Ozeanmodelle simulieren den Zustand des Ozeans, welcher durch die in Abschn. 21.1 beschriebenen Variablen festgelegt wird, analog zu Atmosphärenmodellen, die den Zustand der Atmosphäre simulieren. Gegenüber der Atmosphäre gibt es bei der Ozeanmodellen drei wesentliche Unterschiede:
Die thermodynamische Zustandsgleichung ist wesentlich komplizierter. Dies ist numerisch allerdings kein großes Problem.
Im Ozean gibt es keine Phasenübergänge. Dies ist eine wesentliche Vereinfachung, da damit das Problem der Berechnung der Übergangsraten und der latenten Wärme wegfällt undd weniger Tracer advehiert werden müssen.
Während die Obergrenze der Atmosphäre mehr oder weniger willkürlich festgelegt wird, hat die Wassersäule eine klare vertikale Ausdehnung $[-H,\eta]$, hierbei sind $H$ die Tiefe und $\eta$ die Auslenkung der Wasseroberfläche aufgrund von Strömungen (Tiden und windgetriebene Zirkulation sowie Wellen). Die Schwierigkeiten hierbei sind, dass $H$ Null werden kann (Land), sowie dass $\eta$ zeitabhängig ist.
Die prognostischen Variablen von Ozeanmodellen sind im Wesentlichen die in Abschn. 21.1 beschriebenen, jedoch mit einigen Besonderheiten. Im Folgenden ist eine Liste typischerweise verwendeter prognostischer Variablen aufgeführt, wobei natürlich auch andere Variablen verwendet werden können, solange die in Abschn. 21.1 aufgelisteten daraus abgeleitet werden können:
Die Horizontalgeschwindigkeiten und die Oberflächenauslenkung werden direkt als solche verwendet.
Da in Ozeanmodellen fast immer von der hydrostatischen Approximation Gebrauch gemacht wird, wird die Vertikalgeschwindigkeit im $p-$System oder in Bezug auf eine andere generalisierte Vertikalkoordinate ausgedrückt.
Anstatt der Temperatur wird die potentielle Temperatur verwendet, da diese ein passiver Tracer ist und eine einfache Kontinuitätsgleichung erfüllt.
Die Dichte wird direkt als solche verwendet, da sie im Gegensatz zur potentiellen Dichte eine einfache Kontinuitätsgleichung erfüllt.
Die Salinität wird entweder als spezifische Größe $q_s$ (Masse Salz pro Masse Meerwasser) oder als volumenbezogene Größe $\rho q_s$ (Masse Salz pro Volumen Meerwasser) verwendet.
Alle anderen thermodynamischen Größen können aus der potentiellen Temperatur, der Dichte und der Salinität abgeleitet werden.
Aufgrund der im vorherigen Abschnitt beschriebenen Herausforderung kommt der Vertikalkoordinate in der Ozeanmodellierung eine besondere Bedeutung zu. Allgemein ist eine Vertikalkoordinate $\kappa$ eine bijektive Abbildung
\[ \begin{align} z = z\left(\kappa\right). \end{align} \]
Bei z-Koordinaten (oder auch geopotentielle Koordinaten genannt) sind die Koordinatenflächen genau horizontal. Hauptvorteil ist die Abwesenheit von metrischen Termen bei horizontalen Ableitungen. An den Küsten schneiden die Koordinatenflächen den Ozeanboden, sodass die Anzahl der Schichten von den Horizontalkoordinaten abhängt. Aufgrund der Oberflächenauslenkung $\eta$ ist außerdem die Dicke der ersten Schicht zeitabhängig. Die Bathymetrie wird dabei stufenförmig repräsentiert.
Bei $\sigma_z$-Koordinaten werden die Schichten an die Bathymetrie angepasst, sodass sie nicht den Ozeanboden schneiden. In flachen Gewässern werden die Schichten dabei sehr dünn und an Hängen verlaufen die Koordinatenflächen sehr steil. Die mathematische Formulierung ist analog zu den in Abschn. 12.3 beschriebenen geländefolgenden Koordinaten in der Atmosphäre.
Innerhalb des tieferen Ozeans verlaufen die Bewegungen vorwiegend entlang von Isopyknen. Richtet man die Koordinatenflächen an diesen aus, ist dies numerisch vorteilhaft, da dann Vertikalbewegungen fast verschwinden. Dies ist jedoch nur möglich, wenn der Ozean stabil geschichtet ist (sonst ist die potentielle Dichte innerhalb einer Wassersäule nicht eindeutig auf die geometrische Höhe abbildbar), was nicht überall der Fall ist, weshalb diese Koordinaten nicht global anwendbar sind. Dies ist analog zu den in Abschn. 12.2 betrachteten isentropen Koordinaten in der Atmosphäre.
$z^\star$-Koordinaten („z-Stern-Koordinaten“) sind eine Verallgemeinerung von z-Koordinaten bei denen das Problem, dass die Dicke der obersten Schicht von der Oberflächenauslenkung abhängt, gelöst wird. Die Transformation auf geometrische Koordinaten lautet
\[ \begin{align} z = \eta + z^\star\frac{\eta + H}{H}. \end{align} \]
Die Koordinatenflächen sind hier also nicht mehr genau horizontal, sie schneiden aber weiterhin den Ozeanboden
Alle bisher aufgelisteten Vertikalkoordinaten haben wesentliche Vor- und Nachteile. Hybrid-Koordinaten sind ein Versuch, die Vorteile der verschiedenen Koordinaten miteinenander zu kombinieren. Innerhalb der oberen paar Dekameter, der sogenannten Thermokline, ist der Ozean gut durchmischt und schwach geschichtet. Hier sind z- oder $z^\star$-Koordinaten sinnvoll. Weiter unten wird der Ozean von quasigeostrophischen Bewegungen enlang der Isopyknen (Flächen gleicher potentieller Dichte) dominiert. In Küstenregionen sind hingegen geländefolgende Koordinaten sinnvoll, um die Bathymetire abbilden zu können. Hybride Koordinaten sind dementsprechend eine Mischung von $\rho-$, $\sigma_z-$ und $z^\star-$Koordinaten. Sie geben dem Ozeanmodell HyCOM (Hybrid Coordinate Ocean Model) seinen Namen.
Seegang ist ein anderes Wort für Wasseroberflächenwellen. Die prognostische Variable, auf die dabei abgezielt wird, ist die Auslenkung der Wasseroberfläche
\[ \begin{align} h = h\left(x, y, t\right) \end{align} \]
von der mittleren Position der Wasseroberfläche.Es kann nicht einfach $h$ als Abweichung vom Geoid definiert werden, da hier noch die dynamische Topographie überlagert wäre. Diese zählt nicht in die mit den Wellen verbundene Auslenkung hinein. Dementsprechend muss die Länge des Mittelungsintervalls gewählt werden. In vielen Situationen ist $h$ keine Funktion der horizontalen Koordinaten, wie zum Beispiel im Falle von Brandung oder bei aufgewühlter See, da in diesen Fällen die Position der Wasseroberfläche nicht mehr eindeutig festgelegt ist. Solche Effekte werden später in Form von Energie dissipierenden Quelltermen berücksichtigt.
Es könnte nun als Satz prognosticher Gleichungen die in Abschn. 13.8.1 hergeleiteten Flachwassergleichungen verwendet werden, eventuell mit einigen halb-empirischen Zusatztermen. Dies hat jedoch mehrere Nachteile:
Um einen wesentlichen Anteil der Energie des Wellenfeldes zu erfassen, wären ein sehr kleiner Zeitschritt und eine sehr feine räumliche Auflösung erforderlich.
Die Phasen der Wellen sind in den allermeisten Fällen nicht bekannt und auch nicht sehr relevant. Vielmehr sind Größen wie Richtung und Höhe der Wellen entscheidend.
Daher verwendet man zur Beschreibung von Wasseroberflächenwellen meistens eine Strahlungsübertragungsgleicung (radiative transfer equation (RTE)). Als prognostische Variable wird daher die spektrale Strahldichte
\[ \begin{align} N = N\left(\mathbf{k},\mathbf{r},t\right) \end{align} \]
verwendet. Hierbei sind $\mathbf{r}$ ein zweidimensionaler Ortsvektor und $\mathbf{k}$ ein zweidimensionaler Wellenvektor. Üblicherweise wird $\mathbf{k}$ nicht in kartesischen, sondern in Polarkoordinaten $\left(k,\theta\right)$ angegeben. Als Dispersionsrelation $\omega = \omega\left(k, \theta\right)$ wird diejenige der Wasseroberflächenwellen
\[ \begin{align} \omega^2 &= gk\tanh\left(kD\right) \Rightarrow \omega = \sqrt{gk\tanh\left(kD\right)}, \end{align} \]
verwendet, hierbei ist $D$ die mittlere Wassertiefe (Wassertiefe ohne Wellen). Hieraus folgen
\[ \begin{align} c_\text{ph} &= \frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{g\tanh\left(kD\right)}{k}},\\ c_\text{gr} &= \frac{1}{2\omega}\frac{\partial\omega^2}{\partial k} = \frac{1}{2\omega}\left[g\tanh\left(kD\right) + \frac{gkD}{\cosh^2\left(kD\right)}\right] = \frac{g\tanh\left(kD\right)}{2\omega}\left[1 + \frac{kD}{\sinh\left(kD\right)\cosh\left(kD\right)}\right]\nonumber\\ &= \frac{c_\text{ph}}{2}\left[1 + \frac{2kD}{2\sinh\left(kD\right)\cosh\left(kD\right)}\right] = \frac{c_\text{ph}}{2}\left[1 + \frac{2kD}{\sinh\left(2kD\right)}\right]. \end{align} \]
Die Gruppengeschwindigkeit ist also isotrop, aber nicht homogen,
\[ \begin{align} c_\text{gr} = c_\text{gr}\left(k,\mathbf{r},t\right). \end{align} \]
Die Orts- und Zeitabhängigkeit entsteht dabei über die Orts- und Zeitabhängigkeit von $D$.
Hieraus kann man eine spektrale Strahlungsflussdichte
\[ \begin{align} N\left(k, \theta,\mathbf{r},t\right)\left(c_\text{gr}\left(k,\mathbf{r},t\right) + \mathbf{v}\left(\mathbf{r}, t\right)\right) \end{align} \]
herleiten, hierbei ist $\mathbf{v} = \mathbf{v}\left(\mathbf{r}, t\right)$ die Stromgeschwindigkeit. Die Strahlungsübertragungsgleichung ist eine Art Kontinuitätsgleichung für $N$, was konzeptionell mit der Energieerhaltung zusammenhängt:
\[ \begin{align} \frac{\partial N\left(k, \theta\right)}{\partial t} + \nabla\cdot\left(N\left(k, \theta\right)c_\text{gr}\left(k\right)\right) &= S_\text{nl}\left(k, \theta\right) + S_\text{ws}\left(k, \theta\right) + S_\text{wc}\left(k, \theta\right)\nonumber\\ & + S_\text{diss}\left(k, \theta\right) + S_\text{bd}\left(k, \theta\right)\tag{26.10}\label{eq:rte_water_surface} \end{align} \]
Die Orts- und Zeitabhängigkeit wurde hierbei nicht mehr mitnotiert. Weiterhin wurden fünf zusätzliche Quellterme aufgenommen:
$S_\text{nl}\left(k, \theta\right)$ ist die Energiequelle, die aus nichtlinearen Effekten resultiert. Dieser Term ist besonders relevant für die Wechselwirkung von Skalen. Ein Beispiel ist die Entstehung langer Wellen (sogenannte Dünung) aus der Windsee (unmittelbar aus Windeinwirkung entstehende Wellen), welche aus kürzeren Wellen besteht, über upscaling.
$S_\text{ws}\left(k, \theta\right)$ ist die Energiequelle, die aus der Wechselwirkung mit dem Windfeld resultiert. Dies ist die Hauptenergiequelle des Wellenfeldes.
$S_\text{wc}\left(k, \theta\right)$ ist die Energiequelle, die aus der Gischt (das sogenannte whitecapping) resultiert, dies ist ein dissipativer und somit üblicherweise negativer Term.
$S_\text{diss}\left(k, \theta\right)$ ist die Energiequelle, die mit der inneren Reibung (Viskosität) zusammenhängt. Da die Viskosität quadratisch stärker auf die kleineren Skalen wirkt, führt dieser Effekt dazu, dass Windsee schneller als Dünung dissipiert wird.
$S_\text{bd}\left(k, \theta\right)$ ist die Energiequelle, die aus der Wechselwirkung mit der Bathymetrie (bottom drag) zusammenhängt, auch dies ist ein dissipativer und somit üblicherweise negativer Term.
Abhängig von der konkreten Situation können weitere Quellterme aufgenommen werden. Glg. (26.10) bezeichnet man auch als wave action equation.
Die Gesamtenergie des Wellenspektrums $E$ an einem gewissen Ort zu einer gewissen Zeit ist das Integral über das gesamt Spektrum:
\[ \begin{align} E = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty N\left(k,\theta\right)dkd\theta.\tag{26.11}\label{eq:wave_spectrum_total_energy} \end{align} \]
Das energiegewichtete spektrale Mittel einer Größe $\psi$ berechnet sich somit über
\[ \begin{align} \newoverline{\psi} \coloneqq \frac{1}{E}\int_0^{2\pi}\int_0^\infty\psi\left(k,\theta\right)N\left(k,\theta\right)dkd\theta.\tag{26.12}\label{eq:wave_spectral_average} \end{align} \]
Die signifikante Wellenhöhe ist eine Art repräsentative Wellenhöhe, für diese gilt
\[ \begin{align} H_s = 4\sqrt{E}. \end{align} \]
Die mittlere Wellenrichtung $\theta_m$ berechnet sich gemäß Glg. (26.12) als
\[ \begin{align} \theta_m = \arctan2\left(b,a\right) \end{align} \]
mit
\[ \begin{align} a &\coloneqq \frac{1}{E}\int_0^{2\pi}\int_0^\infty\cos\left(\theta\right)N\left(k,\theta\right)dkd\theta,\nonumber\\ b &\coloneqq \frac{1}{E}\int_0^{2\pi}\int_0^\infty\sin\left(\theta\right)N\left(k,\theta\right)dkd\theta. \end{align} \]
Für die mittlere Wellenlänge $L_m$ gilt
\[ \begin{align} L_m = \newoverline{\left(\frac{2\pi}{k}\right)} = 2\pi\newoverline{k^{-1}}. \end{align} \]
Für die mittlere Wellenperiode gibt es verschiedene Möglichkeiten, diese zu berechnen:
\[ \begin{align} T_{m,1} &= \frac{2\pi}{\newoverline{\sigma}},\\ T_{m,2} &= \frac{2\pi}{\sqrt{\newoverline{\sigma^2}}},\\ T_{m,-1} &= \newoverline{\left(\frac{2\pi}{\sigma}\right)} = 2\pi\newoverline{\sigma^{-1}}. \end{align} \]
Hierbei ist $\sigma$ die relativ zum Meeresgrund gemessene Kreisfrequenz.
Das gebräuchlichste Seegangsvorhersagemodell ist Wavewatch III. Modelle, die sich an Glg. (26.10) orientieren, sind sogenannte Seegangsvorhersagemodelle dritter Generation. Sie lösen diese Gleichung auf einem Gitter und sind daher Gitterpunktmodelle, auch wenn sie gelegentlich als Spektralmodelle bezeichnet werden, da ihre prognostische Variable spektrale Bedeutung hat. Sie lösen Glg. (26.10), wobei an jedem Gitterpunkt ein spektrales richtungsabhängiges Gitter im $\left(k,\theta\right)-$Raum aufgespannt wird. Meist wird zusätzlich eine recht große Vielfalt an halb-empirischen Quelltermen $Q_i$ aufgenommen.