31 Hexagonales C-Gitter

31.1 Differenzialoperatoren

Die beiden Einheitsvektoren der Ebene werden mit

\[ \begin{align} \mathbf{i} &\coloneqq \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right),\\ \mathbf{j} &\coloneqq \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)\\ \end{align} \]

bezeichnet. Nun definiert man weiter ein dreielementiges Erzeugendensystem $\left(\mathbf{i}_1, \mathbf{i}_2 \mathbf{i}_3\right)$ durch

\[ \begin{align} \mathbf{i}_1 &\coloneqq \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) = \mathbf{i},\\ \mathbf{i}_2 &\coloneqq \left(\begin{array}{c} -\sin\left(30^\circ\right)\\ \cos\left(30^\circ\right) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -\frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right) = -\frac{1}{2}\mathbf{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{j},\\ \mathbf{i}_3 &\coloneqq \left(\begin{array}{c} -\frac{1}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\right) = -\frac{1}{2}\mathbf{i} - \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{j}, \end{align} \]

dessen Elemente jeweils um 120$^\circ$ gegeneinander rotiert sind. Weiter definiert man ein hiergegen um 90$^\circ$ rotiertes Erzeugendensystem $\left(\mathbf{j}_1, \mathbf{j}_2 \mathbf{j}_3\right)$ durch

\[ \begin{align} \mathbf{j}_1 &\coloneqq \mathbf{k}\times\mathbf{i}_1 = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right),\\ \mathbf{j}_2 &\coloneqq \mathbf{k}\times\mathbf{i}_2 = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} -\frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{1}{2} \end{array}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - \frac{1}{2}\mathbf{j},\\ \mathbf{j}_3 &\coloneqq \mathbf{k}\times\mathbf{i}_3 = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} -\frac{1}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{1}{2} \end{array}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - \frac{1}{2}\mathbf{j}. \end{align} \]

Man beobachtet

\[ \begin{align} \mathbf{i}_1 + \mathbf{i}_2 + \mathbf{i}_3 = \mathbf{0}, & {} & \mathbf{j}_1 + \mathbf{j}_2 + \mathbf{j}_3 = \mathbf{0}. \end{align} \]

Für einen zweidimensionalen Vektor $\mathbf{v}$ kann man

\[ \begin{align} \mathbf{v} = u\mathbf{i} + v\mathbf{j} \end{align} \]

schreiben, hierbei gelten

\[ \begin{align} u = \mathbf{i}\cdot\mathbf{v}, & {} & v = \mathbf{j}\cdot\mathbf{v}. \end{align} \]

Da die $\mathbf{i}_k$, $\mathbf{j}_l$ jeweils paarweise linear unabhängig sind, kann man notieren

\[ \begin{align} \mathbf{v} = u_k'\mathbf{i}_k + u_l'\mathbf{i}_l = v_k'\mathbf{j}_k + v_l'\mathbf{j}_l. \end{align} \]

Da die Auswahl der $k$, $l$ nicht eindeutig ist und man auch alle drei Einheitsvektoren verwenden könnte, kann man eine weitere lineare Bedingung einführen. Man nutzt diese Freiheit, um die Schreibweise

\[ \begin{align} \mathbf{v} &= \frac{2}{3}\left(u_1\mathbf{i}_1 + u_2\mathbf{i}_2 + u_3\mathbf{i}_3\right) = \frac{2}{3}\left(v_1\mathbf{j}_1 + v_2\mathbf{j}_2 + v_3\mathbf{j}_3\right) \end{align} \]

zu fordern. Dies ist mit

\[ \begin{align} u_k = \mathbf{i}_k\cdot\mathbf{v}, & {} & v_k = \mathbf{j}_k\cdot\mathbf{v} \end{align} \]

erfüllt, denn hieraus folgt

\[ \begin{align} \mathbf{v} &= u\mathbf{i} + v\mathbf{j} = \frac{2}{3}\left(\frac{6}{4}u\mathbf{i} + \frac{6}{4}v\mathbf{j}\right)\nonumber\\ &= \frac{2}{3}\left(u\mathbf{i} + \frac{1}{4}u\mathbf{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}u\mathbf{j} - \frac{\sqrt{3}}{4}v\mathbf{i} + \frac{3}{4}v\mathbf{j} + \frac{1}{4}u\mathbf{i} + \frac{\sqrt{3}}{4}u\mathbf{j} + \frac{\sqrt{3}}{4}v\mathbf{i} + \frac{3}{4}v\mathbf{j}\right)\nonumber\\ &= \frac{2}{3}\left(u\mathbf{i} + \left(-\frac{1}{2}u + \frac{\sqrt{3}}{2}v\right)\left(-\frac{1}{2}\mathbf{i} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{j}\right) + \left(-\frac{1}{2}u - \frac{\sqrt{3}}{2}v\right)\left(-\frac{1}{2}\mathbf{i} - \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{j}\right)\right)\nonumber\\ &= \frac{2}{3}\left(u_1\mathbf{i}_1 + u_2\mathbf{i}_2 + u_3\mathbf{i}_3\right), \end{align} \]

wobei

\[ \begin{align} u_1 &= u, & {} & u_2 = -\frac{1}{2}u + \frac{\sqrt{3}}{2}v, & {} & u_3 = -\frac{1}{2}u - \frac{\sqrt{3}}{2}v. \end{align} \]

verwendet wurde. Dies gilt analog für die $v_k$. Hieraus folgt

und analog für die $v_k$. Für den Gradienten $\nabla\alpha$ eines Skalarfeldes $\alpha$ erhält man nun

\[ \begin{align} \nabla\alpha = \frac{2}{3}\left[\left(\mathbf{i}_1\cdot\nabla\alpha\right)\mathbf{i}_1 + \left(\mathbf{i}_2\cdot\nabla\alpha\right)\mathbf{i}_2 + \left(\mathbf{i}_3\cdot\nabla\alpha\right)\mathbf{i}_3\right]. \end{align} \]

Wegen

\[ \begin{align} \mathbf{i}_k\cdot\nabla\alpha = \frac{\partial\alpha}{\partial x_k} \end{align} \]

folgt

Man stellt hiermit außerdem

fest. Es gilt

\[ \begin{align} \mathbf{i}_1 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\mathbf{j}_3 - \mathbf{j}_2\right) \end{align} \]

und zyklisch:

\[ \begin{align} \mathbf{i}_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\mathbf{j}_1 - \mathbf{j}_3\right), & {} & \mathbf{i}_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\mathbf{j}_2 - \mathbf{j}_1\right) \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} \nabla\alpha = \frac{2}{3\sqrt{3}}\left(\frac{\partial\alpha}{\partial x_1}\left(\mathbf{j}_3 - \mathbf{j}_2\right) + \frac{\partial\alpha}{\partial x_2}\left(\mathbf{j}_1 - \mathbf{j}_3\right) + \frac{\partial\alpha}{\partial x_3}\left(\mathbf{j}_2 - \mathbf{j}_1\right)\right). \end{align} \]

Umsortierung ergibt

Es gilt

\[ \begin{align} \mathbf{v} &= \frac{2}{3}\left(u_1\mathbf{i}_1 + u_2\mathbf{i}_2 + u_3\mathbf{i}_3\right) = \frac{2}{3}\left[u_1\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right) + u_2\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right) + u_3\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)\right] = \frac{2}{3}\left(\begin{array}{c}u_1 - \frac{u_2}{2} - \frac{u_3}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}u_2 - \frac{\sqrt{3}}{2}u_3\end{array}\right)\nonumber\\ &= \left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}u_1 - \frac{u_2}{3} - \frac{u_3}{3}\\\frac{1}{\sqrt{3}}u_2 - \frac{1}{\sqrt{3}}u_3\end{array}\right). \end{align} \]

Hieraus folgt für die Divergenz

\[ \begin{align} D \coloneqq \nabla\cdot\mathbf{v} = \frac{2}{3}\frac{u_1}{\partial x} - \frac{1}{3}\frac{u_2}{\partial x} - \frac{1}{3}\frac{u_3}{\partial x} + \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{u_2}{\partial y} - \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{u_3}{\partial y}. \end{align} \]

Es gilt

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x_1}, \end{align} \]

wegen

\[ \begin{align} \mathbf{j} = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\mathbf{i}_2 - \mathbf{i}_3\right) \end{align} \]

ist außerdem

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial}{\partial x_2} - \frac{\partial}{\partial x_3}\right).\tag{31.31}\label{eq:ddy_hex} \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} D &= \frac{2}{3}\frac{\partial u_1}{\partial x} - \frac{1}{3}\frac{\partial u_2}{\partial x} - \frac{1}{3}\frac{\partial u_3}{\partial x} + \frac{1}{3}\left(\frac{\partial u_2}{\partial x_2} - \frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right) - \frac{1}{3}\left(\frac{\partial u_3}{\partial x_2} - \frac{\partial u_3}{\partial x_3}\right)\nonumber\\ &= \frac{2}{3}\frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{1}{3}\frac{u_2}{\partial x_2} + \frac{1}{3}\frac{u_3}{\partial x_3} - \frac{1}{3}\frac{u_2}{\partial x_1} - \frac{1}{3}\frac{\partial u_3}{\partial x_1} - \frac{1}{3}\frac{\partial u_2}{\partial x_3} - \frac{1}{3}\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\nonumber\\ &= \frac{2}{3}\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3}\right) - \frac{1}{3}\left(\frac{\partial u_2}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_3} + \frac{\partial u_3}{\partial x_1} + \frac{\partial u_3}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3}\right). \end{align} \]

Mit Glg. (31.22) folgt

Durch Kombination mit Glg. (31.21) erhält man weiterhin

Es gilt

\[ \begin{align} u_1 &= \mathbf{v}\cdot\mathbf{i}_1 = \frac{2}{3}\left(v_1\mathbf{j}_1\cdot\mathbf{i}_1 + v_2\mathbf{j}_2\cdot\mathbf{i}_1 + v_3\mathbf{j}_3\cdot\mathbf{i}_1\right) = \frac{2}{3}\left(0\cdot v_1 - \frac{\sqrt{3}}{2}v_2 + \frac{\sqrt{3}}{2}v_3\right)\nonumber\\ &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(v_3 - v_2\right). \end{align} \]

Durch zyklisches Verschieben der Indizes erhält man

\[ \begin{align} u_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(v_1 - v_3\right), & {} & u_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(v_2 - v_1\right). \end{align} \]

Hiermit erhält man eine weitere Darstellung der Divergenz:

Es gilt

\[ \begin{align} \frac{\partial v_2}{\partial x_3} - \frac{\partial v_3}{\partial x_2} &= \frac{\partial v_2}{\partial x_3} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2} - \frac{\partial v_2}{\partial x_2} - \frac{\partial v_3}{\partial x_2} = \left(\frac{\partial}{\partial x_3} + \frac{\partial}{\partial x_2}\right)v_2 - \frac{\partial}{\partial x_2}\left(v_2 + v_3\right)\nonumber\\ &= -\frac{\partial v_2}{\partial x_1} + \frac{\partial v_1}{\partial x_2} = \frac{\partial v_1}{\partial x_2} - \frac{\partial v_2}{\partial x_1}. \end{align} \]

Durch zyklische Vertauschung dieser Gleichung erkennt man, dass alle drei eingeklammerten Summanden in Glg. (31.37) gleich sind. Daraus folgen

\[ \begin{align} D &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial v_2}{\partial x_3} - \frac{\partial v_3}{\partial x_2}\right),\\ D &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial v_3}{\partial x_1} - \frac{\partial v_1}{\partial x_3}\right),\\ D &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial v_1}{\partial x_2} - \frac{\partial v_2}{\partial x_1}\right). \end{align} \]

Es gilt

\[ \begin{align} \mathbf{v} &= \frac{2}{3}\left(v_1\mathbf{j}_1 + v_2\mathbf{j}_2 + v_3\mathbf{j}_3\right) = \frac{2}{3}\left[v_1\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right) + v_2\left(\begin{array}{c}-\frac{\sqrt{3}}{2}\\-\frac{1}{2}\end{array}\right) + v_3\left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{2}\\-\frac{1}{2}\end{array}\right)\right]\nonumber\\ &= \left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{3}}v_3 - \frac{1}{\sqrt{3}}v_2\\\frac{2}{3}v_1 - \frac{v_2}{3} - \frac{v_3}{3}\end{array}\right). \end{align} \]

Für die Vorticity erhält man somit

\[ \begin{align} \zeta &= \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{2}{3}v_1 - \frac{v_2}{3} - \frac{v_3}{3}\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}v_3 - \frac{1}{\sqrt{3}}v_2\right)\nonumber\\ &= \frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{2}{3}v_1 - \frac{v_2}{3} - \frac{v_3}{3}\right) - \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial}{\partial x_2} - \frac{\partial}{\partial x_3}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{3}}v_3 - \frac{1}{\sqrt{3}}v_2\right)\nonumber\\ &= \frac{2}{3}\frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{1}{3}\frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \frac{1}{3}\frac{\partial v_3}{\partial x_3} - \frac{1}{3}\frac{\partial v_2}{\partial x_1} - \frac{1}{3}\frac{\partial v_3}{\partial x_1} - \frac{1}{3}\frac{\partial v_3}{\partial x_2} - \frac{1}{3}\frac{\partial v_2}{\partial x_3}\nonumber\\ &= \frac{2}{3}\left(\frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \frac{\partial v_3}{\partial x_3}\right) - \frac{1}{3}\left(\frac{\partial v_2}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \frac{\partial v_2}{\partial x_3} + \frac{\partial v_3}{\partial x_1} + \frac{\partial v_3}{\partial x_2} + \frac{\partial v_3}{\partial x_3}\right). \end{align} \]

Mit Glg. (31.22) folgt

Es gilt

\[ \begin{align} v_1 &= \mathbf{v}\cdot\mathbf{j}_1 = \frac{2}{3}\left(u_1\mathbf{i}_1 + u_2\mathbf{i}_2 + u_3\mathbf{i}_3\right)\cdot\mathbf{j}_1 = \frac{2}{3}\left(u_1\mathbf{i}_1 + u_2\mathbf{i}_2 + u_3\mathbf{i}_3\right)\cdot\mathbf{j}\nonumber\\ &= \frac{2}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}u_2 - \frac{\sqrt{3}}{2}u_3\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(u_2 - u_3\right).\tag{31.45}\label{eq:turn_3elemets2d} \end{align} \]

Durch zyklisches Verschieben der Indizes erhält man

\[ \begin{align} v_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(u_3 - u_1\right), & {} & v_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(u_1 - u_2\right). \end{align} \]

Hieraus folgt eine weitere Darstellung der Vorticity:

\[ \begin{align} \zeta = \frac{2}{3\sqrt{3}}\left(\frac{\partial u_2}{\partial x_1} - \frac{\partial u_3}{\partial x_1} + \frac{\partial u_3}{\partial x_2} - \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_1}{\partial x_3} - \frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right) \end{align} \]

Durch Umsortierung erhält man

Analog zum Fall von Glg. (31.37) gelten auch hier

\[ \begin{align} \zeta &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial u_3}{\partial x_2} - \frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right),\tag{31.49}\label{eq:hex_curl_symm_0}\\ \zeta &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_3} - \frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right),\tag{31.50}\label{eq:hex_curl_symm_1}\\ \zeta &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial u_2}{\partial x_1} - \frac{\partial u_1}{\partial x_2}\right).\tag{31.51}\label{eq:hex_curl_symm_2} \end{align} \]

31.2 Hauptsatz der Vektoranalysis

Mit dem Hauptsatz der Vektoranalysis kann man das Vektorfeld $\mathbf{v}$ in der Form

\[ \begin{align} \mathbf{v} = \mathbf{k}\times\nabla\psi + \nabla\chi \end{align} \]

notieren. Dabei gelten

\[ \begin{align} \mathbf{k}\times\nabla\psi &= \frac{2}{3}\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_1}\mathbf{j}_1 + \frac{\partial\psi}{\partial x_2}\mathbf{j}_2 + \frac{\partial\psi}{\partial x_3}\mathbf{j}_3\right),\\ \nabla\chi &= \frac{2}{3}\left(\frac{\partial\chi}{\partial x_1}\mathbf{i}_1 + \frac{\partial\chi}{\partial x_2}\mathbf{i}_2 + \frac{\partial\chi}{\partial x_3}\mathbf{i}_3\right). \end{align} \]

Hieraus folgen

\[ \begin{align} u_1 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_3} - \frac{\partial\psi}{\partial x_2}\right) + \frac{\partial\chi}{\partial x_1} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_2} - \frac{\partial\psi}{\partial x_3}\right) + \frac{\partial\chi}{\partial x_1}\tag{31.55}\label{eq:trivariate_helmholtz_eq_0},\\ u_2 &= -\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_3} - \frac{\partial\psi}{\partial x_1}\right) + \frac{\partial\chi}{\partial x_2}\tag{31.56}\label{eq:trivariate_helmholtz_eq_1},\\ u_3 &= -\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial\psi}{\partial x_1} - \frac{\partial\psi}{\partial x_2}\right) + \frac{\partial\chi}{\partial x_3}\tag{31.57}\label{eq:trivariate_helmholtz_eq_2}. \end{align} \]

und

\[ \begin{align} v_1 &= \frac{\partial\psi}{\partial x_1} + \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial\chi}{\partial x_2} - \frac{\partial\chi}{\partial x_3}\right)\tag{31.58}\label{eq:trivariate_helmholtz_eq_3},\\ v_2 &= \frac{\partial\psi}{\partial x_2} + \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial\chi}{\partial x_3} - \frac{\partial\chi}{\partial x_1}\right)\tag{31.59}\label{eq:trivariate_helmholtz_eq_4},\\ v_3 &= \frac{\partial\psi}{\partial x_3} + \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial\chi}{\partial x_1} - \frac{\partial\chi}{\partial x_2}\right)\tag{31.60}\label{eq:trivariate_helmholtz_eq_5}. \end{align} \]

Wegen

\[ \begin{align} D = \Delta\chi, & {} & \zeta = \Delta\psi \end{align} \]

gelten weiter

\[ \begin{align} \Delta v_1 &= \frac{\partial\zeta}{\partial x_1} + \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial D}{\partial x_2} - \frac{\partial D}{\partial x_3}\right),\\ \Delta v_2 &= \frac{\partial\zeta}{\partial x_2} + \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial D}{\partial x_3} - \frac{\partial D}{\partial x_1}\right),\\ \Delta v_3 &= \frac{\partial\zeta}{\partial x_3} + \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\partial D}{\partial x_1} - \frac{\partial D}{\partial x_2}\right). \end{align} \]

31.3 Dispersionsrelation

Sei $\alpha$ ein Feld der Form

\[ \begin{align} \alpha\left(\mathbf{r}\right) = \exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right). \end{align} \]

Man bezeichnet den Abstand zwischen den Zentren zweier Hexagone mit $d$ (diese Größe wird von nun an als Gitterkonstante bezeichnet). Man definiert nun für $1 \leq j \leq 3$ den zentralen Differenzenquotienten in j-Richtung durch

\[ \begin{align} \delta_j\alpha &= \frac{\alpha\left(\mathbf{r} + \mathbf{i}_j\frac{d}{2}\right) - \alpha\left(\mathbf{r} - \mathbf{i}_j\frac{d}{2}\right)}{d}. \end{align} \]

Hierfür gilt

\[ \begin{align} \delta_j\alpha &= \frac{\exp\left[i\mathbf{k}\cdot\left(\mathbf{r} + \mathbf{i}_j\frac{d}{2}\right)\right] - \exp\left[i\mathbf{k}\cdot\left(\mathbf{r} - \mathbf{i}_j\frac{d}{2}\right)\right]}{d}\nonumber\\ &= \exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)\frac{\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{i}_j\frac{d}{2}\right) - \exp\left(-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{i}_j\frac{d}{2}\right)}{d} = \alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{i}_j\frac{d}{2}\right) - \exp\left(-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{i}_j\frac{d}{2}\right)}{d}\nonumber\\ &= \alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{\exp\left(ik_j\frac{d}{2}\right) - \exp\left(-ik_j\frac{d}{2}\right)}{d} = \alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{2i}{d}\sin\left(\frac{k_jd}{2}\right). \end{align} \]

Definiert man

\[ \begin{align} s_j \coloneqq \sin\left(\frac{k_jd}{2}\right), \end{align} \]

kann man dies in der Form

\[ \begin{align} \delta_j\alpha = \frac{2i}{d}s_j\alpha \end{align} \]

notieren. Man definiert nun weiterhin einen einfachen Mittelungsoperator in j-Richtung durch

\[ \begin{align} \newoverline{\alpha}^{(j)} & \coloneqq \frac{\alpha\left(\mathbf{r} + \mathbf{i}_j\frac{d}{2}\right) + \alpha\left(\mathbf{r} - \mathbf{i}_j\frac{d}{2}\right)}{2} = \frac{\exp\left[i\mathbf{k}\cdot\left(\mathbf{r} + \mathbf{i}_j\frac{d}{2}\right)\right] + \exp\left[i\mathbf{k}\cdot\left(\mathbf{r} - \mathbf{i}_j\frac{d}{2}\right)\right]}{2}\nonumber\\ &= \exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)\frac{\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{i}_j\frac{d}{2}\right) + \exp\left(-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{i}_j\frac{d}{2}\right)}{2}\nonumber\\ &= \alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{\exp\left(ik_j\frac{d}{2}\right) + \exp\left(-ik_j\frac{d}{2}\right)}{2} = \alpha\left(\mathbf{r}\right)\cos\left(\frac{k_jd}{2}\right).\tag{31.73}\label{eq:hex_simple_average} \end{align} \]

Definiert man

\[ \begin{align} c_j \coloneqq \cos\left(\frac{k_jd}{2}\right), \end{align} \]

kann man dies in der Form

\[ \begin{align} \newoverline{\alpha}^{(j)} = c_j\alpha \end{align} \]

notieren.

Die linearisierten shallow water equations Glg.en (13.173) - (13.174) auf der f-Ebene kann man mit dem Geopotential $\Phi \coloneqq gh$ in der Form

\[ \begin{align} \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \Phi_0\nabla\cdot\mathbf{v} = 0, & {} & \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + f_0\mathbf{k}\times\mathbf{v} - \nabla\Phi = 0 \end{align} \]

notieren. Hierbei ist $\Phi_0 \coloneqq gD$. Mit den Glg.en (31.33) und (31.45) führt dies auf die Evolutionsgleichungen für die Komponenten bezüglich des dreielementigen Erzeugendensystems:

\[ \begin{align} \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \frac{2}{3}\Phi_0\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3}\right) &= 0,\\ \frac{\partial u_1}{\partial t} - \frac{f_0}{\sqrt{3}}\left(u_2 - u_3\right) + \frac{\partial\Phi}{\partial x_1} &= 0,\\ \frac{\partial u_2}{\partial t} - \frac{f_0}{\sqrt{3}}\left(u_3 - u_1\right) + \frac{\partial\Phi}{\partial x_2} &= 0,\\ \frac{\partial u_3}{\partial t} - \frac{f_0}{\sqrt{3}}\left(u_1 - u_2\right) + \frac{\partial\Phi}{\partial x_3} &= 0. \end{align} \]

Räumliche Diskretisierung ergibt

\[ \begin{align} \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \frac{2}{3}\Phi_0\left(\delta_1u_1 + \delta_2u_2 + \delta_3u_3\right) &= 0,\tag{31.81}\label{eq:swe_lin_hex_0}\\ \frac{\partial u_1}{\partial t} - \frac{f_0}{\sqrt{3}}\left(\newoverline{u_2}^{3} - \newoverline{u_3}^{(2)}\right) + \delta_1\Phi &= 0,\tag{31.82}\label{eq:swe_lin_hex_1}\\ \frac{\partial u_2}{\partial t} - \frac{f_0}{\sqrt{3}}\left(\newoverline{u_3}^{(1)} - \newoverline{u_1}^{3}\right) + \delta_2\Phi &= 0,\tag{31.83}\label{eq:swe_lin_hex_2}\\ \frac{\partial u_3}{\partial t} - \frac{f_0}{\sqrt{3}}\left(\newoverline{u_1}^{(2)} - \newoverline{u_2}^{(1)}\right) + \delta_3\Phi &= 0.\tag{31.84}\label{eq:swe_lin_hex_3} \end{align} \]

Dabei wurde für die Rekonstruktion der Windkomponenten für die Berechnung der Coriolisbeschleunigung das arithmetische Mittel der zwei nächsten Geschwindigkeitskomponenten in der gesuchten Richtung verwendet. Setzt man für alle Felder eine monochromatische ebene Welle an, also

\[ \begin{align} \psi\left(\mathbf{r}, t\right) = \newhat{\psi}\exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - i\omega t\right) \end{align} \]

für jedes Feld $\psi$ mit einer komplexen Amplitude $\newhat{\psi}$, erhält man

\[ \begin{align} -i\omega\newhat{\Phi} + \frac{4i}{3d}\Phi_0\left(s_1\newhat{u}_1 + s_2\newhat{u}_2 + s_3\newhat{u}_3\right) &= 0,\\ -i\omega\newhat{u}_1 - \frac{f_0}{\sqrt{3}}\left(c_3\newhat{u}_2 - c_2\newhat{u}_3\right) + \frac{2is_1}{d}\newhat{\Phi} &= 0,\\ -i\omega\newhat{u}_2 - \frac{f_0}{\sqrt{3}}\left(c_1\newhat{u}_3 - c_3\newhat{u}_1\right) + \frac{2is_1}{d}\newhat{\Phi} &= 0,\\ -i\omega\newhat{u}_3 - \frac{f_0}{\sqrt{3}}\left(c_2\newhat{u}_1 - c_1\newhat{u}_2\right) + \frac{2is_1}{d}\newhat{\Phi} &= 0. \end{align} \]

Dabei ist zu beachten, dass zwischen den Gleichungen ein Phasenversatz besteht, welcher daraus entsteht, dass die einzelnen Gleichungen an unterschiedlichen Orten gelten. Dieser wurde herausgekürzt. In Matrixform erhält man

\[ \begin{align} \left(\begin{array}{cccc} -i\omega & \frac{4i}{3d}\Phi_0s_1 & \frac{4i}{3d}\Phi_0s_2 & \frac{4i}{3d}\Phi_0s_3 \\ \frac{2is_1}{d} & -i\omega & -\frac{f_0}{\sqrt{3}}c_3 & \frac{f_0}{\sqrt{3}}c_2\\ \frac{2is_2}{d} & \frac{f_0}{\sqrt{3}}c_3 & -i\omega & -\frac{f_0}{\sqrt{3}}c_1\\ \frac{2is_3}{d} & -\frac{f_0}{\sqrt{3}}c_2 & \frac{f_0}{\sqrt{3}}c_1 & -i\omega \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \newhat{\Phi}\\ \newhat{u}_1\\ \newhat{u}_2\\ \newhat{u}_3 \end{array}\right) = \mathbf{0}. \end{align} \]

Multipliziert man dies mit der imaginären Einheit $i$, erhält man

\[ \begin{align} \left(\begin{array}{cccc} \omega & -\frac{4}{3d}\Phi_0s_1 & -\frac{4}{3d}\Phi_0s_2 & -\frac{4}{3d}\Phi_0s_3 \\ -\frac{2s_1}{d} & \omega & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3 & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2\\ -\frac{2s_2}{d} & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3 & \omega & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1\\ -\frac{2s_3}{d} & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2 & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1 & \omega \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \newhat{\Phi}\\ \newhat{u}_1\\ \newhat{u}_2\\ \newhat{u}_3 \end{array}\right) = \mathbf{0}. \end{align} \]

Nichttriviale Lösungen exisitieren genau dann, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix dieses linearen Gleichungssystem verschwindet:

\[ \begin{align} \left|\begin{array}{cccc} \omega & -\frac{4}{3d}\Phi_0s_1 & -\frac{4}{3d}\Phi_0s_2 & -\frac{4}{3d}\Phi_0s_3 \\ -\frac{2s_1}{d} & \omega & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3 & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2\\ -\frac{2s_2}{d} & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3 & \omega & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1\\ -\frac{2s_3}{d} & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2 & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1 & \omega \end{array}\right| &\stackrel{!}{=} 0\nonumber\\ \Leftrightarrow\omega\left|\begin{array}{ccc} \omega & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3 & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2\\ \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3 & \omega & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1\\ -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2 & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1 & \omega \end{array} \right| + \frac{4}{3d}\Phi_0s_1\left|\begin{array}{ccc} -\frac{2s_1}{d} & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3 & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2\\ -\frac{2s_2}{d} & \omega & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1\\ -\frac{2s_3}{d} & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1 & \omega \end{array}\right| & \nonumber\\ - \frac{4}{3d}\Phi_0s_2\left|\begin{array}{ccc} -\frac{2s_1}{d} & \omega & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2\\ -\frac{2s_2}{d} & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3 & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1\\ -\frac{2s_3}{d} & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2 & \omega \end{array} \right| + \frac{4}{3d}\Phi_0s_3\left|\begin{array}{ccc} -\frac{2s_1}{d} & \omega & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3\\ -\frac{2s_2}{d} & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3 & \omega\\ -\frac{2s_3}{d} & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2 & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1 \end{array} \right| &= 0 \end{align} \] \[ \begin{align} \Leftrightarrow \omega^4 - \frac{\omega^2f_0^2}{3}\left(c_1^2 + c_2^2 + c_3^2\right) + \frac{4}{3d}\Phi_0s_1\left|\begin{array}{ccc} -\frac{2s_1}{d} & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3 & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2\\ -\frac{2s_2}{d} & \omega & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1\\ -\frac{2s_3}{d} & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1 & \omega \end{array}\right| & \nonumber\\ -\frac{4}{3d}\Phi_0s_2\left|\begin{array}{ccc} -\frac{2s_1}{d} & \omega & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2\\ -\frac{2s_2}{d} & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3 & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1\\ -\frac{2s_3}{d} & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2 & \omega \end{array}\right| + \frac{4}{3d}\Phi_0s_3\left|\begin{array}{ccc} -\frac{2s_1}{d} & \omega & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3\\ -\frac{2s_2}{d} & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3 & \omega\\ -\frac{2s_3}{d} & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2 & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1 \end{array} \right| &= 0 \end{align} \]

Es gilt

\[ \begin{align} \frac{4}{3d}\Phi_0s_1\left|\begin{array}{ccc} -\frac{2s_1}{d} & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3 & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2\\ -\frac{2s_2}{d} & \omega & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1\\ -\frac{2s_3}{d} & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1 & \omega \end{array}\right| &= -\frac{8\omega^2}{3d^2}\Phi_0s_1^2 + \frac{8\Phi_0f_0^2}{9d^2}\left(s_1c_1s_3c_3 + s_1c_1s_2c_2 + s_1c_1s_1c_1\right) + \frac{8if_0}{3\sqrt{3}d}s_1\left(s_3c_2 - c_3s_2\right)\nonumber\\ &= -\frac{8\omega^2}{3d^2}\Phi_0s_1^2 + \frac{8\Phi_0f_0^2}{9d^2}s_1c_1\left(s_1c_1 + s_2c_2 + s_3c_3\right) - \frac{8if_0}{3\sqrt{3}d}s_1\left(s_2c_3 - s_3c_2\right). \end{align} \]

Die verbleibenden zwei Teildeterminanten ergeben sich analog durch zyklische Vertauschung der Indizes:

\[ \begin{align} -\frac{4}{3d}\Phi_0s_2\left|\begin{array}{ccc} -\frac{2s_1}{d} & \omega & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2\\ -\frac{2s_2}{d} & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3 & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1\\ -\frac{2s_3}{d} & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2 & \omega \end{array}\right| &= -\frac{8\omega^2}{3d^2}\Phi_0s_2^2 + \frac{8\Phi_0f_0^2}{9d^2}s_2c_2\left(s_1c_1 + s_2c_2 + s_3c_3\right) - \frac{8if_0}{3\sqrt{3}d}s_2\left(s_3c_1 - s_1c_3\right),\nonumber\\ \frac{4}{3d}\Phi_0s_3\left|\begin{array}{ccc} -\frac{2s_1}{d} & \omega & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3\\ -\frac{2s_2}{d} & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_3 & \omega\\ -\frac{2s_3}{d} & -\frac{if_0}{\sqrt{3}}c_2 & \frac{if_0}{\sqrt{3}}c_1 \end{array} \right| &= -\frac{8\omega^2}{3d^2}\Phi_0s_3^2 + \frac{8\Phi_0f_0^2}{9d^2}s_3c_3\left(s_1c_1 + s_2c_2 + s_3c_3\right) - \frac{8if_0}{3\sqrt{3}d}s_3\left(s_1c_2 - s_2c_1\right). \end{align} \]

Somit lautet das charakteristische Polynom schlussendlich

Für den Fall gut aufgelöster Wellen $\left|\mathbf{k}\right| \ll \frac{1}{d}$ gelten

\[ \begin{align} c_j \approx 1, & {} & s_j \approx \frac{k_jd}{2}. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (31.96) ein, erhält man

\[ \begin{align} \omega^4 - \omega^2\left[f_0^2 + \frac{8\Phi_0}{3d^2}\left(\frac{k_1^2d^2}{4} + \frac{k_2^2d^2}{4} + \frac{k_3^2d^2}{4}\right)\right] + \frac{8\Phi_0f_0^2}{9d^2}\underbrace{\left(\frac{k_1d}{2} + \frac{k_1d}{2} + \frac{k_1d}{2}\right)^2}_{\approx 0} &\approx 0\nonumber\\ \Leftrightarrow\omega^4 - \omega^2\left[f_0^2 + \frac{2\Phi_0}{3}\left(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2\right)\right] &\approx 0.\nonumber\\ \Leftrightarrow\omega^4 - \omega^2\left[f_0^2 + \Phi\mathbf{k}^2\right] &\approx 0. \end{align} \]

Dabei wurde im letzten Schritt ausgenutzt, dass $k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 = \frac{3}{2}\mathbf{k}^2$ gilt. Dies kann man sich klarmachen, indem man o. B. d. A. $\mathbf{k} \parallel \mathbf{i}_1$ annimmt, denn dann gelten $k_1 = k$, $k_2 = -k\sin\left(30^\circ\right) = -\frac{k}{2}$ sowie $k_3 = -\frac{k}{2}$. Dies führt auf die zwei Intertio-Schwere-Moden

\[ \begin{align} \omega^2 \approx f_0^2 + \Phi_0\left|\mathbf{k}\right|^2 \end{align} \]

sowie die geostrophische Mode

\[ \begin{align} \omega \approx 0. \end{align} \]

Bei weniger gut aufgelösten Wellen führt der Term $\propto\left(s_1c_1 + s_2c_2 + s_3c_3\right)^2$ jedoch dazu, dass die geostrophische Mode in zwei Teilmoden mit $\omega \not= 0$ aufspaltet. Dies ist problematisch und entspricht den Erkenntnissen von Abschn. 30.9.

31.4 Thuburn-Mittelung

31.4.1 Anforderungen

Bei einer ebenen dreieckigen oder hexagonalen C-Gitter-Diskretisierung sind die Geschwindigkeitskomponenten um 120 bzw. 60$^\circ$ gegenüber einander rotiert, jedoch sind die Komponenten nicht am selben Ort definiert. Daher gilt die Bedingung Glg. (31.18) nicht ohne weiteres für die Vektorkomponenten, sondern erst nach einer Interpolation an Referenzorte, wofür hier die Zentren der Zellen verwendet werden. Diese Interpolation erfolgt mittels Operatoren

\[ \begin{align} \newtilde{u}^{(i)} \end{align} \]

mit $1 \leq i \leq 3$, wobei $u$ eine beliebige Vektorkomponente ist. Für jede Raumrichtung $i$ wird hier ein separater Mittelungsoperator zugelassen. Die Bedingungen Glg. (31.18) lassen sich also hier in der Form

\[ \begin{align} \newtilde{u}_1^{(1)} + \newtilde{u}_2^{(2)} + \newtilde{u}_3^{(3)} \hastobe 0, & {} & \newtilde{v}_1^{(1)} + \newtilde{v}_2^{(2)} + \newtilde{v}_3^{3} \hastobe 0\tag{31.102}\label{eq:linear_condition_trivariate_discrete} \end{align} \]

notieren. Diese Gleichungen sind als Forderungen an Vektorfelder $\mathbf{v}$ zu verstehen. Sollten Gradientefelder $\nabla\alpha$ die Bedingung Glg. (31.102) nicht, so hat man ein Problem, da die Berechnung von Gradientenfeldern auf dem C-Gitter festgelegt ist. Daher verwendet man als Forderung an den zu findenden Mittelungsoperator die Mittelung von Glg. (31.22):

31.4.2 Folgerungen für die Helmholtz-Aufteilung

Für die Helmholtz-Aufteilung Glg.en (31.55) - (31.60) folgt durch Mittelung in den jeweils relevanten Raumrichtungen

\[ \begin{align} \newtilde{u}_1^{(1)} &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{\delta_3\psi}^{(1)} - \newtilde{\delta_2\psi}^{(1)}\right) + \newtilde{\delta_1\chi}^{(1)},\\ \newtilde{u}_2^{(2)} &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{\delta_1\psi}^{(2)} - \newtilde{\delta_3\psi}^{(2)}\right) + \newtilde{\delta_2\chi}^{(2)},\\ \newtilde{u}_3^{3} &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{\delta_2\psi}^{3} - \newtilde{\delta_1\psi}^{3}\right) + \newtilde{\delta_3\chi}^{3},\\ \newtilde{v}_1^{(1)} &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{\delta_2\chi}^{(1)} - \newtilde{\delta_3\chi}^{(1)}\right) + \newtilde{\delta_1\psi}^{(1)},\\ \newtilde{v}_2^{(2)} &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{\delta_3\chi}^{(2)} - \newtilde{\delta_1\chi}^{(2)}\right) + \newtilde{\delta_2\psi}^{(2)},\\ \newtilde{v}_3^{3} &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{\delta_1\chi}^{3} - \newtilde{\delta_2\chi}^{3}\right) + \newtilde{\delta_3\psi}^{3}. \end{align} \]

Hiermit sind die Glg.en (31.102) - (31.102) noch nicht erfüllt, vielmehr ist eine vorbereitende Mitttelung der Skalarfelder erforderlich:

\[ \begin{align} \newtilde{u}_1^{(1)} &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{\delta_3\newtilde{\psi}^{(2)}}^{(1)} - \newtilde{\delta_2\newtilde{\psi}^{3}}^{(1)}\right) + \newtilde{\delta_1\chi}^{(1)}\\ \newtilde{u}_2^{(2)} &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{\delta_1\newtilde{\psi}^{3}}^{(2)} - \newtilde{\delta_3\newtilde{\psi}^{(1)}}^{(2)}\right) + \newtilde{\delta_2\chi}^{(2)}\\ \newtilde{u}_3^{3} &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{\delta_2\newtilde{\psi}^{(1)}}^{3} - \newtilde{\delta_1\newtilde{\psi}^{(2)}}^{3}\right) + \newtilde{\delta_3\chi}^{3}\\ \newtilde{v}_1^{(1)} &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{\delta_2\newtilde{\chi}^{3}}^{(1)} - \newtilde{\delta_3\newtilde{\chi}^{(2)}}^{(1)}\right) + \newtilde{\delta_1\psi}^{(1)}\\ \newtilde{v}_2^{(2)} &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{\delta_3\newtilde{\chi}^{(1)}}^{(2)} - \newtilde{\delta_1\newtilde{\chi}^{3}}^{(2)}\right) + \newtilde{\delta_2\psi}^{(2)}\\ \newtilde{v}_3^{3} &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{\delta_1\newtilde{\chi}^{(2)}}^{3} - \newtilde{\delta_2\newtilde{\chi}^{(1)}}^{3}\right) + \newtilde{\delta_3\psi}^{3} \end{align} \]

Dies impliziert

\[ \begin{align} u_1 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_3\newtilde{\psi}^{(2)} - \delta_2\newtilde{\psi}^{3}\right) + \delta_1\chi\tag{31.116}\label{eq:hex:helmholtz_0},\\ u_2 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_1\newtilde{\psi}^{3} - \delta_3\newtilde{\psi}^{(1)}\right) + \delta_2\chi\tag{31.117}\label{eq:hex:helmholtz_1},\\ u_3 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_2\newtilde{\psi}^{(1)} - \delta_1\newtilde{\psi}^{(2)}\right) + \delta_3\chi\tag{31.118}\label{eq:hex:helmholtz_2},\\ v_1 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_2\newtilde{\chi}^{3} - \delta_3\newtilde{\chi}^{(2)}\right) + \delta_1\psi,\\ v_2 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_3\newtilde{\chi}^{(1)} - \delta_1\newtilde{\chi}^{3}\right) + \delta_2\psi,\\ v_3 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_1\newtilde{\chi}^{(2)} - \delta_2\newtilde{\chi}^{(1)}\right) + \delta_3\psi. \end{align} \]

31.4.3 Herleitung des Mittelungsoperators

Nun stellt man sich die Frage, wie der Mittelungsoperator $\newtilde{\psi}^{(j)}$ konkret aussehen muss. Für den in Glg. (31.73) eingeführten Operator gilt

\[ \begin{align} &\newoverline{\delta_1\psi}^{(1)} + \newoverline{\delta_1\psi}^{(2)} + \newoverline{\delta_1\psi}^{3}\nonumber\\ &= \psi\left(\mathbf{r}\right)\frac{2i}{d}\left[\sin\left(\frac{k_1d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_1d}{2}\right) + \sin\left(\frac{k_2d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_2d}{2}\right) + \sin\left(\frac{k_3d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_3d}{2}\right)\right]\nonumber\\ &= \psi\left(\mathbf{r}\right)\frac{i}{d}\left[2\sin\left(\frac{k_1d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_1d}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{k_2d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_2d}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{k_3d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_3d}{2}\right)\right]\nonumber\\ &= \psi\left(\mathbf{r}\right)\frac{i}{d}\left[\sin\left(k_1d\right) + \sin\left(k_2d\right) + \sin\left(k_3d\right)\right] \stackrel{\text{i. A.}}{\not=} 0. \end{align} \]

Dieser Operator erfüllt die Bedingung Glg. (31.103) also nicht. Daher definiert man einen zweiten Mittelungsoperator

\[ \begin{align} \newoverline{\psi}^{((1))} & \coloneqq \newoverline{\psi}^{(2, 3)} = \newoverline{\newoverline{\psi}^{3}}^{(2)} = \newoverline{\newoverline{\psi}^{(2)}}^{3} = \psi\left(\mathbf{r}\right)\cos\left(\frac{k_2d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_3d}{2}\right).\text{ (und zyklisch)} \end{align} \]

Für diesen gilt

\[ \begin{align} \newoverline{\delta_1\alpha}^{((1))} + \newoverline{\delta_2\alpha}^{((2))} + \newoverline{\delta_3\alpha}^{(3)} &= \alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{2i}{d}\Big[\sin\left(\frac{k_1d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_2d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_3d}{2}\right) + \cos\left(\frac{k_1d}{2}\right)\sin\left(\frac{k_2d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_3d}{2}\right)\nonumber\\ & + \cos\left(\frac{k_1d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_2d}{2}\right)\sin\left(\frac{k_3d}{2}\right)\Big]\nonumber\\ &= \alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{2i}{d}\Big[\sin\left(\frac{k_1d + k_2d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_3d}{2}\right) + \cos\left(\frac{k_1d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_2d}{2}\right)\sin\left(\frac{k_3d}{2}\right)\Big]\nonumber\\ &= \alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{2i}{d}\Big[\sin\left(\frac{k_1 + k_2 + k_3}{2}d\right) - \cos\left(\frac{k_1 + k_2}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_3}{2}d\right)\nonumber\\ &+ \cos\left(\frac{k_1d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_2d}{2}\right)\sin\left(\frac{k_3d}{2}\right)\Big]. \end{align} \]

Mit $k_1 + k_2 + k_3 = 0$ folgt

\[ \begin{align} \newoverline{\delta_1\alpha}^{((1))} + \newoverline{\delta_2\alpha}^{((2))} + \newoverline{\delta_3\alpha}^{(3)} &= \alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{2i}{d}\Big[-\cos\left(\frac{k_1 + k_2}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_3}{2}d\right) + \cos\left(\frac{k_1d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_2d}{2}\right)\sin\left(\frac{k_3d}{2}\right)\Big]\nonumber\\ &= \alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{2i}{d}\sin\left(\frac{k_3}{2}d\right)\Big[\cos\left(\frac{k_1d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_2d}{2}\right) - \cos\left(\frac{k_1 + k_2}{2}d\right)\Big]\nonumber\\ &= \alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{2i}{d}\sin\left(\frac{k_3}{2}d\right)\Big[\cos\left(\frac{k_1d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_2d}{2}\right) - \cos\left(\frac{k_1d}{2}\right)\cos\left(\frac{k_2d}{2}\right)\nonumber\\ &+ \sin\left(\frac{k_1d}{2}\right)\sin\left(\frac{k_2d}{2}\right)\Big]\nonumber\\ &= \alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{2i}{d}\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_2d}{2}\right)\sin\left(\frac{k_3d}{2}\right) \stackrel{\text{i. A.}}{\not=} 0.\tag{31.125}\label{eq:thuburn_op_deriv_0} \end{align} \]

Auch dieser Operator erfüllt die Bedingung Glg. (31.103) also nicht. Man rechnet jedoch wiederum mit $k_1 + k_2 + k_3 = 0$ weiter:

\[ \begin{align} & \newoverline{\delta_1\alpha}^{((1))} + \newoverline{\delta_2\alpha}^{((2))} + \newoverline{\delta_3\alpha}^{(3)} = \alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{2i}{d}\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_2d}{2}\right)\sin\left(\frac{k_3d}{2}\right)\nonumber\\ &= \alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{2i}{d}\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_2d}{2}\right)\sin\left(-\frac{k_1 + k_2}{2}d\right) = -\alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{2i}{d}\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_2d}{2}\right)\sin\left(\frac{k_1 + k_2}{2}d\right)\nonumber\\ &= -\alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{2i}{d}\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_2d}{2}\right)\left[\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)\cos\left(\frac{k_2}{2}d\right) + \cos\left(\frac{k_1}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)\right]\nonumber\\ &= -\alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{2i}{d}\left[\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)^2\cos\left(\frac{k_2}{2}d\right) + \sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)\cos\left(\frac{k_1}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)^2\right]\nonumber\\ &= -\alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{i}{d}\left[\sin\left(k_2d\right)\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)^2 + \sin\left(k_1d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)^2\right]\nonumber\\ &= -\alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{i}{d}\left[\sin\left(k_2d\right) + \sin\left(k_1d\right) - \sin\left(k_2d\right)\cos\left(\frac{k_1}{2}d\right)^2 - \sin\left(k_1d\right)\cos\left(\frac{k_2}{2}d\right)^2\right]\nonumber \end{align} \] \[ \begin{align} &= -\alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{i}{d}\Big[\sin\left(k_2d\right) + \sin\left(k_1d\right) - \sin\left(k_2d\right)\cos\left(k_1\right) - \sin\left(k_1d\right)\cos\left(k_2d\right) + \sin\left(k_2d\right)\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)^2\nonumber\\ & + \sin\left(k_1d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)^2\Big]\nonumber\\ &= -\alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{i}{d}\Big[\sin\left(k_2d\right) + \sin\left(k_1d\right) - \sin\left[\left(k_1 + k_2\right)d\right] + \sin\left(k_2d\right)\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)^2 + \sin\left(k_1d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)^2\Big]\nonumber\\ &= -\alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{i}{d}\Big[\sin\left(k_2d\right) + \sin\left(k_1d\right) - \sin\left(-k_3d\right) + \sin\left(k_2d\right)\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)^2 + \sin\left(k_1d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)^2\Big]\nonumber\\ &= -\alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{i}{d}\Big[\sin\left(k_2d\right) + \sin\left(k_1d\right) + \sin\left(k_3d\right) + \sin\left(k_2d\right)\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)^2 + \sin\left(k_1d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)^2\Big]\nonumber\\ &= -\left(\newoverline{\delta_1\alpha}^{(1)} + \newoverline{\delta_1\alpha}^{(2)} + \newoverline{\delta_1\alpha}^{3}\right) - \alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{i}{d}\Big[\sin\left(k_2d\right)\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)^2 + \sin\left(k_1d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)^2\Big] \end{align} \]

Man rechnet nun

\[ \begin{align} &\sin\left(k_2d\right)\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)^2 + \sin\left(k_1d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)^2 = \sin\left(\frac{k_2}{2}d + \frac{k_2}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)^2 + \sin\left(\frac{k_1}{2}d + \frac{k_1}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)^2\nonumber\\ &= 2\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)^2\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)\cos\left(\frac{k_2}{2}d\right) + 2\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)^2\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)\cos\left(\frac{k_1}{2}d\right)\nonumber\\ &= \sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)\left[2\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)\cos\left(\frac{k_2}{2}d\right) + 2\cos\left(\frac{k_1}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)\right]\nonumber\\ &= \sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_1 + k_2}{2}d\right) = \sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)\sin\left(-\frac{k_3}{2}d\right)\nonumber\\ &= -\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_3}{2}d\right). \end{align} \]

Somit folgt

\[ \begin{align} & \newoverline{\delta_1\alpha}^{((1))} + \newoverline{\delta_2\alpha}^{((2))} + \newoverline{\delta_3\alpha}^{(3)} = -\left(\newoverline{\delta_1\alpha}^{(1)} + \newoverline{\delta_1\alpha}^{(2)} + \newoverline{\delta_1\alpha}^{3}\right) + \alpha\left(\mathbf{r}\right)\frac{i}{d}\sin\left(\frac{k_1}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_2}{2}d\right)\sin\left(\frac{k_3}{2}d\right)\nonumber\\ &\stackrel{\href{#eq:thuburn_op_deriv_0}{\text{Glg. (31.125)}}}{=} -\left(\newoverline{\delta_1\alpha}^{(1)} + \newoverline{\delta_1\alpha}^{(2)} + \newoverline{\delta_1\alpha}^{3}\right) + \frac{1}{2}\left(\newoverline{\delta_1\alpha}^{((1))} + \newoverline{\delta_2\alpha}^{((2))} + \newoverline{\delta_3\alpha}^{(3)}\right)\nonumber\\ &\Rightarrow\newoverline{\delta_1\alpha}^{((1))} + \newoverline{\delta_2\alpha}^{((2))} + \newoverline{\delta_3\alpha}^{(3)} = -\frac{1}{2}\left(\newoverline{\delta_1\alpha}^{(1)} + \newoverline{\delta_1\alpha}^{(2)} + \newoverline{\delta_1\alpha}^{3}\right).\tag{31.128}\label{eq:thuburn_op_deriv_1} \end{align} \]

Man macht nun den Ansatz

\[ \begin{align} \newtilde{\alpha}^{(j)} = \beta\newoverline{\alpha}^{(j)} + \left(1 - \beta\right)\newoverline{\alpha}^{((j))} \end{align} \]

mit $0 \leq \beta \leq 0$. Setzt man hier Glg. (31.128) ein, erhält man

\[ \begin{align} \newtilde{\delta_1\alpha}^{(1)} + \newtilde{\delta_2\alpha}^{(2)} + \newtilde{\delta_3\alpha}^{3} = \left(\beta - \frac{1}{2}\left(1 - \beta\right)\right)\left(\newoverline{\delta_1\alpha}^{(1)} + \newoverline{\delta_1\alpha}^{(2)} + \newoverline{\delta_1\alpha}^{3}\right) \stackrel{!}{=} 0. \end{align} \]

Dies ist erfüllt für

\[ \begin{align} \beta - \frac{1}{2}\left(1 - \beta\right) &= 0 \Leftrightarrow \beta - \frac{1}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{3\beta}{2} - \frac{1}{2} = 0\nonumber\\ \Leftrightarrow \beta = \frac{1}{3}. \end{align} \]

Somit gilt

Dieser Operator wird als Thuburn-Operator bezeichnet, da er von Thuburn in [39] erstmalig verwendet wurde.

31.4.4 Folgerungen für die Dispersionsrelation

Die Anwendung des Thuburn-Operators in den linearisierten shallow water equations auf dem hexagonalen Gitter Glg.en (31.81) - (31.84) führt auf

\[ \begin{align} \frac{\partial\Phi}{\partial t} + \frac{2}{3}\Phi_0\left(\delta_1u_1 + \delta_2u_2 + \delta_3u_3\right) &= 0,\\ \frac{\partial u_1}{\partial t} - \frac{f_0}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{u}_2^{(3)} - \newtilde{u}_3^{(2)}\right) + \delta_1\Phi &= 0,\tag{31.134}\label{eq:x_1_momentum_thuburn_c-grid}\\ \frac{\partial u_2}{\partial t} - \frac{f_0}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{u}_3^{(1)} - \newtilde{u}_1^{(3)}\right) + \delta_2\Phi &= 0,\\ \frac{\partial u_3}{\partial t} - \frac{f_0}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{u}_1^{(2)} - \newtilde{u}_2^{(1)}\right) + \delta_3\Phi &= 0. \end{align} \]

Hieraus folgt unmittelbar

\[ \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\left(\newtilde{u}_1^{(1)} + \newtilde{u}_2^{(2)} + \newtilde{u}_3^{(3)}\right) = 0.\tag{31.137}\label{eq:thuburn_con_swe_c-grid} \end{align} \]

Die Dispersionsrelation dieses Gleichungssystems kann man analog zur Herleitung von Glg. (31.96) berechnen, indem man die Ersetzung

\[ \begin{align} c_1 \to a_1 \coloneqq\frac{c_1 + 2c_2c_3}{3}\text{ (und zyklisch)} \end{align} \]

vornimmt. Dies führt auf

\[ \begin{align} \omega^4 - \omega^2\left[\frac{f_0^2}{3}\left(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2\right) + \frac{8\Phi_0}{3d^2}\left(s_1^2 + s_2^2 + s_3^2\right)\right] + \frac{8\Phi_0f_0^2}{9d^2}\left(s_1a_1 + s_2a_2 + s_3a_3\right)^2 = 0.\tag{31.139}\label{eq:disp_rel_hex_c_mod_0} \end{align} \]

Setzt man $\alpha = \exp\left(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\right)$ in Glg. (31.103) ein, erhält man

\[ \begin{align} \frac{2i}{d}\left(a_1s_1 + a_2s_2 + a_3s_3\right)\alpha = 0 \Leftrightarrow a_1s_1 + a_2s_2 + a_3s_3 = 0. \end{align} \]

Somit wird Glg. (31.139) zu

\[ \begin{align} \omega^4 - \omega^2\left[\frac{f_0^2}{3}\left(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2\right) + \frac{8\Phi_0}{3d^2}\left(s_1^2 + s_2^2 + s_3^2\right)\right] = 0.\tag{31.141}\label{eq:thuburn_leads_to_geostrophic_mode} \end{align} \]

Verwendet man Glg. (31.132) zur Rekontruktion der tangentialen Geschwindigkeitskomponenten, so entsteht also eine stationäre geostrophische Mode.

31.5 Checkerboard-Pattern

31.5.1 Gründe

Auf einem regelmäßigen Sechseckgitter mit der Gitterkonstante $d$ hat ein Dreieck die Fläche

\[ \begin{align} A_v = \frac{d}{2}l. \end{align} \]

Hierbei gilt

\[ \begin{align} l = \cos\left(30^\circ\right)d = \frac{\sqrt{3}}{2}d, \end{align} \]

woraus

\[ \begin{align} A_v = \frac{d^2\sqrt{3}}{4}\tag{31.144}\label{eq:hex_face_triangle} \end{align} \]

folgt. Somit kann man auf einem Dreieck (Superskript $t$), welches nach oben zeigt (Index $u$), die Divergenz laut Gauß'schem Satz in der Form

\[ \begin{align} D^{(t)}_u = -\frac{dv_1 + dv_2 + dv_3}{A_v} = -\frac{4}{\sqrt{3}d}\left(v_1 + v_2 + v_3\right) \end{align} \]

berechnen. Das Minuszeichen kommt daher, dass bei einem solchen Dreieck die Koordinatenachsen des j-Systems nach innen zeigen. Auf einem Dreieck, welches nach unten zeigt (Index $l$), ist dies andersherum, es gilt

\[ \begin{align} D^{(t)}_l = \frac{dv_1 + dv_2 + dv_3}{A_v} = \frac{4}{\sqrt{3}d}\left(v_1 + v_2 + v_3\right). \end{align} \]

Dies kann man in der Form

\[ \begin{align} D^{(t)}_{u, l} = \mp\frac{dv_1 + dv_2 + dv_3}{A_v} = \mp\frac{4}{\sqrt{3}d}\left(v_1 + v_2 + v_3\right) = \mp\frac{4}{\sqrt{3}d}\sum_{e \in t}v_e \end{align} \]

zusammenfassen, wobei mit $e$ die Kanten des Dreiecks bezeichnet werden. Analog gilt für die relative Vorticity laut Stokes'schem Satz

\[ \begin{align} \zeta^{(t)}_{u, l} = \pm\frac{du_1 + du_2 + du_3}{A_v} = \pm\frac{4}{\sqrt{3}d}\sum_{e \in t}u_e. \end{align} \]

$h$ bezeichne nun ein Hexagon. Dann bezeichnen $u \in h$ die drei nach oben gerichteten Dreiecke, welche einen Überlapp mit dem betrachteten Hexagon $h$ haben und analog $l \in h$ die drei nach unten gerichteten Dreiecke, welche sich mit $h$ überlappen. Mit diesen Bezeichnungen kann man

\[ \begin{align} \frac{\sqrt{3}d}{4}\left(\sum_{l \in h}D_l^{(t)} - \sum_{u \in h}D_u^{(t)}\right) &= \sum_{l \in h}\sum_{e \in l}v_e + \sum_{u \in h}\sum_{e \in u}v_e = \sum_{l \in h}\left(\sum_{e \in l, e \in h}v_e + \sum_{e \in l, e \not\in h}v_e\right) + \sum_{u \in h}\left(\sum_{e \in u, e \in h}v_e + \sum_{e \in u, e \not\in h}v_e\right) \end{align} \]

notieren. Beim letzten Umformungsschritt wurden die Kanten der Dreiecke in solche eingeteilt, welche auch Kanten des betrachteten Sechseckes sind ($e \in h$), und solche, bei denen dies nicht der Fall ist ($e \not\in h$). Ausklammern ergibt

\[ \begin{align} \frac{\sqrt{3}d}{4}\left(\sum_{l \in h}D_l^{(t)} - \sum_{u \in h}D_u^{(t)}\right) &= \sum_{l \in h}\sum_{e \in l, e \in h}v_e + \sum_{l \in h}\sum_{e \in l, e \not\in h}v_e + \sum_{u \in h}\sum_{e \in u, e \in h}v_e + \sum_{u \in h}\sum_{e \in u, e \not\in h}v_e. \end{align} \]

Wie man sieht, tragen alle Geschwindigkeitskomponenten mit positivem Vorzeichen zu $\sum_{l \in h}D_l^{(t)} - \sum_{u \in h}D_u^{(t)}$ bei. In den Summen $\sum_{l \in h}\sum_{e \in l, e \in h}$ und $\sum_{u \in h}\sum_{e \in u, e \in h}$ tritt jede Kante des Hexagons $h$ jeweils einmal auf. Somit gilt

\[ \begin{align} \frac{\sqrt{3}d}{4}\left(\sum_{l \in h}D_l^{(t)} - \sum_{u \in h}D_u^{(t)}\right) &= 2\sum_{e \in h}v_e + \sum_{l \in h}\sum_{e \in l, e \not\in h}v_e + \sum_{u \in h}\sum_{e \in u, e \not\in h}v_e. \end{align} \]

Diejenigen Kanten, die nicht an das betrachtete Hexagon grenzen, tragen jeweils einmal zu $\sum_{l \in h}D_l^{(t)} - \sum_{u \in h}D_u^{(t)}$ bei:

\[ \begin{align} \frac{\sqrt{3}d}{4}\left(\sum_{l \in h}D_l^{(t)} - \sum_{u \in h}D_u^{(t)}\right) &= 2\sum_{e \in h}v_e + \sum_{t \in h}\sum_{e \in t, e \not\in h}v_e \end{align} \]

Betrachte an dieser Stelle die Größe $\newtilde{v}_1^{(1)}$, welche im Zentrum des betrachteten Hexagons definiert ist. Diese ist eine Überlagerung aus vier Geschwindigkeitskomponenten, zwei davon liegen auf der $\mathbf{i}_1-$Achse, zwei senkrecht zu dieser. Erstere tragen mit dem Gewicht $1/3$ zu $\newtilde{v}_1^{(1)}$ bei, letztere mit dem Gewicht $1/6.$ Dies kann man zyklisch auch auf die anderen Raumrichtungen übertragen. Somit gilt

\[ \begin{align} \frac{\sqrt{3}d}{4}\left(\sum_{l \in h}D_l^{(t)} - \sum_{u \in h}D_u^{(t)}\right) &= 6\left(\newtilde{v}_1^{(1)} + \newtilde{v}_2^{(2)} + \newtilde{v}_3^{3}\right).\tag{31.153}\label{eq:checkerboard_triangular} \end{align} \]

Ist die Bedingung $\newtilde{v}_1^{(1)} + \newtilde{v}_2^{(2)} + \newtilde{v}_3^{3} = 0$ nicht erfüllt, so ist der Mittelwert der Divergenz der drei nach oben gerichteten Dreiecke i. A. ungleich dem Mittelwert der Divergenz der nach unten gerichteten Dreiecke. Dies führt zur Entstehung eines sogenannten Checkerboard-Patterns in der Divergenz. Dieser Lärm pflanzt sich von dort auch in andere Felder fort. Es ist also wichtig, die Bedingung $\newtilde{v}_1^{(1)} + \newtilde{v}_2^{(2)} + \newtilde{v}_3^{3} = 0$ immer einzuhalten.

Auf dem sechseckigen Gitter kann man die Gedankengänge vollständig analog auf die relative Vorticity übertragen, was auf

\[ \begin{align} \frac{\sqrt{3}d}{4}\left(\sum_{u \in h}\zeta_u^{(t)} - \sum_{l \in h}\zeta_l^{(t)}\right) &= 6\left(\newtilde{u}_1^{(1)} + \newtilde{u}_2^{(2)} + \newtilde{u}_3^{3}\right) \end{align} \]

führt. Nichteinhaltung der Bedingung $\newtilde{u}_1^{(1)} + \newtilde{u}_2^{(2)} + \newtilde{u}_3^{3} = 0$ führt also auch auf dem sechseckigen Gitter zu einem Checkerboard-Pattern (hier jedoch in der Vorticity) und ist daher auch hier zu beachten.

31.5.2 Eliminierung

Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass ein Checkerboard-Pattern auf dem sechseckigen Gitter in der auf Dreiecken berechneten Vorticity existiert, falls die Bedingung $\newtilde{u}_1^{(1)} + \newtilde{u}_2^{(2)} + \newtilde{u}_3^{3} = 0$ für das Windfeld $\mathbf{v}$ nicht eingehalten wird. Damit diese Bedingung an das Windfeld jedoch für alle Zeitschritte erfüllt ist, muss dies sowohl im Anfangszustand für das Windfeld gelten, als auch für alle Forcings $\mathbf{w}$. Simulationen werden üblicherweise jedoch mit Impulsdiffusion durchgeführt, um eine Aufstauung der kinetischen Energie auf der Gitterskala zu vermeiden. Diese diffusiven Terme bauen Gradienten auf der Gitterskala ab und können daher auch ein bestehendes Checkerboard-Pattern abbauen, solange dieses nicht zu stark ist. Dementsprechend kann auf die Forderung $\newtilde{u}_1^{(1)} + \newtilde{u}_2^{(2)} + \newtilde{u}_3^{3} = 0$ für das Anfangswindfeld $\mathbf{v}$ verzichtet werden. Wichtig ist jedoch folgendes:

Die analogen Tatsachen gelten auf dem dreieckigen Gitter.

31.6 Folgerungen

31.6.1 Formulierung der Rotation

Wendet man den Laplace-Operator auf Glg.en (31.116) - (31.118) an, erhält man

\[ \begin{align} \Delta u_1 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_3\Delta\newtilde{\psi}^{(2)} - \delta_2\Delta \newtilde{\psi}^{3}\right) + \delta_1\Delta\chi,\tag{31.155}\label{eq:rhombus_curl_deriv_0}\\ \Delta u_2 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_1\Delta\newtilde{\psi}^{3} - \delta_3\Delta \newtilde{\psi}^{(1)}\right) + \delta_2\Delta\chi,\tag{31.156}\label{eq:rhombus_curl_deriv_1}\\ \Delta u_3 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_2\Delta\newtilde{\psi}^{(1)} - \delta_1\Delta \newtilde{\psi}^{(2)}\right) + \delta_3\Delta\chi.\tag{31.157}\label{eq:rhombus_curl_deriv_2} \end{align} \]

Da diskretisierte partielle Ableitungen und Mittelungsoperatoren vertauschen, folgt hieraus unmittelbar

\[ \begin{align} \newtilde{\Delta u_1}^{(1)} + \newtilde{\Delta u_2}^{(2)} + \newtilde{\Delta u_3}^{(3)} = 0. \end{align} \]

Diskretisiert man die Glg.en (31.62) - (31.64), erhält man

\[ \begin{align} \Delta u_1 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_3\zeta - \delta_2\zeta\right) + \delta_1 D,\tag{31.159}\label{eq:rhombus_curl_deriv_3}\\ \Delta u_2 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_1\zeta - \delta_3\zeta\right) + \delta_2 D,\tag{31.160}\label{eq:rhombus_curl_deriv_4}\\ \Delta u_3 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_2\zeta - \delta_1\zeta\right) + \delta_3 D.\tag{31.161}\label{eq:rhombus_curl_deriv_5} \end{align} \]

Durch Vergleich stellt man fest, dass es im $\mathbf{i}-$System drei Arten von Vorticities gibt:

\[ \begin{align} \zeta_1 \coloneqq \Delta\newtilde{\psi}^{(1)}, & {} & \zeta_2 \coloneqq \Delta\newtilde{\psi}^{(2)}, & {} & \zeta_3 \coloneqq \Delta\newtilde{\psi}^{3} \end{align} \]

Es gilt somit

\[ \begin{align} \Delta u_1 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_3\zeta_2 - \delta_2\zeta_3\right) + \delta_1 D,\tag{31.163}\label{eq:rhombus_curl_deriv_6}\\ \Delta u_2 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_1\zeta_3 - \delta_3\zeta_1\right) + \delta_2 D,\tag{31.164}\label{eq:rhombus_curl_deriv_7}\\ \Delta u_3 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_2\zeta_1 - \delta_1\zeta_2\right) + \delta_3 D.\tag{31.165}\label{eq:rhombus_curl_deriv_8} \end{align} \]

Für die Divergenz gilt nach Glg. (31.33)

\[ \begin{align} D &= \frac{2}{3}\left(\delta_1u_1 + \delta_2u_2 + \delta_3u_3\right). \end{align} \]

Setzt man dies in die Glg.en (31.163) - (31.165) ein, erhält man

\[ \begin{align} \Delta u_1 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_3\zeta_2 - \delta_2\zeta_3\right) + \frac{2}{3}\left(\delta_1\delta_1u_1 + \delta_1\delta_2u_2 + \delta_1\delta_3u_3\right),\tag{31.167}\label{eq:hex_laplace_vec_0}\\ \Delta u_2 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_1\zeta_3 - \delta_3\zeta_1\right) + \frac{2}{3}\left(\delta_2\delta_1u_1 + \delta_2\delta_2u_2 + \delta_2\delta_3u_3\right),\tag{31.168}\label{eq:hex_laplace_vec_1}\\ \Delta u_3 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_2\zeta_1 - \delta_1\zeta_2\right) + \frac{2}{3}\left(\delta_3\delta_1u_1 + \delta_3\delta_2u_2 + \delta_3\delta_3u_3\right).\tag{31.169}\label{eq:hex_laplace_vec_2} \end{align} \]

Für die Vorticities $\zeta_i$ macht man, motiviert durch die Glg.en (31.49) - (31.51), die Ansätze

\[ \begin{align} \zeta_1 &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\delta_2u_3 - \delta_3u_2\right),\tag{31.170}\label{eq:hex_curl_rhombus_0}\\ \zeta_2 &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\delta_3u_1 - \delta_1u_3\right),\tag{31.171}\label{eq:hex_curl_rhombus_1}\\ \zeta_3 &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\delta_1u_2 - \delta_2u_1\right).\tag{31.172}\label{eq:hex_curl_rhombus_2} \end{align} \]

Setzt man Glg. (31.170) in Glg. (31.167) ein, erhält man

\[ \begin{align} \Delta u_1 &= \frac{2}{3}\left(\delta_3\delta_3u_1 - \delta_3\delta_1u_3 - \delta_2\delta_1u_2 + \delta_2\delta_2u_1\right) + \frac{2}{3}\left(\delta_1\delta_1u_1 + \delta_1\delta_2u_2 + \delta_1\delta_3u_3\right) = \frac{2}{3}\left(\delta_1\delta_1u_1 + \delta_2\delta_2u_1 + \delta_3\delta_3u_1\right). \end{align} \]

Durch zyklische Vertauschungen erhält man die analoge Aussage auch für die anderen Komponenten. Somit sind die Ansätze der Glg.en (31.170) - (31.172) gerechtfertigt. Zwei benachbarte Dreiecke bilden zusammen einen Rhombus (ein Parallelogramm), ein solcher hat nach Glg. (31.144) die Fläche

\[ \begin{align} A_r = 2A_v = 2\frac{d^2\sqrt{3}}{4} = \frac{d^2\sqrt{3}}{2}. \end{align} \]

Somit entspricht $\zeta_i$ der mittels des Stokes'schen Satzes über einen Rhombus, dessen kurze Symmetrieachse parallel zur i-Achse liegt, berechneten Vorticity. Auf dem hexagonalen Gitter bilden die Rhomben also die natürlichen Mengen, auf denen der Stokes'sche Satz ausgewertet werden muss. Dies ist eine Abweichung von der eigentlich intuitiven Annahme, dass die Vorticity über das duale Gitter (das Dreicksgitter) berechnet werden muss.

Auf dem dreieckigen Gitter treten wie üblich Divergenz und Vorticity in vertauschten Rollen auf. Die Vorticity hat dort den eindeutigen Wert

\[ \begin{align} \zeta = \frac{2}{3}\left(\delta_1v_1 + \delta_2v_2 + \delta_3v_3\right) \end{align} \]

Dort treten jedoch drei Arten von Divergenzen auf, die jeweils mittels des Gauß'schen Satzes über die jeweiligen Rhomben berechnet werden:

\[ \begin{align} D_1 &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\delta_3v_2 - \delta_2v_3\right)\\ D_2 &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\delta_1v_3 - \delta_3v_1\right)\\ D_3 &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\delta_2v_1 - \delta_1v_2\right) \end{align} \]

Dies wird auch durch die Diskretisierung des vektoriellen Laplace-Operators gemäß Glg. (B.54) unterstrichen, welche

\[ \begin{align} \Delta\mathbf{v} = \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right) - \nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{v}\right) \end{align} \]

lautet. Wendet man dies auf die Vektorkomponente $u_1$ an, erhält man

\[ \begin{align} \Delta u_1 = \delta_1D_h - \delta_{i, \perp}\zeta_t. \end{align} \]

Hierbei ist $D_h$ die Divergenz auf Hexagonen und $\zeta_t$ die Vorticity auf Dreicken. $\delta_{i, \perp}$ bezeichnet den zentralen Differenzenquotienten in $\mathbf{j}_1-$Richtung. Für diesen gilt

\[ \begin{align} -\delta_{i, \perp}\zeta_t &= \frac{\sqrt{3}}{d}\left(\zeta_{t, l} - \zeta_{t, u}\right). \end{align} \]

Aus Glg. (31.163) folgt

\[ \begin{align} \Delta u_1 &= \delta_1D_h + \frac{\sqrt{3}}{d}\left(\zeta_{t, l} - \zeta_{t, u}\right) = \delta_1 D_h + \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_3\zeta_2 - \delta_2\zeta_3\right)\nonumber\\ & \Leftrightarrow \sqrt{3}\frac{\zeta_{t, l} - \zeta_{t, u}}{d} = \frac{\sqrt{3}}{3}\left(\delta_3\zeta_2 - \delta_2\zeta_3\right) \Leftrightarrow \sqrt{3}\frac{\zeta_{t, l} - \zeta_{t, u}}{d} = \frac{\sqrt{3}}{3}\frac{\zeta_{2, l} - \zeta_{2, u} - \zeta_{3, u} + \zeta_{3, l}}{d}\nonumber\\ & \Leftrightarrow \sqrt{3}\frac{\zeta_{t, l} - \zeta_{t, u}}{d} = \frac{\sqrt{3}}{3}\frac{\zeta_{2, l} + \zeta_{3, l} - \left(\zeta_{2, u} - \zeta_{3, u}\right)}{d}\nonumber\\ & \Leftrightarrow \sqrt{3}\frac{\zeta_{t, l} - \zeta_{t, u}}{d} = \frac{\sqrt{3}}{3}\frac{\zeta_{1, l} + \zeta_{2, l} + \zeta_{3, l} - \left(\zeta_{1, u} + \zeta_{2, u} - \zeta_{3, u}\right)}{d}. \end{align} \]

Die letzte Äquivalenzumformung folgt aus der Tatsache $\zeta_{1, l} = \zeta_{1, u}$. Dies ist mit den Definitionen

\[ \begin{align} \zeta_{t, u} &\coloneqq \frac{\zeta_{1, u} + \zeta_{2, u} + \zeta_{3, u}}{3},\\ \zeta_{t, l} &\coloneqq \frac{\zeta_{1, l} + \zeta_{2, l} + \zeta_{3, l}}{3} \end{align} \]

erfüllt. Die Rotation auf einem Dreieck ist also als Mittelwert der drei Rhomben zu berechnen, die sich mit diesem Dreieck überlappen.

31.6.2 Eine weitere Perspektive auf die Überlegenheit des sechseckigen Gitters gegenüber dem dreieckigen

Auf dem hexagonalen C-Gitter erfüllen Gradientenfelder $\mathbf{u} = \nabla\psi$ die Bedingung

\[ \begin{align} \newtilde{u}_1^{(1)} + \newtilde{u}_2^{(2)} + \newtilde{u}_3^{3} = 0. \end{align} \]

Auf dem dreieckigen C-Gitter hat ein Gradientenfeld $\mathbf{v} = \nabla\psi$ natürlicherweise Komponenten parallel zu den Basiselementen $\mathbf{j}_i$. Dies erfüllt

\[ \begin{align} \newtilde{v}_1^{(1)} + \newtilde{v}_2^{(2)} + \newtilde{v}_3^{3} = 0 \end{align} \]

nicht, wie man sich leicht klarmachen kann. Daher produzieren Gradientenfelder auf dem dreieckigen C-Gitter nach Glg. (31.153) ein Checkerboard-Pattern in der Divergenz, was unphysikalische numerische Stabilisatoren, wie zum Beispiel eine Divergenzdämpfung, erfordern würde. Daher wurde dieses Gitter in Abschn. 30.9.1 zu Recht ausgeschlossen. Diese Erkenntnis wurde erstmals von Gassmann in [24] vorgebracht.

31.7 Vorticityfluss

Der generalisierte Coriolis-Term

\[ \begin{align} \mathbf{v}\times\etabi = \mathbf{v}\times\left(\mathbf{f} + \zetabi\right) = \mathbf{v}\times\left(\mathbf{f} + \nabla\times\mathbf{v}\right) \end{align} \]

erfordert auf einem C-Gitter besondere Aufmerksamkeit. Insbesondere müssen die folgenden drei Fragen beantwortet werden:

1. Über welches Polygon muss der Stokes'sche Satz ausgewertet werden, um die Vorticity zu berechnen?

2. Wie muss die tangentiale Windkomponente an einer Kante aus den normalen Windkomponenten an den umliegenden Kanten rekonstruiert werden?

3. Mit welcher Vorticity muss die tangentiale Windkomponente am Ende multipliziert werden, um eine Komponente von $\mathbf{v}\times\etabi$ zu erhalten?

In diesem Kapitel werden diese Fragen zunächst im Lichte der shallow water equations (SWEs) betrachtet. Die SWEs lauten ohne Reibung

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} & \stackrel{\href{ch-12-wichtige-approximationen.html#eq:swe_0}{\text{Glg. (13.171)}}}{=} -g\nabla\left(h + b\right) - f\mathbf{k}\times\mathbf{v} \textcolor{red}{- \nabla k - \zeta\mathbf{k}\times\mathbf{v}} + \mu\mathbf{k},\tag{31.188}\label{eq:swe_gen_cori_0}\\ \frac{\partial h}{\partial t} & \stackrel{\href{ch-12-wichtige-approximationen.html#eq:swe_1}{\text{Glg. (13.172)}}}{=} -\nabla\cdot\left(h\mathbf{v}\right), \end{align} \]

hierbei sind $\mathbf{v}$ die Geschwindigkeit, $g$ die Schwerebeschleunigung, $h$ die Auslenkung der Oberfläche aus der Ruhelage, $f$ der Coriolis-Parameter, $\mathbf{k}$ der vertikale Einheitsvektor, $k \coloneqq \frac{1}{2}\mathbf{v}^2$ die spezifische kinetische Energie, $\zeta\coloneqq\mathbf{k}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)$ die relative Vorticity und $\mu$ ein Lagrange-Multiplikator, der im Fall einer gekrümmten Menge wie einer Kugel sicherstellt, dass die rechte Seite der Gleichung tangential zu dieser Menge ist. Die roten Terme sind die Terme der Impulsadvektion, dies sind gleichzeitig auch die nichtlinearen Terme. Somit lautet die linearisierte Impulsgleichung der SWEs

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} = -g\nabla\left(h + b\right) - f\mathbf{k}\times\mathbf{v}. \end{align} \]

Projiziert man Glg. (31.188) auf einen Normalenvektor $\mathbf{n}$ einer Kante, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial v_n}{\partial t} = -g\frac{\partial\left(h + b\right)}{\partial n} - f\mathbf{n}\cdot\left(\mathbf{k}\times\mathbf{v}\right) - \frac{\partial k}{\partial n} - \zeta\mathbf{n}\cdot\left(\mathbf{k}\times\mathbf{v}\right), \end{align} \]

dabei ist

\[ \begin{align} v_n \coloneqq \mathbf{n}\cdot\mathbf{v} \end{align} \]

die normale Geschwindigkeitskomponente an der Kante. Mit $\partial/\partial n$ werden partielle Ableitungen senkrecht zur Kante bezeichnet. Mit Glg. (A.159) erhält man

\[ \begin{align} \mathbf{n}\cdot\left(\mathbf{k}\times\mathbf{v}\right) &= \mathbf{v}\cdot\left(\mathbf{n}\times\mathbf{k}\right) \stackrel{\href{ch-39-herleitungen-einiger-mathematischer-form.html#eq:cross_product_anticommutative}{\text{Glg. (A.149)}}}{=} -\mathbf{v}\cdot\left(\mathbf{k}\times\mathbf{n}\right) = -\mathbf{v}\cdot\mathbf{t} = -v_t,\tag{31.193}\label{eq:v_t_c-grid} \end{align} \]

dabei sind $\mathbf{t} \coloneqq \mathbf{k}\times\mathbf{n}$ der tangentiale Einheitsvektor an der Kante und

\[ \begin{align} v_t \coloneqq \mathbf{v}\cdot\mathbf{t} \end{align} \]

die tangentiale Geschwindigkeitskomponente an der Kante. Somit gilt

\[ \begin{align} \frac{\partial v_n}{\partial t} = -g\frac{\partial\left(h + b\right)}{\partial n} + \left(f + \zeta\right)v_t - \frac{\partial k}{\partial n}. \end{align} \]

Der lineare Anteil hiervon ist

\[ \begin{align} \frac{\partial v_n}{\partial t} = -g\frac{\partial\left(h + b\right)}{\partial n} + fv_t. \end{align} \]

Die Vorticity- und Divergenzdynamik der SWEs kann in den Gleichungen (13.172) und (15.170) zusammenfassen:

\[ \begin{align} \frac{\partial h}{\partial t} + \nabla\cdot\left(h\mathbf{v}\right) = 0, & {} & \frac{\partial\left(hq\right)}{\partial t} + \nabla\cdot\left(hq\mathbf{v}\right) = 0 \end{align} \]

Aus der zweiten Gleichung (dies ist eine Form der barotropen Vorticitygleichung) kann man

\[ \begin{align} \frac{d}{dt}\int_{4\pi}hqd\omega &= \int_{4\pi}\frac{\partial\left(hq\right)}{\partial t}d\omega = -\int_{4\pi}\nabla\cdot\left(hq\mathbf{v}\right)d\omega \end{align} \]

folgern. Das Integral über die Divergenz der potentiellen Vorticityflussdichte über die Einheitskugel kann man auswerten, indem man eine dritte Dimension in Form einer dünnen Kugelschale der Dicke $\Delta r$ hinzunimmt. Durch die vertikalen Ränder dieser Menge fließt keine potentielle Vorticity, da in den SWEs $w = 0$ gilt. Somit folgt

\[ \begin{align} \frac{d}{dt}\int_{4\pi}hqd\omega &= 0. \end{align} \]

Das globale Integral der inkompressible potentielle Vorticity $q$ ist also konstant.

31.7.1 Reguläres Gitter

Der Vorticityflussterm der shallow water equations lautet

\[ \begin{align} -\left(f + \zeta\right)\mathbf{k}\times\mathbf{v}. \end{align} \]

In diesem Abschnitt soll eine Diskretisierung gefunden werden, welche die Thuburn-Bedingung erfüllt und somit nach Glg. (31.141) auch eine geostrophische Mode besitzt. Projziert man diesen auf den Normalenvektor $\mathbf{n}$ einer Kante, erhält man laut Glg. (31.193)

\[ \begin{align} -\left[\left(f + \zeta\right)\mathbf{k}\times\mathbf{v}\right]\cdot\mathbf{n} &= \left(f + \zeta\right)v_t. \end{align} \]

Man linearisiert diesen Term nun in der Form

\[ \begin{align} \left(f + \zeta\right)v_t \to f_0v_t + \zeta U_t, \end{align} \]

hierbei ist

\[ \begin{align} U_t \coloneqq \left(\mathbf{k}\times\mathbf{n}\right)\cdot U\mathbf{i} \end{align} \]

die Projektion eines homogenen zonalen Grundstroms $U$ auf die tangentiale Richtung. Man orientiert sich nun an den Notationen aus Kap. 31. Dort wurde für den Term $fv_t$ laut Glg. (31.134) die Diskretisierung

\[ \begin{align} f_0v_t \to \frac{f_0}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{u}_2^{(3)} - \newtilde{u}_3^{(2)}\right) \end{align} \]

hergeleitet. Dies erfüllt laut Glg. (31.137) die Thuburn-Bedingung Glg. (31.102). Für den Term $\zeta U_t$ setzt man mit

\[ \begin{align} U_{t,1} &= 0,\tag{31.205}\label{eq:vorticity_flux_c-grid_ansatz_0_0}\\ U_{t,2} &= -\zeta_2\frac{\sqrt{3}}{2}U,\tag{31.206}\label{eq:vorticity_flux_c-grid_ansatz_0_1}\\ U_{t,3} &= -\zeta_3\frac{\sqrt{3}}{2}U\tag{31.207}\label{eq:vorticity_flux_c-grid_ansatz_0_2} \end{align} \]

an den Kanten in $x_i-$Richtung zunächst

\[ \begin{align} \left(\zeta U_t\right)_1 &= 0,\\ \left(\zeta U_t\right)_2 &= -\zeta_2\frac{\sqrt{3}}{2}U,\\ \left(\zeta U_t\right)_3 &= -\zeta_3\frac{\sqrt{3}}{2}U \end{align} \]

an. Auch diese Terme müssen die Thuburn-Bedingung erfüllen. Man rechnet zur Überprüfung

\[ \begin{align} \newtilde{\left(\zeta U_t\right)_1}^{(1)} + \newtilde{\left(\zeta U_t\right)_2}^{(2)} + \newtilde{\left(\zeta U_t\right)_3}^{(3)} &= -\frac{\sqrt{3}}{2}U\left(\newtilde{\zeta_2}^{(2)} + \newtilde{\zeta_3}^{(3)}\right) \stackrel{\text{i. A.}}{\not=} 0. \end{align} \]

Inspiriert durch Glg. (31.134) modifizert man den Ansatz der Glg.en (31.205) - (31.207) zu

\[ \begin{align} \left(\zeta U_t\right)_1 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\zeta_2\frac{U}{2} + \zeta_3\frac{U}{2}\right),\\ \left(\zeta U_t\right)_2 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\zeta_3\frac{U}{2} + \zeta_1U\right),\\ \left(\zeta U_t\right)_3 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\zeta_1U + \zeta_2\frac{U}{2}\right). \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} \newtilde{\left(\zeta U_t\right)_1}^{(1)} + \newtilde{\left(\zeta U_t\right)_2}^{(2)} + \newtilde{\left(\zeta U_t\right)_3}^{(3)} &\propto \newtilde{\zeta_3 - \zeta_2}^{(1)} + \newtilde{2\zeta_1 - \zeta_3}^{(2)} + \newtilde{\zeta_2 - 2\zeta_1}^{(3)}\nonumber\\ = -\newtilde{\zeta_2}^{(1)} + \newtilde{\zeta_3}^{(1)} - \newtilde{\zeta_3}^{(2)} + 2\newtilde{\zeta_1}^{(2)} - 2\newtilde{\zeta_1}^{(3)} + \newtilde{\zeta_2}^{(3)} &\stackrel{\text{i. A.}}{\not=} 0. \end{align} \]

Auch dieser Ansatz erfüllt die Thuburn-Bedingung also nicht. Es ist vielmehr eine vorbereitende Mittelung der Vorticities erforderlich, dies führt auf den Ansatz

\[ \begin{align} \left(\zeta U_t\right)_1 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\newoverline{\zeta_2}^{(3)}\frac{U}{2} + \newoverline{\zeta_3}^{(2)}\frac{U}{2}\right),\\ \left(\zeta U_t\right)_2 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\newoverline{\zeta_3}^{(1)}\frac{U}{2} + \newoverline{\zeta_1}^{(3)}U\right),\\ \left(\zeta U_t\right)_3 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\newoverline{\zeta_1}^{(2)}U + \newoverline{\zeta_2}^{(1)}\frac{U}{2}\right). \end{align} \]

Dies erfüllt die Thuburn-Bedingung, da Mittelungsoperatoren kommutieren. Es kann auch ein anderer als der einfache Mittelungsoperator $\newoverline{\zeta_i}^{(j)}$ verwendet werden. Mit $\zeta \to \eta = \zeta + f$ lässt sich der vollständige Vorticityflussterm auf dem regulären C-Gitter so ausdrücken.

31.7.2 Deformiertes Gitter

31.7.2.1 Coriolisbeschleunigung

Homogener Coriolisparameter

Es ist nicht trivial, wie der Vorticityflussterm auf das deformierte Gitter zu erweitern ist. Hierzu geht man zunächst von der f-Ebene aus, um von einer homogenen Vorticity $f_0$ ausgehen zu können. Anstatt zu versuchen, die Thuburn-Bedingung auf das deformierte Gitter zu generalisieren, wird die eng verwandete Aussage als Grundforderung verwendet, dass eine geostrophische Mode existieren soll. Darüber hinaus soll die Diskretisierung energieerhaltend sein.

Inhomogener Coriolisparameter

31.7.2.2 Verwendung der vollständigen Vorticity

Modifikation zur Einhaltung der Thuburn-Bedingung

31.8 Impulsdiffusion und Dissipation

Ziel dieses Kapitels ist, die Impulsdiffusion und Dissipation auf dem dreidimensionalen deformierten C-Gitter zu diskretisieren.

31.8.1 Reguläres Gitter

Zunächst geht es darum, die Impulsdiffusion im Rahmen der shallow water equations auf dem zweidimensionalen regulären hexagonalen Gitter zu diskretisieren. Im zweidimensionalen Fall kann man laut Glg. (8.50) für die Reibungsbeschleunigung schreiben

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}_\text{diff}}{\partial t} = \frac{1}{h}\nabla\cdot\left[2K\left(\begin{array}{cc} S_{1, 1} & S_{1, 2}\\ S_{2, 1} & S_{2, 2} \end{array}\right)\right] = \frac{1}{h}\nabla\cdot\left[K\left(\begin{array}{cc} 2\frac{\partial v_1}{\partial x_1} & \frac{\partial v_1}{\partial x_2} + \frac{\partial v_2}{\partial x_1}\\ \frac{\partial v_2}{\partial x_1} + \frac{\partial v_1}{\partial x_2} & 2\frac{\partial v_2}{\partial x_2} \end{array}\right)\right].\tag{31.219}\label{eq:momentum_diff_hex_deriv_0} \end{align} \]

Hierbei wurde die Dichte $\rho$ durch die Schichtdicke $h$ ersetzt, $K$ ist ein allgemeiner massengewichteter Diffusionskoeffizient. Die dreidimensionale Divergenz $\nabla\cdot\mathbf{v}$ verschwindet im inkompressiblen Fall. Als Ansatz für die Diskretisierung verwendet man

\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}^T_\text{diff}}{\partial t} = \left(\delta_1, \delta_2, \delta_3\right)\cdot\tau = \left(\delta_1, \delta_2, \delta_3\right)\cdot\left( \begin{array}{ccc} \tau_{1, 1} & \tau_{1, 2} & \tau_{1, 3}\\ \tau_{2, 1} & \tau_{2, 2} & \tau_{2, 3} \\ \tau_{3, 1} & \tau_{3, 2} & \tau_{3, 3} \end{array}\right) \end{align} \]

Ziel dieses Abschnittes ist es, die $\tau_{i, j}$ eindeutig zu bestimmen. Motiviert durch Glg. (31.219) fordert man die Symmetrie von $\tau$, also

\[ \begin{align} \tau_{i, j} = \tau_{j, i}. \end{align} \]

Der Tensor $\tau$ wird in mehreren modifizierenden Interationen entwickelt. Man setzt zunächst an

\[ \begin{align} \tau = K\left( \begin{array}{ccc} 2\delta_1u_1 & \delta_2u_1 + \delta_1u_2 & \delta_3u_1 + \delta_1u_3\\ \delta_2u_1 + \delta_1u_2 & 2\delta_2u_2 & \delta_3u_2 + \delta_2u_3 \\ \delta_3u_1 + \delta_1u_3 & \delta_3u_2 + \delta_2u_3 & 2\delta_3u_3 \end{array}\right). \end{align} \]

Hieraus folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial u_{1, \text{diff}}}{\partial t} &= K\left[\delta_1\left(2\delta_1u_1\right) + \delta_2\left(\delta_2u_1 + \delta_1u_2\right) + \delta_3\left(\delta_3u_1 + \delta_1u_3\right)\right]\nonumber\\ &= K\left(\delta_{1, 1}u_1 + \delta_{1, 1}u_1 + \delta_{2, 2}u_1 + \delta_{3, 3}u_1 + \delta_{2, 1}u_2 + \delta_{3, 1}u_3\right)\nonumber\\ &= K\left[\delta_{1, 1}u_1 + \delta_{2, 2}u_1 + \delta_{3, 3}u_1 + \delta_1\left(\delta_1u_1 + \delta_2u_2 + \delta_3u_3\right)\right] = K\left(\frac{3}{2}\Delta u_1 + \frac{3}{2}\delta_1D\right). \end{align} \]

Somit folgt aus

\[ \begin{align} \tau = K\left( \begin{array}{ccc} \frac{4}{3}\delta_1u_1 & \frac{2}{3}\left(\delta_2u_1 + \delta_1u_2\right) & \frac{2}{3}\left(\delta_3u_1 + \delta_1u_3\right)\\ \frac{2}{3}\left(\delta_2u_1 + \delta_1u_2\right) & \frac{4}{3}\delta_2u_2 & \frac{2}{3}\left(\delta_3u_2 + \delta_2u_3\right) \\ \frac{2}{3}\left(\delta_3u_1 + \delta_1u_3\right) & \frac{2}{3}\left(\delta_3u_2 + \delta_2u_3\right) & \frac{4}{3}\delta_3u_3 \end{array}\right) \end{align} \]

für die Reibungsbeschleunigung

\[ \begin{align} \frac{\partial u_{1, \text{diff}}}{\partial t} &= K\left(\Delta u_1 + \delta_1D\right). \end{align} \]

Der Term proportional zu $\delta_1D$ tritt im Rahmen der shallow water equations, da diese ein inkompressibles Medium beschreiben, nicht auf und ist daher möglichst zu eliminieren oder wenigstens zu reduzieren. Die Terme welche nicht auf der Diagonalen stehen dürfen nicht modifiziert werden, um die Symmetrie des Tensors nicht zu zerstören. Daher setzt man mit einem Parameter $0 \leq \alpha \leq 1$ an

\[ \begin{align} \tau &= K\left( \begin{array}{ccc} \frac{4}{3}\delta_1u_1 - \alpha D & \frac{2}{3}\left(\delta_2u_1 + \delta_1u_2\right) & \frac{2}{3}\left(\delta_3u_1 + \delta_1u_3\right)\\ \frac{2}{3}\left(\delta_2u_1 + \delta_1u_2\right) & \frac{4}{3}\delta_2u_2 - \alpha D & \frac{2}{3}\left(\delta_3u_2 + \delta_2u_3\right) \\ \frac{2}{3}\left(\delta_3u_1 + \delta_1u_3\right) & \frac{2}{3}\left(\delta_3u_2 + \delta_2u_3\right) & \frac{4}{3}\delta_3u_3 - \alpha D \end{array}\right).\nonumber\\ &= K\left( \begin{array}{ccc} \frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right)\delta_1u_1 - \alpha\frac{2}{3}\left(\delta_2u_2 + \delta_3u_3\right) & \frac{2}{3}\left(\delta_2u_1 + \delta_1u_2\right) & \frac{2}{3}\left(\delta_3u_1 + \delta_1u_3\right)\\ \frac{2}{3}\left(\delta_2u_1 + \delta_1u_2\right) & \frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right)\delta_2u_2 - \alpha\frac{2}{3}\left(\delta_1u_1 + \delta_3u_3\right) & \frac{2}{3}\left(\delta_3u_2 + \delta_2u_3\right) \\ \frac{2}{3}\left(\delta_3u_1 + \delta_1u_3\right) & \frac{2}{3}\left(\delta_3u_2 + \delta_2u_3\right) & \frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right)\delta_3u_3 - \alpha\frac{2}{3}\left(\delta_1u_1 + \delta_2u_2\right) \end{array}\right). \end{align} \]

Hieraus folgt nun

\[ \begin{align} \frac{\partial u_{1, \text{diff}}}{\partial t} &= K\left[\Delta u_1 + \left(1 - \alpha\right)\delta_1D\right]. \end{align} \]

Der Faktor $1 - \alpha$ sollte möglichst nahe an Null sein, also sollte $\alpha$ möglichst nahe bei Eins sein. Nach Glg. (8.66) gilt für die Dissipationsrate

\[ \begin{align} \frac{3}{2}h\epsilon &= \frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right)\left(\delta_1u_1\right)^2 - \alpha\frac{2}{3}\left(\delta_1u_1\delta_2u_2 + \delta_1u_1\delta_3u_3\right) + \frac{2}{3}\left(\delta_1u_2\delta_2u_1 + \delta_1u_2\delta_1u_2\right) + \frac{2}{3}\left(\delta_1u_3\delta_3u_1 + \delta_1u_3\delta_1u_3\right)\nonumber\\ &+ \frac{2}{3}\left(\delta_2u_1\delta_2u_1 + \delta_2u_1\delta_1u_2\right) + \frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right)\left(\delta_2u_2\right)^2 - \alpha\frac{2}{3}\left(\delta_2u_2\delta_1u_1 + \delta_2u_2\delta_3u_3\right) + \frac{2}{3}\left(\delta_2u_3\delta_3u_2 + \delta_2u_3\delta_2u_3\right)\nonumber\\ &+ \frac{2}{3}\left(\delta_3u_1\delta_3u_1 + \delta_3u_1\delta_1u_3\right) + \frac{2}{3}\left(\delta_3u_2\delta_3u_2 + \delta_3u_2\delta_2u_3\right) + \frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right)\left(\delta_3u_3\right)^2 - \alpha\frac{2}{3}\left(\delta_3u_3\delta_1u_1 + \delta_3u_3\delta_2u_2\right)\nonumber\\ &= \frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right)\left(\delta_1u_1\right)^2 - \alpha\frac{2}{3}\left(\delta_1u_1\delta_2u_2 + \delta_1u_1\delta_3u_3\right) + \textcolor{red}{\frac{2}{3}\left(\delta_2u_1 + \delta_1u_2\right)^2} + \textcolor{red}{\frac{2}{3}\left(\delta_3u_1 + \delta_1u_3\right)^2}\nonumber\\ &+ \frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right)\left(\delta_2u_2\right)^2 - \alpha\frac{2}{3}\left(\delta_2u_2\delta_1u_1 + \delta_2u_2\delta_3u_3\right) + \textcolor{red}{\frac{2}{3}\left(\delta_3u_2 + \delta_2u_3\right)^2}\nonumber\\ &+ \frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right)\left(\delta_3u_3\right)^2 - \alpha\frac{2}{3}\left(\delta_3u_3\delta_1u_1 + \delta_3u_3\delta_2u_2\right). \end{align} \]

Die rot markierten Terme entstehen aus den Nicht-Diagonalelementen und sind alle quadratisch und somit nichtnegativ. Für die verbleibenden Terme gilt

\[ \begin{align} &\frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right)\left(\delta_1u_1\right)^2 - \alpha\frac{2}{3}\left(\delta_1u_1\delta_2u_2 + \delta_1u_1\delta_3u_3\right) + \frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right)\left(\delta_2u_2\right)^2 - \alpha\frac{2}{3}\left(\delta_2u_2\delta_1u_1 + \delta_2u_2\delta_3u_3\right)\nonumber\\ &+ \frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right)\left(\delta_3u_3\right)^2 - \alpha\frac{2}{3}\left(\delta_3u_3\delta_1u_1 + \delta_3u_3\delta_2u_2\right)\nonumber\\ &= \frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right)\left(\delta_1u_1\right)^2 + \frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right)\left(\delta_2u_2\right)^2 + \frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right)\left(\delta_3u_3\right)^2 - \alpha\frac{4}{3}\left(\delta_1u_1\delta_2u_2 + \delta_1u_1\delta_3u_3 + \delta_2u_2\delta_3u_3\right)\nonumber\\ &\hastobe \alpha\frac{2}{3}\left(\delta_1u_1 - \delta_2u_2\right)^2 + \alpha\frac{2}{3}\left(\delta_1u_1 - \delta_3u_3\right)^2 + \alpha\frac{2}{3}\left(\delta_2u_2 - \delta_3u_3\right)^2. \end{align} \]

Die Forderung im letzten Schritt begründet sich darauf, eine nichtnegative Dissipationsrate erhalten zu wollen. Es ergibt sich

\[ \begin{align} \frac{2}{3}\left(2 - \alpha\right) = \frac{4}{3}\alpha \Leftrightarrow \frac{4}{3} - \alpha\frac{2}{3} = \frac{4}{3}\alpha \Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{6}{3}\alpha \Leftrightarrow\alpha = \frac{2}{3}. \end{align} \]

Mit dieser Wahl von $\alpha$ tragen auch die Terme auf der Hauptdiagonalen nichtnegativ zur Dissipationsrate bei und es gilt

\[ \begin{align} \epsilon \geq 0. \end{align} \]

Das Ergebnis für den Reibungstensor lautet somit

\[ \begin{align} \tau &= K\left( \begin{array}{ccc} \frac{4}{9}\left[2\delta_1u_1 - \left(\delta_2u_2 + \delta_3u_3\right)\right] & \frac{2}{3}\left(\delta_2u_1 + \delta_1u_2\right) & \frac{2}{3}\left(\delta_3u_1 + \delta_1u_3\right)\\ \frac{2}{3}\left(\delta_2u_1 + \delta_1u_2\right) & \frac{4}{9}\left[2\delta_2u_2 - \left(\delta_1u_1 + \delta_3u_3\right)\right] & \frac{2}{3}\left(\delta_3u_2 + \delta_2u_3\right)\\ \frac{2}{3}\left(\delta_3u_1 + \delta_1u_3\right) & \frac{2}{3}\left(\delta_3u_2 + \delta_2u_3\right) & \frac{4}{9}\left[2\delta_3u_3 - \left(\delta_1u_1 + \delta_2u_2\right)\right] \end{array}\right). \end{align} \]

Die Verallgemeinerung

\[ \begin{align} \tau &= \left( \begin{array}{ccc} K_c\frac{4}{9}\left[2\delta_1u_1 - \left(\delta_2u_2 + \delta_3u_3\right)\right] & K_1\frac{2}{3}\left(\delta_2u_1 + \delta_1u_2\right) & K_2\frac{2}{3}\left(\delta_3u_1 + \delta_1u_3\right)\\ K_1\frac{2}{3}\left(\delta_2u_1 + \delta_1u_2\right) & K_c\frac{4}{9}\left[2\delta_2u_2 - \left(\delta_1u_1 + \delta_3u_3\right)\right] & K_3\frac{2}{3}\left(\delta_3u_2 + \delta_2u_3\right)\\ K_2\frac{2}{3}\left(\delta_3u_1 + \delta_1u_3\right) & K_3\frac{2}{3}\left(\delta_3u_2 + \delta_2u_3\right) & K_c\frac{4}{9}\left[2\delta_3u_3 - \left(\delta_1u_1 + \delta_2u_2\right)\right] \end{array}\right)\tag{31.233}\label{eq:stress_tensor_hex_regular} \end{align} \]

zerstört keine der überprüften Aussagen.

31.8.1.1 Modifikation zur Einhaltung der Thuburn-Bedingung

Die Divergenz des Tensors Glg. (31.233) erfüllt noch nicht die Thuburn-Bedingung. Motiviert durch Abschn. 31.6.1 macht man für die Reibungsbeschleunigung an der Kante $e$ daher den Ansatz

\[ \begin{align} h_e\frac{\partial u_{e, \text{diff}}}{\partial t} &= \left[\nabla\left(K_cE_{c(e)}\right)\right]_e + \frac{1}{l_e}\left(\frac{1}{3}\sum_{r\in t_1}K_rF_{r(e)} - \frac{1}{3}\sum_{r\in t_2}K_rF_{r(e)}\right)\nonumber\\ &= \left[\nabla\left(K_cE_{c(e)}\right)\right]_e + \frac{1}{3l_e}\left(\sum_{r\in t_1}K_rF_{r(e)} - \sum_{r\in t_2}K_rF_{r(e)}\right). \end{align} \]

Hierbei sind $E_c$ und $F_r$ Deformationen, welche in den Zellzentren bzw. an den Kanten lokalisiert sind. Die $E_c$ sind auf der Diagonalen des Stress-Tensors lokalisiert, sie werden als Schubdeformationen (engl. strain deformation) bezeichnet. Die $F_r$ sind nicht auf der Diagonalen des Stress-Tensors lokalisiert, sie werden als Scherdeformationen (engl. shear deformation) bezeichnet. Man lässt hierbei zu, dass beide außer von ihrer Position auch von der Kante abhängen können, an der man die Beschleunigung berechnen möchte, also $E_{c(e)}$ bzw. $F_{r(e)}$. Das Dreieck $t_1$ ist in Bezug auf die Kante $e$ in der Richtung $\mathbf{k}\times\mathbf{n}_e$ lokalisiert, die Kante $t_2$ in Richtung $-\mathbf{k}\times\mathbf{n}_e$. $K_c$ und $K_r$ sind nichtnegative Diffusionskoeffizienten, welche in diesem Kapitel offengelassen werden. O. B. d. A. nimmt man an, dass $\mathbf{n}_e$ parallel zu $\mathbf{i}_1$ ausgerichtet ist.

Auf dem regulären Gitter erhält man für die Schubdeformation

\[ \begin{align} E_{c(e)} &= \frac{4}{9}\left[2\delta_1u_1 - \left(\delta_2u_2 + \delta_3u_3\right)\right] = \frac{4}{9}\left[3\delta_1u_1 - \left(\delta_1u_1 + \delta_2u_2 + \delta_3u_3\right)\right] = \frac{4}{3}\delta_1u_1 - \frac{4}{9}\left(\delta_1u_1 + \delta_2u_2 + \delta_3u_3\right)\nonumber\\ &= -\frac{4}{9}\left(\delta_1u_1 + \delta_2u_2 + \delta_3u_3\right) + \frac{4}{3}\delta_1u_1 = -\frac{2}{3}\frac{2}{3}\left(\delta_1u_1 + \delta_2u_2 + \delta_3u_3\right) + \frac{4}{3}\delta_1u_1\nonumber\\ &\stackrel{\href{#eq:div_3elements2d}{\text{Glg. (31.33)}}}{=} -\frac{2}{3}D + \frac{4}{3}\delta_1u_1 \end{align} \]

Für die Scherdeformationen muss laut Glg. (31.233)

\[ \begin{align} &\delta_2\left[\frac{2}{3}\left(\delta_2u_1 + \delta_1u_2\right)\right] + \delta_3\left[\frac{2}{3}\left(\delta_3u_1 + \delta_1u_3\right)\right] \hastobe \frac{1}{3}\delta_y\left(F_{1(e)} + F_{2(e)} + F_{3(e)}\right)\nonumber\\ &\stackrel{\href{#eq:ddy_hex}{\text{Glg. (31.31)}}}{=} \frac{1}{3\sqrt{3}}\left(\delta_2 - \delta_3\right)\left(F_{1(e)} + F_{2(e)} + F_{3(e)}\right)\tag{31.236}\label{eq:deriv_hex_diff_deformed_0} \end{align} \]

gelten. Die Wahl von $F_{1(e)}$ ist hierbei willkürlich, da dieser Term zunächst addiert und dann wieder abgezogen wird. Man wählt daher naheliegenderweise

\[ \begin{align} F_{1(e)} &= \zeta_1. \end{align} \]

Zunächst behandelt man Glg. (31.236) in der Form

\[ \begin{align} &\delta_2\left[\frac{2}{3}\left(\delta_2u_1 + \delta_1u_2\right)\right] + \delta_3\left[\frac{2}{3}\left(\delta_3u_1 + \delta_1u_3\right)\right] = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_2F_{3(e)} - \delta_3F_{2(e)}\right). \end{align} \]

Hiermit erhält man

\[ \begin{align} F_{2(e)} &= -\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\delta_3u_1 + \delta_1u_3\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}\left(-\delta_3u_1 - \delta_1u_3\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}\left[\left(\delta_3u_1 - \delta_1u_3\right) - 2\delta_3u_1\right] \stackrel{\href{#eq:hex_curl_rhombus_1}{\text{Glg. (31.171)}}}{=} \zeta_2 - \frac{4}{\sqrt{3}}\delta_3u_1,\\ F_{3(e)} &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\delta_2u_1 + \delta_1u_2\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}\left[\left(\delta_1u_2 - \delta_2u_1\right) + 2\delta_2u_1\right] \stackrel{\href{#eq:hex_curl_rhombus_2}{\text{Glg. (31.172)}}}{=} \zeta_3 + \frac{4}{\sqrt{3}}\delta_2u_1. \end{align} \]

Analog zu Abschn. 31.6.1 verwendet man nun die gemittelten Scherdeformationen, was auf Glg. (31.236) führt. Das Verfahren zur Berechnung des Gradienten der Komponente $u_1$ wird in Abschn. 31.8.2.1 im Rahmen des deformierten Gitters vorgestellt.

31.8.2 Deformiertes Gitter

In diesem Abschnitt werden die Resultate des vorherigen Abschnittes auf das deformierte hexagonale C-Gitter verallgemeinert. Auch hier bleibt man im Rahmen der shallow water equations. Im Wesentlichen kann man die gleichen Formeln wie auf dem regulären Gitter verwenden, jedoch können die Geschwindigkeitsgradienten etwas anders notiert werden. Wegen

\[ \begin{align} F_{2(e)} + F_{3(e)} &= \zeta_2 - \frac{4}{\sqrt{3}}\delta_3u_1 + \zeta_3 + \frac{4}{\sqrt{3}}\delta_2u_1 = \zeta_2 + \zeta_3 + 4\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\delta_2 - \delta_3\right)u_1 = \zeta_2 + \zeta_3 + 4\delta_yu_1\nonumber\\ &= \zeta_2 + 2\delta_yu_1 + \zeta_3 + 2\delta_yu_1 \end{align} \]

kann man die Deformationen auch in der Form

\[ \begin{align} E_{c(e)} &= -\frac{2}{3}D + \frac{4}{3}\delta_xu_1\vert_c,\\ F_{1(e)} &= \zeta_1,\\ F_{2(e)} &= \zeta_2 + 2\delta_yu_1\vert_2,\\ F_{3(e)} &= \zeta_3 + 2\delta_yu_1\vert_3 \end{align} \]

aufschreiben. Hierbei werden die Geschwindigkeitsgradienten über Zellen bzw. Rhomben berechnet.

31.8.2.1 Berechnung der Geschwindigkeitsgradienten

31.8.3 Dissipation

Für die Dissipationsrate $\epsilon_\text{hex}$ kann einfach

\[ \begin{align} \epsilon_\text{hex} = -\rho\frac{\partial\mathbf{v}_\text{diff}}{\partial t}\cdot\mathbf{v} \end{align} \]

angesetzt werden. Dies entspricht zwar nicht exakt der molekularen Dissipationsrate Glg. (8.66), jedoch sind die globalen Integrale über beide Ansätze nach Glg. (8.96) identisch. Somit ist energetische Selbstkonsistenz gegeben.