Führt man $N \geq 1$ Tracer ein (also Anteile der Luft, die nicht zur trockenen Luft gehören), von denen $1 \leq N_C \leq N - 1$ kondensiert sind, so benötigt man $N$ zusätzliche Kontinuitätsgleichungen. Macht man die Annahme des lokalen thermodynamischen Gleichgewichts (alle Kondensate haben die gleiche Temperatur wie die Gasphase), muss man keine zusätzlichen Ersten Hauptsätze einführen. Der Grundansatz zur dynamischen und thermodynamischen Ankopplung der gasförmigen und kondensierten Tracer an das Gleichungssystem für trockene Luft wurde in Abschn. 10.3 festgelegt.
Sei $\rho$ eine Massendichte. Vorbereitend wird das Crank-Nicolson-Verfahren mit $n$ als gegenwärtigem Zeitschritt notiert:
\[ \begin{align} \rho^{(n + 1)} = \rho^{(n)} + \Delta t\frac{1}{2}\left(\frac{\partial\rho^{(n)}}{\partial t} + \frac{\partial\rho^{(n + 1)}}{\partial t}\right) \end{align} \]
An dieser Stelle geht es dabei nur um die vertikale Konvergenz, die anderen Terme werden explizit berechnet:
\[ \begin{align} \rho^{(n + 1)} = \rho^{(n)} + \Delta t\newdot{\rho}^{(n)}_{\text{expl}} - \Delta t\frac{1}{2}\left(\frac{\partial\left(\rho^{(n)}w^{(n + 1)}\right)}{\partial z} + \frac{\partial\left(\rho^{(n + 1)}w^{(n + 1)}\right)}{\partial z}\right) \end{align} \]
Lediglich die generalisierte Dichte wird dabei in Form des Crank-Nicolson-Verfahrens behandelt, die Geschwindigkeit wird aus Stabilitätsgründen vom neuen Zeitschritt genommen. Den Anteil
\[ \begin{align} -\frac{1}{2}\frac{\partial\left(\rho^{(n)}w^{(n + 1)}\right)}{\partial z} \end{align} \]
absorbiert man in die explizite Tendenz, definiert also
\[ \begin{align} \newdot{\rho}^{(n)}_{\text{expl}} \to \newdot{\rho}^{(n)}_{\text{expl}} - \frac{1}{2}\frac{\partial\left(\rho^{(n)}w^{(n + 1)}\right)}{\partial z} \end{align} \]
um. Die vertikale Diskretisierung erfordert einen Layerindex $1 \leq i \leq N_L$:
\[ \begin{align} \rho_i^{(n + 1)} = \rho_i^{(n)} + \Delta t\newdot{\rho_i}^{(n)}_{\text{expl}} - \frac{\Delta t}{2}\frac{A_{i - 1/2}\newoverline{\rho_k^{(n + 1)}}^{(i - 1/2)}w_{i - 1/2}^{(n + 1)} - A_{i + 1/2}\newoverline{\rho_k^{(n + 1)}}^{(i + 1/2)}w_{i + 1/2}^{(n + 1)}}{V_i}\tag{36.5}\label{eq:adv_gen_density_deriv_0} \end{align} \]
Für die vertikalen Mittelungen der Dichte notiert man allgemein
\[ \begin{align} \newoverline{\rho_k}^{(i + 1/2)} = \alpha_{i + \frac{1}{2}, i}\rho_{i} + \alpha_{i + \frac{1}{2}, i + 1}\rho_{i + 1} \end{align} \]
mit
\[ \begin{align} \alpha_{i + \frac{1}{2}, i} + \alpha_{i + \frac{1}{2}, i + 1} = 1. \end{align} \]
Setzt man dies in Glg. (36.5) ein, erhält man
\[ \begin{align} &\rho_i^{(n + 1)} = \rho_i^{(n)} + \Delta t\newdot{\rho_i}^{(n)}_{\text{expl}}\nonumber\\ &- \frac{\Delta t}{2}\left(\alpha_{i - \frac{1}{2}, i - 1}\rho_{i - 1}^{(n + 1)} + \alpha_{i - \frac{1}{2}, i}\rho_i^{(n + 1)}\right)\frac{A_{i - 1/2}w_{i - 1/2}^{(n + 1)}}{V_i} + \frac{\Delta t}{2}\left(\alpha_{i + \frac{1}{2}, i}\rho_i^{(n + 1)} + \alpha_{i + \frac{1}{2}, i + 1}\rho_{i + 1}^{(n + 1)}\right)\frac{A_{i + 1/2}w_{i + 1/2}^{(n + 1)}}{V_i}. \end{align} \]
Man definiert nun
\[ \begin{align} W_{i + 1/2} \coloneqq A_{i + 1/2}w_{i + 1/2}^{(n + 1)}, \end{align} \]
somit erhält man
\[ \begin{align} &\rho_i^{(n + 1)} = \rho_i^{(n)} + \Delta t\newdot{\rho_i}^{(n)}_{\text{expl}}\nonumber\\ &- \frac{\Delta t}{2}\left(\alpha_{i - \frac{1}{2}, i - 1}\rho_{i - 1}^{(n + 1)} + \alpha_{i - \frac{1}{2}, i}\rho_i^{(n + 1)}\right)\frac{W_{i - 1/2}^{(n + 1)}}{V_i} + \frac{\Delta t}{2}\left(\alpha_{i + \frac{1}{2}, i}\rho_i^{(n + 1)} + \alpha_{i + \frac{1}{2}, i + 1}\rho_{i + 1}^{(n + 1)}\right)\frac{W_{i + 1/2}^{(n + 1)}}{V_i}. \end{align} \]
Bei $i = 1$ gilt $w_{i - 1/2} = 0$:
\[ \begin{align} &\rho_1^{(n + 1)} = \rho_1^{(n)} + \Delta t\newdot{\rho}^{(n)}_{1, \text{expl}} + \frac{\Delta t}{2}\left(\alpha_{\frac{3}{2}, 1}\rho_1^{(n + 1)} + \alpha_{\frac{3}{2}, 2}\rho_{2}^{(n + 1)}\right)\frac{W_{3/2}^{(n + 1)}}{V_1} \end{align} \]
Bei $i = N_L$ gilt $w_{i + 1/2} = 0$:
\[ \begin{align} \rho_{N_L}^{(n + 1)} = \rho_{N_L}^{(n)} + \Delta t\newdot{\rho}^{(n)}_{N_L, \text{expl}} - \frac{\Delta t}{2}\left(\alpha_{N_L - \frac{1}{2}, N_L - 1}\rho_{N_L - 1}^{(n + 1)} + \alpha_{N_L - \frac{1}{2}, N_L}\rho_{N_L}^{(n + 1)}\right)\frac{W_{N_L - 1/2}^{(n + 1)}}{V_{N_L}}. \end{align} \]
Man definiert den Vektor $\mathbf{x}$ der Unbekannten durch
\[ \begin{align} \mathbf{x} = \left(\begin{array}{c} \rho^{(n + 1)}_{1}\\ \rho^{(n + 1)}_{2}\\ \vdots\\ \rho^{(n + 1)}_{N_L} \end{array}\right), \end{align} \]
für diesen gilt ein lineares Gleichungssystem
\[ \begin{align} A\cdot\mathbf{x} = \mathbf{r} \end{align} \]
mit einer Matrix $A$ und einer rechten Seite $\mathbf{r}$. Für diese rechte Seite gilt
\[ \begin{align} \mathbf{r} = \left(\begin{array}{c} \rho^{(n)}_{1} + \Delta t\newdot{\rho}^{(n)}_{1, \text{expl}}\\ \rho^{(n)}_{2} + \Delta t\newdot{\rho}^{(n)}_{2, \text{expl}}\\ \rho^{(n)}_{3} + \Delta t\newdot{\rho}^{(n)}_{3, \text{expl}}\\ \vdots\\ \rho^{(n)}_{N_L - 1} + \Delta t\newdot{\rho}^{(n)}_{N_L - 1, \text{expl}}\\ \rho^{(n)}_{N_L} + \Delta t\newdot{\rho}^{(n)}_{N_L, \text{expl}} \end{array}\right). \end{align} \]
Für die Matrix $A$ erhält man
\[ \begin{align} A &= \left(\begin{array}{cccc} d_1 & e_1 & \dots & 0 \\ b_1 & d_2 & e_2 \hspace{2 cm}\dots & 0 \\ \vdots & \hspace{2 cm}\ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & b_{N_L - 1} & d_{N_L} \end{array}\right) \end{align} \]
mit Vektoren $\mathbf{c}, \mathbf{e} \in \mathbb{R}^{N_L - 1}$, $\mathbf{e} \in \mathbb{R}^{N_L}$. Für diese erhält man
\[ \begin{align} c_i &= \frac{\Delta t}{2}\frac{\alpha_{i + \frac{1}{2}, i}W_{i + 1/2}^{(n + 1)}}{V_{i + 1}},\\ d_1 &= 1 - \frac{\Delta t}{2}\alpha_{\frac{3}{2}, 1}\frac{W_{3/2}^{(n + 1)}}{V_1},\\ d_i &= 1 + \frac{\Delta t}{2}\frac{\alpha_{i - \frac{1}{2}, i}W_{i - 1/2}^{(n + 1)} - \alpha_{i + \frac{1}{2}, i}W_{i + 1/2}^{(n + 1)}}{V_i},\\ d_{N_L} &= 1 + \frac{\Delta t}{2}\frac{\alpha_{N_L - \frac{1}{2}, N_L}W_{N_L - 1/2}^{(n + 1)}}{V_{N_L}},\\ e_i &= -\frac{\Delta t}{2}\alpha_{i + \frac{1}{2}, i + 1}\frac{W_{i + 1/2}^{(n + 1)}}{V_i}. \end{align} \]
Limiter erfüllen den Zweck, obere Schranken für Flüsse einzuhalten. Diese oberen Schranken beziehen sich meist darauf, dass aus den Flüssen resultierende Massendichten nicht negativ sein dürfen, da dies unphysikalisch wäre. Bei Tracern mit sehr variablen Dichten kann dies bereits rein durch die Advektion vorkommen. Da es sich bei Limitern um nicht rein aus physikalischen Gesetzen ableitbare numerische Eingriffe handelt, ist die Numerik so zu konstruieren, dass diese möglichst selten aufgerufen werden müssen und wenn doch die Eingriffe möglichst gering sind.
Nach Advektion, Diffusion und Phasenübergängen ist es trotz Limiter möglich, dass negative Dichten entstehen. Diese müssen am Ende des Zeitschritts auf Null gesetzt werden. Dies verletzt zwar die Massenerhaltung, ist aber alternativlos.
Ist die Luft zum Zeitpunkt $t$ übersättigt, findet ein Phasenübergang von gasförmig nach flüssig oder von gasförmig nach fest statt, bis die Luft gesättigt ist. Ist die Luft untersättigt und ist noch Wolkenwasser oder Wolkeneis vorhanden, findet der Phasenübergang in die andere Richtung statt. Für die Modellierung geht man davon aus, dass nach einem Zeitschritt der Länge $\Delta t$ die Luft gesättigt ist, also
\[ \begin{align} p_v\left(t + \Delta t\right) = p_S\left(t + \Delta t\right),\tag{36.22}\label{eq:model_phase_trans_deriv_1} \end{align} \]
hierbei sind $p_v$ der Dampfdruck und $p_S$ wie üblich der Sättigungsdampfdruck. Hieraus soll die Dichte $\Delta\rho_v$ an Wasserdampf bestimmt werden, welche kondensieren oder resublimieren muss, um diesen Zustand zu erreichen. Dies ist nicht einfach $\rho_S\left(t\right) - \rho_v\left(t\right),$ wobei $\rho_S$ die Sättigungsdichte ist, da dies die Phasenübergangswärme unberücksichtigt ließe. Aus Glg. (36.22) folgt
\[ \begin{align} \rho_v\left(t + \Delta t\right)R_vT\left(t + \Delta t\right) &= p_S\left[T\left(t + \Delta t\right)\right]\nonumber\\ \Leftrightarrow\left(\rho_v + \Delta\rho_v\right)R_vT\left(t + \Delta t\right) &= p_S\left[T\left(t + \Delta t\right)\right], \end{align} \]
hierbei bezeichnen Größen ohne explizit angegebene Zeitabhängigkeit Größen zum Zeitpunkt $t$, also $\rho_v\coloneqq\rho_v\left(t\right).$ Hieraus folgt mit $\rho_t$ als Gesamtdichte weiter
\[ \begin{align} \left(\rho_v + \Delta\rho_v\right)R_v\left(T - \Delta\rho_v\frac{L_v}{\rho_tc_p}\right) &= p_S\left(T - \Delta\rho_v\frac{L_v}{\rho_tc_p}\right). \end{align} \]
Multipliziert man die linke Seite aus und macht auf der rechten Seite eine Taylor-Entwicklung erster Ordnung, erhält man
\[ \begin{align} p_v + \Delta\rho_vR_vT - R_v\Delta\rho_v\rho_v\frac{L_v}{\rho_tc_p} - \left(\Delta\rho_v\right)^2R_v\frac{L_v}{\rho_tc_p} &= p_S - p_S'\Delta\rho_v\frac{L_v}{\rho_tc_p}\nonumber\\ \Leftrightarrow -\left(\Delta\rho_v\right)^2R_v\frac{L_v}{\rho_tc_p} + \Delta\rho_v\left(R_vT - R_v\rho_v\frac{L_v}{\rho_tc_p} + p_S'\frac{L_v}{\rho_tc_p}\right) + p_v - p_S &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow a\left(\Delta\rho_v\right)^2 + b\Delta\rho_v + c &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow \left(\Delta\rho_v\right)^2 + p\Delta\rho_v + q &= 0 \end{align} \]
mit
\[ \begin{align} a &\coloneqq -R_v\frac{L_v}{\rho_tc_p} < 0,\\ b &\coloneqq R_vT - R_v\rho_v\frac{L_v}{\rho_tc_p} + p_S'\frac{L_v}{\rho_tc_p},\\ c &\coloneqq p_v - p_S,\\ p &\coloneqq \frac{b}{a},\\ q &\coloneqq \frac{c}{a}. \end{align} \]
Dies impliziert zwei Lösungen
\[ \begin{align} \left(\Delta\rho_v\right)_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}. \end{align} \]
Nun ist noch zu bestimmen, welches der beiden Vorzeichen das physikalisch richtige ist. Im Fall von Untersättigung ist $p_v
\[ \begin{align} \Delta\rho_v = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}. \end{align} \]
Berechnet man Phasenübergänge mit den gemittelten thermodynamischen Variablen, so vernachlässigt man die in Abschn. 17.9.3 betrachtete subskalige Variabilität. Hier sollen die in Abschn. 17.9.3 grundsätzlich angestellten Überlegungen für ein Modell nutzbar gemacht werden. Sei $T = T\left(\mathbf{r}\right)$ das zu einem festen Zeitpunkt $t$ gültige Temperaturfeld in einer Gitterbox $V\subseteq\mathbb{R}^3$. Seien $T_\text{min}$ und $T_\text{max}$ die minimale und die maximale Temperatur innerhalb dieser Menge. Dann leitet sich daraus aufgrund der strengen Monotonie von $p_S\left(T\right)$ der minimale und maximale Sättigungsdampfdruck ab:
\[ \begin{align} p_{S,\text{min}} &= p_S\left(T_\text{min}\right),\\ p_{S,\text{max}} &= p_S\left(T_\text{max}\right). \end{align} \]
Sei $p_v$ der gemittelte Dampfdruck innerhalb der betrachteten Gitterbox. Nun macht man die Annahme, dass der Dampfdruck $p_v$ innerhalb von $V$ homogen ist. Die Grundidee ist, dass bereits bei $p_v>p_{S,\text{min}}$ Kondensation einsetzt, allerdings zunächst in einem sehr geringen Volumenanteil, dem wolkenbefüllte Volumenanteil der Gitterbox $c_f$. Für $c_f$ macht man folgenden Ansatz
\[ \begin{align} c_f\left(p_v\leq p_{S,\text{min}}\right) &= 0,\\ c_f\left(p_v\geq p_{S,\text{max}}\right) &= 1. \end{align} \]
Dies ist in jedem Fall richtig. Die einfachste Möglichkeit, dies für $p_{S,\text{min}}\leq p_v\leq p_{S,\text{max}}$ zu erfüllen, ist eine lineare Interpolation:
\[ \begin{align} c_f\left(p_v\right) &= \frac{p_v - p_{S,\text{min}}}{p_{S,\text{max}} - p_{S,\text{min}}}. \end{align} \]
Dies wäre zum Beispiel dann der Fall, wenn die Temperatur gleichverteilt zwischen $T_\text{min}$ und $T_\text{max}$ gleichverteilt wäre und der Sättigungsdampfdruck in diesem Intervall linear von der Temperatur abhinge, was in erster Ordnung erfüllt ist. Die Idee ist nun, den Dampfdruck, mit dem man die Phasenübergangsraten berechnet, im Fall $p_v>p_{S,\text{min}}$ (in dem überhaupt nur eine Wolkenbildung stattfinden kann) über einen Ansatz
\[ \begin{align} p_v^{(\text{eff})} = p_{S,\text{min}} + \xi\left(p_v - p_{S,\text{min}}\right)\tag{36.38}\label{eq:p_v_eff} \end{align} \]
auszudrücken. Zu bestimmen ist nun $\xi$. $\xi$ berechnet sich über
\[ \begin{align} \xi = \frac{p_v^{(\text{eff})} - p_{S,\text{min}}}{p_v - p_{S,\text{min}}} = \frac{\int_V\text{max}\left(p_v - p_S\left(\mathbf{r}\right),0\right)d^3r}{V\left(p_v - p_{S,\text{min}}\right)}. \end{align} \]
Unter der oben bereits gemachten Annahme, dass $T$ und $p_S$ innerhalb von $V$ gleichverteilt sind, folgt im Fall $p_{S,\text{min}}\leq p_v\leq p_{S,\text{max}}$
\[ \begin{align} \xi &= \frac{\int_{p_{S,\text{min}}}^{p_v}p_v - p_S'dp_S'}{\left(p_{S,\text{max}} - p_{S,\text{min}}\right)\left(p_v - p_{S,\text{min}}\right)} = \frac{p_v\left(p_v - p_{S,\text{min}}\right) - \frac{1}{2}\left(p_v^2 - p_{S,\text{min}}^2\right)}{\left(p_{S,\text{max}} - p_{S,\text{min}}\right)\left(p_v - p_{S,\text{min}}\right)}\nonumber\\ &= \frac{p_v\left(p_v - p_{S,\text{min}}\right) - \frac{1}{2}\left(p_v + p_{S,\text{min}}\right)\left(p_v - p_{S,\text{min}}\right)}{\left(p_{S,\text{max}} - p_{S,\text{min}}\right)\left(p_v - p_{S,\text{min}}\right)} = \frac{p_v - \frac{1}{2}\left(p_v + p_{S,\text{min}}\right)}{p_{S,\text{max}} - p_{S,\text{min}}} = \frac{p_v - p_{S,\text{min}}}{2\left(p_{S,\text{max}} - p_{S,\text{min}}\right)} = \frac{c_f}{2}. \end{align} \]
Im Fall $p_v>p_{S,\text{max}}$ gilt
\[ \begin{align} c_f &= 1, \end{align} \]
die Gitterbox ist zu 100 Prozent mit Wolken bedeckt. Für $\xi$ folgt in diesem Fall
\[ \begin{align} \xi &= \frac{\int_{p_{S,\text{min}}}^{p_{S,\text{max}}}p_v - p_S'dp_S'}{\left(p_{S,\text{max}} - p_{S,\text{min}}\right)\left(p_v - p_{S,\text{min}}\right)} = \frac{p_v\left(p_{S,\text{max}} - p_{S,\text{min}}\right) - \frac{1}{2}\left(p_{S,\text{max}}^2 - p_{S,\text{min}}^2\right)}{\left(p_{S,\text{max}} - p_{S,\text{min}}\right)\left(p_v - p_{S,\text{min}}\right)}\nonumber\\ &= \frac{p_v\left(p_{S,\text{max}} - p_{S,\text{min}}\right) - \frac{1}{2}\left(p_{S,\text{max}} + p_{S,\text{min}}\right)\left(p_{S,\text{max}} - p_{S,\text{min}}\right)}{\left(p_{S,\text{max}} - p_{S,\text{min}}\right)\left(p_v - p_{S,\text{min}}\right)} = \frac{p_v - \frac{1}{2}\left(p_{S,\text{max}} + p_{S,\text{min}}\right)}{p_v - p_{S,\text{min}}}. \end{align} \]
Die bisherige Herleitung in diesem Abschnitt bezieht sich auf die Entsteheung von Wolken (Umgang mit Übersättigung, auch bekannt als saturation adjustment). Auch für die Wechselwirkungen und Verdungstungen von Kondensaten hat die Tatsache, dass nur ein gewisser Anteil $c_f$ der Gitterboxen mit Wolken befüllt ist, Konsequenzen. Der Ansatz ist folgender:
Für den mit Niederschlag befüllten Anteil $c_p$ der Gitterbox macht man den Ansatz.
\[ \begin{align} c_p = \begin{cases} \frac{1}{3}, c_f = 0 \land \rho_s + \rho_r + \rho_g>0,\\ c_f, \:\text{sonst}. \end{cases} \end{align} \]
Man geht also davon aus, dass der mit Niederschlag befüllte Anteil gleich dem mit Wolken befüllten Anteil ist, außer es ist nur Niederschlag aber keine Wolken in der Gitterbox vorhanden. Dies ist typischerweise unter Wolken der Fall, aus denen Niederschlag ausfällt.
Dieses Schema berücksichtigt folgende vier Kondensatklassen:
Dieses Schema ist adäquat für Globalmodelle. Es wird angenommen, dass bei und unterhalb von $-35^\circ$ C das Wolkenwasser komplett eisförmig ist und bei und oberhalb von $-10^\circ$ C das Wolkenwasser komplett flüssig ist und dazwischen ein linearer Übergang erfolgt. Dies ist durch Beobachtungen begründbar [34].
Die Größenverteilungen der Kondensate sind relevant, um die Fallgeschwindigkeiten, die Wechselwirkungen mit dem Strahlungsfeld und die Wechselwirkungen untereinander zu berechnen. Daher ist für jede Kondensatklasse eine Formel für den effektiven Radius anzugeben.
\[ \begin{align} d_{\text{eff},i} &= \left(1,2351 + 0,0105\cdot\left(t - t_0\right)\right)\cdot\left(45,8966\cdot w^{0,2214} + 0,7957\cdot w^{0,2535}\cdot\left(t - 83,15\right)\right).\tag{36.44}\label{eq:sun_rikus} \end{align} \]
Hierbei sind $t\coloneqq T/\text{K}$ die Maßzahl der Temperatur in Kelvin, $t_0\coloneqq 273,15$, $w \coloneqq 1000\left(\rho_i + \rho_s\right)/\left(\text{kg}/\text{m}^3\right)$ die Maßzahl der Wolkeneisdichte (inklusive Schnee) in $\text{g}/\text{m}^3$ und $d_\text{eff}$ die Maßzahl des effektiven Durchmessers in Mikrometern. Das Ergebnis von Glg. (36.44) wird in folgender Weise eingeschränkt:
\[ \begin{align} d_\text{eff} \to \text{max}\left(\text{min}\left(d_\text{eff},155\right),20 + 40\cdot\cos\left(\phi\right)\right) \end{align} \]
mit $\phi$ als geographischer Breite. Für den effektiven Radius $r_\text{eff}$ wird in (36.44)
\[ \begin{align} r_{\text{eff},i} = \frac{3\sqrt{3}}{8}d_{\text{eff},i}\cdot 10^{-6}\text{m} \end{align} \]
hergeleitet. Dass der Faktor nicht einfach 1/2 ist liegt daran, dass Eiskristalle i. A. nicht kugelförmig sind.
Die Annahme von Marshall-Palmer-Verteilungen impliziert, dass der Prozess des Zerbrechens von Kondensaten, welcher das Spektrum nach oben limitiert, nicht explizit simuliert werden muss, sondern bereits über die Verteilung parametrisiert ist.
Um die Fallgeschwindigkeiten der Kondensate festzulegen, orientiert man sich an Abschn. 23.2.3, allerdings mit einigen Vereinfachungen:
\[ \begin{align} v_S = a\cdot r^b = 9,356\frac{\text{m}^{0,7}}{\text{s}}\cdot\left(2\cdot r_\text{eff}\right)^{0,3} = 11,519\frac{\text{m}^{0,7}}{\text{s}}\cdot\left(r_\text{eff}\right)^{0,3}\tag{36.47}\label{eq:fall_snow} \end{align} \]
[16] angenommen.
Lautet die Fallgeschwindigkeit einer Niederschlagsklasse $v_{D,P}\left(D\right)$, hat sie ein Volumenmischungsverhältnis $r_P$ sowie ein Größenspektrum $n\left(D\right)$, lässt sich eine massengewichtete Fallgeschwindigkeit über
\[ \begin{align} v_P\left(D\right) = \frac{1}{r_P}\int_0^\infty\frac{\pi D^3}{6}v_{D,P}\left(D\right)n\left(D\right)dD \end{align} \]
berechnen. Nimmt man an, dass $v_{D,P}$ die Form
\[ \begin{align} v_{D,P}\left(D\right) = aD^b \end{align} \]
hat sowie die Marshall-Palmer-Verteilung Glg. (23.95) gilt, folgt
\[ \begin{align} v_P\left(D\right) &= \frac{1}{r_P}\int_0^\infty\frac{\pi D^3}{6}aD^bn_0e^{-\lambda D}dD = \frac{an_0\pi}{6r_P}\int_0^\infty D^{b + 3}e^{-\lambda D}dD = \frac{an_0\pi}{6r_P\lambda^{b + 4}}\int_0^\infty D^{b + 3}e^{-D}dD\nonumber\\ &= \frac{an_0\pi\Gamma\left(b + 4\right)}{6r_P\lambda^{b + 4}}. \end{align} \]
Aus Glg. (23.99) erhält man
\[ \begin{align} \frac{1}{\lambda^4} = \frac{r_P}{\pi n_0}. \end{align} \]
Hieraus folgt
\[ \begin{align} v_P\left(D\right) &= \frac{a\Gamma\left(b + 4\right)}{6\lambda^b} \stackrel{\href{ch-22-wolkenmikrophysik.html#eq:marshall-palmer_d_lambda}{\text{Glg. (23.100)}}}{=} \frac{\Gamma\left(b + 4\right)}{6}aD^b. \end{align} \]
Das einfachste Verständnis der Entstehung von Regen ist die Annahme, dass dieser entsteht, wenn das Wolkenwasser $\rho_w$ ein kritisches Mischungsverhältnis $q_{w,\text{krit}}$ überschreitet. Ein einfacher hierauf basierender mathematischer Ansatz für die Quelldichte von Regenwasser lautet
\[ \begin{align} Q_r = \frac{\text{max}\left(\rho_w - q_{w,\text{krit}}\cdot\rho_h,0\right)}{\tau}. \end{align} \]
Dies ist der sogenannte Kessler-Ansatz [25]. Typische Werte lauten $q_{w,\text{krit}} = 0,2\cdot 10^{-3}\text{ kg}/\text{m}^3$, $\tau = 1000\text{ s}$.
Der in Abschn. 36.5.3.1 vorgestellte Kessler-Ansatz kann auch auf die Entstehung von Schnee angewandt werden, typische Werte lauten $q_{i,\text{krit}} = 1,0\cdot 10^{-3}\text{ kg}/\text{m}^3$, $\tau = 1000\text{ s}$.
Der in Abschn. 36.5.3.1 vorgestellte Kessler-Ansatz kann auch auf die Entstehung von Graupel angewandt werden, typische Werte lauten $q_{s,\text{krit}} = 0,6\cdot 10^{-3}\text{ kg}/\text{m}^3$, $\tau = 1000\text{ s}$.
Bei diesem Schema kommt gegenüber dem Vier-Kondensate-Schema noch eine fünfte Kondensatklasse hinzu, nämlich Graupel. Somit lauten die fünf hier verwendeten Kondensatklassen
Dieses Schema ist adäquat für Regionalmodelle. Es entspricht dem in Abschn. 36.5 vorgestellten Schema mit folgenden Modifikationen:
Bei den bisher betrachteten Schemata wird jede Kondesatklasse durch eine prognostische Variable, nämlich die Massendichte oder auch die spezifische Dichte, beschrieben. Dies wäre nur dann eine vollständige Beschreibung, wenn alle Kondensate der jeweiligen Klasse den gleichen Radius und die gleiche Temperatur wie die Gasphase hätten. Beides ist jedoch im Allgemeinen nicht der Fall. Es bieten sich zwei Erweiterungen an: