D Geodäsie

D.1 Konvention über Koordinatensysteme

D.1.1 Ruhende Koordinaten

Hier wählt man eine Basis $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$, die am Erdmittelpunkt steht und nicht mit der Erde mitrotiert. $\mathbf{e}_1$ und $\mathbf{e}_2$ liegen dabei in der Äquatorebene, $\mathbf{e}_3$ zeigt in Richtung Nordpol. Das Windfeld $\mathbf{v}$ wird als

\[ \begin{align} \mathbf{v} = u_1\mathbf{e}_1 + u_2\mathbf{e}_2 + u_3\mathbf{e}_3 \end{align} \]

geschrieben. Das Windfeld ist dabei nicht gleich der in diesem System gemessenen Teilchenbewegung, da noch die Rotation der Erde überlagert ist.

D.1.2 Globale Koordinaten

Hier wählt man eine Basis $\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z$, die genau wie die Basis der ruhenden Koordinaten am Erdmittelpunkt steht, jedoch mitrotiert. $\mathbf{e}_x$ zeigt in Richtung des Schnittpunkts zwischen Nullmeridian und Äquator, $\mathbf{e}_y$ zeigt in Richtung des Schnittpunkts zwischen neunzigstem Längengrad und Äquator und $\mathbf{e}_z$ zeigt in Richtung Nordpol. Das Windfeld schreibt man als

\[ \begin{align} \mathbf{v} = u_x\mathbf{e}_x + u_y\mathbf{e}_y + u_z\mathbf{e}_z. \end{align} \]

D.1.3 Geographische Koordinaten

Alternativ kann man auch geographische Koordinaten $\left(r, \varphi, \lambda\right)$ verwenden, hierbei ist $r\geq 0$ der Abstand vom Mittelpunkt der Erde, $-\pi/2\leq \varphi\leq\pi/2$ der Winkel, den ein Punkt mit der Äquatorebene einschließt (die geographische Breite unter Annahme einer kugelförmigen Erde) und $0\leq\lambda<2\pi$ der Winkel, den ein Punkt mit der xz-Ebene einschließt (die geographische Länge). Dies lässt sich in gewöhnliche Kugelkoordinaten $\left(r, \theta, \phi\right)$ transformieren, es gilt mit $\theta + \varphi = \pi/2$

\[ \begin{align} \sin\left(\varphi\right) &= \sin\left(\pi/2 - \theta\right) = \cos\left(\theta\right), \tag{D.3}\label{eq:kugel_zu_kugel_met_1}\\ \cos\left(\varphi\right) &= \cos\left(\pi/2 - \theta\right) = \sin\left(\theta\right), \tag{D.4}\label{eq:kugel_zu_kugel_met_2}\\ \tan\left(\theta\right) &= \frac{\sin\left(\theta\right)}{\cos\left(\theta\right)} = \frac{\cos\left(\varphi\right)}{\sin\left(\varphi\right)} = \frac{1}{\tan\left(\varphi\right)}, \tag{D.5}\label{eq:kugel_zu_kugel_met_3}\\ v_\theta &= -v_y, \tag{D.6}\label{eq:kugel_zu_kugel_met_4}\\ \frac{\partial}{\partial\theta} &= -\frac{\partial}{\partial\varphi}\tag{D.7}\label{eq:kugel_zu_kugel_met_5}. \end{align} \]

Lokal ist die Verwendung des Kugelkoordinatensystems sehr unanschaulich, wenn man Vektoren notieren will. Deshalb verwendet man lokal ein kartesisches, rechtshändiges Koordinatensystem, welches auf der Kugel steht und dessen x-Achse nach Osten, y-Achse nach Norden und z-Achse nach oben zeigt. Die jeweiligen Basisvektoren nennt man $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$. Das Windfeld $\mathbf{v}$ schreibt man als

\[ \begin{align} \mathbf{v} = u\mathbf{i} + v\mathbf{j} + w\mathbf{k}. \end{align} \]

D.2 Sphärische Geometrie

D.2.1 Geodäten

Hier soll die kürzeste Verbindungslinie zwischen zwei Punkten $\left(\varphi_i, \lambda_i\right)$ auf einer Kugel mit $i = 1, 2$ entlang der Kugeloberfläche bestimmt werden. Die Länge $L$ einer beliebigen Verbindungslinie berechnet sich zu

\[ \begin{align} L = \int ds = \int_{0}^{1}\left|\frac{d\mathbf{r}}{d\tau}\right|d\tau, \end{align} \]

wobei $\tau\in\left[0, 1\right]$ ein Parameter ist, mit dem man sich entlang der Verbindungslinie bewegen kann und $\mathbf{r}\left(\tau\right)$ die Trajektorie festlegt. Dabei gelten insbesondere $\mathbf{r}\left(0\right) = \mathbf{r}\left(\varphi_1, \lambda_1\right)$ sowie $\mathbf{r}\left(1\right) = \mathbf{r}\left(\varphi_2, \lambda_2\right)$.

Gehe zunächst von der Kugel aus, hier kann man für die Bestimmung der Funktionen $\varphi\left(\tau\right), \lambda\left(\tau\right)$ zunächst von der Einheitskugel ausgehen und den Radius ignorieren. Dann gelten

\[ \begin{align} \mathbf{r}\left(0\right) &= \left(\begin{array}{c} \cos\left(\varphi_1\right)\cos\left(\lambda_1\right)\\ \cos\left(\varphi_1\right)\sin\left(\lambda_1\right)\\ \sin\left(\varphi_1\right) \end{array}\right),\\ \mathbf{r}\left(1\right) &= \left(\begin{array}{c} \cos\left(\varphi_2\right)\cos\left(\lambda_2\right)\\ \cos\left(\varphi_2\right)\sin\left(\lambda_2\right)\\ \sin\left(\varphi_2\right) \end{array}\right). \end{align} \]

Definiere eine Funktion

\[ \begin{align} \mathbf{r}'\left(\tau'\right)&\coloneqq\tau'\mathbf{r}\left(1\right) + \left(1 - \tau'\right)\mathbf{r}\left(0\right). \end{align} \]

Dann gilt

\[ \begin{align} \varphi\left(\tau'\right) = \arcsin\left(\tau'\sin\left(\varphi_2\right) + \left(1 - \tau'\right)\sin\left(\varphi_1\right)\right). \end{align} \]

Ferner gilt

\[ \begin{align} \lambda\left(\tau'\right) &= \arctan2\big[\tau'\cos\left(\varphi_2\right)\sin\left(\lambda_2\right) + \left(1 - \tau'\right)\cos\left(\varphi_1\right)\sin\left(\lambda_1\right), \nonumber\\ & \tau'\cos\left(\varphi_2\right)\cos\left(\lambda_2\right) + \left(1 - \tau'\right)\cos\left(\varphi_1\right)\cos\left(\lambda_1\right)\big]\left( + 2\pi\text{ im Fall }\arctan2<0\right). \end{align} \]

Für den Abstand $d$ zwischen zwei Punkten $\left(r_a, \varphi_a, \lambda_a\right)$ und $\left(r_b, \varphi_b, \lambda_b\right)$ gilt

\[ \begin{align} d &= \sqrt{\left(x_b - x_a\right)^2 + \left(y_b - y_a\right)^2 + \left(z_b - z_a\right)^2}\nonumber\\ &= \sqrt{\left(r_b\cos\left(\varphi_b\right)\cos\left(\lambda_b\right) - r_a\cos\left(\varphi_a\right)\cos\left(\lambda_a\right)\right)^2 + \left(r_b\cos\left(\varphi_b\right)\sin\left(\lambda_b\right) - r_a\cos\left(\varphi_a\right)\sin\left(\lambda_a\right)\right)^2}\nonumber\\ & \newoverline{ + \left(r_b\sin\left(\varphi_b\right) - r_a\sin\left(\varphi_a\right)\right)^2}\nonumber\\ &= \sqrt{r_b^2\cos^2\left(\varphi_b\right) + r_a^2\cos^2\left(\varphi_a\right) + r_b^2\sin^2\left(\varphi_b\right) + r_a^2\sin^2\left(\varphi_a\right) - 2r_ar_b\cos\left(\varphi_b\right)\cos\left(\lambda_b\right)\cos\left(\varphi_a\right)\cos\left(\lambda_a\right)}\nonumber\\ & \newoverline{ - 2r_ar_b\cos\left(\varphi_b\right)\sin\left(\lambda_b\right)\cos\left(\varphi_a\right)\sin\left(\lambda_a\right) - 2r_br_a\sin\left(\varphi_b\right)\sin\left(\varphi_a\right)}\nonumber\\ &= \sqrt{r_a^2 + r_b^2 - 2r_ar_b\cos\left(\varphi_b\right)\cos\left(\varphi_a\right)\left(\cos\left(\lambda_b\right)\cos\left(\lambda_a\right) + \sin\left(\lambda_b\right)\sin\left(\lambda_a\right)\right) - 2r_br_a\sin\left(\varphi_b\right)\sin\left(\varphi_a\right)}\nonumber\\ &= \sqrt{r_a^2 + r_b^2 - 2r_ar_b\left(\cos\left(\varphi_a\right)\cos\left(\varphi_b\right)\cos\left(\lambda_a - \lambda_b\right) + \sin\left(\varphi_a\right)\sin\left(\varphi_b\right)\right)} \end{align} \]

Im Fall $r_a = r_b = r$ gilt

Der Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Kugel lässt sich hieraus leicht errechnen. Sei eine Kugel mit Radius $r$ gegeben. Dann ist der Abstand $\Delta$ zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche, gemessen entlang der Oberfläche, gegeben durch

\[ \begin{align} \Delta = r\theta, \end{align} \]

wobei $\theta$ der Winkel zwischen den beiden Punkten ist, für diesen Winkel gilt

\[ \begin{align} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{d}{2r}. \end{align} \]

Es gilt also wegen $\frac{\theta}{2}\in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ für den Abstand $\Delta$ die Gleichung

Nun muss noch $\tau$ in $\tau'$ umgerechnet werden. Es gilt

\[ \begin{align} \tau &= \frac{1}{2} + \frac{1}{\theta}\arctan\left(\frac{\tau' - \frac{1}{2}}{\sqrt{r^2 - \frac{d^2}{4}}}d\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\theta}\arctan\left(\frac{\tau' - \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{r^2}{d^2} - \frac{1}{4}}}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\tau - \frac{1}{2} &= \frac{1}{\theta}\arctan\left(\frac{\tau' - \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{r^2}{d^2} - \frac{1}{4}}}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\theta\left(\tau - \frac{1}{2}\right) &= \arctan\left(\frac{\tau' - \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{r^2}{d^2} - \frac{1}{4}}}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\tan\left[\theta\left(\tau - \frac{1}{2}\right)\right] &= \frac{\tau' - \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{r^2}{d^2} - \frac{1}{4}}}\nonumber\\ \Leftrightarrow\sqrt{\frac{r^2}{d^2} - \frac{1}{4}}\tan\left[\theta\left(\tau - \frac{1}{2}\right)\right] &= \tau' - \frac{1}{2}\nonumber. \end{align} \]

Hieraus folgt

D.2.2 Vertikale Flächen

Für vertikale Flächen $A_v$ mit der Grundlänge $L$ und derselben Bezeichnung für die Radien gilt

\[ \begin{align} A_v = \int_{r_0}^{r_1}L\frac{r}{r_0}dr = \frac{L}{2r_0}\left(r_1^2 - r_0^2\right). \end{align} \]

D.2.3 Volumina

Volumina $V$ mit der Grundfläche $A$, dem inneren Radius $r_0$ und dem äußeren Radius $r_1$ berechnen sich über

\[ \begin{align} V = \int_{r_0}^{r_1}A\frac{r^2}{r_0^2}dr = \frac{A}{r_0^2}\frac{1}{3}\left(r_1^3 - r_0^3\right). \end{align} \]

D.2.4 Sphärische Dreiecke

D.2.5 Sphärische Voronoi-Gitter

D.3 Schwerefeld der Erde

D.3.1 Eigenschaften von Ellipsen und Ellipsoiden

Eine Ellipse in der xz-Ebene wird beschrieben durch

Dabei ist $a > 0$ die große Halbachse (maximale Ausdehnung der Ellipse in x-Richtung) und $0 < c < a$ die kleine Halbachse (maximale Ausdehnung der Ellipse in z-Richtung). Die Exzentrizität wird zu

definiert. Damit erhält man

\[ \begin{align} c = a\left(1 - \epsilon\right). \end{align} \]

In Polarkoordinaten folgen mit

\[ \begin{align} x = r\cos\left(\varphi\right), & {} & z = r\sin\left(\varphi\right) \end{align} \]

die Gleichungen

\[ \begin{align} \frac{r^2}{a^2}\cos^2\left(\varphi\right) + \frac{r^2}{c^2}\sin^2\left(\varphi\right) &= 1\nonumber\\ \Rightarrow r\left(\varphi\right) &= \left[\frac{\cos^2\left(\varphi\right)}{a^2} + \frac{\sin^2\left(\varphi\right)}{c^2}\right]^{-1/2} = a\left[\cos^2\left(\varphi\right) + \frac{a^2}{c^2}\sin^2\left(\varphi\right)\right]^{-1/2}\nonumber\\ \Rightarrow r\left(\varphi\right) &= a\left[1 + \left(\frac{a^2}{c^2} - 1\right)\sin^2\left(\varphi\right)\right]^{-1/2}. \end{align} \]

Mit

\[ \begin{align} \frac{a^2}{c^2} - 1 &= \frac{1}{\left(1 - \epsilon\right)^2} - 1 = \frac{1 - \left(1 - \epsilon\right)^2}{\left(1 - \epsilon\right)^2} = \frac{2\epsilon - \epsilon^2}{\left(1 - \epsilon\right)^2}\tag{D.29}\label{eq:ellips_prop_1} \end{align} \]

kann man dies zu

umschreiben. Aus Glg (D.29) folgt weiter

\[ \begin{align} a^2 - c^2 &= c^2\frac{2\epsilon - \epsilon^2}{\left(1 - \epsilon\right)^2} = a^2\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\tag{D.31}\label{eq:ellips_prop_2}. \end{align} \]

Ein Rotationsellipsoid oder auch einfach Ellipsoid entsteht, indem man die eben untersuchte Ellipse um die z-Ache rotieren lässt. Sein Volumen $V$ berechnet sich zu

\[ \begin{align} V &= \int_{ - c}^{c}\int_{0}^{a\sqrt{1 - \frac{z^2}{c^2}}}2\pi xdxdz = 2\pi\int_{ - c}^{c}\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^{a\sqrt{1 - \frac{z^2}{c^2}}}dz\nonumber\\ &= 2\pi\int_{ - c}^{c}\frac{1}{2}a^2\left(1 - \frac{z^2}{c^2}\right)dz = \pi\int_{ - c}^{c}a^2 - \frac{a^2}{c^2}z^2dz = \pi 2a^2c - \pi\frac{a^2}{c^2}\frac{2}{3}c^3\nonumber\\ &= \pi 2a^2c - \frac{2}{3}\pi a^2c\nonumber \end{align} \]

D.3.2 Schwerefeld eines Ellipsoides

Die ellipsoidischen Koordinaten werden sich am Geopotential $\phi_g$ der Erde orientieren, für welches gilt

\[ \begin{align} \phi_g = \phi_z + \phi_0, \end{align} \]

hierbei sind $\phi_z$ das Fliehpotential und $\phi_0$ das Gravitationspotential der Erde. Für das Fliehpotential gilt

\[ \begin{align} \phi_z = -\frac{1}{2}\left(\omega^2\left(x^2 + y^2\right)\right), \tag{D.34}\label{eq:zentrifugal_potential} \end{align} \]

denn durch Gradientenbildung ergibt sich

\[ \begin{align} - \nabla\phi_z = \omega^2\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ 0 \end{array}\right) = -\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \omega \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c} - \omega y\\ \omega x\\ 0 \end{array}\right) = - \omegabi\times\left(\omegabi\times\mathbf{r}\right). \end{align} \]

Es gilt der Zusammenhang

\[ \begin{align} \mathbf{a} = -\nabla\phi_g \end{align} \]

zwischen dem Gravitationspotential $\phi_g$ und der Gravitationsbeschleunigung $\mathbf{a}$. Das Newton'sche Gravitationsgesetz kann man dann schreiben als

\[ \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{a} = -4\pi G\rho \end{align} \]

mit $\rho$ als Massenverteilung, denn hieraus ergibt sich im Falle einer Punktmasse $M$ am Ursprung mit dem Gauß'schen Satz

\[ \begin{align} - 4\pi G M = a4\pi r^2\Leftrightarrow a = -G\frac{M}{r^2}. \end{align} \]

In Termen des Gravitationspotentials wird dies zu

\[ \begin{align} \Delta\phi_g = 4\pi G\rho \end{align} \]

bzw.

\[ \begin{align} \Delta\phi_g = 0\tag{D.40}\label{eq:laplace_dgl} \end{align} \]

außerhalb der Erde. Dies nennt man eine Laplace'sche Differenzialgleichung. Diese ist zu lösen, um das Gravitationspotential der Erde zu bestimmen. Allgemein kann man ein Integral

\[ \begin{align} \phi_0\left(\mathbf{r}\right) = -G\rho\int_{E}^{}\frac{1}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right|}d^3r' \end{align} \]

hierfür aufstellen, hierbei ist $E$ die Erde, dieses ist jedoch im Falle einer ellipsoidischen Menge $E$ nicht analytisch zu lösen. Daher wird $\phi_g$ nach bestimmten Funktionen entwickelt. Als Ansatz wird mit $\mu \coloneqq\cos\left(\theta\right)$ ein Separationsansatz

\[ \begin{align} \phi_g\left(r, \mu, \phi\right) = \frac{U\left(r\right)}{r}P\left(\mu\right)Q\left(\phi\right).\tag{D.42}\label{eq:ansatz_poisson} \end{align} \]

gemacht. Setzt man dies in $\Delta\phi_g = 0$ ein, erhält man mit Glg. (B.91) und der Feststellung

\[ \begin{align} \frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}\left(r f\right) = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(f + rf'\right) = \frac{2}{r}f' + f'' = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right), \end{align} \]

hierbei ist $f = f\left(r\right)$ und $f' \coloneqq \frac{\partial f}{\partial r}$

\[ \begin{align} PQ\frac{U''}{r} + UQ\frac{1}{r^3}\frac{\partial}{\partial\mu}\left(1 - \mu^2\right)P' + \frac{UP}{r^3\left(1 - \mu^2\right)}Q'' &= 0\nonumber\\ \Leftrightarrow r^2\left(1 - \mu^2\right)\frac{1}{v}U'' + \frac{1}{P}\left(1 - \mu^2\right)\frac{\partial}{\partial\mu}\left(1 - \mu^2\right)P' &= -\frac{Q''}{Q}.\tag{D.44}\label{eq:deriv_legendre_dgl} \end{align} \]

Die linke Seite von Glg. (D.44) hängt nicht von $\phi$ ab, während die rechte Seite nicht von $\mu$ und $r$ abhängt, daher sind beide gleich einer Separationskonstanten $m^2$. Für $Q$ gilt somit

\[ \begin{align} Q'' = -m^2Q, \end{align} \]

was gelöst wird durch

\[ \begin{align} Q\left(\phi\right) = \exp\left(im\phi\right). \end{align} \]

Da $Q\left(\phi\right) = Q\left(\phi + 2\pi\right)$ gilt, ist $m\in\mathbb{Z}$. Nun teilt man Glg. (D.44) durch $1 - \mu^2$ und setzt die rechte Seite gleich $m^2$, man erhält dann

\[ \begin{align} r^2\frac{U''}{v} = -\frac{1}{P}\frac{\partial}{\partial\mu}\left(1 - \mu^2\right)P'\left(\mu\right) + \frac{m^2}{1 - \mu^2}. \end{align} \]

Beide Seiten sind gleich einer neuen Separationskonstanten $\lambda$. Man erhält zwei Differenzialgleichungen, eine für $P$ und eine für $U$, die für $P$ lautet

\[ \begin{align} \frac{d}{d\mu}\left(1 - \mu^2\right)P'\left(\mu\right) = P\left(-\lambda + \frac{m^2}{1 - \mu^2}\right)\tag{D.48}\label{eq:legendre_vorform} \end{align} \]

und die für $U$ lautet

\[ \begin{align} r^2U'' - \lambda U = 0.\tag{D.49}\label{eq:dgl_u} \end{align} \]

Für das Geopotential genügt Zylindersymmetrie, also $m = 0$. Dann erhält man

\[ \begin{align} \frac{d}{d\mu}\left(1 - \mu^2\right)P'\left(\mu\right) = -\lambda P.\tag{D.50}\label{eq:legendre_dgl} \end{align} \]

Setzt man in Glg. (D.49) $\lambda = n\left(n + 1\right)$ ein, erhält man

\[ \begin{align} r^2U'' - n\left(n + 1\right)U = 0. \end{align} \]

$U$ hängt von $n$ ab, schreibe $U_n$. Man stellt fest, dass

\[ \begin{align} U_n\left(r\right) = r^{n + 1}\tag{D.52}\label{eq:radial_kugel_dgl} \end{align} \]

und

\[ \begin{align} U_n\left(r\right) = r^{-n} \end{align} \]

Lösungen sind und somit die allgemeine Lösung der gewöhnlichen DGL zweiter Ordnung Glg. (D.52) gegeben ist durch

\[ \begin{align} U_n\left(r\right) = a_nr^{n + 1} + \frac{b_n}{r^n}. \end{align} \]

Nun sind Lösungen der Form

\[ \begin{align} \phi_g^{(n)}\left(r, \mu\right) = \frac{U_n\left(r\right)}{r}P_n\left(\mu\right) \end{align} \]

gefunden, da die Laplace-Gleichung (D.40) linear in $\phi_g$ ist, sind beliebige Linearkombinationen hiervon wieder Lösungen und man erhält als allgemeine Lösung

\[ \begin{align} \phi_g\left(r, \mu\right) = \sum_{n = 0}^{\infty}\left(a_nr^n + \frac{b_n}{r^{n + 1}}\right)P_n\left(\mu\right).\tag{D.56}\label{eq:allg_laplace_loesung} \end{align} \]

Die spezielle Lösung für den Fall des rotierenden Ellipsoids ist durch die Randbedingungen festgelegt. Diese lautet

\[ \begin{align} \phi_g\left(x, z\right) = 0 \end{align} \]

für

\[ \begin{align} \frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1, \end{align} \]

hierbei sind $a$ die große und $c$ die kleine Halbachse der Erde. An dieser Stelle wird die Summe in Glg. (D.56) bei $n = 2$ abgebrochen und es wird nur der Gravitationsanteil betrachtet:

\[ \begin{align} \phi_0 &= \left(a_0 + \frac{b_0}{r}\right)P_0\left(\sin\left(\chi\right)\right) + \left(a_1r + \frac{b_1}{r^2}\right)P_1\left(\sin\left(\chi\right)\right) + \left(a_2r^2 + \frac{b_2}{r^3}\right)P_2\left(\sin\left(\chi\right)\right) \end{align} \]

$\chi$ ist die geozentrische Breite (im Gegensatz zur geodätischen Breite). Es gilt $\chi + \theta = \pi/2$. Die ersten drei Legendre-Polynome lauten

\[ \begin{align} P_0\left(\sin\left(\chi\right)\right) &= 1,\\ P_1\left(\sin\left(\chi\right)\right) &= \frac{1}{2}2\sin\left(\chi\right) = \sin\left(\chi\right),\\ P_2\left(\sin\left(\chi\right)\right) &= \frac{1}{8}\left(12\sin^2\left(\chi\right) - 4\right) = \frac{3}{2}\sin^2\left(\chi\right) - \frac{1}{2}. \end{align} \]

Damit lautet der Ausdruck für $\phi_g$

\[ \begin{align} \phi_0 = a_0 + \frac{b_0}{r} + \left(a_1r + \frac{b_1}{r^2}\right)\sin\left(\chi\right) + \left(\frac{a_2}{2}r^2 + \frac{b_2^2}{2r^3}\right)\left(3\sin^2\left(\chi\right) - 1\right). \end{align} \]

Ziel ist nun die Berechnung der Koeffizienten $a_0, a_1, a_2, b_0, b_1, b_2$. Wegen der üblichen Randbedingung $\lim\limits_{r\to\infty}\phi_0\left(r\right) = 0$ gilt jedoch

\[ \begin{align} a_0 = a_1 = a_2 = 0, \end{align} \]

außerdem sollte die Lösung in unendlichem Abstand zu $-G\frac{M}{r}$ werden, da die ellipsoidische Massenverteilung von weitem aussieht wie eine Punktmasse, also erwartet man

\[ \begin{align} b_0 = -GM. \end{align} \]

Frei sind noch die Koeffizienten $b_1$ und $b_2$:

\[ \begin{align} \phi_0 = -\frac{GM}{r} + \frac{b_1}{r^2}\sin\left(\chi\right) + \frac{b_2}{2r^3}\left(3\sin^2\left(\chi\right) - 1\right). \end{align} \]

Um diese zu bestimmen, berechnet man das Gravitationspotential auf der z-Achse ($z = r> c$). Dort gilt mit $\chi = \pi/2$

\[ \begin{align} \phi_0\left(r\right) = -\frac{GM}{r} + \frac{b_1\left(\epsilon\right)}{r^2} + \frac{b_2\left(\epsilon\right)}{r^3}.\tag{D.67}\label{eq:grav_z_dritte_ordnung} \end{align} \]

Hierbei wurde angenommen, dass die $b_i$ von der Exzentrizität $\epsilon$ abhängen. Man nimmt also eine homogene Erde der Dichte $\rho$ an und integriert

\[ \begin{align} \phi_0\left(r\right) &= -G\rho\int_{z = -c}^{c}\int_{0}^{a\sqrt{1 - \frac{z^2}{c^2}}}\frac{1}{\sqrt{\left(r - z\right)^2 + x^2}}2\pi xdxdz = -2\pi G\rho\int_{z = -c}^{c}\left[\sqrt{\left(r - z\right)^2 + x^2}\right]_0^{a\sqrt{1 - \frac{z^2}{c^2}}}dz\nonumber\\ &= -2\pi G\rho\int_{ - c}^c\sqrt{\left(z - r\right)^2 + a^2\left(1 - \frac{z^2}{c^2}\right)} - r + zdz = -2\pi G\rho\int_{ - c}^{c}\sqrt{r^2 + z^2\left(1 - \frac{a^2}{c^2}\right) - 2zr + a^2} - r + zdz\nonumber\\ &= 2\pi G\rho r2c - 2\pi G\rho\int_{ - c}^{c}\sqrt{\left(1 - \frac{a^2}{c^2}\right)z^2 - 2zr + a^2 + r^2}dz\nonumber\\ &= 4\pi G\rho cr - 2\pi G\rho\int_{ - c}^{c}\sqrt{Az^2 + Bz + C}dz = 2\pi G\rho\left(2cr - \int_{ - c}^{c}\sqrt{Az^2 + Bz + C}dz\right) \end{align} \]

mit

\[ \begin{align} A &= 1 - \frac{a^2}{c^2},\\ B &= -2r,\\ C &= a^2 + r^2. \end{align} \]

Diese Formel kann man zunächst auf einen einfachen Grenzfall überprüfen, nämlich den Fall einer Kugel $a = c$. In diesem Fall erhält man

\[ \begin{align} \phi_0\left(r\right) &= 2\pi G\rho\left(2ar - \int_{ - c}^{c}\sqrt{r^2 - 2zr + a^2}dz\right) = 2\pi G\rho\left(2ar - \left[-\frac{1}{3r}\left(r^2 - 2zr + a^2\right)^{3/2}\right]_{ - c}^c\right)\nonumber\\ &= 2\pi G\rho\left(2ar + \left[\frac{1}{3r}\left(r^2 - 2ar + a^2\right)^{3/2} - \frac{1}{3r}\left(r^2 + 2ar + a^2\right)\right]\right)\nonumber\\ &= 2\pi G\rho\left(2ar + \frac{1}{3r}\left[\left(r - a\right)^{3} - \left(r + a\right)^{3}\right]\right)\nonumber\\ &= 2\pi G\rho\left(2ar + \frac{1}{3r}\left[\left(r^2 - a^2 - 2ar\right)\left(r - a\right) - \left(r^2 + a^2 + 2ar\right)\left(r + a\right)\right]\right)\nonumber\\ &= 2\pi G\rho(2ar + \frac{1}{3r}[r^3 + r^2a + a^2r - a^3 - 2ar^2 + 2a^2r - r^3 - r^2a - a^2r - a^3 - 2ar^2 - 2a^2r])\nonumber\\ &= 2\pi G\rho\left(2ar + \frac{1}{3r}\left[-6r^2a - 2a^3\right]\right) = 2\pi G\rho\left(2ar - 2ra - \frac{2}{3}\frac{a^3}{r}\right) = -\frac{4\pi G\rho a^3}{3r}\nonumber\\ &= - GM\frac{1}{r}. \end{align} \]

Das Gravitationspotential einer homogenen Vollkugel ist also außerhalb der Kugel gleich dem einer Punktmasse am Ort des Schwerpunktes der Kugel. Es gilt nach [11] Glg. (3.3.37)

\[ \begin{align} \int\sqrt{Ax^2 + Bx + C}dx &= \frac{2Ax + B}{4A}\sqrt{Ax^2 + Bx + C} + \frac{4AC - B^2}{8A}\int\frac{dx}{\sqrt{Ax^2 + Bx + C}}. \end{align} \]

Hierbei ist

\[ \begin{align} \int\frac{dx}{\sqrt{Ax^2 + Bx + C}} &= -\frac{1}{\sqrt{ - A}}\arcsin\frac{2Ax + B}{\sqrt{B^2 - 4AC}}. \end{align} \]

Die Voraussetzungen hierfür sind

\[ \begin{align} A&<0,\\ B^2>4AC\Leftrightarrow 4r^2 &> \left(1 - \frac{a^2}{c^2}\right)\left(a^2 + r^2\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow r^2&>a^2 + r^2 - \frac{a^4}{c^2} - a^2\frac{r^2}{c^2}, \nonumber\\ |2Ax + B|<\sqrt{B^2 - 4AC}\Leftrightarrow \left|2\left(1 - \frac{a^2}{c^2}\right)x - 2r\right|&<\sqrt{4r^2 + 4\left(a^2 + r^2\right)\left(\frac{a^2}{c^2} - 1\right)}\nonumber\\ \Leftrightarrow \left|x\left(1 - \frac{a^2}{c^2}\right) - r\right|&<\sqrt{r^2 - a^2 - r^2 + \frac{a^4}{c^2} + r^2\frac{a^2}{c^2}}\nonumber\\ \Leftarrow c\left(\frac{a^2}{c^2} - 1\right) + r&

Für $r = c$ werden die letzten beiden Ausdrücke gleich. Die Ableitung des linken Ausdrucks nach $r$ ist

\[ \begin{align} \frac{d}{dr}\left(c\left(\frac{a^2}{c^2} - 1\right) + r\right) = 1, \end{align} \]

die Ableitung des rechten Ausdrucks nach $r$ ist

\[ \begin{align} \frac{d}{dr}a\sqrt{\frac{a^2}{c^2} - 1 + \frac{r^2}{c^2}} = a\frac{2r}{c^2}\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{a^2}{c^2} - 1 + \frac{r^2}{c^2}}} = \frac{ra}{c\sqrt{a^2 - c^2 + r^2}}. \end{align} \]

Dieser Ausdruck ist für $r = c$ gleich Eins und für $r\to\infty$ gleich $a/c>1$, die Ableitung

\[ \begin{align} \frac{d}{dr}\frac{ra}{c\sqrt{a^2 - c^2 + r^2}}&\propto& ac\sqrt{a^2 - c^2 + r^2} - racr\frac{1}{\sqrt{a^2 - c^2 + r^2}}\nonumber\\ &\propto&ac\left(a^2 - c^2 + r^2\right) - r^2ac > 0 \end{align} \]

ist überall positiv und somit ist

\[ \begin{align} \frac{d}{dr}a\sqrt{\frac{a^2}{c^2} - 1 + \frac{r^2}{c^2}}>1 \end{align} \]

für $r>c$. Somit ist die Ungleichung (D.76) für $r> c$ erfüllt und die Integralformel

\[ \begin{align} \int\sqrt{Ax^2 + Bx + C}dx &= \frac{2Ax + B}{4A}\sqrt{Ax^2 + Bx + C} - \frac{4AC - B^2}{8A}\frac{1}{\sqrt{ - A}}\arcsin\frac{2Ax + B}{\sqrt{B^2 - 4AC}} \end{align} \]

kann angewandt werden. Es gilt also

\[ \begin{align} & \int_{ - c}^{c}\sqrt{Ax^2 + Bx + C}dx\nonumber\\ &= \frac{2Ac + B}{4A}\cdot\sqrt{Ac^2 + Bc + C} - \frac{4AC - B^2}{8A}\frac{1}{\sqrt{ - A}}\arcsin\left(\frac{2Ac + B}{\sqrt{B^2 - 4AC}}\right) - \frac{B - 2Ac}{4A}\cdot\sqrt{Ac^2 - Bc + C}\nonumber\\ & + \frac{4AC - B^2}{8A}\frac{1}{\sqrt{ - A}}\arcsin\left(\frac{ - 2Ac + B}{\sqrt{B^2 - 4AC}}\right) = \frac{2Ac + B}{4A}\sqrt{Ac^2 + Bc + C} + \frac{4AC - B^2}{8A\sqrt{ - A}}\cdot\nonumber\\ & \cdot\left[\arcsin\left(\frac{B - 2Ac}{\sqrt{B^2 - 4AC}}\right) - \arcsin\left(\frac{2Ac + B}{\sqrt{B^2 - 4AC}}\right)\right] - \frac{B - 2Ac}{4A}\sqrt{Ac^2 - Bc + C}. \end{align} \]

Hier setzt man nun $A, B$ und $C$ ein und erhält mit

\[ \begin{align} \sqrt{Ac^2 + Bc + C} &= \sqrt{c^2 - a^2 - 2rc + a^2 + r^2} = \sqrt{c^2 + r^2 - 2rc} = r - c,\\ \sqrt{Ac^2 - Bc + C} &= \sqrt{c^2 - a^2 + 2rc + a^2 + r^2} = r + c,\\ B - 2Ac &= -2r - 2c + 2\frac{a^2}{c} = 2\left(\frac{a^2}{c} - r - c\right),\\ B + 2Ac &= -2r + 2c - 2\frac{a^2}{c} = 2\left(c - r - \frac{a^2}{c}\right),\\ B^2 - 4AC &= 4r^2 - 4\left(1 - \frac{a^2}{c^2}\right)\left(a^2 + r^2\right) = -4a^2 + 4\frac{a^4}{c^2} + 4\frac{a^2r^2}{c^2} = 4\frac{a^2}{c^2}\left(a^2 + r^2 - c^2\right),\\ & \frac{2Ac + B}{4A}\sqrt{Ac^2 + Bc + C} - \frac{B - 2Ac}{4A}\sqrt{Ac^2 - Bc + C}\nonumber\\ &= \frac{2\left(c - r - \frac{a^2}{c}\right)}{4 - 4\frac{a^2}{c^2}}\left(r - c\right) - \frac{2\left(\frac{a^2}{c} - r - c\right)}{4 - 4\frac{a^2}{c^2}}\left(r + c\right)\nonumber\\ &= \frac{4cr - 2a^2r/c}{2 - 2a^2/c^2} = \frac{2c^3r - a^2rc}{c^2 - a^2} = rc\frac{a^2 - 2c^2}{a^2 - c^2},\\ \frac{4AC - B^2}{8A\sqrt{ - A}} &= -\frac{4\frac{a^2}{c^2}\left(a^2 + r^2 - c^2\right)}{8\left(1 - \frac{a^2}{c^2}\right)\sqrt{\frac{a^2}{c^2} - 1}} = -\frac{a^2\left(a^2 + r^2 - c^2\right)}{2\left(c^2 - a^2\right)\sqrt{\frac{a^2}{c^2} - 1}}\nonumber\\ &= -\frac{a^2 + r^2 - c^2}{2\left(\frac{c^2}{a^2} - 1\right)\sqrt{\frac{a^2}{c^2} - 1}} = a^2c\frac{a^2 + r^2 - c^2}{2\left(a^2 - c^2\right)\sqrt{a^2 - c^2}},\\ \frac{B - 2Ac}{\sqrt{B^2 - 4AC}} &= \frac{2\left(\frac{a^2}{c} - r - c\right)}{2\frac{a}{c}\sqrt{a^2 + r^2 - c^2}} = \frac{a^2 - rc - c^2}{a\sqrt{a^2 + r^2 - c^2}},\\ \frac{2Ac + B}{\sqrt{B^2 - 4AC}} &= \frac{2\left(c - r - \frac{a^2}{c}\right)}{2\frac{a}{c}\sqrt{a^2 + r^2 - c^2}} = \frac{c^2 - rc - a^2}{a\sqrt{a^2 + r^2 - c^2}} \end{align} \]

die Gleichung

\[ \begin{align} \int_{ - c}^c\dotsc dx &= a^2c\frac{a^2 + r^2 - c^2}{2\left(a^2 - c^2\right)^{3/2}}\cdot\bigg[\arcsin\left(\frac{a^2 - rc - c^2}{a\sqrt{a^2 + r^2 - c^2}}\right) - \arcsin\left(\frac{c^2 - rc - a^2}{a\sqrt{a^2 + r^2 - c^2}}\right)\bigg]\nonumber\\ & + rc\frac{a^2 - 2c^2}{a^2 - c^2}. \end{align} \]

Für das Gravitationspotential auf der z-Achse folgt also mit

\[ \begin{align} 4cr - 2cr\frac{a^2 - 2c^2}{a^2 - c^2} = rc\frac{4a^2 - 4c^2 - 2a^2 + 4c^2}{a^2 - c^2} = 2rc\frac{a^2}{a^2 - c^2} \end{align} \]

die Rechnung

\[ \begin{align} \phi_0\left(r\right) &= \pi G\rho\bigg(4cr - 2rc\frac{a^2 - 2c^2}{a^2 - c^2} - a^2c\frac{a^2 + r^2 - c^2}{\left(a^2 - c^2\right)^{3/2}}\cdot\left[\arcsin\left(\frac{a^2 - rc - c^2}{a\sqrt{a^2 + r^2 - c^2}}\right) - \arcsin\left(\frac{c^2 - rc - a^2}{a\sqrt{a^2 + r^2 - c^2}}\right)\right]\bigg)\nonumber \end{align} \] \[ \begin{align} &= \pi G\rho\bigg(rc\frac{2a^2}{a^2 - c^2} - a^2c\frac{a^2 + r^2 - c^2}{\left(a^2 - c^2\right)^{3/2}}\cdot\left[\arcsin\left(\frac{a^2 - rc - c^2}{a\sqrt{a^2 + r^2 - c^2}}\right) - \arcsin\left(\frac{c^2 - rc - a^2}{a\sqrt{a^2 + r^2 - c^2}}\right)\right]\bigg)\nonumber\\ &= \pi G\rho\frac{a^2c}{a^2 - c^2}\bigg(2r - \frac{a^2 + r^2 - c^2}{\sqrt{a^2 - c^2}}\cdot\left[\arcsin\left(\frac{a^2 - rc - c^2}{a\sqrt{a^2 + r^2 - c^2}}\right) - \arcsin\left(\frac{c^2 - rc - a^2}{a\sqrt{a^2 + r^2 - c^2}}\right)\right]\bigg). \end{align} \]

Hier kann man die Masse der Erde

\[ \begin{align} M = \frac{4}{3}\pi\rho a^2c\Rightarrow \pi\rho a^2c = \frac{3M}{4} \end{align} \]

einbauen:

\[ \begin{align} \phi_0\left(r\right) &= G\frac{M}{a^2 - c^2}\bigg(\frac{3}{2}r - \frac{3}{4}\frac{a^2 + r^2 - c^2}{\sqrt{a^2 - c^2}}\cdot\nonumber\\ & \cdot\left[\arcsin\left(\frac{a^2 - rc - c^2}{a\sqrt{a^2 + r^2 - c^2}}\right) - \arcsin\left(\frac{c^2 - rc - a^2}{a\sqrt{a^2 + r^2 - c^2}}\right)\right]\bigg) \end{align} \]

Mit Glg. (D.31) folgt für das Gravitationspotential

\[ \begin{align} \phi_0\left(r\right) &= G\frac{M}{a^2\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}\bigg(\frac{3}{2}r - \frac{3}{4}\frac{a^2\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + r^2}{a\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}\cdot\nonumber\\ & \cdot\left[\arcsin\left(\frac{a^2\epsilon\left(2 - \epsilon\right) - ra\left(1 - \epsilon\right)}{a\sqrt{a^2\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + r^2}}\right) - \arcsin\left(-\frac{a^2\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + ra\left(1 - \epsilon\right)}{a\sqrt{a^2\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + r^2}}\right)\right]\bigg)\nonumber\\ &= G\frac{M}{a\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}\bigg(\frac{3}{2}\frac{r}{a} - \frac{3}{4}\frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + r^2/a^2}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}\cdot\nonumber\\ & \cdot\left[\arcsin\left(\frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) - \frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}}\right) - \arcsin\left(-\frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}}\right)\right]\bigg)\nonumber\\ &= \frac{3GM}{2a\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}\bigg(\frac{r}{a} - \frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + r^2/a^2}{2\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}\cdot\bigg[\arcsin\left(\frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) - \frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}}\right)\nonumber\\ & + \arcsin\left(\frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}}\right)\bigg]\bigg).\tag{D.97}\label{eq:grav_pot_ex_z} \end{align} \]

Glg. (D.97) ist die Grundlage für die theoretische Untersuchung des Schwerefeldes eines Rotationsellipsoiden. Sie ist exakt für Exzentrizitäten $\epsilon\not = 0$, ist jedoch für $\epsilon = 0$ nicht anwendbar. Leider ist der Ausdruck noch nicht von der Form der Glg. (D.67). Um dies zu erreichen, entwickelt man ihn in dem kleinen Parameter $\epsilon\ll 1$. Dazu definiert man die Abkürzungen

\[ \begin{align} f_1\left(\epsilon\right)& \coloneqq&\frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) - \frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}},\\ f_2\left(\epsilon\right)& \coloneqq&\frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}}. \end{align} \]

Zur Vorbereitung rechnet man bereits jetzt

\[ \begin{align} f_1'\left(\epsilon\right) &= \frac{\left(2 - 2\epsilon + \frac{r}{a}\right)\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}} - \left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) - \frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)\right]\frac{1}{2}\left(2 - 2\epsilon\right)\frac{1}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}}}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}\nonumber\\ &= \frac{\left(2 - 2\epsilon + \frac{r}{a}\right)\left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right) - \left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) - \frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)\right]\left(1 - \epsilon\right)}{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^{3/2}}\nonumber\\ &= \frac{2\left(1 - \epsilon\right)\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + 2\left(1 - \epsilon\right)\frac{r^2}{a^2} + \frac{r}{a}\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^3}{a^3} - \epsilon\left(2 - \epsilon\right)\left(1 - \epsilon\right) + \frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)^2}{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^{3/2}}\nonumber\\ &= \frac{\epsilon\left(1 - \epsilon\right)\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^3}{a^3} + \frac{r^2}{a^2}2\left(1 - \epsilon\right) + \frac{r}{a}}{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^{3/2}} \end{align} \]

und

\[ \begin{align} f_2'\left(\epsilon\right) &= \frac{\left(2 - 2\epsilon - \frac{r}{a}\right)\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}} - \left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)\right]\frac{1}{2}\left(2 - 2\epsilon\right)\frac{1}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}}}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}\nonumber\\ &= \frac{\left(2 - 2\epsilon - \frac{r}{a}\right)\left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right) - \left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)\right]\left(1 - \epsilon\right)}{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^{3/2}}\nonumber\\ &= \frac{2\left(1 - \epsilon\right)\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + 2\left(1 - \epsilon\right)\frac{r^2}{a^2} - \frac{r}{a}\epsilon\left(2 - \epsilon\right) - \frac{r^3}{a^3} - \epsilon\left(2 - \epsilon\right)\left(1 - \epsilon\right) - \frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)^2}{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^{3/2}}\nonumber\\ &= \frac{\epsilon\left(1 - \epsilon\right)\left(2 - \epsilon\right) - \frac{r^3}{a^3} + \frac{r^2}{a^2}2\left(1 - \epsilon\right) - \frac{r}{a}}{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^{3/2}}. \end{align} \]

Das Gravitationspotential schreibt sich damit als

\[ \begin{align} \phi_0\left(r\right) = \frac{3GM}{2a}\frac{2\frac{r}{a}\left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\right)^{1/2} - \left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right)\left[\arcsin\left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right]}{2\left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\right)^{3/2}}. \end{align} \]

Dies wird mit

\[ \begin{align} g\left(\epsilon\right)&\coloneqq2\frac{r}{a}\left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\right)^{1/2} - \left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right)\left[\arcsin\left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right],\\ h\left(\epsilon\right)&\coloneqq2\left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\right)^{3/2},\\ F\left(\epsilon\right) &\coloneqq\frac{g\left(\epsilon\right)}{h\left(\epsilon\right)} \end{align} \]

zu

\[ \begin{align} \phi_0\left(r\right) = \frac{3GM}{2a}\frac{g\left(\epsilon\right)}{h\left(\epsilon\right)} = \frac{3}{2}\frac{GM}{a}F\left(\epsilon\right). \end{align} \]

Das Ziel ist nun, $F\left(\epsilon\right)$ bis zur ersten Ordnung in $\epsilon$ zu entwickeln:

\[ \begin{align} \phi_0\left(r\right) = \frac{3}{2}\frac{GM}{a}\left(F\left(0\right) + F'\left(0\right)\epsilon + \mathcal{O}\left(\epsilon^2\right)\right) \end{align} \]

Wegen $h\left(0\right) = 0$ ist dies nicht direkt möglich, sondern man muss die Ersetzungen

\[ \begin{align} F\left(0\right) \to \lim\limits_{x\downarrow 0}F\left(x\right), F'\left(0\right) \to \lim\limits_{x\downarrow 0}F'\left(x\right) \end{align} \]

vornehmen. Es ist wegen

\[ \begin{align} f_1\left(0\right) = -1 = -f_2\left(0\right) \end{align} \]

auch

\[ \begin{align} g\left(0\right) = 0, \end{align} \]

man kann also die Regel von L'Hospital anwenden, um $\lim\limits_{\epsilon\to 0}\frac{g\left(\epsilon\right)}{h\left(\epsilon\right)}$ zu ermitteln. Es gilt

\[ \begin{align} g'\left(\epsilon\right) &= 2\frac{r}{a}\frac{1}{2}\left(2 - 2\epsilon\right)\frac{1}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}} - \left(2 - 2\epsilon\right)\left[\arcsin\left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right], \nonumber\\ & - \left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right)\left[f_1'\left(\epsilon\right)\frac{1}{\sqrt{1 - f_1^2\left(\epsilon\right)}} + f_2'\left(\epsilon\right)\frac{1}{\sqrt{1 - f_2^2\left(\epsilon\right)}}\right]\nonumber\\ &= \frac{2r\left(1 - \epsilon\right)}{a\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}} - 2\left(1 - \epsilon\right)\left[\arcsin\left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right]\nonumber\\ & - \left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right)\left[f_1'\left(\epsilon\right)\frac{1}{\sqrt{1 - f_1^2\left(\epsilon\right)}} + f_2'\left(\epsilon\right)\frac{1}{\sqrt{1 - f_2^2\left(\epsilon\right)}}\right]. \end{align} \]

Es gelten

\[ \begin{align} f_1^2\left(\epsilon\right) = \frac{\epsilon^2\left(2 - \epsilon\right)^2 + \frac{r^2}{a^2}\left(1 - \epsilon\right)^2 - 2\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}} \end{align} \]

und

\[ \begin{align} f_2^2\left(\epsilon\right) = \frac{\epsilon^2\left(2 - \epsilon\right)^2 + \frac{r^2}{a^2}\left(1 - \epsilon\right)^2 + 2\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}. \end{align} \]

Daraus folgen

\[ \begin{align} 1 - f_1^2\left(\epsilon\right) &= \frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\left(1 - \epsilon\left(2 - \epsilon\right)\right) + \frac{r^2}{a^2}\left(1 - \left(1 - \epsilon\right)^2\right) + 2\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}\nonumber\\ &= \frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\left(1 - 2\epsilon + \epsilon^2\right) + \frac{r^2}{a^2}\left(1 - 1 - \epsilon^2 + 2\epsilon\right) + 2\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}\nonumber\\ &= \frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\left(1 - \epsilon\right)^2 + \frac{r^2}{a^2}\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + 2\epsilon\frac{r}{a}\left(2 - \epsilon\right)\left(1 - \epsilon\right)}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}} = \left(2 - \epsilon\right)\epsilon\frac{\left(1 - \epsilon\right)^2 + \frac{r^2}{a^2} + 2\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\left(2 - \epsilon\right)\epsilon + \frac{r^2}{a^2}}\nonumber\\ &= \left(2 - \epsilon\right)\epsilon\frac{\left[\left(1 - \epsilon\right) + \frac{r}{a}\right]^2}{\left(2 - \epsilon\right)\epsilon + \frac{r^2}{a^2}} \end{align} \]

und

\[ \begin{align} 1 - f_2^2\left(\epsilon\right) &= \frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\left(1 - \epsilon\left(2 - \epsilon\right)\right) + \frac{r^2}{a^2}\left(1 - \left(1 - \epsilon\right)^2\right) - 2\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}\nonumber\\ &= \frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\left(1 - 2\epsilon + \epsilon^2\right) + \frac{r^2}{a^2}\left(1 - 1 - \epsilon^2 + 2\epsilon\right) - 2\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}\nonumber\\ &= \frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\left(1 - \epsilon\right)^2 + \frac{r^2}{a^2}\epsilon\left(2 - \epsilon\right) - 2\epsilon\frac{r}{a}\left(2 - \epsilon\right)\left(1 - \epsilon\right)}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}} = \left(2 - \epsilon\right)\epsilon\frac{\left(1 - \epsilon\right)^2 + \frac{r^2}{a^2} - 2\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\left(2 - \epsilon\right)\epsilon + \frac{r^2}{a^2}}\nonumber\\ &= \left(2 - \epsilon\right)\epsilon\frac{\left[\left(1 - \epsilon\right) - \frac{r}{a}\right]^2}{\left(2 - \epsilon\right)\epsilon + \frac{r^2}{a^2}}. \end{align} \]

Daraus folgen

\[ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{1 - f_1^2\left(\epsilon\right)}} = \frac{1}{1 - \epsilon + \frac{r}{a}}\sqrt{\frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}} \end{align} \]

und

\[ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{1 - f_2^2\left(\epsilon\right)}} = \frac{1}{\epsilon + \frac{r}{a} - 1}\sqrt{\frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}. \end{align} \]

Daraus folgt

\[ \begin{align} & \left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right)\left(f_1'\left(\epsilon\right)\frac{1}{\sqrt{1 - f_1^2\left(\epsilon\right)}} + f_2'\left(\epsilon\right)\frac{1}{\sqrt{1 - f_2^2\left(\epsilon\right)}}\right)\nonumber\\ &= \frac{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^{3/2}}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}\cdot\frac{1}{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^{3/2}}\cdot\bigg[\frac{\epsilon\left(1 - \epsilon\right)\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^3}{a^3} + \frac{r^2}{a^2}2\left(1 - \epsilon\right) + \frac{r}{a}}{1 - \epsilon + \frac{r}{a}}\nonumber\\ & + \frac{\epsilon\left(1 - \epsilon\right)\left(2 - \epsilon\right) - \frac{r^3}{a^3} + \frac{r^2}{a^2}2\left(1 - \epsilon\right) - \frac{r}{a}}{\epsilon + \frac{r}{a} - 1}\bigg]\nonumber\\ &= \frac{1}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}\bigg[\frac{\epsilon\left(1 - \epsilon\right)\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^3}{a^3} + \frac{r^2}{a^2}2\left(1 - \epsilon\right) + \frac{r}{a}}{1 - \epsilon + \frac{r}{a}} + \frac{\epsilon\left(1 - \epsilon\right)\left(2 - \epsilon\right) - \frac{r^3}{a^3} + \frac{r^2}{a^2}2\left(1 - \epsilon\right) - \frac{r}{a}}{\epsilon + \frac{r}{a} - 1}\bigg]\nonumber\\ &= \frac{1}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}\frac{2\frac{r}{a}\epsilon\left(1 - \epsilon\right)\left(2 - \epsilon\right) + 4\left(1 - \epsilon\right)\frac{r^3}{a^3} - 2\left(1 - \epsilon\right)\frac{r^3}{a^3} - 2\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\frac{r^2}{a^2} - 1 - \epsilon^2 + 2\epsilon}\nonumber\\ &= \frac{2\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}\frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2} - 1}{\frac{r^2}{a^2} - 1 - \epsilon^2 + 2\epsilon} = \frac{2\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}. \end{align} \]

Man hat also

\[ \begin{align} g'\left(\epsilon\right) &= \frac{2r\left(1 - \epsilon\right)}{a\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}} - 2\left(1 - \epsilon\right)\left[\arcsin\left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right],\\ - \frac{2\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}} &= -2\left(1 - \epsilon\right)\left[\arcsin\left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right]. \end{align} \]

Weiterhin gilt

\[ \begin{align} h'\left(\epsilon\right) &= 2\frac{3}{2}\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}\left(2 - 2\epsilon\right) = 6\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}\left(1 - \epsilon\right). \end{align} \]

Es gilt also

\[ \begin{align} \frac{g'\left(\epsilon\right)}{h'\left(\epsilon\right)} &= -\frac{1}{3\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}\left[\arcsin \left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right]. \end{align} \]

Hier muss man wieder die Regel von L'Hospital anwenden, es gelten

\[ \begin{align} & \frac{d}{d\epsilon}\left[\arcsin\left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right] = \frac{1}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}\frac{2\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}} \end{align} \]

sowie

\[ \begin{align} \frac{d}{d\epsilon}\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)} = \frac{1 - \epsilon}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}. \end{align} \]

Damit folgt

\[ \begin{align} \lim\limits_{\epsilon\to 0}\frac{g'\left(\epsilon\right)}{h'\left(\epsilon\right)} = -\frac{1}{3}\frac{2\frac{r}{a}}{\frac{r^2}{a^2}} = - \frac{2a}{3r}. \end{align} \]

und somit

\[ \begin{align} \lim\limits_{\epsilon\to 0}F\left(\epsilon\right) = -\frac{2a}{3r}. \end{align} \]

Es ergibt sich also im Falle einer Kugel der korrekte Grenzfall. Für die Ableitung von $F$ gilt

\[ \begin{align} F'\left(\epsilon\right) &= \frac{g'\left(\epsilon\right)h\left(\epsilon\right) - g\left(\epsilon\right)h'\left(\epsilon\right)}{h\left(\epsilon\right)^2} = \frac{ - 2\left(1 - \epsilon\right)\left[\arcsin\left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right]2\left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\right)^{3/2}}{4\left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\right)^3}\nonumber\\ & - \frac{\left(2\frac{r}{a}\left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\right)^{1/2} - \left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right)\left[\arcsin\left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right]\right)6\left(1 - \epsilon\right)\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}{4\left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\right)^3}\nonumber\\ &= \frac{\left(1 - \epsilon\right)\left[\arcsin\left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right]}{2\left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\right)^{3/2}} + \frac{3r^2}{2a^2}\frac{\left(1 - \epsilon\right)\left[\arcsin\left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right]}{\left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\right)^{5/2}}\nonumber\\ & - 3\frac{r}{a}\frac{1 - \epsilon}{\left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right)\right)^2}. \end{align} \]

Aufgrund der Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte ist $\lim\limits_{\epsilon\to 0}F'\left(\epsilon\right) = \frac{1}{4\sqrt{2}}\lim\limits_{\epsilon\to 0}G\left(\epsilon\right)$ mit

\[ \begin{align} G\left(\epsilon\right)&\coloneqq\frac{\left(2 - \epsilon\right)\left[\arcsin\left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right]}{2\epsilon^{3/2}} + \frac{3r^2}{2a^2}\frac{\arcsin\left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)}{\epsilon^{5/2}} - 3\frac{r\sqrt{2 - \epsilon}}{a\epsilon^2}\nonumber\\ &= \frac{\left(a^2\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + 3r^2\right)\left[\arcsin\left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right] - 6ra\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}{2a^2\epsilon^{5/2}}. \end{align} \]

Es gilt mit der Regel von L'Hospital

\[ \begin{align} \lim_{\epsilon\to 0}G\left(\epsilon\right) &= \lim_{\epsilon\to 0}\frac{2a^2\left(1 - \epsilon\right)\left[\arcsin\left(f_1\left(\epsilon\right)\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right]}{5a^2\epsilon^{3/2}}\nonumber\\ & + \frac{\left(a^2\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + 3r^2\right)\frac{1}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}\frac{2\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}}{5a^2\epsilon^{3/2}} - \frac{6ra\frac{1 - \epsilon}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}}{5a^2\epsilon^{3/2}}\nonumber\\ &= \frac{2}{5a^2}\lim_{\epsilon\to 0}\frac{a^2\left[\arcsin f_1\left(\epsilon\right) + \arcsin\left(f_2\left(\epsilon\right)\right)\right]}{\epsilon^{3/2}} + \frac{\left(a^2\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + 3r^2\right)\frac{1}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}\frac{\frac{r}{a}}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}} - 3\frac{ra}{\sqrt{\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}}}{\epsilon^{3/2}}\nonumber\\ &= \frac{4}{15a^2}\lim_{\epsilon\to 0}\frac{2a^2}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}\frac{2\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\epsilon\sqrt{2 - \epsilon}} + 3\frac{ra\left(1 - \epsilon\right)}{\epsilon^2\left(2 - \epsilon\right)^{3/2}}\nonumber\\ & - \left(a^2\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + 3r^2\right)\frac{2\left(1 - \epsilon\right)}{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^2}\frac{\frac{r}{a}}{\epsilon\sqrt{2 - \epsilon}} - \frac{a^2\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + 3r^2}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}\frac{\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\epsilon^2\left(2 - \epsilon\right)^{3/2}}. \end{align} \]

Mit

\[ \begin{align} & \frac{2a^2}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}\frac{2\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\epsilon\sqrt{2 - \epsilon}} - \left(a^2\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + 3r^2\right)\frac{2\left(1 - \epsilon\right)}{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^2}\frac{\frac{r}{a}}{\epsilon\sqrt{2 - \epsilon}}\nonumber\\ &= \frac{2\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)a^2}{\epsilon\sqrt{\left(2 - \epsilon\right)}}\frac{1}{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^2}\left[2\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + 2\frac{r^2}{a^2} - \epsilon\left(2 - \epsilon\right) - \frac{3r^2}{a^2}\right]\nonumber\\ &= \frac{2\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)a^2}{\epsilon\sqrt{2 - \epsilon}}\frac{1}{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^2}\left[-\frac{r^2}{a^2} + \epsilon\left(2 - \epsilon\right)\right]\nonumber\\ &= -\frac{2r^3\left(1 - \epsilon\right)}{a\epsilon\sqrt{2 - \epsilon}}\frac{1}{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^2} + \frac{2\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)a^2\sqrt{2 - \epsilon}}{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^2} \end{align} \]

und

\[ \begin{align} & 3\frac{ra\left(1 - \epsilon\right)}{\epsilon^2\left(2 - \epsilon\right)^{3/2}} - \frac{a^2\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + 3r^2}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}\frac{\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)}{\epsilon^2\left(2 - \epsilon\right)^{3/2}}\nonumber\\ &= ra\frac{1 - \epsilon}{\epsilon^2\left(2 - \epsilon\right)^{3/2}}\left[3 - \frac{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + 3\frac{r^2}{a^2}}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}}\right] = \frac{ra}{\epsilon^2\left(2 - \epsilon\right)^{3/2}}\frac{2\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}} \end{align} \]

folgt

\[ \begin{align} \lim_{\epsilon\to 0}G\left(\epsilon\right) &= \frac{4}{15a^2\sqrt{2}}\lim_{\epsilon\to 0} - \frac{1r^3}{a\epsilon\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^2} + \frac{ra}{\epsilon^2\left(2 - \epsilon\right)}\frac{2\epsilon\left(2 - \epsilon\right)}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + r^2} + \frac{2\frac{r}{a}\left(1 - \epsilon\right)a^2\left(2 - \epsilon\right)}{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^2}\nonumber\\ &= \frac{4r}{15a^2\sqrt{2}}\lim_{\epsilon\to 0} - \frac{2r^2}{a\epsilon\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^2} + \frac{a}{\epsilon}\frac{2}{\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}} + \frac{2\frac{1}{a}\left(1 - \epsilon\right)a^2\left(2 - \epsilon\right)}{\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^2}\nonumber\\ &= \frac{4}{15r\sqrt{2}}\lim\limits_{\epsilon\to 0} - \frac{2r^2}{a\epsilon\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]} + \frac{2a}{\epsilon} + \frac{2r^2\left(1 - \epsilon\right)\left(2 - \epsilon\right)}{a\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^2}\nonumber\\ &= \frac{4}{15r\sqrt{2}}\lim\limits_{\epsilon\to 0}\frac{ - 2\frac{r^2}{a} + 2a\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + 2\frac{r^2}{a}}{\epsilon\left(\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right)} + \frac{2r^2\left(1 - \epsilon\right)\left(2 - \epsilon\right)}{a\left[\epsilon\left(2 - \epsilon\right) + \frac{r^2}{a^2}\right]^2}\nonumber\\ &= \frac{4}{15r\sqrt{2}}\left[\frac{4a}{\frac{r^2}{a^2}} + \frac{4r^2}{a\frac{r^4}{a^4}}\right] = \frac{4}{15r\sqrt{2}}\frac{8a^3}{r^2} = \frac{32}{15\sqrt{2}}\frac{a^3}{r^3}. \end{align} \]

Somit folgt

\[ \begin{align} \lim_{\epsilon\to 0} F'\left(\epsilon\right) = \frac{4}{15}\frac{a^3}{r^3}. \end{align} \]

Analog können die Koeffizienten höherer Ordnungen in $\epsilon$ ermittelt werden. Man hat also

\[ \begin{align} \phi_0\left(r\right) = \frac{3GM}{2a}\left[-\frac{2a}{3r} + \epsilon\frac{4a^3}{15r^3}\right] = -\frac{GM}{r} + \epsilon\frac{2GM}{5r^3}a^2, \end{align} \]

die Terme $\mathcal{O}\left(\epsilon^2\right)$ wurden vernachlässigt. Es gilt somit in Termen der Glg. (D.67)

\[ \begin{align} b_1 &= 0,\\ b_2\left(\epsilon\right) &= \epsilon\frac{2GMa^2}{5}. \end{align} \]

Für den Gravitationsanteil des Schwerepotentials der Erde gilt somit

\[ \begin{align} \phi_0\left(r, \chi\right) &= -\frac{GM}{r} + \frac{b_2}{2r^3}\left(3\sin^2\left(\chi\right) - 1\right) = -\frac{GM}{r} + \epsilon\frac{GMa^2}{5r^3}\left(3\sin^2\left(\chi\right) - 1\right). \end{align} \]

Nun wird die Fliehkraft berücksichtigt. Definiere

\[ \begin{align} m \coloneqq \frac{\omega^2a^3}{GM}. \end{align} \]

Dann schreibt sich der Zentrifugalanteil $\phi_z$ mit Glg. (D.34) als

\[ \begin{align} \phi_z = -\frac{1}{2}\omega^2r^2\cos^2\left(\chi\right) = -\frac{1}{2}\frac{GMm}{a^3}r^2\cos^2\left(\chi\right) = \frac{GMm}{2a^3}r^2\left(\sin^2\left(\chi\right) - 1\right). \end{align} \]

Für das Schwerepotential erhält man

\[ \begin{align} \phi_g\left(r, \chi\right) &= \phi_0\left(r, \chi\right) + \phi_z\left(r, \chi\right) = - \frac{GM}{r} + \epsilon\frac{GMa^2}{5r^3}\left(3\sin^2\left(\chi\right) - 1\right) + \frac{GMm}{2a^3}r^2\left(\sin^2\left(\chi\right) - 1\right)\nonumber\\ &= \frac{GM}{r}\left[\left\{\frac{3a^2\epsilon}{5r^2} + \frac{mr^3}{2a^3}\right\}\sin^2\left(\chi\right) - 1\right] - \frac{GM}{a}\left\{\frac{a^3}{5r^3}\epsilon + \frac{mr^2}{2a^2}\right\}. \end{align} \]

Man fordert nun als zusätzliche Bedingung, dass die Oberfläche des Rotationsellipsoiden eine Äquipotentialfläche ist, also

\[ \begin{align} \phi_g\left(r, \chi\right) = \text{const}. \end{align} \]

für

\[ \begin{align} \frac{x^2 + y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1.\tag{D.142}\label{eq:allg_ellipse} \end{align} \]

Eine notwendige Bedingung hierfür ist, dass das Geopotential am Äquator dem am Pol entspricht, also

\[ \begin{align} - \frac{GM}{a} - \frac{GM}{a}\left[\frac{\epsilon}{5} + \frac{m}{2}\right] &= \frac{GM}{c}\left[\frac{3a^2\epsilon}{5c^2} + \frac{mc^3}{2a^3} - 1\right] - \frac{GM}{a}\left[\frac{\epsilon a^3}{5c^3} + \frac{mc^2}{2a^2}\right]\nonumber\\ \Leftrightarrow 1 + \frac{\epsilon}{5} + \frac{m}{2} &= -\frac{3a^3}{5c^3}\epsilon - \frac{mc^2}{2a^2} + \frac{a}{c} + \frac{\epsilon a^3}{5c^3} + \frac{mc^2}{2a^2}\nonumber\\ \Leftrightarrow 1 + \frac{\epsilon}{5} + \frac{m}{2} &= -\frac{2a^3}{5c^3}\epsilon + \frac{1}{1 - \epsilon}\nonumber\\ \Leftrightarrow - \epsilon + \left(1 - \epsilon\right)\left(\frac{\epsilon}{5} + \frac{m}{2}\right) &= -\left(1 - \epsilon\right)\frac{2a^3}{5c^3}\epsilon = -\epsilon\left(1 - \epsilon\right)\frac{2}{5}\left(1 - \epsilon\right)^3. \end{align} \]

Vernachlässigt man hier alle wieder alle Terme $\mathcal{O}\left(\epsilon^2\right)$ und auch $\mathcal{O}\left(\epsilon m\right)$, erhält man

\[ \begin{align} - \epsilon + \frac{\epsilon}{5} + \frac{m}{2} &= -\epsilon\frac{2}{5}\Leftrightarrow \frac{m}{2} = \epsilon\frac{2}{5}. \end{align} \]

Es gilt also im Gleichgewichtsfall

\[ \begin{align} \epsilon = \epsilon\left(m\right) = \frac{5m}{4}. \end{align} \]

Bei gegebener großer Halbachse ist die kleine Halbachse $c$ festgelegt:

\[ \begin{align} c = a\left(1 - \epsilon\left(m\right)\right) = a\left(1 - \frac{5m}{4}\right). \end{align} \]

Man nutzt

\[ \begin{align} \frac{3\epsilon}{5} = \epsilon - \frac{2}{5}\epsilon = \epsilon - \frac{m}{2} = \frac{2\epsilon - m}{2} \end{align} \]

aus, um den Ausdruck für das Schwerepotential zu vereinfachen:

Dies ist die Formel mit der von nun an gearbeitet wird. Da sie erster Ordnung in $\epsilon$ und $m$ ist, werden alle noch folgenden Approximationen ebenfalls nur in erster Ordnung in $\epsilon$ und $m$ gemacht.

D.3.3 Forderungen an nicht-kugelförmige Koordinaten

Für die Entwicklung eines meteorologischen Koordinatensystems ist es praktisch, wenn die Flächen gleicher Vertikalkoordinate Äquipotentialflächen im Schwerefeld sind (s. Abschn. 13.2). Es wird erwartet, dass es außerdem vorteilhaft ist, wenn diese Flächen ellipsoidisch sind. Für die Entwicklung eines nicht-kugelförmigen Koordinatensystems ist es außerdem wichtig, die zu allen Potentialflächen senkrechten Trajektorien in Termen der Grundfunktionen angeben zu können. Außerdem muss die verwendete Approximation des Geopotentials möglichst konsistent mit der realen Physik sein und gleichzeitig analytisch behandelbar. Damit ist gemeint, dass sich wieder das korrekte Clairaut-Verhältnis ergibt, und dass gilt $c = a\left(1 - \epsilon\right)$.

Die Forderungen an eine Approximation des Schwerefeldes sind also:

1. Möglichkeit der analytischen Angabe der senkrechten Trajektorien
2. ellipsoidische Konturflächen
3. korrektes Clairaut-Verhältnis
4. korrektes Halbachsen-Verhältnis

D.3.4 Ellipsoidische Approximation des Schwerefeldes

Es stellt sich also zunächst die Frage, ob alle Konturflächen von Glg. (D.148) Ellipsoide sind. Für die Oberfläche der Erde (ohne Orographie) wurde dies in erster Ordnung in $\epsilon$ und $m$ durch $\epsilon = \frac{5}{4}m$ bereits sichergestellt. Mit $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ kann man sich einen Ausdruck für den Abstand $r$ vom Mittelpunkt eines Rotationsellipsoiden mit großer Halbachse $A$ und kleiner Halbachse $C$ als Funktion des geozentrischen Winkels $\chi$ bei gegebener Exzentrizität herleiten:

\[ \begin{align} 1 = \frac{r^2\cos^2\left(\chi\right)}{A^2} + \frac{r^2\sin^2\left(\chi\right)}{C^2} &= \frac{r^2}{A^2}\left(\cos^2\left(\chi\right) + A^2\frac{\sin^2\left(\chi\right)}{C^2}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow r\left(\chi\right) &= A\left[\cos^2\left(\chi\right) + A^2\frac{\sin^2\left(\chi\right)}{C^2}\right]^{-1/2}\tag{D.149}\label{eq:defellipse_1} \end{align} \]

Mit $A = a$, $C = c = a\left(1 - \epsilon\right)$ folgt

Glg. (D.148) ist nicht von dieser Form: Hält man die linke Seite der Gleichung konstant und multipliziert mit $r^3$, so entsteht ein Polynom fünften Grades in $r$, welches im Allgemeinen nur numerisch gelöst werden kann.

Man muss also eine ellipsoidische Approximation von Glg. (D.148) finden. Die nun folgende Diskussion basiert auf [staniforth]. Zunächst einmal macht man sich klar, wie man eine bestimmte Geopotentialfläche bezeichnen kann. Hierzu bietet sich der äquatoriale Radius $R$ der Fläche an. Für ihn gilt

\[ \begin{align} \phi_R = -\frac{GM}{R}\left[1 + \left(\frac{2\epsilon - m}{6}\right)\frac{a^2}{R^2} + \frac{m}{2}\frac{R^3}{a^3}\right]. \end{align} \]

Will man diese Fläche nun genauer angeben, also ihren Abstand $r = r\left(\chi\right)$ vom Erdmittelpunkt bei einer geozentrischen Breite $\phi$ angeben, schreibt man einfach

\[ \begin{align} \frac{1}{R}\left[1 + \left(\frac{2\epsilon - m}{6}\right)\frac{a^2}{R^2} + \frac{m}{2}\frac{R^3}{a^3}\right] &= \frac{1}{r}\left[1 - \left\{\left(\frac{2\epsilon - m}{2}\right)\frac{a^2}{r^2} + \frac{m}{2}\frac{r^3}{a^3}\right\}\sin^2\left(\chi\right)\right]\nonumber\\ & + \frac{1}{a}\left\{\left(\frac{2\epsilon - m}{6}\right)\frac{a^3}{r^3} + \frac{m}{2}\frac{r^2}{a^2}\right\}. \end{align} \]

Nun macht man die Annahme, dass gilt

\[ \begin{align} \frac{r}{R} = 1 + \frac{r - R}{R} = 1 + \mathcal{O}\left(\epsilon\right), \end{align} \]

Es gilt nämlich

\[ \begin{align} \frac{r - R}{R} \lesssim \frac{c - a}{a} = -\epsilon, \end{align} \]

zumindest innerhalb der wetterrelevanten Atmosphäre. Man kann nun zunächst schreiben

\[ \begin{align} \phi_g\left(r, \chi\right) &= -\frac{GM}{r} + \frac{GM}{R}\frac{1}{r/R}\left[\left(\frac{2\epsilon - m}{2}\right)\frac{a^2}{R^2}\frac{R^2}{r^2} + \frac{m}{2}\frac{R^3}{a^3}\frac{r^3}{R^3}\right]\sin^2\left(\chi\right)\nonumber\\ & - \frac{GM}{a}\left[\left(\frac{2\epsilon - m}{6}\right)\frac{a^3}{R^3}\frac{R^3}{r^3} + \frac{m}{2}\frac{R^2}{a^2}\frac{r^2}{R^2}\right]\nonumber\\ &= -\frac{GM}{r} + \frac{GM}{R}\left(1 + \frac{r - R}{R}\right)^{-1}\bigg[\left(\frac{2\epsilon - m}{2}\right)\frac{a^2}{R^2}\left(1 + \frac{r - R}{R}\right)^{-2}\nonumber\\ & + \frac{m}{2}\frac{R^3}{a^3}\left(1 + \frac{r - R}{R}\right)^{3}\bigg]\sin^2\left(\chi\right) - \frac{GM}{a}\bigg[\left(\frac{2\epsilon - m}{6}\right)\frac{a^3}{R^3}\left(1 + \frac{r - R}{R}\right)^{-3}\nonumber\\ & + \frac{m}{2}\frac{R^2}{a^2}\left(1 + \frac{r - R}{R}\right)^{2}\bigg].\tag{D.155}\label{eq:schwere_approx_1} \end{align} \]

Indem man Terme $\mathcal{O}\left(\epsilon^2, m^2, \epsilon m\right)$ vernachlässigt wird dies zunächst zu

\[ \begin{align} \phi_g\left(\chi, R\right) &= -\frac{GM}{r\left(\chi, R\right)} + \frac{GM}{R}\left[1 + \left\{\left(\frac{2\epsilon - m}{2}\right)\frac{a^2}{R^2} + \frac{m}{2}\frac{R^3}{a^3}\right\}\sin^2\left(\chi\right)\right]\nonumber\\ & - \frac{GM}{R}\left[1 + \left(\frac{2\epsilon - m}{6}\right)\frac{a^2}{R^2} + \frac{m}{2}\frac{R^3}{a^3}\right] + \mathcal{O}\left(\epsilon^2, m^2, \epsilon m\right) \end{align} \]

und dann weiter zu

\[ \begin{align} \phi_g\left(\chi, R\right) &\approx -\frac{GM}{r\left(\chi, R\right)} + \frac{GM}{R}\left[1 + \left\{\left(2\epsilon - m\right)\frac{a^2}{R^2} + m\frac{R^3}{a^3}\right\}\sin^2\left(\chi\right)\right]^{1/2}\nonumber\\ & - \frac{GM}{R}\left[1 + \left(\frac{2\epsilon - m}{6}\right)\frac{a^2}{R^2} + \frac{m}{2}\frac{R^3}{a^3}\right]. \end{align} \]

Die Konturflächen hiervon sind bereits Ellipsoide. Um dies zu zeigen, bestimmt man den geozentrischen Abstand $r$ als Funktion der Breite bei gegebenem äquatorialem Radius $R$:

\[ \begin{align} & -\frac{GM}{R} + \frac{GM}{R} - \frac{GM}{R} - \frac{GM}{R}\left[\left(\frac{2\epsilon - m}{6}\right)\frac{a^2}{R^2} + \frac{m}{2}\frac{R^3}{a^3}\right]\nonumber\\ &= -\frac{GM}{r} + \frac{GM}{R}\left[1 + \left\{\left(2\epsilon - m\right)\frac{a^2}{R^2} + m\frac{R^3}{a^3}\right\}\sin^2\left(\chi\right)\right]^{1/2} - \frac{GM}{R} - \frac{GM}{R}\left[\left(\frac{2\epsilon - m}{6}\right)\frac{a^2}{R^2} + \frac{m}{2}\frac{R^3}{a^3}\right]\nonumber\\ \Leftrightarrow 1 &= \frac{R}{r} - \left[1 + \sin^2\left(\chi\right)\left\{\left(2\epsilon - m\right)\frac{a^2}{R^2} + m\frac{R^3}{a^3}\right\}\right]^{1/2} + 1\nonumber\\ \Leftrightarrow r &= R\frac{1}{\left[1 + \sin^2\left(\chi\right)\left\{\left(2\epsilon - m\right)\frac{a^2}{R^2} + m\frac{R^3}{a^3}\right\}\right]^{1/2}}\nonumber\\ \Leftrightarrow r\left(R, \chi\right) &= R\left[\cos^2\left(\chi\right) + \sin^2\left(\chi\right)\left\{\left(2\epsilon - m\right)\frac{a^2}{R^2} + m\frac{R^3}{a^3} + 1\right\}\right]^{-1/2} \end{align} \]

Setzt man $R = A$ und $C = A\left\{\left(2\epsilon - m\right)\frac{a^2}{R^2} + m\frac{R^3}{a^3} + 1\right\}^{-1/2}$ in Glg. (D.149) ein erhält man genau dieses Resultat. Leider sind die zu den Konturmengen dieses Potentials orthogonalen Trajektorien nicht analytisch bestimmbar, sodass man Glg. (D.155) weiter approximieren muss. Hierzu entwickelt man die Terme $\frac{a^2}{R^2}$ und $\frac{R^3}{a^3}$ um $R^2 = a^2$: Wegen $\frac{R - a}{a}\lesssim 10^{-2}$ ist dies gerechtfertigt.

\[ \begin{align} \frac{a^2}{R^2} &\approx 1 - \frac{1}{a^2}\left(R^2 - a^2\right) = 2 - \frac{R^2}{a^2},\\ \frac{R^3}{a^3} = \frac{\left(R^2\right)^{3/2}}{a^3} &\approx 1 + \frac{3}{2}\frac{R^2 - a^2}{a^2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\frac{R^2}{a^2} \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (D.155) ein, erhält man

\[ \begin{align} \phi_g\left(\chi, R\right) &\approx -\frac{GM}{r\left(\chi, R\right)} + \frac{GM}{R}\left[1 + \left\{\left(\frac{8\epsilon - 5m}{2}\right) + \left(\frac{5m - 4\epsilon}{2}\right)\frac{R^2}{a^2}\right\}\sin^2\left(\chi\right)\right]^{1/2}\nonumber\\ & - \frac{GM}{R}\left[1 + \left(\frac{8\epsilon - 7m}{12}\right) + \left(\frac{11m - 4\epsilon}{12}\right)\frac{R^2}{a^2}\right]. \end{align} \]

Dies führt auf

\[ \begin{align} r\left(\chi, R\right) = R\left[\cos^2\left(\chi\right) + \sin^2\left(\chi\right)\left\{\left(\frac{8\epsilon - 5m}{2}\right) + \left(\frac{5m - 4\epsilon}{2}\right)\frac{R^2}{a^2} + 1\right\}\right]^{-1/2}, \tag{D.162}\label{eq:schwere_approx_2_parameter} \end{align} \]

mit Glg. (D.149) wird dies zu

\[ \begin{align} C = R\left\{1 + \left(\frac{8\epsilon - 5m}{2}\right) + \left(\frac{5m - 4\epsilon}{2}\right)\frac{R^2}{a^2}\right\}^{-1/2}. \end{align} \]

Hier tritt jedoch ein Problem mit der Selbstkonsistenz auf. Setzt man $R = a$ in Glg. (D.162) ein, erhält man

\[ \begin{align} r\left(\chi, a\right) = a\left[1 + 2\epsilon\sin^2\left(\chi\right)\right]^{-1/2}. \end{align} \]

Dieser Ausdruck beschreibt die Erdoberfläche ohne Orographie. Man erhält

\[ \begin{align} r\left(0, a\right) = a, & {} & r\left(\pi/2, a\right) = a\frac{1}{\sqrt{1 + 2\epsilon}}. \end{align} \]

Mit

\[ \begin{align} \frac{d}{d\epsilon}\frac{1}{\sqrt{1 + 2\epsilon}} = -\frac{1}{\left(1 + 2\epsilon\right)^{3/2}} \end{align} \]

folgt

\[ \begin{align} r\left(\pi/2\right) = a - a\epsilon + \mathcal{O}\left(\epsilon^2\right)\approx a\left(1 - \epsilon\right), \end{align} \]

also nicht das gewünschte exakte Resultat $r\left(\pi/2\right) = a\left(1 - \epsilon\right)$. Um dieses Problem zu lösen, definiere

\[ \begin{align} \newtilde{\epsilon} \coloneqq \frac{a^2 - c^2}{2c^2} = \frac{1 - \left(1 - \epsilon\right)^2}{2\left(1 - \epsilon\right)^2}. \end{align} \]

Definiere die Hilfsfunktion $f\left(\epsilon\right)$ durch

\[ \begin{align} f\left(\epsilon\right) \coloneqq \frac{1 - \left(1 - \epsilon\right)^2}{2\left(1 - \epsilon\right)^2}, \end{align} \]

dann gilt

\[ \begin{align} f'\left(\epsilon\right) = \frac{4\left(1 - \epsilon\right)^3 - \left[1 - \left(1 - \epsilon\right)^2\right]2\left(1 - \epsilon\right)^2}{4\left(1 - \epsilon\right)^4} \Rightarrow f'\left(0\right) = 1. \end{align} \]

Also ist

\[ \begin{align} \newtilde{\epsilon} = \epsilon + \mathcal{O}\left(\epsilon^2\right). \end{align} \]

Somit kann man in erster Ordnung überall $\epsilon$ durch $\newtilde{\epsilon}$ ersetzen. Man erhält

\[ \begin{align} \phi_g\left(\chi, R\right) &\approx -\frac{GM}{r\left(\chi, R\right)} + \frac{GM}{R}\left[1 + \left\{\left(\frac{8\newtilde{\epsilon} - 5m}{2}\right) + \left(\frac{5m - 4\newtilde{\epsilon}}{2}\right)\frac{R^2}{a^2}\right\}\sin^2\left(\chi\right)\right]^{1/2}\nonumber\\ & - \frac{GM}{R}\left[1 + \left(\frac{8\newtilde{\epsilon} - 7m}{12}\right) + \left(\frac{11m - 4\newtilde{\epsilon}}{12}\right)\frac{R^2}{a^2}\right].\tag{D.172}\label{eq:schwere_approx} \end{align} \]

Mit dieser Formel erhält man ebenfalls ellipsoidische Konturflächen,

und außerdem

\[ \begin{align} r\left(\chi, a\right) &= a\left[1 + 2\newtilde{\epsilon}\sin^2\left(\chi\right)\right]^{-1/2} = a\left(1 - \epsilon\right)\left[\left(1 - \epsilon\right)^2 + \left(1 - \left(1 - \epsilon\right)^2\right)\sin^2\left(\chi\right)\right]^{-1/2}. \end{align} \]

Dies ist das gewünschte Resultat, s. Glg. (D.150).

Der Satz von Clairaut ist eine Aussage über den Zusammenhang von Exzentrizität $\epsilon$, Winkelgeschwindigkeit $\omega$ und Verhältnis der Schweren $g_a, g_p$ am Äquator und Pol. Am Pol gilt für das Geopotential $\phi_g = \phi_g^{(p)}$ mit Glg. (D.148)

\[ \begin{align} \phi_g^{(p)} = -\frac{GM}{r} + \frac{GM}{r^3}a^2\left(\frac{2\epsilon - m}{3}\right), \end{align} \]

am Äquator gilt

\[ \begin{align} \phi_g^{(a)} = -\frac{GM}{r} - \frac{GM}{a}\left\{\left(\frac{2\epsilon - m}{6}\right)\frac{a^3}{r^3} + \frac{m}{2}\frac{r^2}{a^2}\right\}. \end{align} \]

Somit gelten

\[ \begin{align} \frac{d\phi_g^{(a)}}{dr} &= \frac{GM}{r^2} - \frac{GM}{a}\left\{ - 3\left(\frac{2\epsilon - m}{6}\right)\frac{a^3}{r^4} + m\frac{r}{a^2}\right\},\\ \frac{d\phi_g^{(p)}}{dr} &= \frac{GM}{r^2} - 3\frac{GM}{r^4}a^2\left(\frac{2\epsilon - m}{3}\right). \end{align} \]

Daraus folgen mit $r = a$ bzw. $r = c = a\left(1 - \epsilon\right)$

\[ \begin{align} g_a &= \frac{GM}{a^2}\left[1 + \epsilon - 3\frac{m}{2}\right],\\ g_p &= \frac{GM}{a^2\left(1 - \epsilon\right)^2}\left[1 - \frac{2\epsilon}{\left(1 - \epsilon\right)^2} + \frac{m}{\left(1 - \epsilon\right)^2}\right]. \end{align} \]

Daraus folgt

\[ \begin{align} \frac{g_p - g_a}{g_a} &= \frac{\frac{1}{\left(1 - \epsilon\right)^2}\left[1 - \frac{2}{\left(1 - \epsilon\right)^2}\epsilon + \frac{m}{\left(1 - \epsilon\right)^2}\right] - 1 - \epsilon + 3\frac{m}{2}}{1 + \epsilon - 3\frac{m}{2}}\nonumber\\ &\approx \frac{1 - \frac{2}{\left(1 - \epsilon\right)^2}\epsilon + \frac{m}{\left(1 - \epsilon\right)^2} - 1 - \epsilon + 3\frac{m}{2} + 2\epsilon}{1 - \epsilon - 3\frac{m}{2}}, \end{align} \]

wobei wieder Terme $\mathcal{O}\left(\epsilon^2, \epsilon m, m^2\right)$ vernachlässigt wurden. Mit

\[ \begin{align} \frac{d}{d\epsilon}\frac{1}{\left(1 - \epsilon\right)^2} = \frac{2\left(1 - \epsilon\right)}{\left(1 - \epsilon\right)^4} = \frac{2}{\left(1 - \epsilon\right)^3} \end{align} \]

folgt

\[ \begin{align} \frac{1}{\left(1 - \epsilon\right)^2}\approx 1 + 2\epsilon \end{align} \]

und somit

\[ \begin{align} \frac{g_p - g_a}{g_a} &\approx&\frac{1 - 2\epsilon + m - 1 - \epsilon + 3\frac{m}{2} + 2\epsilon}{1 - \epsilon - \frac{3m}{2}} = \frac{\frac{5m}{2} - \epsilon}{1 - \epsilon - \frac{3m}{2}}. \end{align} \]

Setzt man hier $\epsilon\approx\frac{5m}{4}$ ein, erhält man

\[ \begin{align} \frac{g_p - g_a}{g_a} \approx m\frac{\frac{5}{4}}{1 - m\left(\frac{5}{4} - \frac{3}{2}\right)} = \frac{m}{4}\frac{5}{1 + \frac{m}{4}} = \frac{5m}{4 + m}. \end{align} \]

Definiere $f\left(m\right) \coloneqq \frac{5m}{4 + m}$, dann gilt

\[ \begin{align} \frac{df}{dm} = 5\frac{4 + m - m}{\left(4 + m\right)^2}, \end{align} \]

also

\[ \begin{align} \frac{df}{dm}\left(m = 0\right) = \frac{5}{4}. \end{align} \]

Damit folgt

\[ \begin{align} \frac{g_p - g_a}{g_a} \approx 5\frac{m}{4}.\tag{D.188}\label{eq:clairaut_deriv_1} \end{align} \]

Also gilt

Dies ist der Satz von Clairaut. Dies soll nun für Glg. (D.172) nachgerechnet werden. Alles, was man zeigen muss ist, dass Glg. (D.188) weiterhin gilt. Am Äquator gilt

\[ \begin{align} \phi_g^{(a)} = -\frac{GM}{r} - \frac{GMr}{a^2}\left[\left(\frac{8\newtilde{\epsilon} - 7m}{12}\right) + \left(\frac{11m - 4\newtilde{\epsilon}}{12}\right)\right]. \end{align} \]

Es folgt

\[ \begin{align} g_a = \frac{GM}{a^2}\left[1 + \left(\frac{8\newtilde{\epsilon} - 7m}{12}\right) + \left(\frac{11m - 4\newtilde{\epsilon}}{12}\right)\right]. \end{align} \]

Am Pol gilt

\[ \begin{align} \phi_g\left(\pi/2, R\right) &\approx -\frac{GM}{r\left(\pi/2, R\right)} + \frac{GM}{R}\left[1 + \left\{\left(\frac{8\newtilde{\epsilon} - 5m}{2}\right) + \left(\frac{5m - 4\newtilde{\epsilon}}{2}\right)\frac{R^2}{a^2}\right\}\right]^{1/2}\nonumber\\ & -\frac{GM}{R}\left[1 + \left(\frac{8\newtilde{\epsilon} - 7m}{12}\right) + \left(\frac{11m - 4\newtilde{\epsilon}}{12}\right)\frac{R^2}{a^2}\right]. \end{align} \]

Es folgt

\[ \begin{align} g_p &= \frac{d\phi_g}{dr} = \frac{\partial R}{\partial r}\frac{d\phi_g}{dR} = \frac{1}{\partial r/\partial R}\frac{d\phi_g}{dR} = \frac{1}{\partial r/\partial R}g_a. \end{align} \]

Für $dr/dR$ folgt mit Glg. (D.173)

\[ \begin{align} \frac{\partial r}{\partial R} &= \left[1 + \left\{\left(\frac{8\newtilde{\epsilon} - 5m}{2}\right) + \left(\frac{5m - 4\newtilde{\epsilon}}{2}\right)\frac{R^2}{a^2}\right\}\sin^2\left(\chi\right)\right]^{-1/2}\nonumber\\ & - \frac{R^2}{a^2}\left(\frac{5m - 4\newtilde{\epsilon}}{2}\right)\left[1 + \left\{\left(\frac{8\newtilde{\epsilon} - 5m}{2}\right) + \left(\frac{5m - 4\newtilde{\epsilon}}{2}\right)\frac{R^2}{a^2}\right\}\sin^2\left(\chi\right)\right]^{-3/2}. \end{align} \]

An der Stelle $\chi = \pi/2$, $R = a$ wird dies zu

\[ \begin{align} \frac{\partial r}{\partial R}\left(R = a, \chi = \pi/2\right) &= \left[1 + 2\newtilde{\epsilon}\right]^{-1/2} - \left(\frac{5m - 4\newtilde{\epsilon}}{2}\right)\left[1 + 2\newtilde{\epsilon}\right]^{-3/2}\nonumber\\ &= \left(1 + 2\newtilde{\epsilon}\right)^{-3/2}\left[1 + 4\newtilde{\epsilon} - 5\frac{m}{2}\right]. \end{align} \]

Also erhält man

\[ \begin{align} g_p = \frac{GM}{a^2}\left[1 + \left(\frac{8\newtilde{\epsilon} - 7m}{12}\right) + \left(\frac{11m - 4\newtilde{\epsilon}}{12}\right)\right]\left(1 + 2\newtilde{\epsilon}\right)^{3/2}\frac{1}{1 + 4\newtilde{\epsilon} - 5\frac{m}{2}}. \end{align} \]

Dies führt auf

\[ \begin{align} \frac{g_p - g_a}{g_a} &= \frac{\partial R}{\partial r} - 1 = \frac{\left(1 + 2\newtilde{\epsilon}\right)^{3/2}}{1 + 4\newtilde{\epsilon} - 5\frac{m}{2}} - 1. \end{align} \]

Definiere

\[ \begin{align} f\left(x, y\right) \coloneqq \frac{\left(1 + 2x\right)^{3/2}}{1 + 4x - 5\frac{y}{2}}, \end{align} \]

dann sind $f\left(0\right) = 1$ und

\[ \begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3\sqrt{1 + 2x}\left(1 + 4x - 5\frac{y}{2}\right) - \left(1 + 2x\right)^{3/2}4}{\left(1 + 4x - 5\frac{y}{2}\right)^2}, \end{align} \]

also

\[ \begin{align} \frac{\partial f}{\partial x}\left(0\right) = -1, \end{align} \]

sowie

\[ \begin{align} \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{5}{2}\left(1 + 2x\right)^{3/2}\frac{1}{\left(1 + 4x - 5\frac{y}{2}\right)^2}, \end{align} \]

also

\[ \begin{align} \frac{\partial f}{\partial y}\left(0\right) = \frac{5}{2}. \end{align} \]

Damit folgt

also ist mit Glg. (D.172) auch der Satz von Clairaut erfüllt. Als Anmerkung sei gesagt: Glg. (D.172) ist erster Ordnung genau in $\epsilon$ und $m$ und daher nicht besser oder schlechter als Glg. (D.148).

D.3.5 Senkrechte Trajektorien

Da sich horizontale Ableitungen in einem geeigneten geophysikalischen Koordinatensystem auf Äquipotentialflächen im Schwerefeld beziehen, sind vertikale Ableitungen (bei Orthogonalität des KS) senkrecht hierzu und daher in Richtung des Schwerefeldes ausgerichtet. Es ist also wichtig, diese Richtung zu kennen. Hierzu werden in diesem Abschnitt die zu den Äquipotentialflächen senkrechten Trajektorien ermittelt.

Glg. (D.173) beschreibt die Äquipotentialflächen im Schwerefeld, genauer ihren Abstand $r$ vom Erdmittelpunkt bei gegebenem Äquatorradius $R$ und geozentrischer Breite $\chi$. Diese Gleichung lautet:

\[ \begin{align} r\left(\chi, R\right) = R\left[1 + \sin^2\left(\chi\right)\left\{\mu + \nu \frac{R^2}{a^2}\right\}\right]^{-1/2} \end{align} \]

Hierbei wurde

\[ \begin{align} \mu \coloneqq \frac{8\newtilde{\epsilon} - 5m}{2}, \nu \coloneqq \frac{5m - 4\newtilde{\epsilon}}{2} \end{align} \]

definiert. Dies kann man umformen zu

\[ \begin{align} r\left(\chi, R\right) = \frac{RC\left(R\right)}{\sqrt{R^2\sin^2\left(\chi\right) + C^2\left(R\right)\cos^2\left(\chi\right)}}\tag{D.206}\label{eq:deriv_senkr_darst_pot_flaechen} \end{align} \]

mit

\[ \begin{align} C\left(R\right) \coloneqq R\frac{1}{\sqrt{1 + \mu + \nu \frac{R^2}{a^2}}}. \end{align} \]

Ellipsoide erfüllen

\[ \begin{align} \frac{r^2\cos^2\left(\chi\right)}{R^2} + \frac{r^2\sin^2\left(\chi\right)}{c^2} = 1 \end{align} \]

mit großer Halbachse $R$ und kleiner Halbachse $c$. Setzt man hier Glg. (D.206) ein, erhält man

\[ \begin{align} \frac{1}{R^2}\frac{R^2C^2\cos^2\left(\chi\right)}{R^2\sin^2\left(\chi\right) + C^2\cos^2\left(\chi\right)} + \frac{1}{c^2}\frac{R^2C^2\sin^2\left(\chi\right)}{R^2\sin^2\left(\chi\right) + C^2\cos^2\left(\chi\right)}\hastobe1. \end{align} \]

Man sieht, dass dies für $c = C$ erfüllt ist. $C$ ist also die kleine Halbachse der Äquipotentialflächen.

Da ein Ellipsoid rotationssymmetrisch ist, reicht es zunächst, die senkrechten Trajektorien in der Meridianebene $\lambda = 0$ zu ermitteln. Hier kann man einfach Ellipsen betrachten, diese erfüllen

\[ \begin{align} \frac{x^2}{R^2} + \frac{z^2}{C^2} = 1.\tag{D.210}\label{eq:deriv_senkr_ellipse_2d} \end{align} \]

Setzt man hier die Definition von $C$ ein, folgt

\[ \begin{align} x^2 + \left(1 + \mu + \nu \frac{R^2}{a^2}\right)z^2 = R^2.\tag{D.211}\label{eq:great_senkr_traj_deriv_1} \end{align} \]

Stellt man dies nach $R^2$ um, erhält man

\[ \begin{align} R^2 = \frac{x^2 + \left(1 + \mu\right)z^2}{1 - \nu\frac{z^2}{a^2}}.\tag{D.212}\label{eq:great_senkr_traj_deriv_5} \end{align} \]

Weiterhin folgt hieraus

\[ \begin{align} 1 + \mu + \nu\frac{x^2}{a^2} &= 1 + \mu + \frac{x^2}{z^2} - \frac{x^2}{z^2} + \nu\frac{x^2}{a^2} = R^2\frac{1}{z^2}\left(1 - \nu\frac{z^2}{a^2}\right) - \frac{x^2}{z^2}\left(1 - \nu\frac{z^2}{a^2}\right)\nonumber\\ &= \left(1 - \nu\frac{z^2}{a^2}\right)\frac{R^2 - x^2}{z^2} = \left(1 - \nu\frac{z^2}{a^2}\right)\left(1 + \mu + \nu\frac{R^2}{a^2}\right).\tag{D.213}\label{eq:great_senkr_traj_deriv_4} \end{align} \]

Bei festem $R$ kann in einem Halbraum die Koordinate $z$ einer Ellipse als Funktion von $x$ aufgefasst werden. Diese Funktion $z\left(x\right)$ erfüllt Glg. (D.210). Differenzieren dieser Gleichung nach $x$ ergibt

\[ \begin{align} \frac{dz}{dx} = -\frac{C^2}{R^2}\frac{x}{z}. \end{align} \]

Dies ist eine Richtungsableitung entlang der Potentialfläche. Geometrisch ist klar, dass für die lokale Senkrechte zur Potentialfläche gilt

\[ \begin{align} \frac{dz}{dx} = \frac{R^2}{C^2}\frac{z}{x}. \end{align} \]

Mit der Definition von $C$ folgt

\[ \begin{align} \frac{R^2}{C^2} = 1 + \mu + \nu\frac{R^2}{a^2}, \end{align} \]

somit gilt

\[ \begin{align} \frac{dz}{dx} = \left(1 + \mu + \nu\frac{R^2}{a^2}\right)\frac{z}{x} = \frac{1 + \mu + \nu\frac{x^2}{a^2}}{1 - \nu\frac{z^2}{a^2}}\frac{z}{x}. \end{align} \]

Dies kann man über das in Abschn. A.7 vorgestellte Verfahren der Trennung der Variablen lösen. $z\left(x\right)$ ist bijektiv, somit sind die Voraussetzungen erfüllt. Zunächst rechnet man

\[ \begin{align} \left(1 - \nu\frac{z^2}{a^2}\right)\frac{dz}{dx} &= \frac{z}{x}\left(1 + \mu + \nu \frac{x^2}{a^2}\right)\Leftrightarrow\left(\frac{1}{z} - \nu\frac{z}{a^2}\right)\frac{dz}{dx} = \frac{1 + \mu}{x} + \nu \frac{x}{a^2}. \end{align} \]

Also folgt

\[ \begin{align} \int_{}^{}\frac{1}{z} - \nu\frac{z}{a^2}dz &= \int_{}^{}\frac{1 + \mu}{x} + \nu \frac{x}{a^2}dx\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{1}{a}\int_{}^{}\frac{a}{z} - \nu\frac{z}{a}d\left(\frac{z}{a}\right) &= \frac{1}{a}\int_{}^{}\left(1 + \mu\right)\frac{a}{x} + \nu \frac{x}{a}d\left(\frac{x}{a}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow \ln\frac{z}{a} - \frac{\nu}{2}\frac{z^2}{a^2} &= D' + \left(1 + \mu\right)\ln\left(\frac{x}{a}\right) + \frac{\nu}{2a^2}x^2\nonumber\\ \Leftrightarrow \frac{z}{a} &= \exp\left( D' + \left(1 + \mu\right)\ln\left(\frac{x}{a}\right) + \frac{\nu}{2a^2}x^2 + \frac{\nu}{2}\frac{z^2}{a^2}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow z &= aD\left(\frac{x}{a}\right)^{1 + \mu}\exp\left[\frac{\nu}{2a^2}\left(x^2 + z^2\right)\right]\tag{D.219}\label{eq:great_senkr_traj_deriv_2} \end{align} \]

mit einer Integrationskonstanten $D \coloneqq \exp\left(D'\right)>0$ mit $D'\in\mathbb{R}$. Für ein gegebenes $x$ kann man durch Lösen dieser Gleichung dasjenige $z$ finden, welches auf der gesuchten orthogonalen Trajektorie liegt. Um welche Trajektorie es sich dabei handelt, wird durch die Zahl $D$ festgelegt, $D$ ist also eine Funktion einer Breite $\varphi$, es ist $D = D\left(\varphi\right)$. Die genaue Form dieser Funktion $D = D\left(\varphi\right)$ ist Konvention. Hier wird sie festgelegt durch den Schnittpunkt der Trajektorie mit dem WGS 84. Sei $\left(x_S, z_S\right)^T$ dieser Schnittpunkt. Dann gilt

\[ \begin{align} \left|z_S\right| &= aD\left(\frac{x_S}{a}\right)^{1 + \mu}\exp\left[\frac{\nu}{2a^2}\left(x_S^2 + z_S^2\right)\right]\nonumber\\ \Rightarrow D &= \frac{\left|z_S\right|}{a}\left(\frac{a}{x_S}\right)^{1 + \mu}\exp\left[-\frac{\nu}{2a^2}\left(x_S^2 + z_S^2\right)\right].\tag{D.220}\label{eq:great_senkr_traj_deriv_3} \end{align} \]

Somit legt folgende Gleichung die gesuchten senkrechten Trajektorien fest:

D.4 Great-Koordinaten

Die Great-Koordinaten werden in [staniforth] beschrieben. Sie eignen sich, um Differenzialoperatoren in ellipsoidischen Geometrien auszudrücken. Außerdem sind sie orthogonal.

Zunächst werden alle Längen auf die große Halbachse der Erde $a$ skaliert:

\[ \begin{align} \frac{x}{a} \to x, & {} & \frac{y}{a} \to y, & {} & \frac{z}{a} \to z, & {} & \frac{R}{a} \to R\tag{D.222}\label{eq:great_skal} \end{align} \]

Glg. (D.221) lautet dann

D.4.1 Vertikalkoordinate

In Kugelkoordinaten bezeichnet die radiale Koordinate $r$ eine Kugeloberfläche. In Great-Koordinaten bezeichnet die Radialkoordinate $R$ ein bestimmtes Ellipsoid, $R$ wurde bereits als Äquatorradius des entsprechenden Ellipsoids eingeführt. Dies ist die Vertikalkoordinate im Great-System.

D.4.2 Zonale Koordinate

Die zonale Koordinate $\lambda$ eines Ortes $\mathbf{r}$ ist der Winkel, um den man die xz-Ebene um die z-Achse drehen muss, bis $\mathbf{r}$ in dieser Ebene liegt. Dies ist analog zum Azimuthwinkel in gewöhnlichen Kugelkoordinaten.

D.4.3 Meridionale Koordinate

Um die Konsistenz mit Messdaten zu gewährleisten, wird als meridionale Koordinate die geographische Breite $\varphi$ gewählt. Die geographische Breite eines Punktes $\mathbf{r}$ außerhalb der Erde findet man wie folgt:

• Finde die senkrechte Trajektorie, auf der $\mathbf{r}$ liegt.
• Verfolge diese senkrechte Trajektorie bis zu ihrem Schnittpunkt $\mathbf{r}_s$ mit dem WGS 84.
• Finde die Lotrichtung $\mathbf{s}$ auf das WGS 84 am Punkt $\mathbf{r}_s$ und bilde die Gerade $\mathbf{g} = \mathbf{r}_s + \gamma\mathbf{s}$ mit $\gamma\in\mathbb{R}$.
• Verfolge die Gerade $\mathbf{g}$ bis zu ihrem Schnittpunkt $\mathbf{r}_0$ mit der xy-Ebene der globalen Koordinaten. Der Winkel, den $\mathbf{r}_0$ mit der xy-Ebene einschließt, ist die geographische Breite $\varphi$.

D.4.4 Metrischer Tensor

Um die herrschenden Gleichungen in Great-Koordinaten ausdrücken zu können, müssen die Differenzialoperatoren durch partielle Ableitungen nach $\varphi, \lambda, R$ ausgedrückt werden. Hierzu muss zunächst einige Vorarbeit geleistet werden. Sei also ein Punkt $\mathbf{r} = \left(x, y, z\right)^T$ in globalen Koordinaten gegeben, $\mathbf{r}$ habe die Great-Koordinaten $\left(R, \varphi, \lambda\right)$. Die Transformation sämtlicher Differenzialoperatoren beruht auf den metrischen Faktoren $h_\lambda, h_\varphi, h_R>0$, definiert durch

\[ \begin{align} h_\lambda^2 &= \left(\frac{\partial x}{\partial\lambda}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial\lambda}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial\lambda}\right)^2,\\ h_\varphi^2 &= \left(\frac{\partial x}{\partial\varphi}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial\varphi}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial\varphi}\right)^2,\\ h_R^2 &= \left(\frac{\partial x}{\partial R}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial R}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial R}\right)^2. \end{align} \]

Um $h_R$ und $h_\varphi$ zu bestimmen, genügt eine Betrachtung in der Meridionalebene $\lambda = 0$. Wendet man die Umskalierungen Glg.en (D.222) - (D.222) auf die Gleichungen (D.211) und (D.219) an, erhält man

\[ \begin{align} x^2 + \left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2 &= R^2, \tag{D.227}\label{eq:great_deriv_1}\\ z &= D\left(\varphi\right)x^{1 + \mu}\exp\left[\frac{\nu}{2}\left(x^2 + z^2\right)\right].\tag{D.228}\label{eq:great_deriv_2} \end{align} \]

Logarithmiert man dies, erhält man

\[ \begin{align} \ln\left(z^2\right) &= \ln\left(R^2 - x^2\right) - \ln\left(1 + \mu + \nu R^2\right), \tag{D.229}\label{eq:great_deriv_3}\\ \ln\left(z\right) &= \ln\left[D\left(\varphi\right)\right] + \left(1 + \mu\right)\ln\left(x\right) + \frac{\nu}{2}\left(x^2 + z^2\right)\tag{D.230}\label{eq:great_deriv_4}. \end{align} \]

$D\left(\varphi\right)$ ergibt sich aus Glg. (D.220), die umskaliert lautet

\[ \begin{align} D\left(\varphi\right) = \frac{\left|z_S\left(\varphi\right)\right|}{x_S\left(\varphi\right)^{1 + \mu}}\exp\left[-\frac{\nu}{2}\left(x_S\left(\varphi\right)^2 + z_S\left(\varphi\right)^2\right)\right].\tag{D.231}\label{eq:great_deriv_5} \end{align} \]

Nun differenziert man Glg (D.231) partiell nach $R$:

\[ \begin{align} \frac{2}{z}\frac{\partial z}{\partial R} &= -\frac{\partial x}{\partial R}2x\frac{1}{R^2 - x^2} + 2R\frac{1}{R^2 - x^2} - 2\nu R\frac{1}{1 + \mu + \nu R^2}\nonumber\\ \Leftrightarrow \left(1 + \mu + \nu R^2\right)z\frac{\partial z}{\partial R} &= -\frac{\partial x}{\partial R}\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\frac{xz^2}{R^2 - x^2} + \left(1 + \mu + \nu R^2\right)\frac{Rz^2}{R^2 - x^2} - \nu Rz^2. \end{align} \]

Setzt man hier Glg. (D.227) ein, erhält man

\[ \begin{align} \left(1 + \mu + \nu R^2\right)z\frac{\partial z}{\partial R} + x\frac{\partial x}{\partial R} &= R\left(1 - \nu z^2\right).\tag{D.233}\label{eq:great_deriv_6} \end{align} \]

Differenziert man Glg. (D.230) partiell nach $R$, erhält man:

\[ \begin{align} \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial R} &= \left(1 + \mu\right)\frac{1}{x}\frac{\partial x}{\partial R} + \nu\left(x\frac{\partial x}{\partial R} + z\frac{\partial z}{\partial R}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow \left(1 + \mu\right)\frac{1}{x}\frac{\partial x}{\partial R} - \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial R} &= -\nu\left(x\frac{\partial x}{\partial R} + z\frac{\partial z}{\partial R}\right)\nonumber\\ \Leftrightarrow\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\frac{1}{x}\frac{\partial x}{\partial R} - \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial R} &= -\nu\left(x\frac{\partial x}{\partial R} + z\frac{\partial z}{\partial R}\right) + \nu R^2\frac{1}{x}\frac{\partial x}{\partial R}\nonumber\\ \Leftrightarrow\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\frac{1}{x}\frac{\partial x}{\partial R} - \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial R} &= \frac{\nu}{x}\frac{\partial x}{\partial R}\left(R^2 - x^2\right) - \nu z\frac{\partial z}{\partial R}. \end{align} \]

Setzt man hier Glg. (D.227) ein, erhält man

\[ \begin{align} \Leftrightarrow\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\frac{1}{x}\frac{\partial x}{\partial R} - \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial R} &= \frac{\nu}{x}\frac{\partial x}{\partial R}\left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2 - \nu z\frac{\partial z}{\partial R}\nonumber\\ \Leftrightarrow\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\frac{1}{x}\frac{\partial x}{\partial R} - \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial R} &= \nu z^2\left[\frac{1}{x}\frac{\partial x}{\partial R}\left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2 - \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial R}\right]\nonumber\\ \Leftrightarrow\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\frac{1}{x}\frac{\partial x}{\partial R} - \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial R} &= 0. \end{align} \]

Stellt man dies nach $\frac{\partial z}{\partial R}$ um, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial z}{\partial R} = \frac{z}{x}\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\frac{\partial x}{\partial R}.\tag{D.236}\label{eq:great_deriv_7} \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (D.233) ein, erhält man

\[ \begin{align} & \left(1 + \mu + \nu R^2\right)^2\frac{z^2}{x}\frac{\partial x}{\partial R} + x\frac{\partial x}{\partial R} = R\left(1 - \nu z^2\right)\nonumber\\ &\Leftrightarrow x\frac{\partial x}{\partial R}\left[1 + \frac{z^2}{x^2}\left(1 + \mu + \nu R^2\right)^2\right] = R\left(1 - \nu z^2\right)\nonumber\\ &\Leftrightarrow\frac{\partial x}{\partial R} = \frac{R\left(1 - \nu z^2\right)x^2}{x\left[x^2 + z^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)^2\right]}\nonumber\\ &\Leftrightarrow\frac{\partial x}{\partial R} = \frac{R\left(1 - \nu z^2\right)\left(R^2 - \left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2\right)}{x\left[R^2 - \left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2 + z^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)^2\right]}\nonumber\\ &\Leftrightarrow\frac{\partial x}{\partial R} = \frac{R\left(1 - \nu z^2\right)\left(R^2 - \left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2\right)}{x\left[R^2 + z^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\left(\mu + \nu R^2\right)\right]}.\tag{D.237}\label{eq:great_deriv_8} \end{align} \]

Dabei wurde wieder Glg. (D.227) verwendet. Setzt man Glg. (D.237) in Glg. (D.236) ein und verwendet wieder Glg. (D.229), folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial z}{\partial R} &= \frac{zR\left(1 - \nu z^2\right)\left(1 + \mu + \nu R^2\right)}{R^2 + z^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\left(\mu + \nu R^2\right)}.\tag{D.238}\label{eq:great_deriv_9} \end{align} \]

Man erhält also mit Glg. (D.227)

\[ \begin{align} h_R &= \sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial R}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial R}\right)^2} = \frac{R\left(1 - \nu z^2\right)\sqrt{z^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)^2 + x^2}}{R^2 + z^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\left(\mu + \nu R^2\right)}\nonumber \end{align} \]

Nun differenziert man Glg. (D.229) partiell nach $\varphi$:

\[ \begin{align} \frac{2}{z}\frac{\partial z}{\partial\varphi} &= -2x\frac{\frac{\partial x}{\partial\varphi}}{R^2 - x^2}\Leftrightarrow\frac{R^2 - x^2}{z}\frac{\partial z}{\partial\varphi} = -x\frac{\partial x}{\partial\varphi}. \end{align} \]

Setzt man hier wiederum Glg. (D.227) ein, erhält man

\[ \begin{align} \left(1 + \mu + \nu R^2\right)z\frac{\partial z}{\partial\varphi} + x\frac{\partial x}{\partial\varphi} &= 0.\tag{D.241}\label{eq:great_deriv_10} \end{align} \]

Verfährt man analog mit Glg. (D.230), erhält man

\[ \begin{align} & \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial\varphi} = \frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi} + \frac{1 + \mu}{x}\frac{\partial x}{\partial\varphi} + \nu x\frac{\partial x}{\partial\varphi} + \nu z\frac{\partial z}{\partial\varphi}\nonumber\\ &\Leftrightarrow\left[1 + \mu + \nu x^2\right]\frac{1}{x}\frac{\partial x}{\partial\varphi} - \left[1 - \nu z^2\right]\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial\varphi} = -\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}\nonumber\\ &\Leftrightarrow\frac{1 + \mu + \nu x^2}{1 - \nu z^2}\frac{1}{x}\frac{\partial x}{\partial\varphi} - \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial\varphi} = -\frac{1}{1 - \nu z^2}\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}\nonumber\\ &\Leftrightarrow\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\frac{1}{x}\frac{\partial x}{\partial\varphi} - \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial\varphi} = -\frac{1}{1 - \nu z^2}\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}. \end{align} \]

Dabei wurde im letzten Schritt die mit den Glg.en (D.222) - (D.222) umskalierte Version von Glg. (D.220) eingesetzt. Stellt man dies nach $\frac{\partial z}{\partial\varphi}$ um, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial z}{\partial\varphi} &= z\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\frac{1}{x}\frac{\partial x}{\partial\varphi} + \frac{z}{1 - \nu z^2}\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}.\tag{D.243}\label{eq:great_deriv_11} \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (D.241) ein, folgt

\[ \begin{align} & \left(1 + \mu + \nu R^2\right)^2z^2\frac{1}{x}\frac{\partial x}{\partial\varphi} + z^2\frac{1 + \mu + \nu R^2}{1 - \nu z^2}\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi} + x\frac{\partial x}{\partial\varphi} = 0\nonumber\\ &\Leftrightarrow\frac{\partial x}{\partial\varphi}\left(x + \frac{z^2}{x}\left(1 + \mu + \nu R^2\right)^2\right) = -\frac{z^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)}{1 - \nu z^2}\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}\nonumber\\ &\Leftrightarrow\frac{\partial x}{\partial\varphi}\left(x^2 + z^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)^2\right) = -\frac{xz^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)}{1 - \nu z^2}\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}\nonumber\\ &\Leftrightarrow\frac{\partial x}{\partial\varphi}\left(x^2 + z^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\left(\mu + \nu R^2\right) + z^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\right)\nonumber\\ &= -\frac{xz^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)}{1 - \nu z^2}\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}. \end{align} \]

Setzt man hier wiederum Glg. (D.227) ein, erhält man

\[ \begin{align} \frac{\partial x}{\partial\varphi} = -\frac{xz^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)}{\left(1 - \nu z^2\right)\left(R^2 + \left(\mu + \nu R^2\right)\left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2\right)}\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (D.243) ein und verwendet wieder Glg. (D.227), so folgt

\[ \begin{align} \frac{\partial z}{\partial\varphi} &= - \frac{z^3\left(1 + \mu + \nu R^2\right)^2}{\left(1 - \nu z^2\right)\left(R^2 + \left(\mu + \nu R^2\right)\left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2\right)}\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi} + \frac{z}{1 - \nu z^2}\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}\nonumber\\ &= \frac{zR^2 + z^3\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\left(\mu + \nu R^2\right) - z^3\left(1 + \mu + \nu R^2\right)^2}{\left(1 - \nu z^2\right)\left(R^2 + \left(\mu + \nu R^2\right)\left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2\right)}\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{\partial z}{\partial\varphi} &= \frac{zR^2 - z^3\left(1 + \mu + \nu R^2\right)}{\left(1 - \nu z^2\right)\left(R^2 + \left(\mu + \nu R^2\right)\left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2\right)}\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}\nonumber\\ \Leftrightarrow\frac{\partial z}{\partial\varphi} &= \frac{zx^2}{\left(1 - \nu z^2\right)\left(R^2 + \left(\mu + \nu R^2\right)\left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2\right)}\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}. \end{align} \]

Somit folgt wiederum mit Glg. (D.227)

\[ \begin{align} & h_\varphi = \sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial\varphi}\right)^2 + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial z\varphi}\right)^2} = \frac{xz\sqrt{x^2 + z^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)^2}}{\left(1 - \nu z^2\right)\left(R^2 + \left(\mu + \nu R^2\right)\left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2\right)}\left|\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}\right|\nonumber\\ &\Leftrightarrow h_\varphi = \frac{xz\sqrt{R^2 + z^2\left(\mu + \nu R^2\right)\left(1 + \mu + \nu R^2\right)}}{\left(1 - \nu z^2\right)\left(R^2 + \left(\mu + \nu R^2\right)\left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2\right)}\left|\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}\right|\nonumber \end{align} \]

Logarithmiert man beide Seiten von Glg. (D.229), erhält man

\[ \begin{align} \ln\left(D\right) = \ln\left(\left|z_S\right|\right) - \left(1 + \mu\right)\ln\left(x_S\right) - \frac{\nu}{2}\left(x_S^2 + z_S^2\right). \end{align} \]

Differenziert man dies, folgt

\[ \begin{align} & \frac{d\ln\left(D\right)}{d\varphi} = \frac{d\ln\left(\left|z_S\right|\right)}{d\varphi} - \left(1 + \mu\right)\frac{d\ln\left(x_S\right)}{d\varphi} - \nu x_S\frac{dx_S}{d\varphi} - \nu z_S\frac{d z_S}{d\varphi}\nonumber\\ &= \frac{d\ln\left(\left|z_S\right|\right)}{d\varphi}\left(1 - \nu z_S^2\right) - \frac{d\ln\left(x_S\right)}{d\varphi}\left(1 + \mu + \nu x_S^2\right).\tag{D.249}\label{eq:great_deriv_12} \end{align} \]

Diese Gleichung kann genutzt werden, um $\frac{d\ln\left(D\right)}{d\varphi}$ durch $\frac{d x_S}{d\varphi}$ und $\frac{d z_S}{d\varphi}$ auszudrücken:

\[ \begin{align} h_\varphi = \frac{xz}{\left(1 - \nu z^2\right)\left(R^2 + \left(\mu + \nu R^2\right)\left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2\right)^{1/2}}\left|\frac{d\ln\left(\left|z_S\right|\right)}{d\varphi}\left(1 - \nu z_S^2\right) - \frac{d\ln\left(x_S\right)}{d\varphi}\left(1 + \mu + \nu x_S^2\right)\right| \end{align} \]

Es gelten

\[ \begin{align} x = \sqrt{x^2 + y^2}\cos\lambda, & {} & y = \sqrt{x^2 + y^2}\sin\lambda. \end{align} \]

Somit folgt

Für die Determinante $g$ des metrischen Tensors der Great-Koordinaten gilt

\[ \begin{align} \sqrt{g} &= h_Rh_\lambda h_\varphi = h_Rr_\perp h_\varphi = h_Rr_\perp\frac{r_\perp z}{\left(1 - \nu z^2\right)\left(R^2 + \left(\mu + \nu R^2\right)\left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2\right)^{1/2}}\left|\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}\right|\nonumber\\ &= h_R\frac{r_\perp^2z}{\left(1 - \nu z^2\right)\left(R^2 + \left(\mu + \nu R^2\right)\left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2\right)^{1/2}}\left|\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}\right|\nonumber\\ &= \frac{R\left(1 - \nu z^2\right)}{\left[R^2 + z^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\left(\mu + \nu R^2\right)\right]^{1/2}}\frac{r_\perp^2z}{\left(1 - \nu z^2\right)\left(R^2 + \left(\mu + \nu R^2\right)\left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2\right)^{1/2}}\left|\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}\right|\nonumber\\ &= \frac{R}{\left[R^2 + z^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\left(\mu + \nu R^2\right)\right]^{1/2}}\frac{r_\perp^2z}{\left(R^2 + \left(\mu + \nu R^2\right)\left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2\right)^{1/2}}\left|\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}\right|\nonumber\\ &= \frac{Rr_\perp^2z}{R^2 + \left(\mu + \nu R^2\right)\left(1 + \mu + \nu R^2\right)z^2}\left|\frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi}\right|\nonumber \end{align} \]

D.4.5 Transformation von Great-Koordinaten in globale Koordinaten

Sei ein Punkt $\mathbf{r}$ mit den Great-Koordinaten $\left(R, \varphi, \lambda\right)$ gegeben. Man möchte die globalen Koordinaten $\left(x, y, z\right)^T$ dieses Punktes bestimmen. Nehme zunächst $\lambda = 0$ an. Quadriert man Glg. (D.228), erhält man

\[ \begin{align} z^2 = D\left(\varphi\right)^2\left(x^2\right)^{1 + \mu}\exp\left[\nu\left(x^2 + z^2\right)\right]. \end{align} \]

Setzt man hier Glg. (D.230) ein, folgt

\[ \begin{align} z^2 = D\left(\varphi\right)^2\left[R^2 - z^2\left(1 + \mu + \nu R^2\right)\right]^{1 + \mu}\exp\left[\nu\left(R^2 - z^2\left(\mu + \nu R^2\right)\right)\right].\tag{D.255}\label{eq:trafo_great_zu_glo_deriv_1} \end{align} \]

Diese Gleichung ist implizit und daher iterativ zu lösen. $D\left(\varphi\right)$ und $R$ sind hierbei Konstanten, $z^2$ ist die einzige verbleibende, zu bestimmende Größe. Über Glg. (D.230) lässt sich dann $x^2$ bestimmen. Das Vorzeichen von $z$ ist das Vorzeichen von $\varphi$. Im Fall $\lambda\not = 0$ ist

\[ \begin{align} x^2\to r_\perp^2 \end{align} \]

zu ersetzen, sodass man

\[ \begin{align} x &= r_\perp\cos\left(\lambda\right),\\ y &= r_\perp\sin\left(\lambda\right) \end{align} \]

erhält.

D.4.6 Transformation von globalen Koordinaten in Great-Koordinaten

Sei ein Punkt $\mathbf{r}$ mit den globalen Koordinaten $\left(x, y, z\right)^T$ gegeben, und man möchte die Great-Koordinaten $\left(R, \varphi, \lambda\right)$ von $\mathbf{r}$ bestimmen. Notiert man Glg. (D.212) mit den Ersetzungen Glg.en (D.222) - (D.222), erhält man

\[ \begin{align} R^2 = \frac{x^2 + y^2 + \left(1 + \mu\right)z^2}{1 - \nu z^2}. \end{align} \]

Dabei wurde $x^2\to x^2 + y^2$ ersetzt, da man vom allgemeinen Fall $\lambda\not = 0$ ausgeht. $\lambda$ erhält man über

\[ \begin{align} \lambda = \sign\left(y\right)\arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right). \end{align} \]

Um $\varphi$ zu bestimmen, stellt man zunächst Glg. (D.228) nach $D$ um und ersetzt wieder $x^2\to x^2 + y^2$:

\[ \begin{align} D = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2}^{1 + \mu}}\exp\left(-\frac{\nu}{2}\left(x^2 + y^2 + z^2\right)\right)\tag{D.261}\label{eq:trafo_glo_zu_great_deriv_5} \end{align} \]

Nun setzt man in Glg. (D.255) $R = 1$ ein, was der Oberfläche des WGS 84 entspricht, und löst numerisch für $z_S^2$, das Vorzeichen von $z_S$ ist identisch mit dem Vorzeichen von $z$. Nun kann man Glg. (D.227) mit $R = 1$, $z = z_S$ und $x^2\to x_S^2 + y_S^2$ verwenden, um $x_S^2 + y_S^2$ zu bestimmen. Über die Gleichung

\[ \begin{align} \varphi = \arctan\left[\frac{a^2}{c^2}\frac{z_S}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right]\tag{D.262}\label{eq:eq:trafo_glo_zu_great_deriv_1} \end{align} \]

kann man $\varphi$ schließlich bestimmen. Glg. (D.262) soll nun noch hergeleitet werden. Betrachte hierzu o. B. d. A. die Ebene $\lambda = 0$, also $y = 0$. Der Schnitt des WGS 84 mit dieser Ebene ist gegeben durch (man beachte die Skalierung)

\[ \begin{align} x^2 + \frac{z^2}{c^2} = 1.\tag{D.263}\label{eq:def_ell_skal} \end{align} \]

Definiere

\[ \begin{align} f\left(x, z\right) \coloneqq x^2 + \frac{z^2}{c^2}, \end{align} \]

dann gilt

\[ \begin{align} \nabla f = \left(\begin{array}{c} 2x\\ \frac{2z}{c^2} \end{array}\right). \end{align} \]

Das WGS 84 ist gegeben durch die Konturmenge $f = 1$. Definiere die Gerade $\mathbf{g}$ in der xz-Ebene der globalen Koordinaten durch

\[ \begin{align} \mathbf{g} = \left(\begin{array}{c} x_S\\ z_S \end{array}\right) + \gamma\left(\begin{array}{c} x_S\\ \frac{z_S}{c^2} \end{array}\right) \end{align} \]

mit $\gamma\in\mathbb{R}$. Der Schnittpunkt von $\mathbf{g}$ mit der x-Achse ist im Fall $z_S\not = 0$ gegeben durch

\[ \begin{align} 0 = z_S + \gamma \frac{z_S}{c^2} \Rightarrow \gamma = -c^2. \end{align} \]

Für die x-Koordinate dieses Punktes erhält man

\[ \begin{align} x = x_S\left(1 - c^2\right). \end{align} \]

Es gilt also

\[ \begin{align} \tan\left(\varphi\right) = \frac{z_S}{x_Sc^2}.\tag{D.269}\label{eq:trafo_glo_zu_great_deriv_2} \end{align} \]

Mit Glg. (D.263) folgt

\[ \begin{align} z_S^2 = c^2\left(1 - x_S^2\right) \end{align} \]

und damit gilt

\[ \begin{align} \tan\left(\varphi\right) &= \frac{c\sqrt{1 - x_S^2}}{x_Sc^2} = \frac{\sqrt{1 - x_S^2}}{x_Sc}\Leftrightarrow \tan^2\left(\varphi\right) = \frac{1 - x_S^2}{x_S^2c^2}\Leftrightarrow x_S^2\left(c^2\tan^2\left(\varphi\right) + 1\right) = 1\nonumber\\ \Leftrightarrow x_S^2 &= \frac{\cos^2\left(\varphi\right)}{c^2\sin^2\left(\varphi\right) + \cos^2\left(\varphi\right)}. \end{align} \]

Mit $x_S>0$ folgt

\[ \begin{align} x_S = \frac{\cos\left(\varphi\right)}{\sqrt{c^2\sin^2\left(\varphi\right) + \cos^2\left(\varphi\right)}}.\tag{D.272}\label{eq:trafo_glo_zu_great_deriv_3} \end{align} \]

Stellt man Glg. (D.263) nach $x_S$ um, erhält man

\[ \begin{align} x_S = \sqrt{1 - \frac{z^2}{c^2}}. \end{align} \]

Setzt man dies in Glg. (D.269) ein, erhält man

\[ \begin{align} \tan\left(\varphi\right) &= \frac{z_S}{c^2\sqrt{1 - \frac{z_S^2}{c^2}}}\Leftrightarrow c^4\tan^2\left(\varphi\right)\left(1 - \frac{z_S^2}{c^2}\right) = z_S^2\nonumber\\ \Leftrightarrow z_S^2\left(1 + c^2\tan^2\left(\varphi\right)\right) &= c^4\tan^2\left(\varphi\right)\Leftrightarrow z_S^2 = \frac{c^4\sin^2\left(\varphi\right)}{\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)}\nonumber\\ \Leftrightarrow z_S &= \sign\left(\varphi\right)\frac{c^2\sin\left(\varphi\right)}{\sqrt{\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)}}.\tag{D.274}\label{eq:trafo_glo_zu_great_deriv_4} \end{align} \]

Es gilt somit

\[ \begin{align} \frac{z_S}{x_S} = \frac{c^2}{a^2}\tan\left(\varphi\right), \end{align} \]

mit der Verallgemeinerung $x_S\to\sqrt{x_S^2 + y_S^2}$ folgt Glg. (D.262).

Nun soll noch ein expliziter Ausdruck für $D\left(\varphi\right)$ gefunden werden. Hierzu setzt man die Glg.en (D.272) und (D.274) mit $y = 0$ in Glg. (D.261) ein:

\[ \begin{align} & D\left(\varphi\right) = \frac{\left|z_S\right|}{x_S^{1 + \mu}}\exp\left(-\frac{\nu}{2}\left(x_S^2 + z_S^2\right)\right)\nonumber\\ & = \frac{c^2\sin\left(\varphi\right)\left(\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)\right)^{\mu/2}}{\left(\cos\left(\varphi\right)\right)^{1 + \mu}}\exp\left[-\frac{\nu}{2}\left(\frac{\cos^2\left(\varphi\right) + c^4\sin^2\left(\varphi\right)}{\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)}\right)\right]. \end{align} \]

Logarithmiert man dies, folgt

\[ \begin{align} \ln\left[D\left(\varphi\right)\right] &= 2\ln\left(c\right) + \ln\left(\sin\left(\varphi\right)\right) + \frac{\mu}{2}\ln\left(\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)\right) - \left(1 + \mu\right)\ln\left(\cos\left(\varphi\right)\right)\nonumber\\ & - \frac{\nu}{2}\left(\frac{\cos^2\left(\varphi\right) + c^4\sin^2\left(\varphi\right)}{\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)}\right). \end{align} \]

Somit erhält man

\[ \begin{align} & \frac{d\ln\left[D\left(\varphi\right)\right]}{d\varphi} = \frac{\cos\left(\varphi\right)}{\sin\left(\varphi\right)} + \frac{\mu}{2}\frac{ - 2\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\varphi\right) + c^22\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right)}{\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)} + \left(1 + \mu\right)\frac{\sin\left(\varphi\right)}{\cos\left(\varphi\right)}\nonumber\\ & - \frac{\nu}{2}\frac{\left(-2\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right) + 2c^4\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right)\right)\left(\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)\right)}{\left(\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)\right)^2}\nonumber\\ & + \frac{\nu}{2}\frac{\left(\cos^2\left(\varphi\right) + c^4\sin^2\left(\varphi\right)\right)\left(-2\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\varphi\right) + c^22\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right)\right)}{\left(\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)\right)^2}\nonumber\\ &= \frac{1}{\sin\left(\varphi\right)}\left(\cos\left(\varphi\right) + \frac{\sin^2\left(\varphi\right)}{\cos\left(\varphi\right)}\right) + \mu\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\varphi\right)\frac{c^2 - 1 + 1 + c^2\tan^2\left(\varphi\right)}{\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)}\nonumber\\ & + \nu\frac{\left(\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right) - c^4\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right)\right)\left(\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)\right)}{\left(\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)\right)^2}\nonumber\\ & + \nu\frac{\left(\cos^2\left(\varphi\right) + c^4\sin^2\left(\varphi\right)\right)\left(-\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\varphi\right) + c^2\cos\left(\varphi\right)\sin\left(\varphi\right)\right)}{\left(\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)\right)^2}\nonumber\\ &= \frac{1}{\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\varphi\right)} + \mu\tan\left(\varphi\right)\frac{c^2}{\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)}\nonumber\\ & + \nu\frac{\sin\left(\varphi\right)\cos\left(\varphi\right)\left(c^2\left(\sin^2\left(\varphi\right) + \cos^2\left(\varphi\right)\right) + c^4\left(-\sin^2\left(\varphi\right) - \cos^2\left(\varphi\right)\right)\right)}{\left(\cos^2\left(\varphi\right) + c^2\sin^2\left(\varphi\right)\right)^2}\nonumber \end{align} \]

D.5 Ellipsoidische Geometrie

D.5.1 Ellipsoidische Geodäten

D.5.2 Ellipsoidische Dreiecke

Eine Fläche $A$ auf einem Ellipsoid wird üblicherweise mithilfe einer flächenkonformen Projektion berechnet. Grundvorgehen ist dabei, jeden Eckpunkt $\left(\phi_i,\lambda_i\right)$ in die Projektionsebene zu transformieren, also seine Koordinaten $\left(x_i,y_i\right)$ zu bestimmen, und dann die Fläche $A'$ in ebener Geometrie zu berechnen. Flächenkonforme Projektionen sind dabei genau solche für die, $A = A'$ gilt.

Als flächenkonforme Projektion wird hier die Lambert'sche Azimutalprojektion verwendet.

D.5.3 Ellipsoidische Voronoi-Gitter

[title = Literatur]