Diabatisch ist alles, was Adiabatie verletzt, also Wärme- und Massenflüsse über Systemgrenzen hinweg. Die Leistungsdichten der Wärme setzen sich zusammen aus
Die Quellstärken der Masse entstehen durch
Wärmeleitung tritt nur in der Gasphase und führt nach Glg. (5.220) zu einer Temperaturtendenz
\[ \begin{align} \frac{\partial\left(\rho c_h^{(v)}T\right)}{\partial t} = \nabla\cdot\left(\rho c_h^{(v)}\kappa\nabla T\right) \end{align} \]
mit $\kappa_h$ als Temperaturleitfähigkeit der feuchten Luft.
Findet Verdunstung, Schmelzen oder Sublimation statt, so wird die hierfür notwendige Wärme dem Edukt entzogen. Findet der Phasenübergang in die andere Richtung statt, wirkt die Wärme auf das Produkt. In Kap. 7 wurde zwischen drei Arten von Phasenübergängen unterschieden. Im ersten Fall entstehen dabei neue Partikel der Klasse $i$, es gilt
\[ \begin{align} q_i' = c_{i, v}\left(\newtilde{q}_{v, i}' - \newtilde{q}_{i, v}'\right) \end{align} \]
für die auf die Komponente $i$ wirkende Wärmeleistung pro Volumen, hierbei ist $c_{i, v}$ die Phasenumwandlungsnenthalpie von $i$ in die Gasphase.
Im zweiten Fall findet der Phasenübergang zwischen dem Gas und bestehenden Partikeln der Komponente $i$ statt, was zur Umwandlung von Teilchen in eine andere Kondensatklasse $j$ führt. Die latente Wärme wirkt jedoch trotzdem auf die Teilchen der Komponente $i$:Die bei diesem Prozess innerhalb eines Zeitintervalls $\Delta t$ übertragene Wärme teilt sich massengewichtet auf die beiden Kondensatklassen auf, für $\Delta t$ gegen Null geht die pro Masse übertragene Wärme gegen Null, es geht jedoch auch die umgewandelte Masse gegen Null, sodass die auf die Komponente $j$ wirkende Wärme in zweiter Ordnung der Zeit gegen Null geht.
\[ \begin{align} q_i'' = c_{i, v}\left(\newtilde{q}_{v, i}'' - \newtilde{q}_{i, v}''\right) \end{align} \]
Im dritten Fall wandeln sich Kondensate ineinander um. Hierfür gilt
\[ \begin{align} q_i''' = \sum_{j}^{}c_{i, j}\newtilde{q}_{j, i}''' - c_{i, j}\newtilde{q}_{i, j}'''. \end{align} \]
Hierbei ist $c_{i, j}$ die bei dem entsprechenden Prozess auf $i$ wirkende Phasenübergangsenthalpie. Ist beispielsweise $i$ flüssig und $j$ fest, so ist $c_{i, j} = 0$, da in diesem Fall die latente Wärme wie oben angemerkt auf die feste Phase $j$ wirken würde. Für die Gesamt-Quellstärke der Wärme aufgrund von Phasenübergängen $q_i$ gilt
\[ \begin{align} q_i = q_i' + q_i'' + q_i'''. \end{align} \]
Es sei an dieser Stelle noch einmal hervorgehoben, dass auf die Gasphase keine latenten Wärmeflüsse wirken, sondern nur auf die Kondensate. Über Wärmeübergang verteilt sich dann die Energie, auch auf die Gasphase.
Haben die Kondensate andere Temperaturen als die feuchte Luft, geht dies mit einem Wärmeübergang einher (diffusiver Wärmestrom durch eine Grenzfläche). Man geht von der Gleichung
\[ \begin{align} s = \xi\Delta T \end{align} \]
aus, wobei $\Delta T$ die Temperaturdifferenz der beiden Phasen ist, $\xi$ die Wärmedurchgangszahl und $s$ die Wärmeflussdichte. Für die entsprechende Leistungsdichte $q_i$ im Fluid, die auf die Kondensatklasse $i$ wirkt, hat man
\[ \begin{align} q_i = n_iA_i\xi_i\left(T - T_i\right). \end{align} \]
Hierbei sind $n_i$ die Teilchendichte der Kondensate $i$, $A_i$ deren Oberfläche und $\xi_i$ die Wärmedurchgangszahl bezüglich feuchter Luft. Für die Luft gilt
\[ \begin{align} q_h = \sum_{i}^{}n_iA_i\xi_i\left(T_i - T\right). \end{align} \]
In einem Medium mit Kondensationsprodukten wird angenommen, dass sich die Leistungsdichte $q_{\text{diss}}$ entsprechend der Massen auf die Komponenten aufteilt:
\[ \begin{align} q_{\text{diss}, i} = -\rho_i\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_R \end{align} \]
Dann ergibt sich die Gesamt-Leistungsdichte zu
\[ \begin{align} q_{\text{diss}} = q_{h} + \sum_{i}^{}q_{\text{diss}, i} = -\left[\rho_h + \sum_{i}^{}\rho_i\right]\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_R = -\rho\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}_R, \end{align} \]
was wieder Glg. (8.66) entspricht.
Das Poynting-Theorem Glg. (3.47) ist eine Kontinuitätsgleichung für die Strahlungsflussdichte $\mathbf{S}$. Die Herleitung ist klassisch, $ - \mathbf{j}\cdot\mathbf{E}$ ist die Leistung, die das Feld an beweglichen Ladungen verrichtet. Man kann die Gleichung notieren als
\[ \begin{align} \frac{1}{v}_h\left(P_{\text{Feld}} + P_{\text{Ladungen}}\right) = -\nabla\cdot\mathbf{S}, \end{align} \]
dabei sind $P_{\text{Feld}} = \frac{\partial w}{\partial t}$ die lokalzeitliche Ableitung der Energiedichte und $\mathbf{j}\cdot\mathbf{E}$ die Leistung an Ladungsträgern. Die Ladungen sind im Allgemeinen nicht frei, sondern zu Atomen und Molekülen strukturiert, und $P_{\text{Ladungen}}$ kann zu quantenmechanischen Anregungen allgemeinerer Art führen. Damit kann man die Gleichung notieren als
\[ \begin{align} \frac{1}{v}_h\left(P_{\text{Feld}} + P_{\text{Materie}}\right) = -\nabla\cdot\mathbf{S}. \end{align} \]
Es ist $P_{\text{Feld}}\ll P_{\text{Materie}}$ und daher kann man in guter Näherung
\[ \begin{align} \frac{1}{v}_hP_{\text{Materie}} = -\nabla\cdot\mathbf{S}. \end{align} \]
setzen.
Das Planck'sche Strahlungsgesetz Glg. (5.316) wurde bisher als Funktion der Kreisfrequenz $\omega$ formuliert. Bei Spektren verwendet man jedoch meist die Wellenlänge $\lambda$ als unabhängige Größe. Es gilt
\[ \begin{align} c = \frac{\lambda}{T}\Rightarrow\lambda = cT = \frac{2\pi c}{\frac{2\pi}{T}} = \frac{2\pi c}{\omega}\Rightarrow\omega = \frac{2\pi c}{\lambda}. \end{align} \]
Mit der Forderung
\[ \begin{align} u\left(\omega\right)d\omega \hastobe u\left(\lambda\right)d\lambda \end{align} \]
folgt
\[ \begin{align} u\left(\lambda\right) = u\left(\omega\left(\lambda\right)\right)\left|\frac{d\omega}{d\lambda}\right| = \frac{\hbar 8\pi^3 c^3}{\pi^2c^3 \lambda^3}\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar 2\pi c}{k_BT\lambda}\right) - 1}\frac{2\pi c}{\lambda^2} = \frac{8\pi ch}{\lambda^5}\frac{1}{\exp\left(\frac{hc}{k_BT\lambda}\right) - 1}. \end{align} \]
Für die spektrale Strahldichte der Schwarzkörperstrahlung gilt $L_B$ folgt
\[ \begin{align} L_B\left(\lambda, T\right) = \frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{\exp\left(\frac{hc}{k_BT\lambda}\right) - 1}. \end{align} \]
Die spektrale Strahldichte in der Atmosphäre hängt ab vom Ort, der Richtung und der Wellenlänge, also $L = L\left(\mathbf{r}, \lambda, \vartheta, \varphi\right)$. Hieraus ergibt sich das Feld der spektralen Strahlungsflussdichte $\mathbf{S}_\lambda$ zu
\[ \begin{align} \mathbf{S}_\lambda\left(\mathbf{r}, \lambda\right) = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}L\left(\mathbf{r}, \lambda, \vartheta, \varphi\right)\mathbf{e}\left(\vartheta, \varphi\right)\sin\left(\vartheta\right)d\vartheta d\varphi \end{align} \]
mit $\mathbf{e}\left(\vartheta, \varphi\right)$ als dem in die durch $\vartheta$ und $\varphi$ vorgegebene Richtung zeigenden Einheitsvektor.
$j\in\left\lbrace d, v, i\right\rbrace$ bezeichne eine Komponente der Luft, wobei $i$ für eine Kondensatklasse stehe. Jede Komponente hat individuelle Strahlungseigenschaften und bekommt daher einen eigene spektrale Leistungsdichte $q_j$. Man macht sich schnell klar, dass beim Durchtritt durch Materie für die Änderung der spektralen Strahldichte gilt
\[ \begin{align} dL\left(\Omega\right) \propto \rho_j, & {} & dL\left(\Omega\right) \propto ds, \end{align} \]
hierbei ist $\Omega$ ein Raumwinkelelement. Hieraus kann man folgern:
\[ \begin{align} dL\left(\Omega\right) &= -\overbrace{\vphantom{-\rho_jk_jLds + \rho_jk_jL_Bds + ds\rho_j\int_{4\pi}s_j\left(\Omega', \Omega\right)L\left(\Omega'\right)d\Omega' - ds\rho_j L\left(\Omega\right)\int_{4\pi}s_j\left(\Omega, \Omega'\right)d\Omega'}\rho_jk_jLds}^{\text{Absorption}} + \overbrace{\vphantom{-\rho_jk_jLds + \rho_jk_jL_Bds + ds\rho_j\int_{4\pi}s_j\left(\Omega', \Omega\right)L\left(\Omega'\right)d\Omega' - ds\rho_j L\left(\Omega\right)\int_{4\pi}s_j\left(\Omega, \Omega'\right)d\Omega'}\rho_jk_jL_Bds}^{\text{Emission}} + \overbrace{\vphantom{-\rho_jk_jLds + \rho_jk_jL_Bds + ds\rho_j\int_{4\pi}s_j\left(\Omega', \Omega\right)L\left(\Omega'\right)d\Omega' - ds\rho_j L\left(\Omega\right)\int_{4\pi}s_j\left(\Omega, \Omega'\right)d\Omega'}ds\rho_j \int_{4\pi}s_j\left(\Omega', \Omega\right)L\left(\Omega'\right)d\Omega'}^{\text{Zustreuung aus anderen Raumrichtungen}} - \overbrace{\vphantom{-\rho_jk_jLds + \rho_jk_jL_Bds + ds\rho_j\int_{4\pi}s_j\left(\Omega', \Omega\right)L\left(\Omega'\right)d\Omega' - ds\rho_j L\left(\Omega\right)\int_{4\pi}s_j\left(\Omega, \Omega'\right)d\Omega'}ds\rho_j L\left(\Omega\right)\int_{4\pi}s_j\left(\Omega, \Omega'\right)d\Omega'}^{\text{Wegstreuung in andere Raumrichtungen}}\nonumber \end{align} \]
Hierbei sind $k_j$ der Absorptionskoeffizient und $s_j$ der Streuquerschnitt. Dies beschreibt lediglich die Änderung der spektralen Strahldichte aufgrund der Komponente $i$. Um die tatsächliche Änderung zu beschreiben, muss man über alle Komponenten summieren:
\[ \begin{align} dL\left(\Omega\right) &= ds\left(L_B - L\left(\Omega\right)\right)\sum_{j}^{}\left(k_j\rho_j\right) + ds\sum_{i}^{}\rho_j\int_{4\pi}s_j\left(\Omega', \Omega\right)L\left(\Omega'\right)d\Omega'\nonumber\\ & - ds\sum_{j}^{}\rho_j L\left(\Omega\right)\int_{4\pi}s_j\left(\Omega, \Omega'\right)d\Omega'.\tag{11.20}\label{eq:strahlungsuebertragungsgleichung} \end{align} \]
Dies ist die Strahlungsübertragungsgleichung. Für die auf die Komponente $i$ wirkende Heizrate gilt dann
\[ \begin{align} q_j = \int_{0}^\infty\left(\nabla\cdot\mathbf{S}_\lambda\right)_jd\lambda. \end{align} \]
An der Erdoberfläche gilt
\[ \begin{align} \mathbf{j}_v\cdot\mathbf{n} = E + S - R - C, \end{align} \]
hierbei stehen $\mathbf{n}$ für den Normalenvektor der Erdoberfläche, $E$ für die Verdunstungsrate, $S$ für die Sublimationsrate, $R$ für die Resublimationsrate und $C$ für die Kondensationsrate, alles mit der Dimension Masse pro Fläche und Zeit. Dies ist eine Randbedingung an die Flussdichte $\mathbf{j}_v$.
Die Randbedingungen in der Strahlungsübertragungsgleichung lauten
\[ \begin{align} \mathbf{S}_{\text{in}} &= S_0\mathbf{e}_{\text{Sonne $\to$ Erde}} \end{align} \]
am Oberrand sowie
\[ \begin{align} L\left(\lambda, \vartheta, \varphi\right) &= \epsilon\left(\lambda, \vartheta, \varphi, T\right)L_B\left(\lambda, \vartheta, \varphi, T\right) \end{align} \]
Weiterhin ist
\[ \begin{align} \xi_{\text{SFC}}\left(T_{\text{SFC}} - T\right) \end{align} \]
die Wärmeflussdichte, die als Randbedingung an der Oberfläche im Ersten Hauptsatz für feuchte Luft auftritt.
\[ \begin{align} \forall\left(i \in \left\lbrace\text{gasförmige Bestandteile der Luft}\right\rbrace\right)\md{\mathbf{v}_i} &= -\frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{v}_i\times\mathbf{f} + \mathbf{g} + \nu\Delta\mathbf{v}_g\nonumber\\ \forall\left(i \in \left\lbrace\text{Kondensatklassen}\right\rbrace\right)\mathbf{j}_i &= \rho_i\mathbf{v} - \mathbf{k}\rho_iv_i\nonumber\\ p &= T_gR_g\rho_g'\nonumber\\ c_g^{(v)}\md{T} + p\md{}\left[\frac{1 - \sum_{j \in \left\lbrace\text{Kondensatklassen}\right\rbrace}^{}\frac{\rho_j}{\rho_j'}}{\rho_g}\right] &= \frac{q_g}{\rho_g} \nonumber\\ \frac{\partial\rho_d}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j}_d &= 0\nonumber\\ \forall\left(i \in \left\lbrace\text{Tracerklassen}\right\rbrace\right)\frac{\partial\rho_i}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j}_i &= Q_i\nonumber\\ \forall\left(i \in \left\lbrace\text{Kondensatklassen}\right\rbrace\right)c_i^{(V)}\md{T} &= \frac{q_i}{\rho_i} \nonumber\\ dL\left(\Omega\right) &= ds\left(L_B - L\left(\Omega\right)\right)\sum_{j\in\left\lbrace d, v, i\right\rbrace}^{}\left(k_j\rho_j\right)\nonumber\\ & + ds\sum_{j\in\left\lbrace d, v, i\right\rbrace}^{}\rho_j\int_{4\pi}s_j\left(\Omega', \Omega\right)L\left(\Omega'\right)d\Omega'\nonumber\\ & - ds\sum_{j\in\left\lbrace d, v, i\right\rbrace}^{}\rho_j L\left(\Omega\right)\int_{4\pi}s_j\left(\Omega, \Omega'\right)d\Omega'\nonumber\\ \text{\underline{Randbedingungen}}& \nonumber\\ \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} &= 0\text{ am Oberrand}\nonumber\\ \rho_i &= 0\text{ am Oberrand}\nonumber\\ \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} &= 0\text{ am Unterrand}\nonumber\\ \mathbf{S}_{\text{in}} &= S_0\mathbf{e}_{\text{Sonne $\to$ Erde}}\text{ am Oberrand}\nonumber\\ \mathbf{j}_v\cdot\mathbf{n} &= E + S - R - C\text{ am Unterand}\nonumber\\ L\left(\lambda, \vartheta, \varphi, T\right) &= \epsilon\left(\lambda, \vartheta, \varphi, T\right)L_B\left(\lambda, \vartheta, \varphi, T\right)\text{ am Oberrand}\nonumber\\ \tau_{\text{SFC}}\left(T_{\text{SFC}} - T\right) &= \text{ Wärmedurchgang am Unterrand}\nonumber \end{align} \]
Der Determinismus dieser Gleichungen ist nicht nur mathematisch unklar, sie sind außerdem unvollständig, da sie als Gleichungen der statistischen Physik höhere statistische Momente enthalten. Diese sind meist klein, jedoch führen aufgrund der Nichtlinearität kleinste Ungenauigkeiten nach einer Zeit $t > t_{\text{krit}}$ zu einer kapitalen Änderung der Lösung. Eine nicht-statistische Vorhersage ist daher prinzipiell nur für einen begrenzten Zeitraum möglich.