In diesem Kapitel wird die im vorigen Kapitel entwickelte reversible Diskretisierung um irreversible Effekte erweitert. Es wird weiterhin von trockener Luft ausgegangen. Die irreversiblen Effekte in einer trockenen Atmosphäre sind die Diffusionen. Es gibt zwei Arten von Diffusion:
Auf der molekularen Skala gibt es gemäß Glg. (5.212) auch Diffusion von Masse, allerdings diffundiert Turbulenz in einer trockenen Atmosphäre keine Masse. Dies liegt daran, dass Turbulenz nur das Mischungsverhältnis diffundiert, welches in einer trockenen Atmosphäre Eins ist, und somit keine räumliche Variabilität, die diffundiert werden könnte.
Dementsprechend muss das Gleichungssystem Glg.en (34.4) - (34.7) wie folgt modifiziert werden:
\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} &= -c^{(p)}\theta\nabla\Pi - \nabla k + \mathbf{v}\times\etabi - \nabla\phi + \textcolor{red}{\mathbf{f}_R}\tag{35.1}\label{eq:prog_irrev_0}\\ \frac{\partial\rho}{\partial t} &= -\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right)\tag{35.2}\label{eq:prog_irrev_1}\\ \frac{\partial\newtilde{\theta}}{\partial t} &= -\nabla\cdot\left(\newtilde{\theta}\mathbf{v}\right) + \textcolor{red}{\frac{q^{(V)}}{c^{(p)}\Pi}}\tag{35.3}\label{eq:prog_irrev_2}\\ \Pi &= f\left(\newtilde{\theta}\right)\tag{35.4}\label{eq:prog_irrev_3} \end{align} \]
Die Massendiffusion wird in Form der Konvergenz einer Flussdichte $\nabla\cdot\left(\kappa_\rho\nabla\rho\right)$ in die Kontinuitätsleichung aufgenommen, wobei $\kappa_\rho$ der zugehörige molekulare Diffusionskoeffizient ist. In die Wärmeleistungsdichte $q^{(V)}$ gehen zwei Effekte ein:
\[ \begin{align} q^{(V)} = q^{(V)}_\text{diss} + q^{(V)}_\text{Tdiff} = \rho\epsilon + \nabla\cdot\left(c_d^{(v)}\rho\kappa_T\nabla T\right) \end{align} \]
Hierbei ist $\epsilon$ die Dissipation. Der Term $\nabla\cdot\left(c_d^{(v)}\rho\kappa_T\nabla T\right)$ beschreibt die Konvergenz der aus der Temperaturdiffusion resultierenden Wärmeflussdichte.
Die Temperaturgleichung Glg. (35.4) ist dieselbe wie Glg. (34.7), die diffusiven Effekte gehen über $\Delta\rho$ und $\Delta\newtilde{s}$ auch in die Temperatur ein. In Analogie zum vorigen Kapitel werden auch in diesem Kapitel die horizontalen und vertikalen Diskretisierungen separat hergeleitet, auch wenn es in einem nichthydrostatischen Modell keine Auszeichnung der vertikalen Raumrichtung mehr gibt.
Alle in diesem Kapitel entwickelten Terme werden nur im Predictor-Schritt berechnet und im Corrector-Schritt konstantgehalten.
Die diffusiven (irreversiblen) Terme stellen eine Ankopplung der kontinuierlichen Welt der Navier-Stokes-Gleichungen and die molekulare Skala dar. Wie in Abschn. 8.2.3 festgestellt wurde, vernichtet (dissipiert) die Impulsdiffusion kinetische Energie zugunsten der inneren Energie. Die Atmosphäre kann konzeptionell als Tiefpass aufgefasst werden, wobei Wellenlängen $< l_c$ gefiltert werden, wobei $l_c$ die charakteristische Länge laut Glg. (17.159) bezeichnet.
Bisher wurden nur tatsächliche physikalische Gleichungen diskretisiert, dies bezeichnet man als direkte numerische Simulation (DNS). Dieses Vorgehen ist jedoch problematisch falls für die Auflösung $\Delta$ gilt
\[ \begin{align} 2\Delta\gg l_c, \end{align} \]
eine solche Diskretisierung ist nämlich ein Tiefpass mit der Grenzwellenlänge $2\Delta$. Dementsprechend muss in einem numerischen Modell die Dissipation schon eher einsetzen. Laut Glg. (17.159) gilt für die kinematische Viskosität $\nu$ die Gleichung
\[ \begin{align} \nu = \left(l_c^4\epsilon\right)^{1/3}. \end{align} \]
Dementsprechend erwartet man, dass
\[ \begin{align} \frac{\nu_\text{numerisch}}{\nu_\text{molekular}} \sim \left(\frac{\text{min}\left(l_m, 2\Delta r\right)}{l_c}\right)^{4/3} \end{align} \]
eine sinnvolle Abschätzung für die numerische Viskosität ist, hierbei ist $l_m$ die Mischungsweglänge. Die Beschränkung auf die Mischungsweglänge im Zähler ist sinnvoll, da das Fluid im Modell niemals zäher (viskoser) sein darf als das natürliche Medium, da sonst keine realistischen Simulationen der Dynamik zu erwarten sind. Für die vertikale Mischungsweglänge wurde mit Glg. (17.75) innerhalb der Ekman-Schicht ein Wert von ca. 20 m abgeschätzt, damit und mit der Abschätzungen $l_c = 5$ mm erhält man
\[ \begin{align} \text{log}_{10}\left(\frac{\nu_\text{numerisch}}{\nu_\text{molekular}}\right) = 4,8. \end{align} \]
Dies entspricht grob dem in Glg. (17.74) erhaltenen Wert.
Außerhalb der planetarischen Grenzschicht kann von einem Wert für die vertikale Mischungsweglänge von ca. 100 m ausgegangen werden, da dort größere Wirbel existieren. Die horizontale Mischungsweglänge kann außerhalb der planetarischen Grenzschicht mit ca. 10 km abgeschätzt werden (zwei Größenordnungen über der vertikalen Mischungsweglänge). Simulationen, deren Auflösung die Mischungsweglänge unterschreiten, bezeichnet man als large eddy simulations (LES). Bei weiterer Erhöhung der Auflösung findet eine Konvergenz der numerischen gegen die molekularen Diffusionskoeffizienten statt.
Als Ansatz für die Impulsdiffusion wird das klassische Smagorinsky-Modell verwendet. Hierzu muss Glg. (17.172) muss nun auf dem hexagonalen Gitter diskretisiert werden. Hierzu mittelt man zunächst die diskretisierten Terme:
\[ \begin{align} K_\Delta = \rho c_S^2\Delta^2\sqrt{\newoverline{\left(\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\right)}^2 + \newoverline{\left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right)}^2} = \rho c_S^2\Delta^2\sqrt{\left(\newoverline{\frac{\partial u}{\partial x}} - \newoverline{\frac{\partial v}{\partial y}}\right)^2 + \left(\newoverline{\frac{\partial u}{\partial y}} + \newoverline{\frac{\partial v}{\partial x}}\right)^2} \end{align} \]
Um die gemittelten Terme zu bestimmen, greift man sich zunächst beispielhaft den Term $\frac{\partial u}{\partial x}$ heraus und rechnet
\[ \begin{align} \newoverline{\frac{\partial u}{\partial x}} = \frac{1}{A_c}\int_{A_c}\frac{\partial u}{\partial x}d^2r. \end{align} \]
Dieses Integral wird nun in kartesischen Koordinaten auf der Tangentialebene ausgewertet:
\[ \begin{align} \newoverline{\frac{\partial u}{\partial x}} = \frac{1}{A_c}\int_{y_1}^{y_2}\int_{x_1\left(y\right)}^{x_2\left(y\right)}\frac{\partial u}{\partial x}dxdy = \frac{1}{A_c}\int_{y_1}^{y_2}u\left(x_2,y\right) - u\left(x_1,y\right)dy. \end{align} \]
Dies kann man als Linienintegral umformulieren:
\[ \begin{align} \newoverline{\frac{\partial u}{\partial x}} = \frac{1}{A_c}\int_{\partial A_c}u\left(x,y\right)\mathbf{e}_y\cdot d\mathbf{r} = \frac{1}{A_c}\int_{\partial A_c}u\left(x,y\right)\cos\left(\phi\right)ds, \end{align} \]
hierbei ist $\phi$ der Winkel zwischen $d\mathbf{r}$ und $\mathbf{e}_y$.
Aus physikalischen Herleitungen erhält man üblicherweise diffusive Terme proportional zur zweiten Ableitung des zu diffundierenden Feldes. Aus numerischen Gründen wird jedoch in Modellen häufig sogenannte Hyperdiffusion genutzt, welche proportional zu einer höheren Potenz des Nablaoperators ist. Im eindimensionalen Fall lautet der Ansatz für Diffusion 4. Ordnung
\[ \begin{align} \frac{\partial\psi}{\partial t} = -\alpha\frac{\partial^4\psi}{\partial x^4}, \end{align} \]
hierbei wie $\alpha$ oft als Hyperviskosität bezeichnet. Macht man hier den Ansatz $\psi = \psi_0\exp\left(-ikx-\frac{t}{\tau}\right)$, folgt
\[ \begin{align} -\frac{1}{\tau}\psi &= -\alpha k^4\psi\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{1}{\tau} &= \alpha k^4. \end{align} \]
Die kürzeste aufgelöste Welle hat die Länge $2\Delta x$, woraus $k = \frac{2\pi}{2\Delta x} = \frac{\pi}{\Delta x}$ folgt. Setzt man dies ein, erhält man
\[ \begin{align} \frac{1}{\tau} &= \alpha\frac{\pi^4}{\Delta x^4}\nonumber\\ \Leftrightarrow \alpha &= \frac{A^2}{\pi^4\tau} \end{align} \]
für den Zusammenhang zwischen Diffusionskoeffizient und Zerfallszeit der kürzesten aufgelösten Welle, hierbei ist $A = \Delta x^2$ die Fläche der Gitterzellen. Drückt man $\tau$ als das Vielfache das Modellzeitschritts $\Delta t$ aus, erhält man
\[ \begin{align} \alpha &= \frac{A^2}{c\Delta t\pi^4}. \end{align} \]
Die subskalige Viskosität beschreibt den Einfluss der TKE auf die aufgelösten Skalen. Man kann die volumetrische TKE
\[ \begin{align} K_s \coloneqq \rho k_s \end{align} \]
als zusätzliche prognostische Größe einführen. Für diese Größe gilt Glg. (17.189):
\[ \begin{align} \frac{\partial K_s}{\partial t} = -\nabla\cdot\left(K_s\mathbf{v}\right) - \rho\newoverline{u'w'}\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z} - \rho\newoverline{v'w'}\frac{\partial\newoverline{v}}{\partial z} + \rho g\newoverline{\frac{\theta'}{\newoverline{\theta}}w'} - \rho\newoverline{\epsilon}\tag{35.19}\label{eq:tke_num} \end{align} \]
Um die Kovarianzterme der Geschwindigkeitskomponenten zu berechnen, verwendet man den Ansatz aus der K-Theorie:
\[ \begin{align} \newoverline{u'w'} &= -K\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z},\\ \newoverline{v'w'} &= -K\frac{\partial\newoverline{v}}{\partial z},\\ g\newoverline{\frac{\theta'}{\newoverline{\theta}}w'} &= -K\frac{g}{\newoverline{\theta}}\frac{\partial\newoverline{\theta}}{\partial z} = -KN^2. \end{align} \]
Setzt man dies in Glg. (35.19) an, erhält man
\[ \begin{align} \frac{\partial K_s}{\partial t} = -\nabla\cdot\left(K_s\mathbf{v}\right) + \rho K\left[\left(\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z}\right)^2 + \left(\frac{\partial\newoverline{v}}{\partial z}\right)^2\right] - \rho KN^2 - \rho\newoverline{\epsilon}.\tag{35.23}\label{eq:tke_num_mod} \end{align} \]
Um $\newoverline{\epsilon}$ zu bestimmen, geht man von Glg. (17.159) aus:
\[ \begin{align} l_c = \left(\frac{\nu^3}{\newoverline{\epsilon}}\right)^{1/4} \Leftrightarrow l_c^4 = \frac{\nu^3}{\newoverline{\epsilon}} \Leftrightarrow \newoverline{\epsilon} = \frac{\nu^3}{l_c^4}. \end{align} \]
Mit den Ersetzungen $\nu\to K$ und $l_c\to L$ erhält man
\[ \begin{align} \newoverline{\epsilon} = \frac{K^3}{L^4}.\tag{35.25}\label{eq:diff_delta} \end{align} \]
Die Viskositätskoeffizienten können als Funktionen
\[ \begin{align} K = K\left[\mathbf{v}\left(\mathbf{r}\right),K_s\right] \end{align} \]
des derzeitigen Windfeldes und von $K_s$ ausgedrückt werden. Über Glg. (35.23) enthält dieser Ansatz auch Informationen über das vergangene Windfeld.
Aus Glg. (35.23) erhält man unter Vernachlässigung der Advektion eine approximative diagnostische Relation für die Dissipation der TKE:
\[ \begin{align} \newoverline{\epsilon} = K\left[\left(\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z}\right)^2 + \left(\frac{\partial\newoverline{v}}{\partial z}\right)^2 - N^2\right]\tag{35.27}\label{eq:tke_diag} \end{align} \]
Beim TKE-Ansatz geht es letzten Endes darum, den vertikalen Diffusionskoeffizienten zu berechnen. Hierzu gibt es grundsätzlich drei Ansätze:
Hier wird nur die Schließung 1,5-ter Ordnung weiterverfolgt. Um den vertikalen Diffusionskoeffizienten zu bestimmen, verwendet man als Modell das kinetische Gasmodell gemäß Abschn. 5.4.0.2. Bei diesem fliegen Teilchen zwischen zwei Stößen eine mittlere freie Weglänge, die hier als Mischungsweglänge $L_m$ , ihre mittlere Geschwindigkeit ist $\newoverline{v}$. Der sich daraus ergebende Diffusionskoeffizient ergibt sich gemäß Glg. (5.215) zu
\[ \begin{align} K_v = L_m\newoverline{v}.\tag{35.28}\label{eq:k_eff_deriv_1} \end{align} \]
Der Faktor $\frac{1}{3}$ aus Glg. (5.215) tritt hier nicht auf, da man hier nur vertikale Bewegungen betrachtet. Man geht nun weiter davon aus, dass die Fluidteilchen vertikal mit der Kreisfrequenz $N$ gemäß Glg. (16.256) oszillieren und dabei eine maximale Amplitude $\newhat{z}$ haben. Ihre Bahnkurve lautet dann
\[ \begin{align} z\left(t\right) = \newhat{z}\exp\left(iNt\right). \end{align} \]
Hieraus ergibt sich
\[ \begin{align} \newoverline{v} = \frac{4\newhat{z}}{T} = \frac{4\newhat{z}}{2\pi}\frac{2\pi}{T} = \frac{2\newhat{z}N}{\pi},\tag{35.30}\label{eq:k_v_deriv_1} \end{align} \]
da das Teilchen während jeder Periode viermal die Strecke $\newhat{z}$ überwindet. Für die maximale Geschwindigkeit gilt
\[ \begin{align} v_\text{max} = N\newhat{z} = \frac{\pi}{2}\newoverline{v}. \end{align} \]
Die mittlere freie Weglänge $L_m$ lautet hier $2\newhat{z}$. Nun muss $\newhat{z}$ durch die TKE $k_s$ ausgedrückt werden. Für die spezifische Gesamtenergie $E$ des harmonischen Oszillators gilt laut Glg. (2.89) die Relation
\[ \begin{align} E = \frac{1}{2}N^2\newhat{z}^2. \end{align} \]
Im Mittel ist die Hälfte davon in kinetischer Energie gespeichert, was auf
\[ \begin{align} k_s = \frac{1}{4}N^2\newhat{z}^2 \Rightarrow \newhat{z} = \frac{2}{N}\sqrt{k_s} \Rightarrow L_m = \frac{4}{N}\sqrt{k_s} = \frac{C_l}{N}\sqrt{k_s} \end{align} \]
führt. Hierbei ist gemäß der Herleitung $C_l = 4$, empirisch stellt man jedoch eher $C_l = 1$ fest. Setzt man dies in Glg. (35.30) ein, erhält man
\[ \begin{align} \newoverline{v} = \frac{2\newhat{z}N}{\pi} = \frac{4}{\pi}\sqrt{k_s}.\tag{35.34}\label{eq:tke_vbar} \end{align} \]
Unter der Annahme, dass je ein Drittel der Teilchen entlang der Richtung einer der Koordinatenachsen fliegt, folgt hieraus für den Diffusionskoeffizienten mit Glg. (35.28)
\[ \begin{align} K_v = \frac{L_m}{3}\newoverline{v} = \frac{4}{3\pi}L_m\sqrt{k_s} \approx 0,424L_m\sqrt{k_s}.\tag{35.35}\label{eq:tke_diff_derived} \end{align} \]
Empirisch stellt man fest, dass der Vorfaktor $C \coloneqq \frac{4}{3\pi}$ nicht für alle diffundierten Größen gleich groß ist. Dies liegt daran, dass die Korrelationen zwischen den Schwankungen unterschiedlicher Größen unterschiedlich sind. An dieser Stelle wird
\[ \begin{align} C_m &= 0,126,\\ C_e &= 0,34,\\ C_h &= 0,142 \end{align} \]
gewählt [38]. Hierbei ist $C_m$ der Vorfaktor für die vertikale Diffusion von Impuls, $C_e$ der Vorfaktor für die vertikale Diffusion von TKE und $C_h$ der Vorfaktor für die vertikale Diffusion von Feuchte und potentieller Temperature (passive Tracer).
Aus Glg. (35.35) lässt sich mithilfe von Glg. (35.25) eine Formel für die Dissipation der TKE ableiten
\[ \begin{align} \newoverline{\epsilon} = \frac{\left(C_m L_m\sqrt{k_s}\right)^3}{L_m^4} = C_m^3\frac{k_s^{3/2}}{L_m} = C_\epsilon\frac{k_s^{3/2}}{L_m}. \end{align} \]
mit $C_\epsilon\coloneqq C_m^3$. Setzt man dies in Glg. (35.27) ein, erhält man
\[ \begin{align} C_\epsilon\frac{k_s^{3/2}}{L_m} &= K\left[\left(\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z}\right)^2 + \left(\frac{\partial\newoverline{v}}{\partial z}\right)^2 - N^2\right]\nonumber\\ \Leftrightarrow C_\epsilon\frac{k_s^{3/2}}{L_m} &= L_mC_m\sqrt{k_s}\left[\left(\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z}\right)^2 + \left(\frac{\partial\newoverline{v}}{\partial z}\right)^2 - N^2\right]\nonumber\\ \Leftrightarrow k_s &= \frac{C_mL_m^2}{C_\epsilon}\left[\left(\frac{\partial\newoverline{u}}{\partial z}\right)^2 + \left(\frac{\partial\newoverline{v}}{\partial z}\right)^2 - N^2\right]. \end{align} \]
Das Grundproblem der Konvektionsparametrisierungen wurde bereits in Abschn. 17.9.4 skizziert. Der Ansatz, diese Überlegungen ins Modell zu bringen, ist der, dass die Konvektion über zwei Anteile abzubilden ist:
Konvektion ist vertikale Durchmischung. Daher versucht man, den nicht aufgelösten Anteil über eine Modifikation der Mischungsweglänge abzubilden:
\[ \begin{align} L_m \to cL_\text{conv} + \left(c - 1\right)L_m, \end{align} \]
hierbei ist $L_\text{conv}$ eine konvektive Mischungsweglänge. $c$ ist der Anteil der Grundfläche der Gitterzelle, in welchem thermische Instabilität vorherrscht:
\[ \begin{align} c = \frac{1}{A_c}\int_{A_c}\Theta\left(\Gamma-\Gamma_d\right)dA\tag{35.42}\label{eq:ansatz_c_conv} \end{align} \]
$\newoverline{\Gamma}$ sei der mittlere negative vertikale Temperaturgradient, also der aus den gemittelten (d. h. aufgelösten) Variablen berechnete. Nimmt man weiter an, dass $\Gamma$ normalverteilt ist, folgt aus Glg. (35.42)
\[ \begin{align} c &= \int_{\Gamma_d}^\infty f_\sigma\left(\Gamma - \newoverline{\Gamma}\right)d\Gamma = \int_{\Gamma_d - \newoverline{\Gamma}}^\infty f_\sigma\left(\Gamma\right)d\Gamma = \int_{\frac{\Gamma_d - \newoverline{\Gamma}}{\sigma}}^\infty f_1\left(\Gamma\right)d\Gamma = \int_{\frac{\Gamma_d - \newoverline{\Gamma}}{\sigma}}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{\Gamma^2}{2}\right)d\Gamma\nonumber\\ &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{\frac{\Gamma_d - \newoverline{\Gamma}}{\sqrt{2}\sigma}}^\infty\exp\left(-\Gamma^2\right)d\Gamma = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\int_{0}^\infty\exp\left(-\Gamma^2\right)d\Gamma - \int_{0}^{\frac{\Gamma_d - \newoverline{\Gamma}}{\sqrt{2}\sigma}}\exp\left(-\Gamma^2\right)d\Gamma\right)\nonumber\\ &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2} - \int_{0}^{\frac{\Gamma_d - \newoverline{\Gamma}}{\sqrt{2}\sigma}}\exp\left(-\Gamma^2\right)d\Gamma\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\frac{\Gamma_d - \newoverline{\Gamma}}{\sqrt{2}\sigma}}\exp\left(-\Gamma^2\right)d\Gamma = \frac{1}{2}\left[1 - \text{erf}\left(\frac{\Gamma_d - \newoverline{\Gamma}}{\sqrt{2}\sigma}\right)\right]. \end{align} \]
Zu bestimmen ist nun die Standardabweichung der Schichtung $\sigma$. Bei einem random walk ist der Erwartungswert des Abstandes vom Ursprung proportional zur Wurzel der Anzahl der Schritte. Man gehe nun in Schritten von $\Delta r$ radial vom Mittelpunkt einer Gitterzelle in Richtung des Randes. Für die Standardabweichung $\sigma_r$ der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schichtung $\Gamma_r$ an einem Punkt mit der Entferung $r$ vom Mittelpunkt macht man daher den Ansatz
\[ \begin{align} \sigma_r = k\sqrt{r}. \end{align} \]
Für die über die Grundfläche einer kreisförmigen Zelle gemittelte Standardabweichung $\newoverline{\sigma}$ gilt somit
\[ \begin{align} \newoverline{\sigma} = \frac{\int_A\sigma dA}{\int_A\sigma dA} = \frac{\int_0^R2\pi r\sigma_rdr}{\pi R^2} = \frac{\int_0^R2\pi rk\sqrt{r}dr}{\pi R^2} = \frac{2\pi k\int_0^R r^{3/2}dr}{\pi R^2} = 2\pi k\frac{2R^{5/2}}{5\pi R^2} = 2\pi k\frac{2R^{1/2}}{5\pi} = \frac{4k}{5\pi^{1/4}}A_c^{1/4}. \end{align} \]
Für $k$ macht man einen heuristischen Ansatz
\[ \begin{align} k = \frac{\delta\Gamma}{\sqrt{d}}. \end{align} \]
Hierbei ist $\delta\Gamma$ eine typische Schwankungsbreite, für die $\delta\Gamma = \frac{\Gamma_d}{3}$ angenommen wird. $d$ ist die zu dieser Schwankung gehörende typische Längenskala, für die 1000 km angenommen wird.
Bisher wurde in Glg. (35.42) von dem trockenadiabatischen Temperaturgradienten $\Gamma_d$ ausgegangen. In der Realität ist jedoch eine Teilmenge einer Gitterbox gesättigt, dort ist der feuchtadiabatische Temperaturgradient $\Gamma_h$ zu verwenden. Um dies approximativ zu berücksichtigen, wird ab Glg. (35.42) die Ersetzung
\[ \begin{align} \Gamma_d \to c_f\Gamma_h + \left(1 - c_f\right)\Gamma_d \end{align} \]
vorgenommen. Hierbei ist $c_f$ der wolkenbefüllte (d. h. übersättigte) Volumenanteil gemäß Anschn. 36.4.