Die herrschenden Gleichungen bilden das die zeitliche Entwicklung der Atmosphäre festlegende Gleichungssystem. Zunächst muss jedoch ihr Zustand beschrieben werden können.
Ein Teilchen ist ein kleines Luftvolumen $\Delta V$, was so groß ist, dass im langzeitlichen Mittel eine so große Anzahl Gasmoleküle darin enthalten ist, dass von einem kontinuierlichen Materiebild ausgegangen werden kann. Die Atmosphäre $A\subseteq\mathbb{R}^3$ offen ist die Gashülle der Erde. Die Offenheit ist sinnvoll, damit in jedem Punkt eine Richtungsableitung in jede Richtung möglich ist. Die Definition der Obergrenze hängt vom zu behandelnden Problem ab. An der Untergrenze wird die Atmosphäre durch die Erdoberfläche begrenzt, inklusive der dort stattfindenden Bewegungen, somit ist die Menge $A$ zeitabhängig, $A = A\left(t\right)$. Alle meteorologischen Felder werden als so oft differenzierbar vorausgesetzt, wie es für die Rechnungen benötigt wird. Luft besteht aus trockener Luft und Tracern. Zu diesen zählen:
Feuchte Luft ist eine Mischung aus trockener Luft und Wasserdampf. Die Anzahl der berücksichtigen Tracerklassen, insbesondere der Kondensatklassen, wird dann als genügend angesehen, wenn falsche Vorhersagen nicht mehr auf Grobheiten im für die Vorhersage verwendeten Gleichungssystem, sondern auf Fehler in den Anfangs- und/oder Randbedingungen zurückzuführen sind. Folgende Zustandsgrößen werden definiert:
\[ \begin{align} \rho_d \coloneqq \frac{1}{\Delta V}\sum_{i = 1}^{N_d}m_i^{(d)}. \end{align} \]
Hierbei ist $N_d$ die Anzahl der Gasatome außer H$_2$O und anderen gesondert betrachteten Spurengasen, die im Volumen $\Delta V$ vorhanden sind, und die $m_i^{(d)}$ sind ihre Massen.
\[ \begin{align} \mathbf{v} \coloneqq \frac{1}{\sum_{j = 1}^{N_g}m_j^{(g)}}\sum_{i = 1}^{N_g}m_i^{(g)}\mathbf{v}_i^{(g)},\tag{6.2}\label{eq:def_windvector} \end{align} \]
wobei $\mathbf{v}_i^{(g)}$ die Geschwindigkeit des $i-$ten Moleküls des gasförmigen Anteils der Luft in $\Delta V$ ist.
Die Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen beruht auf einer kontinuierlichen Vorstellung von Materie, welche durch einen Kontinuumsübergang motiviert wurde. Der Kontinuumsübergang ist eine heuristische Idee, die auf der Annahme beruht, dass Materie irgendwann kontinuierlich wird, wenn man nur so weit herauszoomt, dass die Grobkörnigkeit der Materie in Form von Atomen und Molekülen verschwimmt. Mathematisch bedeutet dies, anstatt eine Anzahl von Bahnkurven stetig differenzierbare Felder zur Beschreibung des Systems zu verwenden.
Mit einem ähnlichen Problem ist man konfrontiert, wenn man Phasenübergänge und Kondensate in die Beschreibung mit aufnimmt. Man könnte nun die Kondensate durch Bahnkurven beschreiben, während man die Gasphase weiterhin als Fluid auffasst. Dies hat jedoch die zwei Nachteile: Zunächst muss man für so eine Formulierung die technische Frage beantworten, ab welcher Größe etwas also Kondensat aufgefasst wird; außerdem ist der Rechenaufwand hierfür enorm. Stattdessen macht man den sogenannten Zweiten Phasenübergang, welcher auch die Massendichten und sonstigen Eigenschaften der Kondensate als stetig differenzierbare Funktionen auffasst. Dies ist natürlich nicht exakt in einem Sinne in dem die Maxwell-Gleichungen exakt sind, das prinzipielle Problem ist jedoch schon in den Navier-Stokes-Gleichungen selbst angelegt.
Folgende Zustandsgrößen werden für die Kondensate, die von nun an auch als Tracer bezeichnet werden, zusätzlich eingeführt:
\[ \begin{align} \mathbf{j}_i \coloneqq\rho_i\sum_{k = 1}^{N_i}\mathbf{v}_k^{(i)}, \end{align} \]
wobei $\mathbf{v}_k^{(i)}$ die Geschwindigkeit des $k-$ten Teilchens der entsprechenden Tracerklasse in $\Delta V$ ist.
Die Gesamtheit all dieser Größen ist ein atmosphärischer Zustand $Z$. Ziel dieses Kapitels ist die Formulierung prognostischer Gleichungen so, dass durch Anfangsbedingungen und Randbedingungen die Zustandstrajektorie festgelegt ist. Dabei wird jeder Zustand als quasistationärer Zustand betrachtet. Durch thermodynamische Zustandsgleichungen oder weitere diagnostische Gleichungen, die aus genäherten oder ungenäherten Relationen zwischen den Elementen von $Z$ hervorgehen, kann ein Zustand bereits durch eine echte Teilmenge von $Z$ oder durch eine Bijektion auf dieser Teilmenge festgelegt sein.
Die $i-$te Kondensatklasse habe die mikroskopische Dichte $\rho_i'$, damit ist beispielsweise die Dichte des Wassers $\sim$ $10^3$ kgm$^{-3}$ gemeint in Abgrenzung zur über ein Teilchen gemittelten Dichte. Die $\rho_i'$ werden als Konstanten angenommen, die nicht von äußeren Bedingungen abhängen, für sie gilt
\[ \begin{align} \rho_i' = \frac{m_i}{V_i}, \end{align} \]
wobei $m_i$ die Masse der Komponente $i$ ist und $V_i$ das von ihr eingenommene Volumen. Die Dichte der Luft ergibt sich allgemein zu
\[ \begin{align} \rho = \frac{m_g + \sum_{i \in \left\lbrace\text{Kondensatklassen}\right\rbrace}m_i}{V_g + \sum_{i \in \left\lbrace\text{Kondensatklassen}\right\rbrace} V_i}. \end{align} \]
Für die Dichte des Anteils $\rho_i$ gilt allgemein
\[ \begin{align} \rho_i = \frac{m_i}{v}_h = \frac{m_i}{V_g + \sum_{i \in \left\lbrace\text{Kondensatklassen}\right\rbrace}V_i}. \end{align} \]
Für die Dichte $\rho_g$ der gasförmigen Luft gilt
\[ \begin{align} \rho_g = \frac{m_g}{v}_h = \frac{m_g}{V_g + \sum_{i \in \left\lbrace\text{Kondensatklassen}\right\rbrace}V_i}. \end{align} \]
Für die mikroskopischen Dichten der gasförmigen Luft erhält man
\[ \begin{align} \rho_g' &= \frac{m_g}{V_g} = \frac{m_g}{V - \sum_{i \in \left\lbrace\text{Kondensatklassen}\right\rbrace}V_i} = \frac{1}{\frac{V}{m_g} - \sum_{i \in \left\lbrace\text{Kondensatklassen}\right\rbrace}\frac{V_i}{m_g}}\nonumber\\ &= \frac{1}{\frac{1}{\rho_g} - \sum_{i \in \left\lbrace\text{Kondensatklassen}\right\rbrace}\frac{V_i}{m_i}\frac{m_i}{m_g}} = \frac{\rho_g}{1 - \sum_{i \in \left\lbrace\text{Kondensatklassen}\right\rbrace}^{}\frac{\rho_i}{\rho_i'}}. \end{align} \]
Die mikroskopische Dichte des Wasserdampfes $\rho_v'$ bezeichnet man auch als mikroskopische Feuchte. Für sie gilt analog
\[ \begin{align} \rho_v' = \frac{m_v}{V_g} = \frac{\rho_v}{1 - \sum_{i \in \left\lbrace\text{Kondensatklassen}\right\rbrace}^{}\frac{\rho_i}{\rho_i'}}. \end{align} \]
Für die Zustandsgleichung von Luft gilt somit
\[ \begin{align} p = T_gR_g\rho_g'. \end{align} \]
In der statistischen Physik geht man bei der Beschreibung vom Mikrozustand zum Makrozustand über und sieht diese Beschreibung als statistisch vollständig an. In ähnlicher Weise kann man sich fragen, ob die in den vorangegangenen beiden Abschnitten entwickelte Beschreibung vollständig ist. Sie wäre dies (unter Annahme des Zweiten Kontinuumsübergangs) nur dann, wenn man unendlich viele Tracerklassen einführt und in jeder Teilchenklase wiederum eine kontinuierliche Temperaturverteilung annimmt. Bis auf die einschränkende Annahme, dass alle Teilchen einer Tracerklasse die gleiche Temperatur haben, hat die obige Beschreibung also das Potential eine unter gewissen Annahmen vollständige Beschreibung zu sein.
Phasenübergangsraten spielen für den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik eine Rolle, da sie mit latenten Wärmeflüssen verbunden sind, genauso wie für die Kontinuitätsgleichungen, die sie Massenflüsse sind. Der Erste Hauptsatz wird jedoch materiell für ein bestimmtes Teilchen formuliert und nicht lokalzeitlich wie die Kontinuitätsgleichung. Es stellt sich die Frage, ob bei den Phasenübergangsraten eine Unterscheidung zwischen totaler und lokalzeitlicher Ableitung auftritt, da es sich bei diesen Größen ja auch um Zeitableitungen handelt. Um diese Frage zu beantworten, stelle man sich ein Messgerät vor, welches die Masse $m\left(t\right)$ misst, die bis zu einem Zeitpunkt $t>0$ in einem ortsfesten Kontrollvolumen $V$ die Phase gewechselt habe. Für die Phasenübergangsrate $q$ misst man
\[ \begin{align} q = \frac{m\left(t\right)}{tV}. \end{align} \]
Man stelle sich ein zweites Messgerät vor, was die Masse $m'\left(t\right)$ misst, die bis zu einem Zeitpunkt $t>0$ in einem mit dem Windfeld mitbewegten Teilchen $V'\left(t\right)$ die Phase gewechselt hat. Es sei $V'\left(0\right) = V\left(0\right)$. Dann misst dieses Messgerät für die Phasenübergangsrate
\[ \begin{align} q' = \frac{m'\left(t\right)}{tV'\left(t\right)}. \end{align} \]
Im Fall $t\to 0$ geht $V'\to V$. Daher gilt
\[ \begin{align} \lim\limits_{t \to 0}\left(q - q'\right) &= \lim\limits_{t \to 0}\left[\frac{m\left(t\right)}{Vt} - \frac{m'\left(t\right)}{V'\left(t\right)t}\right] = \lim_{t \to 0}\frac{m\left(t\right)}{Vt} - \lim\limits_{t\to 0}\frac{m'\left(t\right)}{V'\left(t\right)t}\nonumber\\ &= \frac{1}{V}\lim\limits_{t \to 0}\frac{m\left(t\right)}{t} - \lim\limits_{t\to0}\frac{1}{V'\left(t\right)}\lim\limits_{t \to 0}\frac{m'\left(t\right)}{t}\nonumber\\ &= \frac{1}{V}\lim\limits_{t \to 0}\frac{m\left(t\right)}{t} - \frac{1}{v}_h\lim\limits_{t \to 0}\frac{m'\left(t\right)}{t} = \frac{1}{v}_h\lim\limits_{t \to 0}\frac{m\left(t\right) - m'\left(t\right)}{t} \end{align} \]
nach den Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte. Mit der wahren orts- und zeitabhängigen Kondensationsrate $q_r\left(\mathbf{r}, t\right)$ kann man
\[ \begin{align} m\left(t\right) = \int_{0}^t\int_{V}q_{r}\left(\mathbf{r}, t\right)d^3rdt' \end{align} \]
sowie
\[ \begin{align} m'\left(t\right) = \int_{0}^t\int_{V'\left(t\right)}q_{r}\left(\mathbf{r}, t\right)d^3rdt' \end{align} \]
notieren. Damit erhält man
\[ \begin{align} m\left(t\right) - m'\left(t\right) &= \int_{0}^t\int_{V}q_{r}\left(\mathbf{r}, t\right)d^3rdt' - \int_{0}^t\int_{V'\left(t\right)}q_{r}\left(\mathbf{r}, t\right)d^3rdt'\nonumber\\ &= \int_{0}^t\left[\int_{V}q_{r}\left(\mathbf{r}, t\right)d^3r - \int_{V'\left(t\right)}q_{r}\left(\mathbf{r}, t\right)d^3r\right]dt'. \end{align} \]
Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung folgt
\[ \begin{align} \lim\limits_{t \to 0}\frac{m\left(t\right) - m'\left(t\right)}{t} &= \frac{1}{V}\lim\limits_{t \to 0}\left[\int_{V}q_{r}\left(\mathbf{r}, t\right)d^3r - \int_{V'\left(t\right)}q_{r}\left(\mathbf{r}, t\right)d^3r\right] = 0. \end{align} \]
Also ist $q - q' = 0$ für den Grenzfall $t\to 0$. Für die Phasenübergangsraten misst man also im System des Teilchens das Gleiche wie im ruhenden System, sodass hier die Unterscheidung zwischen totaler und lokalzeitlicher Zeitableitung nicht auftritt. Dies gilt analog für alle anderen Quellstärken und Forcings.