17 Turbulenz

Es gibt keine mathematisch exakte Definition dafür, ob ein Strömungsfeld turbulent ist oder nicht. Es kann davon ausgegangen werden, dass jedes Strömungsfeld, wenn man es nur aus genügend großer Entfernung betrachtet, tubulent aussieht. Zoomt man jedoch weit genug hinein, wird man meistens eine Skala finden, auf der des Feld einen laminaren Eindruck macht, was man als das Gegenteil von Turbulenz versteht. Ist diese Skala die molekulare Skala, liegt volle Turbulenz vor.

17.1 Grundlagen

Definiere einen Mittelungsoperator durch

\[ \begin{align} \newoverline{f} \coloneqq \frac{1}{\mu\left(\Omega\right)}\int_\Omega fd\omega,\tag{17.1}\label{eq:simple_average} \end{align} \]

wobei $\Omega$ eine beliebeige räumliche und/oder zeitliche Menge sein soll, $\mu\left(\Omega\right)$ deren Maß, $f$ eine beliebige Funktion von Ort und Zeit und $d\omega$ ein geeignetes differenzial. Nun kann man $f$ in der Form

\[ \begin{align} f & \equiv \newoverline{f} + f' \end{align} \]

zerlegen; hierzu definiert man die Fluktuation oder Turbulenz durch

\[ \begin{align} f' &\coloneqq f - \newoverline{f}. \end{align} \]

Wenn die Aussagen

\[ \begin{align} \newoverline{\frac{\partial f}{\partial x_i}} &= \frac{\partial\newoverline{f}}{\partial x_i}, \tag{17.4}\label{eq:reynolds_prop_1}\\ \newoverline{\frac{\partial f}{\partial t}} &= \frac{\partial\newoverline{f}}{\partial t}, \tag{17.5}\label{eq:reynolds_prop_2}\\ \newoverline{f'\newoverline{g}} &= 0\tag{17.6}\label{eq:reynolds_prop_3} \end{align} \]

mit einem beliebigen Feld $g$ gelten, bezeichnet man $\newoverline{f}$ als Reynolds-Operator und die entsprechende Mittelung als Reynolds-Mittelung. Man macht sich leicht klar, dass hieraus auch die beiden Aussagen

\[ \begin{align} \newoverline{f'} = 0, & {} & \newoverline{\newoverline{f}} = \newoverline{f} \end{align} \]

folgen. Man kümmert sich an dieser Stelle nicht darum, wie ein solcher Operator konkret aussehen könnte, in Abschn. 17.1.2 wird festgestellt werden, dass die üblichen Mittelungsoperatoren keine Reynolds-Operatoren sind. Von nun an wird jedoch nicht mehr Glg. (17.1) verwendet, anstattdessen wird das Hesselberg-Mittel

\[ \begin{align} \left\langle f\right\rangle \coloneqq \frac{1}{\int_\Omega\rho d\omega}\int_\Omega\rho fd\omega\tag{17.8}\label{eq:hesselberg-average} \end{align} \]

genutzt, wobei $\rho$ die Dichte ist. Für die Fluktuation schreibt man nun

\[ \begin{align} f'' \coloneqq f - \left\langle f\right\rangle. \end{align} \]

Man nimmt nun an, dass das Hesselberg-Mittel ein Reynolds-Operator ist. Wendet man dies auf das trockenadiabatische Gleichungssystem an, folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial\newoverline{\mathbf{v}}}{\partial t} &= -\left(\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\nabla\right)\newoverline{\mathbf{v}} - \newoverline{\left(\mathbf{v}''\cdot\nabla\right)\mathbf{v}''} - \newoverline{\alpha}\frac{\partial\newoverline{p}}{\partial x} - \newoverline{\alpha''\frac{\partial p'}{\partial x}} - \mathbf{f}\times\newoverline{\mathbf{v}} + \mathbf{g},\\ \frac{\partial\newoverline{\theta}}{\partial t}&= -\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\nabla\newoverline{\theta} - \newoverline{\mathbf{v}''\cdot\nabla\theta''} ,\\ \frac{\partial\newoverline{\rho}}{\partial t} &= -\newoverline{\rho}\nabla\cdot\newoverline{\mathbf{v}} - \newoverline{\mathbf{v}}\cdot\nabla\newoverline{\rho} - \newoverline{\rho''\nabla\cdot\mathbf{v}''} - \newoverline{\mathbf{v}''\cdot\nabla\rho''},\\ \newoverline{p}\newoverline{\alpha}&= R_d\newoverline{T} - \newoverline{p''\alpha''}. \end{align} \]

Die prognostischen Gleichungen der gemittelten Felder sind also gegenüber denen der ungemittelten Felder um Terme der Form $\newoverline{f''g''}$ korrigiert, wobei $f, g$ linear in den Feldern und ihren Ableitungen sind. Diese Terme bezeichnet man als die Konvergenzen der turbulenten Korrelationsflüsse. Diese sind natürlich von der Größe der Menge abhängig, über die gemittelt wird, d. h. im Falle eines numerischen Modells auflösungsabhängig. Im Falle einer immer kleiner werdenden Mittelungsmege verlieren die Kovarianzterme an Bedeutung, bis sie schließlich ganz verschwinden.

Für die turbulenten Größen liegen jedoch keine prognostischen Gleichungen vor, was man als Schließungsproblem bezeichnet. Um die Korrelationsterme in der Impulsgleichung näher zu spezifizieren, wendet man den Reynolds-Mittelungsoperator auf Glg. (8.15) an, man erhält so

\[ \begin{align} \frac{\partial\left(\rho\mathbf{v}\right)}{\partial t} + \nabla p + \nabla\cdot\Pi - \rho\mathbf{g} + \nabla\cdot\newtilde{\Pi} = \mathbf{0}, \end{align} \]

wobei die Horizontalstriche der Übersichtlichkeit halber weggelassen wurden. Außerdem ist der Turbulenzkorrelationstensor $\newtilde{\Pi}$ durch

\[ \begin{align} \newtilde{\Pi} \coloneqq \rho\left(\begin{array}{ccc} \newoverline{u''u''} & \newoverline{u''v''} & \newoverline{u''w''} \\ \newoverline{v''u''} & \newoverline{v''v''} & \newoverline{v''w''} \\ \newoverline{w''u''} & \newoverline{w''v''} & \newoverline{w''w''} \end{array}\right) =: \left(\begin{array}{ccc} \newtilde{\Pi}_{x, x} & \newtilde{\Pi}_{x, y} & \newtilde{\Pi}_{x, z} \\ \newtilde{\Pi}_{y, x} & \newtilde{\Pi}_{y, y} & \newtilde{\Pi}_{y, z} \\ \newtilde{\Pi}_{z, x} & \newtilde{\Pi}_{z, y} & \newtilde{\Pi}_{z, z} \end{array}\right) \end{align} \]

definiert. Es wurde von der gerechtfertigten Annahme

\[ \begin{align} \left|\frac{\rho''}{\newoverline{\rho}}\right| \ll \left|\frac{u''}{\newoverline{u}}\right| \end{align} \]

ausgegangen. $-\nabla\cdot\newtilde{\Pi}$ liefert die Eddy-Stress-Terme, die sich in der Impulsgleichung niederschlagen und anstatt der $- \newoverline{\left(\mathbf{v}''\cdot\nabla\right)\mathbf{v}''} - \newoverline{\alpha''\frac{\partial p''}{\partial x}}$ verwendet werden.

17.1.1 Turbulente Dissipation

Man kann analog zur molekularen Dissipation $\epsilon$ (s. Glg. (8.66)) eine mit der Turbulenz verbundene turbulente Dissipation

definieren. Da für $\newtilde{\Pi}$ keine explizite Formel vorliegt, kann man kein turbulentes Analogon zu Glg. (8.90) finden: Das Vorzeichen von $\epsilon_\text{turb}$ bleibt unbestimmt.

17.1.2 Konkrete Mittelungsoperatoren

Sei $f$ eine skalare oder vektorielle Funktion von Ort und Zeit. Ein allgemeiner Mittelungsoperator $\newoverline{f}$ wird definiert durch

\[ \begin{align} \newoverline{f}\left(x_i\right) \coloneqq \frac{\int_\Omega f\left(x_i\right)h\left(x_i\right)dx_1\dotsc dx_n}{\int_\Omega h\left(x_i\right)dx_1\dotsc dx_n}, \tag{17.18}\label{eq:av_op_gen} \end{align} \]

wobei die Zeit $t$ als eine der $x_i$ aufgefasst werden soll und $h$ eine Gewichtungsfunktion darstellt.

17.1.2.1 Gleitendes Zeitmittel

Das gleitende Zeitmittel mit der Mittelungslänge $T$ erhält man aus Glg. (17.18) mit $\Omega = \left(t - \frac{T}{2}, t + \frac{T}{2}\right)$ und $h = 1$, also

\[ \begin{align} \newoverline{f}\left(\mathbf{r}, t\right) = \frac{1}{T}\int_{t-\frac{T}{2}}^{t + \frac{T}{2}}f\left(\mathbf{r}, t'\right)dt'. \end{align} \]

Man überpruft nun, ob dieser Operator die Eigenschaften eines Reynolds-Operators Glg.en (17.4) - (17.6) erfüllt. Zunächst gilt

\[ \begin{align} \frac{\partial\overline{f}}{\partial x_i} &= \frac{1}{T}\int_{t-\frac{T}{2}}^{t + \frac{T}{2}}\frac{\partial f}{\partial x_i}\left(\mathbf{r}, t'\right)dt' = \newoverline{\frac{\partial f}{\partial x_i}}, \end{align} \]

Glg. (17.4) ist also erfüllt. Die Überprüfung der Erfüllung von Glg. (17.5) erfolgt mittels des Haupsatz der Differenzial- und Integralrechnung:

\[ \begin{align} \frac{\partial\overline{f}}{\partial t} &= \frac{f\left(\mathbf{r}, t + \frac{T}{2}\right) - f\left(\mathbf{r}, t - \frac{T}{2}\right)}{T} = \frac{1}{T}\int_{t-\frac{T}{2}}^{t + \frac{T}{2}}\frac{\partial f}{\partial t'}\left(\mathbf{r}, t'\right)dt' = \newoverline{\frac{\partial f}{\partial t}} \end{align} \]

Die ersten beiden Eigenschaften sind also erfüllt. Für die dritte rechnet man mit $g = 1$

\[ \begin{align} \newoverline{f'} &= \frac{1}{T}\int_{t-\frac{T}{2}}^{t + \frac{T}{2}}f\left(\mathbf{r}, t'\right) - \newoverline{f}\left(\mathbf{r}, t'\right)dt' \hastobe 0. \end{align} \]

Dies soll für beliebige Zeitpunkte gelten, also folgt hieraus bereits

\[ \begin{align} \newoverline{f} = f \end{align} \]

zu allen Zeitpunkten als Kriterium für die Gültigkeit von Glg. (17.6) für den einfachen Fall $g = 1$, was nur für lineare Funktionen $f$ der Fall ist.

17.1.2.2 Hesselberg-Mittel

Setzt man in Glg. (17.18) den Fall $h = \rho$ ein, erhält man das bereits in der Einleitung erwähnte Hesselberg-Mittel. Für dieses notiert man die Zerlegung

\[ \begin{align} f = \left\langle f\right\rangle + f'', \end{align} \]

um das Hesselberg-Mittel von anderen Mittelungen wie z. B. dem gleitenden Zeitmittel oder einem allgemeinen Reynolds-Operator abzugrenzen.

17.1.2.3 Tiefpass

Die Fourier-Transformation $\newtilde{f}\left(k\right)$ eines Feldes $f = f\left(x\right)$ lautet

\[ \begin{align} \newtilde{f}\left(k\right) \stackrel{\href{ch-41-orthogonale-funktionensysteme.html#eq:def_ft_1d}{\text{Glg. (C.3)}}}{=} C\int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)\exp\left(-ikx\right)dx. \end{align} \]

Die inverse Fourier-Transformation ist laut Glg. (C.6) gegeben durch

\[ \begin{align} f\left(x\right) = \newtilde{C}\int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)\exp\left(ikx\right)dk, \end{align} \]

wobei laut Glg. (C.9) auf $C\newtilde{C} = 1/\left(2\pi\right)$ zu achten ist. Ein Tiefpass mit der Grenz-Wellenzahl $k^\star > 0$ wird durch die Gleichung

\[ \begin{align} \newoverline{f}\left(x\right) = \newtilde{C}\int_{-k^\star}^{k^\star}f\left(x\right)\exp\left(ikx\right)dk \end{align} \]

festgelegt. Wie schon durch die Notation $\newoverline{f}$ angedeutet wurde, handelt es sich auch hier um eine Art Mittelungsoperator. Für die Fluktuation $f'$ erhält man

\[ \begin{align} f'\left(x\right) &\coloneqq f\left(x\right) - \newoverline{f}\left(x\right) = \newtilde{C}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\exp\left(ikx\right)dk - \newtilde{C}\int_{-k^\star}^{k^\star}f\left(x\right)\exp\left(ikx\right)dk\nonumber\\ &= \newtilde{C}\int_{-\infty}^{-k^\star}f\left(x\right)\exp\left(ikx\right)dk + \newtilde{C}\int_{k^\star}^{\infty}f\left(x\right)\exp\left(ikx\right)dk. \end{align} \]

17.2 Mischungswegansatz

Die $\tau_{i, j}$ sind jedoch immernoch unbekannte Größen, um diese zu parametrisieren (s. hierzu auch Abschn. 17.9), verwendet man den Mischungswegansatz. Hierbei geht man davon aus, dass Druckgradient und Coriolis-Kraft keine bedeutende Rolle spielen, woraus

\[ \begin{align} \md{\mathbf{v}} = \mathbf{0}\tag{17.29}\label{eq:burgers_eq} \end{align} \]

folgt, was man als Burgers-Gleichung bezeichnet. Ihr entsprechend bewegt sich jedes Fluidteilchen auf einer geradlinig-gleichförmigen Bahn. Dies ist jedoch kein vollständig sinnvoller Ansatz, es ergibt sich daraus jedoch eine sinnvolle Möglichkeit, die $u'', v'', w''$ zu parametrisieren. Bewegt sich ein Teilchen von $z$ nach $z + l$ und behält dabei seine Horizontalgeschwindigkeit $\mathbf{v}_h$ bei, gilt nach Glg. (17.29)

\[ \begin{align} \mathbf{v}_h''\left(z + l\right) = \mathbf{v}_h\left(z + l\right) - \overline{\mathbf{v}_h}\left(z + l\right) = \newoverline{\mathbf{v}_h}\left(z\right) - \overline{\mathbf{v}_h}\left(z + l\right) = \overline{\mathbf{v}_h}\left(z + l\right) - l\frac{\partial\newoverline{\mathbf{v}_h}}{\partial z} - \overline{\mathbf{v}_h}\left(z + l\right) = -l\frac{\partial\newoverline{\mathbf{v}_h}}{\partial z} \end{align} \]

Man beachte hierbei auch das Vorzeichen von $l$, welches im Fall nach unten gerichteter Bewegung als negativ verstanden werden muss. Somit folgt beispielsweise

\[ \begin{align} \tau_{x, z} = -\rho\newoverline{u''w''} = \rho\newoverline{w''l}\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z}. \end{align} \]

Im Falle einer indifferent geschichteten Atmosphäre gilt $\left|w''\right| \sim \left|\mathbf{v}_h''\right|$, was der Tatsache entspricht, dass in diesem Fall die horizontale Skala der Wirbel genauso groß ist wie die vertikale, man setzt daher

\[ \begin{align} w'' = l\left|\frac{\partial\overline{\mathbf{v}_h}}{\partial z}\right|. \end{align} \]

Daraus folgt

\[ \begin{align} \tau_{x, z} = -\rho\newoverline{u'w'} = \rho\newoverline{l^2}\left|\frac{\partial\newoverline{\mathbf{v}_h}}{\partial z}\right|\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z} \equiv A_z\frac{\partial\overline{u}}{\partial z}.\tag{17.33}\label{eq:eddy_corr_para} \end{align} \]

Den Koeffizienten

\[ \begin{align} A_z \coloneqq \rho\newoverline{l^2}\left|\frac{\partial\newoverline{\mathbf{v}_h}}{\partial z}\right|\tag{17.34}\label{eq:def_eddy_exchange_coeff} \end{align} \]

bezeichnet man als Eddy-Austauschkoeffizienten.

17.2.1 Planetarische Grenzschicht

Die planetarische Grenzschicht ist definiert als diejenige untere Schicht der Atmosphäre, in der die Bodenreibung, d. h. die Existenz der Erdoberfläche, einen Einfluss hat. Als Kräftegleichgewicht setzt man hier an

\[ \begin{align} -fv &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\tau_{x, z}}{\partial z}, \tag{17.35}\label{eq:friction_boundary_equilibrium_x}\\ fu &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\tau_{y, z}}{\partial z}.\tag{17.36}\label{eq:friction_boundary_equilibrium_y} \end{align} \]

wobei die Mittelungsoperatoren der Übersichtlichkeit halber wieder weggelassen wurden. Ebenfalls unterschlagen wurden an dieser Stelle die horizontalen Korrelationsflüsse. Geht man außerdem davon aus, dass die Dichte innerhalb des betrachteten Höhenintervalls nur wenig variiert, folgt

\[ \begin{align} -fv &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\tau_{x, z}}{\rho}\right), \tag{17.37}\label{eq:momentum_tau_z_ind_x}\\ fu &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\tau_{y, z}}{\rho}\right)\tag{17.38}\label{eq:momentum_tau_z_ind_y}. \end{align} \]

Man nimmt nun an, dass die Bewegung nur eine x-Komponente hat und definiert die sogenannte Reibungsgeschwindigkeit $u_\star > 0$ durch

\[ \begin{align} u_\star^2 \coloneqq \frac{\tau_{x, z}}{\rho} = \frac{A_z}{\rho}\frac{\partial\overline{u}}{\partial z}.\tag{17.39}\label{eq:def_u_star} \end{align} \]

Bisher wurde angenommen, dass die Mischungsweglänge $l$ höhenunabhängig ist. Sehr nahe an der Erdoberfläche ist jedoch zu erwarten, dass die vertikale Ausdehnung der Wirbel mit der Höhe zunimmt, was man im einfachsten Fall über

\[ \begin{align} l\left(z\right) = kz\tag{17.40}\label{eq:karman_eq} \end{align} \]

ausdrücken kann, wobei die Zahl $k > 0$ als von Karman-Konstante bezeichnet wird. Diese hat einen typischen Wert von $0,4$. Glg. (17.40) ist nur bis zu einer gewissen Höhe gültig. Somit folgt

\[ \begin{align} u_\star^2 = k^2z^2\left|\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z}\right|^2, \end{align} \]

also im Fall $\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z} > 0$

\[ \begin{align} u_\star = kz\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z}. \end{align} \]

Die Lösung für $\newoverline{u}\left(z\right)$ ist das logarithmische Windprofil

Die Konstante $z_0 > 0$ ist die Rauhigkeitslänge, es gilt $\newoverline{u}\left(z_0\right) = 0$. Glg. (17.43) sollte überhaupt nur für $z > z_0$ angewandt werden.

Die Schicht, in der Ggl. (17.40) eine gute Approximation ist, bezeichnet man als Prandtl-Schicht. Sie hat typischerweise Ausdehnungen von ein bis zwei freien Mischungsweglängen $l$. Nach unten hin ist sie begrenzt durch die laminare Unterschicht, welche im Bereich $\sim 1$ mm dick ist und in welcher molekulare Diffusion vorherrscht. Laminare Unterschicht und Prandtl-Schicht zusammengenommen bilden die Oberflächenschicht. Nach oben hin ist die Oberflächenschicht durch die Ekman-Schicht begrenzt.

17.2.1.1 Reibungsgeschwindigkeit

Für die Reibungsgeschwindigkeit $u_\star$ gilt

\[ \begin{align} \newoverline{u}\left(z_\star\right) \hastobe u_\star \Leftrightarrow 1 = \frac{1}{k}\ln\left(\frac{z_\star}{z_0}\right) \Leftrightarrow z_\star = z_0\exp\left(k\right). \end{align} \]

Die Reibungsgeschwindigkeit ist also die Windgeschwindigkeit, die in der Höhe $z_\star = z_0e^k \approx 1,5 z_0$ herrscht. Kennt man den Wind $U$ in der Höhe $z$ (beispielsweise die unterste Schicht eines Modells), so lässt sich die Reibungsgeschwindigkeit aus Glg. (17.43) bestimmen:

\[ \begin{align} U = \frac{u_\star}{k}\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) \Leftrightarrow u_\star = \frac{Uk}{\ln\left(\frac{z}{z_0}\right)}. \end{align} \]

17.2.1.2 Stabile oder labile Schichtung

Die bisherigen Herleitungen dieses Abschnitts erfolgten unter der Annahme indifferenter Schichtung. Im Falle labiler oder stabiler Schichtung ist die Mischungsweglänge nicht mehr einfach durch Glg. (17.40) gegeben. Im Falle labiler Schichtung können die Teilchen vertikal weiter schwingen, also $l>\kappa z$, im Falle labiler Schichtung können diese weniger weit schwingen, also $l<\kappa z$. In [8] werden aus kleinskaligen Simulationen Ausdrücke hierfür hergeleitet, diese lauten

\[ \begin{align} l = \begin{cases} \frac{kz}{3,7},\:\zeta\geq 1,\\ \frac{kz}{1 + 2,7\zeta},\:0\leq\zeta<1,\\ kz\left(1 - 100\zeta\right)^{0,2},\:\zeta<0 \end{cases} \end{align} \]

mit

\[ \begin{align} \zeta\coloneqq\frac{z}{L}, \end{align} \]

hierbei ist $L$ die Monin-Obukhov-Länge.

Weiter verallgemeinert man Glg. (17.43) zu

\[ \begin{align} \newoverline{u}\left(z\right) = \frac{u_\star}{k}\left[\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_m\left(\zeta\right)\right],\tag{17.48}\label{eq:wind_profile_pbl} \end{align} \]

$\psi_m$ ist hierbei eine das logarithmische Windrofil modifizierende Hilfsfunktion. Im Falle indifferenter Schichtung ist $\psi_m = 0$. Abb. 17.1 zeigt mit Glg. (17.48) berechnete Windprofile.

Die Reibungsgeschwindigkeit ergibt sich hieraus zu

\[ \begin{align} u_\star = \frac{Uk}{\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_m\left(\frac{z}{L}\right)}.\tag{17.49}\label{eq:u_star} \end{align} \]

17.3 Ekman-Transport

Der Ekman-Transport tritt überall dort auf, wo ein geostrophisches Medium auf eine horizontale Begrenzung trifft, an der die Adhäsionsbedingung gilt. Definiert man den Eddy-Viskositäts-Koeffizienten $K$ durch

\[ \begin{align} K \coloneqq \frac{A_z}{\rho}, \end{align} \]

schreibt sich Glg. (17.33) als

\[ \begin{align} \tau_{x, z} = K\rho\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z}. \end{align} \]

Unter der Voraussetzung $\frac{\partial}{\partial z}\left(K\rho\right) = 0$, was nur oberhalb der Prandtl-Schicht eine brauchbare Annahme ist, gilt

\[ \begin{align} \frac{1}{\rho}\frac{\partial\tau_{x, z}}{\partial z} = K\frac{\partial^2\newoverline{u}}{\partial z^2}. \end{align} \]

Die Glg.en (17.35) - (17.36) werden dann zu

\[ \begin{align} 0 = f\newtilde{v}+ K\frac{\partial^2\newoverline{u}}{\partial z^2}, & {} & 0 = -f\newtilde{u} + K\frac{\partial^2\newoverline{v}}{\partial z^2}. \end{align} \]

Es wurde die Definition

\[ \begin{align} \newtilde{u} \coloneqq \newoverline{u} - u_g, & {} & \newtilde{v} \coloneqq \newoverline{u} - v_g \end{align} \]

mit $\mathbf{v}_{h, g} = \left(u_g, v_g\right)^T$ als geostrophischem Wind eingesetzt. Vernachlässigt man den thermischen Wind, folgt

\[ \begin{align} 0 = f\newtilde{v}+ K\frac{\partial^2\newtilde{u}}{\partial z^2}, & {} & 0 = -f\newtilde{u} + K\frac{\partial^2\newtilde{v}}{\partial z^2} & {} & \Rightarrow \frac{if}{K}\left(\newtilde{u} + i\newtilde{v}\right) = \frac{\partial^2\left(\newtilde{u} + i\newtilde{v}\right)}{\partial z^2}. \end{align} \]

Dies wird gelöst durch

\[ \begin{align} \newtilde{u} + i\newtilde{v} &= C\exp\left(\sqrt{\frac{if}{K}}z\right) + C_2\exp\left(-\sqrt{\frac{if}{K}}z\right) \end{align} \]

mit $C, C_2\in\mathbb{C}$. Im Falle der unteren Grenze der Atmosphäre gelten in der Nordhemisphäre die Randbedingungen

\[ \begin{align} \lim_{z\to\infty}\newtilde{u} + i\newtilde{v} &= 0 \Rightarrow C = 0,\\ \left(\newtilde{u} + i\newtilde{v}\right)\left(z = 0\right) &= -u_g - iv_g \Rightarrow C_2 = -u_g - iv_g, \end{align} \]

und auf der Südhalbkugel

\[ \begin{align} \lim_{z\to\infty}\newtilde{u} + i\newtilde{v} &= 0 \Rightarrow C_2 = 0,\\ \left(\newtilde{u} + i\newtilde{v}\right)\left(z = 0\right) &= -u_g - iv_g \Rightarrow C = -u_g - iv_g, \end{align} \]

also lautet die Lösung nördlich des Äquators

\[ \begin{align} \newtilde{u} + i\newtilde{v} = -\left(u_g + iv_g\right)\exp\left(-\sqrt{\frac{if}{K}}z\right) = -\left(u_g + iv_g\right)\exp\left(-\sqrt{\frac{f}{2K}}z\right)\exp\left(-i\sqrt{\frac{f}{2K}}z\right) \end{align} \]

und südlich davon

\[ \begin{align} \newtilde{u} + i\newtilde{v} = -\left(u_g + iv_g\right)\exp\left(-\sqrt{\frac{\left|f\right|}{iK}}z\right) = -\left(u_g + iv_g\right)\exp\left(-\sqrt{\frac{\left|f\right|}{2K}}z\right)\exp\left(i\sqrt{\frac{\left|f\right|}{2K}}z\right). \end{align} \]

Dies kann man verallgemeinern zu

\[ \begin{align} \newoverline{u} &= u_g - \left[\sign\left(f\right)v_g\sin\left(\sqrt{\frac{\left|f\right|}{2K}}z\right) + u_g\cos\left(\sqrt{\frac{\left|f\right|}{2K}}z\right)\right]\exp\left(-\sqrt{\frac{\left|f\right|}{2K}}z\right),\\ \newoverline{v} &= v_g + \left[\sign\left(f\right)u_g\sin\left(\sqrt{\frac{\left|f\right|}{2K}}z\right) - v_g\cos\left(\sqrt{\frac{\left|f\right|}{2K}}z\right)\right]\exp\left(-\sqrt{\frac{\left|f\right|}{2K}}z\right). \end{align} \]

Man kann o. B. d. A. $u_g > 0, v_g = 0$ annehmen, dann gilt

$\sign\left(f\right)\rho\newoverline{v}$ ist die Massenflussdichte ins Tief hinein, daher rechnet man mit zweifacher partieller Integration

\[ \begin{align} \int_0^\infty\sin\left(\alpha z\right)\exp\left(-\beta z\right)dz &= \frac{\alpha}{\beta}\int_0^\infty\cos\left(\alpha z\right)\exp\left(-\beta z\right)dz = \frac{\alpha}{\beta^2} - \frac{\alpha^2}{\beta^2}\int_0^\infty\sin\left(\alpha z\right)\exp\left(-\beta z\right)dz\nonumber\\ \Rightarrow\int_0^\infty\sin\left(\alpha z\right)\exp\left(-\beta z\right)dz &= \frac{\frac{\alpha}{\beta^2}}{1 + \frac{\alpha^2}{\beta^2}} = \frac{\alpha}{\beta^2 + \alpha^2}. \end{align} \]

In einer isothermen Atmosphäre gilt

\[ \begin{align} \alpha = \sqrt{\frac{\left|f\right|}{2K}},& {} & \beta = -\sqrt{\frac{\left|f\right|}{2K}} - \frac{1}{H}\\ \Rightarrow \alpha^2 + \beta^2 = \frac{\left|f\right|}{K} + \frac{1}{H^2} + \sqrt{\frac{2\left|f\right|}{KH^2}} & {} & \Rightarrow \frac{\alpha}{\beta^2 + \alpha^2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{2\left|f\right|}{K}} + \sqrt{\frac{2K}{\left|f\right|H^4}} + \frac{2}{H}} = \frac{H}{2 + H\sqrt{\frac{2\left|f\right|}{K}} + \sqrt{\frac{2K}{fH^2}}} \end{align} \]

mit $H \approx 8$ km als Skalenhöhe. Hieraus folgt

\[ \begin{align} \sign\left(f\right)\int_0^\infty\rho\newoverline{v}dz = \frac{H}{2 + H\sqrt{\frac{2\left|f\right|}{K}} + \sqrt{\frac{2K}{fH^2}}} \end{align} \]

für die Massenflussdichte ins Tief hinein. Die Höhe $D$, in der der Wind parallel zum geostrophischen Wind ist, verwendet man häufig als eine technische Definition der Dicke der Grenzschicht. Es gilt

Dort ist die Windgeschwindigkeit etwas höher als die geostrophische Geschwindigkeit, weshalb diese Höhe auch als Gradientenwindhöhe bezeichnet wird.

Hiermit lääst sich das Gleichungssystem der Glg.en (17.65) - (17.66) in der Form

notieren. Aus Beobachtungen weiß man, dass in ca. 1 km Höhe der Wind seinen geostrophischen Wert anstrebt, daraus folgt

\[ \begin{align} K \approx \frac{\left|f\right|D^2}{2\pi^2} \approx 5\text{ m}^2/\text{s}.\tag{17.74}\label{sec:eddy_viscosity_vert_estimate} \end{align} \]

Dies ist über fünf Größenordnungen über dem Wert der kinematischen Viskosität von $1, 5\cdot 10^{-5}$ m$^2$/s. Mit Glg. (17.34) folgt für die Mischungsweglänge

\[ \begin{align} l = \sqrt{\frac{K}{\left|\frac{\partial\newoverline{\mathbf{v}_h}}{\partial z}\right|}} \sim \sqrt{\frac{KD}{u_g}} \sim 2\cdot 10^1\text{ m}.\tag{17.75}\label{eq:estimate_mix_len} \end{align} \]

Dies entspricht der Erwartung, dass $l \ll D$ sein muss, damit das Mischungswegkonzept in der planetarischen Grenzschicht sinnvoll ist. Es ergibt sich mit Glg. (17.40) eine Höhe $D_P$ der Prandtl-Schicht von ca.

\[ \begin{align} D_P = \frac{l}{k} = 50\text{ m} \end{align} \]

mit $k = 0, 4$. Man definiert die Ekman-Zahl $\Ek$ als das Verhältnis von Reibungs- zu Coriolistermen, also

wobei $H$ die charakteristische Vertikalausdehnung des Phänomens ist. Bei kleinen Ekman-Zahlen kann die Reibungskraft durch die Coriolis-Kraft ausgeglichen werden. In der Grenzschicht erhält man eine Ekman-Zahl von $\Ek \sim 5$ %.

Die Ekman-Spirale führt bei einer Zyklone mit Radius $R$ zu einer Drucktendenz $\frac{\partial p}{\partial t}$ in der Größenordnung

\[ \begin{align} \frac{\partial p}{\partial t} & \sim \frac{2g}{R}\frac{u_g\rho_0\alpha}{\beta^2 + \alpha^2}. \end{align} \]

Man erhält mit $u_g \sim 10$ m/s, $\rho_0 \approx 1, 2$ kg/m$^3$ und $R \sim 500$ km

\[ \begin{align} \frac{\partial p}{\partial t} & \sim 2, 6\text{ }\frac{\text{hPa}}{\text{hr}}. \end{align} \]

Dies ist deutlich geringer als der in Abschn. 13.10.3 abgeschätzte Wert. Die Obergrenze der Grenzschicht ist gleichzeitig die Obergrenze der Ekman-Schicht.

17.3.1 Bedeutung der Eddy-Viskosität

Es wurden Eddy-Austausch-Koeffizienten $A_{i, j}$ sowie Mischungsweglängen $l_x$, $l_y$, $l_z$ eingeführt, um die Auswirkungen der Turbulenz, d. h. der subskaligen Variabilität, auf die aufgelösten (gemittelten) Felder zu beschreiben. Fraglich ist, wie fundamental diese Größen sind, d. h., ob es sich um Materialeigenschaften oder eher um Hilfsgrößen handelt.

Zunächst lässt sich festhalten, dass bei sehr feiner Auflösung die Diffusionskoeffizienten die molekularen Flüsse beschreiben, also gegen die molekularen physikalischen Diffusionskoeffizienten konvergieren. Bei gröberer Auflösung hingegen enthalten die diffusiven Terme auch turbulente Anteile. In diesem Kapitel wurden jedoch keine expliziten Annahmen an den räumlichen oder zeitlichen Umfang der Mittelungsoperatoren gemacht. Hingegen wurde implizit davon ausgegangen, dass der Mittelungsoperator ein Reynolds-Operator ist. Dies ist nur dann eine realistische Annahme, wenn die turbulenten Schwankungen klein gegenüber der Größe der Mittelung sind, die Mittelung jedoch nicht so umfangreich ist, dass synoptisch-skalige Prozesse beeinflusst werden. Solch eine Mittelung ist gewissermaßen vor anderen ausgezeichnet, und somit auch die mit ihnen erhaltenen Eddy-Austausch-Koeffizienten und Mischungsweglängen.

17.3.2 Monin-Obukhov-Länge

Die Länge

\[ \begin{align} L \coloneqq -\frac{\newoverline{\theta}u_\star^3}{kg\newoverline{\left(w'\theta'\right)}}\tag{17.80}\label{eq:mo_length} \end{align} \]

bezeichnet man als Monin-Obukhov-Länge.

17.3.3 Spin-down

Nimmt man Zeitunabhängigkeit der Dichte an, folgt aus der Kontinuitätsgleichung

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial z}\left(\rho w\right) = -\frac{\partial}{\partial x}\left(\rho u\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(\rho v\right). \end{align} \]

Integriert man dies unter der Annahme $w\left(z = 0\right) = 0$ von $z = 0$ bis $z = D$, erhält man

\[ \begin{align} \left(\rho w\right)_D = -\int_0^D\frac{\partial}{\partial x}\left(\rho u\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\rho v\right)dz. \end{align} \]

Setzt man hier Glg. (17.73) ein, erhält man

\[ \begin{align} \left(\rho w\right)_D = -\sign\left(f\right)\frac{\partial}{\partial y}\int_0^D\rho u_g\sin\left(\frac{\pi}{D}z\right)\exp\left(-\frac{\pi}{D}z\right)dz. \end{align} \]

Nimmt man eine homogene Dichte an, erhält man hieraus

\[ \begin{align} w\left(D\right) = -\sign\left(f\right)\frac{\partial u_g}{\partial y}\int_0^D\sin\left(\frac{\pi}{D}z\right)\exp\left(-\frac{\pi}{D}z\right)dz. \end{align} \]

$\zeta_g = -\frac{\partial u_g}{\partial y}$ ist die geostrophische Vorticity, somit folgt

\[ \begin{align} w\left(D\right) = \sign\left(f\right)\zeta_g\int_0^D\sin\left(\frac{\pi}{D}z\right)\exp\left(-\frac{\pi}{D}z\right)dz. \end{align} \]

Wiederum mittels partieller Integration erhält man

\[ \begin{align} &\int_0^D\sin\left(\frac{\pi}{D}z\right)\exp\left(-\frac{\pi}{D}z\right)dz = -\left[\frac{D}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{D}z\right)\exp\left(-\frac{\pi}{D}z\right)\right]_0^D - \int_0^D\cos\left(\frac{\pi}{D}z\right)\exp\left(-\frac{\pi}{D}z\right)dz\nonumber\\ &= \frac{D}{\pi}\left(1 + e^{-\pi}\right) - \int_0^D\cos\left(\frac{\pi}{D}z\right)\exp\left(-\frac{\pi}{D}z\right)dz\nonumber\\ &= \frac{D}{\pi}\left(1 + e^{-\pi}\right) - \left[\frac{D}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{D}z\right)\exp\left(-\frac{\pi}{D}z\right)\right]_0^D - \int_0^D\sin\left(\frac{\pi}{D}z\right)\exp\left(-\frac{\pi}{D}z\right)dz\nonumber\\ &\Rightarrow \int_0^D\sin\left(\frac{\pi}{D}z\right)\exp\left(-\frac{\pi}{D}z\right)dz = \frac{D}{2\pi}\left(1 + e^{-\pi}\right) \approx \frac{D}{2\pi} = \sqrt{\frac{K}{2f}}. \end{align} \]

Dies impliziert unter Vernachlässigung des Ungefähr-Zeichens

Setzt man hier in SI-Einheiten $\zeta_g \sim 10^{-5}$, $f \sim 10^{-4}, K \sim 2$ ein, erhält man

\[ \begin{align} w \sim 0,1 \text{ cm/s}. \end{align} \]

Die quasigeostrophische Vorticitygleichung Glg. (13.219) lautet mit einer Transformation ins z-System unter Vernachlässigung von Advektion

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta_g}{\partial t} = f\frac{\partial w}{\partial z}. \end{align} \]

Integriert man dies von $D$ bis zur Tropopausenhöhe $z_T$ erhält man unter der Annahme $w\left(z = z_T\right) = 0$

\[ \begin{align} \int_D^{z_T}\frac{\partial\zeta_g}{\partial t}dz = -fw\left(D\right). \end{align} \]

Unter der Annahme, dass die geostrophische relative Vorticity höhenunabhängig ist, gilt

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta_g}{\partial t} = -\frac{f}{z_T - D}w\left(D\right). \end{align} \]

Setzt man hier Glg. (17.87) ein, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial\zeta_g}{\partial t} = -\frac{\zeta_g}{z_T - D}\sqrt{\frac{K\left|f\right|}{2}} \approx -\zeta_g\sqrt{\frac{K\left|f\right|}{2z_T^2}}. \end{align} \]

Hieraus folgt, wiederum unter Vernachlässigung des Ungefähr-Zeichens,

\[ \begin{align} \zeta_g\left(t\right) = \zeta_g\left(0\right)\exp\left(-\sqrt{\frac{K\left|f\right|}{2z_T^2}}t\right) = \zeta_g\left(0\right)\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \end{align} \]

mit der Spin-down-Zeit

Setzt man hier in SI-Einheiten $z_T \sim 10^4$, $f \sim 10^{-4}, K \sim 2$ ein, erhält man

\[ \begin{align} \tau \sim 10^6\text{ s} \sim 10\text{ d}. \end{align} \]

17.4 Isotrope Turbulenz

17.4.1 Spektralform der Navier-Stokes-Gleichungen

Für die Fourier-Transformation $\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)$ eines Geschwindigkeitsfeldes $\mathbf{v} = \mathbf{v}\left(\mathbf{r}, t\right)$ gilt

\[ \begin{align} \newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right) = C^3\int_{\mathbb{R}^3}\mathbf{v}\left(\mathbf{r}, t\right)\exp\left(-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)d^3r. \end{align} \]

Die inverse Fourier-Transformation lautet

\[ \begin{align} \mathbf{v}\left(\mathbf{r}, t\right) = \newtilde{C}^3\int_{\mathbb{R}^3}\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)d^3k.\tag{17.97}\label{eq:velocity_field_ft_inv} \end{align} \]

Man setzt an dieser Stelle $\newtilde{C} = 1 \stackrel{\href{ch-41-orthogonale-funktionensysteme.html#eq:ft_norm}{\text{Glg. (C.9)}}}{\Leftrightarrow} C = \frac{1}{2\pi}$ an, um die Notation abzukürzen und vernachlässigt das $\mathbb{R}^3$ am Integral. Die inkompressible Impulsgleichung lautet

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} = -\nabla\pi - \nabla\varphi - \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} + \nu\Delta\mathbf{v}, \end{align} \]

wobei die Abkürzung

\[ \begin{align} \pi\coloneqq\frac{p}{\rho} \end{align} \]

eingesetzt wurde. Die inverse Fourier-Transformationen der anderen auftretenden Felder lauten

\[ \begin{align} \pi\left(\mathbf{r}, t\right) &= \int\newtilde{\pi}\left(\mathbf{k}, t\right)\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)d^3k,\\ \varphi\left(\mathbf{r}\right) &= \int\newtilde{\varphi}\left(\mathbf{k}\right)\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)d^3k. \end{align} \]

Weiterhin gilt für die Anwendung der Differenzialoperatoren auf die Felder

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} &= \int\frac{\partial\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)}{\partial t}\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)d^3k,\\ -\nabla\pi &= -i\int\mathbf{k}\newtilde{\pi}\left(\mathbf{k}, t\right)\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)d^3k,\\ -\nabla\varphi &= -i\int\mathbf{k}\newtilde{\varphi}\left(\mathbf{k}\right)\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)d^3k,\\ \Delta\mathbf{v} &= -\int\mathbf{k}^2\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)d^3k. \end{align} \]

Für die Impulsadvektion gilt

\[ \begin{align} \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v} &= \left(\int\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)d^3k\cdot\nabla\right)\int\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)d^3k\nonumber\\ &= \left(\int\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\exp\left(i\mathbf{k}'\cdot\mathbf{r}\right)d^3k'\cdot\nabla\right)\int\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}'', t\right)\exp\left(i\mathbf{k}''\cdot\mathbf{r}\right)d^3k''\nonumber\\ &= \int\int\exp\left(i\mathbf{k}'\cdot\mathbf{r}\right)\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\cdot\nabla\right]\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}'', t\right)\exp\left(i\mathbf{k}''\cdot\mathbf{r}\right)\right]d^3k'd^3k''\nonumber\\ &= i\int\int\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\cdot\mathbf{k}''\right]\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}'', t\right)\exp\left[i\left(\mathbf{k}' + \mathbf{k}''\right)\cdot\mathbf{r}\right]d^3k'd^3k''. \end{align} \]

Dies impliziert

\[ \begin{align} \left[\newtilde{\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}}\right]\left(\mathbf{k}\right) &= \frac{i}{\left(2\pi\right)^3}\int\int\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\cdot\mathbf{k}''\right]\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}'', t\right)\exp\left[i\left(-\mathbf{k} + \mathbf{k}' + \mathbf{k}''\right)\cdot\mathbf{r}\right]d^3k'd^3k''\nonumber\\ & \stackrel{\href{ch-39-herleitungen-einiger-mathematischer-form.html#eq:delta_distribution_prop_2}{\text{Glg. (A.84)}}}{=} i\int\int\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\cdot\mathbf{k}''\right]\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}'', t\right)\delta\left(\mathbf{k}' + \mathbf{k}'' - \mathbf{k}\right)d^3k'd^3k''\nonumber\\ &= i\int\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\cdot\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}'\right)\right]\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)d^3k' \end{align} \]

Aus der inkompressiblen Kontinuitätsgleichung

\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{v} = 0 \end{align} \]

folgt

Damit erhält man

\[ \begin{align} \left[\newtilde{\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}}\right]\left(\mathbf{k}\right) &= i\int\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\cdot\mathbf{k}\right]\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)d^3k' \end{align} \]

Aus den bisherigen Rechnungen kann man die Entwicklung der Impulsgleichung bezüglich ebener Wellen zusammensetzen:

\[ \begin{align} & \int\left(\frac{\partial}{\partial t} + \nu\mathbf{k}^2\right)\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)d^3k\nonumber\\ &= i\int\left\{-\mathbf{k}\newtilde{\pi}\left(\mathbf{k}, t\right) - \mathbf{k}\newtilde{\varphi}\left(\mathbf{k}\right) - \int\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\cdot\mathbf{k}\right]\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)d^3k'\right\}\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)d^3k \end{align} \]

Dies muss an jedem Punkt im Spektralraum gelten, also

Dies ist die Spektralform der inkompressiblen Impulsgleichung. Hieraus wird ersichtlich, dass der einzige Term, der Wechselwirkungen zwischen Skalen enthält, die Impulsadvektion ist.

17.4.2 Energie-Transfer-Funktion

Wie man aus der Parseval-Identität Glg. (C.31) folgern kann, wird die spezifische kinetische Energie mit dem Wellenvektor $\mathbf{k}$ durch die Größe

\[ \begin{align} \newtilde{e}\left(\mathbf{k}, t\right) = \frac{1}{2}\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}, t\right) \end{align} \]

beschrieben. Notiert man Glg. (17.112) mit der Ersetzung $\mathbf{k} \to -\mathbf{k}$, erhält man

\[ \begin{align} \left(\frac{\partial}{\partial t} + \nu\mathbf{k}^2\right)\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}, t\right) &= i\mathbf{k}\newtilde{\pi}\left(-\mathbf{k}, t\right) + i\mathbf{k}\newtilde{\varphi}\left(-\mathbf{k}\right) + i\int\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\cdot\mathbf{k}\right]\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)d^3k'.\tag{17.114}\label{eq:deriv_turbulence_spec_0} \end{align} \]

Multipliziert man Glg. (17.114) mit $\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)$ und berücksichtigt dabei Glg. (17.109), erhält man

\[ \begin{align} \newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\cdot\left(\frac{\partial}{\partial t} + \nu\mathbf{k}^2\right)\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}, t\right) &= i\int\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\cdot\mathbf{k}\right]\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)\right]d^3k'.\tag{17.115}\label{eq:deriv_turbulence_spec_1} \end{align} \]

Multipliziert man analog Glg. (17.112) mit $\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}, t\right)$, erhält man

\[ \begin{align} \newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}, t\right)\cdot\left(\frac{\partial}{\partial t} + \nu\mathbf{k}^2\right)\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right) &= -i\int\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\cdot\mathbf{k}\right]\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)\right]d^3k'\tag{17.116}\label{eq:deriv_turbulence_spec_2} \end{align} \]

Addiert man die Glg.en (17.115) und (17.116) und dividiert durch zwei, erhält man

\[ \begin{align} & \left(\frac{\partial}{\partial t} + 2\nu\mathbf{k}^2\right)\newtilde{e}\left(\mathbf{k}, t\right)\nonumber\\ &= \frac{i}{2}\int\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\cdot\mathbf{k}\right]\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)\right]d^3k' - \frac{i}{2}\int\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\cdot\mathbf{k}\right]\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)\right]d^3k'. \end{align} \]

Substituiert man im ersten Integral mit $\mathbf{f}\left(\mathbf{k}'\right) = \mathbf{k}' - \mathbf{k}$ und im zweiten Integral mit $\mathbf{f}\left(\mathbf{k}'\right) = \mathbf{k} - \mathbf{k}'$, erhält man

\[ \begin{align} & \left(\frac{\partial}{\partial t} + 2\nu\mathbf{k}^2\right)\newtilde{e}\left(\mathbf{k}, t\right)\nonumber\\ &= \frac{i}{2}\int\left\{\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}' - \mathbf{k}, t\right)\cdot\mathbf{k}\right]\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}', t\right)\right] - \left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)\cdot\mathbf{k}\right]\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\right]\right\}d^3k'. \end{align} \]

Im zweiten Integral sei darauf hingewiesen, dass sich das Minuszeichen, welches aus dem Vertausch der Integrationsgrenzen folgt, mit demjenigen aufhebt, welches sich aus der Ableitung der substituierten Funktion ergibt. Man definiert die Energie-Transfer-Funktion $W = W\left(\mathbf{k}, \mathbf{k}', t\right)$ durch

\[ \begin{align} W\left(\mathbf{k}, \mathbf{k}', t\right) &\coloneqq \frac{i\mathbf{k}}{2}\cdot\left\{\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}' - \mathbf{k}, t\right)\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}', t\right)\right] - \newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\right]\right\}.\tag{17.119}\label{eq:def_energy_tranfer_function} \end{align} \]

Damit erhält man die Bilanzgleichung der kinetischen Energie in spektraler Form

Hieraus wird ersichtlich, dass die Reibung $\propto\frac{1}{L^2}$ skalensensitiv ist und in jedem Fall die spektrale spezifische kinetische Energie reduziert. Für die Energie-Transfer-Funktion gilt

\[ \begin{align} W\left(\mathbf{k}', \mathbf{k}, t\right) &= \frac{i\mathbf{k}'}{2}\cdot\left\{\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}, t\right)\right] - \newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}' - \mathbf{k}, t\right)\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}', t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\right]\right\}\nonumber\\ &= -\frac{i\mathbf{k}'}{2}\cdot\left\{\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}' - \mathbf{k}, t\right)\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}', t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\right] - \newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}, t\right)\right]\right\}\nonumber\\ &= -\frac{i\mathbf{k}'}{2}\cdot\left\{\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}' - \mathbf{k}, t\right)\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}', t\right)\right] - \newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\right]\right\} \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} & W\left(\mathbf{k}', \mathbf{k}, t\right) + W\left(\mathbf{k}, \mathbf{k}', t\right)\nonumber\\ &= \frac{i\mathbf{k}}{2}\cdot\left\{\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}' - \mathbf{k}, t\right)\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}', t\right)\right] - \newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\right]\right\}\nonumber\\ & - \frac{i\mathbf{k}'}{2}\cdot\left\{\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}' - \mathbf{k}, t\right)\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}', t\right)\right] - \newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\right]\right\}\nonumber\\ &= \frac{i}{2}\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}', t\right)\right]\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}' - \mathbf{k}, t\right)\cdot\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}'\right)\nonumber\\ & -\frac{i}{2}\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}, t\right)\cdot\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}', t\right)\right]\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}', t\right)\cdot\left(\mathbf{k} - \mathbf{k}'\right)\nonumber\\ & \stackrel{\href{#eq:cont_incom_spec}{\text{Glg. (17.109)}}}{=} 0. \end{align} \]

Die Energie-Transfer-Funktion ist also antisymmetrisch:

Dies hängt mit der Energieerhaltung zusammen: Der Energiegewinn der Komponente $\mathbf{k}$ auf Kosten der Komponente $\mathbf{k}'$ ist gleich dem Energieverlust der Komponente $\mathbf{k}'$ aufgrund der Komponente $\mathbf{k}$.

17.4.2.1 Isotrope Form

Nun macht man die Annahme der Isotropie, d. h. man geht geht davon aus, dass spektrale Eigenschaften nicht von den drei Komponente des Vektors $\mathbf{k}$ abhängen, sondern ausschließlich vom Betrag von $k$, also

\[ \begin{align} e\left(\mathbf{k}, t\right) \to \frac{\newtilde{e}\left(k, t\right)}{4\pi k^2}, & {} & W\left(\mathbf{k}, \mathbf{k}, t\right) \to \frac{W\left(k, k', t\right)}{4\pi k'^24\pi k^2}. \end{align} \]

Dabei wurde für die Geometrie der Kugelkoordinaten korrigiert. Somit wird Glg. (17.120) zu

\[ \begin{align} \left(\frac{\partial}{\partial t} + 2\nu k^2\right)\frac{\newtilde{e}\left(k, t\right)}{4\pi k^2} &= \int\frac{W\left(k, k', t\right)}{4\pi k'^24\pi k^2}4\pi k'^2dk'\nonumber \end{align} \]

17.4.3 Heisenberg-Ansatz

Beim Heisenberg-Ansatz wird zunächst von Stationarität ausgegangen, also

\[ \begin{align} 2\nu k^2\newtilde{e}\left(k\right) &= \int W\left(k, k'\right)dk'.\tag{17.126}\label{eq:heisenberg_turb_0} \end{align} \]

Weiterhin nimmt man an, dass es eine Grenz-Wellenzahl $k^\star$ gibt, welche das Spektrum in zwei Regionen aufteilt:

• Die Region $k < k^\star$ (größere Wellenlängen) bezeichnet man als Region 1. Hier kann aus geometrischen Gründen keine Isotropie angenommen werden. Der Heisenberg-Ansatz macht über diesen Bereich keine Aussagen.
• Die Region $k \geq k^\star$ (kleinere Wellenlängen) bezeichnet man als universality region. Hier kann von Isotropie ausgegangen werden und die Strömung wird wenig von Randbedingungen beeinflusst.

Der Heisenberg-Ansatz bezieht sich ausschließlich auf die universality region. Es wird dabei angenommen, dass die kleineren Skalen auf die größeren Skalen eine ähnliche Wirkung haben wie die Viskosität auf die kleinstskaligen Wirbel: sie diffundieren Impuls. Dies ist gerechtfertigt, da davon ausgegangen werden kann, dass die kleinerskaligen Wirbel im Mittel Impuls diffundieren (Gradienten des Geschwindigkeitsfeldes abbauen). Der Heisenberg-Ansatz lautet als Formel

\[ \begin{align} W\left(k, k'\right) = -2\kappa_Hk^2\newtilde{e}\left(k\right)g\left(k', \newtilde{e}\left(k'\right)\right), \end{align} \]

wobei von $k, k' \geq k^\star$ und $k' > k$ ausgegangen wird.

\[ \begin{align} \kappa_H = 0,5\pm 0,03\tag{17.128}\label{eq:heisenberg_constant_value} \end{align} \]

[13] ist eine Art dimensionslose Viskosität, die sogenannte Heisenberg-Konstante. Diese Formel ist analog zum molekularen dissipativen Term $-2\nu k^2\newtilde{e}\left(k\right)$. Die Funktion $g\left(k', \newtilde{e}\left(k'\right)\right)$ beschreibt, wie die kleinere Skala $k'$ auf die auf die Skala $k$ wirkt, wobei eine explizite Abhängigkeit von der bei $k'$ vorhandenen Energie $\newtilde{e}\left(k'\right)$ mit aufgenommen wurde. Im SI-Sytem gelten

\[ \begin{align} \left[\newtilde{e}\right] &= \frac{\text{J}}{\text{kg/m}} = \frac{\text{Jm}}{\text{kg}} = \frac{\text{Nm}^2}{\text{kg}} = \frac{\text{m}^3}{\text{s}^2}\\ \Rightarrow \left[\frac{\partial\newtilde{e}}{\partial t}\right] = \frac{\text{m}^3}{\text{s}^3}, & {} & \left[W\right] = \frac{\text{m}^4}{\text{s}^3}, & {} & \Rightarrow \left[k^2\newtilde{e}\left(k\right)\right] = \frac{\text{m}}{\text{s}^2} & {} & \Rightarrow \left[g\left(k', \newtilde{e}\left(k'\right)\right)\right] = \frac{\text{m}^3}{\text{s}}. \end{align} \]

Als Ansatz für $g$ wählt man nun

\[ \begin{align} g\left(k', \newtilde{e}\left(k'\right)\right) = \left(k'\right)^\alpha\newtilde{e}\left(k'\right)^\beta. \end{align} \]

Dies impliziert

\[ \begin{align} \beta &= \frac{1}{2}, \alpha = -\frac{3}{2}\\ \Rightarrow g\left(k', \newtilde{e}\left(k'\right)\right) &= \left(k'\right)^{-3/2}\newtilde{e}\left(k'\right)^{1/2} = \sqrt{\frac{\newtilde{e}\left(k'\right)}{\left(k'\right)^3}}. \end{align} \]

Zusammenfassend lautet der Heisenberg-Ansatz also

\[ \begin{align} T\left(k, k'\right) = \begin{cases} -2\kappa_Hk^2\newtilde{e}\left(k\right)\newtilde{e}\left(k'\right)^{1/2}\left(k'\right)^{-3/2},\text{ falls }k' \geq k\text{ gilt (Energieverlust an kleinere Skala),}\\ 2\kappa_Hk^2\newtilde{e}\left(k\right)\newtilde{e}\left(k'\right)^{1/2}\left(k'\right)^{-3/2},\text{ falls }k' < k\text{ gilt (Energiegewinn von größerer Skala).} \end{cases}\tag{17.134}\label{eq:heisenberg-ansatz} \end{align} \]

Im Rahmen der Stationarität wird die durch Dissipation verlorene kinetische Energie durch die Zufuhr von den größeren Skalen kompensiert. Die größeren Skalen haben also einen Energieverlust an die kleineren Skalen, welcher durch eine Produktion $\sigma\left(k\right)$ von kinetischer Energie kompensiert werden muss. Der Mechanismus, über welchen dies passiert, wird hier offengelassen. Man geht jedoch von $\sigma\left(k\right) = 0$ für $k > k^\star$ aus, um die Betrachtungen in der universality region zu vereinfachen. Glg. (17.126) wird damit zu

\[ \begin{align} 2\nu k^2\newtilde{e}\left(k\right) &= \int W\left(k, k'\right)dk' + \sigma\left(k\right).\tag{17.135}\label{eq:heisenberg_turb_1} \end{align} \]

17.4.4 Energiespektrum

Integriert man Glg. (17.135) bis zu einer Wellenzahl $k > k^\star$, erhält man

\[ \begin{align} 2\nu\int_0^k\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk' &= \int_0^k\int_0^\infty W\left(k', k''\right)dk''dk' + \int_0^k\sigma\left(k'\right)dk'.\tag{17.136}\label{eq:heisenberg_turb_2} \end{align} \]

Für $k = \infty$ erhält man

\[ \begin{align} 2\nu\int_0^\infty\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk' &= \int_0^\infty\int_0^\infty W\left(k', k''\right)dk''dk' + \int_0^\infty\sigma\left(k'\right)dk'. \end{align} \]

Aufgrund der Antisymmetrie der Energie-Transfer-Funktion $W\left(k', k''\right) = -W\left(k'', k'\right)$ gilt

\[ \begin{align} \int_0^\infty\int_0^\infty W\left(k', k''\right)dk''dk' = 0. \end{align} \]

Dies entspricht der Tatsache, dass die Energie-Transfer-Funktion kinetische Energie umverteilt, aber keine kinetische Energie produziert oder vernichtet. Dies führt auf

\[ \begin{align} 2\nu\int_0^\infty\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk' = \int_0^\infty\sigma\left(k'\right)dk'. \end{align} \]

Dies entspricht der Tatsache, dass unter stationären Bedingungen ist die Energiezufuhr gleich dem Energieverlust ist. Der Energieverlust ist gleich der Dissipation:

\[ \begin{align} \epsilon = 2\nu\int_0^\infty\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk' \end{align} \]

Wegen $k > k^\star$ und $\sigma\left(k'\right) = 0$ für $k' > k^\star$ gilt

\[ \begin{align} \int_0^k\sigma\left(k'\right)dk' = \int_0^\infty\sigma\left(k'\right)dk'. \end{align} \]

Somit kann man Glg. (17.136) in der Form

\[ \begin{align} 2\nu\int_0^k\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk' &= \int_0^k\int_0^\infty W\left(k', k''\right)dk''dk' + \epsilon \end{align} \]

aufschreiben. Wiederum wegen der Antisymmetrie $W\left(k', k''\right) = -W\left(k'', k'\right)$ gilt

\[ \begin{align} \int_0^k\int_0^kW\left(k', k''\right)dk''dk' = 0. \end{align} \]

Somit gilt

\[ \begin{align} 2\nu\int_0^k\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk' &= \int_0^k\int_k^\infty W\left(k', k''\right)dk''dk' + \epsilon\nonumber\\ \Leftrightarrow \epsilon &= 2\nu\int_0^k\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk' - \int_0^k\int_k^\infty W\left(k', k''\right)dk''dk''. \end{align} \]

Setzt man hier Glg. (17.134) ein und beachtet $k'' > k'$, erhält man

\[ \begin{align} \epsilon &= 2\nu\int_0^k\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk' - \int_0^k\int_k^\infty-2\kappa_H\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)\newtilde{e}\left(k''\right)^{1/2}\left(k''\right)^{-3/2}dk''dk'\nonumber\\ \Leftrightarrow \epsilon &= 2\nu\int_0^k\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk' + 2\kappa_H\int_0^k\int_k^\infty\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)\newtilde{e}\left(k''\right)^{1/2}\left(k''\right)^{-3/2}dk''dk'\nonumber\\ \Leftrightarrow \epsilon &= 2\nu\int_0^k\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk' + 2\kappa_H\int_k^\infty\newtilde{e}\left(k''\right)^{1/2}\left(k''\right)^{-3/2}dk''\int_0^k\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk'\nonumber\\ \Leftrightarrow \epsilon &= 2\nu\int_0^k\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk' + 2\kappa_H\int_k^\infty\sqrt{\frac{\newtilde{e}\left(k''\right)}{\left(k''\right)^3}}dk''\int_0^k\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk'\nonumber\\ \Leftrightarrow\epsilon &= \left(2\nu + 2\kappa_H\int_k^\infty\sqrt{\frac{\newtilde{e}\left(k''\right)}{\left(k''\right)^3}}dk''\right)\int_0^k\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk'\nonumber\\ \Leftrightarrow\epsilon &= \left(\nu + \kappa_H\int_k^\infty\sqrt{\frac{\newtilde{e}\left(k''\right)}{\left(k''\right)^3}}dk''\right)\int_0^k2\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk'.\tag{17.145}\label{eq:heisenberg_turb_3} \end{align} \]

Die Größe

\[ \begin{align} K \coloneqq \kappa_H\int_k^\infty\sqrt{\frac{\newtilde{e}\left(k'\right)}{\left(k'\right)^3}}dk'\tag{17.146}\label{eq:heisenberg_exchange} \end{align} \]

hat die Dimension einer Viskosität und wird als Heisenberg'scher Austauschkoeffizient bezeichnet.

Man definiert nun eine Hilfsfunktion

\[ \begin{align} f\left(k\right) \coloneqq 2\int_0^k\left(k'\right)^2\newtilde{e}\left(k'\right)dk' \Rightarrow f'\left(k\right) = 2k^2\newtilde{e}\left(k\right).\tag{17.147}\label{eq:heisenberg_turb_6} \end{align} \]

Hiermit kann man Glg. (17.145) in der Form

\[ \begin{align} \frac{\epsilon}{f\left(k\right)} = \nu + \kappa_H\int_k^\infty\sqrt{\frac{\newtilde{e}\left(k'\right)}{\left(k'\right)^3}}dk' = \nu + \kappa_H\int_k^\infty\sqrt{\frac{f'\left(k'\right)}{2\left(k'\right)^5}}dk'\tag{17.148}\label{eq:heisenberg_turb_5} \end{align} \]

notieren. Differenziert man diese Gleichung, erhält man

\[ \begin{align} -\frac{\epsilon f'\left(k\right)}{f\left(k\right)^2} = -\kappa_H\sqrt{\frac{f'\left(k\right)}{2k^5}} \Rightarrow \frac{\epsilon^2f'\left(k\right)^2}{f\left(k\right)^4} = \kappa_H^2\frac{f'\left(k\right)}{2k^5} \Leftrightarrow \frac{\epsilon^2f'\left(k\right)}{f\left(k\right)^4} = \frac{\kappa_H^2}{2k^5}. \end{align} \]

Integriert man beide Seiten über $k$, erhält man

\[ \begin{align} -\frac{\epsilon^2}{3f\left(k\right)^3} + C = -\frac{\kappa_H^2}{8k^4} \Leftrightarrow \frac{\epsilon^2}{3f\left(k\right)^3} = C + \frac{\kappa_H^2}{8k^4}\tag{17.150}\label{eq:heisenberg_turb_4} \end{align} \]

mit einer Integrationskonstante $C$. Um diese zu bestimmen, betrachtet man Glg. (17.150) für $k \to \infty$:

\[ \begin{align} C = \frac{\epsilon^2}{3f\left(\infty\right)^3} \end{align} \]

Um $f\left(\infty\right)$ zu bestimmen, wertet man Glg. (17.148) für $k \to \infty$ aus:

\[ \begin{align} \frac{\epsilon}{f\left(\infty\right)} &= \nu \Rightarrow f\left(\infty\right) = \frac{\epsilon}{\nu}\nonumber\\ \Rightarrow C &= \frac{\epsilon^2}{3f\left(\infty\right)^3} = \frac{\nu^3}{3\epsilon} \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (17.150) ein, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\epsilon^2}{3f\left(k\right)^3} &= \frac{\nu^3}{3\epsilon} + \frac{\kappa_H^2}{8k^4}\nonumber\\ \Rightarrow f\left(k\right)^3 &= \frac{\epsilon^2}{3}\left(\frac{\kappa_H^2}{8k^4} + \frac{\nu^3}{3\epsilon}\right)^{-1}\nonumber\\ \Rightarrow f\left(k\right) &= \frac{\epsilon^{2/3}}{3^{1/3}}\left(\frac{\kappa_H^2}{8k^4} + \frac{\nu^3}{3\epsilon}\right)^{-1/3}. \end{align} \]

Differenziert man dies nach $k$, erhält man

\[ \begin{align} f'\left(k\right) &= \frac{\epsilon^{2/3}}{3^{1/3}}\frac{4}{3}\frac{\kappa_H^2}{8k^5}\left(\frac{\kappa_H^2}{8k^4} + \frac{\nu^3}{3\epsilon}\right)^{-4/3}. \end{align} \]

Setzt man hier Glg. (17.147) ein, erhält man

\[ \begin{align} 2k^2\newtilde{e}\left(k\right) &= \frac{\epsilon^{2/3}}{3^{1/3}}\frac{4}{3}\frac{\kappa_H^2}{8k^5}\left(\frac{\kappa_H^2}{8k^4} + \frac{\nu^3}{3\epsilon}\right)^{-4/3}\nonumber\\ \Leftrightarrow \newtilde{e}\left(k\right) &= \frac{\epsilon^{2/3}}{3^{1/3}}\frac{2}{3k^3}\frac{\kappa_H^2}{8k^4}\left(\frac{\kappa_H^2}{8k^4} + \frac{\nu^3}{3\epsilon}\right)^{-4/3}\nonumber\\ \Leftrightarrow \newtilde{e}\left(k\right) &= \frac{\epsilon^{2/3}}{3^{1/3}}\frac{2}{3k^3}\left(\frac{\kappa_H^2}{8k^4}\right)^{-1/3}\left(\frac{8k^4}{\kappa_H^2}\right)^{-4/3}\left(\frac{\kappa_H^2}{8k^4} + \frac{\nu^3}{3\epsilon}\right)^{-4/3}\nonumber\\ \Leftrightarrow \newtilde{e}\left(k\right) &= \frac{\epsilon^{2/3}}{3^{1/3}}\frac{2}{3k^3}\left(\frac{\kappa_H^2}{8k^4}\right)^{-1/3}\left(1 + \frac{8\nu^3k^4}{3\epsilon\kappa_H^2}\right)^{-4/3}\nonumber\\ \Leftrightarrow \newtilde{e}\left(k\right) &= \frac{\epsilon^{2/3}}{3^{1/3}}\frac{2}{3}\left(\frac{\kappa_H^2}{8}\right)^{-1/3}k^{-5/3}\left(1 + \frac{8\nu^3k^4}{3\epsilon\kappa_H^2}\right)^{-4/3}\nonumber\\ \Leftrightarrow \newtilde{e}\left(k\right) &= \left(\frac{8^2}{3^4\kappa_H^2}\right)^{1/3}\epsilon^{2/3}k^{-5/3}\left(1 + \frac{8\nu^3k^4}{3\epsilon\kappa_H^2}\right)^{-4/3}\nonumber \end{align} \]

17.4.5 Definitionen und Approximationen

Der Ausgangspunkt dieses Abschnittes ist Glg. (17.155). Man definiert zunächst einige Abkürzungen. Zunächst definiert man

\[ \begin{align} k_c \coloneqq \left(\frac{\epsilon}{\nu^3}\right)^{1/4}. \end{align} \]

Damit wird Glg. (17.157) zu

\[ \begin{align} \newtilde{e}\left(k\right) &= \left(\frac{8}{9\kappa_H}\right)^{2/3}\epsilon^{2/3}k^{-5/3}\left(1 + \frac{8k^4}{3\kappa_H^2k_c^4}\right)^{-4/3}.\tag{17.157}\label{eq:turb_iso_inc_spec_pre_1} \end{align} \]

Weiterhin definiert man die Kolmogorov-Konstante $\kappa_K$ durch

\[ \begin{align} \kappa_K \coloneqq \left(\frac{8}{9\kappa_H}\right)^{2/3},\tag{17.158}\label{eq:def_kappa_k} \end{align} \]

die charakteristische Länge $l_c$ durch

\[ \begin{align} l_c \coloneqq \left(\frac{\nu^3}{\epsilon}\right)^{1/4}\tag{17.159}\label{eq:characteristic_length} \end{align} \]

sowie die charakteristische Zeit $t_c$ durch

\[ \begin{align} t_c \coloneqq \left(\frac{\nu}{\epsilon}\right)^{1/2}. \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} k_c = \frac{1}{l_c}. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (17.157) ein, erhält man

Hieraus lassen sich noch zwei wichtige Grenzfälle ableiten. Für $k > \sqrt{\kappa_H}k_c$ gilt

\[ \begin{align} \newtilde{e}\left(k\right) & \approx \left(\frac{8}{9\kappa_H}\right)^{2/3}\epsilon^{2/3}k^{-5/3}\left(\frac{8k^4l_c^4}{3\kappa_H^2}\right)^{-4/3} = \left(\frac{8\epsilon}{9\kappa_H}\right)^{2/3}\left(\frac{8\nu^3}{3\epsilon\kappa_H^2}\right)^{-4/3}k^{-7}\nonumber\\ &= \left(\frac{8\epsilon}{9\kappa_H}\right)^{2/3}\left(\frac{3\epsilon\kappa_H^2}{8\nu^3}\right)^{4/3}k^{-7}\nonumber \end{align} \]

Dieses Gebiet des Spektrums ($k > k_c$) bezeichnet man als dissipative range. In diesem Bereich führt die Viskosität zu einem steilen Abfall des Spektrums. Im Fall $k^\star < k \ll k_c$ gilt

Diesen Bereich des Spektrums ($k^\star < k \ll k_c$) bezeichnet man als inertial subrange.

17.5 Klassisches Smagorinsky-Modell

Der einfachste Ansatz, den turbulenten horizontalen Diffusionskoeffizienten $K$ zu berechnen, ist das sogenannte klassische Smagorinsky-Modell (classic Smagorinsky model, CSM). Der Ausgangspunkt für die Herleitung bildet Glg. (17.146), wobei für $k$ die gerade noch aufgelöste Kreiswellenzahl $\frac{2\pi}{2\Delta} = \frac{\pi}{\Delta}$ eingesetzt wird:

\[ \begin{align} K\coloneqq\kappa_H\int_\frac{\pi}{\Delta}^\infty\sqrt{\frac{\newtilde{e}\left(k\right)}{k^3}}dk \end{align} \]

Der relevante Skalenbereich der turbulenten Diffusion in der Atmosphäre ist die inertial subrange ($k^\star < k \ll k_c$), in diesem gilt Glg. (17.164). Hieraus folgt

\[ \begin{align} K &= \kappa_H\int_\frac{\pi}{\Delta}^\infty\sqrt{\frac{\kappa_K\epsilon^{2/3}k^{-5/3}}{k^3}}dk = \kappa_H\sqrt{\kappa_K}\epsilon^{1/3}\int_\frac{\pi}{\Delta}^\infty\sqrt{k^{-14/3}}dk\nonumber\\ \Leftrightarrow K &= \kappa_H\sqrt{\kappa_K}\epsilon^{1/3}\int_\frac{\pi}{\Delta}^\infty k^{-7/3}dk = \kappa_H\sqrt{\kappa_K}\epsilon^{1/3}\left[-\frac{3}{4}k^{-4/3}\right]_\frac{\pi}{\Delta}^\infty\nonumber\\ \Leftrightarrow K &= \frac{3}{4}\kappa_H\sqrt{\kappa_K}\epsilon^{1/3}\left(\frac{\pi}{\Delta}\right)^{-4/3} = \frac{3}{4}\kappa_H\sqrt{\kappa_K}\epsilon^{1/3}\left(\frac{\Delta}{\pi}\right)^{4/3}.\tag{17.166}\label{eq:csm_deriv} \end{align} \]

Dieses Ergebnis ist für ein numerisches Modell noch nicht direkt verwendbar, da $\epsilon$ nicht bekannt ist. Um einen Ausdruck für $\epsilon$ zu bestimmen, geht man von Glg. (17.145) aus:

\[ \begin{align} \epsilon &= \left(\nu + K\right)\int_0^\frac{\pi}{\Delta}2k^2\newtilde{e}\left(k\right)dk. \end{align} \]

Vergleicht man dies mit Glg. , folgt

\[ \begin{align} \epsilon &= \left(\nu + K\right)S^2\nonumber. \end{align} \]

Wegen $\Delta \gg l_c$ gilt in guter Näherung

\[ \begin{align} \epsilon &= KS^2 \Rightarrow \epsilon^\frac{1}{3} = K^\frac{1}{3}S^\frac{2}{3}. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (17.166) ein, erhält man

\[ \begin{align} K &= \frac{3}{4}\kappa_H\sqrt{\kappa_K}K^\frac{1}{3}S^\frac{2}{3}\left(\frac{\Delta}{\pi}\right)^{4/3}\nonumber\\ \Leftrightarrow K^\frac{2}{3} &= \frac{3}{4}\kappa_H\sqrt{\kappa_K}S^\frac{2}{3}\left(\frac{\Delta}{\pi}\right)^{4/3}\nonumber\\ \Leftrightarrow K &= \kappa_K^\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}\kappa_H\right)^\frac{3}{2}S\left(\frac{\Delta}{\pi}\right)^2\nonumber\\ \Leftrightarrow K &= \frac{1}{\pi^2}\kappa_K^\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}\kappa_H\right)^\frac{3}{2}\Delta^2S. \end{align} \]

Mit der Definition

\[ \begin{align} c_S^2 &\coloneqq \frac{1}{\pi^2}\kappa_K^\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}\kappa_H\right)^\frac{3}{2} \stackrel{\href{#eq:def_kappa_k}{\text{Glg. (17.158)}}}{=} \frac{1}{\pi^2}\left(\frac{8}{9\kappa_H}\right)^{1/2}\left(\frac{3}{4}\kappa_H\right)^\frac{3}{2} = \frac{\kappa_H}{\pi^2}\left(\frac{8}{9}\right)^{1/2}\left(\frac{3}{4}\right)^\frac{3}{2} = \frac{\kappa_H}{\pi^2}\left(\frac{8\cdot 9}{9\cdot 16}\right)^{1/2}\left(\frac{3}{4}\right)^\frac{1}{2}\nonumber\\ &= \frac{\sqrt{3}\kappa_H}{2\sqrt{2}\pi^2} \stackrel{\href{#eq:heisenberg_constant_value}{\text{Glg. (17.128)}}}{\approx} \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}\pi^2} \approx 0,03\nonumber\\ \Leftrightarrow c_S &= \left(\frac{3}{8}\right)^{1/4}\frac{\sqrt{\kappa_H}}{\pi} \approx \left(\frac{3}{8}\right)^{1/4}\frac{1}{\sqrt{2}\pi} \approx 0,176 \end{align} \]

kann man dies in der Form

\[ \begin{align} K &= c_S^2\Delta^2S \end{align} \]

notieren. Hieraus folgt im Fall zweidimensionalen Flusses

Aus Glg. (17.166) lässt sich weiterhin ein Ausdruck für die Dissipation ableiten, wenn der Diffusionskoeffizient bekannt ist:

\[ \begin{align} \frac{3}{4}\kappa_H\sqrt{\kappa_K}\epsilon^{1/3}\left(\frac{\Delta}{\pi}\right)^{4/3} &= K\nonumber\\ \Leftrightarrow\epsilon^{1/3} &= \frac{4}{3\kappa_H\sqrt{\kappa_K}}\left(\frac{\pi}{\Delta}\right)^{4/3}K\nonumber\\ \Leftrightarrow\epsilon &= \left(\frac{4}{3\kappa_H\sqrt{\kappa_K}}\right)^3\left(\frac{\pi}{\Delta}\right)^{4}K^{3} \approx 1039\cdot\frac{K^3}{\Delta^4} \end{align} \]

17.6 Turbulente kinetische Energie

Die sogenannte spezifische turbulente kinetische Energie $k_s$ ist der subskalige Anteil der kinetischen Energie, in Abgrenzung zum aufgelösten Anteil, welcher hier mit $k_m$ bezeichnet wird. Für diese Größe soll eine prognostische Gleichung hergeleitet werden. Man beginnt, indem man zunächst die Gleichung der spezifischen kinetischen Energie Glg. (14.8) nochmals notiert:

\[ \begin{align} \frac{\partial k}{\partial t} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(u^2 + v^2 + w^2\right) = -\mathbf{v}\cdot\nabla k -\frac{1}{\rho}\mathbf{v}\cdot\nabla p - wg - \epsilon = -\sum_{i,j=1}^3u_iu_j\frac{\partial u_j}{x_i} -\frac{1}{\rho}\mathbf{v}\cdot\nabla p - wg - \epsilon. \end{align} \]

Den Druckgradienten drückt man über den Exner-Druck aus:

\[ \begin{align} \frac{\partial k}{\partial t} = -\sum_{i,j=1}^3u_iu_j\frac{\partial u_j}{x_i} - c^{(p)}\theta\mathbf{v}\cdot\nabla\Pi - wg - \epsilon.\tag{17.175}\label{eq:tke_deriv_tk} \end{align} \]

Weiterhin notiert man die Impulsgleichung ohne Reibung:

\[ \begin{align} \frac{\partial u_i}{\partial t} = -\sum_{j=1}^3u_j\frac{\partial u_i}{x_j} - c^{(p)}\theta\frac{\partial\Pi}{\partial x_i} - g_i. \end{align} \]

Führt man hier eine Reynolds-Mittelung durch, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial\newoverline{u_i}}{\partial t} = -\sum_{j=1}^3\newoverline{u_j}\frac{\partial\newoverline{u_i}}{x_j} - \sum_{j=1}^3\newoverline{u_j'\frac{\partial u_i'}{x_j}} - c^{(p)}\newoverline{\theta}\frac{\partial\newoverline{\Pi}}{\partial x_i} - c^{(p)}\newoverline{\theta'\frac{\partial\Pi'}{\partial x_i}} - g_i. \end{align} \]

Multipliziert man diese Gleichung mit $\newoverline{u_i}$, erhält man

\[ \begin{align} \newoverline{u_i}\frac{\partial\newoverline{u_i}}{\partial t} = -\newoverline{u_i}\sum_{j=1}^3\newoverline{u_j}\frac{\partial\newoverline{u_i}}{x_j} - \newoverline{u_i}\sum_{j=1}^3\newoverline{u_j'\frac{\partial u_i'}{x_j}} - c^{(p)}\newoverline{u_i}\newoverline{\theta}\frac{\partial\newoverline{\Pi}}{\partial x_i} - c^{(p)}\newoverline{u_i}\newoverline{\theta'\frac{\partial\Pi'}{\partial x_i}} - \newoverline{u_i}g_i. \end{align} \]

Summiert man diese Gleichung über $i$, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial k_m}{\partial t} &= -\sum_{i,j=1}^3\newoverline{u_i}\newoverline{u_j}\frac{\partial\newoverline{u_i}}{x_j} - \sum_{i,j=1}^3\newoverline{u_i}\newoverline{u_j'\frac{\partial u_i'}{x_j}} - c^{(p)}\newoverline{\theta}\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\nabla\newoverline{\Pi} - c^{(p)}\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\newoverline{\theta'\nabla\Pi'} + \newoverline{\mathbf{v}}\cdot\mathbf{g}\nonumber\\ &= -\sum_{j=1}^3\newoverline{u_j}\sum_{i=1}^3\newoverline{u_i}\frac{\partial\newoverline{u_i}}{x_j} - \sum_{i,j=1}^3\newoverline{u_i}\newoverline{u_j'\frac{\partial u_i'}{x_j}} - c^{(p)}\newoverline{\theta}\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\nabla\newoverline{\Pi} - c^{(p)}\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\newoverline{\theta'\nabla\Pi'} + \newoverline{\mathbf{v}}\cdot\mathbf{g}\nonumber\\ &= -\sum_{j=1}^3\newoverline{u_j}\frac{\partial k_m}{x_j} - \sum_{i,j=1}^3\newoverline{u_i}\newoverline{u_j'\frac{\partial u_i'}{x_j}} - c^{(p)}\newoverline{\theta}\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\nabla\newoverline{\Pi} - c^{(p)}\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\newoverline{\theta'\nabla\Pi'} + \newoverline{\mathbf{v}}\cdot\mathbf{g}\nonumber\\ &= -\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\nabla{k_m} - \sum_{i,j=1}^3\newoverline{u_i}\newoverline{u_j'\frac{\partial u_i'}{x_j}} - c^{(p)}\newoverline{\theta}\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\nabla\newoverline{\Pi} - c^{(p)}\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\newoverline{\theta'\nabla\Pi'} + \newoverline{\mathbf{v}}\cdot\mathbf{g}. \end{align} \]

Hierbei ist

\[ \begin{align} k_m \coloneqq \frac{1}{2}\left(\newoverline{u}^2 + \newoverline{v}^2 + \newoverline{w}^2\right) \end{align} \]

die mittlere kinetische Energie. Nimmt man weiter an, dass der Hintergrundzustand hydrostatisch balanciert ist, also $-c^{(p)}\newoverline{\theta}\nabla\newoverline{\Pi} + \mathbf{g} = \mathbf{0}$, folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial k_m}{\partial t} = -\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\nabla{k_m} - \sum_{i,j=1}^3\newoverline{u_i}\newoverline{u_j'\frac{\partial u_i'}{x_j}} - c^{(p)}\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\newoverline{\theta'\nabla\Pi'}.\tag{17.181}\label{eq:tke_deriv_ke} \end{align} \]

Die subskalige oder turbulente kinetische Energie ist

\[ \begin{align} k_s &\coloneqq k' = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left(u'^2 + v'^2 + w'^2\right). \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (17.175) ein, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial k_m}{\partial t} + \frac{\partial k_s}{\partial t} = -\sum_{i,j=1}^3u_iu_j\frac{\partial u_j}{x_i} - c^{(p)}\theta\mathbf{v}\cdot\nabla\Pi - wg - \epsilon. \end{align} \]

Führt man hier eine Reynolds-Mittelung durch, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial k_m}{\partial t} + \frac{\partial k_s}{\partial t} &= -\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\nabla{k_m} - \sum_{i,j=1}^3\newoverline{u_i}\newoverline{u_j'\frac{\partial u_i'}{x_j}} - c^{(p)}\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\newoverline{\theta'\nabla\Pi'}\nonumber\\ &-\sum_{i,j=1}^3\newoverline{u_i'u_j'}\frac{\partial\newoverline{u_i}}{x_j} - \sum_{i,j=1}^3\newoverline{u_j}\newoverline{u_i'\frac{\partial u_i'}{x_j}} - c^{(p)}\newoverline{\theta'\mathbf{v}'}\cdot\nabla\newoverline{\Pi} - c^{(p)}\newoverline{\theta}\newoverline{\mathbf{v}'\cdot\nabla\Pi'} - \newoverline{\epsilon}\nonumber\\ &= -\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\nabla{k_m} - \sum_{i,j=1}^3\newoverline{u_i}\newoverline{u_j'\frac{\partial u_i'}{x_j}} - c^{(p)}\newoverline{\mathbf{v}}\cdot\newoverline{\theta'\nabla\Pi'}\nonumber\\ &-\sum_{i,j=1}^3\newoverline{u_i'u_j'}\frac{\partial\newoverline{u_i}}{x_j} - \newoverline{\mathbf{v}}\cdot\nabla{k_s} - c^{(p)}\newoverline{\theta'w'}\frac{\partial\newoverline{\Pi}}{\partial z} - c^{(p)}\newoverline{\theta}\newoverline{\mathbf{v}'\cdot\nabla\Pi'} - \newoverline{\epsilon}. \end{align} \]

Zieht man hiervon Glg. (17.181) ab, erhält man die sogenannte TKE-Gleichung:

Mit

\[ \begin{align} -c^{(p)}\newoverline{\theta}\frac{\partial\newoverline{\Pi}}{\partial z} = g \end{align} \]

kann man dies umformulieren zu

\[ \begin{align} \frac{\partial k_s}{\partial t} + \newoverline{\mathbf{v}}\cdot\nabla{k_s} = \underbrace{-\sum_{i,j=1}^3\newoverline{u_i'u_j'}\frac{\partial\newoverline{u_i}}{x_j}}_{\text{dynamische Produktion}} + \underbrace{g\newoverline{\frac{\theta'}{\newoverline{\theta}}w'}}_{\text{buoyancy flux}} - c^{(p)}\newoverline{\theta}\newoverline{\mathbf{v}'\cdot\nabla\Pi'} - \newoverline{\epsilon}. \end{align} \]

Die dynamische Produktion beschreibt die Produktion der TKE durch Dissipation großskaliger Bewegungen.

Im Term der dynamischen Produktion werden üblicherweise nur die Terme der vertikalen Scherung des Horizontalwindes berücksichtigt. Der dritte Term, welcher die Korrelation zwischen Geschwindigkeits- und Druckschwankungen repräsentiert, wird üblicherweise vernachlässigt. Dies führt auf

\[ \begin{align} \frac{\partial k_s}{\partial t} + \newoverline{\mathbf{v}}\cdot\nabla{k_s} = -\newoverline{u'w'}\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z} - \newoverline{v'w'}\frac{\partial\newoverline{v}}{\partial z} + g\newoverline{\frac{\theta'}{\newoverline{\theta}}w'} - \newoverline{\epsilon}. \end{align} \]

Multipliziert man diese Gleichung mit $\rho$ und die Kontinuitätsgleichung mit $k_s$ und addiert die Ergebnisse, erhält man die TKE-Gleichung in Flussform:

\[ \begin{align} \frac{\partial\left(\rho k_s\right)}{\partial t} + \nabla\cdot\left(\rho k_s\newoverline{\mathbf{v}}\right) = -\rho\newoverline{u'w'}\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z} - \rho\newoverline{v'w'}\frac{\partial\newoverline{v}}{\partial z} + \rho g\newoverline{\frac{\theta'}{\newoverline{\theta}}w'} - \rho\newoverline{\epsilon}.\tag{17.189}\label{eq:tke_fluss} \end{align} \]

17.7 Geostrophische Turbulenz

Wendet man den Operator $\nabla\times$ auf Glg. (17.97) in zwei Dimensionen an, erhält man

\[ \begin{align} \zeta &= \mathbf{e}_z\cdot\nabla\times\mathbf{v} = \mathbf{e}_z\cdot\nabla\times\int_{\mathbb{R}^2}\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}\right)\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)d^2r = \mathbf{e}_z\cdot\int_{\mathbb{R}^2}\nabla\times\left[\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}\right)\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)\right]d^2r\nonumber\\ &\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_harmonic_rule_1}{\text{Glg. (B.60)}}}{=} \mathbf{e}_z\cdot\int_{\mathbb{R}^2}i\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}\right)\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)\times\mathbf{k}d^2r = \int_{\mathbb{R}^2}\mathbf{e}_z\cdot\left[i\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}\right)\times\mathbf{k}\right]\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)d^2r. \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} \newtilde{\zeta}\left(\mathbf{k}\right) = \mathbf{e}_z\cdot\left[i\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}\right)\times\mathbf{k}\right]. \end{align} \]

Aus der Parseval-Identität Glg. (C.31) erhält man

\[ \begin{align} \newtilde{\zeta^2}\left(\mathbf{k}\right) &= -4\pi^2i\left(\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}\right)\times\mathbf{k}\right)\cdot i\left(\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}\right)\times\mathbf{k}\right) = 4\pi^2\left(\newtilde{\mathbf{v}}\left(-\mathbf{k}\right)\times\mathbf{k}\right)\cdot\left(\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}\right)\times\mathbf{k}\right)\nonumber\\ &= 4\pi^2\left(\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}\right)^\star\times\mathbf{k}\right)\cdot\left(\newtilde{\mathbf{v}}\left(\mathbf{k}\right)\times\mathbf{k}\right) \end{align} \]

In Polarkoordinaten ergibt dies

\[ \begin{align} \newtilde{\zeta^2}\left(k, \phi\right) &= 4\pi^2\newtilde{\mathbf{v}}\left(k, \phi\right)^\star k\sin\left(\phi\right)\newtilde{\mathbf{v}}\left(k, \phi\right)k\sin\left(\phi\right) = 4\pi^2\left|\newtilde{\mathbf{v}}\left(k, \phi\right)\right|^2k^2\sin\left(\phi\right)^2. \end{align} \]

Bei Isotropie ($\newtilde{\mathbf{v}}\left(k, \phi\right) \to \newtilde{\mathbf{v}}\left(k\right)$) gilt

\[ \begin{align} \int_0^{2\pi}4\pi^2\left|\newtilde{\mathbf{v}}\left(k\right)\right|^2k^2\sin\left(\phi\right)^2d\phi &= 4\pi^2\left|\newtilde{\mathbf{v}}\left(k\right)\right|^2k^2\int_0^{2\pi}\sin\left(\phi\right)^2d\phi = 4\pi^2\left|\newtilde{\mathbf{v}}\left(k\right)\right|^2k^2\pi = 4\pi^3\left|\newtilde{\mathbf{v}}\left(k\right)\right|^2k^2. \end{align} \]

Für die Enstrophie bedeutet dies

\[ \begin{align} \left|\Omega\subseteq\mathbb{R}^2\right|\newoverline{\zeta^2} = \int_{\Omega}\zeta^2d^2r = \int_{\mathbb{R}^2}\newtilde{\zeta^2}\left(k_x, k_y\right)d^2k = \int_0^\infty 4\pi^3\left|\newtilde{\mathbf{v}}\left(k\right)\right|^2k^2dk. \end{align} \]

17.8 Energiekaskade

17.9 Parametrisierungen

Die Abschätzung der Auswirkungen subskaliger Variabilität auf die gemittelten Größen bezeichnet man als Parametrisierungen. In einer anderen Konvention bezeichnet man all das als Parametrisierung, oder auch „ Physik“ (in Abgrenzung zur „ Dynamik“), was über das trockenadiabatische Gleichungssystem hinausgeht. Von dieser Konvention wird hier kein Gebrauch gemacht.

17.9.1 Skalare Advektion

Die Natur diffundiert die Größen Temperatur $T$ und Gasdichten $\rho_i$. Sei $\psi$ eine solche Größe. Die Diffusion erfolgt durch einen von den thermodynamischen Zustandsgrößen abhängenden Diffusionskoeffizienten $\kappa_\psi$, der somit von Ort und Zeit abhängt. Man notiert

\[ \begin{align} \frac{\partial\psi}{\partial t} = \dots + \nabla\cdot\left(\kappa_\psi\nabla\psi\right). \end{align} \]

$\kappa_{\psi}$ ist zunächst einmal molekularen Ursprungs. Die in nichtlinearen Systemen bei Mittelung entstehenden Kovarianzterme skalarer Advektion $-\newoverline{\mathbf{v}''\cdot\nabla\psi''}$ parametrisiert man sinnvollerweise so, dass man ansetzt

\[ \begin{align} \kappa_{\psi, \Delta} = \kappa_\psi + \kappa_{\psi, S},\tag{17.197}\label{eq:para_ansatz_0} \end{align} \]

wobei der Index $\Delta$ für den in die Diskretisierung einzusetzenden Diffusionskoeffizienten steht und der Index $S$ für die Auswirkung der Subskala. Auf diese Weise ist physikalische Selbstkonsistenz gewährleistet. Mit kleiner werdenden $\Delta x, \Delta t$, also mit höherer Auflösung, konvergiert $\kappa_{\psi, \Delta}$ gegen $\kappa_{\psi}.$ Bei niedriger Auflösung gilt in guter Näherung $\kappa_{\psi, \Delta} = \kappa_{\psi, S}$. Da der vertikale Gitterpunktabstand üblicherweise deutlich kleiner ist als der horizontale, kann man $\kappa_{\psi, S}$ richtungsabhängig ansetzen, also

\[ \begin{align} \kappa_{\psi, \Delta}\nabla\psi \to \kappa_{\psi, \Delta, H}\nabla_h\psi + \kappa_{\psi, \Delta, z}\frac{\partial\psi}{\partial z}\mathbf{k}. \end{align} \]

Dabei ist der horizontale Diffusionskoeffizient größer als der vertikale.

17.9.2 Impulsadvektion

Um einen Ansatz für die Parametrisierung von Impulsadvektion herzuleiten, geht man analog zum Fall skalarer Advektion im vorherigen Abschnitt von dem Ansatz aus, dass die subskalige Variabilität zu einer isotropen Diffusion führt. Dies entspricht auch dem in Abschn. 17.2 beschriebenen Mischungswegansatz. Hierbei wurde ja davon ausgegangen, dass das Fluid über eine gewisse Länge, der sogenannten Mischungsweglänge seine Eigenschaften unverändert transportiert, bevor es zu einer Angleichung mit der Umgebung kommt. Dies ist bei molekularer Diffusion, und somit auch bei Reibung als Spezialfall dieser, ebenfalls der Fall. Man erinnert sich zunächst an Glg. (8.52) für die Reibungsbeschleunigung $\mathbf{f}_R$:

\[ \begin{align} \mathbf{f}_R &= \nu\Delta\mathbf{v} + \left(\frac{\mu_v}{\rho} + \frac{\nu}{3}\right)\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right) \stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_8}{\text{Glg. (B.54)}}}{=} \left(\frac{\mu_v}{\rho} + \frac{4\nu}{3}\right)\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right) - \nu\nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\nonumber\\ &= \left(\frac{\mu_v}{\rho} + \frac{4\nu}{3}\right)\nabla D - \nu\nabla\times\zetabi \end{align} \]

Als modifizierte Begründung für diesen Ansatz kann man die folgende Analogie verwenden: Die Maxwell-Verteilung Glg. (5.191) ist isotrop. Atome und Moleküle sind im Rahmen der Navier-Stokes-Gleichungen subskalig. Ihre isotrope Impulsverteilung ist der Windgeschwindigkeit $\mathbf{v}$ überlagert. Dies hat die physikalische Auswirkung der Existenz der Reibungsbeschleunigung Glg. (8.52) und der Dissipation Glg. (8.66). Ist die turbulente (subskalige) Bewegung isotrop, so kann man davon ausgehen, dass die Turbulenz ähnliche Auswirkungen auf die gemittelten Größen hat. Diese Analogie gilt auch für die diffusiven Ansätze des subskaligen Transportes skalarer Größen.

Zu bestimmen bleiben allerdings die effektiven Viskositäten. In einer Diskretisierung setzt man nun analog zu Glg. (17.197)

\[ \begin{align} K = \nu + \nu_S,& {} & K_v = \mu_v + \mu_{v, S} \end{align} \]

an. Hieraus folgt für die effektive Reibungsbeschleunigung

\[ \begin{align} \mathbf{f}_R &= \left(\frac{K_v}{\rho} + \frac{4K}{3}\right)\nabla D - K\nabla\times\zetabi.\tag{17.201}\label{eq:friction_acceleration_for_discrete} \end{align} \]

17.9.3 Phasenübergänge

Sei $\rho_v$ die Dichte des Wasserdampfes, die Advektionsgleichung für diese Größe lautet

\[ \begin{align} \frac{\partial\rho_v}{\partial t} = -\nabla\cdot\left(\rho_v\mathbf{v}\right) + s_v, \end{align} \]

hierbei ist $s_v$ die Quelldichte des Wasserdampfes. Integriert man diese Gleichung über eine Menge $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$, erhält man mit dem Gauß'schen Satz

\[ \begin{align} \int_\Omega\frac{\partial\rho_v}{\partial t}d^3r = -\int_\Omega\nabla\cdot\left(\rho_v\mathbf{v}\right)d^3r = -\int_{\partial\Omega}\rho_v\mathbf{v}\cdot d\mathbf{n} + \int_\Omega s_vd^3rdt'. \end{align} \]

Integriert man ferner über ein Zeitintervall $\left[t, t + \Delta t\right]$, folgt

\[ \begin{align} \int_t^{t + \Delta t}\int_\Omega\frac{\partial\rho_v}{\partial t}d^3rdt' &= -\int_t^{t + \Delta t}\int_{\partial\Omega}\rho_v\mathbf{v}\cdot d\mathbf{n}dt' + \int_t^{t + \Delta t}\int_\Omega s_vd^3rdt'\nonumber\\ \Leftrightarrow\int_\Omega\rho_v\left(t + \Delta t\right) - \rho_v\left(t\right)d^3r &= -\int_t^{t + \Delta t}\int_{\partial\Omega}\rho_v\mathbf{v}\cdot d\mathbf{n}dt' + \int_t^{t + \Delta t}\int_\Omega s_vd^3rdt'\nonumber\\ \Leftrightarrow V\left[\newoverline{\rho_v}\left(t + \Delta t\right) - \newoverline{\rho_v}\left(t\right)\right] &= -\int_t^{t + \Delta t}\int_{\partial\Omega}\rho_v\mathbf{v}\cdot d\mathbf{n}dt' + \int_t^{t + \Delta t}\int_\Omega s_vd^3rdt'\nonumber\\ \Leftrightarrow \newoverline{\rho_v}\left(t + \Delta t\right) &= \newoverline{\rho_v}\left(t\right) - \frac{1}{V}\int_t^{t + \Delta t}\int_{\partial\Omega}\rho_v\mathbf{v}\cdot d\mathbf{n}dt' + \int_t^{t + \Delta t}\int_\Omega s_vd^3rdt'\nonumber\\ \Leftrightarrow \newoverline{\rho_v}\left(t + \Delta t\right) &= \newoverline{\rho_v}\left(t\right) - \frac{1}{V}\int_t^{t + \Delta t}\int_{\partial\Omega}\rho_v\mathbf{v}\cdot d\mathbf{n}dt' + \int_\Omega\int_t^{t + \Delta t}s_vdt'd^3r.\tag{17.204}\label{eq:phase_trans_para_deriv_0} \end{align} \]

Man geht an dieser Stelle der Einfachheit halber davon aus, dass zum Zeitpunkt $t$ keine Kondensate vorhanden sind und dass während des Zeitintervals $\left[t, t + \Delta t\right]$ keine Phasenübergänge in Richtung des Wasserdampfes stattfinden. In diesem Fall gilt

\[ \begin{align} \int_t^{t + \Delta t}s_vdt' = -\Theta\left[\rho_v\left(t + \Delta t\right) - \rho_v^{(\text{sat})}\left(t + \Delta t\right)\right]\left[\rho_v\left(t + \Delta t\right) - \rho_v^{(\text{sat})}\left(t + \Delta t\right)\right] \leq 0. \end{align} \]

Es gilt also

\[ \begin{align} Q_v \coloneqq \int_\Omega\int_t^{t + \Delta t}s_vdt'd^3r = -\int_\Omega\Theta\left[\rho_v\left(t + \Delta t\right) - \rho_v^{(\text{sat})}\left(t + \Delta t\right)\right]\left[\rho_v\left(t + \Delta t\right) - \rho_v^{(\text{sat})}\left(t + \Delta t\right)\right]d^3r \leq 0. \end{align} \]

Definiere nun

\[ \begin{align} \newtilde{Q}_v &\coloneqq -\Theta\left\{\newoverline{\rho_v}\left(t + \Delta t\right) - \rho_v^{(\text{sat})}\left[\newoverline{T}\left(t + \Delta t\right), \newoverline{p}\left(t + \Delta t\right)\right]\right\}\left\{\rho_v\left(t + \Delta t\right) - \rho_v^{(\text{sat})}\left[\newoverline{T}\left(t + \Delta t\right), \newoverline{p}\left(t + \Delta t\right)\right]\right\} \leq 0\nonumber\\ & \end{align} \]

Dies ist der Quellterm, der sich ergeben würde, wenn man den Phasenübergang aus den gemittelten thermodynamischen Größen (in einem Modell wären dies die Werte in den Gitterboxen) heraus berechnen würde. Es gilt

\[ \begin{align} Q_v \leq \newtilde{Q}_v. \end{align} \]

Definiere nun die Differenz zwischen dem tatsächlichen Phasenübergang und dem aus den gemittelten Größen heraus berechneten durch

\[ \begin{align} \Delta Q_v \coloneqq Q_v - \newtilde{Q}_v \leq 0. \end{align} \]

Damit kann man Glg. (17.204) in der Form

\[ \begin{align} \newoverline{\rho_v}\left(t + \Delta t\right) &= \newoverline{\rho_v}\left(t\right) - \frac{1}{V}\int_t^{t + \Delta t}\int_{\partial\Omega}\rho_v\mathbf{v}\cdot d\mathbf{n}dt' + Q_v\nonumber\\ &= \newoverline{\rho_v}\left(t\right) - \frac{1}{V}\int_t^{t + \Delta t}\int_{\partial\Omega}\rho_v\mathbf{v}\cdot d\mathbf{n}dt' + \newtilde{Q}_v + \Delta Q_v. \end{align} \]

Der Quellterm $Q_v$ setzt sich somit aus zwei Anteilen zusammen:

• Der Term $\newtilde{Q}_v \leq 0$ entspricht dem aufgelösten Anteil.
• Der Term $\Delta Q_v \leq 0$ entspricht dem subskaligen Anteil.

Ein Modell hätte zunächst nur Kenntnis vom aufgelösten Anteil $\newtilde{Q}_v$ und würde somit den Gesamt-Phasenübergang $Q_v$ unterschätzen. Insbesondere kann es Situationen mit $\newtilde{Q}_v = 0$ und $\Delta Q_v < 0$ geben. Man kann nun aus hergeleiteten oder gemessenen Spektraleigenschaften der Felder Ansätze für den Term $\Delta Q_v$ herleiten.

Dieser Abschnitt weiterhin, dass alle Arten von Parametrisierungen letzten Endes mit subskaliger Variabilität zu tun haben. Im Fall $\Omega, \Delta t \to 0$ geht $\Delta Q_v$ gegen Null, was ebenfalls für alle Parametrisierungen der Fall ist.

17.9.4 Konvektion

Lokal entsteht Konvektion bei Vorliegen thermischer Instabilität, also im Fall

\[ \begin{align} N^2 < 0.\tag{17.211}\label{eq:conv_crit_local} \end{align} \]

Mittelt man jedoch über eine Grundfläche $A\subseteq\mathbb{R}^2$, so ist aufgrund der Variabilität von $N$, also

\[ \begin{align} N^2_\text{min}\leq\newoverline{N^2}, \end{align} \]

Glg. (17.211) irgendwo innerhalb von $A$ lokal erfüllt, bevor das Kriterium im Mittel erfüllt ist.

17.10 Flusswiderstände

Das Konzept des Flusswiderstandes soll zunächst anhand des horizontalen Impulses erläutert werden. Die Reibungsbeschleuningung lautet allgemein

\[ \begin{align} \frac{\partial v_{N_L}}{\partial t} = \frac{1}{\rho}\frac{\tau_{N_L} - \tau_{N_L+1}}{\Delta z_{N_L}}. \end{align} \]

Hierbei ist $N_L$ die Anzahl der Schichten. Für den turbulenten Fluss an der Oberfläche notiert man nun

\[ \begin{align} \tau_{N_L+1} \hastobe \rho\frac{v_{N_L+1}}{r_M}. \end{align} \]

Dies ist die Definitionsgleichung für den Flusswiderstand des Impulses $r_M$. Hieraus erhält man also

\[ \begin{align} r_M = \rho\frac{v_{N_L+1}}{\tau_{N_L+1}}. \end{align} \]

Aus der Definitionsgleichung der Reibungsgeschwindigkeit Glg. (17.39) erhält man

\[ \begin{align} \tau_{N_L+1} = \rho u_\star^2. \end{align} \]

Darauf folgt

\[ \begin{align} r_M = \frac{v_{N_L+1}}{u_\star^2}. \end{align} \]

Bei indifferenter Schichtung gilt das logarithmische Windprofil nach Glg. (17.43), hieraus folgt

\[ \begin{align} r_M = \frac{u_\star}{ku_\star^2}\ln\left(\frac{z_{N_L+1}}{z_0}\right) = \frac{1}{ku_\star}\ln\left(\frac{z_{N_L+1}}{z_0}\right). \end{align} \]

Häufig werden auch die in Abschn. 17.9.3 behandelten Zusammenhänge im Rahmen der Konvektionsparametrisierungen abgehandelt.

17.10.1 Verdunstungsraten

An Wasseroberflächen findet Verdunstung statt. Für den Netto-Massenfluss in die Atmosphäre hinein gilt

\[ \begin{align} \text{Netto-Massenfluss} = \text{Verdunstung} - \text{Kondensation}. \end{align} \]

Ist der Dampfdruck gleich dem Sättigungsdampfdruck, heben sich die beiden Terme auf der rechten Seite gegenseitig auf und die Netto-Verdunstungsrate ist Null. Die genaue Berechnung der beiden Terme auf der rechten Seite für gegebene Bedingungen $\left(p_v, T\right)$ soll hier nicht besprochen werden. Für die Netto-Verdunstungsrate wird von nun an einfach der Begriff Verdunstungsrate $Q$ verwendet.

Es kann davon ausgegangen werden, dass in der laminaren Unterschicht die Luft gesättigt ist, da diese nur molekular-diffusiv und somit langsam mit der darüberliegenden Luft in Austausch steht. Wichtig für ein Atmosphärenmodell ist also die Frage

Die Antwort darauf ließe sich aus den Diffusionsgesetzen bestimmen, nach Mittelung treten jedoch turbulente Kovarianzterme auf, welche parametrisiert werden müssen.

Man notiert zunächst

\[ \begin{align} Q = \frac{\rho_v^{(s)} - \rho_v}{r_H}, \end{align} \]

hierbei ist $\rho_v^{(s)}$ die absolute Sättigugnsfeuchte bei der SST (sea surface temperature), $\rho_v$ die tatsächliche absolute Feuchte in der untersten Modellschicht und $r_H$ der Flusswiderstand der sensiblen Wärme.