Die sogenannte quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Lösen quadratischer Gleichungen der Form
\[ \begin{align} ax^2 + bx + c = 0 \end{align} \]
mit $a \not= 0$. Mit den Definitionen
\[ \begin{align} p \coloneqq \frac{b}{a},& {} & q \coloneqq \frac{c}{a} \end{align} \]
kann man dies in der Form
\[ \begin{align} x^2 + px + q = 0 \end{align} \]
notieren. Die quadratische Ergänzung erhält ihren Namen aufgrund der Tatsache, dass nun in dieser Gleichung ein quadratischer Term hinzugefügt und gleich wieder abgezogen wird:
\[ \begin{align} x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 &= \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \end{align} \]
Hieraus folgt
\[ \begin{align} x_{1, 2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}.\tag{A.5}\label{eq:pq} \end{align} \]
Diese Formel bezeichnet man als pq-Formel.
Zunächst wird die Gauß'sche Summenformel eingesehen. Sie lautet
\[ \begin{align} \sum_{i = 0}^{n}i = \frac{n\left(n + 1\right)}{2}\tag{A.6}\label{eq:kleiner_gauss}. \end{align} \]
Man beweist dies per vollständiger Induktion. Für $n = 0$ gilt $\sum_{i = 0}^{n = 0}i = 0 = \frac{1}{2}n\left(n + 1\right)$. Für $n\in\mathbb{N}$ gelte die Aussage bereits. Dann folgt
\[ \begin{align} \sum_{i = 0}^{n + 1}i = \frac{n\left(n + 1\right)}{2} + n + 1 = \frac{n^2 + 3n + 2}{2} = \frac{\left(n + 1\right)\left(n + 2\right)}{2}. \end{align} \]
Damit ist die Aussage bewiesen.
Der Satz über die geometrische Reihe lautet
\[ \begin{align} \sum_{n = 0}^{\infty}q^n = \frac{1}{1 - q}\tag{A.8}\label{eq:geometr_reihe} \end{align} \]
für $q\in\mathbb{C}$ mit $\left|q\right| < 1$.
Zunächst gilt für $N\in\mathbb{N}$
\[ \begin{align} \sum_{n = 0}^{N}q^n = \frac{1 - q^{N + 1}}{1 - q}. \end{align} \]
Dies zeigt man durch vollständige Induktion. Für $N = 0$ ist dies klar, die Aussage gelte für $N$. Dann gilt
\[ \begin{align} \sum_{n = 0}^{N + 1}q^n = \frac{1 - q^{N + 1}}{1 - q} + q^{N + 1} = \frac{1 - q^{N + 1}}{1 - q} + \frac{q^{N + 1} - q^{N + 2}}{1 - q} = \frac{1 - q^{N + 2}}{1 - q}. \end{align} \]
Mit den Rechenregeln für Folgengrenzwerte und
\[ \begin{align} \sum_{n = 0}^{\infty}q^n = \lim\limits_{N\to\infty}\sum_{n = 0}^{N}q^n \end{align} \]
folgt die Aussage. Weiterhin gilt nach [11]
\[ \begin{align} \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}.\tag{A.12}\label{eq:reihe_1} \end{align} \]
Man definiert den Binomialkoeffizienten
\[ \begin{align} \left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right) \coloneqq \frac{n!}{k!\left(n - k\right)!} \end{align} \]
mit der Fakultät
\[ \begin{align} n! \coloneqq 1\cdot 2\cdot\dotsc\cdot n \end{align} \]
mit $n, k\in\mathbb{N}$ und $n\geq k$. Die Anzahl der Möglichkeiten, $n\in\mathbb{N}$ Elemente anzuordnen, ist $n!$. Für das erste Element hat man $n$ Möglichkeiten. Für das zweite nur noch $n - 1$, usw., für das letzte Element hat man nur noch genau eine Möglichkeit, es anzuordnen. Eine Permutation ist eine Bijetion auf der Menge $\{1, 2, \dotsc, N\}$ mit $1 \leq N \in \mathbb{N}$. Die Menge all dieser Abbildungen wird mit $S_N$ bezeichnet. Aufgrund der gerade bewiesenen Aussage gilt für die Anzahl $\left|S_N\right|$ aller Permutationen
\[ \begin{align} \left|S_N\right| = N!. \end{align} \]
Man definiert weiter das Vorzeichen einer Permutation $\pi \in S_N$ durch $\sign\left(\pi\right) \coloneqq \left(-1\right)^M$ mit $M$ als der Anzahl aller paarweisen Vertauschungen, die vorzunehmen sind, um $\id \to \pi$ zu überführen. Falls $M$ gerade ist, bezeichnet man $\pi$ als gerade Permutation, ansonsten als ungerade.
$\left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right)$ ist die Anzahl der $k-$elementigen Teilmengen einer $n-$elementigen Menge. Dies kann man sich leicht überlegen. Seien also eine $n-$elementige Menge $M$ gegeben sowie ein $k\in\mathbb{N}$ mit $k\leq n$. Für den Fall $k = 0$ ist $\left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right) = 1$, hier stimmt die Aussage also, weil die einzige in Frage kommende Menge die leere Menge $\emptyset$ ist, und diese ist Teilmenge jeder anderen Menge, auch von sich selbst. Im Fall $n, k>0$ hat man $n$ Möglichkeiten, das erste Element der Teilmenge auszuwählen. Für das zweite Element bleiben $n - 1$ Möglichkeiten und so weiter. Dies führt auf die Zahl $n\cdot\left(n - 1\right)\cdot\dotsc\cdot\left(n - k + 1\right) = \frac{n!}{\left(n - k\right)!}$. Hierbei wurden jedoch Mengen doppelt gezählt. Weil die Anzahl der Möglichkeiten, $k$ Elemente anzuordnen, $k!$ beträgt, ist die Anzahl der $k-$elementigen Teilmengen einer $n-$elementigen Menge gleich $\frac{n!}{k!\left(n - k\right)!} = \left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right)$.
Seien $n, n_1, \dotsc, n_k\in\mathbb{N}$ mit $\sum_{i = 1}^{k}n_i = n$. Man definiert den Multinomialkoeffizienten durch
\[ \begin{align} \left(\begin{array}{c} n\\ n_1, \dotsc, n_k \end{array}\right) \coloneqq \frac{n!}{n_1!\dotsc n_k!}.\tag{A.16}\label{def:multinomialkoeffizient} \end{align} \]
Sei eine Menge mit $k$ Elementen gegeben. Aus diesen wählt man $n-$mal ein zufälliges aus, dabei kann $n\geq k$ oder $n\leq k$ sein. Als Ergebnis hält man die Zahlen $n_1, \dotsc, n_k$ fest, die angeben, wie oft die Elemente gezogen wurden, das Ergebnis ist also das Tupel $\left(n_1, \dotsc, n_k\right)$. Der Multinomialkoeffizient $\left(\begin{array}{c} n\\ n_1, \dotsc, n_k \end{array}\right)$ ist die Anzahl der Ziehungen mit Ergebnis $\left(n_1, \dotsc, n_k\right)$. $n!$ ist die Anzahl aller Möglichkeiten, die $n$ gezogenen Elemente anzuordnen. Für jede solche Anordnung kann man aber die gleichartigen Elemente untereinander vertauschen, ohne das Ergebnis zu verändern. Die Anzahl der Vertauschungen beträgt $n_1!\dotsc n_k!$.
Der binomische Lehrsatz, auch als allgemeine binomische Formel bezeichnet, lautet
\[ \begin{align} \left(a + b\right)^n = \sum_{k = 0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right)a^kb^{n - k}.\tag{A.17}\label{eq:gen_bin_formula} \end{align} \]
Für $n = 0$ ist dies klar. Weiter gilt
\[ \begin{align} \left(a + b\right)^{n + 1} &= \left(a + b\right)^n\left(a + b\right) = \left(a + b\right)\sum_{k = 0}^{n}\left(\begin{array}{c} n\\ k \end{array}\right)a^kb^{n - k}\nonumber\\ &= \sum_{k = 0}^{n}\frac{n!}{k!\left(n - k\right)!}a^{k + 1}b^{n - k} + \sum_{k = 0}^{n}\frac{n!}{k!\left(n - k\right)!}a^kb^{n - k + 1}\nonumber\\ &= \sum_{k = 1}^{n + 1}\frac{n!}{\left(k - 1\right)!\left(n + 1 - k\right)}a^kb^{n - k + 1} + \sum_{k = 0}^{n}\frac{n!}{k!\left(n - k\right)!}a^kb^{n - k + 1}\nonumber\\ &= \sum_{k = 1}^{n + 1}\frac{\left(n + 1\right)!}{k!\left(n + 1 - k\right)!}\frac{k}{n + 1}a^kb^{n - k + 1}\nonumber\\ & + \sum_{k = 0}^{n}\frac{\left(n + 1\right)!}{k!\left(n + 1 - k\right)!}\frac{n + 1 - k}{n + 1}a^kb^{n - k + 1}\nonumber\\ &= \sum_{k = 0}^{n + 1}\frac{\left(n + 1\right)!}{k!\left(n + 1 - k\right)!}a^kb^{n - k + 1}\left(\frac{k + n + 1 - k}{n + 1}\right)\nonumber\\ &= \sum_{k = 0}^{n + 1}\frac{\left(n + 1\right)!}{k!\left(n + 1 - k\right)!}a^kb^{n + 1 - k} = \sum_{k = 0}^{n + 1}\left(\begin{array}{c} n + 1\\ k \end{array}\right)a^kb^{n + 1 - k}. \end{align} \]
Seien $\left(x_1, x_2, x_3\right)$ drei kartesische Koordinaten und $\left(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\right)$ die zugehörige Basis. Man definiert das Levi-Civita-Symbol $\epsilon_{i, j, k}$ durch
\[ \begin{align} \epsilon_{i, j, k} \coloneqq \begin{cases} 1, \:\left(i, j, k\right)\text{\:gerade\:Permutation\:von\:}\left(1, 2, 3\right),\\ - 1, \:\left(i, j, k\right)\text{\:ungerade\:Permutation\:von\:}\left(1, 2, 3\right),\\ 0, \:\text{sonst}. \end{cases} \end{align} \]
Dies bedeutet inbesondere
\[ \begin{align} \epsilon_{i, j, k} &= \epsilon_{k, i, j} = \epsilon_{j, k, i} = -\epsilon_{j, i, k} = -\epsilon_{k, j, i} = -\epsilon_{i, k, j},\\ \epsilon_{i, i, j} &= \epsilon_{i, j, i} = \epsilon_{j, i, i} = 0. \end{align} \]
Es gilt
\[ \begin{align} & \sum_{n = 1}^{3}\epsilon_{l, n, k}\epsilon_{n, o, j} - \epsilon_{l, n, j}\epsilon_{n, o, k} = \sum_{n = 1}^{3}\epsilon_{l, n, k}\epsilon_{j, n, o} + \epsilon_{l, n, j}\epsilon_{k, o, n} = \sum_{n = 1}^{3}\epsilon_{j, o, n}\epsilon_{l, k, n} + \epsilon_{j, l, n}\epsilon_{k, o, n}\nonumber\\ &= \sum_{n = 1}^{3}\epsilon_{j, o, n}\epsilon_{l, k, n} - \epsilon_{j, l, n}\epsilon_{o, k, n}.\tag{A.22}\label{eq:levi-civita_prop_1} \end{align} \]
Hier muss man eine Fallunterscheidung machen. Damit der linke Ausdruck ungleich Null ist, muss entweder $j = l$ und $o = k$ oder $j = k$ und $o = l$ gelten. Für den linken Ausdruck kann man also schreiben $\delta_{j, l}\delta_{o, k} - \delta_{j,k}\delta_{o,l}$. Damit der rechte Ausdruck ungleich Null ist, muss entweder $j = o$ und $l = k$ oder $j = k$ und $l = o$ gelten. Für den rechten Ausdruck kann man also schreiben $-\delta_{j, o}\delta_{l, k} + \delta_{j,k}\delta_{o,l}$. Man kann also fortfahren
\[ \begin{align} \sum_{n = 1}^{3}\epsilon_{j, o, n}\epsilon_{l, k, n} - \epsilon_{j, l, n}\epsilon_{o, k, n} &= \delta_{j, l}\delta_{o, k} - \delta_{j, o}\delta_{l, k} = \sum_{n = 1}^{3}\epsilon_{j, k, n}\epsilon_{l, o, n}, \end{align} \]
was man sich leicht klarmacht.
Sei eine quadratische Matrix $A \in \mathbb{C}^{N \times N}$ gegeben mit $1 \leq N \in \mathbb{N}$. Die Determinante $\det\left(A\right)$ wird definiert durch
\[ \begin{align} \det\left(A\right) \coloneqq \sum_{\pi \in S_N}\sign\left(\pi\right)A_{1, \pi\left(1\right)}\cdot\dotsc\cdot A_{N, \pi\left(N\right)}. \end{align} \]
Gelegentlich verwendet man auch die Schreibweise
\[ \begin{align} \left|\begin{array}{ccc} A_{1, 1} & \dots & A_{1, N} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{N, 1} & \dots & A_{N, N} \end{array}\right| \coloneqq \det\left(A\right). \end{align} \]
Zunächst gilt
\[ \begin{align} \det\left(A^T\right) &= \sum_{\pi \in S_N}\sign\left(\pi\right)A^T_{1, \pi\left(1\right)}\cdot\dotsc\cdot A^T_{N, \pi\left(N\right)} = \sum_{\pi \in S_N}\sign\left(\pi\right)A_{\pi\left(1\right), 1}\cdot\dotsc\cdot A_{\pi\left(N\right), N}. \end{align} \]
Indem man jeden einzelnen Summanden nach aufsteigenden Zeilenindizes sortiert, erhält man
\[ \begin{align} \det\left(A^T\right) &= \sum_{\pi \in S_N}\sign\left(\pi\right)A_{\pi\left(1\right), 1}\cdot\dotsc\cdot A_{\pi\left(N\right), N} = \sum_{\pi \in S_N}\sign\left(\pi\right)A_{1, \pi\left(1\right)}\cdot\dotsc\cdot A_{N, \pi\left(N\right)} = \det\left(A\right). \end{align} \]
Alle nachfolgenden Aussagen werden daher nur für Zeilen bewiesen, die Aussage für Spalten folgt dann analog. Sind zwei Zeilen $1 \leq i, j \leq N$ von $A$ gleich, so ist bereits
\[ \begin{align} \det\left(A\right) = 0. \end{align} \]
Hierzu sortiere die Elemente $\pi \in S_N$ so zu $N!/2$ Paaren $\left(\pi, \pi'\right)$, dass $\pi'$ aus $\pi$ durch Vertauschung von $\pi\left(i\right)$ und $\pi\left(j\right)$ hervorgeht. In diesem Fall gilt $\sign\left(\pi\right) = -\sign\left(\pi'\right)$, was die Aussage zeigt. Geht die $j-$te Zeile aus der $i-$ten Zeile durch Multiplikation mit einer komplexen Konstante $C \in \mathbb{C}$ hervor, gilt also $A_{j, k} = CA_{i, k}$ für alle $1 \leq k \leq N$, so folgt ebenfalls
\[ \begin{align} \det\left(A\right) = 0, \end{align} \]
indem man $C$ einfach vor die die Determinante definierende Summme zieht. Ist die $j-$te Zeile eine Linearkombination der anderen $N - 1$ Zeilen, exisitieren also Konstanten $C_l \in \mathbb{C}$ für $1 \leq l \leq N$ mit $l \not= j$ mit $A_{j, k} = \sum_{\substack{l = 1,\\l \not = j}}^NC_lA_{l, k}$ für alle $1 \leq k \leq N$, so gilt auch in diesem Fall
\[ \begin{align} \det\left(A\right) = 0. \end{align} \]
Hierzu muss man einfach $N - 1-$mal die zuvor bewiesene Aussage anwenden.
Der Begriff der Funktion wird vorausgesetzt. Seien $K\in\{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ und $a_n\in K$ für alle $n\in\mathbb{N}$. Eine Potenzreihe $p$ zum Entwicklungspunkt $x_0\in K$ ist eine Reihe der Form
\[ \begin{align} p\left(x\right) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_n\left(x - x_0\right)^n. \end{align} \]
Für ihre Ableitungen gilt (man erinnere sich an die Summenregel)
\[ \begin{align} p'\left(x\right) &= \sum_{n = 0}^{\infty}a_nn\left(x - x_0\right)^{n - 1} = \sum_{n = 1}^{\infty}a_nn\left(x - x_0\right)^{n - 1}\sum_{n = 0}^{\infty}a_{n + 1}(n + 1)\left(x - x_0\right)^{n},\tag{A.32}\label{eq:1st_derivative_series}\\ \frac{d^2}{dx^2}\sum_{n = 0}^{N}a_ix^i &= \sum_{n = 0}^{\infty}\left(n + 2\right)\left(n + 1\right)a_{n + 2}\left(x - x_0\right)^n,\\ \frac{d^m}{dx^m}\sum_{n = 0}^{N}a_ix^i &= \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{\left(n + m\right)!}{n!}a_{n + m}\left(x - x_0\right)^n\tag{A.34}\label{eq:nth_derivative_series} \end{align} \]
Diese Formeln sind auch auf abbrechende Potenzreihen, sogenannte Polynome, anwendbar.
Seien $K\in\{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ und $f:K\to K$ eine Funktion. Die Funktion $f$ heißt lokal analytisch in einem Punkt $x_0\in K$, falls es eine Umgebung M von $x_0$ und eine Potenzreihe $p$ zum Entwicklungspunkt $x_0$ gibt so, dass für alle $x\in M$ gilt
\[ \begin{align} f\left(x\right) = p\left(x\right). \end{align} \]
Eine Funktion heißt analytisch, falls sie in jedem Punkt lokal analytisch ist. Es existieren einige Standard-Potenzreihen, die man die Grundfunktionen nennt:
\[ \begin{align} \exp\left(x\right) \coloneqq \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}. \end{align} \]
\[ \begin{align} \ln \coloneqq \exp^{-1}. \end{align} \]
\[ \begin{align} \sinh\left(x\right) \coloneqq \frac{\exp\left(x\right) - \exp\left(-x\right)}{2} & {} & \cosh\left(x\right) \coloneqq \frac{\exp\left(x\right) + \exp\left(-x\right)}{2} & {} & \tanh \coloneqq \frac{\sinh}{\cosh}. \end{align} \]
\[ \begin{align} \arsinh \coloneqq \sinh^{-1}, & {} & \arcosh \coloneqq \cosh^{-1}, & {} & \artanh \coloneqq \tanh^{-1}. \end{align} \]
\[ \begin{align} \sin\left(x\right) \coloneqq -i\sinh\left(ix\right), & {} & \cos\left(x\right) \coloneqq \cosh\left(ix\right), & {} & \tan \coloneqq \frac{\sin}{\cos}. \end{align} \]
\[ \begin{align} \arcsin \coloneqq \sin^{-1}, & {} & \arccos \coloneqq \cos^{-1}, & {} & \arctan \coloneqq \tan^{-1} \end{align} \]
Die Exponentialfunktion erfüllt die Rechenregel
\[ \begin{align} \exp\left(x + y\right) & \stackrel{\href{#eq:gen_bin_formula}{\text{Glg. (A.17)}}}{=} \sum_{k = 0}^\infty\frac{1}{k!}\sum_{l = 0}^k\left(\begin{array}{c} k\\ l \end{array}\right)x^ly^{k - l} = \sum_{k = 0}^\infty\frac{1}{k!}\sum_{l = 0}^k\frac{k!}{l!\left(k - l\right)!}x^ly^{k - l} = \sum_{k = 0}^\infty\sum_{l = 0}^k\frac{1}{l!\left(k - l\right)!}x^ly^{k - l}\nonumber\\ &= \sum_{l = 0}^\infty\sum_{k = l}^\infty\frac{1}{l!\left(k - l\right)!}x^ly^{k - l} = \sum_{l = 0}^\infty\frac{x^l}{l!}\sum_{k = 0}^\infty\frac{y^k}{k!} = \exp\left(x\right)\exp\left(y\right).\tag{A.42}\label{eq:exp_prop_1} \end{align} \]
Hieraus folgt weiter
\[ \begin{align} 1 = \exp\left(x - x\right) = \exp\left(x\right)\exp\left(-x\right) \Rightarrow \exp\left(-x\right) = \frac{1}{\exp\left(x\right)}.\tag{A.43}\label{eq:exp_prop_2} \end{align} \]
Es ist
\[ \begin{align} \exp\left(x\right) > 0\tag{A.44}\label{eq:exp_prop_3} \end{align} \]
für alle $x \in \mathbb{R}.$ Für $x \geq 0$ ist dies klar. Für $x < 0$ gilt
\[ \begin{align} \exp\left(x\right) = \frac{1}{\exp\left(-x\right)} > 0. \end{align} \]
Somit gelten
\[ \begin{align} \cosh^2\left(x\right) &= \frac{1}{4}\left(e^{2x} + e^{-2x} + 2\right) = \frac{1}{4}\left(e^{2x} + e^{-2x} - 2\right) + 1 = \sinh^2\left(x\right) + 1,\\ \sin^2\left(x\right) + \cos^2\left(x\right) &= -\sinh^2\left(ix\right) + \cosh^2\left(ix\right) = 1,\\ \tanh'&= \frac{\cosh^2 - \sinh^2}{\cosh^2} = 1 - \tanh^2 = \frac{1}{\cosh^2},\\ \tan' &= \frac{\cos^2 + \sin^2}{\cos^2} = 1 + \tan^2 = \frac{1}{\cos^2}. \end{align} \]
Die Grundfunktionen erfüllen folgende Symmetrieeigenschaften:
\[ \begin{align} \sinh\left(-x\right) &= \frac{e^{-x} - e^x}{2} = -\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} = -\sinh\left(x\right)\\ \cosh\left(-x\right) &= \frac{e^{-x} + e^x}{2} = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cosh\left(x\right)\\ \Rightarrow \tanh\left(-x\right) &= -\tanh\left(x\right)\\ \sin\left(-x\right) &= -i\sinh\left(-ix\right) = i\sinh\left(ix\right) = -\left(-i\sinh\left(ix\right)\right) = -\sin\left(x\right)\\ \cos\left(-x\right) &= \cosh\left(-ix\right) = \cosh\left(ix\right) = \cos\left(x\right)\\ \Rightarrow \tan\left(-x\right) &= -\tan\left(x\right) \end{align} \]
Es gelten die sogenannten Additionstheoreme
\[ \begin{align} \sinh\left(x + y\right) &= \frac{e^xe^y - e^{-x}e^{-y}}{2} = \frac{1}{4}\left(2e^xe^y - 2e^{-x}e^{-y}\right) = \frac{1}{4}\left(\left(e^x - e^{-x}\right)\left(e^y + e^{-y}\right) + \left(e^y - e^{-y}\right)\left(e^x + e^{-x}\right)\right)\nonumber\\ &= \sinh\left(x\right)\cosh\left(y\right) + \cosh\left(x\right)\sinh\left(y\right), \tag{A.56}\label{eq:sinh_add_1}\\ \cosh\left(x + y\right) &= \frac{e^xe^y + e^{-x}e^{-y}}{2} = \frac{1}{4}\left(2e^xe^y + 2e^{-x}e^{-y}\right) = \frac{1}{4}\left(\left(e^x + e^{-x}\right)\left(e^y + e^{-y}\right) + \left(e^y - e^{-y}\right)\left(e^x - e^{-x}\right)\right)\nonumber\\ &= \cosh\left(x\right)\cosh\left(y\right) + \sinh\left(x\right)\sinh\left(y\right), \tag{A.57}\label{eq:cosh_add_1}\\ \tanh\left(x + y\right) &= \frac{\sinh\left(x + y\right)}{\cosh\left(x + y\right)} = \frac{\sinh\left(x\right)\cosh\left(y\right) + \cosh\left(x\right)\sinh\left(y\right)}{\cosh\left(x\right)\cosh\left(y\right) + \sinh\left(x\right)\sinh\left(y\right)} = \frac{\tanh\left(x\right)\cosh\left(y\right) + \sinh\left(y\right)}{\cosh\left(y\right) + \tanh\left(x\right)\sinh\left(y\right)}\nonumber\\ &= \frac{\tanh\left(x\right) + \tanh\left(y\right)}{1 + \tanh\left(x\right)\tanh\left(y\right)}.\tag{A.58}\label{eq:tanh_add_1} \end{align} \]
Wendet man dies auf die trigonometrischen Funktionen an, erhält man
\[ \begin{align} \sin\left(x + y\right) &= -i\sinh\left(ix + iy\right) = -i\sinh\left(ix\right)\cosh\left(iy\right) - i\cosh\left(ix\right)\sinh\left(iy\right)\nonumber\\ &= \sin\left(x\right)\cos\left(y\right) + \cos\left(x\right)\sin\left(y\right),\\ \cos\left(x + y\right) &= \cosh\left(ix + iy\right) = \cosh\left(ix\right)\cosh\left(iy\right) + \sinh\left(ix\right)\sinh\left(iy\right)\nonumber\\ &= \cos\left(x\right)\cos\left(y\right) - \sin\left(x\right)\sin\left(y\right). \end{align} \]
Hieraus folgt
\[ \begin{align} \cos\left(\alpha\right) = \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 1.\tag{A.61}\label{eq:trigo_add_lemma_1} \end{align} \]
Weiter gilt die sogenannte Euler-Identität
\[ \begin{align} \exp\left(ix\right) = \frac{\exp\left(ix\right) + \exp\left(-ix\right) + \exp\left(ix\right) - \exp\left(-ix\right)}{2} = \cosh\left(ix\right) + \sinh\left(ix\right) = \cos\left(x\right) + i\sin\left(x\right). \end{align} \]
Für die Ableitungen der Grundfunktionen gilt
\[ \begin{align} \exp'\left(x\right) & \stackrel{\href{#eq:1st_derivative_series}{\text{Glg. (A.32)}}}{=} \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{n + 1}{\left(n + 1\right)!}x^n = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = \exp\left(x\right),\\ \sinh'\left(x\right) &= \cosh\left(x\right),\\ \cosh'\left(x\right) &= \sinh\left(x\right),\\ \sin'\left(x\right) &= \cosh\left(ix\right) = \cos\left(x\right),\\ \cos'\left(x\right) &= -\sin\left(x\right). \end{align} \]
Wegen Glg. (A.44) ist $\exp$ auf $\mathbb{R}$ streng monoton steigend. Wegen $\cosh\left(x\right) > 0$ für alle reellen $x$ ist $\sinh$ streng monoton steigend, außerdem gelten
\[ \begin{align} \lim\limits_{x\to\infty}\sinh\left(x\right) = \infty, & {} & \lim\limits_{x\to - \infty}\sinh\left(x\right) = -\infty. \end{align} \]
Also ist
\[ \begin{align} \arsinh:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{align} \]
definiert, weiterhin gilt
\[ \begin{align} \arsinh'\left(x\right) = \frac{1}{\cosh\left(\arsinh'\left(x\right)\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}. \end{align} \]
Es gelten weiterhin
\[ \begin{align} \lim\limits_{x\to\infty}\cosh\left(x\right) = \infty, & {} & \lim\limits_{x\to - \infty}\cosh\left(x\right) = \infty, \end{align} \]
das Minimum befindet sich bei $x = 0$, dort ist $\cosh\left(0\right) = 1$, also definiert man
\[ \begin{align} \arcosh\left[1, \infty\right)\to\left[0, \infty\right). \end{align} \]
Für die Ableitung gilt
\[ \begin{align} \arcosh'\left(x\right) = \frac{1}{\sinh\left(\arcosh\left(x\right)\right)} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}. \end{align} \]
Die Arcusfunktionen haben die Definitions- und Bildmengen
\[ \begin{align} \arcsin: & \left[-1, 1\right]\to\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],\\ \arccos: & \left[-1, 1\right]\to\left[0, \pi\right],\\ \arctan: & \left(-\infty, \infty\right)\to\left(-\frac{\pi}{2}.\frac{\pi}{2}\right). \end{align} \]
Ihre Ableitungen berechnen sich zu
\[ \begin{align} \arcsin'\left(x\right) &= \frac{1}{\cos\left(\arcsin\left(x\right)\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},\\ \arccos'\left(x\right) &= -\frac{1}{\sin\left(\arccos\left(x\right)\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},\\ \arctan'\left(x\right) &= \frac{1}{\tan'\left(\arctan\left(x\right)\right)} = \frac{1}{1 + x^2}. \end{align} \]
Für die Taylor-Entwicklungen erster Ordnung der Grundfunktionen zum Entwicklungspunkt Null folgt
\[ \begin{align} \exp\left(x\right) \approx 1 + x, & {} & \sinh\left(x\right) \approx x, & {} & \cosh\left(x\right) \approx 1, & {} & \tanh\left(x\right) \approx x,\\ \sin\left(x\right) \approx x, & {} & \cos\left(x\right) \approx 1, & {} & \tan\left(x\right) \approx x. \end{align} \]
Sei $p\left(x\right) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n$ eine Potenzreihe $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ mit $p\left(x\right) = 0$ für alle $x\in\mathbb{C}$, dann gilt bereits $a_n = 0$ für alle $n\in\mathbb{N}$. Dies soll zunächst per Widerspruchsbeweis für ein Polynom, also für eine abbrechende Potenzreihe, eingesehen werden. Nehme also an, dass $a_n = 0$ für alle $N < n \in \mathbb{N}$ ist und nehme weiter an, dass $a_N \not = 0$ ist. Für $\left|x\right|\to\infty$ divergiert jedes Polynom, da Polynome stetig sind existiert insbesondere ein $b \in \mathbb{R}$ mit $b > 0$ und $\left|p\left(x\right)\right| > 0$ für alle $x \in \mathbb{C}$ mit $\left|x\right| > b$ im Widerspruch zur Voraussetzung. Somit ist die Aussage für Polynome gezeigt.
An dieser Stelle sei noch eine Anmerkung über komplexe Zahlen gemacht. Die anschauliche Hürde bei komplexen Zahlen ist, die Existenz der imaginären Einheit $i =\sqrt{-1}$ anzuerkennen. Man kann sich keine Zahl $i$ vorstellen, die diese Gleichung erfüllt. Trotzdem lässt sich damit rechnen, es handelt sich also um ein Hilfsmittel der Theorie. Vor dem Vergleich mit Messungen muss man das Ergebnis jedoch auf die reelle Achse projizieren. Schon bei reellen Zahlen kann man sich fragen, was man anschaulich mit einer Zahl anfangen soll, die niemals abbricht, also einer irrationalen Zahl wie $e$. Die anschaulichen Grenzen sind im Grunde schon hier überschritten.
Die Deltadistribution $\delta\left(x\right)$ ist dadurch definiert, dass für jede stetige Funktion $f = f\left(x\right)$
\[ \begin{align} \int_{a<0}^{b>0}\delta\left(x\right)f\left(x\right)dx = f\left(0\right) \end{align} \]
gilt. Es ist nach [20]
\[ \begin{align} \lim_{t\to \infty}\frac{4\sin^2\left(\frac{\Omega t}{2}\right)}{\Omega ^2t} = 2\pi\delta\left(\Omega\right)\tag{A.83}\label{eq:delta_distribution_prop_1}. \end{align} \]
Nach [19] gilt
\[ \begin{align} \delta\left(x - x_0\right) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(ik\left(x - x_0\right)\right)dk\tag{A.84}\label{eq:delta_distribution_prop_2}. \end{align} \]
Seien $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ Riemann-integrierbar. Dann gilt mit der Produktregel
\[ \begin{align} \left(fg\right)' &= f'g + fg'\Leftrightarrow fg = \int f'gdx + \int fg'dx\Leftrightarrow \int f'gdx = fg - \int fg'dx. \end{align} \]
Dies bezeichnet man als partielle Integration.
Seien $a, b\in\mathbb{R}$ mit $a \[
\begin{align}
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx = \left[F\left(x\right)\right]_a^b = \left[F\left(\varphi\left(x\right)\right)\right]_{\varphi^{-1}\left(a\right)}^{\varphi^{-1}\left(b\right)} = \int_{\varphi^{-1}\left(a\right)}^{\varphi^{-1}\left(b\right)}\frac{d}{dx}\left(F\left(\varphi\left(x\right)\right)\right)dx = \int_{\varphi^{-1}\left(a\right)}^{\varphi^{-1}\left(b\right)}f\left(\varphi\left(x\right)\right)\varphi'\left(x\right)dx.\tag{A.86}\label{eq:substitutionsregel}
\end{align}
\] Dies bezeichnet man als Substitutionsregel. Es wird das Verfahren der Trennung der Variablen hergeleitet. Seien $a, b\in\mathbb{R}$ mit $a \[
\begin{align}
\frac{df}{dx} = g\left(f\right)h\left(x\right)
\end{align}
\] auf $\left[a, b\right]$ lösen. Man rechnet \[
\begin{align}
\frac{1}{g\left(f\right)}\frac{df}{dx} = h\left(x\right).
\end{align}
\] Dies integriert man nun von $a$ bis zu einem gewünschten $x\in\left[a, b\right]$: \[
\begin{align}
\int_{a}^x\frac{1}{g\left(f\left(x'\right)\right)}\frac{df}{dx'}dx' &= \int_{a}^{x}h\left(x'\right)dx'\Leftrightarrow \int_{f\left(a\right)}^{f\left(x\right)}\frac{1}{g\left(f\right)}df = \int_{a}^{x}h\left(x'\right)dx'
\end{align}
\] Hierbei wurde die Substitutionsregel verwendet. Sind diese beiden Integrale lösbar, erhält man einen algebraischen Ausdruck für $f\left(x\right)$. Sei eine stetig differenzierbare Funktion $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ gegeben. Seien ferner zwei Funktionen $a \leq b$ gegeben, welche von einem Parameter $t$ abhängen, $a = a\left(t\right)$, $b = b\left(t\right)$. Definiere die Funktion $F = F\left(t\right)$ durch \[
\begin{align}
F\left(t\right) \coloneqq \int_{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}f\left(x, t\right)dx.
\end{align}
\] Die Leibniz-Regel ist eine Aussage über die Ableitung von $F$. Um diese herzuleiten, definiert man zunächst eine Hilfsfunktion \[
\begin{align}
\newtilde{F}\left(a, b, t\right) \coloneqq \int_{a}^{b}f\left(x, t\right)dx.
\end{align}
\] Dann gilt für die Ableitung von $\newtilde{F}$ \[
\begin{align}
\newtilde{F}'\left(a, b, t\right)&= \nabla\newtilde{F}\left(a, b, t\right) = \left(\begin{array}{c}
\frac{\partial\int_{a}^{b}f\left(x, t\right)dx}{\partial a}\\
\frac{\partial\int_{a}^{b}f\left(x, t\right)dx}{\partial b}\\
\frac{\partial\int_{a}^{b}f\left(x, t\right)dx}{\partial t}
\end{array}\right).
\end{align}
\] Mit dem Hauptsatz der Analysis kann man dies zu \[
\begin{align}
\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial\int_{a}^{b}f\left(x, t\right)dx}{\partial a}\\
\frac{\partial\int_{a}^{b}f\left(x, t\right)dx}{\partial b}\\
\frac{\partial\int_{a}^{b}f\left(x, t\right)dx}{\partial t}
\end{array}\right) &= \left(\begin{array}{c}
-f\left(a, t\right)\\
f\left(b, t\right)\\
\int_{a}^{b}\frac{\partial f\left(x, t\right)}{\partial t}dx
\end{array}\right)
\end{align}
\] umformulieren. Mit der mehrdimensionalen Kettenregel erhält man \[
\begin{align}
\frac{dF\left(t\right)}{dt} &= \left(\begin{array}{c}
\frac{da}{dt}\\
\frac{db}{dt}\\
1
\end{array}\right)\cdot\nabla\newtilde{F}\left(a, b, t\right)
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\Leftrightarrow\frac{dF\left(t\right)}{dt} = \int_{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}\frac{\partial f\left(x, t\right)}{\partial t}dx + f\left[b\left(t\right), t\right]\frac{db}{dt} - f\left[a\left(t\right), t\right]\frac{da}{dt}.\tag{A.95}\label{eq:leibniz-rule}
\end{align}
\] Dies ist die Leibniz-Regel. Nun soll \[
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}x^ne^{-\beta x}dx = \frac{n!}{\beta^{n + 1}}\tag{A.96}\label{eq:int_prop_1}
\end{align}
\] mit $\beta\in\mathbb{R}$, $\beta>0$, $n\in\mathbb{N}$ eingesehen werden. Dies tut man am besten per vollständiger Induktion. Für $n = 0$ gilt \[
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}e^{-\beta x}dx = \frac{1}{\beta},
\end{align}
\] also stimmt die Aussage für $n = 0$. Nun gelte die Aussage für $n$ bereits. Dann folgt per partieller Integration \[
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}x^{n + 1}e^{-\beta x} &= \left[-\frac{1}{\beta}x^{n + 1}e^{-\beta x}\right]_0^{\infty} + \frac{n + 1}{\beta}\int_{0}^{\infty}x^ne^{-\beta x}dx = \frac{n + 1}{\beta}\frac{n!}{\beta^{n + 1}} = \frac{\left(n + 1\right)!}{\beta^{n + 2}}.
\end{align}
\] Somit gilt die Aussage für alle $n\in\mathbb{N}$. Weiterhin gilt \[
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x - 1}dx = \frac{\pi^4}{15}.\tag{A.99}\label{eq:stefanboltzmann_help}
\end{align}
\] Hierfür rechnet man zunächst mit Glg. (A.8) \[
\begin{align}
\frac{1}{e^x - 1} = \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}} = \frac{e^{-x} + 1 - 1}{1 - e^{-x}} = \frac{1}{1 - e^{-x}} - 1 = \sum_{n = 0}^{\infty}e^{-nx} - 1 = \sum_{n = 1}^{\infty}e^{-nx}.
\end{align}
\] Damit folgt mit den Glg.en (A.96) und (A.12) \[
\begin{align}
\int_{0}^\infty\frac{x^3}{e^x - 1}dx &= \sum_{n = 1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x^3e^{-nx}dx = 6\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{15}.\tag{A.101}\label{eq:int_prop_3}
\end{align}
\] Die sogenannte Gamma-Funktion ist durch \[
\begin{align}
\Gamma\left(n+1\right)\coloneqq\int_{0}^{\infty}x^ne^{-x}dx
\end{align}
\] definiert. Für sie folgt mit Glg. (A.96) \[
\begin{align}
\Gamma\left(n\right) = \left(n - 1\right)!.
\end{align}
\] Die Fehlerfunktion $\text{erf}$ ist definiert durch \[
\begin{align}
\text{erf}\left(x\right) \coloneqq \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt.\tag{A.104}\label{eq:def_fehlerfunktion}
\end{align}
\] Es gilt nach [11] \[
\begin{align}
\lim\limits_{x\to\infty}\text{erf}\left(x\right) = 1\tag{A.105}\label{eq:integral_fehlerfunktion}.
\end{align}
\] Für $C>0$ folgt \[
\begin{align}
\lim\limits_{x\to\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-Cx^2}dx = \frac{1}{\sqrt{C}}\lim\limits_{x\to\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{C}}.
\end{align}
\] Es folgen \[
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}e^{-Cx^2}x^2dx &= \left[x\left(-\frac{1}{2C}e^{-Cx^2}\right)\right]_0^\infty + \frac{1}{2C}\int_{0}^{\infty}e^{-Cx^2}dx = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{\pi}{C^3}}\tag{A.107}\label{eq:int_prop_5},\\
\int_{0}^{\infty}e^{-Cx^2}x^3dx &= \left[x^2\cdot\left(-\frac{1}{2C}e^{-Cx^2}\right)\right]_0^\infty + \int_{0}^{\infty}\frac{x}{C}e^{-Cx^2}dx\nonumber\\
&= \int_{0}^{\infty}\frac{x}{C}e^{-Cx^2}dx = -\frac{1}{2C^2}\left[e^{-Cx^2}\right]_0^\infty = \frac{1}{2C^2}.\tag{A.108}\label{eq:int_prop_4}
\end{align}
\] Man definiert die Gammafunktion für $x>0$ durch \[
\begin{align}
\Gamma\left(x\right) \coloneqq \int_{0}^{\infty}t^{x - 1}e^{-t}dt.
\end{align}
\] Für $n\in\mathbb{N}$ gilt wegen Glg. (A.96) \[
\begin{align}
\Gamma\left(n + 1\right) = \int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-t}dt = n!.\tag{A.110}\label{eq:gamma_prop_0}
\end{align}
\] Damit folgt insbesondere \[
\begin{align}
\Gamma\left(n + 1\right) &= n! = n\left(n - 1\right)! = n\Gamma\left(n\right)\tag{A.111}\label{eq:gamma_prop_1}.
\end{align}
\] Man kann dies zur Herleitung der Stirling-Formel nutzen, die eine Näherung von $n!$ für hohe $n$ darstellt, was sehr nützlich ist, wenn es zum Beispiel um die Frage geht, wie viel $\left(10^{23}\right)!$ ist. Hierzu rechnet man zunächst \[
\begin{align}
n! = \Gamma\left(n + 1\right) = \int_{0}^{\infty}t^ne^{-t}dt = \int_{0}^{\infty}e^{-t + n\ln\left(t\right)}dt = \int_{0}^{\infty}e^{-n\varphi\left(t\right)}dt
\end{align}
\] mit \[
\begin{align}
\varphi\left(t\right) \coloneqq \frac{t}{n} - \ln\left(t\right).
\end{align}
\] Es gelten \[
\begin{align}
\lim\limits_{t \to 0}\varphi\left(t\right) = \infty, & {} & \lim\limits_{t \to \infty}\varphi\left(t\right) = \infty.
\end{align}
\] Für die ersten beiden Ableitungen gilt \[
\begin{align}
\varphi'\left(t\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{t}, & {} & \varphi''\left(t\right) = \frac{1}{t^2}.
\end{align}
\] Das eindeutige Minimum liegt also bei $t = n$. Die Taylor-Entwicklung bis zur zweiten Ordnung zum Punkt $x = n$ lautet also \[
\begin{align}
\varphi\left(t\right) = 1 - \ln\left(n\right) + \frac{1}{2}\frac{\left(t - n\right)^2}{n^2} + \mathcal{O}\left[\left(t - n\right)^3\right].
\end{align}
\] Der Ausdruck $e^{-n\varphi}$ ist nur für negative und kleine $\varphi$ relevant, daher ist die Taylor-Entwicklung zum Minimum eine gute Approximation im Integral der Gammafunktion: \[
\begin{align}
n!\approx \int_{0}^{\infty}e^{-n + n\ln\left(n\right) - \frac{1}{2}\frac{\left(t - n\right)^2}{n}}dt = n^ne^{-n}\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{2n}}dt = n^{n}e^{-n}\sqrt{2\pi n} = \sqrt{2\pi}n^{n + 1/2}e^{-n}\tag{A.117}\label{eq:stirling}
\end{align}
\] Im letzten Schritt wurde Glg. (A.105) verwendet. Glg. (A.117) ist die Stirling-Formel. Sei $n\in\mathbb{N}$ mit $n \geq 1$. Seien $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ zusammenhängend und $\psi: \Omega\to\mathbb{R}^n$ und $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ stetig differenzierbar. Definiere das Funktional \[
\begin{align}
F\left[\psi\right] \coloneqq \int_\Omega f\left(\psi\left(\mathbf{r}\right)\right)d^3r \in \mathbb{R}.
\end{align}
\] Definiere nun eine Menge an Hilfsfunktionen \[
\begin{align}
D \coloneqq \lbrace h:\Omega\to\mathbb{R}^n \vline \text{stetig differenzierbar, }h\left(\partial\Omega\right) = 0\rbrace.
\end{align}
\] Hierauf aufbauend wird eine weitere Menge von Differenzenquotienten \[
\begin{align}
H: D \times \mathbb{R}_{> 0}: \left(h, \epsilon\right) \mapsto \frac{F\left[\psi + \epsilon h\right] - F\left[\psi\right]}{\epsilon}
\end{align}
\] definiert. Die Funktionalableitung \[
\begin{align}
\frac{\delta F}{\delta\psi}: \Omega \to \mathbb{R}^n
\end{align}
\] ist diejenige Funktion, welche \[
\begin{align}
\frac{dH\left(h, \epsilon\right)}{d\epsilon} = \lim_{\epsilon\to 0}\frac{F\left[\psi + \epsilon h\right] - F\left[\psi\right]}{\epsilon} = \lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\epsilon}\int_\Omega f\left(\psi\left(\mathbf{r}\right) + \epsilon h\left(\mathbf{r}\right)\right) - f\left(\psi\left(\mathbf{r}\right)\right)d^3r = \int_\Omega\frac{\delta F}{\delta\psi}\cdot h\left(\mathbf{r}\right)d^3r\tag{A.122}\label{eq:def_functional_derivative}
\end{align}
\] für alle $h \in D$ erfüllt. Die Funktionalableitung lässt sich als Ableitung von $F$ in Richtung $\psi$ verstehen. Sei $K\in\{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$, dann definiert man einen Vektorraum $V$ über $K$ in der folgenden Weise: Es gibt eine Abbildung
\[
\begin{align}
+ :V\times V\to V;\left(\mathbf{x}, \mathbf{y}\right)\mapsto \mathbf{x} + \mathbf{y}
\end{align}
\] sowie eine andere Abbildung \[
\begin{align}
\cdot :K\times V\to V;\left(\lambda, \mathbf{x}\right)\mapsto\lambda \mathbf{x}.
\end{align}
\] Diese beiden Funktionen haben die folgenden Eigenschaften: \[
\begin{align}
\left(\mathbf{x} + \mathbf{y}\right) + \mathbf{z} = \mathbf{x} + \left(\mathbf{y} + \mathbf{z}\right), & {} & \mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}, & {} & \mathbf{0} + \mathbf{x} = \mathbf{x}.
\end{align}
\] Für jedes $\mathbf{x}\in V$ existiert ein $\left(-\mathbf{x}\right)\in V$ mit \[
\begin{align}
\left(-\mathbf{x}\right) + \mathbf{x} = 0.
\end{align}
\] Weiterhin sollen gelten \[
\begin{align}
\lambda_1\cdot\left(\lambda_2\mathbf{x}\right) = \left(\lambda_1\lambda_2\right)\cdot\mathbf{x}, & {} & 1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x},\\
\lambda\left(\mathbf{x} + \mathbf{y}\right) = \lambda\mathbf{x} + \lambda\mathbf{y}, & {} & \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)\mathbf{x} = \lambda_1\mathbf{x} + \lambda_2\mathbf{x}.
\end{align}
\] Vektoren, die man als Pfeile im Raum verstehen kann, werden in diesem Buch $\mathbf{fettkursiv}$ notiert. Eine Matrix $A$ über $K\in\{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ ist eine rechteckige Anordnung von Elementen aus $K$ mit $m\geq 1$ Zeilen und $n\geq 1$ Spalten. Man schreibt $A_{i, j}$ für das Element in der $j-$ten Spalte der $i-$ten Zeile. Man definiert die Transponierte $A^T$ von $A$ durch $A_{j, i} = A_{i, j}$ für alle $1\leq i\leq m$, $1\leq j\leq n$. Die Multiplikation einer solchen Matrix mit einem Vektor $\mathbf{b} = \left(b_1, \dotsc, b_n\right)^T$ definiert man durch, \[
\begin{align}
A\mathbf{b} = \sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}A_{i, j}b_j\mathbf{e}_i,
\end{align}
\] es entsteht also ein $m-$dimensionaler Spaltenvektor. Sei allgemeiner eine Matrix $B$ über $K$ mit $n$ Zeilen und $l\geq 1$ Spalten gegeben, dann definiert man das Matrizenprodukt $A\cdot B$ durch \[
\begin{align}
\left(A\cdot B\right)_{i, j} \coloneqq\sum_{\alpha = 1}^{n}A_{i, \alpha}B_{\alpha, j}.
\end{align}
\] Es gilt \[
\begin{align}
\left(A\cdot B\right)^T_{i, j}&= \left(A\cdot B\right)_{j, i} = \sum_{\alpha = 1}^{n}A_{j, \alpha}B_{\alpha, i} = \sum_{\alpha = 1}^{n}B_{\alpha, i}A_{j, \alpha} = \sum_{\alpha = 1}^{n}B^T_{i, \alpha}A^T_{\alpha, j} = \left(B^T\cdot A^T\right)_{i, j}
\end{align}
\] und somit ist in diesem Fall \[
\begin{align}
\left(A\cdot B\right)^T = B^T \cdot A^T.
\end{align}
\] Man definiert weiter das Skalarprodukt zweier Vektoren $\mathbf{a}, \mathbf{b}\in\mathbb{R}^n$ durch \[
\begin{align}
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \left\langle\mathbf{a}|\mathbf{b}\right\rangle \coloneqq \mathbf{a}^T\mathbf{b}.
\end{align}
\] Ist $A$ eine reelle Matrix, so folgt \[
\begin{align}
\left\langle\mathbf{a}|A\mathbf{b}\right\rangle = \mathbf{a}^TA\mathbf{b} = \left(A^T\mathbf{a}\right)^T\mathbf{b} = \left\langle A^T\mathbf{a}\big|\mathbf{b}\right\rangle.
\end{align}
\] Matrizen mit genauso vielen Zeilen wie Spalten bezeichnet man als quadratisch. Operatoren sind Funktionen zwischen Funktionen. In der Meteorologie sind nur zwei Funktionenräume relevant: \[
\begin{align}
F_1 &= \{A\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \:\text{unendlich oft stetig-differenzierbar}\}\\
F_2&= \{A\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3, \:\text{unendlich oft stetig-differenzierbar}\}
\end{align}
\] Hierbei ist $A$ die Atmosphäre. Operatoren werden mit einem Dachsymbol gekennzeichnet. Man definiert \[
\begin{align}
& \newhat{A}\:\text{linearer}\:\text{Operator}:\nonumber\\
&\Leftrightarrow&\newhat{A}\left(\lambda\psi\right) = \lambda\newhat{A}\left(\psi\right)\land\newhat{A}\left(\psi_1 + \psi_2\right) = \newhat{A}\left(\psi_1\right) + \newhat{A}\left(\psi_2\right)
\end{align}
\] für jedes $\lambda\in\mathbb{C}$. Seien $\newhat{A}$ und $\newhat{B}$ Operatoren, dann definiere \[
\begin{align}
\newhat{A}\newhat{B} \coloneqq \newhat{A}\circ\newhat{B}
\end{align}
\] Sind $\newhat{A}$ und $\newhat{B}$ linear, gilt \[
\begin{align}
\newhat{A}\left(\newhat{B}\left(\lambda\psi\right)\right) = \newhat{A}\left(\lambda\newhat{B}\left(\psi\right)\right) = \lambda\newhat{A}\left(\newhat{B}\left(\psi\right)\right)\Leftrightarrow \newhat{A}\newhat{B}\left(\lambda\psi\right) = \lambda\newhat{A}\newhat{B}\left(\psi\right)
\end{align}
\] Weiterhin gilt \[
\begin{align}
\newhat{A}\newhat{B}\left(\psi_1 + \psi_2\right) = \newhat{A}\left(\newhat{B}\left(\psi_1\right) + \newhat{B}\left(\psi_2\right)\right) = \newhat{A}\newhat{B}\left(\psi_1\right) + \newhat{A}\newhat{B}\left(\psi_2\right).
\end{align}
\] Hintereinanderausführungen linearer Operatoren sind also linear. Weiterhin lässt man die Klammern um das Argument bei Operatoren häufig weg: \[
\begin{align}
\newhat{A}\psi \coloneqq \newhat{A}\left(\psi\right)
\end{align}
\] Außerdem gilt \[
\begin{align}
\left(\lambda_1\newhat{A} + \lambda_2\newhat{B}\right)\lambda\psi &= \lambda_1\newhat{A}\lambda\psi + \lambda_2\newhat{B}\lambda\psi = \lambda_1\lambda\newhat{A}\psi + \lambda_2\lambda\newhat{B}\psi = \lambda\left(\lambda_1\newhat{A}\psi + \lambda_2\newhat{B}\psi\right)\nonumber\\
&= \lambda\left(\lambda_1\newhat{A} + \lambda_2\newhat{B}\right)\psi
\end{align}
\] sowie \[
\begin{align}
\left(\lambda_1\newhat{A} + \lambda_2\newhat{B}\right)\left(\psi_1 + \psi_2\right) &= \lambda_1\newhat{A}\left(\psi_1 + \psi_2\right) + \lambda_2\newhat{B}\left(\psi_1 + \psi_2\right)\nonumber\\
&= \lambda_1\newhat{A}\psi_1 + \lambda_1\newhat{A}\psi_2 + \lambda_2\newhat{B}\psi_1 + \lambda_2\newhat{B}\psi_2\nonumber\\
&= \left(\lambda_1\newhat{A} + \lambda_2\newhat{B}\right)\psi_1 + \left(\lambda_1\newhat{A} + \lambda_2\newhat{B}\right)\psi_2.
\end{align}
\] Linearkombinationen linearer Operatoren sind also linear. Da für partielle Ableitungen die normalen Ableitungsregeln gelten, erhält man \[
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x_i}\lambda\psi &= \lambda\frac{\partial}{\partial x_i}\psi\\
\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\psi_1 + \psi_2\right) &= \frac{\partial}{\partial x_i}\psi_1 + \frac{\partial}{\partial x_i}\psi_2,
\end{align}
\] wobei die Zeit durch eine der $x_i$ abgedeckt sei. Partielle Ableitungen sowie Linearkombinationen partieller Ableitungen (auch mit Basisvektoren) sind also linear. Seien $\left(x_1, x_2, x_3\right)$ drei kartesische Koordinaten und $\left(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\right)$ die zugehörige Basis. Man definiert das Vektorprodukt $\mathbf{A}\times\mathbf{B}$ zweier Vektoren $\mathbf{A} = \left(A_1, A_2, A_3\right)^T$, $B = \left(B_1, B_2, B_3\right)^T$ durch \[
\begin{align}
\mathbf{A}\times\mathbf{B} \coloneqq \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}A_iB_j\mathbf{e}_k.
\end{align}
\] Dieses ist linear, denn für $\lambda\in\mathbb{R}$ und $\mathbf{C}\in\mathbb{R}^3$ gelten \[
\begin{align}
\mathbf{A}\times\left(\mathbf{B} + \mathbf{C}\right) &= \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}A_i\left(B_j + C_j\right)\mathbf{e}_k = \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}A_iB_j\mathbf{e}_k + \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}A_iC_j\mathbf{e}_k\nonumber\\
&= \mathbf{A}\times\mathbf{B} + \mathbf{A}\times\mathbf{C}, \tag{A.147}\label{eq:vektorprodukt_linear_summe}\\
\mathbf{A}\times\left(\lambda\mathbf{B}\right) &= \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}A_i\lambda B_j\mathbf{e}_k = \lambda\mathbf{A}\times\mathbf{B}.\tag{A.148}\label{eq:vektorprodukt_linear_faktor}
\end{align}
\] Weiterhin ist es antikommutativ, \[
\begin{align}
\mathbf{A}\times\mathbf{B} = \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}A_iB_j\mathbf{e}_k = \sum_{i, j, k = 1}^{3} - \epsilon_{j,i,k}B_jA_i\mathbf{e}_k = -\mathbf{B}\times\mathbf{A}.\tag{A.149}\label{eq:cross_product_anticommutative}
\end{align}
\] Für die $l-$te Komponente, $1 \leq l \leq 3$, des Vektorproduktes findet man \[
\begin{align}
\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)_l &= \left(\sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}A_iB_j\mathbf{e}_k\right)\cdot\mathbf{e}_l = \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}A_iB_j\delta_{k,l} = \sum_{i, j = 1}^{3}\epsilon_{i, j, l}A_iB_j.
\end{align}
\] Das Vektorprodukt hat die Orthogonalitätseigenschaften \[
\begin{align}
\mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right) &= \sum_{i = 1}^3A_i\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)_i = \sum_{i = 1}^3A_i\sum_{j, k = 1}^{3}\epsilon_{j, k, i}A_jB_k = \sum_{k = 1}^3B_k\sum_{i, j = 1}^3\epsilon_{k, i, j}A_iA_j\nonumber\\
&= \sum_{k = 1}^3B_k\sum_{i, j = 1}^3A_iA_j - A_jA_i = 0
\end{align}
\] sowie \[
\begin{align}
\mathbf{B}\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right) & \stackrel{\href{#eq:cross_product_anticommutative}{\text{Glg. (A.149)}}}{=} -\mathbf{B}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{A}\right) = -0 = 0.
\end{align}
\] Ferner gilt die sogenannte Graßmann-Identität: \[
\begin{align}
\mathbf{A}\times\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right) &= \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}A_i\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)_j\mathbf{e}_k = \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}A_i\left(\sum_{l, m, n = 1}^3\epsilon_{l, m, n}B_lC_m\mathbf{e}_n\right)_j\mathbf{e}_k\nonumber\\
&= \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}A_i\sum_{l, m = 1}^3\epsilon_{l, m, j}B_lC_m\mathbf{e}_k = \sum_{k = 1}^3\mathbf{e}_k\sum_{i = 1}^3A_i\sum_{j, l, m = 1}^{3}\epsilon_{j, k, i}\epsilon_{j, l, m}B_lC_m\nonumber\\
&= \sum_{k = 1}^3\mathbf{e}_k\sum_{i = 1}^{3}A_i\left(B_kC_i - B_iC_k\right) = \mathbf{B}\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\right) - \mathbf{C}\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\right)\tag{A.153}\label{eq:bac-cab}
\end{align}
\] Dies bezeichnet man einprägsamerweise auch als BAC-CAB-Regel. Man kann weiterhin schreiben \[
\begin{align}
\mathbf{B} \equiv \mathbf{B}_\parallel + \mathbf{B}_\perp,
\end{align}
\] wobei $\mathbf{B}_\parallel$ den zu $\mathbf{A}$ parallelen Anteil von $\mathbf{B}$ bezeichnen soll und \[
\begin{align}
\mathbf{B}_\perp \coloneqq \mathbf{B} - \mathbf{B}_\parallel
\end{align}
\] den verblebenden Anteil von $\mathbf{B}$, der senkrecht auf $\mathbf{A}$ steht, wie noch gezeigt werden wird. Es gilt \[
\begin{align}
\mathbf{B}_\parallel = \left(\frac{1}{\left|\mathbf{A}\right|^2}\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\right)\mathbf{A}.
\end{align}
\] Hieraus folgt \[
\begin{align}
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}_\perp = \mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B} - \mathbf{B}_\parallel\right) = \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} - \mathbf{A}\cdot\left(\frac{1}{\left|\mathbf{A}\right|^2}\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\right)\mathbf{A} = 0,
\end{align}
\] also steht $\mathbf{B}_\perp$ in der Tat senkrecht auf $\mathbf{A}$. Mit Glg. (A.153) kann man ferner notieren \[
\begin{align}
\mathbf{A}\times\left(\mathbf{B}\times\mathbf{A}\right) &= \mathbf{B}A^2 - \mathbf{A}\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\right) = A^2\mathbf{B} - A^2\mathbf{B}_\parallel = A^2\mathbf{B}_\perp\nonumber\\
\Rightarrow \mathbf{B}_\perp &= \frac{1}{A^2}\mathbf{A}\times\left(\mathbf{B}\times\mathbf{A}\right).
\end{align}
\] Es gilt \[
\begin{align}
\mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right) &= \sum_{i = 1}^3A_i\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)_i = \sum_{i = 1}^3A_i\sum_{j, k = 1}^{3}\epsilon_{j, k, i}B_jC_k = \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{j, k, i}A_iB_jC_k = \sum_{i, j, k = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}A_iB_jC_k\nonumber\\
&= \sum_{k = 1}^{3}C_k\sum_{i, j = 1}^{3}\epsilon_{i, j, k}A_iB_j = \sum_{i = 1}^3C_k\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)_k = \mathbf{C}\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right).\tag{A.159}\label{eq:spat_prod_prop_0}
\end{align}
\]A.7.3 Trennung der Variablen
A.7.4 Leibniz-Regel
A.7.5 Weitere Formeln
A.7.6 Funktionalableitungen
A.8 Vektorräume
A.8.1 Vektorprodukt