24 Grundkonzepte der Numerik

Ein Wettermodell ist eine Kopie der Atmosphäre. In ihm sind alle Felder und Differenzialoperatoren durch diskretisierte Versionen ersetzt, da man nur endlich viel Information abspeichern kann. Man schreibt für einen Differenzialoperator $D$ eine Ersetzung

\[ \begin{align} D\to D', \end{align} \]

analog für atmosphärische Zustände

\[ \begin{align} Z\to Z'. \end{align} \]

Anschließend legt man eine Dynamik fest, also ein Verfahren

\[ \begin{align} Z'\left(t\right)\stackrel{D'}{\to}Z'\left(t + \Delta t\right) \end{align} \]

zur Bestimmung der Zeitentwicklung der Modellatmosphäre mit dem Ziel, die Zustandstrajektorie des Modells möglichst nah an diejenige der realen Atmosphäre zu bringen. Hierzu definiert man einen Abstand

\[ \begin{align} \left|Z - Z'\right|\geq 0. \end{align} \]

Wettervorhersage hat den folgenden Arbeitsablauf:

1. Beobachtung des Zustandes der Atmosphäre.
2. Bestimmung des Anfangszustandes des Modells.
3. Integration des Modells.

Dabei entstehen aus folgenden Gründen Fehler:

1. Der Anfangszustand wurde nicht vollständig beobachtet.
2. Der Anfangszustand wurde fehlerhaft beobachtet.
3. Die herrschenden Gleichungen sind Gleichungen der statistischen Physik und gelten somit nicht exakt.
4. Das Modell kann weniger Information abspeichern als die reale Atmosphäre.
5. Die Dynamik des Modells ist von der der realen Atmosphäre verschieden.
6. Es existieren Rundungsfehler durch die endliche Rechnergenauigkeit.
7. Der Rechner macht Fehler.

24.1 Grundbegriffe von Diskretisierungen

Die Lösung einer Differenzialgleichung sei mit $F$ bezeichnet und die Lösung einer diskretisierten Version der Gleichung mit $F_d$. Ein numerisches Verfahren heißt genau dann konsistent, wenn die Lösung des Schemas bei kleiner werdenden $\Delta x$ und $\Delta t$ gegen die Lösung der Differenzialgleichung konvergiert, also $\lim\limits_{\Delta\to 0}F_d = F$ in obigen Begriffen. Eine Diskretisierung heißt genau dann selbstkonsistent, wenn alle Erhaltungsgrößen des kontinuierlichen Systems auch Erhaltungsgrößen des diskretisierten Systems sind. Dies lässt sich auch auf Näherungen übertragen. Ein Schema heißt genau dann stabil, wenn die berechnete Lösung für alle Zeiten beschränkt ist, wenn also ein $C>0$ existiert mit $|F_d|Lineare Instabilität entsteht bereits bei linearen Differenzialgleichungen, wohingegen nichtlineare Instabilität nur bei nichtlinearen Differenzialgleichungen entstehen kann.

24.2 Finite Differenzen

Sei eine unendlich oft differenzierbare Funktion $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ gegeben. Mittels einer Taylorreihe kann man schreiben

\[ \begin{align} f\left(x + \Delta x\right) = f\left(x\right) + \Delta xf'\left(x\right) + \frac{f''\left(x\right)}{2!}\Delta x^2 + \frac{f'''\left(x\right)}{3!}\Delta x^3 + \dotsc\tag{24.5}\label{eq:taylor_links} \end{align} \]

und

\[ \begin{align} f\left(x - \Delta x\right) = f\left(x\right) - \Delta xf'\left(x\right) + \frac{f''\left(x\right)}{2!}\Delta x^2 - \frac{f'''\left(x\right)}{3!}\Delta x^3 + \dotsc\tag{24.6}\label{eq:taylor_rechts} \end{align} \]

Subtrahiert man beide Gleichungen, erhält man

\[ \begin{align} f\left(x + \Delta x\right) - f\left(x - \Delta x\right) = 2\Delta xf'\left(x\right) + R', \end{align} \]

wobei der Rest $R'$ für die Terme dritter und höherer Ordnung steht. Dies ergibt umgestellt

\[ \begin{align} f'\left(x\right) = \frac{f\left(x + \Delta x\right) - f\left(x - \Delta x\right)}{2\Delta x} + R, \tag{24.8}\label{eq:approx_derivative_zentral} \end{align} \]

wobei $R$ ein Polynom in $\Delta x$ mit der geringsten Potenz 2 ist, man sagt, dass durch (24.8) eine Approximation zweiter Ordnung der Ableitung gegeben ist und schreibt anstelle von $R$ das Symbol $\mathcal{O}\left(\Delta x^2\right)$. Man nennt diese Art, Ableitungen zu approximieren, zentrale Differenzenquotienten. Ein einseitiger Differenzenquotient, zum Beispiel

\[ \begin{align} f'\left(x\right) \approx\frac{f\left(x + \Delta x\right) - f\left(x\right)}{\Delta x} \end{align} \]

ist ebenfalls eine geeignete Approximation, jedoch konvergiert dies nur in erster Ordnung, wie leicht durch Umstellen von Glg. (24.5) ersichtlich ist. Desto höher die Ordnung, desto besser, da die Genauigkeit einer Taylor-Entwicklung ja mit der Ordnung anwächst. Aus diesem Grund werden, soweit möglich, zentrale räumliche Differenzenquotienten verwendet. Man kann aus den Glg.en (24.5) und (24.6) auch eine Approximation für die zweite Ableitung einer Funktion herleiten:

\[ \begin{align} f\left(x + \Delta x\right) + f\left(x - \Delta x\right)&= 2f\left(x\right) + f''\left(x\right)\Delta x^2 + \mathcal{O}\left(\Delta x^4\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow f''\left(\Delta x\right) &= \frac{f\left(x + \Delta x\right) - 2f\left(x\right) + f\left(x - \Delta x\right)}{\Delta x^2} + \mathcal{O}\left(\Delta x^2\right) \end{align} \]

Hat man beispielsweise eine Funktion $f\left(x\right) = A\sin\left(kx\right)$ gegeben, so gilt $f' = Ak\cos\left(kx\right)$, Glg. (24.8) ergibt jedoch

\[ \begin{align} f' &\approx& \frac{A}{2\Delta x}\left(\sin\left(kx + k\Delta x\right) - \sin\left(kx - k\Delta x\right)\right) = \frac{A}{\Delta x}\cos\left(kx\right)\sin\left(k\Delta x\right) = \frac{\sin\left(k\Delta x\right)}{k\Delta x}f'. \end{align} \]

Hieran sieht man, dass die Approximation, wie erwartet, gegen den richtigen Wert der Ableitung konvergiert, falls $\Delta x$ gegen Null geht (es gilt $\lim\limits_{\alpha\to 0}\frac{\sin\left(\alpha\right)}{\alpha} = 1$ nach der Regel von L'Hospital). Schreibt man für $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ mit $\lambda$ als Wellenlänge und setzt $\Delta x = \lambda/2$ ein, so ergibt der zentrale Differenzenquotient immer $f' = 0$. Hinreichend lange Wellen ($\lambda\gg 2\Delta x$) werden jedoch gut aufgelöst.

24.3 Ebene Spektralmethode

24.4 Sphärische Spektralmethode

Sei $\psi = \psi\left(\varphi, \lambda, z\right)$ ein Skalarfeld. Da die in Abschn. C.5 vorgestellten Kugelflächenfunktionen eine vollständige Orthonormalbasis auf Kugelschalen bilden, ist es möglich, die horizontale Abhängigkeit von $\psi$ durch diesen Satz an Funktionen auszudrücken:

\[ \begin{align} \psi\left(\varphi, \lambda, z\right) = \sum_{l = 0}^\infty\sum_{m = -l}^l\newtilde{\psi}_{l, m}\left(z\right)Y_{l, m}\left(\varphi, \lambda\right) \end{align} \]

Die Definition der Kugelflächenfunktionen Glg. (C.155) wird hier in geographischen Koordinaten formuliert:

\[ \begin{align} Y_{l, m}\left(\varphi, \lambda\right) = \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi}\frac{\left(l - m\right)!}{\left(l + m\right)!}}P_{l, m}\left(\sin\left(\varphi\right)\right)\exp\left(im\lambda\right) \end{align} \]