Die Gebiete zwischen den Wendekreisen, die bei Breiten $\pm\beta$ liegen, werden als Tropen bezeichnet, die Bereiche außerhalb dieses Streifens als Extratropen. Die Gebiete bei Breiten jenseits der Polarkreise, die sich bei Breiten $\pm\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)$ befinden, werden als hohe Breiten bezeichnet. Die Bereiche zwischen den Tropen und den hohen Breiten bezeichnet man als mittlere Breiten. Die Dynamik der Extratropen unterscheidet sich wesentlich von der der Tropen, da in ersteren die diabatischen Flüsse durch die schwächere Konvektion und Strahlung kleiner sind und die geostrophische Annahme gerechtfertigter ist. Die Dynamik der Tropen enthält also gewisse Schwierigkeiten und wird daher separat in Kap. 20 untersucht.
Die Geostrophie gilt in nullter Ordnung auf der synoptischen Skala in den Extratropen, Folgerungen daraus wurden in Abschn. 13.10.1 besprochen. In Abschn. 13.11 wurde bereits das quasigeostrophische Gleichungssystem, bestehend aus Tendenzgleichung Glg. (13.226) und $\omega-$Gleichung Ggl. (13.231), abgeleitet, welches auf zonale Kanäle in den Extratropen angewandt werden kann, deren meridionale Ausdehnung eine Anwendung der $\beta-$Ebenen-Approximation erlaubt. In Abschn. 16.7.4 wurde gezeigt, dass die baroklinen Wellen, die man als Lösungen eines quasigeostrophischen linearisierten Zweischichtmodells findet, instabil sind. Der hierdurch angestoßene Prozess ist die Zyklogenese, was hier näher behandelt werden soll.
Man definiert zunächst die Geopotentialtendenz durch
\[ \begin{align} \chi \coloneqq \frac{\partial\Phi}{\partial t}.\tag{18.1}\label{sec:tendency_def} \end{align} \]
Glg. (13.226) lautete
\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\left(f + \Delta\psi + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2\psi}{\partial p^2}\right) + \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(f + \Delta\psi + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2\psi}{\partial p^2}\right) &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{\partial}{\partial t}\left(f + \Delta\psi + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2\psi}{\partial p^2}\right) &= -\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(f + \Delta\psi + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2\psi}{\partial p^2}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{\partial}{\partial t}\left(\Delta + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\psi &= -\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(f + \Delta\psi + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2\psi}{\partial p^2}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{\partial}{\partial t}\left(\Delta + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\psi &= -v_g\beta - \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\Delta\psi + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2\psi}{\partial p^2}\right). \end{align} \]
Multipliziert man dies mit $f_0$, erhält man
\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\left(\Delta + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\left(f_0\psi\right) &= -f_0v_g\beta - \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left[\Delta\left(f_0\psi\right) + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2\left(f_0\psi\right)}{\partial p^2}\right]. \end{align} \]
Aufgrund von Glg. (13.211) ist
\[ \begin{align} \psi = \frac{\Phi}{f_0}, \end{align} \]
es gilt also
\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\left(\Delta + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\Phi &= -f_0v_g\beta - \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\Delta\Phi + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2\Phi}{\partial p^2}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{\partial}{\partial t}\left(\Delta + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\Phi &= -f_0v_g\beta - \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\Delta\Phi\right) - \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2\Phi}{\partial p^2}\right). \end{align} \]
Geht man von einem homogenen statischen Stabilitätsparameter $\sigma$ aus, folgt
\[ \begin{align} \left(\Delta + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\frac{\partial\Phi}{\partial t} &= -f_0v_g\beta - \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\Delta\Phi\right) - \frac{f_0^2}{\sigma}\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\frac{\partial^2\Phi}{\partial p^2}\nonumber\\ \Leftrightarrow\left(\Delta + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\frac{\partial\Phi}{\partial t} &= -f_0v_g\beta - \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\Delta\Phi\right) - \frac{f_0^2}{\sigma}\mathbf{v}_{h, g}\cdot\frac{\partial}{\partial p}\left(\nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right). \end{align} \]
Aus Glg. (13.191) folgt
\[ \begin{align} \nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p}\cdot\frac{\partial\mathbf{v}_{h, g}}{\partial p} = \nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p}\cdot\left(\mathbf{k}\times\frac{1}{f_0}\nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right) = \frac{1}{f_0}\nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p}\cdot\left(\mathbf{k}\times\nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right) = 0, \end{align} \]
daher kann man auch
\[ \begin{align} \Leftrightarrow\left(\Delta + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\frac{\partial\Phi}{\partial t} &= -f_0v_g\beta - \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\Delta\Phi\right) - \frac{f_0^2}{\sigma}\mathbf{v}_{h, g}\cdot\frac{\partial}{\partial p}\left(\nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right) - \frac{f_0^2}{\sigma}\left(\nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right)\cdot\frac{\partial\mathbf{v}_{h, g}}{\partial p}\nonumber\\ \Leftrightarrow\left(\Delta + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\frac{\partial\Phi}{\partial t} &= -f_0v_g\beta - \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\Delta\Phi\right) - \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial}{\partial p}\left(\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right) \end{align} \]
schreiben. Mit Glg. (18.1) kann man dies in die Form
\[ \begin{align} \underbrace{\vphantom{\left(\Delta + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\chi = -f_0v_g\beta - \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\Delta\Phi\right) - \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial}{\partial p}\left(\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right)}\left(\Delta + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\chi}_{=:A} = \underbrace{\vphantom{\left(\Delta + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\chi = -f_0v_g\beta - \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\Delta\Phi\right) - \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial}{\partial p}\left(\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right)} -f_0v_g\beta}_{=:B}\underbrace{\vphantom{\left(\Delta + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right)\chi = -f_0v_g\beta - \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\Delta\Phi\right) - \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial}{\partial p}\left(\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right)} -\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\Delta\Phi\right)}_{=:C} \underbrace{\vphantom{\left[\Delta + \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial^2}{\partial p^2}\right]\chi = -f_0v_g\beta - \mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\left(\Delta\Phi\right) - \frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial}{\partial p}\left(\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right)} -\frac{f_0^2}{\sigma}\frac{\partial}{\partial p}\left(\mathbf{v}_{h, g}\cdot\nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p}\right)}_{=:D}\tag{18.9}\label{eq:tendency_eq_cyclogen} \end{align} \]
bringen.
Diese Gleichung soll nun konzeptionell untersucht werden. Geht man davon aus, dass $\chi$ aus nur einer einzigen Fourier-Komponente im dreidimensionalen Raum besteht, folgt
\[ \begin{align} \text{A} \sim -\chi \sim \text{Zyklogenese}, \end{align} \]
wobei mit Zyklogenese hier ein Absinken der Druckfläche gemeint ist. In den Extratropen findet man häufig meridionale Wellen, welche einem zonalen Grundstrom $U$ überlagert sind. Daher macht man für das Geopotential $\Phi$ den Ansatz
\[ \begin{align} \Phi\left(x, y, p\right) = -Uf_0y + \frac{\newhat{v}f_0L}{2\pi}\sin\left(\frac{2\pi}{L}x\right)\sin\left(ap + b\right) + \Phi_0\left(p\right), \end{align} \]
wobei $\newhat{v}$ die Geschwindigkeitsamplitude der meridionalen Schwingung bezeichnet. Die lineare Funktion $ap + b$ ermöglicht eine Phasenverschiebung der Störung mit der Höhe; $\Phi_0$ steht für einen Hintergrundzustand.
Für den Term $B$ findet man in diesem Fall
\[ \begin{align} B = -f_0\beta\newhat{v}\cos\left(\frac{2\pi}{L}x\right). \end{align} \]
Dieser Term führt also überall dort zu Zyklogenese, wo $v_g$ negativ ist, also stromaufwärts des Troges und stromabwärts des Rückens. Er trägt also zu retrograder Progression bei. Term $B$ ist die Advektion planetarer Vorticity.
Für den Ausdruck C, welcher die Advektion relativer Vorticity ist, berechnet man zunächst
\[ \begin{align} \Delta\Phi = -\frac{2\pi}{L}\newhat{v}f_0\sin\left(\frac{2\pi}{L}x\right), \end{align} \]
wobei daran erinnert sei, dass $\Delta\Phi$ sich hier nur auf die Horizontale bezieht. Hieraus folgt
\[ \begin{align} C = U\frac{4\pi^2}{L^2}\newhat{v}f_0\cos\left(\frac{2\pi}{L}x\right) = -\frac{2\pi U}{L\beta}B. \end{align} \]
Dieser Term führt also stromabwärts des Troges und stromaufwärts des Rückens zu Zyklogenese, anderswo zu Antizyklogenese. Er trägt also zu normaler Progression bei und nimmt mit der Wellenlänge ab. Bei einer Grenzwellenlänge
\[ \begin{align} \newtilde{L} = \frac{2\pi U}{\beta} \end{align} \]
kompensieren sich $B$ und $C$, die Welle ist stationär. Noch längere Wellen propagieren retrograd. Beide Terme $B$ und $C$ verschwinden an den Achsen der Druckgebilde, also tragen sie ausschließlich zu deren Verlagerung bei, nicht jedoch zu ihrer Vertiefung. Hierfür ist der Term $D$ zuständig. Das Skalarprodukt $\mathbf{v}_h\cdot\nabla\frac{\partial\Phi}{\partial p}$ ist die horizontale Temperaturadvektion, wie sich aus der hydrostatischen Grundgleichung in der Form Glg. (13.124) ergibt. Daher bezeichnet man $D$ auch als negative differenzielle Temperaturadvektion. Es gilt
\[ \begin{align} D = \begin{cases} \text{positiv, falls Kaltluftadvektion mit der Tiefe zunimmt, }\\ \text{negativ, falls Warmluftadvektion mit der Tiefe zunimmt.} \end{cases} \end{align} \]
Warmluftadvektion in der Höhe und Kaltluftadvektion in der Tiefe führt also zu Zyklogenese, während Kaltluftadvektion in der Höhe und Warmluftadvektion in der Tiefe zu Antizyklogenese führt. Dies ist anschaulich, da wärmere Luft ein größeres spezifisches Volumen hat.