z\right)\right) = C\left(T_0 - \Gamma_d z\right)^{\frac{g}{R_d\Gamma_d}}, \end{align} \]

mit $p(0) = p_0$ folgt $C = \frac{p_0}{T_0^{\frac{g}{\Gamma_d R_d}}}$. Es gilt also

In der Troposphäre ist eine mit der Höhe lineare Temperaturabnahme realistischer als Isothermie. Allerdings ist der trockenadiabatische Gradient klimatologisch zu extrem. Man nimmt als Standardatmosphäre eine Atmosphäre mit einer auf die Geopotentialfläche Null reduzierten Temperatur von $T_0 = 290$ K $ = 16, 85^\circ$ C an und einer bis in eine Höhe $H = 12$ km linearen Temperaturabnahme $k = 0, 65$ K/100m. Darüber geht man von Isothermie aus. Ersetzt man in der Formel der isentropen Atmosphäre (9.62) den trockenadiabatischen Gradienten $\Gamma_d$ durch $k$ und verwendet darüber die barometrische Höhenformel, so folgt

\[ \begin{align} p(z) &= \left\lbrace\begin{array}{c} p_0\left(1 - \frac{kz}{T_0}\right)^\frac{g}{R_dk}, \:z < H\\ p(H)\exp\left(-g\frac{z - H}{R_dT_T}\right) , \:z\geq H \end{array}\right. \end{align} \]

mit $T_T \coloneqq T_0 - kH$ als Temperatur der Tropopause.

In einer stabilen Atmosphäre ist $\theta$ eine mögliche Vertikalkoordinate, man spricht von isentropen Koordinaten, da die Flächen gleicher Vertikalkoordinate Flächen gleicher Entropie sind.

9.3 Weitere Formen des Ersten Hauptsatzes in der Atmosphäre

9.3.1 Druck als prognostische Variable

Nun soll noch die Definition der potentiellen Temperatur in die Zustandsgleichung eingesetzt werden:

\[ \begin{align} p &= \rho R_s\theta\left(\frac{p}{p_0}\right)^{R_s/c^{(p)}}\Rightarrow p^{1 - R_s/c^{(p)}} = \rho R_s\theta\frac{1}{p_0^{R_s/c^{(p)}}}\tag{9.64}\label{eq:state_theta_deriv_0}\\ \Rightarrow p^{1/\kappa} &= \rho R_s\theta\frac{1}{p_0^{R_s/c^{(p)}}}\Rightarrow p = \left(\rho R_s\theta\right)^\kappa\left(\frac{1}{p_0}\right)^{\kappa - 1}\tag{9.65}\label{eq:state_theta} \end{align} \]

Auch für $p$ kann eine prognostiosche Gleichung hergeleitet werden:

\[ \begin{align} p &= \rho R_sT \Rightarrow \md{p} = R_s\left(T\md{\rho} + \rho\md{T}\right) \end{align} \]

Mit

\[ \begin{align} \md{\rho} = -\rho\nabla\cdot\mathbf{v} + q_\rho^{(V)}, & {} & \md{T} = \frac{T}{\theta}\md{\theta} + \frac{TR_s}{c^{(p)}p}\md{p} \end{align} \]

folgt

\[ \begin{align} \md{p} &= R_sT\left(-\rho\nabla\cdot\mathbf{v} + q_{\rho}\right) + R_s\rho\left(\frac{T}{\theta}\md{\theta} + \frac{TR_s}{c^{(p)}p}\md{p}\right)\nonumber\\ &= -p\nabla\cdot\mathbf{v} + R_sTq_\rho^{(V)} + \frac{p}{\theta}\md{\theta} + \frac{R_s}{c^{(p)}}\md{p}\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{c^{(V)}}{c^{(p)}}\md{p} &= -p\nabla\cdot\mathbf{v} + R_sTq_\rho^{(V)} + \frac{p}{\theta}\md{\theta}\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{\partial p}{\partial t} &= -\mathbf{v}\cdot\nabla p - \frac{c^{(p)}}{c^{(V)}}p\nabla\cdot\mathbf{v} + \frac{c^{(p)}}{c^{(V)}}R_sTq_\rho^{(V)} + \frac{p}{T\rho c^{(V)}}\left(q_T^{(V)} - sTq_\rho^{(V)}\right) \end{align} \]

9.3.2 Exner-Druck als prognostische Variable

Definiert man den Exner-Druck $\Pi$ durch

\[ \begin{align} \Pi \coloneqq \frac{T}{\theta} = \left(\frac{p}{p_0}\right)^{R_s/c^{(p)}} \Leftrightarrow p = \Pi^{c^{(p)}/R_s}p_0,\tag{9.70}\label{eq:def_exner-druck} \end{align} \]

gilt der Zusammenhang

\[ \begin{align} p &= \rho R_s\theta\Pi \Leftrightarrow \Pi^{c^{(p)}/R_s} = \frac{\rho R_s\theta}{p_0}\Pi \Leftrightarrow \Pi^{c^{(V)}/R_s} = \frac{\rho R_s\theta}{p_0}\nonumber\\ \Leftrightarrow\Pi &= \left(\frac{\rho R_s\theta}{p_0}\right)^{R_s/c^{(V)}}.\tag{9.71}\label{eq:exner_pressure_diag} \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} \nabla p = R_s \theta\rho\nabla\Pi + R_s\Pi\nabla\left(\rho\theta\right) = c^{(p)}\theta\rho\nabla\Pi - c^{(V)}\theta\rho\nabla\Pi + R_s\Pi\nabla\left(\rho\theta\right). \end{align} \]

Man stellt fest:

\[ \begin{align} -c^{(V)}\theta\rho\nabla\Pi + R_s\Pi\nabla\left(\rho\theta\right) &= -\left(\frac{R_s}{p_0}\right)^{R_s/c^{(V)}}c^{(V)}\theta\rho\nabla\left(\rho\theta\right)^{R_s/c^{(V)}} + R_s\Pi\nabla\left(\rho\theta\right)\nonumber\\ &\stackrel{\text{Glg. }\href{#eq:exner_pressure_diag}{(9.71)}}{=} R_s\left(\Pi - \left(\frac{R_s}{p_0}\right)^{R_s/c^{(V)}}\left(\rho\theta\right)^{R_s/c^{(V)}}\right)\nabla\left(\rho\theta\right) = 0 \end{align} \]

Somit kann man für die Druckgradientbeschleunigung schreiben

\[ \begin{align} -\frac{1}{\rho}\nabla p = -c^{(p)}\theta\nabla\Pi.\tag{9.74}\label{eq:exner_pressure_gradient_acc} \end{align} \]

Mit Glg. (B.49) folgt

\[ \begin{align} \nabla\cdot\left(\rho c^{(p)}\Pi\theta\mathbf{v}\right) &= \rho c^{(p)}\theta\mathbf{v}\cdot\nabla\Pi + \Pi\nabla\cdot\left(\rho c^{(p)}\theta\mathbf{v}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow -\rho\mathbf{v}\cdot c^{(p)}\theta\nabla\Pi &= -\nabla\cdot\left(\rho c^{(p)}T\mathbf{v}\right) + c^{(p)}\Pi\nabla\cdot\left(\rho\theta\mathbf{v}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow -\rho\mathbf{v}\cdot c^{(p)}\theta\nabla\Pi &= -\nabla\cdot\left(\rho h\mathbf{v}\right) + c^{(p)}\Pi\nabla\cdot\left(\rho\theta\mathbf{v}\right)\ \end{align} \]

mit der spezifischen Enthalpie $h$. Hieraus kann man ablsesen:

• Wirkt der Druckgradient beschleunigend, so divergiert der Fluss der potentiellen Temperatur stärker als der Fluss der Enthalpie.
• Wirk der Druckgradient bremsend, so divergiert der Fluss der Enthalpie stärker als der Fluss der potentiellen Temperatur.

Nun werden noch zwei prognostische Gleichungen für $\Pi$ hergeleitet. Die lokalzeitliche Ableitung von Glg. (9.71) lautet im adiabatischen Fall

\[ \begin{align} \frac{\partial\Pi}{\partial t} &= \frac{R_s}{c^{(V)}}\left(\frac{\rho R_s\theta}{p_0}\right)^{\frac{R_s}{c^{(V)}} - 1}\frac{\rho R_s\theta}{p_0}\left(\frac{1}{\theta}\frac{\partial\theta}{\partial t} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\rho}{\partial t}\right) = \frac{R_s}{c^{(V)}\theta\rho}\left(\frac{\rho R_s\theta}{p_0}\right)^{\frac{R_s}{c^{(V)}}}\left(\rho\frac{\partial\theta}{\partial t} + \theta\frac{\partial\rho}{\partial t}\right)\nonumber\\ &= \frac{R_s\Pi}{c^{(V)}\theta\rho}\left(\rho\frac{\partial\theta}{\partial t} + \theta\frac{\partial\rho}{\partial t}\right) = \frac{R_s\Pi}{c^{(V)}\theta\rho}\left(-\rho\mathbf{v}\cdot\nabla\theta - \theta\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right)\right) = -\frac{R_s\Pi}{c^{(V)}\theta\rho}\nabla\cdot\left(\rho\theta\mathbf{v}\right). \end{align} \]

Fügt man die diabatischen Terme hinzu, folgt

Für die materielle Ableitung von Glg. (9.71) erhält man

\[ \begin{align} \md{\Pi} = \frac{R_s}{c^{(V)}}\left(\frac{\rho R_s\theta}{p_0}\right)^{R_s/c^{(V)} - 1}\frac{R_s}{p_0}\md{\left(\rho\theta\right)} = \frac{R_s}{c^{(V)}\rho\theta}\left(\frac{\rho R_s\theta}{p_0}\right)^{R_s/c^{(V)}}\md{\left(\rho\theta\right)} = \frac{R_s\Pi}{c^{(V)}\rho\theta}\md{\left(\rho\theta\right)}. \end{align} \]

Mit Glg. (9.55) folgt

9.4 Ideales Gasgemisch mit homogener Zusammensetzung

N-atomige ideale Gase haben gegenüber dem einatomigen Gas zusätzlich Rotations- und Vibrationsfreiheitsgrade. Diese zusätzlichen Freiheitsgrade erhöhen die Wärmekapazitäten und ein analytischer Ausdruck für die Entropie liegt dann nicht mehr vor. Als Modell für dieses komplexe System wird ein einatomiges ideales Gas mit der gleichen mittleren molaren Masse wie das Originalgas verwendet, wobei für die Wärmekapazitäten Messweret oder Produkte einer fundamentaleren Theorie verwendet werden. Damit lassen sich die im vorigen Abschnitt aufgeführten Ergebnisse insbesondere auch auf trockene Luft übertragen.

9.5 Ideales Gasgemisch mit variabler Zusammensetzung

Hier geht man von einem Gasgemisch aus $N \geq 1$ idealen einatomigen Gasen aus. Glg. (9.34) lässt sich auf jede dieser Komponenten anwenden und überlagern. Dabei gilt

\[ \begin{align} \newtilde{s}_i = s_i\rho_i \end{align} \]

für $1 \leq i \leq N$ und

\[ \begin{align} s = \sum_{i = 1}^N\newtilde{s}_i. \end{align} \]

Prinzipiell bekommt jede Gassorte ihren eigenen Temperatur-Quellterm $q_{T, i}$. Man nimmt jedoch vereinfachend an, dass der anschließende Austausch der Energie zwischen den Gassorten so schnell ist, dass man sie als instantan annehmen kann. In diesem Fall kann man

\[ \begin{align} q_{T, i}^{(V)} = \frac{\rho_ic_i^{(V)}}{\sum_{j = 1}^N\rho_jc_j^{(V)}}q_T^{(V)} \end{align} \]

Somit gilt Glg. (9.34)

auch mit diesen Definitionen.

9.5.1 Beispiel: feuchte Luft

Man definiert die sogenannte virtuelle potentielle Temperatur $\theta_v$ durch

\[ \begin{align} \theta_v \coloneqq T_v\left(\frac{p_0}{p}\right)^{R_d/c_d^{(p)}}, \end{align} \]

hierbei ist

\[ \begin{align} T_v = T\left[1 + \frac{\rho_v}{\rho_h}\left(\frac{M_d}{M_v} - 1\right)\right] \end{align} \]

die in Glg. (5.164) definierte virtuelle Temperatur. Die virtuelle potentielle Temperatur ist nicht die potentielle Temperatur feuchter Luft $\theta_h$, denn für diese würde

\[ \begin{align} \theta_h \coloneqq T\left(\frac{p_0}{p}\right)^{R_h/c_h^{(p)}} \end{align} \]

gelten. Die virtuelle potentielle Temperatur ist diejenige potentielle Temperatur, die trockene Luft haben müsste, um nach adiabatischer Kompression auf den Referenzdruck $p_0$ die gleiche Dichte zu haben wie die betrachtete feuchte Luft.

Für die spezifische isochore Wärmekapazität feuchter Luft $c_h^{(v)}$ gilt

\[ \begin{align} c_h^{(v)} = \frac{\rho_dc_d^{(v)} + \rho_vc_v^{(v)}}{\rho_d + \rho_v} = c_d^{(v)}\frac{\rho_d + \rho_v\frac{c_v^{(v)}}{c_d^{(v)}}}{\rho_d + \rho_v} = c_d^{(v)}\frac{\rho_h - \rho_v + \rho_v\frac{c_v^{(v)}}{c_d^{(v)}}}{\rho_h} = c_d^{(v)}\left[1 + \frac{\rho_v}{\rho_h}\left(\frac{c_v^{(v)}}{c_d^{(v)}} - 1\right)\right] \end{align} \]

Nach Glg. (5.148) gilt im idealen Gas

\[ \begin{align} \frac{c_v^{(v)}}{c_d^{(v)}} = \frac{M_d}{M_v}. \end{align} \]

Setzt man die tatsächlichen Werte ein, erhält man jedoch

\[ \begin{align} \frac{c_v^{(v)}}{c_d^{(v)}} = 1,945 \not= 1,608 = \frac{M_d}{M_v}.\tag{9.89}\label{eq:theta_v_not_accurate} \end{align} \]

Hieran erkannt man, dass reale Gase sich zwar bei atmosphärischen Bedingungen sehr gut durch die thermische Zustandsgleichung idealer Gase beschreiben lassen, ihre Materialeigenschaften jedoch nicht. Ignoriert man diese Abweichung jedoch, folgt

\[ \begin{align} c_h^{(v)} = c_d^{(v)}\left[1 + \frac{\rho_v}{\rho_h}\left(\frac{M_d}{M_v} - 1\right)\right] \end{align} \]

Die adiabatische Form des Ersten Hauptsatzes der Thermodynamik Glg. (9.14) lässt sich nun in Termen der virtuellen Temperatur formulieren:

\[ \begin{align} c_h^{(v)}\md{T} + R_hT\nabla\cdot\mathbf{v} &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow c_d^{(v)}\left[1 + \frac{\rho_v}{\rho_h}\left(\frac{M_d}{M_v} - 1\right)\right]\md{T} + R_dT_v\nabla\cdot\mathbf{v} &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow c_d^{(v)}\md{\left\lbrace T\left[1 + \frac{\rho_v}{\rho_h}\left(\frac{M_d}{M_v} - 1\right)\right]\right\rbrace} + R_dT_v\nabla\cdot\mathbf{v} &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow c_d^{(v)}\md{T_v} + R_dT_v\nabla\cdot\mathbf{v} &= 0 \end{align} \]

Der Vorfaktor $1 + \frac{\rho_v}{\rho_h}\left(\frac{M_d}{M_v} - 1\right)$, welcher aus der Temperatur die virtuelle Temperatur macht, kann in die Ableitung hineingezogen werden, da der mit der Produktregel entstehende Term $\propto \md{q}$ nach Glg. (7.28) bei adiabatischen Prozessen gleich Null ist. Man kann also in feuchter Luft bei adiabatischen Prozessen die Gleichungen für trockene Luft mit der Ersetzung

\[ \begin{align} T \to T_v \end{align} \]

verwenden, wenn man die Ungenauigkeit nach Unglg. (9.89) akzeptiert.

9.6 Thermodynamische Bedeutung der Wärmeleitung

Glg. (9.83)

\[ \begin{align} \frac{\partial\newtilde{s}}{\partial t} + \nabla\cdot\left(\newtilde{s}\mathbf{v}\right) &= \frac{q_T^{(V)}}{T}\tag{9.93}\label{eq:td_1_2_entropy_id_gas_repeat} \end{align} \]

ist eine Kombination des Ersten und Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. Für $q_T^{(V)}$ gilt unter Abwesenheit von Strahlung und Kondensaten

\[ \begin{align} q_T^{(V)} = -\nabla\cdot\mathbf{j}_q + \epsilon, \end{align} \]

hierbei ist $\mathbf{j}_q$ die Wärmestromdichte durch Wärmeleitung. Laut Glg. (5.219) gilt

\[ \begin{align} \mathbf{j}_q = -\rho c_d^{(v)}\kappa\nabla T. \end{align} \]

Man kann nun rechnen

\[ \begin{align} \frac{\nabla\cdot\left(\rho\kappa\nabla T\right)}{T} = \nabla\cdot\frac{\rho c_d^{(v)}\kappa\nabla T}{T} + \frac{\rho c_d^{(v)}\kappa}{T^2}\left(\nabla T\right)^2 = -\nabla\cdot\frac{\mathbf{j}_q}{T} + \frac{\rho c_d^{(v)}\kappa}{T^2}\left(\nabla T\right)^2. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (9.93) ein und integriert global, erhält man

\[ \begin{align} \int_A\frac{\partial\newtilde{s}}{\partial t}d^3r &= \frac{d}{dt}\int_A\newtilde{s}d^3r = \int_A-\nabla\cdot\frac{\mathbf{j}_q}{T} + \frac{\rho c_d^{(v)}\kappa}{T^2}\left(\nabla T\right)^2d^3r = -\int_{\partial A}\frac{\mathbf{j}_q}{T}\cdot d\mathbf{n} + \int_A\frac{\rho c_d^{(v)}\kappa}{T^2}\left(\nabla T\right)^2d^3r. \end{align} \]

Die Evolutionsgleichung der Gesamtentropie der Atmosphäre

\[ \begin{align} S = \int_A\newtilde{s}d^3r \end{align} \]

lautet in diesem Fall also

Durch interne Prozesse in einem idealen Gas mit Viskosität kann also nur Entropie produziert werden, wie es vom Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik gefordert wird.

9.7 Kondensate

Es muss der Erste Hauptsatz auch noch für die Kondensatklassen $i$ formuliert werden. Hierzu geht man von Glg. (5.34) aus:

\[ \begin{align} \Delta U_i = \Delta Q_i - \Delta W_i \end{align} \]

Bei den Kondensaten nimmt man Inkompressibilität an, also $\Delta W_i = 0$. Als Wärmequellen spielen neben Strahlung, Wärmeübergang, und Dissipation auch Phasenübergänge eine Rolle. Diese wirken auf zwei Arten:

• Sie führen zu latenten Wärmeflüssen und ändern so die Temperatur.
• Sie ändern die Zusammensetzung der Bestandteile der Luft und ändern die Temperatur über Durchmischung.

Der erste Punkt wird in Kap. 11 näher beschrieben. Alle Wärmeflüsse, die pro Volumen auf die Phase $i$ wirken, werden zu einer Quellstärke $q_i$ zusammengefasst. Hier soll es um den zweiten Punkt gehen, das heißt es soll die Einwirkung von Massenflüssen auf die Temperatur $T_i$ untersucht werden. Glg. (7.25) umfasst fünf Arten von Massenflüssen, nämlich

• Phasenübergänge, bei denen neue Kondensatteilchen entstehen,
• Phasenübergänge, die an der Oberfläche eines Partikels stattfinden,
• Phasenumwandlungen von Kondensatteilchen, sodass diese ihre Klasse wechseln,
• Kollisionen und
• Zerfallsprozesse

Es tragen nur solche Prozesse zu einer Änderung der Temperatur $T_i$ bei, bei denen Materie in die Phase $i$ übergeht. Die Klasse $i$ habe die spezifische Wärmekapazität $c_i$, die $m_j$ und $m_h$ seien die in die Phase $i$ übergehenden Massen. Dann gilt für den Wärmegehalt vor bzw. nach einem Massenfluss

\[ \begin{align} c_im_iT_i\left(t\right) + c_hm_hT + \sum_{j\not = i}^{}c_jm_jT_j &= c_iT_i\left(t + \Delta t\right)\left(m_h + m_i + \sum_{j\not = i}^{}m_j\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow c_im_i\left[T_i\left(t + \Delta t\right) - T_i\left(t\right)\right] &= c_hm_hT + \sum_{j\not = i}^{}c_jm_jT_j - c_iT_i\left(t + \Delta t\right)\left(m_h + \sum_{j\not = i}^{}m_j\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\Delta T_i &= \frac{c_h}{c_im_i}m_h\left(T - \frac{c_i}{c_h}T_i\left(t + \Delta t\right)\right) + \frac{1}{c_im_i}\sum_{j\not = i}\left[c_jm_jT_j - c_im_jT_i\left(t + \Delta t\right)\right]\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{1}{\Delta V}\frac{dT_i}{dt} &= \frac{1}{m_i}\newtilde{q}_{hi}\left(\frac{c_h}{c_i}T - T_i\right) + \frac{1}{m_i}\sum_{j\not = i}^{}\newtilde{q}_{j, i}\left(\frac{c_j}{c_i}T_j - T_i\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\rho_ic_i\frac{dT_i}{dt} &= \newtilde{q}_{hi}\left(c_hT - c_iT_i\right) + \sum_{j}^{}\newtilde{q}_{j, i}\left(c_jT_j - c_iT_i\right). \end{align} \]

Hierbei wurde davon ausgegangen, dass alle Teilchen der Klasse $i$ dieselbe Temperatur $T_i$ haben, dass also instantane Durchmischung eintritt. Nach Glg. (7.25) und den Überlegungen in Abschn. 11.2 gilt

\[ \begin{align} \newtilde{q}_{hi} = \newtilde{q}_{v, i}' + \newtilde{q}_{v, i}''. \end{align} \]

Zu den $\newtilde{q}_{j, i}$ tragen Phasenumwandlungen, Kollisionen und Zerfallsprozesse bei. Nach den Überlegungen in der Herleitung von Glg. (7.25) gilt

\[ \begin{align} \newtilde{q}_{j, i} = \newtilde{m}_j\sum_{k}^{}\sigma_{j, k}n_jn_k\newoverline{v_{\text{rel}}}\left(j, k\right)P_{j, k}\delta_{i, R_{j, k}} + \newtilde{m}_i\lambda_jn_j\sum_l\left(Z_{jil}\right) + \newtilde{q}_{j, i}'''. \end{align} \]

Man hat also

Dabei wurde in der Notation explizit berücksichtigt, dass die isochore spezifische Wärmekapazität gemeint ist. Ein analoger Term ist auch für die feuchte Luft zu berücksichtigen: