23 Wolkenmikrophysik

In der sogenannten Wolkenmikrophysik geht es um die Beantwortung folgender Fragen:

• Wie entstehen Wolken und Niederschlag?
• Welche Größenspektren haben Wolken und Niederschlag?
• Welche Fallgeschwindigkeit haben Wolken und Niederschlag?
• Welche Wechselwirkungen existieren zwischen den Kondensaten?

23.1 Köhler-Gleichung

Der Dampfdruck über einer Lösung ist durch Gleichung (5.268) gegeben:

\[ \begin{align} \ln\left(\frac{p_S\left(n_s\right)}{p_S^{(0)}}\right) &= -\frac{n_s}{n_w}. \end{align} \]

Hierbei wurde die Notation an die in der Wolkenphysik übliche angepasst.

Der Dampfdruck über einer gekrümmten Oberfläche ist durch Gleichung (5.301) gegeben:

\[ \begin{align} \ln\left(\frac{p_S\left(R\right)}{p_S^{(0)}}\right) &= \frac{2\gamma}{R_sTR\rho_w}. \end{align} \]

Treten beide Effekte gleichzeitig auf, erhält man

\[ \begin{align} \ln\left(\frac{p_S\left(R,n_s\right)}{p_S^{(0)}}\right) &= \frac{2\gamma}{R_sTR\rho_w} - \frac{n_s}{n_w} \end{align} \]

als Gleichung für den Dampfdruck über einer gekrümmten Oberfläche, innerhalb der sich eine Lösung befindet. Für $n_w$ gilt

\[ \begin{align} n_w = \frac{m_w}{M_w} = \frac{4\pi R^3\rho_w}{3M_w}. \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} \ln\left(\frac{p_S\left(R,n_s\right)}{p_S^{(0)}}\right) &= \frac{2\gamma}{R_sTR\rho_w} - \frac{3M_wn_s}{4\pi R^3\rho_w}. \end{align} \]

Verwendet man anstelle das Radius $R$ den Durchmesser $D$, folgt

Diese Gleichung bezeichnet man als Köhler-Gleichung.

Leitet man diese Gleichung nach $D$ ab und setzt die Ableitung gleich Null, erhält man

\[ \begin{align} 0 &= -\frac{4\gamma}{R_sTD_c^2\rho_w} + \frac{18M_wn_s}{\pi D_c^4\rho_w}\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{4\gamma}{R_sTD_c^2} &= \frac{18M_wn_s}{\pi D_c^4}\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{4\gamma D_c^2}{R_sT} &= \frac{18M_wn_s}{\pi}\nonumber\\ \Leftrightarrow D_c^2 &= \frac{9R_sTM_wn_s}{2\gamma\pi} = \frac{9RTn_s}{2\gamma\pi}. \end{align} \]

$D_c$ bezeichnet man als kritischen Durchmesser. Am kritischen Durchmesser ist der Sättigungsdampfdruck maximal. Nur Tropfen mit $D>D_c$ können weiterwachsen und zu Wolken- und Regentropfen werden. Solche Tropfen entstehen in der freien Atmosphäre nur für $p_v>p_S\left(D_c\right)$.

Wie aus Abb. 23.1 ersichtlich ist, steigt der kritische Durchmesser mit $n_s$ an, wohingegen der maximale Sättigungsdampfdruck absinkt.

23.2 Zirkulation um Kondensate

Aus dem Strömungsfeld um ein Kondensat herum kann man die Kraft ableiten, die auf das Kondensat wirkt, woraus sich mittels Gleichsetzen mit der Gewichtskraft die Fallgeschwindigkeit ergibt.

23.2.1 Laminare Umströmung

Man stelle sich eine Kugel mit Radius $a$ vor, welche im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems zentriert ist. Man sucht nun nach Lösungen des imkompressiblen Gleichungssystems ohne Impulsadvektion

mit den Randbedingungen

Man beschränkt sich auf stationäre, also insbesondere laminare Lösungen. Damit wird die Impulsgleichung Glg. (23.8) zu

\[ \begin{align} \nabla p &= \eta\Delta\mathbf{v}.\tag{23.12}\label{eq:momentum_for_stokes_mod} \end{align} \]

Die Notation von $\mathbf{v}$ in Kugelkoordinaten lautet

\[ \begin{align} \mathbf{v} &= v_r\mathbf{e}_r + v_\theta\mathbf{e}_\theta + v_\phi\mathbf{e}_\phi. \end{align} \]

Hierbei sind $\theta$ der Winkel gegenüber der z-Achse und $\phi$ der Winkel gegenüber der xz-Ebene. Stationäre Lösungen sind rotationssymmetrisch um die z-Achse, außerdem gilt

\[ \begin{align} v_\phi = 0. \end{align} \]

Für die durch die Strömung entstehende Reibungskraft, welche auf die Kugel wirkt, gilt

\[ \begin{align} F = -2\pi a^2\int_0^\pi\left[p\cos\left(\theta\right) + \eta\sin\left(\theta\right)\frac{\partial v_\theta}{\partial r}\right]\sin\left(\theta\right)d\theta. \end{align} \]

Solch eine Reibungskraft bezeichnet man als Stokes'sche Reibung. Dies teilt man auf in eine Kraft $F_p$, die durch den Druck $p$ entsteht, und in eine Kraft $F_v$, die durch die Scherung des Geschwindigkeitsfeldes entsteht, also

\[ \begin{align} F_p &\coloneqq -2\pi a^2\int_0^\pi p\cos\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)d\theta,\tag{23.16}\label{eq:stokes_friction_p}\\ F_v &\coloneqq -2\pi\eta a^2\int_0^\pi\frac{\partial v_\theta}{\partial r}\sin\left(\theta\right)^2d\theta.\tag{23.17}\label{eq:stokes_friction_v} \end{align} \]

Damit gilt

\[ \begin{align} F = F_p + F_v.\tag{23.18}\label{eq:stokes_friction_split-up} \end{align} \]

Nach den Feststellungen zu Beginn von Kap. 15 und Glg. (23.9) kann man $\mathbf{v}$ in der Form

\[ \begin{align} \mathbf{v} = \nabla\times\mathbf{A} \end{align} \]

durch ein Geschwindigkeitspotential $\mathbf{A}$ darstellen. Nach Glg. (B.98) gilt

\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{A} &= \frac{A_\theta}{r}\mathbf{e}_\phi + \frac{A_\phi}{r\tan\left(\theta\right)}\mathbf{e}_r - \frac{A_\phi}{r}\mathbf{e}_\theta + \mathbf{e}_r\left(\frac{1}{r}\frac{\partial A_\phi}{\partial\theta} - \frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial A_\theta}{\partial\phi}\right)\nonumber\\ & + \mathbf{e}_\theta\left(\frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial A_r}{\partial\phi} - \frac{\partial A_\phi}{\partial r}\right) + \mathbf{e}_\phi\left(\frac{\partial A_\theta}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right). \end{align} \]

Aufgrund der Rotationssymmetrie um die z-Achse ist $\mathbf{v}$ nicht von $\phi$ abhängig. Dies impliziert

\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{A} &= \frac{A_\theta}{r}\mathbf{e}_\phi + \frac{A_\phi}{r\tan\left(\theta\right)}\mathbf{e}_r - \frac{A_\phi}{r}\mathbf{e}_\theta + \mathbf{e}_r\frac{1}{r}\frac{\partial A_\phi}{\partial\theta} - \mathbf{e}_\theta\frac{\partial A_\phi}{\partial r} + \mathbf{e}_\phi\left(\frac{\partial A_\theta}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right). \end{align} \]

Durch Projektionen auf die ortsabhängigen Basiselemente der Kugelkoordinaten erhält man

\[ \begin{align} v_r &= \frac{A_\phi}{r\tan\left(\theta\right)} + \frac{1}{r}\frac{\partial A_\phi}{\partial\theta},\\ v_\theta &= -\frac{A_\phi}{r} - \frac{\partial A_\phi}{\partial r},\\ v_\phi &= \frac{A_\theta}{r} + \frac{\partial A_\theta}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial A_r}{\partial\theta}. \end{align} \]

Die Bedingung $v_\phi = 0$ kann man also durch $A_\theta = A_r = 0$ erfüllen, ohne die anderen Komponenten zu beeinträchtigen. Definiere

\[ \begin{align} \psi = \psi\left(r, \theta\right) \coloneqq -rA_\phi\sin\left(\theta\right), \end{align} \]

dann gilt

Die Rotation des Windfeldes lautet

\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{v} &= \frac{v_\theta}{r}\mathbf{e}_\phi + \frac{v_\phi}{r\tan\left(\theta\right)}\mathbf{e}_r - \frac{v_\phi}{r}\mathbf{e}_\theta + \mathbf{e}_r\frac{1}{r}\frac{\partial v_\phi}{\partial\theta} - \mathbf{e}_\theta\frac{\partial v_\phi}{\partial r} + \mathbf{e}_\phi\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial\theta}\right). \end{align} \]

Mit $v_\phi = 0$ folgt hieraus

\[ \begin{align} \zetabi = \nabla\times\mathbf{v} &= \frac{v_\theta}{r}\mathbf{e}_\phi + \mathbf{e}_\phi\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial\theta}\right) = \mathbf{e}_\phi\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial\theta} + \frac{v_\theta}{r}\right). \end{align} \]

Setzt man hier die Glg.en (23.26) - (23.27) ein, erhält man

\[ \begin{align} \zetabi &= \nabla\times\mathbf{v} = \mathbf{e}_\phi\left(\frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2} - \frac{1}{r^2\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial\psi}{\partial r} - \frac{\cos\left(\theta\right)}{r^3\sin\left(\theta\right)^2}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} + \frac{1}{r^3\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2} + \frac{1}{r^2\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)\nonumber\\ &= \mathbf{e}_\phi\left(\frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2} - \frac{\cos\left(\theta\right)}{r^3\sin\left(\theta\right)^2}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} + \frac{1}{r^3\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\nonumber\\ &= \frac{\mathbf{e}_\phi}{r\sin\left(\theta\right)}\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2} - \frac{\cos\left(\theta\right)}{r^2\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\nonumber\\ &= \frac{\mathbf{e}_\phi}{r\sin\left(\theta\right)}\left[\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\sin\left(\theta\right)}{r^2}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\right]\psi \equiv \frac{\mathbf{e}_\phi}{r\sin\left(\theta\right)}E^2\psi \end{align} \]

mit einem Differenzialoperator

\[ \begin{align} E^2 \coloneqq \frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac{1}{r^2\tan\left(\theta\right)}\frac{\partial}{\partial\theta} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\sin\left(\theta\right)}{r^2}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial}{\partial\theta}\right). \end{align} \]

Hieraus folgt, dass gilt

\[ \begin{align} \zetabi &= \nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{A}\right) = \nabla\times\left[\nabla\times\left(A_\phi\mathbf{e}_\phi\right)\right] = -\nabla\times\left[\nabla\times\left(\frac{\psi}{r\sin\left(\theta\right)}\mathbf{e}_\phi\right)\right]. \end{align} \]

Für zweifach stetig differenzierbare Skalarfelder $\chi$ gilt also

\[ \begin{align} -\nabla\times\left[\nabla\times\left(\frac{\chi}{r\sin\left(\theta\right)}\mathbf{e}_\phi\right)\right] &= \frac{\mathbf{e}_\phi}{r\sin\left(\theta\right)}E^2\chi. \end{align} \]

Glg. (B.54) lautet

\[ \begin{align} \Delta\mathbf{v} &= \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right) - \nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{v}\right) \stackrel{\href{#eq:incompressibility_stokes_fric}{\text{Glg. (23.9)}}}{=} -\nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{v}\right) = -\nabla\times\zetabi. \end{align} \]

Hiermit kann man die Impulsgleichung Glg. (23.12) in der Form

notieren. Wendet man hierauf nochmal die Rotation an, folgt

\[ \begin{align} 0 = -\eta\nabla\times\left(\nabla\times\zetabi\right) = -\eta\nabla\times\left[\nabla\times\left(\frac{\mathbf{e}_\phi}{r\sin\left(\theta\right)}E^2\psi\right)\right] = \eta\frac{\mathbf{e}_\phi}{r\sin\left(\theta\right)}E^4\psi. \end{align} \]

Man kann also

als Differenzialgleichung für $\psi$ verwenden. Aus der Randbedingung Glg. (23.11) folgen

\[ \begin{align} \frac{\partial\psi}{\partial r}\left(r = a\right) &= 0,\tag{23.38}\label{eq:stokes_psi_bc_4}\\ \frac{\partial\psi}{\partial\theta}\left(r = a\right) &= 0. \end{align} \]

$\psi$ ist also konstant entlang der Kugeloberfläche, o. B. d. A. kann man als Randbedingung

\[ \begin{align} \psi\left(r = a\right) = 0\tag{23.40}\label{eq:stokes_psi_bc_1} \end{align} \]

fordern. Die Randbedingung Glg. (23.10) lautet in Kugelkoordinaten

\[ \begin{align} \lim_{\left|\mathbf{r}\right|\to\infty}v_r &= U\cos\left(\theta\right),\tag{23.41}\label{eq:stokes_psi_bc_2}\\ \lim_{\left|\mathbf{r}\right|\to\infty}v_\theta &= -U\sin\left(\theta\right).\tag{23.42}\label{eq:stokes_psi_bc_3} \end{align} \]

Der Druck soll in der Unendlichkeit gegen einen homogenen Hintergrunddruck $p_0$ konvergieren:

\[ \begin{align} \lim_{\left|\mathbf{r}\right| \to \infty}p &= p_0 \end{align} \]

Es gilt

\[ \begin{align} E^4\psi &= \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac{1}{r^2\tan\left(\theta\right)}\frac{\partial}{\partial\theta} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\right)\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2} - \frac{1}{r^2\tan\left(\theta\right)}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right).\tag{23.44}\label{eq:stokes_e4} \end{align} \]

Nun macht man für $\psi$ den Ansatz

\[ \begin{align} \psi\left(r,\theta\right) = -\frac{U\sin\left(\theta\right)^2}{2}\left(Ar + Br^2 + \frac{C}{r}\right).\tag{23.45}\label{eq:stokes_ansatz} \end{align} \]

Aus Glg. (23.41) folgt

\[ \begin{align} \lim_{\left|\mathbf{r}\right| \to \infty}v_r &= -\lim_{\left|\mathbf{r}\right|\to\infty}\frac{1}{r^2\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} = \lim_{\left|\mathbf{r}\right|\to\infty}\frac{1}{r^2\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial}{\partial\theta}\frac{U\sin\left(\theta\right)^2}{2}\left(Ar + Br^2 + \frac{C}{r}\right)\nonumber\\ &= \lim_{\left|\mathbf{r}\right|\to\infty}\frac{1}{r^2\sin\left(\theta\right)}U\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)\left(Ar + Br^2 + \frac{C}{r}\right)\nonumber\\ &= \lim_{\left|\mathbf{r}\right|\to\infty}U\cos\left(\theta\right)\left(\frac{A}{r} + B + \frac{C}{r^3}\right)\nonumber\\ &= \lim_{\left|\mathbf{r}\right|\to\infty}BU\cos\left(\theta\right) = BU\cos\left(\theta\right). \end{align} \]

Vergleich mit Glg. (23.41) impliziert

\[ \begin{align} B = 1. \end{align} \]

Aus Glg. (23.42) folgt

\[ \begin{align} \lim_{\left|\mathbf{r}\right|\to\infty}v_\theta &= \lim_{\left|\mathbf{r}\right|\to\infty}\frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial\psi}{\partial r} = -\lim_{\left|\mathbf{r}\right|\to\infty}\frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial}{\partial r}\frac{U\sin\left(\theta\right)^2}{2}\left(Ar + Br^2 + \frac{C}{r}\right)\nonumber\\ &= -\lim_{\left|\mathbf{r}\right|\to\infty}\frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{U\sin\left(\theta\right)^2}{2}\left(A + 2Br - \frac{C}{r^2}\right)\nonumber\\ &= -\lim_{\left|\mathbf{r}\right|\to\infty}U\sin\left(\theta\right)\left(\frac{A}{2r} + B - \frac{C}{2r^3}\right)\nonumber\\ &= -\lim_{\left|\mathbf{r}\right|\to\infty}U\sin\left(\theta\right)B = -BU\sin\left(\theta\right). \end{align} \]

Vergleich mit Glg. (23.42) impliziert wiederum $B = 1$, also

\[ \begin{align} \psi\left(r,\theta\right) = -\frac{U\sin\left(\theta\right)^2}{2}\left(Ar + r^2 + \frac{C}{r}\right). \end{align} \]

Aus Glg. (23.40) erhält man weiter

\[ \begin{align} \psi\left(a,\theta\right) &= -\frac{U\sin\left(\theta\right)^2}{2}\left(Aa + a^2 + \frac{C}{a}\right) \hastobe 0\\ \Leftrightarrow Aa + a^2 + \frac{C}{a} &= 0\\ \Leftrightarrow Aa^2 + a^3 + C &= 0\\ \Leftrightarrow C &= -Aa^2 - a^3, \end{align} \]

also

\[ \begin{align} \psi\left(r,\theta\right) = -\frac{U\sin\left(\theta\right)^2}{2}\left(Ar + r^2 - \frac{Aa^2 + a^3}{r}\right). \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} \frac{\psi\left(r,\theta\right)}{\partial r} = -\frac{U\sin\left(\theta\right)^2}{2}\left(A + 2r + \frac{Aa^2 + a^3}{r^2}\right). \end{align} \]

Aus Glg. (23.38) folgt

\[ \begin{align} A + 2a + \frac{Aa^2 + a^3}{a^2} = A + 2a + A + a &= 2A + 3a \hastobe 0\nonumber\\ \Leftrightarrow A &= -\frac{3a}{2}. \end{align} \]

Der Ansatz lautet also

\[ \begin{align} \psi\left(r,\theta\right) &= -\frac{U\sin\left(\theta\right)^2}{2}\left(-\frac{3a}{2}r + r^2 + \frac{3a^3}{2r} - \frac{a^3}{r}\right)\nonumber\\ &= -\frac{U\sin\left(\theta\right)^2}{2}\left(-\frac{3a}{2}r + r^2 + \frac{a^3}{2r}\right).\tag{23.57}\label{eq:stokes_ansatz_concrete} \end{align} \]

Nun wird dies in Glg. (23.44) eingesetzt. Vorbereitend rechnet man

\[ \begin{align} \frac{\partial^2\psi}{\partial r^2} &= -\frac{U\sin\left(\theta\right)^2}{2}\left(2 + \frac{a^3}{r^3}\right),\\ -\frac{1}{r^2\tan\left(\theta\right)}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} &= U\cos\left(\theta\right)^2\left(-\frac{3a}{2r} + 1 + \frac{a^3}{2r^3}\right),\\ \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2} &= -U\left(\cos\left(\theta\right)^2 - \sin\left(\theta\right)^2\right)\left(-\frac{3a}{2r} + 1 + \frac{a^3}{2r^3}\right). \end{align} \]

Addiert man diese drei Terme, erhält man

\[ \begin{align} E^2\psi &= \frac{\partial^2\psi}{\partial r^2} - \frac{1}{r^2\tan\left(\theta\right)}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2} = -\frac{U\sin\left(\theta\right)^2}{2}\left(2 + \frac{a^3}{r^3}\right) + U\sin\left(\theta\right)^2\left(-\frac{3a}{2r} + 1 + \frac{a^3}{2r^3}\right)\\ &= -\frac{U\sin\left(\theta\right)^2}{2}\left(2 + \frac{a^3}{r^3} + \frac{3a}{r} - 2 - \frac{a^3}{r^3}\right)\\ &= -\frac{3aU\sin\left(\theta\right)^2}{2r}.\tag{23.63}\label{eq:stokes_e2} \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial^2E^2\psi}{\partial r^2} &= -\frac{6aU\sin\left(\theta\right)^2}{2r^3} = -\frac{3aU\sin\left(\theta\right)^2}{r^3},\\ -\frac{1}{r^2\tan\left(\theta\right)}\frac{\partial E^2\psi}{\partial\theta} &= \frac{3aU\cos\left(\theta\right)^2}{r^3},\\ \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 E^2\psi}{\partial\theta^2} &= -\frac{3aU\left(\cos\left(\theta\right)^2 - \sin\left(\theta\right)^2\right)}{r^3}. \end{align} \]

Addiert man diese drei Gleichungen, folgt

\[ \begin{align} E^4\psi = 0. \end{align} \]

Glg. (23.45) löst also in der Tat Glg. (23.37).

Nun muss noch gezeigt werden, dass auch Glg. (23.35) vom Ansatz Glg. (23.45) gelöst wird. Man berechnet hierfür zunächst

\[ \begin{align} \nabla\times\zetabi &= \nabla\times\left[\mathbf{e}_\phi\frac{E^2\psi}{r\sin\left(\theta\right)}\right] \stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:diff_op_rule_5}{\text{Glg. (B.51)}}}{=} -\mathbf{e}_\phi\times\nabla\frac{E^2\psi}{r\sin\left(\theta\right)} + \frac{E^2\psi}{r\sin\left(\theta\right)}\nabla\times\mathbf{e}_\phi. \end{align} \]

Mit

\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{e}_\phi &\stackrel{\href{ch-40-vektoranalysis.html#eq:rot_sphere}{\text{Glg. (B.98)}}}{=} \frac{1}{r\tan\left(\theta\right)}\mathbf{e}_r - \frac{1}{r}\mathbf{e}_\theta \end{align} \]

folgt

\[ \begin{align} \nabla\times\zetabi &= -\mathbf{e}_\phi\times\nabla\frac{E^2\psi}{r\sin\left(\theta\right)} + \frac{E^2\psi}{r\sin\left(\theta\right)}\left(\frac{1}{r\tan\left(\theta\right)}\mathbf{e}_r - \frac{1}{r}\mathbf{e}_\theta\right)\nonumber\\ &= -\mathbf{e}_\phi\times\nabla\frac{E^2\psi}{r\sin\left(\theta\right)} + \frac{\cos\left(\theta\right)E^2\psi}{r^2\sin\left(\theta\right)^2}\mathbf{e}_r - \frac{E^2\psi}{r^2\sin\left(\theta\right)}\mathbf{e}_\theta. \end{align} \]

Setzt man hier Glg. (23.63) ein, erhält man

\[ \begin{align} \nabla\times\zetabi &= -\frac{3aU}{2}\left(-\mathbf{e}_\phi\times\nabla\frac{\sin\left(\theta\right)}{r^2} + \frac{\cos\left(\theta\right)}{r^3}\mathbf{e}_r - \frac{\sin\left(\theta\right)}{r^3}\mathbf{e}_\theta\right).\tag{23.71}\label{eq:stokes_deriv_1} \end{align} \]

Mit Glg. (B.88) folgt

\[ \begin{align} \nabla\frac{\sin\left(\theta\right)}{r^2} &= -\frac{2\sin\left(\theta\right)}{r^3}\mathbf{e}_r + \frac{\cos\left(\theta\right)}{r^3}\mathbf{e}_\theta. \end{align} \]

Somit gilt

\[ \begin{align} -\mathbf{e}_\phi\times\nabla\frac{\sin\left(\theta\right)}{r^2} &= \frac{2\sin\left(\theta\right)}{r^3}\mathbf{e}_\theta + \frac{\cos\left(\theta\right)}{r^3}\mathbf{e}_r. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (23.71) ein, erhält man

\[ \begin{align} \nabla\times\zetabi &= -\frac{3aU}{2}\left(\frac{2\sin\left(\theta\right)}{r^3}\mathbf{e}_\theta + \frac{\cos\left(\theta\right)}{r^3}\mathbf{e}_r + \frac{\cos\left(\theta\right)}{r^3}\mathbf{e}_r - \frac{\sin\left(\theta\right)}{r^3}\mathbf{e}_\theta\right)\nonumber\\ &= -\frac{3aU}{2}\left(\frac{\sin\left(\theta\right)}{r^3}\mathbf{e}_\theta + \frac{2\cos\left(\theta\right)}{r^3}\mathbf{e}_r\right). \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (23.35) ein, erhält man

\[ \begin{align} \nabla p = \frac{3aU}{2}\frac{\eta\sin\left(\theta\right)}{r^3}\mathbf{e}_\theta + \frac{3aU}{2}\frac{2\eta\cos\left(\theta\right)}{r^2}\mathbf{e}_r, \end{align} \]

also

\[ \begin{align} \frac{\partial p}{\partial r} &= \frac{3aU}{2}\frac{2\eta\cos\left(\theta\right)}{r^3},\nonumber\\ \frac{\partial p}{\partial\theta} &= \frac{3aU}{2}\frac{\eta\sin\left(\theta\right)}{r^2}. \end{align} \]

Dies wird gelöst durch

\[ \begin{align} p = p_0 - \frac{3aU}{2}\frac{\eta\cos\left(\theta\right)}{r^2}. \end{align} \]

Dies impliziert für die durch den Druck entstehende Reibungskraft laut Glg. (23.16)

\[ \begin{align} F_p &= -2\pi a^2\int_0^\pi-\frac{3\eta aU\cos\left(\theta\right)}{2a^2}\cos\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)d\theta = \pi\int_0^\pi 3\eta aU\cos\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)d\theta\nonumber\\ &= 3\eta aU\pi\int_0^\pi\cos^2\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)d\theta = -3\eta aU\pi\left[\frac{1}{3}\cos\left(\theta\right)^3\right]_0^\pi = 2\eta aU\pi. \end{align} \]

Für $v_\theta$ erhält man mit Glg. (23.27) und dem Ansatz Glg. (23.57)

\[ \begin{align} v_\theta &= \frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial\psi}{\partial r} = \frac{1}{r\sin\left(\theta\right)}\frac{\partial}{\partial r}\left[-\frac{U\sin\left(\theta\right)^2}{2}\left(-\frac{3a}{2}r + r^2 + \frac{a^3}{2r}\right)\right]\nonumber\\ &= \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{U\sin\left(\theta\right)}{2}\left(\frac{3a}{2}r - r^2 - \frac{a^3}{2r}\right)\right] = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{Ua^2\sin\left(\theta\right)}{2}\left(\frac{3}{2a}r - \frac{r^2}{a^2} - \frac{a}{2r}\right)\right]\nonumber\\ &= \frac{1}{r}\left[\frac{Ua^2\sin\left(\theta\right)}{4}\left(-\frac{4r}{a^2} + \frac{3}{a} + \frac{a}{r^2}\right)\right] = \frac{Ua^2\sin\left(\theta\right)}{4}\left(-\frac{4}{a^2} + \frac{3}{ar} + \frac{a}{r^3}\right). \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial v_\theta}{\partial r} &= -\frac{Ua^2\sin\left(\theta\right)}{4}\left(\frac{3}{ar^2} + \frac{3a}{r^4}\right). \end{align} \]

Wertet man dies bei $r = a$ aus, folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial v_\theta}{\partial r}\left(r = a\right) &= -\frac{Ua^2\sin\left(\theta\right)}{4}\left(\frac{3}{a^3} + \frac{3}{a^3}\right) = -\frac{6U\sin\left(\theta\right)}{4a} = -\frac{3U\sin\left(\theta\right)}{2a}. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (23.17) ein, erhält man

\[ \begin{align} F_v &= -2\pi\eta a^2\int_0^\pi-\frac{3U\sin\left(\theta\right)}{2a}\sin\left(\theta\right)^2d\theta = 3U\pi\eta a\int_0^\pi\sin\left(\theta\right)^3d\theta. \end{align} \]

Man integriert nun

\[ \begin{align} \int_0^\pi\sin\left(\theta\right)^3d\theta &= \left[-\cos\left(\theta\right)\sin\left(\theta\right)^2\right]_0^\pi + 2\int_0^\pi\cos\left(\theta\right)^2\sin\left(\theta\right)d\theta\nonumber\\ &= 2\int_0^\pi\cos\left(\theta\right)^2\sin\left(\theta\right)d\theta = \frac{2}{3}\left[-\cos\left(\theta\right)^3\right]_0^\pi = \frac{2}{3}\left[\cos\left(\theta\right)^3\right]_\pi^0 = \frac{4}{3}. \end{align} \]

Dies impliziert

\[ \begin{align} F_v &= 3U\pi\eta a\frac{4}{3} = 4U\pi\eta a. \end{align} \]

Somit gilt laut Glg. (23.18) für die Reibungskraft

Setzt man dies mit der Gewichtskraft

\[ \begin{align} F_g = mg = \frac{4}{3}\pi a^3\left(\rho_l' - \rho_h'\right)g\tag{23.86}\label{eq:gravity_on_condensate} \end{align} \]

gleich, erhält man

als Formel für die Gleichgewichts-Fallgeschwindigkeit $v_F$. Dabei wurde in Glg. (23.86) der statische Auftrieb des Kondensats abgezogen.

23.2.2 Turbulente Umströmung

Bei turbulenter Umströmung ist die das Kondensat umgebende Zirkulation in aperiodischer Weise zeitabhängig. Hierbei ist die Reibungskraft $F$ proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit $U$,

\[ \begin{align} F = \frac{1}{2}c_w\pi a^2\rho_h'U^2,\tag{23.88}\label{eq:turbulent_friction} \end{align} \]

wobei $c_w \geq 0$ eine von der Form des umströmten Objektes abhängige Konstante, der sogenannte $c_w-$Wert, ist. Im Englischen bezeichnet man diese Größe als drag coefficient $c_d$. Setzt man dies mit der Gewichtskraft laut Glg. (23.86) gleich, erhält man

\[ \begin{align} \frac{1}{2}c_w\pi a^2\rho_h'v_F^2 &= \frac{4}{3}\pi a^3\rho_l'g \Leftrightarrow v_F^2 = \frac{8a\rho_l'g}{3\rho_h'c_w} \end{align} \]

als Formel für die Gleichgewichts-Fallgeschwindigkeit $v_F$.

23.2.3 Zusammengesetzte Formel für die Fallgeschwindigkeit

Kleine Kondensate werden laminar umströmt, größere turbulent. Der Parameter $\alpha\in\left[0, 1\right]$ beschreibe den Anteil von Turbulenz in der Reibungskraft $F$, also

\[ \begin{align} F = \alpha F_\text{turbulent} + \left(1 - \alpha\right)F_\text{laminar}. \end{align} \]

Setzt man hier die Glg.en (23.85) und (23.88) ein, erhält man

\[ \begin{align} F = \alpha\frac{1}{2}c_w\pi a^2\rho_h'U^2 + \left(1 - \alpha\right)6\pi a\rho_h'\nu U. \end{align} \]

Hierbei ist $c_w \approx 0,8$ ein realistischer Wert. Setzt man dies mit der Gewichtskraft laut Glg. (23.86) gleich, erhält man unter der Annahme $\alpha \not= 0$

\[ \begin{align} \left(1 - \alpha\right)6\pi a\rho_h'\nu v_F + \alpha\frac{1}{2}c_w\pi a^2\rho_h'v_F^2 &= \frac{4}{3}\pi a^3\rho_l'g\nonumber\\ \Leftrightarrow\alpha\frac{1}{2}c_w\pi a\rho_h'v_F^2 + \left(1 - \alpha\right)6\pi\rho_h'\nu v_F - \frac{4}{3}\pi a^2\rho_l'g &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow\alpha c_w\pi a\rho_h'v_F^2 + \left(1 - \alpha\right)12\pi\rho_h'\nu v_F - \frac{8\pi a^2\rho_l'g}{3} &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow\alpha c_w\pi av_F^2 + \left(1 - \alpha\right)12\pi\nu v_F - \frac{8\pi a^2\rho_l'g}{3\rho_h'} &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow \pi av_F^2 + \frac{\left(1 - \alpha\right)}{\alpha c_w}12\pi \nu v_F - \frac{8\pi a^2\rho_l'g}{3\alpha\rho_h'c_w} &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow v_F^2 + \frac{\left(1 - \alpha\right)}{a\alpha c_w}12\nu v_F - \frac{8a\rho_l'g}{3\alpha\rho_h'c_w} &= 0. \end{align} \]

Es ist zu erwarten, dass der Übergang von laminarer zu turbulenter Reibung entscheidend von der Reynolds-Zahl

\[ \begin{align} R \coloneqq \frac{U^2a^2}{\nu Ua} = \frac{Ua}{\nu} \end{align} \]

abhängt. Man nimmt nun an, dass der Übergang von laminarer zu turbulenter Reibung bei einer kritischen Reynolds-Zahl $R_k$ erfolgt. Um die Gleichgewichts-Sinkgeschindigkeit zu bestimmen, kann man wie folgt vorgehen:

1. Berechne $v_F$ aus Glg. (23.87).
2. Berechne hieraus die Reynoldszahl $R$.
3. Wenn das Ergebnis nicht größer als $R_k$ ist, $R \leq R_k$, gilt $\alpha = 0$ und das Ergebnis liegt bereits vor. Dabei kann bei Kugeln von $R_k = 10$ ausgegangen werden.
4. Andernfalls gilt $\alpha = 1$, dann verwende (23.90) zur Bestimmung der Gleichgewichts-Fallgeschwindigkeit. Dabei kann bei Kugeln von $c_w = 1$ ausgegangen werden.

23.3 Wachstum von Kondensaten

23.3.1 Größenverteilung von Regentropfen

Die für Regentropfen am häufigsten genutzte Größenverteilung ist die Marshall-Palmer-Verteilung [9], welche die Form

\[ \begin{align} n\left(D\right) = n_0\exp\left(-\lambda D\right)\tag{23.95}\label{eq:marshall-palmer} \end{align} \]

hat. Hierbei sind $D$ der Durchmesser der Regentropfen, $\lambda$ ein Parameter und $n\left(D\right)$ die Anzahl der Tropfen mit Durchmesser zwischen $D$ und $D + dD$, dividiert durch $dD$. $n_0 = 8\cdot 10^6\text{ m}^{-4}$ wird als Konstante angesetzt. Dies ergibt sich empirisch. Der Parameter $\lambda$ kann mit der Dichte flüssigen Wassers $\rho_l$ verknüpft werden. Hierzu integriert man

\[ \begin{align} \rho_l = \int_0^\infty n\left(D\right)mdD = \int_0^\infty n\left(D\right)\frac{4}{3}\pi\left(\frac{D}{2}\right)^3\rho_l'dD = \frac{\pi}{6}\int_0^\infty n\left(D\right)D^3\rho_l'dD = \frac{\pi}{6}\rho_l'n_0\int_0^\infty \exp\left(-\lambda D\right)D^3dD,\tag{23.96}\label{eq:marshall_palmer_deriv_1} \end{align} \]

hierbei ist $\rho_l'$ die mikroskopische Dichte von Wasser. Für das Integral erhält man mit Glg. (A.96)

\[ \begin{align} \int_0^\infty\exp\left(-\lambda D\right)D^3dD &= \frac{6}{\lambda^4}. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (23.96) ein, erhält man

\[ \begin{align} \rho_r = \frac{\pi}{6}\rho_l'n_0\int_0^\infty \exp\left(-\lambda D\right)D^3dD = \frac{\pi\rho_l'n_0}{\lambda^4},\tag{23.98}\label{eq:marshall_palmer_deriv_2} \end{align} \]

hieraus folgt

Für den mittleren Durchmesser $D_0$ folgt, wiederum mit Glg. (A.96),

\[ \begin{align} D_0 = \frac{\int_0^\infty\exp\left(-\lambda D\right)DdD}{\int_0^\infty\exp\left(-\lambda D\right)dD} = \frac{1}{\lambda},\tag{23.100}\label{eq:marshall-palmer_d_lambda} \end{align} \]

also

\[ \begin{align} D_0 = \left(\frac{\rho_r}{\pi\rho_l'n_0}\right)^{1/4}. \end{align} \]

Diese Formel kann genutzt werden, um einen mittleren Durchmesser von Regentropfen aus der Dichte des Regenwassers diagnostisch abzuleiten.

Aus Glg. (23.100) erhält man mithilfe der Substitutionsregel Glg. (A.86) außerdem

\[ \begin{align} D_0 &= \frac{\int_0^\infty n_D\left(D\right)DdD}{\int_0^\infty n_D\left(D\right)dD} = \frac{\int_0^{\frac{\infty}{2}}n_D\left(2D\right)2D\cdot 2\cdot dD}{\int_0^{\frac{\infty}{2}}n_D\left(2D\right)\cdot 2\cdot dD} = 2\frac{\int_0^{\infty}2n_D\left(2r\right)rdr}{\int_0^{\infty}2n_D\left(2r\right)dr} = 2\frac{\int_0^\infty n_r\left(r\right)rdr}{\int_0^\infty n_r\left(r\right)dr} = 2r_0. \end{align} \]

Der mittlere Durchmesser ist also das Doppelte des mittleren Radius, unabhängig von der Größenverteilung. Hierbei wurde das Spektrum als Funktion des Radius $n_r\left(r\right)$ bewusst vom Spektrum als Funktion des Durchmessers $n_D\left(D\right)$ unterschieden und $n_r\left(r\right) = 2n_D\left(2r\right)$ benutzt. Analog gilt

\[ \begin{align} \newoverline{D^n} &= 2^n\newoverline{r^n}. \end{align} \]

23.3.1.1 Anwendung auf Schnee

Empirisch zeigt sich, dass Marshall-Palmer-Verteilungen auch die Größenspektren von Schneeflocken gut approximieren [33].Eiskristalle unterhalb eines gewissen Durchmessers werden zwar nicht mehr als Schnee, sondern als Wolkeneis bezeichnet, über das gesamte Größenspektrum hinweg ist die Marshall-Palmer-Verteilung unter den Verteilungen, die sich durch einen Parameter (hier $\lambda$) beschreiben lassen, jedoch die geeignetste. Hierbei ist

\[ \begin{align} n_0 = 4,6\cdot 10^{6}\text{ m}^{-4}. \end{align} \]

23.3.1.2 Anwendung auf Graupel und Hagel

Empirisch zeigt sich, dass Marshall-Palmer-Verteilungen auch die Größenspektren von Graupel- und Hagelkörnern gut approximieren [33].Siehe die vorherige Fußnote. Hierbei wird üblicherweise der Ansatz

\[ \begin{align} n_0 = A\lambda^b \end{align} \]

mit $b = 3,63$ und $A = 115\frac{1}{1000^{b-1}} = 1,481\cdot 10^{-6}$ gemacht. Setzt man dies in Glg. (23.98) ein, erhält man

\[ \begin{align} \rho_g = \frac{\pi\rho_i'n_0}{\lambda^4} = \frac{\pi\rho_i'A\lambda^b}{\lambda^4} = \frac{\pi\rho_i'A}{\lambda^{4 - b}}, \end{align} \]

hierbei ist $\rho_g$ die Dichte von Graupel bzw. Hagel und $\rho_i'$ die mikroskopische Dichte von Eis. Stellt man dies nach $D_0 = 1/\lambda$ um, erhält man

\[ \begin{align} D_0 = \left(\frac{\rho_g}{\pi\rho_i'A}\right)^{\frac{1}{4 - b}}. \end{align} \]

23.3.2 Autokonversion

Die sogenannte Autokonversion bezeichnet das Entstehen von Niederschlag über das Wachsen von Wolkenpartikeln. Es vereinigen sich also mehrere Wolkenpartikel zu einem Niederschlagspartikel. Dies ist der erste Schritt der Niederschlagsbildung.

23.3.2.1 Bergeron-Findeisen-Prozess

23.3.3 Diffusion

Durch Diffusion können Kondensate wachsen oder schrumpfen. Der diffusive Fluss entsteht dabei dadurch, dass der Dampfdruck an der Oberfläche des Kondensats, welcher dem Sättigungsdampfdruck über Wasser oder Eis bei der jeweiligen Temperatur entspricht, anders als der Umgebungsdampfdruck ist. Hierzu geht man von der Diffusionsgleichung Glg. (5.212) aus sowie von einem stationären Zustand:

\[ \begin{align} 0 = \psi\Delta\rho_v. \end{align} \]

Hierbei geht man davon aus, dass der Diffusionskoeffizient von Wasserdampf in feuchter Luft $\psi$ und die Dichte trockener Luft $\rho_d$ in der Nähe des Tropfens homogen sind, was aufgrund der geringen Größe von Tropen gerechtfertigte Annahmen sind.

Da es sich um ein radialsymmetrisches Problem handelt, kann man den Ansatz $\rho_v = \rho_v\left(r\right)$ machen. Mit dem Laplaceoperator in Kugelkoordinaten Glg. (B.91) erhält man somit

\[ \begin{align} \psi\Delta\rho_v = \psi\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial\rho_v}{\partial r}\right) = \psi\left(\frac{2}{r}\frac{\partial\rho_v}{\partial r} + \frac{\partial^2\rho_v}{\partial r^2}\right) = 0. \end{align} \]

Diese Gleichung ist mit den Randbedingungen

\[ \begin{align} \rho_v\left(a\right) &= \rho_{v,a},\\ \rho_v\left(r\to\infty\right) &= \rho_{v,\infty} \end{align} \]

zu lösen, wobei $a$ der Radius des Tropfens ist. Die Lösung lautet

\[ \begin{align} \rho_v\left(a\right) = \rho_{v,\infty} + \left(\rho_{v,a} - \rho_{v,\infty}\right)\frac{a}{r}, \end{align} \]

wie leicht verifiziert werden kann:

\[ \begin{align} \frac{2}{r}\frac{\partial\rho_v}{\partial r} + \frac{\partial^2\rho_v}{\partial r^2} &= \left(\rho_{v,a} - \rho_{v,\infty}\right)\left(-\frac{2a}{r^3} + \frac{2a}{r^3}\right) = 0,\\ \rho_v\left(a\right) &= \rho_{v,\infty} + \left(\rho_{v,a} - \rho_{v,\infty}\right)\frac{a}{a} = \rho_{v,a},\\ \rho_v\left(r\to\infty\right) &= \rho_{v,\infty} + \left(\rho_{v,a} - \rho_{v,\infty}\right)\frac{a}{\infty} = \rho_{v,\infty}. \end{align} \]

Die entsprechende Massenflussdichte in den Tropfen hinein an der Oberfläche lautet somit nach Glg. (5.208)

\[ \begin{align} j &= \psi\frac{\partial\rho_v}{\partial r} = -\psi\left(\rho_{v,a} - \rho_{v,\infty}\right)\frac{a}{a^2} = -\psi\left(\rho_{v,a} - \rho_{v,\infty}\right)\frac{1}{a}. \end{align} \]

Integriert man dies über die gesamte Oberfläche, erhält man die Wachstumsrate der Masse eines Tropfens:

\[ \begin{align} \frac{dm}{dt} &= 4\pi a^2j = -4\pi a^\psi\left(\rho_{v,a} - \rho_{v,\infty}\right)\frac{1}{a} = 4\pi a\psi\left(\rho_{v,\infty} - \rho_{v,a}\right) \end{align} \]

Hierbei ist $\rho_{v,a}$ die absolute Sättigungsfeuchte $\rho_{S}\left(T\right)$ bei der Temperatur $T$ und $\rho_{v,\infty}$ der Umgebungsdampfdruck, für den von nun an $\rho_v$ notiert wird:

\[ \begin{align} \frac{dm}{dt} &= 4\pi a\psi\left(\rho_v - \rho_{S}\left(T\right)\right). \end{align} \]

Durch den permanent stattfindenden Phasenübergang an der Oberfläche des Tropfens, hat dieser nicht die Umgebungstemperatur $T$, sondern die Temperatur $T_s$:

\[ \begin{align} \frac{dm}{dt} &= 4\pi a\psi\left(\rho_v - \rho_{S}\left(T_s\right)\right).\tag{23.119}\label{eq:diff_growth_deriv_1} \end{align} \]

Für $\rho_{S}\left(T_s\right)$ macht man nun eine Taylor-Entwicklung erster Ordnung ein und nutzt die Clausius-Clapeyron-Gleichung Glg. (5.237)

\[ \begin{align} \rho_{S}\left(T_s\right) &\approx \rho_{S}\left(T\right) + \frac{\partial\rho_S}{\partial T}\left(T_s - T\right) \approx \rho_{S}\left(T\right) + \frac{1}{R_vT}\frac{dp_S}{dT}\left(T_s - T\right) \approx \rho_{S}\left(T\right) + \frac{p_S}{R_vT}\frac{L_v}{R_vT^2}\left(T_s - T\right)\nonumber\\ &= \rho_{S}\left(T\right) + \rho_{S}\left(T\right)\frac{L_v}{R_vT^2}\left(T_s - T\right).\tag{23.120}\label{eq:diff_growth_deriv_2} \end{align} \]

Nun muss ein Ausdruck für die Oberflächentemperatur $T_s$ hergeleitet werden. Der Grundansatz hierfür ist die Annahme, dass die Wärme durch den Phasenübergang durch einen Wärmeübergang an der Oberfläche des Tropfens kompensiert wird. Der Wärmeübergang an der Oberfläche des Tropfens ist ebenfalls ein diffusiver Prozess, für ihn gilt daher in Verallgemeinerung von Glg. (23.119)

\[ \begin{align} \frac{dT_s}{dt} &= \frac{4\pi ak_h}{mc_l^{(p)}}\left(T - T_s\right).\tag{23.121}\label{eq:heat_conduc_to_sphere} \end{align} \]

Hierbei sind $c_l^{(p)}$ die spezifische Wärmekapazität von Wasser und $k_h = c_h^{(p)}\rho_h\kappa_h$ die Wärmeleitfähigkeit von feuchter Luft mit $\kappa_h$ als Temperaturleitfähigkeit. Die Temperaturtendenz durch den Phasenübergang lautet

\[ \begin{align} \frac{dT_s}{dt} &= \frac{L_v}{mc_l^{(p)}}\frac{dm}{dt}. \end{align} \]

Die Summe dieser beiden Temperaturtendenzen ist Null, damit erhält man

\[ \begin{align} \frac{4\pi ak_h}{mc_l^{(p)}}\left(T - T_s\right) &= -\frac{L_v}{mc_l^{(p)}}\frac{dm}{dt} \Leftrightarrow T_s - T = \frac{L_v}{4\pi ak_h}\frac{dm}{dt}. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (23.120) ein, erhält man

\[ \begin{align} \rho_{S}\left(T_s\right) &\approx \rho_{S}\left(T\right) + \rho_{S}\left(T\right)\frac{L_v^2}{R_vT^24\pi ak_h}\frac{dm}{dt}. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (23.119) ein, folgt

\[ \begin{align} \frac{dm}{dt} &= 4\pi a\psi\left(\rho_v - \rho_{S}\left(T\right) - \rho_{S}\left(T\right)\frac{L_v^2}{R_vT^24\pi ak_h}\frac{dm}{dt}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{dm}{dt}\left(1 + \rho_{S}\left(T\right)\frac{L_v^2\psi}{R_vT^2k_h}\right) &= 4\pi aD\left(\rho_v - \rho_{S}\left(T\right)\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{dm}{dt} &= \frac{4\pi a\psi}{1 + \rho_{S}\left(T\right)\frac{L_v^2\psi}{R_vT^2k_h}}\left(\rho_v - \rho_{S}\left(T\right)\right) = \frac{4\pi a}{\frac{1}{\psi} + \rho_{S}\left(T\right)\frac{L_v^2}{R_vT^2k_h}}\left(\rho_v - \rho_{S}\left(T\right)\right)\nonumber \end{align} \]

23.3.3.1 Ventilationskoeffizient

Die bisherigen Herleitungen dieses Abschnitts beziehen sich auf Tropfen, die sich relativ zu der sie umgebenden Luft nicht bewegen. Fallen sie jedoch duch die Luft, erhöht sich die Wachstumsrate um den Faktor

\[ \begin{align} f_v \coloneqq \frac{dm/dt}{\left(dm/dt\right)_0}, \end{align} \]

wobei $\left(dm/dt\right)_0$ die Wachstumsrate des sich nicht bewegenden Tropfen bezeichnet. $f_v$ ist der Ventilationskoeffizient. Für $f_v$ wurde aus experimentellen Daten die Formel

\[ \begin{align} f_v = 0,78 + 0,308\cdot S_c^{1/3}N_\text{Re}^{1/2}\tag{23.127}\label{eq:ventilation_rate} \end{align} \]

abgeleitet [5]. Hierbei sind $S_c\coloneqq\frac{\nu}{\psi}$ die Schmidt-Zahl ($\approx 0,71$ für Luft [33]) und $N_\text{Re} = \frac{U2r}{\nu}$ die Reynolds-Zahl.

Unter der Annahme, dass der Ventilationseffekt für Wärme und Masse gleich ist, multipliziert man Glg. (23.125) mit Glg. (23.127), um die diffusive Wachstumsrate eines fallenden Tropfens zu erhalten:

23.3.3.2 Integration übers Spektrum

Um aus Glg. (23.128) einen Quellterm pro Volumen herzuleiten, muss über das Größenspektrum der Tropfen integriert werden:

\[ \begin{align} Q_{d,p} &= \int_0^\infty\frac{dm}{dt}n\left(r\right)dr = \int_0^\infty\frac{dm}{dt}n\left(D\right)dD\nonumber\\ &= \frac{2\pi}{\frac{1}{\psi\rho_{S}\left(T\right)} + \frac{L_v^2}{R_vT^2k_h}}\left(\frac{\rho_v}{\rho_{S}\left(T\right)} - 1\right)\int_0^\infty\left(0,78D + 0,308DS_c^{1/3}N_\text{Re}^{1/2}\right)n\left(D\right)dD\nonumber\\ &= \frac{2\pi}{\frac{1}{\psi\rho_{S}\left(T\right)} + \frac{L_v^2}{R_vT^2k_h}}\left(\frac{\rho_v}{\rho_{S}\left(T\right)} - 1\right)\left(0,78\int_0^\infty Dn\left(D\right)dD + 0,308S_c^{1/3}\int_0^\infty DN_\text{Re}^{1/2}n\left(D\right)dD\right)\nonumber\\ &= \frac{2\pi}{\frac{1}{\psi\rho_{S}\left(T\right)} + \frac{L_v^2}{R_vT^2k_h}}\left(\frac{\rho_v}{\rho_{S}\left(T\right)} - 1\right)n_{0,p}\left(0,78\int_0^\infty D\exp\left(-\lambda_pD\right)dD + 0,308S_c^{1/3}\nu^{-1/2}\int_0^\infty D^{3/2}v_F^{1/2}\exp\left(-\lambda_pD\right)dD\right). \end{align} \]

Hieraus folgt mit Glg. (A.96)

23.3.3.3 Anwendung auf Regen

Setzt man in Glg. (23.130) Glg. (23.90) für die Fallgeschwindigkeit ein, erhält man

\[ \begin{align} Q_{d,r} &= \frac{2\pi}{\frac{1}{\psi\rho_{S,l}\left(T\right)} + \frac{L_v^2}{R_vT^2k_h}}\left(\frac{\rho_v}{\rho_{S,l}\left(T\right)} - 1\right)n_{0,r}\left(0,78\lambda_r^{-2} + 0,308S_c^{1/3}\nu^{-1/2}\int_0^\infty D^{3/2}\left(\frac{4D\rho_l'g}{3\rho_h'c_w}\right)^{1/4}\exp\left(-\lambda_rD\right)dD\right)\nonumber\\ &= \frac{2\pi}{\frac{1}{\psi\rho_{S,l}\left(T\right)} + \frac{L_v^2}{R_vT^2k_h}}\left(\frac{\rho_v}{\rho_{S,l}\left(T\right)} - 1\right)n_{0,r}\left(0,78\lambda_r^{-2} + 0,308S_c^{1/3}\nu^{-1/2}\left(\frac{4\rho_l'g}{3\rho_h'c_w}\right)^{1/4}\int_0^\infty D^{7/4}\exp\left(-\lambda_rD\right)dD\right)\nonumber\\ &= \frac{2\pi}{\frac{1}{\psi\rho_{S,l}\left(T\right)} + \frac{L_v^2}{R_vT^2k_h}}\left(\frac{\rho_v}{\rho_{S,l}\left(T\right)} - 1\right)n_{0,r}\left(0,78\lambda_r^{-2} + 0,308S_c^{1/3}\nu^{-1/2}\left(\frac{4\rho_l'g}{3\rho_h'c_w}\right)^{1/4}\lambda_r^{-11/4}\Gamma\left(\frac{11}{4}\right)\right).\tag{23.131}\label{eq:diff_growth_rain} \end{align} \]

Da $Q_{d,r}$ ein Phasenübergang von gasförmig zu flüssig ($\rho_v>\rho_{S,l}$, Übersättigung) bzw. von flüssig zu gasförmig ($\rho_v<\rho_{S,l}$, Untersättigung) ist, ist hiermit eine Phasenübergangswärmeflussdichte verbunden.

23.3.3.4 Anwendung auf Schnee

Setzt man in Glg. (23.130) Glg. (36.47) für die Fallgeschwindigkeit ein, erhält man

\[ \begin{align} Q_{d,s} &= \frac{2\pi}{\frac{1}{\psi\rho_{S,i}\left(T\right)} + \frac{L_v^2}{R_vT^2k_h}}\left(\frac{\rho_v}{\rho_{S,i}\left(T\right)} - 1\right)n_{0,i}\left(0,78\lambda_s^{-2} + 0,308S_c^{1/3}\nu^{-1/2}\int_0^\infty D^{3/2}\left(aD^b\right)^{1/2}\exp\left(-\lambda_sD\right)dD\right)\nonumber\\ &= \frac{2\pi}{\frac{1}{\psi\rho_{S,i}\left(T\right)} + \frac{L_v^2}{R_vT^2k_h}}\left(\frac{\rho_v}{\rho_{S,i}\left(T\right)} - 1\right)n_{0,i}\left(0,78\lambda_s^{-2} + 0,308S_c^{1/3}\nu^{-1/2}a^{1/2}\int_0^\infty D^{(3+b)/2}\exp\left(-\lambda_sD\right)dD\right)\nonumber\\ &= \frac{2\pi}{\frac{1}{\psi\rho_{S,i}\left(T\right)} + \frac{L_v^2}{R_vT^2k_h}}\left(\frac{\rho_v}{\rho_{S,i}\left(T\right)} - 1\right)n_{0,i}\left(0,78\lambda_s^{-2} + 0,308S_c^{1/3}\nu^{-1/2}a^{1/2}\lambda_s^{-(5+b)/2}\Gamma\left(\frac{5+b}{2}\right)\right). \end{align} \]

Da $Q_{d,s}$ ein Phasenübergang von gasförmig zu fest ($\rho_v>\rho_{S,i}$, Übersättigung) bzw. von fest zu gasförmig ($\rho_v<\rho_{S,i}$, Untersättigung) ist, ist hiermit eine Phasenübergangswärmeflussdichte verbunden.

23.3.3.5 Anwendung auf Graupel

Für das diffusive Wachstum oder die Sublimation von Graupel erhält man analog zu Glg. (23.131)

\[ \begin{align} Q_{d,g} &= \frac{2\pi}{\frac{1}{\psi\rho_{S,i}\left(T\right)} + \frac{L_v^2}{R_vT^2k_h}}\left(\frac{\rho_v}{\rho_{S,i}\left(T\right)} - 1\right)n_{0,g}\left(0,78\lambda_g^{-2} + 0,308S_c^{1/3}\nu^{-1/2}\left(\frac{4\rho_i'g}{3\rho_h'c_w}\right)^{1/4}\lambda_g^{-11/4}\Gamma\left(\frac{11}{4}\right)\right). \end{align} \]

Da $Q_{d,g}$ ein Phasenübergang von gasförmig zu fest ($\rho_v>\rho_{S,i}$, Übersättigung) bzw. von fest zu gasförmig ($\rho_v<\rho_{S,i}$, Untersättigung) ist, ist hiermit eine Phasenübergangswärmeflussdichte verbunden.

23.3.4 Akkretion

Die sogenannte Akkretion bezeichnet das Anwachsen von Niederschlagspartikeln $p$ durch Kollisionen mit Wolkentröpfchen oder Wolkeneispartikeln. Teilweise werden hierfür auch die Begriffe Koaleszenz und Koagulation verwendet, allerdings in nicht immer ganz einheitlicher Bedeutung. Koaleszenz wird meistens synonym zu Akkretion benutzt, häufig in Bezug auf Regentropfen (Abschn. 23.3.4.1). Koagulation ist grundsätzlich ebenfalls synonym zu Akkretion und Koaleszenz, bezieht sich aber meist auf das Anwachsen von Schnee auf Kosten von anderen Kondensatklassen (Abschn. 23.3.4.2). In diesem Text soll daher nur von Akkretion gesprochen werden.

Um die entsprechende Quelldichte $Q_{a,p}$ zu bestimmen, geht man davon aus, dass Wolkenpartikel keine Fallgeschwindigkeit und Niderschlagspartikel eine Fallgeschwindigkeit $v_p = v_p\left(r\right)>0$ haben. Zunächst wird die vereinfachende Annahme gemacht, dass alle Niderschlagspartikel den Radius $r$ haben:

\[ \begin{align} Q_{a,p} = E_{p,c}n_p\pi r^2v_p\left(r\right)\rho_c.\tag{23.134}\label{eq:accretion_deriv_1} \end{align} \]

Hierbei sind $\rho_c$ und $n_p$ die Teilchendichten der Wolken- und Niederschlagspartikel sowie $E_{p,c}$ die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Teilchen nach einer Kollision zu einem Teilchen verschmelzen. Sie wird von nun an vernachlässigt, d. h. sie wird mit Eins angesetzt:

\[ \begin{align} Q_{a,p} = n_p\pi r^2v_p\left(r\right)\rho_c. \end{align} \]

Nimmt man hingegen eine Größenverteilung der Regentropfen $n_p\left(r\right)$ an, erhält man

\[ \begin{align} Q_{a,p} = \int_0^\infty n_p\left(r\right)\pi r^2v_p\left(r\right)\rho_cdr = \pi\rho_c\int_0^\infty n_p\left(r\right)r^2v_p\left(r\right)dr = \pi\rho_c\int_0^\infty n_p\left(r\right)r^2v_p\left(r\right)dr. \end{align} \]

Setzt man hier Glg. (23.95) ein, erhält man

23.3.4.1 Anwendung auf Regen

Setzt man in Glg. (23.137) Glg. (23.90) für die Fallgeschwindigkeit sowie $n_{0,p} = n_{0,r}$ und $E_{r,c} = 1$ ein, erhält man

\[ \begin{align} Q_{a,r,l} &= \frac{n_{0,r}\pi\rho_l}{4}\int_0^\infty\exp\left(-\lambda_r D\right)D^2\sqrt{\frac{4D\rho_l'g}{3\rho_h'c_w}}dD = \frac{n_{0,r}\pi\rho_l}{4}\sqrt{\frac{4\rho_l'g}{3\rho_h'c_w}}\int_0^\infty\exp\left(-\lambda_r D\right)D^{5/2}dD\nonumber\\ &= \frac{n_{0,r}\pi\rho_c}{4\lambda_r^{7/2}}\sqrt{\frac{4\rho_l'g}{3\rho_h'c_w}}\Gamma\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{n_{0,r}\pi\rho_l}{\lambda_r^{7/2}}\sqrt{\frac{\rho_l'g}{12\rho_h'c_w}}\Gamma\left(\frac{7}{2}\right).\tag{23.138}\label{eq:q_arl} \end{align} \]

Analog erhält man

\[ \begin{align} Q_{a,r,i} &= \frac{n_{0,r}\pi\rho_i}{\lambda_r^{7/2}}\sqrt{\frac{\rho_l'g}{12\rho_h'c_w}}\Gamma\left(\frac{7}{2}\right).\tag{23.139}\label{eq:q_ari} \end{align} \]

Da die Eispartikel bei $TDrei-Komponenten-Prozess, da die Kollision von Teilchen zweier Kondensatklassen zum Entstehen einer dritten führt.

Für die Akkretion von Regen durch Eiskristalle (Masse an Regen pro Volumen und Zeit, welche mit Eiskristallen kollidiert) erhält man

\[ \begin{align} Q_{a,i,r} &= \frac{n_{0,r}\pi\rho_i}{4M_i}\sqrt{\frac{4\rho_l'g}{3\rho_h'c_w}}\int_0^\infty\exp\left(-\lambda_r D\right)D^{5/2}\frac{D^3}{6}\pi\rho_l'dD = \frac{n_{0,r}\pi^2\rho_l'\rho_i}{6M_i\lambda_r^{13/2}}\sqrt{\frac{\rho_l'g}{12\rho_h'c_w}}\Gamma\left(\frac{13}{2}\right). \end{align} \]

Hierbei ist $M_i$ eine angenommene Masse aller Eiskristalle. Da unterkühlter Regen beim Kollidieren mit Eiskristallen gefriert, ist $Q_{a,i,r}$ eine Quelldichte für Schnee. Hiermit geht eine Phasenübergangswärmeflussdichte einher, da ein Phasenübergang von flüssig zu fest stattfindet.

Für die Akkrektion von Schnee durch Regen modifiziert man zunächst Glg. (23.134) folgendermaßen:

\[ \begin{align} Q_{a,r,s} &= E_{r,s}n_r\pi\left(r_r + r_s\right)^2\left|v_r - v_s\right|\rho_s = E_{r,s}n_rn_s\pi\left(r_r + r_s\right)^2\left|v_r - v_s\right|\frac{4}{3}\pi r_s^3\rho_i'\nonumber\\ &= E_{r,s}n_rn_s\pi\frac{1}{24}\left(D_r + D_s\right)^2\left|v_r - v_s\right|\pi D_s^3\rho_i'\nonumber\\ &= E_{r,s}\rho_i'n_rn_s\pi^2\left|v_r - v_s\right|\frac{1}{24}\left(r_s^3r_r^2 + 2r_s^4r_r + r_s^5\right). \end{align} \]

Hierbei wurde davon ausgegangen, dass alle Regentropfen den Radius $r_r$ und alle Schneeflocken den Radius $r_s$ haben. Nun setzt man Marshall-Palmer-Verteilungen Glg. (23.95) ein, und integriert über das gesamte Größenspektrum. Für die Relativgeschwindigkeit setzt man die massengewichtete Fallgeschwindigkeit ein:

\[ \begin{align} Q_{a,r,s} &= E_{r,s}\rho_i'\pi^2\left|v_r - v_s\right|\frac{1}{24}\int_{D_s=0}^\infty\int_{r_r=0}^\infty n_{0,r}n_{0,s}\exp\left(-\lambda_rD_g - \lambda_sD_s\right)\left(D_s^3D_g^2 + 2D_s^4D_g + D_s^5\right)dr_rdD_s\nonumber\\ &= E_{r,s}\rho_i'\pi^2n_{0,r}n_{0,s}\left|v_r - v_s\right|\frac{1}{24}\int_{D_s=0}^\infty\int_{r_r=0}^\infty\exp\left(-\lambda_rr_r - \lambda_sD_s\right)\left(D_s^3r_r^2 + 2D_s^4r_r + D_s^5\right)dr_rdD_s\\ &= E_{r,s}\rho_i'\pi^2n_{0,r}n_{0,s}\left|v_r - v_s\right|\frac{1}{24}\int_{D_s=0}^\infty\exp\left(-\lambda_sD_s\right)\int_{D_g=0}^\infty\exp\left(-\lambda_r r_r\right)\left(D_s^3r_r^2 + 2D_s^4D_g + D_s^5\right)dr_rdD_s. \end{align} \]

Hieraus folgt mit Glg. (A.96)

\[ \begin{align} Q_{a,r,s} &= E_{r,s}\rho_i'\pi^2n_{0,r}n_{0,s}\left|v_r - v_s\right|\frac{1}{24}\int_{D_s=0}^\infty\exp\left(-\lambda_sD_s\right)\left(\frac{2D_s^3}{\lambda_r^3} + \frac{D_s^4}{\lambda_r^2} + \frac{D_s^5}{\lambda_r}\right)dD_s\nonumber\\ &= E_{r,s}\rho_i'\pi^2n_{0,r}n_{0,s}\left|v_r - v_s\right|\frac{1}{24}\left(\frac{2\cdot 3!}{\lambda_r^3\lambda_s^4} + \frac{2\cdot 4!}{\lambda_r^2\lambda_s^5} + \frac{5!}{\lambda_r\lambda_s^6}\right)\nonumber\\ &= E_{r,s}\rho_i'\pi^2n_{0,r}n_{0,s}\left|v_r - v_s\right|\left(\frac{1}{2\lambda_r^3\lambda_s^4} + \frac{2}{\lambda_r^2\lambda_s^5} + \frac{5}{\lambda_r\lambda_s^6}\right).\tag{23.144}\label{eq:q_ars} \end{align} \]

Für die Kollisionseffizienz $E_{r,s}$ nimmt man $E_{r,s} = 1$ [6] an. Mit $Q_{a,r,s}$ geht eine Phasenübergangswärmeflussdichte einher, da ein Phasenübergang von fest zu flüssig stattfindet.

23.3.4.2 Anwendung auf Schnee

Setzt man in Glg. (23.137) Glg. (36.47) sowie $n_{0,p} = n_{0,s}$ ein und nimmt für die Kollisionseffizienz

\[ \begin{align} E_{s,i} = \exp\left[0,025\cdot\left(T - T_0\right)\right] \end{align} \]

[6] an, erhält man

\[ \begin{align} Q_{a,s,i} &= \frac{E_{s,i}n_{0,s}\pi\rho_i}{4}\int_0^\infty\exp\left(-\lambda_s D\right)D^2\frac{a}{2^b}D^bdD = \frac{E_{s,i}n_{0,s}\pi\rho_ia}{4\cdot 2^b}\int_0^\infty\exp\left(-\lambda_s D\right)D^{2+b}dD\nonumber\\ &= E_{s,i}\frac{n_{0,s}\pi\rho_ia\Gamma\left(3 + b\right)}{4\cdot 2^b\lambda_s^{3+b}}. \end{align} \]

Analog dazu erhält man für die Akkretion von Wolkenwasser durch Schnee

\[ \begin{align} Q_{a,s,l} &= E_{s,l}\frac{n_{0,s}\pi\rho_la\Gamma\left(3 + b\right)}{4\cdot 2^b\lambda_s^{3+b}}. \end{align} \]

Hierbei wird

\[ \begin{align} E_{s,l} = 1 \end{align} \]

[6] angenommen. Mit $Q_{a,s,l}$ geht eine Phasenübergangswärmeflussdichte einher, da ein Phasenübergang von flüssig zu fest stattfindet.

Analog zu Glg. (23.144) erhält man für die Akkretion von Regen durch Schnee

\[ \begin{align} Q_{a,s,r} &= E_{s,r}\rho_l'\pi^2n_{0,r}n_{0,s}\left|v_r - v_s\right|\left(\frac{1}{2\lambda_s^3\lambda_r^4} + \frac{2}{\lambda_s^2\lambda_r^5} + \frac{5}{\lambda_s\lambda_r^6}\right).\tag{23.149}\label{eq:q_asr} \end{align} \]

Für die Kollisionseffizienz $E_{s,r}$ nimmt man $E_{s,r} = 1$ [6] an. Mit $Q_{a,s,r}$ geht eine Phasenübergangswärmeflussdichte einher, da ein Phasenübergang von flüssig zu fest stattfindet.

23.3.4.3 Anwendung auf Graupel

Für die Akkrektion von Schnee durch Hagel erhält man analog zu Glg. (23.144)

\[ \begin{align} Q_{a,g,s} &= E_{g,s}\rho_i'\pi^2n_{0,g}n_{0,s}\left|v_g - v_s\right|\left(\frac{1}{2\lambda_g^3\lambda_s^4} + \frac{2}{\lambda_g^2\lambda_s^5} + \frac{5}{\lambda_g\lambda_s^6}\right). \end{align} \]

Für die Kollisionseffizienz wird folgender Ansatz gewählt [6]:

\[ \begin{align} E_{g,s} = \begin{cases} \exp\left[0,01\left(T - T_0\right)\right], T

Für die Akkrektion von Schnee durch Regen erhält man analog zu Glg. (23.144)

\[ \begin{align} Q_{a,g,r} &= E_{g,r}\rho_l'\pi^2n_{0,g}n_{0,r}\left|v_g - v_r\right|\left(\frac{1}{2\lambda_g^3\lambda_r^4} + \frac{2}{\lambda_g^2\lambda_r^5} + \frac{5}{\lambda_g\lambda_r^6}\right).\tag{23.152}\label{eq:q_agr} \end{align} \]

Die Kollisionseffizienz $E_{g,r}$ wird mit $1$ angesetzt [6]. Mit $Q_{a,g,r}$ geht bei $T

Für die Akkretion von flüssigem Wolkenwasser durch Graupel erhält man analog zu Glg. (23.138)

\[ \begin{align} Q_{a,g,l} = E_{g,l}\frac{n_{0,g}\pi\rho_l}{\lambda_g^{7/2}}\sqrt{\frac{\rho_l'g}{12\rho_h'c_w}}\Gamma\left(\frac{7}{2}\right).\tag{23.153}\label{eq:q_agl} \end{align} \]

Die Kollisionseffizienz $E_{g,l}$ wird mit $1$ angesetzt [6]. Mit $Q_{a,g,l}$ geht bei $T

Analog zu Glg. (23.139) erhält man für die Akkretion von Wolkeneis durch Graupel

\[ \begin{align} Q_{a,g,i} &= E_{g,i}\frac{n_{0,g}\pi\rho_i}{\lambda_g^{7/2}}\sqrt{\frac{\rho_i'g}{12\rho_h'c_w}}\Gamma\left(\frac{7}{2}\right).\tag{23.154}\label{eq:q_agi} \end{align} \]

Für die Kollisionseffizienz $E_{g,i}$ wird folgender Ansatz gemacht [6]:

\[ \begin{align} E_{g,i} = \begin{cases} 0,1, T

23.4 Phasenübergänge von Niederschlag

In diesem Abschnitt werden Gleichungen für die Massenquelldichten hergeleitet, die aus Phasenübergängen von Niederschlagspartikeln folgen.

23.4.1 Gefrieren von Regentropfen

Für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Tropfen mit Volumen $V'$ in Luft der Temperatur $T$ gefriert innerhalb einer Zeit $t$ schmilzt, wählt man den stochastischen Ansatz [3]

\[ \begin{align} P &= 1 - \exp\left\{-B'V't\left[\exp\left(A'\left(T_0 - T\right)\right) - 1\right]\right\}. \end{align} \]

Hieraus sind $A' = 0,66\text{K}^{-1}$ und $B' = 100\frac{1}{\text{m}^3\text{s}}$ empirische Koeffizienten. Hieraus folgt

\[ \begin{align} 1 - P &= \exp\left\{-B'V't\left[\exp\left(A'\left(T_0 - T\right)\right) - 1\right]\right\}\nonumber\\ \Leftrightarrow\ln\left(1 - P\right) &= -B'V't\left[\exp\left(A'\left(T_0 - T\right)\right) - 1\right]\nonumber\\ \Leftrightarrow P &\approx B'V't\left[\exp\left(A'\left(T_0 - T\right)\right) - 1\right]. \end{align} \]

Hieraus lässt sich leicht die Änderungsrate der Anzahl der Regentropfen herleiten:

\[ \begin{align} \frac{dN_r}{dt} = -NB'V'\left[\exp\left(A'\left(T_0 - T\right)\right) - 1\right] \end{align} \]

Haben diese Tropfen einen Durchmesser $D$, folgt

\[ \begin{align} \frac{dN_r}{dt} = -NB'\frac{\pi D^3}{6}\left[\exp\left(A'\left(T_0 - T\right)\right) - 1\right]. \end{align} \]

Für die Quelldichte von Hagel oder Schnee $Q_{f,g,r}$, die aus diesem Prozess folgt, erhält man mit Glg. (A.96)

\[ \begin{align} Q_{f,g,r} &= B'\frac{\pi}{6}\left[\exp\left(A'\left(T_0 - T\right)\right) - 1\right]\int_0^D\rho_l'\pi\frac{D^3}{6}D^3N\left(D\right)dD\nonumber\\ &= \rho_l'B'\frac{\pi^2}{6^2}\left[\exp\left(A'\left(T_0 - T\right)\right) - 1\right]n_{0,r}\int_0^D\exp\left(-\lambda_rD\right)D^6dD\nonumber\\ &= \rho_l'B'\frac{\pi^2}{6^2}\left[\exp\left(A'\left(T_0 - T\right)\right) - 1\right]n_{0,r}\frac{6!}{\lambda_r^7}\nonumber\\ &= \rho_l'B'\frac{\pi^2}{6}\left[\exp\left(A'\left(T_0 - T\right)\right) - 1\right]n_{0,r}\frac{5!}{\lambda_r^7}\nonumber \end{align} \]

Da dieser Prozess mit einem Phasenübergang von flüssig nach fest einhergeht, ist hiermit eine Phasenübergangswärmeflussdichte verbunden.

23.4.2 Schmelzen von festem Niederschlag

Schmelzen von Schnee oder Graupel findet bei $T>T_0$ genau dann statt, wenn die Summe der anderen Wärmeflüsse positiv ist:

\[ \begin{align} L_sQ_{s,r,p} &= c_l^{(p)}\left(T - T_0\right)\left(Q_{a,g,l} + Q_{a,g,r}\right) + c_v^{(p)}\left(T - T_0\right)Q_\text{conduction} - L_vQ_\text{sublimation}\nonumber\\ \Leftrightarrow Q_{s,r,p} &= \frac{c_l^{(p)}}{L_s}\left(T - T_0\right)\left(Q_{a,g,l} + Q_{a,g,r}\right) + \frac{1}{L_s}\left[c_v^{(p)}\left(T - T_0\right)Q_\text{conduction} - L_vQ_\text{sublimation}\right]. \end{align} \]

$Q_{a,g,l}$ und $Q_{a,g,r}$ sind aus Glg. (23.153) bzw. Glg. (23.152) bekannt. $Q_\text{sublimation}$ entsteht duch den Sublimation an der Oberfläche des Niederschlagspartikels, dieser Term kann aus Glg. (23.130) entnommen werden, wobei im Nenner der zweite Term wegfällt, da die Wärmeflussdichte hier nicht durch den Phasenübergang der Sublimation kompensiert wird, sondern durch den des Schmelzens:

\[ \begin{align} Q_{s,r,p} &= \frac{c_l^{(p)}}{L_s}\left(T - T_0\right)\left(Q_{a,g,l} + Q_{a,g,r}\right)\nonumber\\ &+ \frac{1}{L_s}\Big[L_v\frac{2\pi}{\frac{1}{\psi\rho_{S}\left(T\right)}}\left(\frac{\rho_v}{\rho_{S}\left(T\right)} - 1\right)n_{0,p}\left(0,78\lambda_p^{-2} + 0,308S_c^{1/3}\nu^{-1/2}\int_0^\infty D^{3/2}v_F^{1/2}\exp\left(-\lambda_pD\right)dD\right)\nonumber\\ &+ c_v^{(p)}\left(T - T_0\right)Q_\text{conduction}\Big]\nonumber \end{align} \] \[ \begin{align} &= \frac{c_l^{(p)}}{L_s}\left(T - T_0\right)\left(Q_{a,g,l} + Q_{a,g,r}\right)\nonumber\\ &+ \frac{1}{L_s}\Big[L_v2\pi\psi\left(\rho_v - \rho_{S}\left(T\right)\right)n_{0,p}\left(0,78\lambda_p^{-2} + 0,308S_c^{1/3}\nu^{-1/2}\int_0^\infty D^{3/2}v_F^{1/2}\exp\left(-\lambda_pD\right)dD\right)\nonumber\\ &+ c_v^{(p)}\left(T - T_0\right)Q_\text{conduction}\Big]. \end{align} \]

Um $c_v^{(p)}\left(T - T_0\right)Q_\text{conduction}$ zu bestimmen, verwendet man Glg. (23.121):

\[ \begin{align} mc_l^{(p)}\frac{dT_s}{dt} = 2\pi Dk_h\left(T - T_0\right). \end{align} \]

Hieraus ergibt sich ein Term analog zu Glg. (23.130) mit der Ersetzung

\[ \begin{align} L_v\psi\left(\rho_v - \rho_{S}\left(T\right)\right) \to k_h\left(T - T_0\right). \end{align} \]

Hieraus folgt

Da $Q_{s,r,p}$ mit einem Phasenübergang von fest nach flüssig verbunden ist, ist hiermit eine Phasenübergangswärmeflussdichte verbunden.

23.4.2.1 Anwendung auf Schnee

Wendet man Glg. (23.165) auf Schnee an, folgt

\[ \begin{align} Q_{s,r,s} &= \frac{c_l^{(p)}}{L_s}\left(T - T_0\right)\left(Q_{a,s,l} + Q_{a,s,r}\right)\nonumber\\ &+ \frac{2\pi}{L_s}\left[L_v\psi\left[\rho_v - \rho_{S,i}\left(T\right) + k_h\left(T - T_0\right)\right]n_{0,s}\left(0,78\lambda_s^{-2} + 0,308S_c^{1/3}\nu^{-1/2}a^{1/2}\lambda_s^{-(5+b)/2}\Gamma\left(\frac{5+b}{2}\right)\right)\right].\tag{23.166}\label{eq:q_ss} \end{align} \]

23.4.2.2 Anwendung auf Graupel

Wendet man Glg. (23.165) auf Graupel an, folgt

\[ \begin{align} Q_{s,r,g} &= \frac{c_l^{(p)}}{L_s}\left(T - T_0\right)\left(Q_{a,g,l} + Q_{a,g,r}\right)\nonumber\\ &+ \frac{2\pi}{L_s}\left[L_v\psi\left[\rho_v - \rho_{S,i}\left(T\right) + k_h\left(T - T_0\right)\right]n_{0,g}\left(0,78\lambda_g^{-2} + 0,308S_c^{1/3}\nu^{-1/2}\left(\frac{4\rho_i'g}{3\rho_h'c_w}\right)^{1/4}\lambda_g^{-11/4}\Gamma\left(\frac{11}{4}\right)\right)\right].\tag{23.167}\label{eq:q_sg} \end{align} \]