In diesem Kapitel geht es um die Bestimmung von Größen, welche keine direkten Modellvariablen sind, jedoch standardmäßig von Wettermodellen erwartet werden.
Die sogenannte 2-m-Temperatur ist die Lufttemperatur 2 m über der Erdoberfläche. Nach WMO-Standard wird die bodennahne Temperatur dort gemessen und muss daher auch von Modellen herausgeschrieben werden. Um sie zu berechnen, geht man von der Wärmeleitungsgleichung Glg. (5.221)
\[ \begin{align} \frac{\partial\psi}{\partial t} = \kappa\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} \end{align} \]
in eindimensionaler Form aus mit $\kappa > 0$ als Diffusionskoeffizienten. Diese löst man nun für $z>0$ unter der Randbedingung
\[ \begin{align} \psi\left(0,t\right) = \psi_0\exp\left(-i\omega t\right). \end{align} \]
Man macht nun den Ansatz
\[ \begin{align} \psi\left(z,t\right) = A\exp\left(ikz - i\omega t\right), \end{align} \]
dies impliziert
\[ \begin{align} -i\omega = -k^2\kappa \Rightarrow k = \pm\sqrt{i}\sqrt{\frac{\omega}{\kappa}} = \pm\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}\left(1 + i\right). \end{align} \]
Die Lösung mit negativem Vorzeichen kann physikalisch ausgeschlossen werden, da sie zu einer exponentiell anwachsenden Amplitude führt. Die Lösung lautet also
\[ \begin{align} \psi\left(z,t\right) &= \psi_0\exp\left(-i\omega t\right)\exp\left(-\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}z\right)\exp\left(i\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}z\right)\nonumber\\ &= \psi\left(0,t\right)\exp\left(-\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}z\right)\exp\left(i\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}z\right). \end{align} \]
Nun wendet man diese Lösung auf das Problem der Bestimmung der 2-m-Temperatur an, also $\psi \to T$. Für $\omega$ verwendet man $\omega = \frac{2\pi}{24\:\text{h}}$, also die Kreisfrequenz des Tagesgangs der Temperatur. Den Phasenanteil kann man in erster Näherung vernachlässigen. Für $\kappa$ setzt man den vertikalen turbulenten Diffusionskoeffizienten ein. Die Lösung wird somit zu
\[ \begin{align} T\left(z\right) = T_1 + T_2\exp\left(-\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}z\right), \end{align} \]
wobei o. B. d. A. ein Offset $T_1$ hinzugefügt und $\psi_0$ in $T_2$ umbenannt wurde. Hierfür gelten in der Atmosphäre die Randbedingungen
\[ \begin{align} T\left(0\right) &= T_1 + T_2,\\ T\left(z_l\right) &= T_1 + T_2\exp\left(-\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}z\right), \end{align} \]
hierbei sind $T\left(0\right) =: T_l$ die Temperatur der Erdoberfläche und $T\left(z_l\right) =: T_l$ die Temperatur der untersten Modellschicht über Grund. Hieraus erhält man
\[ \begin{align} T_1 &= T_s - T_2,\\ T_l &= T_s - T_2 + T_2\exp\left(-\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}z_l\right) = T_s - T_2\left[1 - \exp\left(-\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}z_l\right)\right] \Rightarrow T_2 = \frac{T_s - T_l}{1 - \exp\left(-\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}z_l\right)}. \end{align} \]
Daraus folgt
\[ \begin{align} T\left(z\right) &= T_s - \frac{T_s - T_l}{1 - \exp\left(-\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}z_l\right)} + \frac{T_s - T_l}{1 - \exp\left(-\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}z_l\right)}\exp\left(-\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}z\right)\nonumber\\ &= T_s + \left(T_l - T_s\right)\frac{1 - \exp\left(-\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}z\right)}{1 - \exp\left(-\sqrt{\frac{\omega}{2\kappa}}z_l\right)}. \end{align} \]
Hieraus lässt sich mit $z = 2\:\text{m}$ die 2-m-Temperatur bestimmen.
Der Wind wird standardmäßig zehn Meter über Grund gemessen, wo sich üblicherweise nicht die Vektoren einer Modellschicht befinden. Hierzu verwendet man das logarithmische Windprofil Glg. (17.43), also
\[ \begin{align} v_h\left(z_{10}\right) &= \frac{u_\star}{k}\ln\left(\frac{z_{10}}{z_0}\right),\\ v_h\left(z_l\right) &= \frac{u_\star}{k}\ln\left(\frac{z_l}{z_0}\right). \end{align} \]
Hierbei sind $v_h\geq 0$ die horizontale Windgeschwindigkeit, $z_l$ die Höhe der untersten Modellschicht über Grund und $z_{10} \coloneqq 10\:\text{m}$. Hieraus folgt
\[ \begin{align} v_h\left(z_{10}\right) &= v_h\left(z_l\right)\frac{\ln\left(\frac{z_{10}}{z_0}\right)}{\ln\left(\frac{z_l}{z_0}\right)}. \end{align} \]
Dies gilt so nur über Wasser. Über Land gilt die Konvention, dass der Wind über Gras gemessen werden muss, um Vergleichbarkeit herzustellen. Hierzu verwendet man die Gleichungen
\[ \begin{align} v_h\left(z_{10}\right) &= \frac{u_\star}{k}\ln\left(\frac{z_{10}}{z_g}\right),\\ v_h\left(z_l\right) &= \frac{u_\star}{k}\ln\left(\frac{z_l}{z_0}\right), \end{align} \]
wobei $z_g$ die Rauigkeitslänge von Gras ist (0,02 m) und davon ausgegangen wurde, dass die Reibungsgeschwindigkeit $u_\star$ in beiden Fällen gleich ist. Dies führt auf
\[ \begin{align} v_h\left(z_{10}\right) &= v_h\left(z_l\right)\frac{\ln\left(\frac{z_{10}}{z_g}\right)}{\ln\left(\frac{z_l}{z_0}\right)}. \end{align} \]
Der Gesamtbedeckungsgrad (engl. total cloud cover (TCC)) ist der Anteil des von Wolken bedeckten Himmelsgewölbes. Die richtige Weise, die TCC zu berechnen, ist daher ein Integral über den Halbraum zu bilden und den wolkenbedeckten Anteil ins Verhältnis zum gesamten Anteil ($2\pi$) zu setzen. In Modellen wird jedoch meist ein vereinfachter Ansatz gewählt. Sei $N_L$ die Anzahl der Schichten und $c_{f,i}$ der wolkenbefüllte Anteil der $i-$ten Schicht.
Der erste Schritt ist, aus $c_{f,i}$ den nicht wolkenbedeckten vertikalen Flächenanteil $f_i$ der Gitterbox zu berechnen. Unter der Annahme, dass die Wolken aus einer einzigen Schicht der Dicke $d_i$ bestehen, erhält man
\[ \begin{align} f_i = \text{max}\left(1 - \frac{c_{d,i}}{\text{min}\left(d_i/\Delta z_i, 1\right)}, 0\right) = 1 - c_i, \end{align} \]
wobei $\Delta z_i$ die Schichtdicke ist. Dies führt dazu, dass bereits bei $c_{d,i} = \frac{d_i}{\Delta z_i}$ vollständige Bedeckung $f_i = 0$ erreicht ist. Unter der Annahme zufälliger Überlappung zwischen den Schichten erhält man
\[ \begin{align} \text{TCC} = 1 - \prod_{i=1}^{N_L}f_i.\tag{39.19}\label{eq:tcc_random_overlap} \end{align} \]
In der Realität ist jedoch davon auszugehen, dass die Überlappung zwischen den Schichten nicht zufällig ist, sondern, dass Wolken sich z. B. vertikal über mehrere Schichten erstrecken. Im Grenzfall maximaler Überlappung gilt
\[ \begin{align} \text{TCC} = \text{max}\left(c_i\right).\tag{39.20}\label{eq:tcc_maximum_overlap} \end{align} \]
In der Realität liegt der Gesamtbedeckungsgrad meist zwischen Glg. (39.19) und Glg. (39.20): Wolken in benachbarten Schichte sind zum Teil miteinander verbunden, und zu einem anderen Anteil unabhängig voneinander. Dies drückt man über eine Kohärenzlänge $l_c$ aus. Ein algorithmisches Vorgehen, um einen realistischen Gesamtbedeckungsgrad zu erhalten, ist das folgende:
Berechne $f_i$ in jeder Schicht $i$.
Setze $F = f_1$. $F$ ist der nicht wolkenbedeckte Anteil der bisher berechneten Schichten.
Berechne den wolkenbedeckten Anteil des Anteils der zweiten Schicht $\newtilde{c}_2$, der bisher nicht von Wolken bedeckt ist (ob der bereits wolkenbedeckte Anteil auch in der zweiten Schicht von Wolken bedeckt oder klar ist, spielt für den Gesamtbedeckungsgrad keine Rolle). Hier gibt es zwei Grenzfälle: Im Falle zufälliger Überlappung gilt $\newtilde{c}_2 = 1 - f_2$. Im Falle von maximaler Überlappung gilt $\newtilde{c}_2 = \text{max}\left(c_2 - C, 0\right)/F$, hierbei ist $C = 1 - F$ der wolkenbedeckte Anteil der bisher berechneten Schichten. Im Allgemeinen gilt
\[ \begin{align} \newtilde{c}_2 &= w_2\cdot\frac{\text{max}\left(c_2 - C, 0\right)}{F} + \left(1 - w_2\right)c_2. \end{align} \]
Hierbei berechnet sich das Gewicht $w_2$ über $w_2 = \exp\left(-\frac{\left|z_1 - z_2\right|}{l_{c,i}}\right)$.
Setze $F \to F\cdot\left(1 - \newtilde{c}_2\right)$.
Wiederhole die Schritt 3 bis 4 für die Schichten 3 bis $N_L$.
Setze $\text{TCC} = C$.
Im Fall kurzer Kohärenzlängen $l_{c,i}\to 0$ folgt hieraus Glg. (39.19), im Fall unendlicher Kohärenzlängen $l_{c,i}\to\infty$ folgt hieraus Glg. (39.20). Festgelegt werden müssen nun noch die Wolkenhöhe $d_i$ sowie die Kohärenzlänge $l_{c,i}$. Hier wird folgender Ansatz gewählt:
\[ \begin{align} d_i &= 10\cdot L_{m,i},\\ l_{c,i} &= d_i, \end{align} \]
hierbei ist $L_{m,i}$ die vertikale Mischungsweglänge.
Man beachte, dass das hier vorgestellte algorithmische Vorgehen nicht symmetrisch in Bezug auf die Ausführungsrichtung ist: Es macht einen Unterschied, ob man bei der obersten Schicht anfängt und nach unten rechnet, oder bei der untersten Schicht anfängt und nach oben rechnet. Der bewölkte Anteil der Querschnittsfläche einer Gittersäule ist jedoch in der Realität nicht davon abhängig, ob man von unten oder oben durch diese hindurchschaut. Man könnte dieses Problem dadurch lösen, dass man beide Varianten berechnet und dann den Mittelwert bildet. Da jedoch beide Grenzfälle Glg. (39.19) und Glg. (39.20) symmetrisch sind, und das Ergebnis des vorgestellten algorithmischen Vorgehens dazwischen liegt, wird dieses Problem üblicherweise ignoriert.
Nicht alle im Modell verwendeten Größen sind ab initio aus der Theorie ableitbar, zum Beispiel die in den Turbulenzparametrisierungen verwendeten Diffusionskoeffizienten. Sie haben üblicherweise keinen exakt richtigen Wert und werden daher auch semiempirische Koeffizienten genannt. Man sollte sie nicht als Konstanten bezeichnen, da sie dies nicht sind. Um das Modell möglichst genau zu machen, sollte man natürlich einen möglichst richtigen Wert für sie verwenden. Um einen solchen zu bestimmen, bieten sich zunächst zwei Methoden an:
Man kann sie aus Messungen ableiten.
Man kann sie aus DNS-Läufen (direct numerical simulation) ableiten, dies sind sehr hoch aufgelöste Läufe, bishin zu computational fluid dynamics (CFD).
Aus der Literatur ergibt sich daraus ein vertretbares Intervall, innerhalb dessen man den zu bestimmenden Koeffizienten frei wählen kann. Innerhalb dieses Intervalls wählt man ihn einfach so, dass das Modell möglichst genau ist. Da man in einem Atmosphärenmodell mehrere Parameter tunen kann, wird dies zu einem mehrdimensionalen Optimierungsproblem, für das mehrere Iterationen benötigt werden.
Folgende Koeffizienten im Modell können getunt werden:
horizontale Diffusionskoeffizienten
vertikale Diffusionskoeffizienten
maximales spezifisches Wolkenwasser
Im Rest dieses Abschnitts wird auf das Tuning der einzelnen Koeffizienten eingegangen.