22 Strahlungstransport
Die zentrale Größe beim Strahlungstransport ist die spektrale Strahldichte $L_\kappa\left(\mathbf{r}, \mathbf{n}, t\right)$, hierbei ist $\kappa$ die Wellenzahl und $\mathbf{n}$ ein Richtungsvektor. Aus ihr können u. a. Wärmeleistungsdichten abgeleitet werden.
22.1 Einfache Modelle
22.1.1 Planet ohne Atmosphäre
Die Solarkonstante $S_0$ ist die Strahlungsflussdichte der solaren Strahlung, welche auf die Erde trifft. Da bei einer Kugel das Verhältnis der Oberfläche zur Querschnittsfläche $4$ beträgt, trifft im Mittel am Oberrand der Atmosphäre die Strahlungsflussdichte $\frac{S_0}{4}$ auf. Unter der Annahme, dass die Erde ein schwarzer Körper ist, gilt im Gleichgewichtsfall mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz Glg. (5.320)
\[ \begin{align} \frac{S_0}{4} = \sigma T_\text{rad}^4, \end{align} \]
hierbei ist $T_\text{rad}$ die sogenannten Strahlungstemperatur. Dies kann man erweitern, indem man von einer wellenlängenunabhängigen Emissivität $\epsilon$ und einer Albedo $\alpha \coloneqq 1 - \epsilon$ ausgeht:
\[ \begin{align} \frac{S_0}{4}\left(1 - \alpha\right) = \epsilon\sigma T_\text{rad}^4 \end{align} \]
Unter der vereinfachenden Annahme, dass der langwellige (LW) und der kurzwellgie (SW) Spektralbereich voneinander getrennt sind, kann man Größen $\epsilon_\text{SW}$, $\alpha_\text{SW}$, $\epsilon_\text{LW}$, $\alpha_\text{LW}$ verwenden:
\[ \begin{align} \frac{S_0}{4}\left(1 - \alpha_\text{SW}\right) &= \epsilon_\text{LW}\sigma T_\text{rad}^4\nonumber\\ T_\text{rad} &= \left[\frac{S_0}{4\epsilon_\text{LW}\sigma}\left(1 - \alpha_\text{SW}\right)\right]^{1/4} \end{align} \]
Hierbei bezeichnet man
\[ \begin{align} \alpha_p \coloneqq \alpha_\text{SW} \end{align} \]
als planetarische Albedo.
22.1.2 Ein-Schicht-Atmosphäre
Nun nimmt man eine homogene Atmosphäre, welche aus nur einer einzigen Schicht besteht, in das Modell auf. Atmosphärische Eigenschaften werden mit dem Index $A$ bezeichnet, während Oberflächeneigenschaften mit dem Index $S$ bezeichnet werden. Jede Teilkomponente des Systems (Atmosphäre, Oberfläche) befindet sich im thermischen Gleichgewicht. Somit lautet das geltende Gleichungssystem
\[ \begin{align} S_A^{(\text{in})} &= S_A^{(\text{out})} \Leftrightarrow S_{A, \text{SW}}^{(\text{in})} + S_{A, \text{LW}}^{(\text{in})} = S_{A, \text{SW}}^{(\text{out})} + S_{A, \text{LW}}^{(\text{out})},\tag{22.5}\label{eq:rad_atmos_single_layer_0}\\ S_S^{(\text{in})} &= S_S^{(\text{out})} \Leftrightarrow S_{S, \text{SW}}^{(\text{in})} + S_{S, \text{LW}}^{(\text{in})} = S_{S, \text{SW}}^{(\text{out})} + S_{S, \text{LW}}^{(\text{out})}.\tag{22.6}\label{eq:rad_atmos_single_layer_1} \end{align} \]
Nun macht man folgende Annahmen:
- Die Atmosphäre wechselwirkt nicht mit kurzwelliger Strahlung, sie transmittiert diese also zu 100
- Die Erdoberfläche reflektiert einen Anteil $\alpha_{S, \text{SW}}$ der kurzwelligen Strahlung, der Rest wird absorbiert. Da der reflektierte Anteil nicht mit der Atmosphäre wechselwirkt, propagiert diese Energie zurück ins All.
- Die Atmosphäre stellt man sich als einen einzigen Balken mit homogener Temperatur vor, der eine untere und eine obere Oberfläche hat. Die Atmosphäre hat in diesem Modell also zwei Oberflächen, von denen sie langwellige Strahlung abstrahlen kann.
- Innerhalb des kurzwelligen bzw. langwelligen Strahlungsbereichs werden die Strahlungseigenschaften als temperatur- und wellenlängenunabhängig angenommen.
Heraus ergeben sich die Strahlungsflussdichten
\[ \begin{align} S_{A, \text{SW}}^{(\text{in})} = 0,& {} & S_{A, \text{LW}}^{(\text{in})} = \epsilon_{A, \text{LW}}\epsilon_{S, \text{LW}}\sigma T_S^4,\\ S_{A, \text{SW}}^{(\text{out})} = 0,& {} & S_{A, \text{LW}}^{(\text{out})} = 2\epsilon_{A, \text{LW}}\sigma T_A^4,\\ S_{S, \text{SW}}^{(\text{in})} = \left(1 - \alpha_{S, \text{SW}}\right)\frac{S_0}{4},& {} & S_{S, \text{LW}}^{(\text{in})} = \epsilon_{A, \text{LW}}\sigma T_A^4,\\ S_{S, \text{SW}}^{(\text{out})} = 0,& {} & S_{S, \text{LW}}^{(\text{out})} = \epsilon_{S, \text{LW}}\sigma T_S^4. \end{align} \]
Setzt man dies in die Glg.en (22.5) - (22.6) ein, erhält man
\[ \begin{align} 0 + \epsilon_{A, \text{LW}}\epsilon_{S, \text{LW}}\sigma T_S^4 &= 0 + 2\epsilon_{A, \text{LW}}\sigma T_A^4,\\ \left(1 - \alpha_{S, \text{SW}}\right)\frac{S_0}{4} + \epsilon_{A, \text{LW}}\sigma T_A^4 &= 0 + \epsilon_{S, \text{LW}}\sigma T_S^4. \end{align} \]
Äquivalenzumformungen ergeben
\[ \begin{align} T_A^4 &= \frac{\epsilon_{S, \text{LW}}}{2}T_S^4,\tag{22.13}\label{eq:rad_single_layer_deriv_0}\\ \epsilon_{S, \text{LW}}\sigma T_S^4 - \epsilon_{A, \text{LW}}\sigma T_A^4 &= \left(1 - \alpha_{S, \text{SW}}\right)\frac{S_0}{4}.\tag{22.14}\label{eq:rad_single_layer_deriv_1} \end{align} \]
Setzt man Glg. (22.13) in Glg. (22.14) ein, erhält man
\[ \begin{align} \epsilon_{S, \text{LW}}\sigma T_S^4 - \epsilon_{A, \text{LW}}\sigma\frac{\epsilon_{S, \text{LW}}}{2}T_S^4 &= \left(1 - \alpha_{S, \text{SW}}\right)\frac{S_0}{4}\nonumber\\ \Leftrightarrow\left(1 - \frac{\epsilon_{A, \text{LW}}}{2}\right)\epsilon_{S, \text{LW}}\sigma T_S^4 &= \left(1 - \alpha_{S, \text{SW}}\right)\frac{S_0}{4}\nonumber\\ \Leftrightarrow\left(1 - \frac{\epsilon_{A, \text{LW}}}{2}\right)T_S^4 &= \frac{S_0}{4\sigma\epsilon_{S, \text{LW}}}\left(1 - \alpha_{S, \text{SW}}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow T_S &= \left[\frac{S_0}{4\sigma\epsilon_{S, \text{LW}}\left(1 - \frac{\epsilon_{A, \text{LW}}}{2}\right)}\left(1 - \alpha_{S, \text{SW}}\right)\right]^{1/4} = T_\text{rad}\left(1 - \frac{\epsilon_{A, \text{LW}}}{2}\right)^{-1/4}. \end{align} \]
Die Ungleichung
\[ \begin{align} T_{S} > T_\text{rad} \end{align} \]
bezeichnet man als Treibhauseffekt. Dies basiert auf den Annahmen $\epsilon_{A, \text{LW}} > 0$ und $\alpha_{A, \text{SW}} = 0$. Die einfachste anschauliche Begründung für den Treibhauseffekt ist, dass die langwellige Strahlung nicht entsprechend der Temperatur $T_S$, sondern entsprechend der Temperatur $T_A < T_S$ emittiert wird.
22.2 Rückkopplungen
Wechselwirkungen zwischen Teilmengen des Erdsystems bezeichnet man als Rückkopplungen. Dabei unterscheidet man zwischen positiven Rückkopplungen, die sich selbst verstärken, und negativen Rückkopplungen, die sich selbst dämpfen.
22.2.1 Temperatur-Strahlungs-Rückkopplung
Laut dem Stefan-Boltzmann-Gesetz ist die Abstrahlung eines Körpers proportional zur vierten Potenz der Temperatur. Hieraus erhält man folgende negative Rückkopplung:
Temperatur steigt $\rightarrow$ Abstrahlung nimmt zu $\rightarrow$ Temperatur sinkt $\rightarrow$ Abstrahlung nimmt ab $\rightarrow$ Temperatur steigt
Schlussendlich beschreibt dieser Prozess die Einpendelung auf eine Temperatur, bei der der betrachtete Körper im Gleichgewicht mit dem Strahlungsfeld steht. Solche Betrachtungen sind immer konzeptionell zu verstehen, womit gemeint ist, dass die hier angedeutete Oszillation nicht unbedingt stattfinden muss.
22.2.2 Temperatur-Eis-Albedo-Rückkopplung
Die planetare Albedo $\alpha_p$ hängt von der Bedeckung der Erde mit Eis ab: Desto höher der mit Eis bedeckte Anteil ist, desto mehr solare Strahlung wird reflektiert. Die Rückkopplung lässt sich konzeptionell in der Form
Temperatur steigt $\rightarrow$ Eis schmilzt $\rightarrow$ planetare Albedo nimmt ab $\rightarrow$ mehr solare Strahlung wird absorbiert $\rightarrow$ Temperatur steigt
bzw.
Temperatur sinkt $\rightarrow$ Wasser gefriert $\rightarrow$ planetare Albedo nimmt zu $\rightarrow$ weniger solare Strahlung wird absorbiert $\rightarrow$ Temperatur sinkt
formulieren. Es handelt sich also um eine positive Rückkopplung.
Um dies zu quantifizieren führt man zwei Temperaturen $T_0 < T_1$ ein und setzt für die temperaturabhängige planetare Albedo
\[ \begin{align} \alpha_p\left(T\right) = \begin{cases} \alpha_\text{max}, T < T_0\\ \alpha_\text{max} + \left(T - T_0\right)\frac{\alpha_\text{min} - \alpha_\text{max}}{T_1 - T_0}, T_0 \leq T \leq T_1\\ \alpha_\text{min}, T > T_1 \end{cases} \end{align} \]
mit $0 \leq \alpha_\text{min} < \alpha_\text{max} \leq 1$ an. Für die temperaturabhängige Ausstrahlung $S = S\left(T\right)$ des Planeten setzt man weiter
\[ \begin{align} S\left(T\right) = a + b\left(T - \newoverline{T}\right) \end{align} \]
an, dies entspricht einer linearen Entwicklung des Stefan-Boltzmann-Gesetzes, es gilt also
\[ \begin{align} a &= \sigma T_\text{rad}^4,\\ b &= 4\sigma T_\text{rad}^3. \end{align} \]
Hierbei sind
\[ \begin{align} \newoverline{T} \coloneqq \frac{T_0 + T_1}{2} \end{align} \]
die ungefähre Temperatur der Erde sowie
\[ \begin{align} T_\text{rad} \coloneqq 0,9\newoverline{T} \end{align} \]
eine Strahlungstemperatur. Im Gleichgewicht gilt nun
\[ \begin{align} \frac{S_0}{4}\left(1 - \alpha_p\left(T\right)\right) &= a + b\left(T - \newoverline{T}\right). \end{align} \]
mit der Solarkonstanten $S_0$. Diese Gleichung hat in Abhängigkeit von $T_0, T_1, \alpha_\text{min}$ und $\alpha_\text{max}$ zwischen eine und drei Lösungen, wie in Abb. 22.1 dargestellt wird. Die Gleichgewichte in den Fällen 2 und 3 sind stabil, während in Fall 1 das mittlere Gleichgewicht labil ist und die äußeren beiden stabil sind.
22.3 Berechnung der Streu- und Absorptionskoeffizienten
22.3.1 Effektiver Radius
Der effektive Radius ist ein Größenmaß für Kondensate, welches die Eigenschaften, die diese in Bezug auf ihre Wechselwirkung mit Strahlung aufweisen, gut repräsentiert. Unter der Annahme, dass alle Kondensate kugelförmig sind und den Radius $r_\text{eff}$ haben, gilt
\[ \begin{align} \frac{V}{A} = \frac{N\frac{4}{3}\pi r_\text{eff}^3}{N\pi r_\text{eff}^2} = \frac{4}{3}r_\text{eff}. \end{align} \]
Hierbei ist $V$ das Gesamtvolumen der Kondensate, $A$ ihre aufsummierte Querschnittsfläche (unter Vernachlässigung von Überlappung) und $N$ die Anzahl der Kondensate in dem betrachteten Volumen. Hieraus folgt
\[ \begin{align} r_\text{eff} = \frac{3V}{4A}. \end{align} \]
Der effektive Radius verknüpft also die aus der mittlere Dichte ableitbare Größe V (Bulk-Größe) mit der für die Wechselworkung mit Strahlung wichtigen Größe der Querschnittsfläche.
22.4 Approximationen
Die spektrale Strahldichte hängt außer von der Zeit von sechs reellen Zahlen ab. Übliche Felder hängen von drei Koordinaten ab. Ein erstes Problem ist dementsprechend die Menge an Speicherplatz, die notwendig ist, um selbst einen sehr grob diskretisierten Strahlungszustand einer Atmosphäre abzuspeichern. Viel problematischer noch ist hingegen die Lösung der Strahlungsübertragungsgleichung. Daher sind rigorose Approximationen notwendig.
22.4.1 Plan-parallele Atmosphäre
Bei dieser Approximation geht man davon aus, dass die Atmosphäre innerhalb eines gewissen Gebietes horizontal homogen ist, die Eigenschaften also nur vertikal variieren. Dies ist durch die Tatsache motiviert, dass in der Atmosphäre auf großen Skalen horizontale Gradienten mindestens zwei Größenordnungen kleiner sind als vertikale.
22.4.2 Horizontale Entkopplung
Bei dieser Approximation teilt man die Atmosphäre in unabhängige Säulen auf und schränkt dadurch die horizontale Wechselwirkung stark ein. Eine solche Säule kann jedoch aus verschiedenen Teilsäulen bestehen oder horizontale Wechselwirkungen können auf andere Weise innerhalb der Säulen parametrisiert werden. Bei steigender Rechenkapazität kann man die Bereiche mit horizontaler Wechselwirkung vergrößern, bis man im Grenzfäll die ganze Atmosphäre als eine einzige Säule ansieht.
22.5 Strahlungsbilanz
Der Strahlungszustand der Atmosphäre wird vollständig beschrieben durch die spektrale Strahldichte
\[ \begin{align} L = L\left(\mathbf{r}, \phi, \lambda, \omega, t\right). \end{align} \]
In die Evolution dieser Größe gehen viele Faktoren ein. Ziel dieses Abschnittes ist, die Bedeutung von Teilkomponenten des Klimasystems für das Strahlungsfeld zu quantifizieren. Dies bezeichnet man als Strahlungsbilanz oder auch Strahlungshaushalt.