Innerhalb der planetarischen Grenzschicht, insbesondere innerhalb der Prandtl-Schicht, sind die vertikalen Gradienten der meteorologischen Variablen relativ groß. Sie können von einem Modell erst bei vertikalen Gitterpunktabständen im Bereich von einem Meter hinreichend gut abgetastet werden. Daher sind die in der freien Atmosphäre gültigen Ansätze für die vertikalen turbulenten Flüsse am Unterrand der untersten Modellschicht nicht mehr anwendbar. Daher werden in diesem Bereich die Erkenntnisse über planetarischen Grenzschicht, welche in Abschn. 17.2.1 entwickelt wurden, genutzt, um die vertikalen turbulenten Flüsse zu bestimmen.
Laut Glg. (17.80) lautet die Monin-Obukhov-Länge
\[ \begin{align} L \coloneqq -\frac{T_Au_\star^3}{kg\newoverline{\left(w'\theta'\right)}}. \end{align} \]
Problematisch ist hierbei die Bestimmung von $\newoverline{\left(w'\theta'\right)}_\text{sfc}$. Setzt man hier Glg. ein, erhält man
\[ \begin{align} L = -\frac{T_Au_\star^3}{kg\frac{Q_H}{\rho c_v}} = -\frac{T_Au_\star^3}{kg\frac{T_G - T_A'}{r_H}} = -\frac{T_Au_\star^3}{kg\left(T_G - T_A'\right)}r_H. \end{align} \]
Die Reibungsgeschwindigkeit $u_\star$ und der Flusswiderstand der sensiblen Wärme $r_H$ hängen dabei wiederum von $L$ ab:
\[ \begin{align} L = -\frac{T_Au_\star^3\left(L\right)}{kg\left(T_G - T_A'\right)}r_H\left(L\right).\tag{37.3}\label{eq:mo_length_model_ansatz} \end{align} \]
Setzt man hier Glg. ein, erhält man
\[ \begin{align} L = -\frac{T_Au_\star^3}{g\left(T_G - T_A'\right)}\frac{1}{u_\star k^2}\left[\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_h\left(\frac{z}{L}\right) + \ln\left(7\right)\right] = \frac{T_Au_\star^2}{k^2g\left(T_A' - T_G\right)}\left[\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_h\left(\frac{z}{L}\right) + \ln\left(7\right)\right]. \end{align} \]
Setzt man weiter Glg. (17.49) ein, folgt
\[ \begin{align} L = \frac{T_AU^2}{g\left(T_A' - T_G\right)}\frac{\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_h\left(\frac{z}{L}\right) + \ln\left(7\right)}{\left[\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_m\left(\frac{z}{L}\right)\right]^2}. \end{align} \]
Hier geht es um die Bestimmung $L$, dabei sind alle anderen Größen bekannt. Die Größe
\[ \begin{align} R_\text{i,b} \coloneqq \frac{zg\left(T_A' - T_G\right)}{T_AU^2}. \end{align} \]
bezeichnet man als Bulk-Richardson-Zahl. Mit der Hilfsfunktion
\[ \begin{align} s\left(L\right) &\coloneqq \frac{\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_h\left(\frac{z}{L}\right) + \ln\left(7\right)}{\left[\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_m\left(\frac{z}{L}\right)\right]^2} \end{align} \]
und
\[ \begin{align} a \coloneqq \frac{R_\text{i,b}}{z} \end{align} \]
kann man dies in der Form
\[ \begin{align} L = \frac{z}{R_\text{i,b}}s\left(L\right) = \frac{s\left(L\right)}{a} \Leftrightarrow aL - s\left(L\right) = 0\tag{37.9}\label{eq:mo_l_num_deriv_1} \end{align} \]
notieren.
Das Vorzeichen von $L$ kann bereits im Voraus aus Glg. (37.3) bestimmt werden. Im Fall $T_G < T_A'$, was stabilen Bedingungen entspricht, gilt $L > 0.$ In diesem Fall gelten
\[ \begin{align} \psi_m\left(\frac{z}{L}\right) = \psi_h\left(\frac{z}{L}\right) = -4,7\cdot\frac{z}{L}. \end{align} \]
Definiere nun
\[ \begin{align} h\left(L\right) \coloneqq \ln\left(\frac{z}{z_0}\right) + 4,7\cdot\frac{z}{L}, \end{align} \]
dann folgt aus Glg. (37.9)
\[ \begin{align} aL - s\left(L\right) &= aL - \frac{h\left(L\right) + \ln\left(7\right)}{h^2\left(L\right)} = 0\nonumber\\ \Leftrightarrow f_1\left(L\right) &\coloneqq aLh^2\left(L\right) - h\left(L\right) - \ln\left(7\right) = 0.\tag{37.12}\label{eq:mo_l_num_deriv_2} \end{align} \]
Glg. (37.12) ist nicht analytisch lösbar und muss daher numerisch gelöst werden. Dies entspricht der Ermittlung der Nullstelle von $f_1$. Hierzu benutzt man eine Newton-Iteration mit
\[ \begin{align} f_1\left(L_i\right) + f_1'\left(L_i\right)\cdot\left(L_{i+1} - L_i\right) = 0, \end{align} \]
hierbei ist $i$ der Iterationsschritt. Es gilt
\[ \begin{align} f_1'\left(L\right) = ah^2\left(L\right) + 2aLh\left(L\right)h'\left(L\right) - h'\left(L\right). \end{align} \]
Unter der Annahme $f_1' \not= 0$ kann man dies zu
\[ \begin{align} \frac{f_1\left(L_i\right)}{f_1'\left(L_i\right)} + L_{i+1} - L_i &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow L_{i+1} &= L_i - \frac{f_1\left(L_i\right)}{f_1'\left(L_i\right)} \end{align} \]
umformulieren.
Im Fall $T_G > T_A$, was instabilen Bedingungen entspricht, gilt $L < 0.$ In diesem Fall gilt
\[ \begin{align} f_2\left(L\right) &\coloneqq aL - s\left(L\right) = aL - \frac{\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_h\left(\frac{z}{L}\right) + \ln\left(7\right)}{\left[\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_m\left(\frac{z}{L}\right)\right]^2} = 0. \end{align} \]
Hieraus folgt
\[ \begin{align} f_2'\left(L\right) &= a - g'\left(L\right) = a - \frac{\frac{z}{L^2}\psi'_h\left(\frac{z}{L}\right)\left[\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_m\left(\frac{z}{L}\right)\right]^2 - \left[\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_h\left(\frac{z}{L}\right) + \ln\left(7\right)\right]2\left[\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_m\left(\frac{z}{L}\right)\right]\frac{z}{L^2}\psi'_m\left(\frac{z}{L}\right)}{\left[\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_m\left(\frac{z}{L}\right)\right]^4}\nonumber\\ &= a - \frac{\frac{z}{L^2}\psi'_h\left(\frac{z}{L}\right)}{\left[\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_m\left(\frac{z}{L}\right)\right]^2} + \frac{2\left[\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_h\left(\frac{z}{L}\right) + \ln\left(7\right)\right]\frac{z}{L^2}\psi'_m\left(\frac{z}{L}\right)}{\left[\ln\left(\frac{z}{z_0}\right) - \psi_m\left(\frac{z}{L}\right)\right]^3}. \end{align} \]