Der Begriff dynamischer Kern wird häufig nicht präzise definiert, was hier jedoch getan werden soll. Dazu werden verschiedene Unterkomponenten definiert:
Zunächst schreibt man einen Ikosaeder in eine Kugel ein. Dieser besteht aus 20 Dreiecken, somit ergibt sich die Anzahl $E$ der Ecken zu
\[ \begin{align} E = \frac{3\cdot 20}{5} = 12, \end{align} \]
da jede Ecke von fünf Polygonen berührt wird. Die Anzahl $K$ der Kanten ist
\[ \begin{align} K = \frac{3\cdot 20}{2} = 30. \end{align} \]
Nun wird jedes Dreieck $n-$mal in jeweils vier Dreiecke unterteilt, hierbei ist $n\in\mathbb{N}$. Anschließend existieren
\[ \begin{align} D = 20\cdot 4^n \end{align} \]
Dreiecke. Das duale Gitter des so entstehenden Gitters ist das hexagonale Gitter. Dieses besteht aus
\[ \begin{align} N = N_5 + N_6 \end{align} \]
Polygonen, wobei $N_5$ die Anzahl der Fünfecke und $N_6$ die Anzahl der Sechsecke bezeichnet. Fünfecke entstehen nur an den zwölf Ecken des Ikosaeders, also ist $N_5 = 12$ unabhängig von $n$. Die Anzahl der Ecken dieses Gitters ist
\[ \begin{align} \frac{5N_5 + 6N_6}{3} = D = 20\cdot 4^n, \end{align} \]
da jede Ecke von drei Polygonen berührt wird; dies ist gleich der Anzahl der Dreiecke. Also folgt
\[ \begin{align} 5N_5 + 6N_6 = 60 + 6N_6 = 60\cdot 4^n\Rightarrow N_6 = 10\left(4^n - 1\right)\Rightarrow N = 10\left(4^n - 1\right) + 12. \end{align} \]
Dies ist die Anzahl der skalaren Freiheitsgrade pro Modellebene $N_S^{(H)}$. Die Anzahl $N_V^{(H)}$ der vektoriellen Freiheitsgrade pro Modellebene ergibt sich zu
\[ \begin{align} N_V^{(H)} = \frac{5N_5 + 6N_6}{2} = \frac{60\cdot 4^n}{2} = 30\cdot 4^n. \end{align} \]
Die Anzahl der Layer $N_L$ willkürlich zu
\[ \begin{align} N_L = 2 + 6\cdot n \end{align} \]
festgelegt. Die Gesamtzahl der horizontalen Vektoren ist $N_L\cdot N_V^{(H)}$, hierzu ist die Anzahl der vertikalen Vektoren $N_S^{(H)}\cdot\left(N_L + 1\right)$ zu addieren, um die Gesamtanzahl
\[ \begin{align} N_V = N_L\cdot N_V^{(H)} + N_S^{(H)}\cdot\left(N_L + 1\right) \end{align} \]
der Vektoren zu erhalten. Für die Gesamtzahl der Skalare $N_S$ gilt
\[ \begin{align} N_S = N_L\cdot N_S^{(H)} = N_L\left[10\left(4^n - 1\right) + 12\right]. \end{align} \]
Auf dem dualen Gitter (dem Dreiecksgitter) gelten
\[ \begin{align} \prescript{{(D)}}{}{N_S^{(H)}} = 20\cdot 4^n, & {} & \prescript{{(D)}}{}{N_S} = 20\cdot 4^n\left(N_L + 1\right),\\ \prescript{{(D)}}{}{N_V^{(H)}} = 30\cdot 4^n, & {} & \prescript{{(D)}}{}{N_V} = 30\cdot 4^n\left(N_L + 1\right) + 20\cdot 4^n\cdot N_L. \end{align} \]
| Index | geographische Breite | geographische Länge |
|---|---|---|
| $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $0$ |
| $1$ | $\arctan\left(\frac{1}{2}\right)$ | $0$ |
| $2$ | $\arctan\left(\frac{1}{2}\right)$ | $\frac{2\pi}{5}$ |
| $3$ | $\arctan\left(\frac{1}{2}\right)$ | $2\frac{2\pi}{5}$ |
| $4$ | $\arctan\left(\frac{1}{2}\right)$ | $3\frac{2\pi}{5}$ |
| $5$ | $\arctan\left(\frac{1}{2}\right)$ | $4\frac{2\pi}{5}$ |
| $6$ | $-\arctan\left(\frac{1}{2}\right)$ | $\frac{2\pi}{10}$ |
| $7$ | $-\arctan\left(\frac{1}{2}\right)$ | $\frac{2\pi}{10} + \frac{2\pi}{5}$ |
| $8$ | $-\arctan\left(\frac{1}{2}\right)$ | $\frac{2\pi}{10} + 2\frac{2\pi}{5}$ |
| $9$ | $-\arctan\left(\frac{1}{2}\right)$ | $\frac{2\pi}{10} + 3\frac{2\pi}{5}$ |
| $10$ | $-\arctan\left(\frac{1}{2}\right)$ | $\frac{2\pi}{10} + 4\frac{2\pi}{5}$ |
| $11$ | $-\frac{\pi}{2}$ | $0$ |
Um leichter kommunizieren zu können, werden folgende Festlegungen getroffen:
Sei ein Gitter mit $n$ Layern gegeben. Nach Abschnitt 24.2 sind zentrale Differenzenquotienten zweiter Ordnung, während andere Arten von Differenzenquotienten nur erster Ordnung sind. Deshalb legt man für die z-Koordinaten der Level fest, dass sie sich in der Mitte der skalaren Gitterpunkte der benachbarten Layer befinden sollen, also
\[ \begin{align} z_\text{Level} = \frac{z_\text{Layer darüber} + z_\text{Layer darunter}}{2}.\tag{33.13}\label{eq:pos_level} \end{align} \]
Es sind also zunächst die z-Koordinaten der skalaren Gitterpunkte ($z_\text{Layer}$) festzulegen. Es ist sinnvoll, die Layer alle möglichst gleich dick zu wählen, sodass die Auflösung möglichst homogen ist. In der Nähe der Erdoberfläche müssen die Gitterboxen der Orographie folgen. Da dies zu numerischem Mehraufwand führt, ist es nützlich, dies oberhalb einer gewissen Höhe $\newtilde{z}$ nicht mehr zu tun. Diese Größe ist ein Kompromiss aus Genauigkeit und Rechenzeit. Die Höhe $\newtilde{z}$ wird vom Benutzer indirekt festgelegt. Dieser legt die Höhe $H$ der Modellatmosphäre fest sowie die Anzahl $N_L$ der Layer. Zusätzlich legt er eine Zahl $1 \leq N_{L, O} \leq N_L$ an Layern fest, die der Orographie folgen sollen. $\newtilde{z}$ ist dann ein horizontales Skalarfeld, welches durch
\[ \begin{align} \newtilde{z}\left(\phi, \lambda\right) = h\left(\phi, \lambda\right) + \frac{N_{L, O}}{N_L}\left(H - h\left(\phi, \lambda\right)\right) \end{align} \]
in Termen der Orographie $h = h\left(\phi, \lambda\right)$ festgelegt ist.Die Vorstellung, dass $h$ eine Funktion der horizontalen Koordinaten ist, ist falsch, wenn man an Gebäude, Pflanzen und Schluchten denkt. Diese Strukturen sind jedoch kleinräumig. Erst, wenn die horizontale Modellauflösung die Größenordnung von zehn Metern erreicht, muss man sie berücksichtigen. Hieraus berechnet man wie folgt vorläufige Positionen $z_{w, \text{pre}, i}$ vertikaler Vektoren, wobei $i$ der Layerindex ist:
\[ \begin{align} z_{w, \text{pre}, i} = \begin{cases} H - i\frac{H - \newtilde{z}}{N_L - N_{L, O}}, \text{ falls } i < N_{L, O},\\ h + \left(N_L - i\right)\frac{\newtilde{z} - h}{N_{L, O}}, \text{ sonst.} \end{cases} \end{align} \]
Die skalaren Gitterpunkte werden anschließend in die Mitte zweier angrenzender vertikaler Vektoren gelegt, bevor Glg. (33.13) angewandt wird, um die Position der Level endgültig festzulegen. Für die horizontalen vektoriellen Punkte wird festgelegt, dass diese auch vertikal in der Mitte der beiden angrenzenden Boxen platziert werden, also
\[ \begin{align} z_\text{Vektor, h} = \frac{z_{\text{Skalar, Herkunft}} + z_{\text{Skalar, Ziel}}}{2}. \end{align} \]
Analog geht man für duale Skalarfelder vor, hier ist die bestimmende Größe die Position $z_{j, i}$ der dualen skalaren Gitterpunkte, wobei $j$ der horizontale Index ist und $i$ wieder das Layer. Für diese Größe legt man
\[ \begin{align} z_{j, i} = \frac{1}{3}\sum_{j' \in \text{APC}(j)}z_{j', w, i} \end{align} \]
fest, sie ist also der Mittelwert der z-Positionen der vertikalen Vektoren der drei umliegenden Zellen.
Ausgangspunkt sind Kugelkoordinaten mit einer generalisierten Vertikalkoordinate $\zeta$, die von den horizontalen Koordinaten abhängt. Die Transformation auf globale Koordinaten lautet
\[ \begin{align} x = r\left(\zeta, \phi, \lambda\right)\cos\left(\phi\right)\cos\left(\lambda\right), & {} & y = r\left(\zeta, \phi, \lambda\right)\cos\left(\phi\right)\sin\left(\lambda\right), & {} & z = r\left(\zeta, \phi, \lambda\right)\sin\left(\phi\right). \end{align} \]
Die kovarianten Basiselemente dieses Koordinatensystems
\[ \begin{align} \mathbf{j}_\eta &= \frac{\partial r}{\partial\zeta}\mathbf{e}_r, & {} & \mathbf{j}_\phi &= r\mathbf{e}_\phi + \frac{\partial r}{\partial\phi}\mathbf{e}_r, & {} & \mathbf{j}_\lambda &= r\cos\left(\phi\right)\mathbf{e}_\lambda + \frac{\partial r}{\partial\lambda}\mathbf{e}_r. \end{align} \]
Hieraus folgt für die sechs relevanten Skalarprodukte der Basiselemente
\[ \begin{align} \mathbf{j}_\eta\cdot\mathbf{j}_\eta = \left(\frac{\partial r}{\partial\zeta}\right)^2, & {} & \mathbf{j}_\eta\cdot\mathbf{j}_\phi = \frac{\partial r}{\partial\zeta}\frac{\partial r}{\partial\phi}, & {} & \mathbf{j}_\eta\cdot\mathbf{j}_\lambda = \frac{\partial r}{\partial\zeta}\frac{\partial r}{\partial\lambda},\\ \mathbf{j}_\phi\cdot\mathbf{j}_\phi = r^2 + \left(\frac{\partial r}{\partial\phi}\right)^2, & {} & \mathbf{j}_\phi\cdot\mathbf{j}_\lambda = \frac{\partial r}{\partial\phi}\frac{\partial r}{\partial\lambda}, & {} & \mathbf{j}_\lambda\cdot\mathbf{j}_\lambda = r^2\cos^2\left(\phi\right) + \left(\frac{\partial r}{\partial\lambda}\right)^2. \end{align} \]
Für die Determinante des metrischen Tensors folgt durch Entwicklung nach der ersten Zeile
\[ \begin{align} g &= \left|\begin{array}{ccc} \left(\frac{\partial r}{\partial\zeta}\right)^2 & \frac{\partial r}{\partial\zeta}\frac{\partial r}{\partial\phi} & \frac{\partial r}{\partial\zeta}\frac{\partial r}{\partial\lambda}\\ \frac{\partial r}{\partial\zeta}\frac{\partial r}{\partial\phi} & r^2 + \left(\frac{\partial r}{\partial\phi}\right)^2 & \frac{\partial r}{\partial\phi}\frac{\partial r}{\partial\lambda}\\ \frac{\partial r}{\partial\zeta}\frac{\partial r}{\partial\lambda} & \frac{\partial r}{\partial\phi}\frac{\partial r}{\partial\lambda} & r^2\cos^2\left(\phi\right) + \left(\frac{\partial r}{\partial\lambda}\right)^2\\ \end{array}\right|\nonumber\\ &= \left(\frac{\partial r}{\partial\zeta}\right)^2\left[r^4\cos^2\left(\phi\right) + \textcolor{blue}{r^2\left(\frac{\partial r}{\partial\lambda}\right)^2} + \textcolor{red}{\left(\frac{\partial r}{\partial\phi}\right)^2r^2\cos^2\left(\phi\right)} + \textcolor{green}{\left(\frac{\partial r}{\partial\phi}\right)^2\left(\frac{\partial r}{\partial\lambda}\right)^2 - \left(\frac{\partial r}{\partial\phi}\right)^2\left(\frac{\partial r}{\partial\lambda}\right)^2}\right]\nonumber\\ & - \frac{\partial r}{\partial\zeta}\frac{\partial r}{\partial\phi}\left[\textcolor{red}{\frac{\partial r}{\partial\zeta}\frac{\partial r}{\partial\phi}r^2\cos^2\left(\phi\right)} + \textcolor{magenta}{\frac{\partial r}{\partial\zeta}\frac{\partial r}{\partial\phi}\left(\frac{\partial r}{\partial\lambda}\right)^2 - \frac{\partial r}{\partial\zeta}\frac{\partial r}{\partial\lambda}\frac{\partial r}{\partial\phi}\frac{\partial r}{\partial\lambda}}\right]\nonumber\\ & + \frac{\partial r}{\partial\zeta}\frac{\partial r}{\partial\lambda}\left[\textcolor{cyan}{\frac{\partial r}{\partial\zeta}\frac{\partial r}{\partial\phi}\frac{\partial r}{\partial\phi}\frac{\partial r}{\partial\lambda}} \textcolor{blue}{- \frac{\partial r}{\partial\zeta}\frac{\partial r}{\partial\lambda}r^2} \textcolor{cyan}{- \frac{\partial r}{\partial\zeta}\frac{\partial r}{\partial\lambda}\left(\frac{\partial r}{\partial\phi}\right)^2}\right]\nonumber\\ &= \left(\frac{\partial r}{\partial\zeta}\right)^2r^4\cos^2\left(\phi\right). \end{align} \]
Die farblich markierten Terme heben sich gegenseitig auf. Für die Funktionaldeterminante erhält man
\[ \begin{align} \sqrt{g} = \left|\frac{\partial r}{\partial\zeta}\right|r^2\cos\left(\phi\right). \end{align} \]
Verwendet man für $\eta$ den linear interplierten Levelindex, folgt
\[ \begin{align} \sqrt{g} \stackrel{\text{Modell}}{=} \Delta zr^2\cos\left(\phi\right). \end{align} \]
Die shallow-atmosphere-Approximation geht von $r = a = \text{const.}$ aus, wobei $a$ der Erdradius ist. Als Konstante kann man diesen Faktor vernachlässigen und erhält
\[ \begin{align} \sqrt{g} \stackrel{\text{shallow-atmosphere-Modell}}{=} \Delta z\cos\left(\phi\right).\tag{33.25}\label{eq:shallow_atmosphere_approximation} \end{align} \]
Sei $\psi: A \to \mathbb{R}^n$ mit $n \in \lbrace 1, 2, 3\rbrace$ ein zweifach stetig differenzierbares Skalar- oder Vektorfeld. Die Diskretisierung von $\psi$ notiert man in der Form
\[ \begin{align} \psi \to \psi_{h, v}^{(\tau)}, \end{align} \]
hierbei ist $h \in \mathbb{N}$ der horizontale Index, $v \in \mathbb{N}$ der vertikale Index und $\tau \in \mathbb{N}$ der den Zeitschritt festlegende Index. Sollten einer oder mehrere der Indizes für eine Betrachtung nicht wichtig sein, so werden diese in der Notation vernachlässigt. Werden am jeweiligen Ort keine abweichenden Definitionen eingeführt, bezeichnet $c$ Zellen, $e$ Kanten, $dc$ duale Zellen und $de$ duale Kanten. In der Vertikalen werden die Layer von $k = 1$ bis $k = N_L$ durchnummeriert, die Level werden von $k = \frac{1}{2}$ bis $k = N_L + \frac{1}{2}$ (mit Abstand Eins) bezeichnet.
Folgende Mengen von Punkten spielen eine besondere Rolle:
Dabei sind jeweils sowohl die Layer, als auch die Level wichtig. Jedem Element dieser acht Punktmengen ordnet man dabei ein Volumen $V_{l, k}$ mit $l \in \lbrace c, d, e, de\rbrace$ zu. Dabei muss man bei den Kanten einen Unterschied zwischen dem primären und dualen Gitter machen, auch wenn es sich um die gleichen Punkte handelt. Normalenvektoren werden mit $\mathbf{n}_e$ bzw. $\mathbf{n}_{de}$ bezeichnet.
Seien $\psi$ ein Skalarfeld und $\mathbf{v} = \mathbf{u} + w\mathbf{k}$ ein Vektorfeld. Man definiert folgende Arten von Feldern:
\[ \begin{align} \psi_{c, k} \coloneqq \frac{1}{V_{c, k}}\int_{V_{c, k}}\psi d^3r \end{align} \]
\[ \begin{align} u_{e, k} \coloneqq \frac{1}{V_{e, k}}\int_{V_{e, k}}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}_ed^3r \end{align} \]
\[ \begin{align} w_{c, k + 1/2} \coloneqq \frac{1}{V_{c, k + 1/2}}\int_{V_{c, k + 1/2}}\mathbf{v}\cdot\mathbf{k}d^3r \end{align} \]
\[ \begin{align} u_{e, k + 1/2} \coloneqq \frac{1}{V_{e, k + 1/2}}\int_{V_{e, k + 1/2}}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}_{de}d^3r \end{align} \]
\[ \begin{align} w_{d, k} \coloneqq \frac{1}{V_{d, k}}\int_{V_{d, k}}\mathbf{v}\cdot\mathbf{k}d^3r \end{align} \]
\[ \begin{align} w_{e, k} \coloneqq \frac{1}{V_{e, k}}\int_{V_{e, k}}\mathbf{v}\cdot\mathbf{k}d^3r \end{align} \]
Rotationsfelder sind laut Abschn. 27.6.1 notwendig.
In der Notation wurde nicht zwischen der Menge $V \in \mathbb{R}^3$ und dessen Volumen $\left|V\right|$ unterschieden, und dies wird auch weiterhin so gehandhabt werden, wenn eindeutig ist, was gemeint ist.
Die Steigung einer Koordinatenfläche bezeichnet man mit
\[ \begin{align} \mathbf{J} \coloneqq \nabla_hz\vline_{\zeta}. \end{align} \]
Dies ist ein horizontales Vektorfeld. $\mathbf{J}$ bezeichnet man als Slope.
Seien $x, a \in \lbrace c, d, e, de\rbrace$ und $\psi_{a, k}$ ein diskretisiertes Feld. Dann definiert man
\[ \begin{align} \newoverline{\psi_{a, k}}^{(x)} \coloneqq \frac{1}{V_{x, k}}\sum_{y \in a, k'}\psi_{y, k'}\left|V_{x, k}\cap V_{y, k'}\right| \end{align} \]
als Mittelungsoperator. Die Gewichtungsfaktoren $\frac{\left|V_{x, k}\cap V_{y, k'}\right|}{V_{x, k}}$ entsprechen dem relativen Überlapp der entsprechenden Mengen. Es gilt
\[ \begin{align} \sum_{y \in a, k'}\frac{\left|V_{x, k}\cap V_{y, k'}\right|}{V_{x, k}} = 1. \end{align} \]
Analog werden auch vertikale Mittelungen definiert. Ein einzelner Mittelungsoperator ist also entweder ausschließlich horizontal oder vertikal.
In der Vertikalen sind die kovarianten Maßzahlen prognostische Variablen und müssen daher nicht rekonstruiert werden. In der Horizontalen benötigt man jedoch
\[ \begin{align} \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_h = u_h, \end{align} \]
wobei $\mathbf{e}_h$ der horizontale kovariante Einheitsvektor ist. Um $u_h$ aus $u$ und den vertikalen kovarianten Komponenten $w$ zu bestimmen, betrachtet man zunächst ein zweidimensionales xz-Koordinatensystem. Der Einfachheit halber geht man von einer Koordinatenfläche der Form
\[ \begin{align} z\left(x\right) = Jx = \tan\left(\alpha\right)x \end{align} \]
aus, wobei $\alpha$ der Winkel zwischen der Koordinatenfläche und der x-Achse ist. In diesem Fall gilt
\[ \begin{align} \mathbf{e}_h = \left(\begin{array}{c} \cos\left(\alpha\right)\\ \sin\left(\alpha\right) \end{array}\right). \end{align} \]
Notiert man für das Vektorfeld
\[ \begin{align} \mathbf{v} = \left(\begin{array}{c} u\\ w \end{array}\right), \end{align} \]
folgt
\[ \begin{align} \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_h = u\cos\left(\alpha\right) + w\sin\left(\alpha\right). \end{align} \]
Eine horizontale Länge entlang einer Koordinatenlinie $L'$ vergrößert sich bei Verkippung um den Winkel $\alpha$ um den Faktor
\[ \begin{align} L' = L\cos\left(\alpha\right) \Leftrightarrow L = \frac{L'}{\cos\left(\alpha\right)}. \end{align} \]
In einer numerischen Implementierung ist es häufig effizienter, diesen Vergrößerungsfaktor der horizontalen Länge in die Vektorfeldkomponente zu absorbieren. Damit erhält man
\[ \begin{align} \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_h\vline_\text{GK} = u + w\tan\left(\alpha\right) = u + Jw, \end{align} \]
wobei der Index GK für geometriekorrigiert steht. In drei Dimensionen ändert sich diese Relation nicht, da die horizontale Windkomponente senkrecht zu $u$ nicht mit diesen Berechnungen interferiert. Auf einem C-Gitter muss man die vertikale Windkomponente an die Kante mitteln:
\[ \begin{align} v_{h, e, \text{GK}} = u_{e} + J_e\newoverline{w_{c}}^{(e)}. \end{align} \]
Im dreidimensionalen Fall ist eine weitere vertikale Interpolation des vertikalen Windes notwendig:
\[ \begin{align} v_{h, e, k, \text{GK}} = u_{e, k} + J_{e, k}\newoverline{\newoverline{w_{c, k + \frac{1}{2}}}^{(e)}}^{(k)} \end{align} \]
Es gilt
\[ \begin{align} \newoverline{\newoverline{w_{c, k + \frac{1}{2}}}^{(e)}}^{(k)} &= \newoverline{\frac{1}{2}\left(w_{c, k + \frac{1}{2}} + w_{o(e), k + \frac{1}{2}}\right)}^{(k)} = \frac{1}{2}\newoverline{\left(w_{c, k + \frac{1}{2}} + w_{o(e), k + \frac{1}{2}}\right)}^{(k)} = \frac{1}{2}\left(\newoverline{w_{c, k + \frac{1}{2}}}^{(k)} + \newoverline{w_{o(e), k + \frac{1}{2}}}^{(k)}\right)\nonumber\\ &= \newoverline{\newoverline{w_{c, k + \frac{1}{2}}}^{(k)}}^{(e)}. \end{align} \]
Die Reihenfolge der Mittelungen spielt hier also keine Rolle.
In der tiefen Atmosphäre wird ausschließlich die Mittelungsreihenfolge $\newoverline{\newoverline{w_{c, k + \frac{1}{2}}}^{(k)}}^{(e)}$ zugelassen. Die Mittelung auf die Kante $(e)$ ist weiterhin das arithmetische Mittel der beiden auf die Zellzentren gemittelten Werte. Für die vertikale Mittelung auf die Zentren verwendet man die Gewichte aus Glg. (26.72):
\[ \begin{align} \newoverline{w_{c, k + \frac{1}{2}}}^{(k)} = \frac{A_{c, k - 1/2}\Delta z_{c, k - 1/2}w_{c, k - \frac{1}{2}} + A_{c, k + 1/2}\Delta z_{c, k + 1/2}w_{c, k + \frac{1}{2}}}{2V_{c, k}} \end{align} \]
Hier hängen die vertikalen Flächen auch vom vertikalen Index ab.
Das Skalarprodukt macht aus zwei Vektorfeldern ein Skalarfeld und sollte daher auch im Kontext der Mittelungsoperatoren betrachtet werden.
In Abschn. 26.7 wurde davon ausgegangen, dass die Diskretisierungen von Gradient und Divergenz festgelegt sind, und es wurde die Diskretisierung des dreidimensionalen Skalarprodukts auf dem C-Gitter Glg. (26.66) hergeleitet. Hier geht man andersherum vor, und setzt die Diskretisierung des Skalarproduktes voraus. Man verallgemeinert Glg. (26.66) wie folgt auf geländefolgende Koordinaten:
\[ \begin{align} \left(\mathbf{u}^{(1)}\cdot\mathbf{u}^{(2)}\right)_{c, k} = \sum_{e\in c}\frac{l_ed_e}{2A_c\Delta z_{c, k}}\Delta z_{e, k}u_{e, k}^{(1)}u_{e, k}^{(2)} + \frac{\Delta z_{c, k - 1/2}}{2\Delta z_{c, k}}w_u^{(1)}w_u^{(2)} + \frac{\Delta z_{c, k + 1/2}}{2\Delta z_{c, k}}w_l^{(1)}w_l^{(2)}\tag{33.47}\label{eq:inner_c-grid_3d_shallow_terrain} \end{align} \]
Dies lässt sich als Mittelungsoperator von den Kanten auf die Zellenmittelpunkte auffassen:
\[ \begin{align} \newoverline{\mathbf{u}^{(1)}\cdot\mathbf{u}^{(2)}}^{(c)} = \sum_{e\in c}\frac{l_ed_e}{2A_c\Delta z_{c, k}}\Delta z_{e, k}u_{e, k}^{(1)}u_{e, k}^{(2)}\tag{33.48}\label{eq:edge_to_cell_shallow} \end{align} \]
In der tiefen Atmosphäre nimmt man die Ersetzungen
\[ \begin{align} A_c\Delta z_{c, k} &\to V_{c, k},\\ \Delta z_{e, k}l_{e, k} &\to A_{e, k},\\ d_e &\to d_{e, k} \end{align} \]
vor. Für die vertikale Komponente orientiert man sich an Glg. (26.72). Dies führt auf
\[ \begin{align} \left(\mathbf{u}^{(1)}\cdot\mathbf{u}^{(2)}\right)_{c, k} = \sum_{e\in c}\frac{A_{e, k}d_e}{2V_{c, k}}u_{e, k}^{(1)}u_{e, k}^{(2)} + \frac{A_{c, k - 1/2}\Delta z_{c, k - 1/2}}{2V_{c, k}}w_u^{(1)}w_u^{(2)} + \frac{A_{c, k + 1/2}\Delta z_{c, k + 1/2}}{2V_{c, k}}w_l^{(1)}w_l^{(2)}. \end{align} \]
Analog lautet der Mittelungsoperator von den Kanten auf die Zellenmittelpunkte
\[ \begin{align} \newoverline{\mathbf{u}^{(1)}\mathbf{u}^{(2)}}^{(c, k)} = \sum_{e\in c}\frac{A_{e, k}d_{e, k}}{2V_{c, k}}u_{e, k}^{(1)}u_{e, k}^{(2)}.\tag{33.53}\label{eq:edges2cells_deep} \end{align} \]
In der Horizontalen sind die kontravarianten Maßzahlen prognostische Variablen und müssen daher nicht rekonstruiert werden. In der Vertikalen benötigt man jedoch
\[ \begin{align} \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}^{(v)} = v^{(v)}, \end{align} \]
wobei $\mathbf{e}^{(v)}$ der vertikale kontravariante Einheitsvektor ist. Um $v^{(v)}$ aus $w$ und den horizontalen kontravarianten Komponenten $u$ zu bestimmen, betrachtet man zunächst ein zweidimensionales xz-Koordinatensystem, in der y-Richtung sei das System homogen. Der Einfachheit halber geht man von einer Koordinatenfläche der Form
\[ \begin{align} z\left(x\right) = Jx = \tan\left(\alpha\right)x \end{align} \]
aus, wobei $\alpha$ der Winkel zwischen der Koordinatenfläche und der x-Achse ist. In diesem Fall gilt
\[ \begin{align} \mathbf{e}^{(v)} = \left(\begin{array}{c} -\sin\left(\alpha\right)\\ \cos\left(\alpha\right) \end{array}\right). \end{align} \]
Notiert man für das Vektorfeld
\[ \begin{align} \mathbf{v} = \left(\begin{array}{c} u\\ w \end{array}\right), \end{align} \]
folgt
\[ \begin{align} \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}^{(v)} = -u\sin\left(\alpha\right) + w\cos\left(\alpha\right). \end{align} \]
Eine horizontale Koordinatenfläche $A'$ vergrößert sich bei Verkippung um den Winkel $\alpha$ um den Faktor
\[ \begin{align} A' = A\cos\left(\alpha\right) \Leftrightarrow A = \frac{A'}{\cos\left(\alpha\right)}. \end{align} \]
In einer numerischen Implementierung ist es häufig effizienter, diesen Vergrößerungsfaktor der horizontalen Fläche in die Vektorfeldkomponente zu absorbieren. Damit erhält man
\[ \begin{align} \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}^{(v)}\vline_\text{GK} = w - u\tan\left(\alpha\right) = w - Ju, \end{align} \]
wobei der Index GK für geometriekorrigiert steht. Im dreidimensionalen Fall verallgemeinert man das Produkt $Ju$ zu einem Skalarprodukt:
\[ \begin{align} \mathbf{v}\cdot\mathbf{e}^{(v)}\vline_\text{GK} = w - \mathbf{J}\cdot\mathbf{v}_h \end{align} \]
Auf einem C-Gitter wird dies zu
\[ \begin{align} v^{(v)}_{c, \text{GK}} = w_{c} - \newoverline{J_eu_e}^{(c)}. \end{align} \]
Verwendet man vertikal ein L-Gitter, ist eine weitere vertikale Interpolation notwendig.
\[ \begin{align} v^{(v)}_{c, k + \frac{1}{2}, \text{GK}} = w_{c, k + \frac{1}{2}} - \newoverline{\newoverline{J_{e, k}u_{e, k}}^{(c)}}^{(k + \frac{1}{2})}.\tag{33.63}\label{eq:contravariant_vertical_measure_number_shallow} \end{align} \]
Es gilt
\[ \begin{align} &\newoverline{\newoverline{J_{e, k}u_{e, k}}^{(c)}}^{(k + \frac{1}{2})} = \newoverline{\sum_{e\in c}\frac{l_ed_e}{2A_c\Delta z_{c, k}}\Delta z_{e, k}J_{e, k}u_{e, k}}^{(k + \frac{1}{2})} = \sum_{e\in c}\frac{l_ed_e}{2A_c}\newoverline{\frac{\Delta z_{e, k}}{\Delta z_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k}}^{(k + \frac{1}{2})}\nonumber\\ &= \sum_{e\in c}\frac{l_ed_e}{2A_c}\frac{1}{2\Delta z_{c, k + 1/2}}\left(\Delta z_{c, k}\frac{\Delta z_{e, k}}{\Delta z_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k} + \Delta z_{c, k + 1}\frac{\Delta z_{e, k + 1}}{\Delta z_{c, k + 1}}J_{e, k + 1}u_{e, k + 1}\right)\nonumber\\ &= \sum_{e\in c}\frac{l_ed_e}{2A_c}\frac{1}{2\Delta z_{c, k + 1/2}}\left(\Delta z_{e, k}J_{e, k}u_{e, k} + \Delta z_{e, k + 1}J_{e, k + 1}u_{e, k + 1}\right)\nonumber\\ &= \sum_{e\in c}\frac{l_ed_e}{2A_c}\frac{\Delta z_{e, k + 1/2}}{\Delta z_{c, k + 1/2}}\frac{\Delta z_{e, k}J_{e, k}u_{e, k} + \Delta z_{e, k + 1}J_{e, k + 1}u_{e, k + 1}}{2\Delta z_{e, k + 1/2}}\nonumber\\ &= \sum_{e\in c}\frac{l_ed_e}{2A_c}\frac{\Delta z_{e, k + 1/2}}{\Delta z_{c, k + 1/2}}\newoverline{J_{e, k}u_{e, k}}^{(k + 1/2)} = \newoverline{\newoverline{J_{e, k}u_{e, k}}^{(k + 1/2)}}^{(c)}. \end{align} \]
Auch hier spielt die Reihenfolge der Mittelungsoperatoren also keine Rolle.
In der tiefen Atmosphäre wird
\[ \begin{align} v^{(v)}_{c, k + \frac{1}{2}, \text{GK}} \coloneqq w_{c, k + \frac{1}{2}} - \newoverline{\newoverline{J_{e, k}u_{e, k}}^{(c)}}^{(k + \frac{1}{2})}.\tag{33.65}\label{eq:contravariant_vertical_measure_number_deep} \end{align} \]
definiert. Es wird nur diese Reihenfolge der Mittelungsoperatoren zugelassen. Formuliert man dies aus, erhält man mit Glg. (33.53)
\[ \begin{align} \newoverline{\newoverline{J_{e, k}u_{e, k}}^{(c)}}^{(k + \frac{1}{2})} = \frac{1}{2}\left(\sum_{e\in c}\frac{A_{e, k}d_{e, k}}{2V_{c, k}}J_{e, k}^{(1)}u_{e, k}^{(2)} + \sum_{e\in c}\frac{A_{e, k + 1}d_{e, k + 1}}{2V_{c, k + 1}}J_{e, k + 1}^{(1)}u_{e, k + 1}^{(2)}\right). \end{align} \]
Da man nun die vertikale kontravariante Massenflussdichte kennt, kann man Glg. (26.63) zu
\[ \begin{align} \left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)_{c, k} &= \frac{1}{A_c\Delta z_{c, k}}\left(\sum_{e\in c}l_e\Delta z_{e, k}u_{e, k} + A_cv^{(v)}_{c, k - 1/2, \text{GK}} - A_cv^{(v)}_{c, k + 1/2, \text{GK}}\right)\tag{33.67}\label{eq:div_c-grid_shallow_terrain} \end{align} \]
verallgemeinern. Dabei wurde die Ersetzung
\[ \begin{align} w_{k + 1/2} \to v^{(v)}_{c, k + 1/2, \text{GK}} \end{align} \]
vorgenommen und die Schichtdicke wurde von der horizontalen Position abhängig gemacht. Setzt man Glg. (33.63) in Glg. (33.67) ein, erhält man
\[ \begin{align} \left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)_{c, k} &= \frac{1}{A_c\Delta z_{c, k}}\left[\sum_{e\in c}l_e\Delta z_{e, k}u_{e, k} + A_c\left(w_{c, k - 1/2} - \newoverline{\newoverline{J_{e, k}u_{e, k}}^{(c)}}^{(k - \frac{1}{2})}\right) - A_c\left(w_{c, k + 1/2} - \newoverline{\newoverline{J_{e, k}u_{e, k}}^{(c)}}^{(k + \frac{1}{2})}\right)\right]\nonumber\\ &= \sum_{e\in c}\frac{l_e\Delta z_{e, k}}{A_c\Delta z_{c, k}}u_{e, k} + \frac{w_{c, k - 1/2}}{\Delta z_{c, k}} - \frac{\newoverline{\newoverline{J_{e, k}u_{e, k}}^{(c)}}^{(k - \frac{1}{2})}}{\Delta z_{c, k}} - \frac{w_{c, k + 1/2}}{\Delta z_{c, k}} + \frac{\newoverline{\newoverline{J_{e, k}u_{e, k}}^{(c)}}^{(k + \frac{1}{2})}}{\Delta z_{c, k}}\nonumber\\ &\stackrel{\href{#eq:edge_to_cell_shallow}{\text{Glg. (33.48)}}}{=} \frac{w_{c, k - 1/2} - w_{c, k + 1/2}}{\Delta z_{c, k}} + \sum_{e\in c}\frac{l_e\Delta z_{e, k}}{A_c\Delta z_{c, k}}u_{e, k}\nonumber\\ &- \frac{\newoverline{\sum_{e\in c}\frac{l_ed_e}{2A_c\Delta z_{c, k}}\Delta z_{e, k}J_{e, k}u_{e, k}}^{(k - \frac{1}{2})} - \newoverline{\sum_{e\in c}\frac{l_ed_e}{2A_c\Delta z_{c, k}}\Delta z_{e, k}J_{e, k}u_{e, k}}^{(k + \frac{1}{2})}}{\Delta z_{c, k}}\nonumber\\ &= \frac{w_{c, k - 1/2} - w_{c, k + 1/2}}{\Delta z_{c, k}} + \sum_{e\in c}\frac{l_e\Delta z_{e, k}}{A_c\Delta z_{c, k}}u_{e, k} - \frac{\sum_{e\in c}\frac{l_ed_e}{2A_c}\newoverline{\frac{\Delta z_{e, k}}{\Delta z_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k}}^{(k - \frac{1}{2})} - \sum_{e\in c}\frac{l_ed_e}{2A_c}\newoverline{\frac{\Delta z_{e, k}}{\Delta z_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k}}^{(k + \frac{1}{2})}}{\Delta z_{c, k}}\nonumber \end{align} \] \[ \begin{align} &= \frac{w_{c, k - 1/2} - w_{c, k + 1/2}}{\Delta z_{c, k}} + \sum_{e\in c}\frac{l_e\Delta z_{e, k}u_{e, k} - \frac{l_ed_e}{2}\newoverline{\frac{\Delta z_{e, k}}{\Delta z_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k}}^{(k - \frac{1}{2})} + \frac{l_ed_e}{2}\newoverline{\frac{\Delta z_{e, k}}{\Delta z_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k}}^{(k + \frac{1}{2})}}{A_c\Delta z_{c, k}}\nonumber\\ &= \frac{w_{c, k - 1/2} - w_{c, k + 1/2}}{\Delta z_{c, k}} + \sum_{e\in c}l_e\frac{\Delta z_{e, k}u_{e, k} - \frac{d_e}{2}\newoverline{\frac{\Delta z_{e, k}}{\Delta z_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k}}^{(k - \frac{1}{2})} + \frac{d_e}{2}\newoverline{\frac{\Delta z_{e, k}}{\Delta z_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k}}^{(k + \frac{1}{2})}}{A_c\Delta z_{c, k}}\nonumber\\ &= \frac{w_{c, k - 1/2} - w_{c, k + 1/2}}{\Delta z_{c, k}}\nonumber\\ & + \sum_{e\in c}l_e\frac{\Delta z_{e, k}u_{e, k} - \frac{d_e}{4}\left(\frac{\Delta z_{e, k - 1}}{\Delta z_{c, k - 1}}J_{e, k - 1}u_{e, k - 1} + \frac{\Delta z_{e, k}}{\Delta z_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k}\right) + \frac{d_e}{4}\left(\frac{\Delta z_{e, k}}{\Delta z_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k} + \frac{\Delta z_{e, k + 1}}{\Delta z_{c, k + 1}}J_{e, k + 1}u_{e, k + 1}\right)}{A_c\Delta z_{c, k}}\nonumber \end{align} \]
\[ \begin{align} \Rightarrow\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)_{c, k} &= \left[\sum_{e\in c}\left(l_e\frac{\Delta z_{e, k}u_{e, k}}{A_c\Delta z_{c, k}}\right) + \frac{w_{c, k - 1/2} - w_{c, k + 1/2}}{\Delta z_{c, k}}\right]\nonumber\\ &- \frac{1}{2}\sum_{e\in c}\frac{l_ed_e}{2A_c\Delta z_{c, k}}\Bigg[\left(\frac{\Delta z_{e, k - 1}}{\Delta z_{c, k - 1}}J_{e, k - 1}u_{e, k - 1} + \textcolor{blue}{\frac{\Delta z_{e, k}}{\Delta z_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k}}\right)\nonumber\\ &- \left(\textcolor{blue}{\frac{\Delta z_{e, k}}{\Delta z_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k}} + \frac{\Delta z_{e, k + 1}}{\Delta z_{c, k + 1}}J_{e, k + 1}u_{e, k + 1}\right)\Bigg].\tag{33.69}\label{eq:div_c-grid_shallow_terrain_concrete} \end{align} \]
Die Terme in der ersten Zeile entsprechen Glg. (26.63), die Terme in den letzten beiden Gleichungen sind die orographischen Korrekturterme. Diese verschwinden im Fall $\mathbf{J} = \mathbf{0}$. Die blau markierten Terme heben sich gegenseitig auf und können ignoriert werden.
In der tiefen Atmosphäre verallgemeinert Glg. (33.67) zu
\[ \begin{align} \left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)_{c, k} &= \frac{1}{V_{c, k}}\left(\sum_{e\in c}A_{e, k}u_{e, k} + A_{c, k - 1/2}v^{(v)}_{c, k - 1/2, \text{GK}} - A_{c, k + 1/2}v^{(v)}_{c, k + 1/2, \text{GK}}\right). \end{align} \]
Setzt man hier Glg. (33.63) ein, erhält man
\[ \begin{align} \left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)_{c, k} &= \frac{1}{V_{c, k}}\left(\sum_{e\in c}A_{e, k}u_{e, k} + A_{c, k - 1/2}v^{(v)}_{c, k - 1/2, \text{GK}} - A_{c, k + 1/2}v^{(v)}_{c, k + 1/2, \text{GK}}\right)\nonumber\\ &= \frac{1}{V_{c, k}}\left[\sum_{e\in c}\left(A_{e, k}u_{e, k}\right) + A_{c, k - 1/2}w_{c, k - 1/2} - A_{c, k + 1/2}w_{c, k + 1/2}\right]\nonumber\\ &- \frac{1}{V_{c, k}}\sum_{e\in c}\Bigg[A_{c, k - 1/2}\frac{1}{2}\left(\frac{A_{e, k}d_{e, k}}{2V_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k} + \frac{A_{e, k - 1}d_{e, k - 1}}{2V_{c, k - 1}}J_{e, k - 1}u_{e, k - 1}\right)\nonumber\\ &- A_{c, k + 1/2}\frac{1}{2}\left(\frac{A_{e, k}d_{e, k}}{2V_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k} + \frac{A_{e, k + 1}d_{e, k + 1}}{2V_{c, k + 1}}J_{e, k + 1}u_{e, k + 1}\right)\Bigg]\nonumber \end{align} \]
\[ \begin{align} \Rightarrow\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)_{c, k} &= \frac{1}{V_{c, k}}\left[\sum_{e\in c}\left(A_{e, k}u_{e, k}\right) + A_{c, k - 1/2}w_{c, k - 1/2} - A_{c, k + 1/2}w_{c, k + 1/2}\right]\nonumber\\ &+ \frac{1}{V_{c, k}}\sum_{e\in c}\Bigg[-A_{c, k - 1/2}\left(\frac{A_{e, k}d_{e, k}}{4V_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k} + \frac{A_{e, k - 1}d_{e, k - 1}}{4V_{c, k - 1}}J_{e, k - 1}u_{e, k - 1}\right)\nonumber\\ &+ A_{c, k + 1/2}\left(\frac{A_{e, k}d_{e, k}}{4V_{c, k}}J_{e, k}u_{e, k} + \frac{A_{e, k + 1}d_{e, k + 1}}{4V_{c, k + 1}}J_{e, k + 1}u_{e, k + 1}\right)\Bigg].\tag{33.71}\label{eq:div_deep} \end{align} \]
Die in Glg. (33.69) mögliche Vereinfachung ist hier nicht anwendbar.