C Orthogonale Funktionensysteme

Wenn sie vollständig sind, eignen sich orthogonale Funktionensysteme zur Entwicklung von Funktionen. Eine System aus Polynomen $f_n\left(x\right)$ mit $n\in\mathbb{N}$ und $\mathcal{O}\left(f_n\right) = n$ heißt orthogonal auf dem Intervall $\left[a, b\right]$ bezüglich der Funktion $w$, wenn für $n, m\in\mathbb{N}$ mit $n\not = m$ gilt

\[ \begin{align} \int_{a}^{b}w\left(x\right)f_n\left(x\right)f_m\left(x\right)dx = 0. \end{align} \]

Alle orthogonalen Polynomensysteme erfüllen eine Rodrigues-Formel

\[ \begin{align} f_n\left(x\right) = \frac{1}{e_nw\left(x\right)}\frac{d^n}{dx^n}\left[w\left(x\right)g\left(x\right)^n\right] \end{align} \]

mit einem Polynom $g\left(x\right)$, welches nicht von $n$ abhängt.

C.1 Komplexe Exponentialfunktionen

Die Entwicklung einer Funktion nach komplexen Exponentialfunktionen bezeichnet man als Fourier-Transformation (FT). Sei $f\left(x\right)$ eine komplexe Funktion einer reellen Variablen, dann definiert man die Fourier-Transformierte $\newtilde{F}_1\{f\} = \newtilde{f}\left(k\right)$ oder auch das Spektrum von $f$ durch

\[ \begin{align} \newtilde{F}_1\{f\} = \newtilde{f}\left(k\right) \coloneqq C\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-ikx\right)f\left(x\right)dx\tag{C.3}\label{eq:def_ft_1d} \end{align} \]

mit einer reellen Konstante $C > 0$. $\newtilde{F}_1$ bezeichnet den Operator der eindimensionalen Fourier-Transformation. Glg. (C.3) ist bis auf einen eventuellen Faktor die Kovarianz der Funktion $f$ mit der Fourier-Komponente $e^{ikx}$. Es gilt

\[ \begin{align} \newtilde{f}\left(k\right)^\star = C\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(ikx\right)f^\star\left(x\right)dx = \newtilde{f}^\star\left(-k\right). \end{align} \]

Ist $f$ reell, wird hieraus

\[ \begin{align} \newtilde{f}\left(k\right)^\star = \newtilde{f}\left(-k\right). \end{align} \]

Die inverse Fourier-Transformation wird definiert durch

\[ \begin{align} \newtilde{F}^{-1}_1\{f\} \coloneqq \newtilde{C}\int_{-\infty}^{\infty}\newtilde{f}\left(k\right)\exp\left(ikx\right)dk\tag{C.6}\label{eq:def_ft_1d_inv} \end{align} \]

mit einer zweiten Konstanten $\newtilde{C} > 0$. Es handelt sich um eine Linearkombination der $\newtilde{f}\left(k\right)$ mit den entsprechenden Wellen. Dass dies tatsächlich das Inverse von Glg. (C.3) ist, soll nun eingesehen werden:

\[ \begin{align} \newtilde{C}\int_{-\infty}^{\infty}\newtilde{f}\left(k\right)\exp\left(ikx\right)dk &= \newtilde{C}C\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-ikx'\right)f\left(x'\right)dx'\exp\left(ikx\right)dk\nonumber\\ &= \newtilde{C}C\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(ik\left(x - x'\right)\right)dkf\left(x'\right)dx'\nonumber\\ & \stackrel{\href{ch-39-herleitungen-einiger-mathematischer-form.html#eq:delta_distribution_prop_2}{\text{Glg. (A.84)}}}{=} \newtilde{C}C\int_{-\infty}^{\infty}2\pi\delta\left(x - x'\right)'f\left(x'\right)dx' = \newtilde{C}C2\pi f\left(x\right)\\ & \stackrel{\Leftrightarrow\newtilde{C}C = 1/2\pi}{=} & f\left(x\right)\tag{C.8}\label{eq:ft_deriv_0} \end{align} \]

Man muss also auf die Bedingung

\[ \begin{align} \newtilde{C} = \frac{1}{2\pi C}\tag{C.9}\label{eq:ft_norm} \end{align} \]

achten. Hieraus kann man unmittelbar

\[ \begin{align} \left[\newtilde{F}_1\{\delta\left(x - x_0\right)\}\right]\left(k\right) &= Ce^{-ikx_0},\\ \left[\newtilde{F}_1\{e^{ik'x}\}\right]\left(k\right) &= 2\pi C\delta\left(k' - k\right),\\ \left[\newtilde{F}^{-1}_1\{\delta\left(k - k_0\right)\}\right]\left(x\right) &= \newtilde{C}e^{ik_0x},\\ \left[\newtilde{F}^{-1}_1\{e^{ikx'}\}\right]\left(x\right) &= 2\pi\newtilde{C}\delta\left(x' + x\right) \end{align} \]

ableiten. Die Funktion

\[ \begin{align} \arg\left(\newtilde{f}\left(k\right)\right) \end{align} \]

bezeichnet man als das Phasenspektrum von $f$, während man

\[ \begin{align} \left|\newtilde{f}\left(k\right)\right| \end{align} \]

als Amplitudenspektrum bezeichnet. Das Quadrat von $\left|\newtilde{f}\left(k\right)\right|$ nennt man Leistungsspektrum oder Powerspektrum. Die FT ist linear, da sie in Termen eines Integrals definiert ist und die Integration linear ist. Für Funktionen $f, g$ und Konstanten $a, b$ gilt also

\[ \begin{align} \newtilde{F}\{af + bg\} = a\newtilde{F}\{f\} + b\newtilde{F}\{g\}. \end{align} \]

Sei $N\left(\mu, \sigma\right)$ die Normalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma.$ Dann gilt

\[ \begin{align} \newtilde{F}\{N\left(\mu, \sigma\right)\} &= \frac{C}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[-ikx - \frac{\left(x - \mu\right)^2}{2\sigma^2}\right]dx = \frac{C}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2}\left(x^2 + \mu^2 - 2x\left(\mu - ik\sigma^2\right)\right)\right]dx\nonumber\\ &= \frac{C}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2}\left(x - \left(\mu - ik\sigma^2\right)\right)^2 - \frac{1}{2\sigma^2}\left(k^2\sigma^4 + 2\mu i\sigma^2k\right)\right]dx\nonumber\\ &= \exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2}\left(k^2\sigma^4 + 2\mu i\sigma^2k\right)\right]\frac{C}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2}x^2\right]dx\nonumber\\ &= C\exp\left(-\frac{k^2}{2/\sigma^2}\right)\exp\left(-\mu ik\right). \end{align} \]

Die FT einer Normalverteilung ist also eine unnormierte (man betrachte den Fall $C = 1/\sqrt{2\pi}$) und um einen komplexen Phasenfaktor modifizierte Normalverteilung mit Mittelwert

\[ \begin{align} \mu_k = 0 \end{align} \]

und Standardabweichung

\[ \begin{align} \sigma_k = \frac{1}{\sigma} \end{align} \]

Die FT macht also aus einer schmalen Normalverteilung eine breite. Im Fall einer komplexwertigen Funktion $f\left(x, y\right)$ zweier reeller Variablen betrachtet man zunächst die Hilfsfunktion

\[ \begin{align} f_y\left(x\right) \coloneqq f\left(x, y\right). \end{align} \]

Die FT hiervon ist

\[ \begin{align} \newtilde{f}_y\left(k_x\right) = C\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_xx}f_y\left(x\right)dx. \end{align} \]

Wendet man hierauf die inverse FT an, erhält man wieder $f_y\left(x\right) = f\left(x, y\right)$. Definiere nun die Fourier-Transformierte $\newtilde{f}\left(k_x, k_y\right)$ der Funktion $f\left(x, y\right)$ durch die in y-Richtung Fourier-Transformierte von $\newtilde{f}_y\left(k_x\right)$, also

\[ \begin{align} \newtilde{f}\left(k_x, k_y\right) &\coloneqq C\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_yy}\newtilde{f}_y\left(k_x\right)dy = C^2\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_yy}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_xx}f\left(x, y\right)dxdy\nonumber\\ &= C^2\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\left(k_xx + k_yy\right)}f\left(x, y\right)dxdy. \end{align} \]

Zweimaliges Anwenden der inversen FT liefert die Funktion $f\left(x, y\right).$ $x$ ist in der Herleitung nicht vor $y$ ausgezeichnet, weshalb die Reihenfolge der Anwendung der FT keine Rolle spielt. Man notiert

\[ \begin{align} \newtilde{F}_2\{f\} &= \newtilde{f}\left(k_x, k_y\right) \coloneqq C_2\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\left(k_xx + k_yy\right)}f\left(x, y\right)dxdy,\\ \newtilde{F}^{-1}_2\{f\} &\coloneqq \newtilde{C}_2\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\newtilde{f}\left(k_x, k_y\right)e^{i\left(k_xx + k_yy\right)}dk_xdk_y, \end{align} \]

wobei

\[ \begin{align} C_2\newtilde{C}_2 = \left(C\newtilde{C}\right)^2 = \frac{1}{\left(2\pi\right)^2} \end{align} \]

gelten muss. Führt man dies induktiv fort, erhält man analog die $n-$dimensionale FT, wobei auf

\[ \begin{align} C_n\newtilde{C}_n = \left(C\newtilde{C}\right)^n = \frac{1}{\left(2\pi\right)^n} \end{align} \]

zu achten ist.

Glg. (C.8) lautet

\[ \begin{align} f\left(x\right) &= \newtilde{C}\int_{-\infty}^{\infty}\newtilde{f}\left(k\right)\exp\left(ikx\right)dk, \end{align} \]

überträgt man dies auf eine analog definierte Funktion $g$, erhält man

\[ \begin{align} g\left(x\right) &= \newtilde{C}\int_{-\infty}^{\infty}\newtilde{g}\left(k'\right)\exp\left(ik'x\right)dk'. \end{align} \]

Multipliziert man die beiden letzten Gleichungen miteinander, erhält man

\[ \begin{align} f\left(x\right)g\left(x\right) &= \newtilde{C}^2\int_{k=-\infty}^{\infty}\int_{k'=-\infty}^{\infty}\newtilde{g}\left(k'\right)\newtilde{f}\left(k\right)\exp\left[i\left(k + k'\right)x\right]dk'dk. \end{align} \]

Integriert man dies über $x$, erhält man

\[ \begin{align} \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)g\left(x\right)dx &= \newtilde{C}^2\int_{k = -\infty}^{\infty}\int_{k'=-\infty}^{\infty}\newtilde{g}\left(k'\right)\newtilde{f}\left(k\right)\int_{-\infty}^\infty\exp\left[i\left(k + k'\right)x\right]dxdk'dk\nonumber\\ & \stackrel{\href{ch-39-herleitungen-einiger-mathematischer-form.html#eq:delta_distribution_prop_2}{\text{Glg. (A.84)}}}{=} \newtilde{C}^2\int_{k = -\infty}^{\infty}\int_{k'=-\infty}^{\infty}\newtilde{g}\left(k'\right)\newtilde{f}\left(k\right)2\pi\delta\left(k + k'\right)dk'dk\nonumber\\ &= 2\pi\newtilde{C}^2\int_{-\infty}^{\infty}\newtilde{g}\left(-k\right)\newtilde{f}\left(k\right)dk \end{align} \]

Für $g = f$ erhält man die sogenannte Parseval-Identität

C.1.1 Faltungstheorem

Seien $f$, $g$ zwei stetig differenzierbare Funktionen $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Die Fourier-Transformationen dieser beiden Funktionen lauten

\[ \begin{align} \newtilde{f}\left(k\right) = C\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-ikx\right)f\left(x\right)dx, & {} & \newtilde{g}\left(k\right) = C\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-ikx\right)g\left(x\right)dx. \end{align} \]

Definiere die stetig differenzierbare Funktion $h$ durch

\[ \begin{align} h\left(x\right) = f\left(x\right)g\left(x\right). \end{align} \]

Beim sogenannten Faltungstheorem geht es darum, wie die Fourier-Transformierte von $h$ mit den Fourier-Transformierten von $f$ und $g$ zusammenhängt. Für das Spektrum von $h$ gilt

\[ \begin{align} \newtilde{h}\left(k\right) &= C^2\int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)g\left(x\right)\exp\left(-ikx\right)dx.\tag{C.34}\label{eq:faltung_deriv_0} \end{align} \]

Drückt man $f$ und $g$ durch ihre Spektren aus, erhält man

\[ \begin{align} f\left(x\right) = \newtilde{C}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(ikx\right)f\left(k\right)dk, & {} & g\left(x\right) = \newtilde{C}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(ikx\right)g\left(k\right)dk. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (C.34) ein, erhält man

\[ \begin{align} \newtilde{h}\left(k\right) &= C^2\int_{x = -\infty}^\infty\newtilde{C}\int_{k' = -\infty}^{\infty}\exp\left(ik'x\right)f\left(k'\right)dk'\newtilde{C}\int_{k' = -\infty}^{\infty}\exp\left(ik'x\right)g\left(k'\right)dk'\exp\left(-ikx\right)dx\nonumber\\ &= \frac{1}{4\pi^2}\int_{x = -\infty}^\infty\int_{k' = -\infty}^{\infty}\exp\left(ik'x\right)\newtilde{f}\left(k'\right)dk'\int_{k' = -\infty}^{\infty}\exp\left(ik'x\right)\newtilde{g}\left(k'\right)dk'\exp\left(-ikx\right)dx\nonumber\\ &= \frac{1}{4\pi^2}\int_{x = -\infty}^\infty\int_{k' = -\infty}^{\infty}\exp\left(ik'x\right)\newtilde{f}\left(k'\right)dk'\int_{k'' = -\infty}^{\infty}\exp\left(ik''x\right)\newtilde{g}\left(k''\right)dk''\exp\left(-ikx\right)dx\nonumber\\ &= \frac{1}{4\pi^2}\int_{k' = -\infty}^\infty\int_{k'' = -\infty}^{\infty}\newtilde{f}\left(k'\right)\newtilde{g}\left(k''\right)\int_{x = -\infty}^{\infty}\exp\left(ik'x\right)\exp\left(ik''x\right)\exp\left(-ikx\right)dk''dk'dx\nonumber\\ &= \frac{1}{4\pi^2}\int_{k' = -\infty}^\infty\int_{k'' = -\infty}^{\infty}\newtilde{f}\left(k'\right)\newtilde{g}\left(k''\right)\int_{x = -\infty}^{\infty}\exp\left[i\left(k' + k'' - k\right)x\right]dk''dk'dx\nonumber\\ & \stackrel{\href{ch-39-herleitungen-einiger-mathematischer-form.html#eq:delta_distribution_prop_2}{\text{Glg. (A.84)}}}{=} \frac{1}{4\pi^2}\int_{k' = -\infty}^\infty\int_{k'' = -\infty}^{\infty}\newtilde{f}\left(k'\right)\newtilde{g}\left(k''\right)\int_{x = -\infty}^{\infty}2\pi\delta\left(k' + k'' - k\right)dk''dk'\nonumber\\ & \stackrel{k'' = k - k'}{=} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\newtilde{f}\left(k'\right)\newtilde{g}\left(k - k'\right)dk'. \end{align} \]

Die Aussage

bezeichnet man als Faltungstheorem. Der Spezialfall

\[ \begin{align} g = \frac{f}{2} \end{align} \]

entspricht der kinetischen Energie. In diesem Fall erhält man

\[ \begin{align} \newtilde{h}\left(k\right) = \frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty\newtilde{f}\left(k'\right)\newtilde{f}\left(k - k'\right)dk' \not= \pi\newtilde{C}^2\newtilde{f}\left(-k\right)\newtilde{f}\left(k\right). \end{align} \]

Nun ist die Frage, ob man $\newtilde{h}\left(k\right)$ oder $\newtilde{f}\left(-k\right)\newtilde{f}\left(k\right)$ als kinetisches Energiespektrum ansieht, wie es die Parseval-Identität Glg. (C.31) nahelegt. Man entscheidet sich für zweiteres, weil $\newtilde{f}\left(-k\right)\newtilde{f}\left(k\right)$ ausschließlich von Bewegungen der Wellenzahl $k$ abhängt, was bei $\newtilde{h}\left(k\right)$ nicht der Fall ist.

C.2 Legendre-Polynome

Glg. (D.50) heißt Legendre'sche Differenzialgleichung. Diese lautet:

\[ \begin{align} \frac{d}{d\mu}\left(1 - \mu^2\right)P'\left(\mu\right) = -\lambda P \end{align} \]

Man setzt für $P\left(\mu\right)$ an

\[ \begin{align} P\left(\mu\right) = \sum_{i = 0}^{\infty}U_i\mu^i, \end{align} \]

damit gilt

\[ \begin{align} P'\left(\mu\right) &= \sum_{i = 0}^{\infty}iU_i\mu^{i - 1} = \sum_{i = 0}^{\infty}\left(i + 1\right)U_{i + 1}\mu^i,\\ P''\left(\mu\right) &= \sum_{i = 0}^{\infty}i\left(i - 1\right)U_i\mu^{i - 2} = \sum_{i = 0}^{\infty}\left(i + 2\right)\left(i + 1\right)U_{i + 2}\mu^i. \end{align} \]

Setzt man dies in

\[ \begin{align} - 2\mu P'\left(\mu\right) + \left(1 - \mu^2\right)P''\left(\mu\right) = -\lambda P\left(\mu\right) \end{align} \]

ein, erhält man

\[ \begin{align} - 2\sum_{i = 0}^{\infty}iU_i\mu^i + \sum_{i = 0}^{\infty}\left(i + 2\right)\left(i + 1\right)U_{i + 2}\mu^i - \sum_{i = 0}^{\infty}i\left(i - 1\right)U_i\mu^i &= - \lambda\sum_{i = 0}^{\infty}U_i\mu^i\nonumber\\ \Leftrightarrow - 2iU_i+ \left(i + 2\right)\left(i + 1\right)U_{i + 2} - i\left(i - 1\right) &= -\lambda U_i\nonumber\\ \Leftrightarrow U_{i + 2} &= U_i\frac{i\left(i + 1\right) - \lambda}{\left(i + 2\right)\left(i + 1\right)}.\tag{C.45}\label{eq:legendre_iterativ} \end{align} \]

Im Allgemeinen geht dies für $i\to\infty$ nicht gegen Null, sodass $P$ divergieren würde. Es muss also ein $n\in\mathbb{N}$ geben mit $\lambda = n\left(n + 1\right)$, dies ist eine Bedingung an $\lambda$. Zusätzlich muss man $U_{n + 1} = 0$ setzen. $P\left(\mu\right)$ ist also ein Polynom $n-$ter Ordnung in $\mu$, wobei $n$ beliebig ist, man schreibt für dieses Legendre-Polynom $P_n\left(\mu\right)$. Über Glg. (C.45) und eine Normierung ist $P_n\left(\mu\right)$ festgelegt. Alternativ kann man die Legendre-Polynome schreiben als

\[ \begin{align} P_n\left(x\right) = \frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}\left(x^2 - 1\right)^n, \tag{C.46}\label{eq:legendre_poly_formel} \end{align} \]

dies ist nun zu zeigen. Definiere

\[ \begin{align} \delta_k \coloneqq \begin{cases} 0, k\:\text{ungerade},\\ 1, k\:\text{gerade}. \end{cases} \end{align} \]

Nun kann man den binomischen Lehrsatz Glg. (A.17) verwenden, um

\[ \begin{align} \left(x^2 - 1\right)^n = \sum_{k = 0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right)x^{2k}\left(-1\right)^{n - k} = \sum_{k = 0}^{2n}\delta_k\left(\begin{array}{c} n\\ k/2 \end{array}\right)x^k\left(-1\right)^{n - k/2}\tag{C.48}\label{eq:gen_bin_formula_legendre} \end{align} \]

zu notieren, damit folgt für die obige Schreibweise der Legendre-Polynome Glg. (C.46) mit Glg. (A.34)

\[ \begin{align} P_n\left(x\right) &= \frac{1}{2^nn!}\sum_{k = 0}^{n}\frac{\left(k + n\right)!}{k!}\left(\begin{array}{c} n\\ \frac{k + n}{2} \end{array}\right)\left(-1\right)^{n - \frac{k + n}{2}}\delta_{k + n}x^k\nonumber\\ &= \frac{1}{2^nn!}\sum_{k = 0}^{n}\frac{\left(n + k\right)!}{k!}\frac{n!}{\left(\frac{n + k}{2}\right)!\left(n - \frac{n + k}{2}\right)!}\left(-1\right)^{n - \frac{k + n}{2}}\delta_{n + k}x^k\nonumber\\ &= \frac{1}{2^n}\sum_{k = 0}^{n}\frac{\left(n + k\right)!}{k!}\frac{1}{\left(\frac{n + k}{2}\right)!\left(\frac{n - k}{2}\right)!}\left(-1\right)^{\frac{n - k}{2}}\delta_{n + k}x^k. \end{align} \]

Für die ersten beiden Ableitungen der Legendre-Polynome folgt

\[ \begin{align} P_n'\left(x\right) &= \frac{1}{2^n}\sum_{k = 0}^{n - 1}\left(k + 1\right)\frac{\left(n + k + 1\right)!}{\left(k + 1\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n + k + 1}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k - 1}{2}\right)!}\left(-1\right)^{\frac{n - k - 1}{2}}\delta_{n + k + 1}x^k\nonumber\\ &= \frac{1}{2^n}\sum_{k = 0}^{n - 1}\frac{\left(n + k + 1\right)!}{k!}\frac{1}{\left(\frac{n + k + 1}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k - 1}{2}\right)!}\left(-1\right)^{\frac{n - k - 1}{2}}\delta_{n + k + 1}x^k,\\ P_n''\left(x\right) &= \frac{1}{2^n}\sum_{k = 0}^{n - 2}\left(k + 1\right)\frac{\left(n + k + 2\right)!}{\left(k + 1\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n + k + 2}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k - 2}{2}\right)!}\left(-1\right)^{\frac{n - k - 2}{2}}\delta_{n + k + 2}x^k\nonumber\\ &= \frac{1}{2^n}\sum_{k = 0}^{n - 2}\frac{\left(n + k + 2\right)!}{k!}\frac{1}{\left(\frac{n + k + 2}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k - 2}{2}\right)!}\left(-1\right)^{\frac{n - k - 2}{2}}\delta_{n + k}x^k\nonumber\\ &= \frac{1}{2^n}\sum_{k = 0}^{n - 2}\frac{\left(n + k + 2\right)!}{k!}\frac{1}{\left(\frac{n + k}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n + k}{2} + 1\right)}\frac{\left(\frac{n - k}{2}\right)}{\left(\frac{n - k}{2}\right)!}\left(-1\right)^{\frac{n - k - 2}{2}}\delta_{n + k}x^k\nonumber\\ &= \frac{1}{2^n}\sum_{k = 0}^{n - 2}\frac{1}{\left(\frac{n + k}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k}{2}\right)!}\frac{\left(n + k + 1\right)!}{k!}\left(n - k\right)\left(-1\right)^{\frac{n - k - 2}{2}}\delta_{n + k}x^k. \end{align} \]

Nun wird gezeigt, dass die Legendre-Polynome nach Glg. (C.46) in der Tat die Legendredifferenzialgleichung (D.50) lösen:

\[ \begin{align} & - 2xP_n'\left(x\right) + \left(1 - x^2\right)P_n''\left(x\right)\hastobe - n\left(n + 1\right)P_n\left(x\right)\nonumber\\ &\Leftrightarrow -2x\frac{1}{2^n}\sum_{k = 0}^{n - 1}\frac{\left(n + k + 1\right)!}{k!}\frac{1}{\left(\frac{n + k + 1}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k - 1}{2}\right)!}\left(-1\right)^{\frac{n - k - 1}{2}}\delta_{n + k + 1}x^k\nonumber\\ & + \frac{1}{2^n}\sum_{k = 0}^{n - 2}\frac{1}{\left(\frac{n + k}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k}{2}\right)!}\frac{\left(n + k + 1\right)!}{k!}\left(n - k\right)\left(-1\right)^{\frac{n - k - 2}{2}}\delta_{n + k}x^k\nonumber\\ & - \frac{1}{2^n}\sum_{k = 0}^{n - 2}\frac{\left(n + k + 2\right)!}{k!}\frac{1}{\left(\frac{n + k + 2}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k - 2}{2}\right)!}\left(-1\right)^{\frac{n - k - 2}{2}}\delta_{n + k}x^{k + 2}\nonumber\\ &= -n\left(n + 1\right)\frac{1}{2^n}\sum_{k = 0}^{n}\frac{\left(n + k\right)!}{k!}\frac{1}{\left(\frac{n + k}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k}{2}\right)!}\left(-1\right)^{\frac{n - k}{2}}\delta_{n + k}x^k\nonumber\\ &\Leftrightarrow -2\sum_{k = 0}^{n}k\frac{\left(n + k\right)!}{k!}\frac{1}{\left(\frac{n + k}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k}{2}\right)!}\left(-1\right)^{\frac{n - k}{2}}\delta_{n + k}x^k\nonumber\\ & + \sum_{k = 0}^{n - 2}\frac{1}{\left(\frac{n + k}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k}{2}\right)!}\frac{\left(n + k + 1\right)!}{k!}\left(n - k\right)\left(-1\right)^{\frac{n - k - 2}{2}}\delta_{n + k}x^k\nonumber\\ & - \sum_{k = 0}^{n}k\left(k - 1\right)\frac{\left(n + k\right)!}{k!}\frac{1}{\left(\frac{n + k}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k}{2}\right)!}\left(-1\right)^{\frac{n - k}{2}}\delta_{n + k}x^k\nonumber \end{align} \] \[ \begin{align} &= -n\left(n + 1\right)\sum_{k = 0}^{n}\frac{\left(n + k\right)!}{k!}\frac{1}{\left(\frac{n + k}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k}{2}\right)!}\left(-1\right)^{\frac{n - k}{2}}\delta_{n + k}x^k\nonumber\\ &\Leftrightarrow -2\sum_{k = 0}^{n}k\frac{\left(n + k\right)!}{k!}\frac{1}{\left(\frac{n + k}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k}{2}\right)!}\left(-1\right)^{\frac{n - k}{2}}\delta_{n + k}x^k\nonumber\\ & - \sum_{k = 0}^{n - 2}\frac{1}{\left(\frac{n + k}{2}\right)!\left(\frac{n - k}{2}\right)!}\frac{\left(n + k\right)!}{k!}\left(n + k + 1\right)\left(n - k\right)\left(-1\right)^{\frac{n - k}{2}}\delta_{n + k}x^k\nonumber\\ & - \sum_{k = 0}^{n}k\left(k - 1\right)\frac{\left(n + k\right)!}{k!}\frac{1}{\left(\frac{n + k}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k}{2}\right)!}\left(-1\right)^{\frac{n - k}{2}}\delta_{n + k}x^k\nonumber\\ &= -n\left(n + 1\right)\sum_{k = 0}^{n}\frac{\left(n + k\right)!}{k!}\frac{1}{\left(\frac{n + k}{2}\right)!}\frac{1}{\left(\frac{n - k}{2}\right)!}\left(-1\right)^{\frac{n - k}{2}}\delta_{n + k}x^k \end{align} \]

Man zeigt die Gleichheit der Koeffizienten der drei Polynome. Von $k = 0$ bis $k = n - 2$ bedeutet dies

\[ \begin{align} 2k + n^2 - nk + kn - k^2 + n - k + k^2 - k&\hastobe&n^2 + n, \end{align} \]

was stimmt. Für $k = n - 1$ gilt

\[ \begin{align} \delta_{n + k} = 0, \end{align} \]

und für $k = n$ gilt

\[ \begin{align} -2n - n\left(n - 1\right)\hastobe - n\left(n + 1\right), \end{align} \]

was ebenfalls stimmt. Nun wird die Normierung der Legendre-Polynome auf der für dieses Problem relevanten Menge $\left[-1, 1\right]$ bestimmt.

\[ \begin{align} \int_{-1}^{1}P_n^2\left(x\right)dx &= \frac{1}{2^{2n}n!^2}\int_{-1}^{1}\frac{d^n}{dx^n}\left(x^2 - 1\right)^n\frac{d^n}{dx^n}\left(x^2 - 1\right)^ndx\nonumber\\ &\stackrel{n-\text{fache p.I.}}{=} \frac{1}{2^{2n}n!^2}\left(-1\right)^n\int_{-1}^{1}\left(x^2 - 1\right)^n\frac{d^{2n}}{dx^{2n}}\left(x^2 - 1\right)^ndx\nonumber\\ &= \frac{1}{2^{2n}n!^2}\left(-1\right)^n\left(2n\right)!\int_{-1}^{1}\left(x^2 - 1\right)^ndx \end{align} \]

Es gilt weiter

\[ \begin{align} \int_{}^{}\left(x^2 - 1\right)^ndx &= \int\left(x + 1\right)^n\left(x - 1\right)^ndx\stackrel{n\text{ - fache}\:\text{p.I}.}{=}\left(-1\right)^n\int\frac{n!\left(x + 1\right)^{2n}}{\left(2n\right)!}n!dx\nonumber\\ &= \left(-1\right)^n\frac{n!^2}{\left(2n\right)!}\int\left(x + 1\right)^{2n}dx = \left(-1\right)^n\frac{n!^2}{\left(2n\right)!}\left[\frac{\left(x + 1\right)^{2n + 1}}{2n + 1}\right], \end{align} \]

damit folgt

\[ \begin{align} \int_{-1}^{1}P_n^2\left(x\right)dx = \frac{1}{2^{2n}n!^2}\left(-1\right)^{n}\left(2n\right)!\frac{1}{\left(2n\right)!}\left(-1\right)^nn!^2\frac{2^{2n + 1}}{2n + 1} = \frac{2}{2n + 1}. \end{align} \]

Nun wird die Orthogonalität der Legendre-Polynome gezeigt, seien $n, m\in\mathbb{N}$ mit $n \not = m$, dann gilt

\[ \begin{align} \frac{d}{dx}\left[\left(1 - x^2\right)\frac{d}{dx}\right]P_n\left(x\right) = -n\left(n + 1\right)P_n\left(x\right) \end{align} \]

und analog für $m$. Man rechnet

\[ \begin{align} \int_{-1}^{1}P_m\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[\left(1 - x^2\right)\frac{d}{dx}\right]P_n\left(x\right)dx = -\int_{-1}^{\left(1\right)}P_m'\left(x\right)\left(1 - x^2\right)P_n'\left(x\right)dx \end{align} \]

sowie

\[ \begin{align} \int_{-1}^{1}P_n\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[\left(1 - x^2\right)\frac{d}{dx}\right]P_m\left(x\right)dx = -\int_{-1}^{1}P_n'\left(x\right)\left(1 - x^2\right)P_m'\left(x\right)dx, \end{align} \]

außerdem gelten

\[ \begin{align} \int_{-1}^{1}P_m\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[\left(1 - x^2\right)\frac{d}{dx}\right]P_n\left(x\right)dx &= -n\left(n + 1\right)\int_{-1}^{1}P_m\left(x\right)P_n\left(x\right)dx,\\ \int_{-1}^{\left(1\right)}P_n\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[\left(1 - x^2\right)\frac{d}{dx}\right]P_m\left(x\right)\left(x\right)dx &= -m\left(m + 1\right)\int_{-1}^{1}P_n\left(x\right)P_m\left(x\right)dx. \end{align} \]

Damit ist

\[ \begin{align} -n\left(n + 1\right)\int_{-1}^{1}P_m\left(x\right)P_n\left(x\right)dx = -m\left(m + 1\right)\int_{-1}^{\left(1\right)}P_n\left(x\right)P_m\left(x\right)dx \end{align} \]

und wegen $n\not = m$ ist

\[ \begin{align} \int_{-1}^{1}P_n\left(x\right)P_m\left(x\right)dx = 0. \end{align} \]

Damit ist zusammengefasst

\[ \begin{align} \int_{-1}^{1}P_n\left(x\right)P_m\left(x\right)dx = \frac{2}{2n + 1}\delta_{mn}. \end{align} \]

Nun soll

\[ \begin{align} \left(2l + 1\right)xP_l\left(x\right) = \left(l + 1\right)P_{l + 1}\left(x\right) + lP_{l - 1}\left(x\right)\tag{C.67}\label{eq:legendre_poly_prop_1} \end{align} \]

gezeigt werden. Zunächst macht man sich klar, dass auf der linken wie auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens Polynome vom Grad $l + 1$ stehen mit jeweils nur geraden oder ungeraden Potenzen. Man schreibt

\[ \begin{align} P_l\left(x\right) = \frac{1}{2^l}\frac{d^l}{dx^l}\sum_{k = 0}^{l}\frac{1}{k!\left(l - k\right)!}x^{2k}\left(-1\right)^{l - k} = \frac{1}{2^l}\sum_{k = \left(\frac{l}{2}\right)_ + }^{l}\frac{1}{k!\left(l - k\right)!}\frac{\left(2k\right)!}{\left(2k - l\right)!}x^{2k - l}\left(-1\right)^{l - k}, \end{align} \]

dabei ist $\left(\frac{l}{2}\right)_ + $ die kleinste natürliche Zahl $\geq\frac{l}{2}$. Daraus folgen

\[ \begin{align} \left(2l + 1\right)xP_l\left(x\right) &= \frac{2l + 1}{2^l}\sum_{k = \left(\frac{l}{2}\right)_ + }^{l}\frac{1}{k!\left(l - k\right)!}\frac{\left(2k\right)!}{\left(2k - l\right)!}x^{2k - l + 1}\left(-1\right)^{l - k},\\ \left(l + 1\right)P_{l + 1}\left(x\right) &= -\frac{1}{2^l2}\sum_{k = \left(\frac{l + 1}{2}\right)_ + }^{l + 1}\frac{l + 1}{k!\left(l + 1 - k\right)!}\frac{\left(2k\right)!}{\left(2k - l - 1\right)!}x^{2k - l - 1}\left(-1\right)^{l - k}\\ &= \frac{l + 1}{2^l}\sum_{k = \left(\frac{l - 1}{2}\right)_ + }^{l}\frac{\left(2k + 1\right)}{k!\left(l - k\right)!}\frac{\left(2k\right)!}{\left(2k - l + 1\right)!}x^{2k - l + 1}\left(-1\right)^{l - k}\\ P_{l - 1}\left(x\right) &= -\frac{2l}{2^l}\sum_{k = \left(\frac{l - 1}{2}\right)_ + }^{l - 1}\frac{1}{k!\left(l - 1 - k\right)!}\frac{\left(2k\right)!}{\left(2k - l + 1\right)!}x^{2k - l + 1}\left(-1\right)^{l - k}. \end{align} \]

Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn all ihre Koeffizienten gleich sind.

\[ \begin{align} 4kl - 2l^2 + l + 2k + 1 &= 4kl + l + 2k + 1 - 2l^2\nonumber\\ \Leftrightarrow\left(2l + 1\right)\left(2k - l + 1\right) &= \left(l + 1\right)\left(2k + 1\right) - \left(l - k\right)2l\\ \Leftrightarrow\frac{2l + 1}{l - k}\frac{2k - l + 1}{2k - l + 1} &= \frac{l + 1}{l - k}\frac{2k + 1}{2k - l + 1} - \frac{l - k}{l - k}\frac{2l}{2k - l + 1}\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{2l + 1}{l - k} &= \frac{l + 1}{l - k}\frac{2k + 1}{2k - l + 1} - \frac{2l}{2k - l + 1} \end{align} \]

Nun müssen noch die unteren und die oberen Grenzen der Summen untersucht werden. Für $k = l$ erhält man

\[ \begin{align} 2l + 1 = \left(l + 1\right)\frac{2l + 1}{2l - l + 1}. \end{align} \]

Bei der unteren Grenze muss man eine Fallunterscheidung machen. Ist $l$ gerade, ist alles gezeigt. Für $l$ ungerade rechnet man

\[ \begin{align} \left(l + 1\right)\frac{l}{l - \frac{l - 1}{2}} - 2l &= 0. \end{align} \]

Für $l = 0$ gilt die Aussage ebenfalls. Damit ist Glg. (C.67) gezeigt. Aus dieser Gleichung folgt weiter

\[ \begin{align} \cos\left(\theta\right)P_l\left(\cos\left(\theta\right)\right) &= \frac{l + 1}{2l + 1}P_{l + 1}\left(\cos\left(\theta\right)\right) + \frac{l}{2l + 1}P_{l - 1}\left(\cos\left(\theta\right)\right).\tag{C.77}\label{eq:legendre_poly_prop_2} \end{align} \]

Nun soll noch die Lösung von Glg. (D.48) für $m\not = 0$ besprochen werden. Diese DGL lautete

\[ \begin{align} \frac{d}{d\mu}\left(1 - \mu^2\right)P'\left(\mu\right) = P\left(-\lambda + \frac{m^2}{1 - \mu^2}\right).\tag{C.78}\label{eq:legendre_vorform_2} \end{align} \]

Mit dem Ansatz

\[ \begin{align} P\left(\mu\right) = \left(1 - \mu^2\right)^{m/2}T\left(\mu\right)\tag{C.79}\label{eq:ansatz_legendre_2} \end{align} \]

erhält man

\[ \begin{align} P'\left(\mu\right) &= -\mu m\left(1 - \mu^2\right)^{m/2 - 1}T\left(\mu\right) + \left(1 - \mu^2\right)^{m/2}T'\left(\mu\right),\\ \left(1 - \mu^2\right)P'\left(\mu\right) &= -\mu m\left(1 - \mu^2\right)^{m/2}T\left(\mu\right) + \left(1 - \mu^2\right)^{m/2 + 1}T'\left(\mu\right). \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (C.78) ein, erhält man

\[ \begin{align} - m\left(1 - \mu^2\right)^{m/2}T\left(\mu\right) + \mu^2m^2\left(1 - \mu^2\right)^{m/2 - 1}T\left(\mu\right) &- 2\mu\left(m + 1\right)\left(1 - \mu^2\right)^{m/2}T'\left(\mu\right)\nonumber\\ + \left(1 - \mu^2\right)^{m/2 + 1}T''\left(\mu\right) = -\lambda\left(1 - \mu^2\right)^{m/2}T\left(\mu\right) &+ m^2\left(1 - \mu^2\right)^{m/2 - 1}T\left(\mu\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow -mT\left(\mu\right) + \mu^2m^2\left(1 - \mu^2\right)^{-1}T\left(\mu\right) &- 2\mu\left(m + 1\right)T'\left(\mu\right) + \left(1 - \mu^2\right)T''\left(\mu\right)\nonumber\\ &= -\lambda T\left(\mu\right) + m^2\left(1 - \mu^2\right)^{-1}T\left(\mu\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\left(1 - \mu^2\right)T''\left(\mu\right) - 2\mu\left(m + 1\right)T'\left(\mu\right) &= \left(-\lambda + m + m^2\frac{1 - \mu^2}{1 - \mu^2}\right)T\left(\mu\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\left(1 - \mu^2\right)T''\left(\mu\right) - 2\mu\left(m + 1\right)T'\left(\mu\right) &= \left(-\lambda + m\left(m + 1\right)\right)T\left(\mu\right).\tag{C.82}\label{eq:legendre_umgeformt} \end{align} \]

Es wird wieder ein Potenzreihenansatz

\[ \begin{align} T\left(\mu\right) = \sum_{i = 0}^{\infty}a_i\mu^i \end{align} \]

gemacht. Man benötigt folgende Schreibweisen für die ersten beiden Ableitungen:

\[ \begin{align} T'\left(\mu\right) &= \sum_{i = 1}^{\infty}ia_{i}\mu^{i - 1}\\ T''\left(\mu\right) &= \sum_{i = 0}^{\infty}\left(i + 2\right)\left(i + 1\right)a_{i + 2}\mu^i\\ T''\left(\mu\right) &= \sum_{i = 2}^{\infty}i\left(i - 1\right)a_i\mu^{i - 2} \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (C.82) ein, erhält man wieder eine Rekursionsformel:

\[ \begin{align} \left(i + 2\right)\left(i + 1\right)a_{i + 2} - i\left(i - 1\right)a_i - 2\left(m + 1\right)ia_i &= \left(-\lambda + m\left(m + 1\right)\right)a_i\nonumber\\ \Leftrightarrow a_{i + 2} = a_i\frac{ - \lambda + \left(m + 2i\right)\left(m + 1\right) + i\left(i - 1\right)}{\left(i + 2\right)\left(i + 1\right)} &= a_i\frac{ - \lambda + \left(i + m + 1\right)\left(i + m\right)}{\left(i + 2\right)\left(i + 1\right)} \end{align} \]

Da dies für hohe $i$ nicht gegen Null geht, muss dies irgendwo abbrechen. Es muss also ein $I\in\mathbb{N}$ geben mit

\[ \begin{align} \lambda = \left(I + m + 1\right)\left(I + m\right). \end{align} \]

$\lambda$ ist als Produkt zweier ganzer Zahlen ebenfalls eine ganze Zahl, außerdem ist $\lambda$ nicht negativ, da die beiden Faktoren keine unterschiedlichen Vorzeichen haben können. Es gibt also ein $l\in\mathbb{N}$ mit

\[ \begin{align} \lambda = l\left(l + 1\right). \end{align} \]

Damit ist

\[ \begin{align} l = I + m. \end{align} \]

Da gilt $l, I\geq 0$, ist $m\leq l$. Da $m< - l$ auf die gleiche DGL führt wie $-m > l$ und hierfür keine Lösungen existieren, existieren auch keine Lösungen für $m< - l$. Man hat also

\[ \begin{align} \lambda = l\left(l + 1\right), & {} & l = 0, 1, 2, 3, \dotsc, & {} & m = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dotsc, \pm l. \end{align} \]

Durch Vergleich mit Glg. (C.79) sieht man, dass $m + I = l$ auch der Grad von $P\left(\mu\right)$ ist. Die Lösungen $T = T_{l, m}$ sind also festgelegt durch zwei natürliche Zahlen $l, m$.

Nun soll noch eine geschlossene Form für die $T_{l, m}$ hergeleitet werden. Die $T_{l, m}$ erfüllen die DGL

\[ \begin{align} \frac{d}{d\mu}\left(1 - \mu^2\right)T_{l, m}'\left(\mu\right) &= 2\mu mT_{l, m}'\left(\mu\right) + \left(m\left(m + 1\right) - \lambda\right)T_{l, m}\left(\mu\right).\tag{C.92}\label{eq:dgl_ass_leg_herl} \end{align} \]

Für $m = 0$ sind die Lösungen die bekannten Legendre-Polynome $P_l\left(\mu\right)$ Glg. (C.46). Ist die Lösung $T_{l, m}\left(\mu\right)$ bekannt und ist $m

\[ \begin{align} T_{l, m + 1}\left(\mu\right) = \frac{d}{d\mu}T_{l, m}\left(\mu\right). \end{align} \]

Um dies zu zeigen leitet man zunächst Glg. (C.92) ab:

\[ \begin{align} & -2T_{l, m}'\left(\mu\right) - 4\mu T_{l, m}''\left(\mu\right) + \left(1 - \mu^2\right)T_{l, m}'''\left(\mu\right) = 2mT_{l, m}'\left(\mu\right) + 2\mu mT_{l, m}''\left(\mu\right) + \left(m\left(m + 1\right) - \lambda\right)T_{l, m}'\left(\mu\right)\nonumber\\ &\Leftrightarrow -2\mu T_{l, m}''\left(\mu\right) + \left(1 - \mu^2\right)T_{l, m}'''\left(\mu\right)\nonumber\\ &= 2\left(1 + m\right)T_{l, m}'\left(\mu\right) + \left(m\left(m + 1\right) - \lambda\right)T_{l, m}'\left(\mu\right) + 2\mu\left(1 + m\right)T_{l, m}''\left(\mu\right) \end{align} \]

Indem man $T_{l, m + 1} = T_{l, m}'$ einsetzt, folgt

\[ \begin{align} & \frac{d}{d\mu}\left(1 - \mu^2\right)T_{l, m + 1}'\left(\mu\right) = \frac{d}{d\mu}\left(1 - \mu^2\right)\frac{d}{d\mu}T_{l, m}'\left(\mu\right)\nonumber\\ &= -2\mu T_{l, m}''\left(\mu\right) + \left(1 - \mu^2\right)T_{l, m}'''\left(\mu\right) = 2\left(1 + m\right)T_{l, m}'\left(\mu\right) + \left(m\left(m + 1\right) - \lambda\right)T_{l, m}'\left(\mu\right) + 2\mu\left(1 + m\right)T_{l, m}''\left(\mu\right)\nonumber\\ &= 2\mu\left(m + 1\right)T_{l, m + 1}'\left(\mu\right) + \left(\left(m + 1\right)\left(m + 2\right) - \lambda\right)T_{l, m + 1}\left(\mu\right). \end{align} \]

Die Lösung $T_{l, m}\left(\mu\right)$ ist also die $m-$te Ableitung des $n-$ten Legendre-Polynoms

\[ \begin{align} T_{l, m}\left(\mu\right) = \frac{d^m}{d\mu^m}P_l\left(\mu\right). \end{align} \]

Die vollständigen Lösungen $P_{l, m}$ von Glg. (C.78) werden als assoziierte Legendre-Funktion bezeichnet:

\[ \begin{align} P_{l, m}\left(x\right) = \left(-1\right)^m\left(1 - x^2\right)^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_l\left(x\right) = \frac{\left(-\right)^m}{2^ll!}\left(1 - x^2\right)^{m/2}\frac{d^{l + m}}{dx^{l + m}}\left(x^2 - 1\right)^l.\tag{C.97}\label{eq:assoziierte_legendre_funktionen} \end{align} \]

Diese sind für ungerade $m$ keine Polynome mehr und reduzieren sich für $m = 0$ auf die Legendre-Polynome Glg. (C.46). Es gilt

\[ \begin{align} \frac{d}{dx}P_{l, m}\left(x\right) &= -mx\left(-1\right)^m\left(1 - x^2\right)^\frac{m - 2}{2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_l\left(x\right) + \left(-1\right)^m\left(1 - x^2\right)^{m/2}\frac{d^{m + 1}}{dx^{m + 1}}P_l\left(x\right)\nonumber\\ &= -\frac{mx}{1 - x^2}P_{l, m}\left(x\right) - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}P_{l, m + 1}\left(x\right).\tag{C.98}\label{eq:legendre_ass_prop_2} \end{align} \]

Aus Glg. (C.118) folgt

\[ \begin{align} \frac{d^n}{dx^n}\left(xf\left(x\right)\right) &= xf^{(n)} + nf^{(n - 1)}\nonumber\\ \Leftrightarrow xf^{(n)} &= \frac{d^n}{dx^n}\left(xf\left(x\right)\right) - nf^{(n - 1)}. \end{align} \]

Außerdem gilt mit Glg. (C.77)

\[ \begin{align} P_l &= \frac{2l + 3}{l + 1}xP_{l + 1} - \frac{l + 2}{l + 1}P_{l + 2}. \end{align} \]

Somit erhält man

\[ \begin{align} P_{l, m}\left(x\right) &= \left(-1\right)^m\left(1 - x^2\right)^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_l\left(x\right) = \frac{\left(-1\right)^m}{l + 1}\left(1 - x^2\right)^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}\left[\left(2l + 3\right)xP_{l + 1}\left(x\right) - \left(l + 2\right)P_{l + 2}\left(x\right)\right], \nonumber\\ &= x\frac{\left(-1\right)^m\left(2l + 3\right)}{l + 1}\left(1 - x^2\right)^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{l + 1}\left(x\right) + m\frac{\left(-1\right)^m\left(2l + 3\right)}{l + 1}\left(1 - x^2\right)^{m/2}\frac{d^{m - 1}}{dx^{m - 1}}P_{l + 1}\left(x\right)\nonumber\\ & - \frac{\left(-1\right)^m\left(l + 2\right)}{l + 1}\left(1 - x^2\right)^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{l + 2}\left(x\right)\nonumber\\ &= \frac{2l + 3}{l + 1}xP_{l + 1, m} - m\frac{2l + 3}{l + 1}\sqrt{1 - x^2}P_{l + 1, m - 1} - \frac{l + 2}{l + 1}P_{l + 2, m}\nonumber\\ \Rightarrow xP_{l + 1, m} &= \frac{l + 1}{2l + 3}P_{l, m} + m\sqrt{1 - x^2}P_{l + 1, m - 1} + \frac{l + 2}{2l + 3}P_{l + 2, m}\nonumber\\ \Rightarrow xP_{l, m} &= \frac{l}{2l + 1}P_{l - 1, m} + m\sqrt{1 - x^2}P_{l, m - 1} + \frac{l + 1}{2l + 1}P_{l + 1, m}.\tag{C.101}\label{eq:legendre_ass_prop_1_vorform} \end{align} \]

Es gilt

\[ \begin{align} P_{l, m - 1}\left(x\right) &= \left(-\right)^{m - 1}\frac{1}{2^ll!}\left(1 - x^2\right)^{\frac{m - 1}{2}}\frac{d^{l + m - 1}}{dx^{l + m - 1}}\left(x^2 - 1\right)^l. \end{align} \]

Weiterhin ist

\[ \begin{align} \frac{d^{l + m + 1}}{dx^{l + m + 1}}\left(x^2 - 1\right)^{l + 1} &= \frac{d^{l + m}}{dx^{l + m}}2\left(l + 1\right)x\left(x^2 - 1\right)^{l}\nonumber\\ &= \frac{d^{l + m - 1}}{dx^{l + m - 1}}\left[2\left(l + 1\right)\left(x^2 - 1\right)^{l} + 4x^2l\left(l + 1\right)\left(x^2 - 1\right)^{l - 1}\right]\nonumber\\ &= \frac{d^{l + m - 1}}{dx^{l + m - 1}}\left[2\left(l + 1\right)\left(x^2 - 1\right)^{l} + 4l\left(l + 1\right)\left(x^2 - 1\right)^{l} + 4l\left(l + 1\right)\left(x^2 - 1\right)^{l - 1}\right]\nonumber\\ &= 2\left(1 + 2l\right)\left(l + 1\right)\frac{d^{l + m - 1}}{dx^{l + m - 1}}\left[\left(x^2 - 1\right)^{l} + 4l\left(l + 1\right)\left(x^2 - 1\right)^{l - 1}\right]. \end{align} \]

Es gilt also

\[ \begin{align} \frac{d^{l + m - 1}}{dx^{l + m - 1}}\left(x^2 - 1\right)^l &= \frac{1}{2\left(1 + 2l\right)\left(l + 1\right)}\frac{d^{l + m + 1}}{dx^{l + m + 1}}\left(x^2 - 1\right)^{l + 1} - \frac{2l}{\left(2l + 1\right)}\frac{d^{l + m - 1}}{dx^{l + m - 1}}\left(x^2 - 1\right)^{l - 1}. \end{align} \]

Damit folgt

\[ \begin{align} & \left(-\right)^{m - 1}\frac{1}{2^ll!}\left(1 - x^2\right)^{\frac{m - 1}{2}}\frac{d^{l + m - 1}}{dx^{l + m - 1}}\left(x^2 - 1\right)^l = \left(-\right)^{m - 1}\frac{1}{2^{l + 1}\left(l + 1\right)!}\left(1 - x^2\right)^{\frac{m - 1}{2}}\frac{1}{\left(1 + 2l\right)}\frac{d^{l + m + 1}}{dx^{l + m + 1}}\left(x^2 - 1\right)^{l + 1}\nonumber\\ & - \frac{1}{2l + 1}\left(-\right)^{m - 1}\frac{1}{2^{l - 1}\left(l - 1\right)!}\left(1 - x^2\right)^{\frac{m - 1}{2}}\frac{d^{l + m - 1}}{dx^{l + m - 1}}\left(x^2 - 1\right)^{l - 1}. \end{align} \]

Somit erhält man

\[ \begin{align} \sqrt{1 - x^2}P_{l, m - 1} &= -\frac{1}{2l + 1}P_{l + 1, m} + \frac{1}{2l + 1}P_{l - 1, m}. \end{align} \]

Es folgt

\[ \begin{align} xP_{l, m} &= \frac{l + m}{2l + 1}P_{l - 1, m} + \frac{l + 1 - m}{2l + 1}P_{l + 1, m}.\tag{C.107}\label{eq:legendre_ass_prop_1} \end{align} \]

Hiermit und mit Glg. (C.101) folgt

\[ \begin{align} \frac{l + m}{2l + 1}P_{l - 1, m} + \frac{l + 1 - m}{2l + 1}P_{l + 1, m} &= \frac{l}{2l + 1}P_{l - 1, m} + m\sqrt{1 - x^2}P_{l, m - 1} + \frac{l + 1}{2l + 1}P_{l + 1, m}\nonumber\\ \Rightarrow\sqrt{1 - x^2}P_{l, m - 1} &= \frac{1}{2l + 1}P_{l - 1, m} - \frac{1}{2l + 1}P_{l + 1, m}\nonumber\\ \Rightarrow\sqrt{1 - x^2}P_{l, m} &= \frac{1}{2l + 1}P_{l - 1, m + 1} - \frac{1}{2l + 1}P_{l + 1, m + 1}.\tag{C.108}\label{eq:legendre_ass_prop_3} \end{align} \]

Die Normierung der Legendre-Funktionen ergibt sich zu

\[ \begin{align} \int_{-1}^{1}P_{l, m}\left(x\right)^2dx &= \frac{1}{2^{2l}l!^2}\int_{-1}^{\left(1\right)}\left(1 - x^2\right)^m\frac{d^{l + m}}{dx^{l + m}}\left(1 - x^2\right)^l\frac{d^{l + m}}{dx^{l + m}}\left(1 - x^2\right)^ldx\nonumber\\ &\stackrel{m+l-\text{fache p.I}.}{=}\frac{1}{2^{2l}l!^2}\left(-1\right)^{m + l}\left(-1\right)^{m + l}\left(m + l\right)!\frac{\left(2l\right)!}{\left(l - m\right)!}\int_{-1}^{1}\left(1 - x^2\right)^ldx\nonumber\\ &= \frac{1}{2^{2l}l!^2}\frac{\left(m + l\right)!}{\left(l - m\right)!}\left(2l\right)!\int_{-1}^{1}\left(1 + x\right)^l\left(1 - x\right)^ldx\nonumber\\ &\stackrel{l-\text{fache p.I}.}{=}\frac{1}{2^{2l}l!^2}\frac{\left(m + l\right)!}{\left(l - m\right)!}\left(2l\right)!\frac{l!}{\left(2l\right)!}l!\int_{-1}^{1}\left(1 + x\right)^{2l}dx\nonumber\\ &= \frac{1}{2^{2l}}\frac{\left(m + l\right)!}{\left(l - m\right)!}\frac{2^{2l + 1}}{2l + 1} = \frac{2}{2l + 1}\frac{\left(l + m\right)!}{\left(l - m\right)!}. \end{align} \]

Des Weiteren gilt für $l\not = l'$ (o. B. d. A. kann man $l

\[ \begin{align} \int_{-1}^{1}P_{l, m}\left(x\right)P_{l', m}\left(x\right)dx &\propto \int_{-1}^{1}\left(1 - x^2\right)^m\frac{d^{l + m}}{dx^{l + m}}\left(1 - x^2\right)^l\frac{d^{l' + m}}{dx^{l' + m}}\left(1 - x^2\right)^{l'}dx. \end{align} \]

Dies erhält man durch $m + l-$fache partielle Integration, bei der $\left(1 - x^2\right)^m\frac{d^{l + m}}{dx^{l + m}}$ abgeleitet und $\frac{d^{l' + m}}{dx^{l' + m}}\left(1 - x^2\right)^{l'}$ integriert wird

\[ \begin{align} \int_{-1}^{1}P_{l, m}\left(x\right)P_{l', m}\left(x\right)dx &\propto \int_{-1}^{1}\frac{d^{l' - l}}{dx^{l' - l}}\left(1 - x^2\right)^{l'}dx = 0.\tag{C.111}\label{eq:ortho_ass_lgen} \end{align} \]

Dabei entfällt bei jedem Integrationsschritt der Term ohne Integral, da dieser an den Rändern $\pm 1$ ausgewertet wird und dort immer Terme $\propto\left(1 - x^2\right)$ als Faktoren auftreten. Es gilt also

\[ \begin{align} \int_{-1}^{1}P_{l, m}\left(x\right)P_{l', m}\left(x\right)dx = \frac{2}{2l + 1}\frac{\left(l + m\right)!}{\left(l - m\right)!}\delta_{l, l'}. \end{align} \]

C.3 Hermite-Polynome

Die Hermite-Polynome werden definiert durch ihre Rodrigues-Formel

\[ \begin{align} H_n\left(x\right) \coloneqq \left(-\right)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}.\tag{C.113}\label{eq:hermite_poly_geschlossen} \end{align} \]

Setzt man in Glg. (4.69) $\newtilde{E} - 1 = 2n$ ein, erhält man die Hermite'sche Differenzialgleichung

\[ \begin{align} P_n'' - 2xP' + 2nP = 0.\tag{C.114}\label{eq:hermite_dgl} \end{align} \]

Nun soll gezeigt werden, dass die Hermite-Polynome nach Glg. (C.113) diese DGL lösen und somit auch die Rekursionsformel Glg. (4.77) erfüllen. Es gelten ja

\[ \begin{align} \frac{dH_n}{dx}\left(x\right) &= \left(-\right)^ne^{x^2}\left[2x\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} + \frac{d^{n + 1}}{dx^{n + 1}}e^{-x^2}\right],\\ \frac{d^2H_n}{dx^2}\left(x\right) &= \left(-\right)^ne^{x^2}\left[4x^2\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} + 4x\frac{d^{n + 1}}{dx^{n + 1}}e^{-x^2} + \frac{d^{n + 2}}{dx^{n + 2}}e^{-x^2} + 2\frac{d^n}{dx^{n}}e^{-x^2}\right]. \end{align} \]

Setzt man all dies in die linke Seite der Hermite'schen DGL ein, erhält man

\[ \begin{align} \left(\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\right)\left[2 + 2n\right] + \left(\frac{d^{n + 1}}{dx^{n + 1}}e^{-x^2}\right)\left[-2x + 4x\right] + \left(\frac{d^{n + 2}}{dx^{n + 2}}e^{-x^2}\right) &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow \left[2\left(1 + n\right)\frac{d^{n}}{dx^n} + 2x\frac{d^{n + 1}}{dx^{n + 1}} + \frac{d^{n + 2}}{dx^{n + 2}}\right]\exp\left(-x^2\right) &= 0. \end{align} \]

Dies ist für $n = 0$ wahr. Durch Differenzieren der Gleichung nach $x$ erhält man die gleiche Aussage für $n + 1$. Die Hermite-Polynome lösen somit die Hermite'sche Differenzialgleichung, man kann $P_n\left(x\right) = H_n\left(x\right)$ setzen. Weiterhin macht man sich klar, dass gilt

\[ \begin{align} \frac{d^n}{dx^n}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right) &= \frac{d^{n - 1}}{dx^{n - 1}}\left[f'g + fg'\right] = \frac{d^{n - 2}}{dx^{n - 2}}\left[f''g + 2f'g' + fg''\right]\nonumber\\ &= \sum_{k = 0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right)f^{(k)}g^{(n - k)} \tag{C.118}\label{eq:produktregel_n} \end{align} \]

für $n\in\mathbb{N}$ und $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $n-$fach differenzierbar. Formal kann man dies über eine vollständige Induktion zeigen. Für $n = 0$ ist die Aussage richtig. Die Aussage gelte für ein $n\in\mathbb{N}$. Dann gilt

\[ \begin{align} \frac{d^{n + 1}}{dx^{n + 1}}\left(fg\right) &= \frac{d}{dx}\left(\frac{d^n}{dx^n}\left(fg\right)\right) = \frac{d}{dx}\sum_{k = 0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right)f^{(k)}g^{(n - k)}\nonumber\\ &= \sum_{k = 0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right)\left[f^{(k + 1)}g^{(n - k)} + f^{(k)}g^{(n + 1 - k)}\right], \end{align} \]

der Rest folgt analog zum Beweis des binomischen Lehrsatzes Glg. (A.17). Dies kann man verwenden, um

\[ \begin{align} H_n'\left(x\right) &= 2x\left(-\right)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} + \left(-\right)^ne^{x^2}\frac{d^{n + 1}}{dx^{n + 1}}e^{-x^2}\nonumber\\ &= 2x\left(-\right)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} + \left(-\right)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(-2xe^{-x^2}\right) \end{align} \]

zu vereinfachen. Im zweiten Summanden setze in Termen von Glg. (C.118) $f = -2x$ und $g = e^{-x^2}$, dann spielen in der Summe nur die Terme mit $k = 0$ und $k = 1$ eine Rolle, also

\[ \begin{align} \frac{d^n}{dx^n}\left(-2xe^{-x^2}\right) = -2x\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} - 2n\frac{d^{n - 1}}{dx^{n - 1}}e^{-x^2}. \end{align} \]

Es gilt somit

\[ \begin{align} H_n'\left(x\right) = 2nH_{n - 1}\left(x\right).\tag{C.122}\label{eq:herm_pol_prop_1} \end{align} \]

Damit ist unmittelbar klar, dass gilt

\[ \begin{align} H_n' &= 2xH_n - H_{n + 1}\Leftrightarrow nH_{n - 1} + \frac{H_{n + 1}}{2} = xH_n.\tag{C.123}\label{eq:herm_pol_prop_2} \end{align} \]

Der Koeffizient $C_n$ vor der höchsten Potenz ist $C_n = 2^n$, wie man leicht einsehen kann. Für die Normierung der Hermite-Polynome gilt

\[ \begin{align} \int_{ - \infty}^{\infty}H_n^2\left(x\right)e^{-x^2}dx &= \sqrt{\pi}2^nn!.\tag{C.124}\label{eq:hermite_polynome_normierung} \end{align} \]

Um dies zu zeigen, mache man sich zunächst klar, dass gilt

\[ \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}H_n\left(x\right)H_m\left(x\right)e^{-x^2}dx = 0, \end{align} \]

für $n\not = m$, da in diesem Fall $H_n\left(x\right)\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)$ und $H_m\left(x\right)\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)$ zwei Eigenfunktionen eines Hermite'schen Operators zu unterschiedlichen Eigenwerten sind, und daher orthogonal.

Nun kann man die Aussage über vollständige Induktion zeigen. Für $n = 0$ ist $H_n = 1$, also gilt

\[ \begin{align} \int_{ - \infty}^{\infty}H_0^2\left(x\right)e^{-x^2}dx &= \sqrt{\pi}. \end{align} \]

Für $n = 1$ ist $H_1\left(x\right) = -2x$, also gilt

\[ \begin{align} \int_{ - \infty}^{\infty}H_1^2e^{-x^2}dx &= 4\int_{ - \infty}^{\infty}x^2e^{-x^2}dx = 2\int_{ - \infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = 2\sqrt{\pi}. \end{align} \]

Für $n = 0$ und $n = 1$ stimmt die Aussage also. Nun gelte die Aussage für ein $n$ bereits und auch für $n - 1$. Dann folgt mit den Glg.en (C.122) und (C.123) auch

\[ \begin{align} & \int_{ - \infty}^{\infty}H_{n + 1}^2e^{-x^2}dx = 4\int_{ - \infty}^{\infty}\left[x^2H_n^2 + n^2H_{n - 1}^2 - 2xnH_{n - 1}H_n\right]e^{-x^2}dx\nonumber\\ &= 4n^2\sqrt{\pi}2^{n - 1}\left(n - 1\right)! + 4\int_{ - \infty}^{\infty}x^2H_n^2e^{-x^2}dx - 4n\int_{ - \infty}^{\infty}\left[H_{n - 1}'H_{n} + H_{n - 1}H_n'\right]e^{-x^2}dx\nonumber\\ &= 2n\sqrt{\pi}2^nn! + 2\int_{ - \infty}^{\infty}\left[2xH_n'H_n + H_n^2\right]e^{-x^2}dx - 8n^2\sqrt{\pi}2^{n - 1}\left(n - 1\right)!\nonumber\\ &= \left(2n - 4n\right)\sqrt{\pi}2^nn! + 2\int_{ - \infty}^{\infty}H_n'^2e^{-x^2}dx + 2\sqrt{\pi}2^nn!\nonumber\\ &= \sqrt{\pi}2^nn!\left(2n\right) + 2\sqrt{\pi}2^nn! = \sqrt{\pi}2^{n + 1}\left(n + 1\right)!. \end{align} \]

Also gilt die Aussage auch für $n + 1$ und somit für alle $n\in\mathbb{N}$.

C.4 Laguerre-Polynome

Die Laguerre'sche Differenzialgleichung lautet

\[ \begin{align} xP'' + \left(k + 1 - x\right)P' + nP = 0\tag{C.129}\label{eq:laguerre_dgl} \end{align} \]

für $k\in\mathbb{N}$. Es wird für $P\left(x\right)$ ein Potenzreihenansatz gemacht,

\[ \begin{align} P\left(x\right) = \sum_{i = 0}^{\infty}a_ix^i. \end{align} \]

Damit folgen

\[ \begin{align} P'\left(x\right) &= \sum_{i = 0}^{\infty}ia_ix^{i - 1} = \sum_{i = 0}^{\infty}\left(i + 1\right)a_{i + 1}x^i,\\ P''\left(x\right) &= \sum_{i = 0}^{\infty}i\left(i + 1\right)a_{i + 1}x^{i - 1}. \end{align} \]

Setzt man dies ein, erhält man

\[ \begin{align} i\left(i + 1\right)a_{i + 1} + \left(k + 1\right)\left(i + 1\right)a_{i + 1} - ia_i + na_i &= 0 \Leftrightarrow a_{i + 1} = a_i\frac{i - n}{\left(i + 1\right)\left(i + k + 1\right)}.\tag{C.133}\label{eq:rek_laguerre} \end{align} \]

Der Faktor $\frac{i - n}{\left(i + 1\right)\left(i + k + 1\right)}$ geht für hohe $i$ wie $1/i$ gegen Null, die Rekursion muss folglich abbrechen. Also muss $n\in\mathbb{N}$ sein. $n$ ist der Grad des Polynoms $P$. Die Polynome

\[ \begin{align} L_{n, k}\left(x\right) \coloneqq \sum_{i = 0}^{n}\left(\begin{array}{c} n + k\\ n - i \end{array}\right)\frac{\left(-\right)^{(i)}}{i!}x^{(i)}.\tag{C.134}\label{eq:laguerre_polynome_explizit} \end{align} \]

lösen Glg. (C.129) ebenfalls, um dies zu zeigen, überprüft man ihre Rekursionsbeziehung. Zunächst sind sie Polynome vom Grad $n$. Der Koeffizient vor der höchsten Potenz von $x$ ist $\frac{\left(-\right)^n}{n!}$, dies impliziert eine Normierung. Es gilt

\[ \begin{align} a_i &= \frac{\left(n + k\right)!}{\left(n - i\right)!\left(k + i\right)!i!}\left(-\right)^{(i)}\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{a_{i + 1}}{a_i} &= -\frac{\left(n - i\right)!\left(k + i\right)!i!}{\left(n - i - 1\right)!\left(k + i + 1\right)!\left(i + 1\right)!} = \frac{i - n}{\left(k + 1 + i\right)\left(i + 1\right)}. \end{align} \]

Daher kann man Glg. (C.134) als Definition der Laguerre-Polynome ansehen. All dies kann man mit

\[ \begin{align} n \to n_r,& {} & k \to 2l + 1 \end{align} \]

umschreiben zu

\[ \begin{align} L_{n_r, 2l + 1}^{}\left(x\right) \coloneqq \sum_{i = 0}^{n_r}\left(\begin{array}{c} n_r + 2l + 1\\ n_r - i \end{array}\right)\frac{\left(-\right)^{(i)}}{i!}x^{(i)} \end{align} \]

und

\[ \begin{align} xL_{n_r, 2l + 1}'' + \left(2l + 2 - x\right)L_{n_r, 2l + 1}' + n_rL_{n_r, 2l + 1} = 0. \end{align} \]

Dies ist die in Abschn. 4.8 verwandte Formulierung. Die Rodrigues-Formel der Laguerre-Polynome lautet

\[ \begin{align} P_{n, k}\left(x\right) = \frac{e^x}{n!x^k}\frac{d^n}{dx^n}\left[e^{-x}x^{n + k}\right]. \end{align} \]

Dass dies Polynome vom Grad $n$ sind, sieht man sofort. Der Koeffizient vor $x^n$ ist $\frac{\left(-\right)^n}{n!}$. Für $l\in\mathbb{N}$ mit $l\leq n$ gilt

\[ \begin{align} \frac{d^l}{dx^l}x^{n + k} = \frac{\left(n + k\right)!}{\left(n + k - l\right)!}x^{n + k - l} \end{align} \]

Daraus folgt

\[ \begin{align} \frac{d^n}{dx^n}\left[e^{-x}x^{n + k}\right] &= \sum_{i = 0}^{n}\left(-\right)^{i}e^{-x}\left(\begin{array}{c} n\\ i \end{array}\right)\frac{\left(n + k\right)!}{\left(k + i\right)!}x^{k + i} = \sum_{i = 0}^{n}\left(-\right)^{i}e^{-x}\frac{n!}{i!\left(n - i\right)!}\frac{\left(n + k\right)!}{\left(k + i\right)!}x^{k + i}. \end{align} \]

Damit erhält man

\[ \begin{align} P_{n, k}\left(x\right) &= \sum_{i = 0}^{n}\left(-\right)^{i}\frac{1}{i!\left(n - i\right)!}\frac{\left(n + k\right)!}{\left(k + i\right)!}x^{i} = \sum_{i = 0}^{n}\left(\begin{array}{c} n + k\\ n - i \end{array}\right)\frac{\left(-\right)^{(i)}}{i!}x^{(i)}. \end{align} \]

Die Rodrigues-Formel entspricht also der expliziten Darstellung Glg. (C.134). Die Laguerre-Polynome erfüllen die Integraleigenschaft

\[ \begin{align} \int_{0}^{\infty}x^{k + 1}e^{-x}L_{n, k}\left(x\right)^2dx &= \frac{\left(n + k\right)!}{n!}\left(2n + k + 1\right)\tag{C.143}\label{eq:laguerre_integral}. \end{align} \]

Hierzu rechnet man

\[ \begin{align} & \int_{0}^{\infty}x^{k + 1}e^{-x}L_{n, k}\left(x\right)^2dx = \int_{0}^{\infty}x^{k + 1}e^{-x}L_{n, k}\left(x\right)\frac{e^x}{n!x^k}\frac{d^n}{dx^n}\left[e^{-x}x^{n + k}\right]dx\nonumber\\ &= \frac{1}{n!}\int_{0}^{\infty}xL_{n, k}\left(x\right)\frac{d^n}{dx^n}\left[e^{-x}x^{n + k}\right]dx = \frac{1}{n!}\left(-1\right)^n\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n + k}\frac{d^n}{dx^n}xL_{n, k}\left(x\right)dx. \end{align} \]

Nach der expliziten Darstellung Glg. (C.134) gilt

\[ \begin{align} \frac{d^n}{dx^n}xL_{n, k}\left(x\right) &= \left(-\right)^n\left(n + 1\right)x + n!\frac{\left(-\right)^{n - 1}}{\left(n - 1\right)!}\frac{\left(n + k\right)!}{\left(n + k - 1\right)!}\nonumber\\ &= \left(-\right)^n\left(n + 1\right)x + n\left(-\right)^{n - 1}\left(n + k\right). \end{align} \]

Mit Glg. (A.96) folgt

\[ \begin{align} \int_0^\infty\dotsc dx &= \frac{\left(-\right)^n}{n!}\left[\left(-\right)^n\left(n + 1\right)\left(n + k + 1\right)! - n\left(-\right)^n\left(n + k\right)\left(n + k\right)!\right]\nonumber\\ &= \frac{\left(n + k\right)!}{n!}\left[\left(n + 1\right)\left(n + k + 1\right) - n\left(n + k\right)\right] = \frac{\left(n + k\right)!}{n!}\left(2n + k + 1\right). \end{align} \]

Weiter gilt für $k\geq2$

\[ \begin{align} \int_{0}^{\infty}x^{k - 2}\left[L_{n, k}\left(x\right)\right]^2\exp\left(-x\right)dx = \frac{\left(n + k\right)!}{n!}\frac{2n + k + 1}{\left(k - 1\right)k\left(k + 1\right)}\tag{C.147}\label{eq:laguerre_int_prop_2}. \end{align} \]

Hierzu rechnet man mit

\[ \begin{align} & \int_{0}^{\infty}x^{k - 2}e^{-x}L_{n, k}\left(x\right)^2dx = \int_{0}^{\infty}x^{k - 2}e^{-x}L_{n, k}\left(x\right)\frac{e^x}{n!x^k}\frac{d^n}{dx^n}\left[e^{-x}x^{n + k}\right]dx\nonumber\\ &= \frac{1}{n!}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^2}L_{n, k}\left(x\right)\frac{d^n}{dx^n}\left[e^{-x}x^{n + k}\right]dx = \frac{1}{n!}\left(-1\right)^n\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n + k}\frac{d^n}{dx^n}\left[\frac{1}{x^2}L_{n, k}\left(x\right)\right]dx. \end{align} \]

$L_{n, k}$ ist ein Polynom vom Grad $n$, also ist $L_{n, k}/x^2$ vom Grad $n - 2$. Schreibe

\[ \begin{align} L_{n, k} = a + bx + \mathcal{O}\left(x^2\right), \end{align} \]

dementsprechend gilt

\[ \begin{align} \frac{d}{dx^n}\frac{L_{n, k}}{x^2} &= \frac{d}{dx^n}\left(\frac{a}{x^2} + \frac{b}{x}\right) = \left(-\right)^n\left(a\left(n + 1\right)!x^{-2 - n} + n!bx^{-n - 1}\right). \end{align} \]

Nach der expliziten Darstellung Glg. (C.134) gelten

\[ \begin{align} a = \frac{\left(n + k\right)!}{n!k!}, & {} & b = -\frac{\left(n + k!\right)}{\left(n - 1\right)!\left(k + 1\right)!}. \end{align} \]

Somit folgt

\[ \begin{align} \frac{d}{dx^n}\frac{L_{n, k}}{x^2} &= \left(-\right)^n\left(\frac{\left(n + k\right)!}{n!k!}\left(n + 1\right)!x^{-2 - n} - \frac{\left(n + k\right)!}{\left(n - 1\right)!\left(k + 1\right)!}n!x^{-n - 1}\right)\nonumber\\ &= \left(-\right)^n\left(n + k\right)!\left[\frac{\left(n + 1\right)}{k!}x^{-2 - n} - \frac{n}{\left(k + 1\right)!}x^{-n - 1}\right]. \end{align} \]

Hiermit erhält man

\[ \begin{align} e^{-x}x^{n + k}\frac{d}{dx^n}\frac{L_{n, k}}{x^2} &= e^{-x}\left(-\right)^n\left(n + k\right)!\left[\frac{\left(n + 1\right)}{k!}x^{k - 2} - \frac{n}{\left(k + 1\right)!}x^{k - 1}\right]. \end{align} \]

Mit Glg. (A.96) folgt

\[ \begin{align} \int_0^\infty\dotsc dx &= \frac{\left(n + k\right)!}{n!}\left[\frac{\left(n + 1\right)}{k\left(k - 1\right)} - \frac{n}{k\left(k + 1\right)}\right]\nonumber\\ &= \frac{\left(n + k\right)!}{n!}\left[\frac{\left(n + 1\right)\left(k + 1\right)}{k\left(k - 1\right)\left(k + 1\right)} - \frac{n\left(k - 1\right)}{k\left(k + 1\right)\left(k - 1\right)}\right]\nonumber\\ &= \frac{\left(n + k\right)!}{n!}\frac{2n + k + 1}{k\left(k + 1\right)\left(k - 1\right)}. \end{align} \]

C.5 Kugelflächenfunktionen

Die Abhängigkeiten der Lösung Glg. (D.42) von $\cos\left(\theta\right)$ und $\phi$ fasst man zu $P_{l, m}\left(\cos\left(\theta\right)\right)\exp\left(im\phi\right)$ zusammen. Die Kugelflächenfunktionen (engl. spherical harmonics) werden definiert durch

\[ \begin{align} Y_{l, m}\left(\theta, \phi\right) = \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi}\frac{\left(l - m\right)!}{\left(l + m\right)!}}P_{l, m}\left(\cos\left(\theta\right)\right)\exp\left(im\phi\right).\tag{C.155}\label{eq:def_spherical_harmonics} \end{align} \]

mit den assoziierten Legendre-Funktionen $P_{l, m}\left(x\right)$, Glg. (C.97). Die Vorfaktoren ergeben sich aus der Normierung

\[ \begin{align} \int_{\theta = 0}^\pi\int_{\phi = 0}^{2\pi}\left|Y_{l, m}\left(\theta, \phi\right)\right|^2\sin\left(\theta\right) d\phi d\theta\hastobe1, \end{align} \]

die nun verifiziert wird:

\[ \begin{align} & \frac{2l + 1}{4\pi}\frac{\left(l - m\right)!}{\left(l + m\right)!}\int_{\theta = 0}^\pi\int_{\phi = 0}^{2\pi}\left(P_{l, m}\left(\cos\left(\theta\right)\right)\right)^2\sin\left(\theta\right) d\phi d\theta\nonumber\\ &= \frac{2l + 1}{2}\frac{\left(l - m\right)!}{\left(l + m\right)!}\int_{-1}^{1}P_{l, m}\left(z\right)^2dz = 1 \end{align} \]

Weiterhin sind die Kugelflächenfunktionen orthogonal. Für $m\not = m'$ gilt nämlich

\[ \begin{align} & \int_{\theta = 0}^{\pi}\int_{\phi = 0}^{2\pi}Y_{l, m}\left(\theta, \phi\right)^\star Y_{l', m'}\left(\theta, \phi\right)\sin\left(\theta\right) d\phi d\theta\nonumber\\ &\propto \int_{\theta = 0}^{\pi}\int_{\phi = 0}^{2\pi}\exp\left(i\left(m - m'\right)\phi\right)d\phi P_{l, m}^{\star}\left(\cos\left(\theta\right)\right)P_{l', m'}\left(\cos\left(\theta\right)\right)\sin\left(\theta\right) d\theta = 0. \end{align} \]

Für $l\not = l'$ erhält man

\[ \begin{align} & \int_{\theta = 0}^{\pi}\int_{\phi = 0}^{2\pi}Y_{l, m}\left(\theta, \phi\right)^\star Y_{l', m}\left(\theta, \phi\right)\sin\left(\theta\right) d\phi d\theta = 2\pi\int_{-1}^{1}P_{l, m}\left(z\right)P_{l', m}\left(z\right)dz\stackrel{\href{#eq:ortho_ass_lgen}{\text{Glg. (C.111)}}}{=}0. \end{align} \]

Zusammenfassend erhält man

\[ \begin{align} \int_{\theta = 0}^{\pi}\int_{\phi = 0}^{2\pi}Y_{l, m}\left(\theta, \phi\right)^\star Y_{l', m'}\left(\theta, \phi\right)\sin\left(\theta\right) d\phi d\theta = \delta_{l, l'}\delta_{m, m'}. \end{align} \]

Weiterhin gilt

\[ \begin{align} \Delta_{\theta, \phi} Y_{l, m}\left(\theta, \phi\right) &= -l\left(l + 1\right)Y_{l, m}\left(\theta, \phi\right) \end{align} \]

mit

\[ \begin{align} \Delta_{\theta, \phi} = \Delta_{\mu, \phi} = \frac{\partial}{\partial\mu}\left(1 - \mu^2\right)\frac{\partial}{\partial\mu} + \frac{1}{1 - \mu^2}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}, \end{align} \]

als Winkelanteil des Laplace-Operators und $\mu = \cos\left(\theta\right)$. Es gilt

\[ \begin{align} \frac{\partial^2}{\partial\phi^2}Y_{l, m} &= -m^2Y_{l, m}\left(\theta, \phi\right), \end{align} \]

somit ist hier

\[ \begin{align} \Delta_{\mu, \phi} = \frac{\partial}{\partial\mu}\left(1 - \mu^2\right)\frac{\partial}{\partial\mu} - \frac{m^2}{1 - \mu^2}. \end{align} \]

Für die assoziierten Legendre-Polynome $P_{l, m}\left(\mu\right)$ gilt die DGL (C.78)

\[ \begin{align} \frac{d}{d\mu}\left(1 - \mu^2\right)P_{l, m}'\left(\mu\right) - \frac{m^2}{1 - \mu^2}P_{l, m}\left(\mu\right) = -l\left(l + 1\right)P_{l, m}\left(\mu\right). \end{align} \]

Somit folgt

Aus Glg. (C.98) folgt

Weiterhin gilt

Damit folgt

\[ \begin{align} & \exp\left(\pm i\phi\right)\left(i\cot\left(\theta\right)\frac{\partial}{\partial\phi}\pm\frac{\partial}{\partial\theta}\right)Y_{l, m}\left(\theta, \phi\right) = -m\cot\left(\theta\right)\exp\left(\pm i\phi\right)Y_{l, m}\left(\theta, \phi\right)\nonumber\\ &\pm \exp\left(\pm i\phi\right)m\cot\left(\theta\right) Y_{l, m}\left(\cos\left(\theta\right)\right)\pm\sqrt{l^2 - m^2 + l - m}\exp\left(\pm i\phi\right)Y_{l, m + 1}\left(\theta, \phi\right)\exp\left(-i\phi\right)\nonumber \end{align} \]

Es gilt also

\[ \begin{align} \newhat{L}_ + Y_{l, m}\left(\theta, \phi\right) &= \sqrt{l^2 - m^2 + l - m}Y_{l, m + 1}\left(\theta, \phi\right). \end{align} \]

Somit folgt für die Eigenzustände $|n, l, m\rangle$ im Wasserstoffatom

\[ \begin{align} \newhat{L}_ + |n, l, m\rangle = \sqrt{l^2 - m^2 + l - m}|n, l, m\rangle. \end{align} \]

Aus Glg. (C.107) folgt

\[ \begin{align} \cos\left(\theta\right)Y_{l, m} &= \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi}\frac{\left(l - m\right)!}{\left(l + m\right)!}}\cos\left(\theta\right)P_{l, m}\left(\cos\left(\theta\right)\right)\exp\left(im\phi\right)\nonumber\\ &= \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi}\frac{\left(l - m\right)!}{\left(l + m\right)!}}\left[\frac{l + m}{2l + 1}P_{l - 1, m} + \frac{l - m + 1}{2l + 1}P_{l + 1, m}\right]\exp\left(im\phi\right)\nonumber\\ &= \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi}\frac{\left(l - m\right)!}{\left(l + m\right)!}}\frac{l + m}{2l + 1}P_{l - 1, m}\exp\left(im\phi\right) + \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi}\frac{\left(l - m\right)!}{\left(l + m\right)!}}\frac{l - m + 1}{2l + 1}P_{l + 1, m}\exp\left(im\phi\right)\nonumber\\ &= \frac{l + m}{2l + 1}\sqrt{\frac{2l + 1}{2l - 1}\frac{l - m}{l + m}}\sqrt{\frac{2l - 1}{4\pi}\frac{\left(l - 1 - m\right)!}{\left(l - 1 + m\right)!}}P_{l - 1, m}\exp\left(im\phi\right)\nonumber\\ & + \frac{l - m + 1}{2l + 1}\sqrt{\frac{2l + 1}{2l + 3}\frac{l + 1 + m}{l + 1 - m}}\sqrt{\frac{2l + 3}{4\pi}\frac{\left(l + 1 - m\right)!}{\left(l + 1 + m\right)!}}P_{l + 1, m}\exp\left(im\phi\right)\nonumber\\ &= \frac{l + m}{2l + 1}\sqrt{\frac{2l + 1}{2l - 1}\frac{l - m}{l + m}}Y_{l - 1, m} + \frac{l - m + 1}{2l + 1}\sqrt{\frac{2l + 1}{2l + 3}\frac{l + 1 + m}{l + 1 - m}}Y_{l + 1, m}.\nonumber \end{align} \]

Somit gilt

Aus Glg. (C.108) folgt

\[ \begin{align} \sin\left(\theta\right)Y_{l, m} &= \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi}\frac{\left(l - m\right)!}{\left(l + m\right)!}}\sin\left(\theta\right)P_{l, m}\left(\cos\left(\theta\right)\right)\exp\left(im\phi\right)\nonumber\\ &= \frac{1}{2l + 1}\sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi}\frac{\left(l - m\right)!}{\left(l + m\right)!}}\left[P_{l - 1, m + 1}\left(\cos\left(\theta\right)\right) - P_{l + 1, m + 1}\left(\cos\left(\theta\right)\right)\right]\exp\left(im\phi\right)\nonumber\\ &= \frac{1}{2l + 1}\sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi}\frac{\left(l - m\right)!}{\left(l + m\right)!}}P_{l - 1, m + 1}\left(\cos\left(\theta\right)\right)\exp\left(im\phi\right)\nonumber\\ & -\frac{1}{2l + 1}\sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi}\frac{\left(l - m\right)!}{\left(l + m\right)!}}P_{l + 1, m + 1}\left(\cos\left(\theta\right)\right)\exp\left(im\phi\right)\nonumber\\ &= \frac{1}{2l + 1}\sqrt{\frac{2l + 1}{2l - 1}\left(l - m - 1\right)\left(l - m\right)}\sqrt{\frac{2l - 1}{4\pi}\frac{\left(l - m - 2\right)!}{\left(l + m\right)!}}P_{l - 1, m + 1}\left(\cos\left(\theta\right)\right)\exp\left(im\phi\right)\nonumber\\ & -\frac{1}{2l + 1}\sqrt{\frac{2l + 1}{2l + 3}\left(l + m + 1\right)\left(l + m + 2\right)}\sqrt{\frac{2l + 3}{4\pi}\frac{\left(l - m\right)!}{\left(l + m + 2\right)!}}P_{l + 1, m + 1}\left(\cos\left(\theta\right)\right)\exp\left(im\phi\right).\nonumber \end{align} \]

Somit gilt

C.5.1 Produkte

C.5.2 Transformation auf geographische Koordinaten

Nun sollen die hergeleiteten Gleichungen noch auf geographische Koordinaten $\left(\phi, \lambda\right)$ transformiert werden. Bisher wurde $\theta = \pi/2 - \phi$ anstelle der geographischen Breite $\phi$ verwendet. Es gelten also

\[ \begin{align} \cos\left(\theta\right) &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \phi\right) = \sin\left(\phi\right),\\ \sin\left(\theta\right) &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - \phi\right) = \cos\left(\phi\right),\\ \cot\left(\theta\right) &= \tan\left(\phi\right),\\ \frac{\partial}{\partial\phi} &= \frac{\partial\theta}{\partial\phi}\frac{\partial}{\partial\theta} = -\frac{\partial}{\partial\theta},\\ \phi_\text{sph. coord.} &= \lambda. \end{align} \]

Aus Glg. (C.167) folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial\phi}Y_{l, m}\left(\theta, \phi\right) &= -m\tan\left(\phi\right)Y_{l, m} - \sqrt{l^2 - m^2 + l - m}Y_{l, m + 1}\exp\left(-i\lambda\right).\tag{C.178}\label{eq:spherical_harmonic_deriv_theta_geo} \end{align} \]

Aus Glg. (C.168) folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial\lambda}Y_{l, m} &= imY_{l, m}.\tag{C.179}\label{eq:spherical_harmonic_deriv_phi_geo} \end{align} \]

Aus Glg. (C.171) wird

\[ \begin{align} \sin\left(\phi\right)Y_{l, m} &= \sqrt{\frac{l^2 - m^2}{4l^2 - 1}}Y_{l - 1, m} + \sqrt{\frac{\left(l + 1\right)^2 - m^2}{4\left(l + 1\right)^2 - 1}}Y_{l + 1, m}.\tag{C.180}\label{eq:spherical_harm_prop_2_geo} \end{align} \]

Aus Glg. (C.172) wird

\[ \begin{align} \cos\left(\phi\right)Y_{l, m} &= \sqrt{\frac{1}{4l^2 - 1}\left(l - m - 1\right)\left(l - m\right)}e^{-i\lambda}Y_{l - 1, m + 1}\nonumber\\ &- \sqrt{\frac{1}{4l^2 + 8l + 3}\left(l + m + 1\right)\left(l + m + 2\right)}e^{-i\lambda}Y_{l + 1, m + 1}.\tag{C.181}\label{eq:spherical_harm_prop_3_geo} \end{align} \]