Die Kontinuitätsgleichung ist die Bilanzgleichung der Masse. Sei $\Omega\subseteq\mathbb{R}^3$ eine offene Teilmenge, $\rho$ eine Dichte und $\mathbf{j}$ die entsprechende Flussdichte. Dann gilt mit dem Gauß'schen Satz und einer Quelldichte $Q$
\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\int_\Omega\rho d^3r &= -\int_{\partial \Omega}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{n} + \int_\Omega Qd^3r = -\int_\Omega\nabla\cdot\mathbf{j} - Q d^3r\nonumber\\ \Rightarrow \int_\Omega\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j} - Qd^3r &= 0.\tag{7.1}\label{eq:deriv_cont_1} \end{align} \]
Da der Integrand stetig ist, ist selbiger bereits homogen und konstant gleich Null. Gilt nämlich $\left|\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j} - Q\right|>\epsilon>0$ an einer Stelle $\mathbf{r}_0\in\Omega$, so exisitiert eine offene Umgebung $\omega\subseteq\Omega$ mit $\mathbf{r}_0\in\omega$ und $\int_\omega\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j} - Qd^3r \not= 0$ im Widerspruch zu Glg. (7.1). Es gilt somit
\[ \begin{align} \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j} = Q.\tag{7.2}\label{eq:cont_general} \end{align} \]
In Termen des spezifischen Volumens $\alpha$ kann man dies als
\[ \begin{align} -\frac{1}{\alpha^2}\frac{\partial\alpha}{\partial t} - \frac{1}{\alpha^2}\mathbf{v}\cdot\nabla\alpha + \frac{1}{\alpha}\nabla\cdot\mathbf{v} = 0 & {} & \Leftrightarrow \frac{\partial\alpha}{\partial t} = \alpha\nabla\cdot\mathbf{v} - \mathbf{v}\cdot\nabla\alpha.\tag{7.3}\label{eq:cont_spec_volume} \end{align} \]
notieren. Dies notiert man nun separat für alle Komponenten der Luft:
\[ \begin{align} \frac{\partial\rho_d}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j}_d &= Q_d\tag{7.4}\label{eq:kont_d_pre}\\ \frac{\partial\rho_v}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j}_v &= Q_v\tag{7.5}\label{eq:kont_v_pre}\\ \frac{\partial\rho_i}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{j}_i &= Q_i\tag{7.6}\label{eq:kont_i_pre} \end{align} \]
Dabei gelten
\[ \begin{align} \mathbf{j}_d = \rho_d\mathbf{v} - D_d\nabla\rho_d, & {} & \mathbf{j}_v = \rho_v\mathbf{v} - D_v\nabla\rho_v. \end{align} \]
Die $D_d, D_v$ sind die Diffusionskoeffizienten für trockene bzw. feuchte Luft. Man kann zunächst
\[ \begin{align} Q_d = 0 \end{align} \]
festhalten.
Nun sollen die $Q_x$ in den Glg.en (7.4) - (7.6) genauer angegeben werden. Es gibt fünf Prozesse, die zu ihnen beitragen:
Der letzte Punkt wird im Rest des Abschnitts ausgeklammert, hier soll es nur um die Kondensate gehen. Diffusion gibt es nur bei den gasförmigen Bestandteilen, also tritt in $Q_d$ ein Term $D_d\Delta\rho_d$ und in $Q_v$ ein Term $D_v\Delta\rho_v$ auf, hierbei sind $D_d$ und $D_v$ die Diffusionskoeffizienten von trockener Luft bzw. Wasserdampf in Luft. Trockene Luft ist von den übrigen Prozessen nicht betroffen, sodass
\[ \begin{align} Q_d = D_d\Delta\rho_d \end{align} \]
gilt.
Treffen sich zwei Partikel der Kondensatklassen $j$ und $k$, so kann man eine Wahrscheinlichkeit $0\leq P_{j, k}\leq 1$ dafür angeben, dass sie danach einen Partikel bilden. Dieser hat eine wohldefinierte Klasse $R_{j, k}$. Weiterhin sei $\sigma_{j, k}$ der Wirkungsquerschnitt der Kollisionen von Partikeln der Klassen $j$ und $k$. Sind $j$ beispielsweise Kugeln mit Radius $r_j$ und $k$ Kugeln mit Radius $r_k$, so gilt $\sigma_{j, k} = \pi\left(r_j + r_k\right)^2$. Die gemittelte Relativgeschwindigkeit zwischen den Teilchen der Klassen $j$ und $k$ sei $\newoverline{v_{\text{rel}}}\left(j, k\right)$. Dann durchfliegt ein Partikel der Klasse $j$ in der Zeit $t$ relativ zu den Partikeln der Klasse $k$ ein Volumen $\sigma_{j, k}\newoverline{v_{\text{rel}}}\left(j, k\right)t$. Die mittlere Stoßzeit $\tau_{j, k}$ ist dadurch definiert, dass man fordert, dass sich in diesem Volumen genau ein Teilchen der Klasse $k$ aufhält, also
\[ \begin{align} n_k\sigma_{j, k}\newoverline{v_{\text{rel}}}\left(j, k\right)\tau_{j, k} &\hastobe 1. \end{align} \]
Alle Teilchen der Gruppe $j$ nehmen an Stoßprozessen teil, deshalb ist die Gesamt-Stoßrate von Teilchen $j$ mit Partikeln $k$ gegeben durch
\[ \begin{align} \frac{n_j}{\tau_{j, k}} &= n_jn_k\sigma_{j, k}\newoverline{v_{\text{rel}}}\left(j, k\right). \end{align} \]
Ist $\newtilde{m}_i$ die Masse der Teilchen der Gruppe $i = R_{j, k}$, so ergibt sich eine entsprechende Quellstärke
\[ \begin{align} \newtilde{m}_i\sigma_{j, k}n_jn_k\newoverline{v_{\text{rel}}}\left(j, k\right)P_{j, k}. \end{align} \]
Weiterhin muss auch ein negativer Anteil der Quellstärke berücksichtigt werden, der dadurch zustande kommt, dass Teilchen ihrer ursprünglichen Kondensatklasse verlorengehen, wenn sie sich mit anderen Teilchen verbinden. Dies führt zu
\[ \begin{align} Q_i^{(\text{Kollisionen})} = \newtilde{m}_i\sum_{j}\sum_{k\leq j}^{}\sigma_{j, k}n_jn_k\newoverline{v_{\text{rel}}}\left(j, k\right)P_{j, k}\left(\delta_{i, R_{j, k}} - \delta_{j, i} - \delta_{k, i}\right). \end{align} \]
Dies erfordert wegen Massenerhaltung, dass die Teilchenmassen $\newtilde{m}_i$ ganzzahlige Vielfache einer minimalen Masse sind, damit bei Kollisionen keine Masse artifiziell verschwindet oder entsteht.
Nun werden Zerfallsprozesse untersucht. Für die Änderung einer Teilchendichte $n_j$ durch Zerfälle gilt
\[ \begin{align} dn_j = -n_j\lambda_jdt\Leftrightarrow\frac{dn_j}{dt} = -\lambda_j n_j, \end{align} \]
hierbei ist $\lambda_j$ die Zerfallskonstante. Das Produkt des Zerfalls sei mit einer Wahrscheinlichkeit $Z_{j, k, l}$ ein Teilchen der Klasse $k$ und eines der Klasse $l$, hierbei gilt die Normierung
\[ \begin{align} 1 = \sum_{k}\sum_{l\leq k}^{}Z_{j, k, l}, \end{align} \]
wobei $Z_{j, j, l} = Z_{j, k, j} = 0$ sein soll, das heißt das Produkt eines Zerfalls darf nicht gleich dem Edukt sein. Es müssen für jede Kondensatklasse $i$ wieder positive und negative Terme beachtet werden, sodass gilt
\[ \begin{align} Q_i^{\left(\text{Zerfälle}\right)} = \newtilde{m}_i\sum_{j}\sum_{k}\sum_{l\leq k}^{}\lambda_j n_j Z_{j, k, l}\left(\delta_{i, k} + \delta_{i, l} - \delta_{j, i}\right). \end{align} \]
Abschließend werden Phasenübergänge behandelt. Diese können auf zwei Arten stattfinden.
Erstens können Kondensation und Resublimation direkt zum Entstehen neuer Teilchen der Klasse $i$ führen bzw. können Verdampfung und Sublimation zu deren Zerstörung führen. Die entsprechenden Massenflussdichten werden mit $\newtilde{q}_{v, i}'$ im ersten und $\newtilde{q}_{i, v}'$ im zweiten Fall bezeichnet. Durch diesen Prozess erhält man Terme
\[ \begin{align} Q_v^{\left(\pm\text{Entstehung}\right)} &= \sum_{j}^{}\newtilde{q}_{j, v}' - \newtilde{q}_{v, j}',\\ Q_i^{\left(\pm\text{Entstehung}\right)} &= \newtilde{q}_{v, i}' - \newtilde{q}_{i, v}'. \end{align} \]
Große Kondensationsprodukte wie Hagelkörner entstehen nicht instantan, sondern sie wachsen, u. a. durch Kondensation bzw. Resublimation von Wasserdampf an kleineren Partikeln. In umgekehrter Weise können sie auch wieder vergehen. Während eines Zeitintervalls $\Delta t$ kondensiere oder resublimiere innerhalb eines Volumens $\Delta V$ eine Masse $m_i$ an Partikeln der Klasse $i$. Diese wachsen dadurch und werden schwerer, jedoch wurde in Kap. 6 festgelegt, dass alle Partikel der Klasse $i$ die gleiche Masse $\newtilde{m}_i$ haben sollen. Ist dies der einzige Prozess der stattfindet, gilt wegen Massenerhaltung
\[ \begin{align} \rho_{g\left(i\right)}\left(t\right)\Delta V + m_i = \rho_{g\left(i\right)}\left(t + \Delta t\right)\Delta V. \end{align} \]
Hierbei ist $g\left(i\right)$ diejenige Kondensatklasse, die aus $i$ durch Wachstum entsteht. Damit folgt
\[ \begin{align} \frac{\partial\rho_{g\left(i\right)}}{\partial t} = \frac{1}{\Delta V}\frac{dm_i}{dt}\eqqcolon \newtilde{q}_{v, i}''. \end{align} \]
Dies ist zunächst verwirrend, weil durch Kondensation an Partikeln $i$ die Dichte $\rho_{g\left(i\right)}$ verändert wird; dies resultiert daraus, dass bei dieser Art des Phasenübergangs keine neuen Teilchen der Klasse $i$ entstehen. Im Fall von Verdunstung oder Sublimation erhält man
\[ \begin{align} \frac{\partial\rho_{d\left(i\right)}}{\partial t}\eqqcolon\newtilde{q}_{i, v}'', \end{align} \]
wobei $d\left(i\right)$ die Kondensatklasse ist, die aus $i$ durch Schrumpfung entsteht.
Drittens können sich Kondensate durch Gefrieren oder Schmelzen ineinander Umwandeln, die entsprechenden Quellstärken seien mit $\newtilde{q}_{j, k}'''$ bezeichnet. Man erhält
\[ \begin{align} Q_i^{\left(\text{Umwandlung}\right)} = \sum_{j}\newtilde{q}_{j, i}''' - \newtilde{q}_{i, j}'''. \end{align} \]
Die Quellstärken stellen sich zusammenfassend folgendermaßen dar:
\[ \begin{align} Q_d &= D_d\Delta\rho_d\tag{7.23}\label{eq:quelle_trocken_masse}\\ Q_v &= \sum_{i}^{}\left(\newtilde{q}_{i, v}' - \newtilde{q}_{v, i}' + \newtilde{q}_{i, v}'' - \newtilde{q}_{v, i}''\right) + D_v\Delta\rho_v\tag{7.24}\label{eq:quelle_wasserdampf_masse}\\ Q_i &= \newtilde{m}_i\sum_{j}\sum_{k\leq j}^{}\sigma_{j, k}n_jn_k\newoverline{v_{\text{rel}}}\left(j, k\right)P_{j, k}\left(\delta_{i, R_{j, k}} - \delta_{j, i} - \delta_{k, i}\right) + \newtilde{q}_{v, i}' - \newtilde{q}_{i, v}'\nonumber\\ & + \newtilde{m}_i\sum_{j}\sum_{k}\sum_{l\leq k}^{}\lambda_j n_j Z_{j, k, l}\left(\delta_{i, k} + \delta_{i, l} - \delta_{j, i}\right) + \left(\newtilde{q}_{g\left(i\right), v}'' + \newtilde{q}_{v, d\left(i\right)}''\right) + \sum_{j}\newtilde{q}_{j, i}''' - \newtilde{q}_{i, j}'''\tag{7.25}\label{eq:quelle_kondensat_masse} \end{align} \]
Die genaue Berechnung der $P_{j, k}, \lambda_j$ und $Z_{j, k, l}$ sowie der Phasenübergangsraten ist Aufgabe kleinskaligerer numerischer Methoden und würde das Ziel dieses Buches übersteigen, dies ist analog zu den Spektren.
Nun müssen noch die Massenflussdichten $\mathbf{j}_i$ angegeben werden. $v_i$ sei die Gleich\-ge\-wichts-Sink\-ge\-schwin\-dig\-keit der Partikel $i$, dann kann man von
\[ \begin{align} \mathbf{j}_i = \rho_i\mathbf{v} - \mathbf{k}\rho_iv_i \end{align} \]
ausgehen. Für den Niederschlag $P_i$ der Kondensatklasse $i$ gilt
\[ \begin{align} P_i = -j_i\left(z_{\text{SFC}}\right), \end{align} \]
wobei sich SFC auf die Erdoberfläche bezieht. Diese Gleichungen sind auch auf Aerosole anwendbar.
Häufig wird auch die spezifische Feuchte $q = \rho_i/\rho$ verwendet (Def. s. Glg. (5.167)), da sie im Falle einer mit dem Windfeld advehierten Komponente $i$ eine Erhaltungsgröße ist:
\[ \begin{align} \md{q} = -\frac{q}{\rho}\md{\rho} + \frac{1}{\rho}\md{\rho_i} = q\nabla\cdot\mathbf{v} - q\nabla\cdot\mathbf{v} = 0\tag{7.28}\label{eq:q_conservative} \end{align} \]
Die Quellterme von $q$ sind diejenigen von $\rho_i$ dividert durch die Dichte des Mediums $\rho$.