21 Ozeanzirkulation

21.1 Windgetriebene Zirkulation

Die in Abschn. 17.3 durchgeführte Herleitung der Ekman-Spirale kann man ohne Modifikationen auf einen ebenen Ozeanboden übertragen. An der Ozeanoberfläche hingegen fehlt die Adhäsionsbedinung $\lim_{\mathbf{r} \to \partial V}\mathbf{v} = \mathbf{0}$, vielmehr wäre die Annahme sinnvoll, dass an der Ozeanoberfläche Windgeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit gegen einen gemeinsamen Grenzwert konvergieren. Man müsste dann die Ekman-Spirale simultan in Ozean und Atmosphäre lösen. Es gibt jedoch eine einfachere Möglichkeit, den Einfluss des Windes auf die Zirkulation im Ozean grundlegend zu untersuchen. Hierzu setzt man zunächst das Kräftegleichgewicht der Glg.en (17.35) - (17.36) an:

\[ \begin{align} f\mathbf{k}\times\mathbf{v}_{h} = -\nabla\phi + \frac{1}{\rho_0}\frac{\partial\mathbf{\tau}}{\partial z} \end{align} \]

Man geht nun davon aus, dass die vertikalen Dichtegradienten so klein sind, dass man den Term $\frac{1}{\rho_0}$ in die partielle Ableitung hereinziehen kann, also

\[ \begin{align} f\mathbf{k}\times\mathbf{v}_{h} = -\nabla\phi + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\mathbf{\tau}}{\rho_0}\right). \end{align} \]

Hieraus wendet man nun die Rotation an, also

\[ \begin{align} \nabla\times f\mathbf{k}\times\mathbf{v}_{h} = \nabla\times\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\mathbf{\tau}}{\rho_0}\right).\tag{21.3}\label{eq:wind-driven_circ_deriv_1} \end{align} \]

Mit Glg. (B.53) folgt

\[ \begin{align} \nabla\times f\mathbf{k}\times\mathbf{v}_{h} &= \left(\mathbf{v}_{h}\cdot\nabla\right)f\mathbf{k} - \mathbf{v}_{h}\left(\nabla\cdot f\mathbf{k}\right) + f\mathbf{k}\nabla\cdot\mathbf{v}_{h} - \left(f\mathbf{k}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}_{h} \end{align} \]

Projektion auf die vertikale Richtung ergibt

\[ \begin{align} \mathbf{k}\cdot\nabla\times f\mathbf{k}\times\mathbf{v}_{h} &= \mathbf{k}\cdot\left(\mathbf{v}_{h}\cdot\nabla\right)f\mathbf{k} + f\nabla\cdot\mathbf{v}_{h}\nonumber\\ \Rightarrow \mathbf{k}\cdot\nabla\times f\mathbf{k}\times\mathbf{v}_{h} &= v\beta - f\frac{\partial w}{\partial z}. \end{align} \]

Integration über das Höhenintervall $\left[z_B, z_T\right]$ ergibt somit

\[ \begin{align} \beta\int_{z_B}^{z_T}vdz - f\left(w_T - w_B\right) = \mathbf{k}\cdot\frac{1}{\rho_0}\nabla\times\left(\mathbf{\tau}_T - \mathbf{\tau}_B\right). \end{align} \]

Mit den Definitionen

\[ \begin{align} D \coloneqq z_T - z_B, & {} & \newoverline{v} \coloneqq \frac{1}{D}\int_{z_B}^{z_T}vdz \end{align} \]

kann man dies kürzer als

\[ \begin{align} \beta D\newoverline{v} - f\left(w_T - w_B\right) = \mathbf{k}\cdot\frac{1}{\rho_0}\nabla\times\left(\mathbf{\tau}_T - \mathbf{\tau}_B\right) \end{align} \]

notieren. Da es hier um die ganze Wassersäule geht, kann man die einfache Randbedingung

\[ \begin{align} w_T = w_B = 0 \end{align} \]

anwenden. Damit erhält man

\[ \begin{align} \beta D\newoverline{v} = \mathbf{k}\cdot\frac{1}{\rho_0}\nabla\times\left(\mathbf{\tau}_T - \mathbf{\tau}_B\right) \end{align} \]

Um den Reibungsterm am Grund zu parametrisieren, verwendet man das Stommel-Modell, welches lautet

\[ \begin{align} \mathbf{\tau}_B = r\newoverline{\mathbf{v}_{h}} \end{align} \]

mit einer Konstante $r > 0$. Mit $w = 0$ gilt auch $\nabla\cdot\mathbf{v}_{h} = 0$, weshalb man den gemittelten Wind durch eine Stromfunktion $\psi$ ausdrücken kann:

\[ \begin{align} \newoverline{u} = -\frac{\partial\psi}{\partial y}, & {} & \newoverline{v} = \frac{\partial\psi}{\partial x} \end{align} \]

Somit kann man notieren

\[ \begin{align} \beta D\frac{\partial\psi}{\partial x} + \mathbf{k}\cdot\frac{1}{\rho_0}\nabla\times\mathbf{\tau}_B &= \mathbf{k}\cdot\frac{1}{\rho_0}\nabla\times\mathbf{\tau}_T\nonumber\\ \Leftrightarrow \beta D\frac{\partial\psi}{\partial x} + \frac{r}{\rho_0}\Delta\psi &= \mathbf{k}\cdot\frac{1}{\rho_0}\nabla\times\mathbf{\tau}_T\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{\partial\psi}{\partial x} + \frac{r}{\rho_0\beta D}\Delta\psi &= \frac{1}{\rho_0\beta D}\mathbf{k}\cdot\nabla\times\mathbf{\tau}_T\nonumber \end{align} \]

mit

\[ \begin{align} \epsilon \coloneqq \frac{r}{\rho_0\beta D}. \end{align} \]

Glg. (21.13) ist die Bewegungsgleichung des Stommel-Modells. Es gilt

\[ \begin{align} \frac{\frac{\partial\psi}{\partial x}}{\epsilon\Delta\psi} \sim \frac{L\rho_0\beta D}{r} \end{align} \]

mit $L$ als horizontaler Längenskala. Für $r$ skaliert man

\[ \begin{align} fV \sim \frac{Vr}{D\rho_0} \Rightarrow r \sim D\rho_0 f. \end{align} \]

Somit folgt

\[ \begin{align} \frac{\frac{\partial\psi}{\partial x}}{\epsilon\Delta\psi} \sim \frac{L \beta}{f} \sim \frac{L}{a} \end{align} \]

In grober Näherung kann man für sehr große Skalen also konzeptionell von

ausgehen, was man als Sverdrup-Balance bezeichnet. Hieraus lässt sich die Ozeanströmung bei gegebener Windeinwirkung diagnostisch ableiten.

Nun wird Glg. (21.13) auf der Menge $\left[0, L\right] \times \left[0, L\right]$ mit $L > 0$ gelöst, also für ein quadratisches Becken. Dies ist analytisch nur approximativ möglich. Hierzu geht man von einem wind stress der Form

\[ \begin{align} \tau_T^{(x)} &= -\rho_0U^2\cos\left(\pi\frac{y}{L}\right),\\ \tau_T^{(y)} &= 0 \end{align} \]

aus. Hieraus folgt

\[ \begin{align} \frac{\epsilon}{r}\mathbf{k}\cdot\nabla\times\mathbf{\tau}_T = -\frac{\epsilon\pi}{rL}\rho_0U^2\sin\left(\pi\frac{y}{L}\right) \end{align} \]

Man macht den Ansatz

\[ \begin{align} \psi = \psi_I + \phi, \end{align} \]

wobei $\psi_I$ die Lösung im Inneren des Beckens approximieren und $\phi$ die Randeffekte hinzufügen soll. Im Inneren des Beckens sind die größeren Skalen relevant, daher setzt man für $\psi_I$ die Sverdrup-Balance an:

\[ \begin{align} \frac{\partial\psi_I}{\partial x} &= \frac{\epsilon}{r}\mathbf{k}\cdot\nabla\times\mathbf{\tau}_T = -\frac{\epsilon\pi}{rL}\rho_0U^2\sin\left(\pi\frac{y}{L}\right) \end{align} \]

an. Die wird gelöst durch

\[ \begin{align} \psi_I = \left(C - x\right)\frac{\epsilon\pi}{rL}\rho_0U^2\sin\left(\pi\frac{y}{L}\right). \end{align} \]

mit einer Konstanten $C$. Der verbleibende Teil der differenzialgleichung soll durch $\phi$ gelöst werden:

\[ \begin{align} \epsilon\Delta\phi = 0 \end{align} \]

Dies wird gelöst durch

\[ \begin{align} \phi = -B\frac{\epsilon\pi}{rL}\rho_0U^2\sin\left(\pi\frac{y}{L}\right)\exp\left(\pm\pi\frac{x}{L}\right) \end{align} \]

mit einer Konstanten $B.$ Die Gesamtlösung lautet somit

\[ \begin{align} \psi = \psi_I + \phi = \left(C - x - B\exp\left(\pm\pi\frac{x}{L}\right)\right)\frac{\epsilon\pi}{rL}\rho_0U^2\sin\left(\pi\frac{y}{L}\right). \end{align} \]

Daraus folgt für die vertikal gemittelten Geschwindigkeiten

\[ \begin{align} \newoverline{u} &= -\frac{\partial\psi}{\partial y} = -\frac{\pi}{L}\left(C - x - B\exp\left(\pm\pi\frac{x}{L}\right)\right)\frac{\epsilon\pi}{rL}\rho_0U^2\cos\left(\pi\frac{y}{L}\right),\tag{21.28}\label{eq:stommel_result_u}\\ \newoverline{v} &= \frac{\partial\psi}{\partial x} = \left(-1 \mp B\frac{\pi}{L}\exp\left(\pm\pi\frac{x}{L}\right)\right)\frac{\epsilon\pi}{rL}\rho_0U^2\sin\left(\pi\frac{y}{L}\right).\tag{21.29}\label{eq:stommel_result_v} \end{align} \]

$B$ und $C$ werden aus den Randbediungungen abgeleitet. Diese lauten

\[ \begin{align} \newoverline{u}\left(x = 0, L\right) = 0, & {} & \newoverline{v}\left(y = 0, L\right) = 0. \end{align} \]

Die Randbedingungen für $\newoverline{v}$ sind automatisch erfüllt. Aus denen für $\newoverline{u}$ folgt

\[ \begin{align} C = B, & {} & B - L - B\exp\left(-\pi\frac{L}{L}\right) = 0 \Rightarrow B = \frac{L}{1 - \exp\left(-\pi\right)}, \end{align} \]

wobei sich willkürlich auf das negative Vorzeichen in der Exponentialfunktion festgelegt wurde. Damit folgt

21.2 Thermohaline Zirkulation

21.3 Ozeanmodelle

21.4 Seegangsvorhersage

21.4.1 Prognostische Variablen

Seegang ist ein anderes Wort für Wasseroberflächenwellen. Die prognostische Variable, auf die dabei abgezielt wird, ist die Auslenkung der Wasseroberfläche

\[ \begin{align} h = h\left(x, y, t\right) \end{align} \]

von der mittleren Position der Wasseroberfläche.Es kann nicht einfach $h$ als Abweichung vom Geoid definiert werden, da hier noch die dynamische Topographie überlagert wäre. Diese zählt nicht in die mit den Wellen verbundene Auslenkung hinein. Dementsprechend muss die Länge des Mittelungsintervalls gewählt werden. In vielen Situationen ist $h$ keine Funktion der horizontalen Koordinaten, wie zum Beispiel im Falle von Brandung oder bei aufgewühlter See, da in diesen Fällen die Position der Wasseroberfläche nicht mehr eindeutig festgelegt ist. Solche Effekte werden später in Form von Energie dissipierenden Quelltermen berücksichtigt.

Es könnte nun als Satz prognosticher Gleichungen die in Abschn. 13.8.1 hergeleiteten Flachwassergleichungen verwendet werden, eventuell mit einigen halb-empirischen Zusatztermen. Dies hat jedoch mehrere Nachteile:

• Um einen wesentlichen Anteil der Energie des Wellenfeldes zu erfassen, wären ein sehr kleiner Zeitschritt und eine sehr feine räumliche Auflösung erforderlich.
• Die Phasen der Wellen sind in den allermeisten Fällen nicht bekannt und auch nicht sehr relevant. Vielmehr sind Größen wie Richtung und Höhe der Wellen entscheidend.

Daher verwendet man zur Beschreibung von Wasseroberflächenwellen meistens eine Strahlungsübertragungsgleicung (radiative transfer equation (RTE)). Als prognostische Variable wird daher die spektrale Strahldichte

\[ \begin{align} N = N\left(\mathbf{k},\mathbf{r},t\right) \end{align} \]

verwendet. Hierbei sind $\mathbf{r}$ ein zweidimensionaler Ortsvektor und $\mathbf{k}$ ein zweidimensionaler Wellenvektor. Üblicherweise wird $\mathbf{k}$ nicht in kartesischen, sondern in Polarkoordinaten $\left(k,\theta\right)$ angegeben. Als Dispersionsrelation $\omega = \omega\left(k, \theta\right)$ wird diejenige der Wasseroberflächenwellen

\[ \begin{align} \omega^2 &= gk\tanh\left(kD\right) \Rightarrow \omega = \sqrt{gk\tanh\left(kD\right)}, \end{align} \]

verwendet, hierbei ist $D$ die mittlere Wassertiefe (Wassertiefe ohne Wellen). Hieraus folgen

\[ \begin{align} c_\text{ph} &= \frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{g\tanh\left(kD\right)}{k}},\\ c_\text{gr} &= \frac{1}{2\omega}\frac{\partial\omega^2}{\partial k} = \frac{1}{2\omega}\left[g\tanh\left(kD\right) + \frac{gkD}{\cosh^2\left(kD\right)}\right] = \frac{g\tanh\left(kD\right)}{2\omega}\left[1 + \frac{kD}{\sinh\left(kD\right)\cosh\left(kD\right)}\right]\nonumber\\ &= \frac{c_\text{ph}}{2}\left[1 + \frac{2kD}{2\sinh\left(kD\right)\cosh\left(kD\right)}\right] = \frac{c_\text{ph}}{2}\left[1 + \frac{2kD}{\sinh\left(2kD\right)}\right]. \end{align} \]

Die Gruppengeschwindigkeit ist also isotrop, aber nicht homogen,

\[ \begin{align} c_\text{gr} = c_\text{gr}\left(k,\mathbf{r},t\right). \end{align} \]

Die Orts- und Zeitabhängigkeit entsteht dabei über die Orts- und Zeitabhängigkeit von $D$.

21.4.2 Wave action equation

Hieraus kann man eine spektrale Strahlungsflussdichte

\[ \begin{align} N\left(k, \theta,\mathbf{r},t\right)\left(c_\text{gr}\left(k,\mathbf{r},t\right) + \mathbf{v}\left(\mathbf{r}, t\right)\right) \end{align} \]

herleiten, hierbei ist $\mathbf{v} = \mathbf{v}\left(\mathbf{r}, t\right)$ die Stromgeschwindigkeit. Die Strahlungsübertragungsgleichung ist eine Art Kontinuitätsgleichung für $N$, was konzeptionell mit der Energieerhaltung zusammenhängt:

Die Orts- und Zeitabhängigkeit wurde hierbei nicht mehr mitnotiert. Weiterhin wurden fünf zusätzliche Quellterme aufgenommen:

• $S_\text{nl}\left(k, \theta\right)$ ist die Energiequelle, die aus nichtlinearen Effekten resultiert. Dieser Term ist besonders relevant für die Wechselwirkung von Skalen. Ein Beispiel ist die Entstehung langer Wellen (sogenannte Dünung) aus der Windsee (unmittelbar aus Windeinwirkung entstehende Wellen), welche aus kürzeren Wellen besteht, über upscaling.
• $S_\text{ws}\left(k, \theta\right)$ ist die Energiequelle, die aus der Wechselwirkung mit dem Windfeld resultiert. Dies ist die Hauptenergiequelle des Wellenfeldes.
• $S_\text{wc}\left(k, \theta\right)$ ist die Energiequelle, die aus der Gischt (das sogenannte whitecapping) resultiert, dies ist ein dissipativer und somit üblicherweise negativer Term.
• $S_\text{diss}\left(k, \theta\right)$ ist die Energiequelle, die mit der inneren Reibung (Viskosität) zusammenhängt. Da die Viskosität quadratisch stärker auf die kleineren Skalen wirkt, führt dieser Effekt dazu, dass Windsee schneller als Dünung dissipiert wird.
• $S_\text{bd}\left(k, \theta\right)$ ist die Energiequelle, die aus der Wechselwirkung mit der Bathymetrie (bottom drag) zusammenhängt, auch dies ist ein dissipativer und somit üblicherweise negativer Term.

Abhängig von der konkreten Situation können weitere Quellterme aufgenommen werden. Glg. (21.40) bezeichnet man auch als wave action equation.

Die Gesamtenergie des Wellenspektrums $E$ an einem gewissen Ort zu einer gewissen Zeit ist das Integral über das gesamt Spektrum:

\[ \begin{align} E = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty N\left(k,\theta\right)dkd\theta.\tag{21.41}\label{eq:wave_spectrum_total_energy} \end{align} \]

Das energiegewichtete spektrale Mittel einer Größe $\psi$ berechnet sich somit über

\[ \begin{align} \newoverline{\psi} \coloneqq \frac{1}{E}\int_0^{2\pi}\int_0^\infty\psi\left(k,\theta\right)N\left(k,\theta\right)dkd\theta.\tag{21.42}\label{eq:wave_spectral_average} \end{align} \]

21.4.3 Diagnostische Variablen

21.4.3.1 Signifikante Wellenhöhe

Die signifikante Wellenhöhe ist eine Art repräsentative Wellenhöhe, für diese gilt

\[ \begin{align} H_s = 4\sqrt{E}. \end{align} \]

21.4.3.2 Mittlere Wellenrichtung

Die mittlere Wellenrichtung $\theta_m$ berechnet sich gemäß Glg. (21.42) als

\[ \begin{align} \theta_m = \arctan2\left(b,a\right) \end{align} \]

mit

\[ \begin{align} a &\coloneqq \frac{1}{E}\int_0^{2\pi}\int_0^\infty\cos\left(\theta\right)N\left(k,\theta\right)dkd\theta,\nonumber\\ b &\coloneqq \frac{1}{E}\int_0^{2\pi}\int_0^\infty\sin\left(\theta\right)N\left(k,\theta\right)dkd\theta. \end{align} \]

21.4.3.3 Mittlere Wellenlänge

Für die mittlere Wellenlänge $L_m$ gilt

\[ \begin{align} L_m = \newoverline{\left(\frac{2\pi}{k}\right)} = 2\pi\newoverline{k^{-1}}. \end{align} \]

21.4.3.4 Mittlere Wellenperiode

Für die mittlere Wellenperiode gibt es verschiedene Möglichkeiten, diese zu berechnen:

\[ \begin{align} T_{m,1} &= \frac{2\pi}{\newoverline{\sigma}},\\ T_{m,2} &= \frac{2\pi}{\sqrt{\newoverline{\sigma^2}}},\\ T_{m,-1} &= \newoverline{\left(\frac{2\pi}{\sigma}\right)} = 2\pi\newoverline{\sigma^{-1}}. \end{align} \]

Hierbei ist $\sigma$ die relativ zum Meeresgrund gemessene Kreisfrequenz.

21.4.4 Seegangsvorhersagemodelle

Das gebräuchlichste Seegangsvorhersagemodell ist Wavewatch III. Modelle, die sich an Glg. (21.40) orientieren, sind sogenannte Seegangsvorhersagemodelle dritter Generation. Sie lösen diese Gleichung auf einem Gitter und sind daher Gitterpunktmodelle, auch wenn sie gelegentlich als Spektralmodelle bezeichnet werden, da ihre prognostische Variable spektrale Bedeutung hat. Sie lösen Glg. (21.40), wobei an jedem Gitterpunkt ein spektrales richtungsabhängiges Gitter im $\left(k,\theta\right)-$Raum aufgespannt wird. Meist wird zusätzlich eine recht große Vielfalt an halb-empirischen Quelltermen $Q_i$ aufgenommen.