Der generalisierte Coriolis-Term
\[ \begin{align} \mathbf{v}\times\etabi = \mathbf{v}\times\left(\mathbf{f} + \zetabi\right) = \mathbf{v}\times\left(\mathbf{f} + \nabla\times\mathbf{v}\right) \end{align} \]
erfordert auf einem C-Gitter besondere Aufmerksamkeit. Insbesondere müssen die folgenden drei Fragen beantwortet werden:
In diesem Kapitel werden diese Fragen zunächst im Lichte der shallow water equations (SWEs) betrachtet. Die SWEs lauten ohne Reibung
\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} & \stackrel{\href{ch-12-wichtige-approximationen.html#eq:swe_0}{\text{Glg. (13.171)}}}{=} -g\nabla\left(h + b\right) - f\mathbf{k}\times\mathbf{v} \textcolor{red}{- \nabla k - \zeta\mathbf{k}\times\mathbf{v}} + \mu\mathbf{k},\tag{28.2}\label{eq:swe_gen_cori_0}\\ \frac{\partial h}{\partial t} & \stackrel{\href{ch-12-wichtige-approximationen.html#eq:swe_1}{\text{Glg. (13.172)}}}{=} -\nabla\cdot\left(h\mathbf{v}\right), \end{align} \]
hierbei sind $\mathbf{v}$ die Geschwindigkeit, $g$ die Schwerebeschleunigung, $h$ die Auslenkung der Oberfläche aus der Ruhelage, $f$ der Coriolis-Parameter, $\mathbf{k}$ der vertikale Einheitsvektor, $k \coloneqq \frac{1}{2}\mathbf{v}^2$ die spezifische kinetische Energie, $\zeta\coloneqq\mathbf{k}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)$ die relative Vorticity und $\mu$ ein Lagrange-Multiplikator, der im Fall einer gekrümmten Menge wie einer Kugel sicherstellt, dass die rechte Seite der Gleichung tangential zu dieser Menge ist. Die roten Terme sind die Terme der Impulsadvektion, dies sind gleichzeitig auch die nichtlinearen Terme. Somit lautet die linearisierte Impulsgleichung der SWEs
\[ \begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} = -g\nabla\left(h + b\right) - f\mathbf{k}\times\mathbf{v}. \end{align} \]
Projiziert man Glg. (28.2) auf einen Normalenvektor $\mathbf{n}$ einer Kante, erhält man
\[ \begin{align} \frac{\partial v_n}{\partial t} = -g\frac{\partial\left(h + b\right)}{\partial n} - f\mathbf{n}\cdot\left(\mathbf{k}\times\mathbf{v}\right) - \frac{\partial k}{\partial n} - \zeta\mathbf{n}\cdot\left(\mathbf{k}\times\mathbf{v}\right), \end{align} \]
dabei ist
\[ \begin{align} v_n \coloneqq \mathbf{n}\cdot\mathbf{v} \end{align} \]
die normale Geschwindigkeitskomponente an der Kante. Mit $\partial/\partial n$ werden partielle Ableitungen senkrecht zur Kante bezeichnet. Mit Glg. (A.159) erhält man
\[ \begin{align} \mathbf{n}\cdot\left(\mathbf{k}\times\mathbf{v}\right) &= \mathbf{v}\cdot\left(\mathbf{n}\times\mathbf{k}\right) \stackrel{\href{ch-39-herleitungen-einiger-mathematischer-form.html#eq:cross_product_anticommutative}{\text{Glg. (A.149)}}}{=} -\mathbf{v}\cdot\left(\mathbf{k}\times\mathbf{n}\right) = -\mathbf{v}\cdot\mathbf{t} = -v_t,\tag{28.7}\label{eq:v_t_c-grid} \end{align} \]
dabei sind $\mathbf{t} \coloneqq \mathbf{k}\times\mathbf{n}$ der tangentiale Einheitsvektor an der Kante und
\[ \begin{align} v_t \coloneqq \mathbf{v}\cdot\mathbf{t} \end{align} \]
die tangentiale Geschwindigkeitskomponente an der Kante. Somit gilt
\[ \begin{align} \frac{\partial v_n}{\partial t} = -g\frac{\partial\left(h + b\right)}{\partial n} + \left(f + \zeta\right)v_t - \frac{\partial k}{\partial n}. \end{align} \]
Der lineare Anteil hiervon ist
\[ \begin{align} \frac{\partial v_n}{\partial t} = -g\frac{\partial\left(h + b\right)}{\partial n} + fv_t. \end{align} \]
Die Vorticity- und Divergenzdynamik der SWEs kann in den Gleichungen (13.172) und (15.170) zusammenfassen:
\[ \begin{align} \frac{\partial h}{\partial t} + \nabla\cdot\left(h\mathbf{v}\right) = 0, & {} & \frac{\partial\left(hq\right)}{\partial t} + \nabla\cdot\left(hq\mathbf{v}\right) = 0 \end{align} \]
Aus der zweiten Gleichung (dies ist eine Form der barotropen Vorticitygleichung) kann man
\[ \begin{align} \frac{d}{dt}\int_{4\pi}hqd\omega &= \int_{4\pi}\frac{\partial\left(hq\right)}{\partial t}d\omega = -\int_{4\pi}\nabla\cdot\left(hq\mathbf{v}\right)d\omega \end{align} \]
folgern. Das Integral über die Divergenz der potentiellen Vorticityflussdichte über die Einheitskugel kann man auswerten, indem man eine dritte Dimension in Form einer dünnen Kugelschale der Dicke $\Delta r$ hinzunimmt. Durch die vertikalen Ränder dieser Menge fließt keine potentielle Vorticity, da in den SWEs $w = 0$ gilt. Somit folgt
\[ \begin{align} \frac{d}{dt}\int_{4\pi}hqd\omega &= 0. \end{align} \]
Das globale Integral der inkompressible potentielle Vorticity $q$ ist also konstant.
Der Vorticityflussterm der shallow water equations lautet
\[ \begin{align} -\left(f + \zeta\right)\mathbf{k}\times\mathbf{v}. \end{align} \]
In diesem Abschnitt soll eine Diskretisierung gefunden werden, welche die Thuburn-Bedingung erfüllt und somit nach Glg. (27.141) auch eine geostrophische Mode besitzt. Projziert man diesen auf den Normalenvektor $\mathbf{n}$ einer Kante, erhält man laut Glg. (28.7)
\[ \begin{align} -\left[\left(f + \zeta\right)\mathbf{k}\times\mathbf{v}\right]\cdot\mathbf{n} &= \left(f + \zeta\right)v_t. \end{align} \]
Man linearisiert diesen Term nun in der Form
\[ \begin{align} \left(f + \zeta\right)v_t \to f_0v_t + \zeta U_t, \end{align} \]
hierbei ist
\[ \begin{align} U_t \coloneqq \left(\mathbf{k}\times\mathbf{n}\right)\cdot U\mathbf{i} \end{align} \]
die Projektion eines homogenen zonalen Grundstroms $U$ auf die tangentiale Richtung. Man orientiert sich nun an den Notationen aus Kap. 27. Dort wurde für den Term $fv_t$ laut Glg. (27.134) die Diskretisierung
\[ \begin{align} f_0v_t \to \frac{f_0}{\sqrt{3}}\left(\newtilde{u}_2^{(3)} - \newtilde{u}_3^{(2)}\right) \end{align} \]
hergeleitet. Dies erfüllt laut Glg. (27.137) die Thuburn-Bedingung Glg. (27.102). Für den Term $\zeta U_t$ setzt man mit
\[ \begin{align} U_{t,1} &= 0,\tag{28.19}\label{eq:vorticity_flux_c-grid_ansatz_0_0}\\ U_{t,2} &= -\zeta_2\frac{\sqrt{3}}{2}U,\tag{28.20}\label{eq:vorticity_flux_c-grid_ansatz_0_1}\\ U_{t,3} &= -\zeta_3\frac{\sqrt{3}}{2}U\tag{28.21}\label{eq:vorticity_flux_c-grid_ansatz_0_2} \end{align} \]
an den Kanten in $x_i-$Richtung zunächst
\[ \begin{align} \left(\zeta U_t\right)_1 &= 0,\\ \left(\zeta U_t\right)_2 &= -\zeta_2\frac{\sqrt{3}}{2}U,\\ \left(\zeta U_t\right)_3 &= -\zeta_3\frac{\sqrt{3}}{2}U \end{align} \]
an. Auch diese Terme müssen die Thuburn-Bedingung erfüllen. Man rechnet zur Überprüfung
\[ \begin{align} \newtilde{\left(\zeta U_t\right)_1}^{(1)} + \newtilde{\left(\zeta U_t\right)_2}^{(2)} + \newtilde{\left(\zeta U_t\right)_3}^{(3)} &= -\frac{\sqrt{3}}{2}U\left(\newtilde{\zeta_2}^{(2)} + \newtilde{\zeta_3}^{(3)}\right) \stackrel{\text{i. A.}}{\not=} 0. \end{align} \]
Inspiriert durch Glg. (27.134) modifizert man den Ansatz der Glg.en (28.19) - (28.21) zu
\[ \begin{align} \left(\zeta U_t\right)_1 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\zeta_2\frac{U}{2} + \zeta_3\frac{U}{2}\right),\\ \left(\zeta U_t\right)_2 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\zeta_3\frac{U}{2} + \zeta_1U\right),\\ \left(\zeta U_t\right)_3 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\zeta_1U + \zeta_2\frac{U}{2}\right). \end{align} \]
Hieraus folgt
\[ \begin{align} \newtilde{\left(\zeta U_t\right)_1}^{(1)} + \newtilde{\left(\zeta U_t\right)_2}^{(2)} + \newtilde{\left(\zeta U_t\right)_3}^{(3)} &\propto \newtilde{\zeta_3 - \zeta_2}^{(1)} + \newtilde{2\zeta_1 - \zeta_3}^{(2)} + \newtilde{\zeta_2 - 2\zeta_1}^{(3)}\nonumber\\ = -\newtilde{\zeta_2}^{(1)} + \newtilde{\zeta_3}^{(1)} - \newtilde{\zeta_3}^{(2)} + 2\newtilde{\zeta_1}^{(2)} - 2\newtilde{\zeta_1}^{(3)} + \newtilde{\zeta_2}^{(3)} &\stackrel{\text{i. A.}}{\not=} 0. \end{align} \]
Auch dieser Ansatz erfüllt die Thuburn-Bedingung also nicht. Es ist vielmehr eine vorbereitende Mittelung der Vorticities erforderlich, dies führt auf den Ansatz
\[ \begin{align} \left(\zeta U_t\right)_1 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\newoverline{\zeta_2}^{(3)}\frac{U}{2} + \newoverline{\zeta_3}^{(2)}\frac{U}{2}\right),\\ \left(\zeta U_t\right)_2 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\newoverline{\zeta_3}^{(1)}\frac{U}{2} + \newoverline{\zeta_1}^{(3)}U\right),\\ \left(\zeta U_t\right)_3 &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left(-\newoverline{\zeta_1}^{(2)}U + \newoverline{\zeta_2}^{(1)}\frac{U}{2}\right). \end{align} \]
Dies erfüllt die Thuburn-Bedingung, da Mittelungsoperatoren kommutieren. Es kann auch ein anderer als der einfache Mittelungsoperator $\newoverline{\zeta_i}^{(j)}$ verwendet werden. Mit $\zeta \to \eta = \zeta + f$ lässt sich der vollständige Vorticityflussterm auf dem regulären C-Gitter so ausdrücken.
Es ist nicht trivial, wie der Vorticityflussterm auf das deformierte Gitter zu erweitern ist. Hierzu geht man zunächst von der f-Ebene aus, um von einer homogenen Vorticity $f_0$ ausgehen zu können. Anstatt zu versuchen, die Thuburn-Bedingung auf das deformierte Gitter zu generalisieren, wird die eng verwandete Aussage als Grundforderung verwendet, dass eine geostrophische Mode existieren soll. Darüber hinaus soll die Diskretisierung energieerhaltend sein.